高中数学空间向量与立体几何知识点总结

第三章 空间向量与立体几何单元小结[核心速填]1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)重要结论：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①|a |＝a ·a②cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)， 则l ∥α⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )．(2)设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0. 5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.(3)求二面角的大小：(ⅰ)如图3­1①，AB ，CD 是二面角α­l ­β的两个半平面α，β内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．图3­1(ⅱ)如图3­1②③，n 1，n 2分别是二面角α­l ­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．[体系构建][题型探究]类型一、空间向量的基本概念及运算例1、如图3­2，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：图3­2①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________． 【答案】 ③④【解析】容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[规律方法] 1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．[跟踪训练]1.如图3­3，已知ABCD ­A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.图3­3【答案】32[连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]类型二、空间向量的坐标运算例2、(1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)(2)已知向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，a ∥b ，b ⊥C ． ①求向量a ，b ，c ；②求a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值.【答案】(1)B [由b ＝12x －2a 得x ＝4a ＋2b ，又4a ＋2b ＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x ＝(0,6，－20)．](2)①∵向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，且a ∥b ，b ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y ＝2－23＋y －2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝1，∴向量a ＝(－1,1,2)，b ＝(1，－1，－2)，c ＝(3,1,1)． ②∵a ＋c ＝(2,2,3)，b ＋c ＝(4,0，－1)， ∴(a ＋c )·(b ＋c )＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a ＋c |＝22＋22＋32＝17，|b ＋c |＝42＋02＋(－1)2＝17， ∴a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为(a ＋c )·(b ＋c )|a ＋c ||b ＋c |＝517.[规律方法] 熟记空间向量的坐标运算公式 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， (1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2). (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. (4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)，则|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算. [跟踪训练]2．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C [∵AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴|AB →|＝32＋42＋(－8)2＝89，|AC →|＝52＋12＋(－7)2＝75，|BC →|＝22＋(－3)2＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，∴△ABC 一定为直角三角形．]类型三、利用空间向量证明平行、垂直问题例3、 在四棱锥P ­ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． 【答案】以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，(1)证明：∵BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD ． (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ． 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2(y －1)＝0，－1－2(z －1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD ．[规律方法]利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． (3)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(4)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．[跟踪训练]3．如图3­4，长方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D．图3­4(1)求证：A1C⊥平面AMN.(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置.【答案】(1)证明：因为CB⊥平面AA1B1B，AM⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AM，又因为AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，所以AM⊥平面A1BC，所以A1C⊥AM，同理可证A1C⊥AN，又AM∩AN＝A，所以A1C⊥平面AMN.(2)以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3，所以C (0,0,0)，A 1(2,2,3)，C 1(0,0,3)，CA 1→＝(2,2,3)， 由(1)知CA 1⊥平面AMN ，故平面AMN 的一个法向量为CA 1→＝(2,2,3)．设线段AA 1上存在一点P (2,2，t )，使得C 1P ∥平面AMN ，则C 1P →＝(2,2，t －3)， 因为C 1P ∥平面AMN ，所以C 1P →·CA 1→＝4＋4＋3t －9＝0， 解得t ＝13.所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13， 所以线段AA 1上存在一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13，使得C 1P ∥平面AMN .类型四、利用空间向量求空间角例4、如图3­5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′­BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1) (2)图3­5(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值．[思路探究] (1)利用勾股定理可证A ′O ⊥OD ，A ′O ⊥OE ，从而证得A ′O ⊥平面BCDE ；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．【答案】(1)证明：由题意，得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 如图，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理，得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性，知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ． 同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)如图，过点O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接A ′H .因为A ′O ⊥平面BCDE ，OH ⊥CD ， 所以A ′H ⊥CD ．所以∠A ′HO 为二面角A ′­CD ­B 的平面角． 结合图(1)可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋A ′O 2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155. 所以二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值为155. [规律方法] 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．(3)二面角：如图3­6，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．图3­6[跟踪训练]4．在如图3­7所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB是圆台的一条母线．图3­7(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ． (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F ­BC ­A 的余弦值.【答案】 (1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB ．在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点， 所以HI ∥BC ．又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC ． 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC ．(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC ．又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径， 所以BO ⊥AC ．以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3， 可得F (0，3，3)．11 故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0可得⎩⎨⎧ －23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33.因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝77，所以二面角F ­BC ­A 的余弦值为77.。

空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。

设向量为a=(a1,a2,a3)则其在x轴、y轴、z轴上的投影分别为a1、a2、a3即a=(a1,a2,a3)2）空间向量的模长：向量的模长是指其长度，即a|=√(a1²+a2²+a3²)3）向量的单位向量：一个向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。

