初中八年级数学：正方形教学设计

人教版初中数学八年级下册 第十八章 平行四边形第二节 特殊的平行四边形教学设计正方形山东省东营市胜利第一中学 初中数学 张振安一、 教学方法自学探究、小组合作、数学实验（几何画板）这节课本着《数学课程标准》中“动手实践、自主探索与合作交流 是学生学习数学的重要方式”这一理念进行设计，采用引导发现、自学 探究、小组合作、数学实验相结合的方法，同时利用借助现代教育技术 （几何画板、希沃授课助手），让学生看到思维的过程。

二、 教学过程（一）问题引入（5分钟）1、 观看几何画板设计的两个动画，思考平行四边形经历了怎样的图形变化过程？（2分钟）（1）平行四边形—＞矩形—＞正方形； （2）平行四边形—＞菱形—＞正方形。

活动目的：利用课件形象演示变化出正方形的过程，激发学习兴趣，引 导学生分析如何由矩形变化出正方形以及如何由菱形变化出正II, 一一 J 变形按钮1 |二 Lj IL-J 变形按钮3L 变形川顺序2个动作 AB = 15.35厘米DC = 15.35厘米 m CAB =53.39°方形，引出本节课题，并为进一步启发学生发现正方形既是特殊的菱形，又是特殊的矩形埋下伏笔。

2、引出课题，板书标题：正方形3、展示生活中的正方形应用，展示本节课学习目标。

（1分钟）（1）．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别；（2）．能用正方形的定义、性质和判定进行推理与计算。

活动目的：让学生明确学习任务和达成的目标。

（二）概念分析（2分钟）1、回顾小学阶段对正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。

2、请你用所学知识重新下定义：既是矩形又是菱形的四边形叫做正方形。

活动目的：让学生从小学定义及本节课开始的动画演示出发重新思考正方形的定义，提高对正方形的认识。

（三）性质探究（5分钟）1、请你们独立思考正方形具有哪些性质，并小组内交流。

（1分钟）2、班内交流展示，总结性质：（4分钟）（1）正方形的四条边都相等；（2）正方形的四个角都是直角；（3）正方形的对角线相等、垂直、互相平分，且平分对角。

【正方形的性质与判定（二）】教学设计义务教育教科书（）_数学_八年级下_第六章_特殊平行四边形_第三节正方形的性质与判定_第二课时一、教学目标：知识目标：1.掌握正方形的判定方法。

2.综合运用平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理探究中点四边形问题。

能力目标：1.让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，让其逻辑推理能力有进一步的提升。

2.灵活运用正方形的判定，培养学生的思维能力。

情感态度与价值观：1.通过对平行四边形、菱形、矩形等判定方法的类比，进一步领悟类比的数学思想。

2.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点。

3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、归纳、推理等数学思想。

二、教学重点与难点重点：正方形的判定方法。

难点：合理恰当地利用特殊四边形的性质和判定进行有关的论证和推理。

三、教学方法：教法设计：针对本节课的特点，采用"创设情境-合作交流-应用迁移-类比归纳-整理反思"为主线的探究式教学方法。

学法设计：独立思考—合作探究—快乐展示本节课重点以培养学生探索精神和分析归纳总结能力为出发点，着重指导学生动手、观察、思考、分析、总结得出结论。

在小组讨论中通过互相学习、讨论交流，让学生体验合作学习的乐趣，享受成功的喜悦。

四、教学时间：1课时五、教学课型：新授六、教学过程：（一）创设情境，引入新知师：我们已学习了矩形、菱形、正方形，它们都是特殊的平行四边形。

怎样判定一个四边形是矩形？怎样判定一个四边形是菱形？生：快速回顾并回答。

【设计意图】系统复习矩形、菱形的判定方法，让学生通过框架图理清思考方法，为正方形的判定做准备。

师：在矩形的基础上给正方形定义为：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，它具有矩形和菱形所有的性质，它四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直。

如果一个四边形已经是矩形或菱形，那么再添加什么条件能变成正方形呢？这节课我们一起探究正方形的判定方法。

一、教材分析《正方形》这节课是九年义务教育人教版数学教材八年级下册第十九章第二节的内容。

纵观整个初中教材，《正方形》是在学生掌握了平行线、三角形、平行四边形、矩形、菱形等有关知识及简单图形的平移和旋转等平面几何知识，并且具备有初步的观察、操作等活动经验的基础上出现的。

既是前面所学知识的延续，又是对平行四边形、菱形、矩形进行综合的不可缺少的重要环节。

本节课的重点是正方形的概念和性质，难点是理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的内在联系。

根据大纲要求及本班学生的实际情况，本节课制定了知识、能力、情感三方面的目标。

（一）知识目标：1、要求学生掌握正方形的概念及性质；2、能正确运用正方形的性质进行简单的计算、推理、论证；（二）能力目标：1、通过本节课培养学生观察、动手、探究、分析、归纳、总结等能力；2、发展学生合情推理意识，主动探究的习惯，逐步掌握说理的基本方法；（三）情感目标：1、让学生树立科学、严谨、理论联系实际的良好学风；2、培养学生互相帮助、团结协作、相互讨论的团队精神；3、通过正方形图形的完美性，培养学生品格的完美性。

二、学生分析本校该段学生基础一般，但上课很积极，有很强的表现欲，通过前一学期的培养，具有一定的独立思考和探究的能力。

但该班学生的口头语言表达能力方面稍有欠缺，所以在本节课的教学过程中，设计了让学生自己组织语言培养说理能力，让学生们能逐步提高。

三、教法分析针对本节课的特点，采用'实践--观察--总结归纳--运用'为主线的教学方法。

通过学生动手，采取几种不同的方法构造出正方形，然后引导学生探究正方形的概念。

通过观察、讨论、归纳、总结出正方形性质定理，最后以课堂练习加以巩固定理，并通过一道拔高题对定义、性质理解、巩固加以升华。

四、学法分析本节课重点以培养学生探索精神和分析归纳总结能力为出发点，着重指导学生动手、观察、思考、分析、总结得出结论。

在小组讨论中通过互相学习，让学生体验合作学习的乐趣。

正方形的性质及判定-人教版八年级数学下册教案
一、教学目标
1.了解正方形的定义及性质；
2.判定一个四边形是否为正方形；
3.运用正方形的性质解决实际问题。

二、教学重难点
1.判断四边形是否为正方形的方法；
2.运用正方形的性质解决实际问题。

三、教学内容及步骤
（一）导入（5分钟）
1.通过观察物体，引出正方形的含义；
2.介绍本节课的学习目标。

（二）正片（30分钟）
1. 正方形的定义
1.学生回顾并回答正方形的定义；
2.老师引导学生深入理解正方形的定义，并与长方形、菱形等进行比较。

2. 正方形的性质
1.学生回顾并回答正方形的性质；
2.老师引导学生深入理解正方形的性质，包括等边、等角、对角线互相垂直、对角线相等等。

3. 判定正方形的方法
1.老师通过例题引导学生掌握判定正方形的方法；
2.学生进行练习，巩固判定正方形的方法。

4. 运用正方形的性质解决实际问题
1.通过例题引导学生运用正方形的性质解决实际问题；
2.学生进行练习，巩固运用正方形的性质解决实际问题。

（三）小结（5分钟）
1.回顾本节课所学内容；
2.强调正方形的定义及性质在实际生活中的应用。

（四）作业布置（5分钟）
1.完成课堂练习；
2.完成课后作业。

四、教学反思
本节课通过例题引导学生掌握了正方形的定义及性质，并且通过练习巩固了判定正方形的方法和运用正方形的性质解决实际问题的能力。

同时，课堂中老师与学生的互动也让学生参与性更强，思维更加开放。

18.2.3正方形第1课时正方形的性质教学设计课题正方形的性质授课人素养目标1.理解正方形的概念，体会特殊平行四边形之间的关系．2.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力和数学表达能力．3.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.教学重点正方形性质的理解及其应用．教学难点正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图通过图片展示，引导学生思考正方形的概念及性质.【情境导入】仔细观察下列实际生活中的图片，你会发现这些都是正方形的形象．正方形是我们熟悉的图形，你还能列举出正方形在生活中应用的其他例子吗？结合已有经验，类比菱形与矩形，正方形的概念是怎样的呢？教师总结：正方形可以定义为有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形．下面我们一起来探讨一下正方形的性质吧！【教学建议】让学生根据生活经验及图片思考正方形的概念，学生从矩形和菱形的角度回答正方形的概念也可以，正确即可.活动二：动手操作，探究新知设计意图通过回忆体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系.探究点正方形的性质1．边、角、对角线的性质探究(1)我们回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质？答：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．(2)上面正方形的概念中提到有一组邻边相等的平行四边形是什么图形？答：菱形．(3)上面正方形的概念中提到有一个角是直角的平行四边形是什么图形？答：矩形．事实上，如果把矩形、菱形各添加一个条件，平行四边形添加两个条件均可得到正方形，可以用下面结构图直观呈现这种关系：归纳总结：正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质．我们根据前边的学习，除了边和角，还可以研究一下正方形的对角线，那么它的对角线就是互相平分、相等且垂直．【教学建议】让学生回忆并类比平行四边形、矩形、菱形的性质来研究正方形的性质，引导学生从正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形入手，分别从边、角、对角线、对称性等几个方面进行归纳总结．设计意图引导学生发现直角三角形斜边上的中线的性质.正方形的对角线除了上述基本性质外，还有无其他性质呢？事实上，它可以将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．我们可以试着证明：(教材P58例5)求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知：如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC ，BD 相交于点O.求证：△ABO ，△BCO ，△CDO ，△DAO 是全等的等腰直角三角形.