设向量a的模长为a|则其单位向量为a/|a|4）向量的方向角：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角分别称为其方向角。

设向量a=(a1,a2,a3)则其方向角为α=cos⁻¹(a1/|a|)、β=cos⁻¹(a2/|a|)、γ=cos⁻¹(a3/|a|)5）向量的方向余弦：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值分别称为其方向余弦。

设向量a=(a1,a2,a3)则其方向余弦为cosα=a1/|a|、cosβ=a2/|a|、cosγ=a3/|a|一、知识要点1.空间向量的概念：在空间中，向量是具有大小和方向的量。

向量通常用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

向量具有平移不变性。

2.空间向量的运算：空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量运算相同。

运算法则包括三角形法则、平行四边形法则和平行六面体法则。

3.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。

共线向量定理指出，空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。

4.共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

5.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。

若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的一个基底，a、b、c叫做基向量。

6.空间向量的直角坐标系：在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

立体几何与空间向量一．空间几何体的体积与表面积：1.简单几何体的侧面积、体积及相关性质： 棱柱、棱锥、台体的表面积：柱体、椎体、台体的侧面积：h c S h c c S ch S '=''+==21,)(21,锥侧台侧柱侧（其中c c ',分 别为上下底面周长，h 为高，h '为斜高或母线长）圆柱的表面积 ：222r rl S ππ+=； 圆锥的表面积：2r rl S ππ+=；圆台的表面积：22R Rl r rl S ππππ+++=（r,R 分别为上下底面圆的半径）； 球的表面积：24R S π=； 扇形的面积：222121360r lr R n S απ===扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度） 空间几何体的体积柱体的体积：h S V ⨯=底；锥体的体积：h S V ⨯=底31； 台体的体积：h S S S S V ⨯+⋅+=)(31下下上上 ；球体的体积：334R V π=。

2.空间几何体直观图斜二测画法要领： 横相等，竖减半，倾斜45°，面积为原来的42，平行关系不变。

3.棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似 相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；4.立体几何中常见模型的性质： 长方体：（1）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a,b,c ，则体对角线长为222c b a ++，全面积为2ab+2abc+2ac ，体积V=abc 。

（2）已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为γβα,,，则有1cos cos cos 222=++γβα或2sin sin sin 222=++γβα。