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝BD ，AC ⊥BD ，AO ＝BO ＝CO ＝DO.∴△ABO ，△BCO ，△CDO ，△DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△DAO.2.正方形的对称性我们再想一想：正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？答：如图，取一张正方形纸片，将它沿过对边中点的直线和对角线折叠，折叠后的两部分均能重合.归纳总结：正方形是轴对称图形，它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.【对应训练】1．正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是322.如图，在正方形ABCD 中，点E 在BD 上，且BE ＝CD ，则∠BEC 的度数为67.5°.3.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 边上，AE ＝BF ，连接AF ，DE.求证：△ADE ≌△BAF.证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AD ＝BA ，∠DAE ＝∠ABF ＝90°.在△ADE 和△BAF 中，AD ＝BA ，∠DAE ＝∠ABF ，AE ＝BF ，∴△ADE ≌△BAF(SAS).活动三：综合运用，巩固提升设计意图强化学生对正方形性质的掌握.例如图，在正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在CD 的延长线上，且BE ＝DF.(1)求证：AE ＝AF ，AE ⊥AF ；(2)若BD 与EF 相交于点M ，连接AM ，试判断AM 与EF 的数量关系和位置关系，并说明理由.(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABE ＝∠BAD ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°，AB ＝AD.又BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠DAF.∴∠DAF ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ，即∠EAF ＝∠BAD ＝90°，∴AE ⊥AF.【教学建议】提醒学生：(1)与正方形性质相关的证明题往往是利用正方形边、角、对角线的性质，将其转化为证明三角形全等的条件；(2)正方形两条对角线将正方形分割为四个全等的等(2)解：AM ＝12EF ，AM ⊥EF.理由如下：如图，过点E 作EN ∥CD ，交BD 于点N ，∴∠MNE ＝∠MDF ，∠MEN ＝∠MFD ，∠NEB=∠C ＝90°.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠NBE ＝45°，∴∠BNE ＝90°－∠NBE ＝45°，∴∠NBE ＝∠BNE ，∴BE ＝NE.又BE ＝DF ，∴NE ＝DF ，∴△MNE ≌△MDF(ASA)，∴EM ＝FM.∵AE ＝AF ，∠EAF ＝90°，∴AM ＝12EF ，AM ⊥EF.【对应训练】1.如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，若以AD 为边向正方形内部作等边三角形ADE ，边DE 交AC 于点F ，则∠EFC ＝75°.2.如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF 的周长是85.3.教材P59练习第2题．腰直角三角形，可得到45°角.活动四：随堂训练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：正方形的概念是什么？正方形有哪些性质？正方形与平行四边形、矩形、菱形有怎样的区别和联系？【知识结构】【作业布置】1.教材P 61习题18.2第7，12，15，17题.2．相应课时训练．板书设计18.2.3正方形第1课时正方形的性质一、正方形的概念二、正方形的性质1.边.2.角.3.对角线.4.对称性.教学反思正方形性质的探究内容依旧集中在边、角、对角线三个方面，教学中注意引导学生思索平行四边形、矩形、菱形和正方形的区别与联系，使其形成完整的四边形知识网络.的应用，可以培养学生的应用意识从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有与现实生活的联系，又有动手操作，调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主体作用.解题方法：如何区分平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质？①从边的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对边平行且相等的性质，而菱形和正方形还具有四条边都相等的性质．②从角的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角相等且邻角互补的性质，而矩形和正方形还具有四个角都是直角的性质．③从对角线的角度来看：平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分的性质，而矩形和正方形还具有对角线相等的性质，菱形和正方形还具有对角线互相垂直的性质．例1如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD 为正方形，点G 在对角线BD 上，GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，AD ＝1500m ，小敏行走的路线为B→A→G→E ，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m ，则小聪行走的路程为4600m .解析：如图，连接GC.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BCD ＝90°，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°.