（3）长方体外接球的直径是长方体的体对角线长222c b a ++。

高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。

接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。

一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。

它与平面向量类似，但存在于三维空间中。

一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。

零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。

单位向量：长度为\（1\）的向量。

二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。

若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第56讲空间向量与立体几何考向预测核心素养考查利用空间向量证明线面关系、求空间角及距离，主要以解答题的形式出现，难度较大.数学运算、数学抽象一、知识梳理1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥αu⊥n⇔u·n＝0 l⊥αu∥n⇔u＝λn平面α，β的法向量分别为n1，n2α∥βn1∥n2⇔n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝03.空间距离(1)点到直线的距离：已知直线l 的单位方向向量为u ，设AP →＝a ，则向量AP →在直线l 上的投影向量AQ →＝(a ·u )u .在Rt △APQ 中，由勾股定理得PQ ＝|AP →|2－|AQ →|2＝a 2－（a ·u ）2.(2)点到平面的距离：设P 为平面α内的一点，n 为平面α的法向量，A 为平面α外一点，点A 到平面α的距离d ＝|PA →·n ||n |.4．空间角(1)两条异面直线所成的角的向量求法设异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别为u ，v ， 则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪u·v |u ||v |＝|u·v||u ||v |.(2)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°；范围：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．②向量求法：直线AB 与平面α相交于B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪u·n |u ||n |＝|u·n||u ||n |．(3)两平面的夹角①定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角．②计算：设平面α，β的法向量分别是n 1，n 2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|．常用结论 1．最小角定理如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.2．线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离． 二、教材衍化1．(多选)(人A 选择性必修第一册P 35练习T 2改编)在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为线段DD 1的中点．F 为线段BB 1的中点．则直线FC 1到平面AB 1E 的距离等于( )A ．点F 到平面AB 1E 的距离 B ．点C 1到平面AB 1E 的距离 C ．直线FC 1到直线AE 的距离D ．点B 1到直线FC 1的距离 答案：AB2．(人A 必修第二册P 147例1改编)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为________．解析：如图所示，连接BD 1交DB 1于点O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝OM 2＋OD 2－DM 22×OM ×OD＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.答案：553．(人A 选择性必修第一册P 41练习T 1改编)二面角α-l -β的棱上有A ，B 两点，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于棱l .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则平面α与平面β的夹角为________．答案：60°一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点A 到平面α的距离是点A 与α内任一点的线段的最小值．( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角．( ) (4)利用|AB →|2＝AB →·AB →可以求空间中有向线段的长度．( ) 答案：(1) √ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏1．(线面角概念理解不清致误)已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝32，则l 与α所成的角为( )A ．30° B.60° C.120°D.150°解析：选B.由于cos 〈m ，n 〉＝32，所以〈m ，n 〉＝30°，所以直线l 与α所成的角为60°.2．(忽视二面角与向量的夹角的范围致误)已知两平面的法向量分别为m ＝(0，1，0)，n ＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为( )A ．45° B.135° C.45°或135° D.90°答案：C3．(线面距离概念不清致误)在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1中点，F 为AB 的中点，则CF 到平面AEC 1的距离为________．答案：66考点一 空间距离(多维探究)复习指导：会用空间向量求解空间中点、线、面之间的距离问题． 角度1 点线距和线线距在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是AB ，C 1D 1，AD ，DD 1的中点．则点A 1到直线EF 的距离为________；直线EF 到直线MN 的距离为________．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.(1)EA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，EF →＝(－1，0，1)，EF →的单位向量u ＝EF →|EF →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，所以点A 1到直线EF 的距离d ＝（EA 1→）2－（EA 1→·u ）2＝54－12＝32.(2)因为MN ∥EF ，所以直线MN 到直线EF 的距离即为点M 到直线EF 的距离． 因为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，所以EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0.又EF →的单位向量u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，所以直线MN 到直线EF 的距离d ＝（EM →）2－（EM →·u ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋14－18＝ 12－18＝64. 【答案】3264角度2 点面距和线面距(链接常用结论2)(2022·日照实验高中月考)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝120°，O 为△ABC 的外心，PO ⊥平面ABC ，且PO ＝62. (1)求证：BO ∥平面PAC ；(2)计算BO 与平面PAC 之间的距离． 【解】(1)证明：如图，连接OC ，因为O 为△ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，又因为AC ＝BC ＝1， 所以△OAC ≌△OBC ，所以∠ACO ＝∠BCO ＝12∠ACB ＝60°，故△OAC 和△OBC 都为等边三角形，可得OA ＝AC ＝CB ＝BO ＝1， 即四边形OACB 为菱形，所以OB ∥AC ； 又AC ⊂平面PAC ，OB ⊄平面PAC ， 所以BO ∥平面PAC . (2)因为BO ∥平面PAC ，所以BO 到平面PAC 的距离即为点O 到平面PAC 的距离，记为d ， 由题意知PA ＝PC ＝PO 2＋OA 2＝64＋1＝102，AC ＝1， 所以S △PAC ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1022－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，S △OAC ＝12×1×1×sin 60°＝34，又因为V P ­OAC ＝V O ­PAC ，所以13×S △OAC ×PO ＝13×S △PAC ×d ，即13×34×62＝13×34×d ，解得d ＝22， 所以BO 与平面PAC 之间的距离为22.空间距离求法(1)点线距的求解步骤：直线的方向向量a →所求点到直线上一点的向量PP ′→及其在直线的方向向量a 上的投影→代入公式．(2)点面距的求解步骤： ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．|跟踪训练|在棱长均为a 的正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D 是侧棱CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1D 的距离为( )A.24a B.28a C.324aD.22a 解析：选A.以A 为空间直角坐标原点，以垂直于AC 的直线为x 轴，以AC 为y 轴，以AA 1为z 轴建立空间直角坐标系．由ABC ­A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点， 故A ()0，0，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，a 2，a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，C 1(0，a ，a )，所以AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，a 2，a ，DC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，a 2，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2 设平面AB 1D 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝3a 2x ＋a 2y ＋az ＝0，n ·AD →＝ay ＋a2z ＝0，取n ＝(3，1，－2)，故点C 1到平面AB 1D 距离d ＝|DC 1→·n ||n |＝a 3＋1＋4＝24a .考点二 空间角(多维探究)复习指导：了解线线角、线面角、面面角的概念并会利用空间向量进行求解． 角度1 用向量求异面直线所成的角(1)如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，AF →＝λAD →，若异面直线D 1E 和A 1F 所成角的余弦值为3210，则λ的值为________． 【解析】 (1)以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，A 1C →＝(0，2，－2)，所以cos 〈AD →，A 1C →〉＝AD →·A 1C →|AD →||A 1C →|＝12，所以〈AD →，A 1C →〉＝π3.故选B.(2)以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系(图略)．正方体的棱长为2，则A 1(2，0，2)，D 1(0，0，2)，E (0，2，1)，A (2，0，0)． 所以D 1E →＝(0，2，－1)，A 1F →＝A 1A →＋AF →＝A 1A →＋λAD →＝(0，0，－2)＋λ(－2，0，0)＝(－2λ，0，－2)．则cos 〈A 1F →，D 1E →〉＝A 1F →·D 1E →|A 1F →|·|D 1E →|＝22λ2＋1·5，所以225·λ2＋1＝3210，解得λ＝13(λ＝－13舍去)．【答案】 (1)B (2)13(1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量v 1，v 2；③代入公式|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|求解．(2)两异面直线所成角的范围是θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．角度2 线面角(2021·高考浙江卷)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ABC ＝120°，AB ＝1，BC ＝4，PA ＝15，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD ⊥DC ，PM ⊥MD .(1)证明：AB ⊥PM ；(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．【解】(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点，所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°，易得CD⊥DM.又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM，所以CD⊥平面PDM.因为AB∥CD，所以AB⊥平面PDM.又PM⊂平面PDM，所以AB⊥PM.(2)方法一：由(1)知AB⊥平面PDM，所以∠NAB为直线AN与平面PDM所成角的余角．连接AM，因为PM⊥MD，PM⊥DC，MD∩DC＝D，所以PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AM.因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，所以由余弦定理得AM＝7，又PA＝15，所以PM＝22，所以PB＝PC＝23，连接BN，结合余弦定理得BN＝11.连接AC，则由余弦定理得AC＝21，在△PAC中，结合余弦定理得PA2＋AC2＝2AN2＋2PN2，所以AN＝15.所以在△ABN中，cos∠BAN＝AB2＋AN2－BN22AB·AN＝1＋15－11215＝156.设直线AN与平面PDM所成的角为θ，则sin θ＝cos∠BAN＝15 6.方法二：因为PM⊥MD，PM⊥DC，所以PM⊥平面ABCD.连接AM，则PM⊥AM.因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2，所以AM ＝7，又PA＝15，所以PM＝2 2.由(1)知CD⊥DM，过点M 作ME∥CD交AD于点E，则ME⊥MD.故可以以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(－3，2，0)，P(0，0，22)，C(3，－1，0)，N(32，－12，2)，所以AN→＝(332，－52，2)．易知平面PDM的一个法向量为n＝(0，1，0)．设直线AN与平面PDM所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈AN→，n〉|＝|AN→·n||AN→|·|n|＝5215＝156.故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为156.求直线与平面所成角的主要方法(1)定义法：利用定义作出直线和平面所成的角，然后在三角形中利用几何方法求解．(2)向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，先求向量夹角进而求出直线和平面所成的角．角度3 利用空间向量求两个平面的夹角(2021·新高考卷Ⅱ改编)在四棱锥Q­ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝5，QC＝3.(1)证明：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求平面BDQ与平面QDA夹角的余弦值．【解】(1)证明：取AD的中点为O，连接QO，CO.因为QA＝QD，OA＝OD，则QO⊥AD，而AD＝2，QA＝5，故QO＝5－1＝2.