又GE ⊥CD ，∴△DEG 是等腰直角三角形．∴DE ＝GE.在△AGD 和△CGD AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△AGD ≌△CGD(SAS )，∴AG ＝CG.∵GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，∴∠GEC ＝∠ECF ＝∠GFC ＝90°，∴四边形GECF 是矩形．∴EF ＝CG ，∴EF ＝AG.∴BA ＋AD ＋DE ＋EF －BA －AG －GE ＝AD ＝1500m .∵小敏共走了3100m ，即BA ＋AG ＋GE ＝3100m ，∴小聪行走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3100＋1500＝4600(m )．例2如图，在边长为6的正方形ABCD 中，M 为对角线BD 上一点，连接AM 并延长，交CD 于点P.若PM ＝PC ，求AM 的长．解：∵四边形ABCD 是边长为6的正方形，∴AD ＝CD ＝6，∠ADC ＝90°，∠ADM ＝∠CDM ＝45°.在△ADM 和△CDM DM ＝DM ，∠ADM ＝∠CDM ，AD ＝CD ，∴△ADM ≌△CDM(SAS )，∴∠DAM ＝∠DCM.∵PM ＝PC ，∴∠CMP ＝∠DCM ，∴∠APD ＝∠CMP ＋∠DCM ＝2∠DCM ＝2∠DAM.∵∠APD ＋∠DAM ＝180°－∠ADC ＝90°，∴∠DAM ＝30°.设PD ＝x ，则AP ＝2PD ＝2x ，PM ＝PC ＝CD －PD ＝6－x ，∴AD ＝AP 2－PD 2＝3x ＝6，解得x ＝2 3.∴PM ＝6－x ＝6－23，AP ＝2x ＝43，∴AM ＝AP －PM ＝43－(6－23)＝63－6.例1如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是BC ，CD 上一动点，且BE ＝CF ，连接AE ，BF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值是(A )A ．25－2B ．32－2C ．22D .2＋2解析：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.在△ABE 和△BCF ＝BC ，ABE ＝∠BCF ，＝CF ，∴△ABE ≌△BCF(SAS )，∴∠BAE ＝∠CBF.∵∠CBF ＋∠ABF ＝90°，∴∠BAE ＋∠ABF ＝90°，∴∠APB ＝90°.如图，设AB 的中点为G ，连接GP ，GC ，则GP ＝GB ＝12AB ＝12×4＝2.∵GP ＋CP≤GC ，∴当点C ，P ，G 在同一条直线上时，CP 有最小值GC －GP.∵BC ＝4，BG ＝2，∴GC ＝BC 2＋BG 2＝42＋22＝2 5.∴CP 的最小值是25－2.故选A .例2如图，正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点B 的坐标为(－4，4)．点P从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向点O 运动；同时，点Q 从点O 出发，以相同的速度沿x 轴的正方向运动，规定点P 到达点O 时，点Q 也停止运动．连接BP ，过点P 作BP 的垂线，与经过点Q 且平行于y 轴的直线l 相交于点D.BD 与y 轴交于点E ，连接PE.设点P 运动的时间为t s .(1)∠PBD 的度数为45°，点D 的坐标为(t ，t)(用含t 的代数式表示)．(2)当t 为何值时，△PBE 为等腰三角形？(3)探索△POE 的周长是否随时间t 的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．解：(1)解析：由题意可得AP ＝OQ ＝1×t ＝t ，∴易得AO ＝PQ.∵四边形OABC 是正方形，∴AO ＝AB ＝BC ＝OC ，∠BAO ＝∠AOC ＝∠OCB ＝∠ABC ＝90°.∵DQ ∥OC ，∴∠PQD ＝∠AOC ＝90°.∵DP ⊥BP ，∴∠BPD ＝90°.∴∠BPA ＝90°－∠DPQ ＝∠PDQ.∵AO ＝PQ ，AO ＝AB ，∴AB ＝QP.在△BAP 和△PQD BAP ＝∠PQD ，BPA ＝∠PDQ ，＝QP ，∴△BAP ≌△PQD(AAS )．∴AP ＝QD ，BP＝PD.∵∠BPD ＝90°，BP ＝PD ，∴∠PBD ＝∠PDB ＝45°.∵AP ＝t ，∴QD ＝t.∴点D 的坐标为(t ，t)．(2)①若PB ＝PE ，由△BAP ≌△PQD 得PB ＝PD ，显然PB≠PE ，∴这种情况不存在，应舍去．②若EB ＝EP ，则∠BPE ＝∠PBE ＝45°.∴∠BEP ＝90°.∴∠PEO ＝90°－∠BEC ＝∠EBC.在△POE 和△ECB PEO ＝∠EBC ，POE ＝∠ECB ，＝BE ，∴△POE ≌△ECB(AAS )．∴OE ＝CB ＝OC.∴点E 与点C 重合．∴点P 与点O 重合．∴AP ＝AO ＝t.∵B(－4，4)，∴AO ＝CO ＝4.此时t ＝4.③若BP ＝BE ，在Rt △BAP 和Rt △BCE ＝BE ，＝BC ，∴Rt △BAP ≌Rt △BCE(HL )．∴AP＝CE.∵AP＝t，∴CE＝t.∴PO＝EO＝4－t.∵∠POE＝90°，∴EP＝PO2＋EO2＝2(4－t)．如图，延长OA到点F，使得AF＝CE，连接BF.在△FAB和△ECB＝CB，BAF＝∠BCE＝90°，＝CE，∴△FAB≌△ECB(SAS)．∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC.∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠EBC＝45°.∴∠FBP＝∠ABP＋∠FBA＝∠ABP＋∠EBC＝45°.∴∠FBP＝∠EBP.在△FBP和△EBP ＝BE，FBP＝∠EBP，＝BP，∴△FBP≌△EBP(SAS)．∴FP＝EP.∴EP＝FP＝FA＋AP＝CE＋AP.∴EP＝t＋t＝2t.∴2(4－t)＝2t.解得t＝42－4.综上所述，当t为4或42－4时，△PBE为等腰三角形．(3)△POE的周长不随时间t的变化而变化．由(2)可得EP＝CE＋AP，∴OP＋PE＋OE＝OP＋AP＋CE＋OE＝AO＋CO＝4＋4＝8.∴△POE的周长是定值，这个定值为8.。

1.3 正方形的性质与判定一、教材分析：本章是八下《平行四边形》学习的继续，无论从内容上还是研究图形的方法上，都与已有的经验联系密切，本节又是在学生学习了菱形的性质与判定、矩形的性质与判定的基础上，对正方形的性质与判定进行的进一步研究，对菱形、矩形性质与判定的综合，是平行四边形的提升，因此本节课在本章中起着总结提升的作用。

二、学情分析：学生的知识技能基础：学生已经较为系统的学习了平行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定，已经具有了四边形的基本认知与知识结构，这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些对四边形探索的具体方法，并能解决一些简单的现实问题，感受到数学信息的收集和处理的必要性和作用，获得了从事探究活动所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

三、教学目标：1、知识目标：（1））理解正方形的概念，了解它与菱形、矩形、平行四边形之间的关系。

（2）探索并证明正方形的性质定理和判定定理，进一步发展推理能力。

2、能力目标：体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。

3、情感目标：让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.教学重点：正方形的性质定理及应用教学难点：正方形的性质定理的应用教学方法：探究、启发式四、教学过程（一）创设情景引入新课（利用多媒体展示图片）观察下列三个特殊四边形，你发现它们有什么样的共同特征？学生独立观察并思考，通过观察图形，得出正方形的特征，从而引出定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形【设计意图】使学生对正方形形成直观印象，培养学生对三种语言表述的理解和转化能力。

同时强调了定义的双重性。

（二）合作探究想一想（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？（2）你认为正方形具有哪些性质？【设计意图】针对定义，让学生分析，有一组邻边相等的平行四边形是什么图形？有一个角是直角的平行四边形是什么图形？从而得出结论：正方形既是矩形，又是菱形，因此它具有矩形和菱形的所有性质正方形的性质：定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分议一议在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？若AB=2，正方形的对角线长______,若AC=2，则正方形的边长为_______,面积为_______【设计意图】通过简单的练习，让学生熟悉正方形的性质定理想一想正方形有几条对称轴？【设计意图】学生理解了正方形既是矩形，又是菱形，便可以非常简单的解决这个问题例题讲解例1.如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，求∠AEB 的度数问题：你能找出图中相等的线段吗？在图形中标注出来【设计意图】教师通过问题串的形式，引导学生进行思路的探究，掌握正方形与等边三角形相结合的题目分析思路，此环节教师点拨，学生上台讲解变式练习：1.如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB=_______2.如图，四边形ABCD是正方形，E是BC延长线上一点，且AC=EC,则∠DAE=_________【设计意图】学生独立解决，并展示，进一步巩固正方形的性质，并灵活应用.例2.在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF, BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由？变式练习：在正方形ABCD中，PD=CQ, BP与AQ之间有怎样的关系？【设计意图】灵活运用正方形的性质定理，掌握和正方形有关的证明方法.（四）课堂小结本节课你有哪些收获？平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？【设计意图】通过师生感悟，对本节课的内容进一步总结与提升（五）拓展练习如图，正方形ABCD的边长为3，连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E，FA⊥AE交CB的延长线于点F，则EF的长为_____【设计意图】进一步锻炼学生的思维的思维，加强解决问题思考方法的教学.学生的知识技能基础：学生已经较为系统的学习了平行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定，已经具有了四边形的基本认知与知识结构，这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来。

第六章特别平行四边形3.正方形的性质与判断（二）一、学生知识状况解析学生的知识基础：学生从前已经借助折纸、画图、丈量、证明等活动研究过平行四边形、菱形、矩形的性质和判断，还在第一课时学习了正方形的性质，本节课主若是对正方形的判断进行推理证明，而前方的研究过程和方法为本节课的推理证明供给了铺垫，为学生供给了相应的定理证明思路。

八年级时学生还学习了“三角形中位线定理”，这些都为本节课研究“中点四边形”做了铺垫，学生已经具备了研究该命题的基本技术。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历了“研究—发现—猜想—证明” 的过程，并初步领会了获取猜想后还应予以证明的意义，感觉到了合情推理与演绎推理的相互依赖和相互增补的辨证关系，并且学生拥有了必定的推理证明的能力。

同时在从前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，拥有了必定的合作学习的经验，具备了必定的合作与沟通的能力。

二、教课任务解析教材基于学生对特别平行四边形和三角形中位线定理的认识的基础之上，提出了本课的详尽学习任务：掌握正方形判判定理、理解中点四边形形状取决于原四边形的对角线的地点和数目关系，但这不过是这堂课外显的近期目标。

本课内容隶属于“图形与几何”中的“图形的性质”，因此务必服务于演绎推理教课的远期目标：“让学生经历‘研究—发现—猜想—证明’的过程，领会证明的必需性，掌握用综合法证明的格式，初步感觉公义化思想，发展空间看法”，同时也应力争在学习中逐渐达成学生的相关感情态度目标。

为此，本节课的教课目标是：知识与技术：1.掌握正方形的判判定理，并能综合运用特别四边形的性质和判断解决问题。

2.发现决定中点四边形形状的要素，娴熟运用特别四边形的判断及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。

3.使学生进一步领会证明的必需性以及计算与证明在解决问题中的作用。

过程与方法：1.经历“研究—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判判定理，发现决定中点四边形形状的要素，并能综合运用特别四边形的性质和判断解决问题。

初中数学《正方形》教案设计一、教学目的1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？四、课堂引入1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2．【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．五、例习题分析例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO．例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．又DG⊥AE，∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．∴ ∠EAO=∠FDO．∴ △AEO ≌△DFO．∴ OE=OF．例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1，∴ PN∥QM，∠PNM=90°．∵ PQ∥NM，∴ 四边形PQMN是矩形．∵ 四边形ABCD是正方形∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．∴ ∠1+∠2=90°．又∠3+∠2=90°，∴ ∠1=∠3．∴ △ABM≌△DAN．∴ AM=DN．同理 AN=DP．∴ AM+AN=DN+DP即 MN=PN．∴ 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．六、随堂练习1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）④四条边都相等的四边形是正方形；（）⑤四个角相等的四边形是正方形．（）1．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．七、课后练习1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC 于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．。