在正方形ABCD中，因为AD＝2，DO＝1，故CO＝5，因为QC＝3，故QC2＝QO2＋OC2，故△QOC为直角三角形且QO⊥OC.因为OC∩AD＝O，AD，OC⊂平面ABCD，故QO⊥平面ABCD，因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.(2)在平面ABCD内，过O作OT∥CD，交BC于T，则OT⊥AD，结合(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建如图所示的空间直角坐标系．则D(0，1，0)，Q(0，0，2)，B(2，－1，0)，故BQ→＝(－2，1，2)，BD→＝(－2，2，0)．设平面QBD的法向量为n＝(x，y，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BQ →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝12，故n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12.而平面QAD 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， 故cos 〈m ，n 〉＝11×32＝23.所以，所求平面BDQ 与平面QDA 夹角的余弦值为23.用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小．|跟踪训练|(2022·安丘过程性测试)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面MQB ⊥平面PAD ；(2)若平面MBQ 与平面BQC 的夹角为30°，求直线QM 与平面PAD 所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，则QD ∥BC 且QD ＝BC ，所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以CD ∥BQ ， 因为∠ADC ＝90°，所以∠AQB ＝90°，即BQ ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BQ ⊂平面ABCD ， 所以BQ ⊥平面PAD ，因为BQ ⊂平面MQB ，所以平面MQB ⊥平面PAD .(2)因为PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD .因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊂平面PAD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，又因为BQ ⊥AD ，所以以Q 为原点，以QA ，QB ，QP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Q ­xyz ，则Q()0，0，0，A()1，0，0，P()0，0，3，B()0，3，0，C ()－1，3，0，设PM →＝λPC →＝λ()－1，3，－3＝()－λ，3λ，－3λ，其中0≤λ≤1， 所以QM →＝QP →＋PM →＝()0，0，3＋(－λ，3λ，－3λ)＝()－λ，3λ，3－3λ，又QB →＝()0，3，0，设平面MBQ 的法向量为m ＝()x ，y ，z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·QM →＝0，m ·QB →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λx ＋3λy ＋3()1－λz ＝03y ＝0，取x ＝3(1－λ)，得m ＝()3()1－λ，0，λ， 由题意知平面BQC 的一个法向量为n ＝()0，0，1，因为平面MBQ 与平面BQC 的夹角为30°，所以||cos 〈m ，n 〉＝||m ·n ||m ·||n ＝λ4λ2－6λ＋3＝32， 因为0≤λ≤1，解得λ＝34，所以QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，334，34，易知平面PAD 的一个法向量为u ＝()0，1，0，sin θ＝|cos 〈QM →，u 〉|＝|QM →·u |||QM →·||u ＝334394＝31313.所以QM 与平面PAD 所成角的正弦值为31313.[A 基础达标]1．(2022·江淮名校阶段检测)已知平面α的一个法向量是m ＝(－2，－1，2)，点A (3，4，－1)是平面α内的一点，则点P (1，2，－1)到平面α的距离是( )A ．1 B.322C.2D.2 2解析：选C.因点A (3，4，－1)是平面α内的一点，而P (1，2，－1)，则AP →＝(－2，－2，0)，又平面α的一个法向量是m ＝(－2，－1，2)，所以点P 到平面α的距离d ＝|m ·AP →|||m ＝|4＋2|4＋1＋4＝2.2．(2022·上海一模)如图，点A ，B ，C 分别在空间直角坐标系O ­xyz 的三条坐标轴上，OC →＝(0，0，2)，OA →＝(1，0，0)，OB →＝(0，2，0)，设平面CAB 与平面ABO 的夹角为θ，则cos θ＝( )A.63B.66C.24D.34解析：选 B.因为OC →＝(0，0，2)，OA →＝(1，0，0)，OB →＝(0，2，0)，所以AB →＝(－1，2，0)，AC →＝(－1，0，2)，设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB →·n ＝0即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝0，－x ＋2y ＝0，取n ＝(2，1，1)，又因为平面ABO 的法向量为OC →＝(0，0，2)， 所以cos θ＝|OC →·n ||OC →|·|n |＝22×6＝66，故选B.3.(多选)如图，三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝2，BC ＝23，AC ＝4，A 到平面PBC 的距离为455，则( ) A ．PA ＝4B ．三棱锥P ­ABC 的外接球的表面积为32π C ．直线AB 与直线PC 所成角的余弦值为216D ．AB 与平面PBC 所成角的正弦值为255解析：选ABD.因为AB ＝2，BC ＝23，AC ＝4， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2，即AB ⊥BC ， 又因为PA ⊥平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，设AP ＝a ，根据等体积法V P ­ABC ＝V A ­PBC ，即13×12×2×23×a ＝13×12×23×a 2＋4×455，解得a ＝4，所以AP ＝a ＝4，故A 选项正确；所以三棱锥P ­ABC 的外接球的半径与以BC ，BA ，AP 为邻边的长方体的外接球的半径相等，所以三棱锥P ­ABC 的外接球的半径为22，所以三棱锥P ­ABC 的外接球的表面积为32π，故B 选项正确； 过点B 作PA 的平行线BD ，则BD ⊥平面ABC ，所以以点B 为坐标原点，BC ，BA ，BD 所在边分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B (0，0，0)，C (23，0，0)，A (0，2，0)，P (0，2，4)， 所以AB →＝(0，－2，0)，PC →＝(23，－2，－4)， 所以cos 〈AB →，PC →〉＝AB →·PC →|AB →||PC →|＝42×42＝24，所以直线AB 与直线PC 所成角的余弦值为24，故C 选项错误；因为BC →＝(23，0，0)，BP →＝(0，2，4)， 设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP →＝0，m ·BC →＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－2z ，令z ＝1，所以m ＝(0，－2，1)，由于AB →＝(0，－2，0)， 故设AB 与平面PBC 所成角为θ， 则sin θ＝||cos 〈m ，AB →〉＝||AB →·m |m |·|AB →|＝42×5＝255， 所以AB 与平面PBC 所成角的正弦值为255，故D 选项正确．4.如图所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为________．解析：如图，以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D 1(0，0，1)，E (1，1，0)，A (1，0，0)，C (0，2，0)． 则D 1E →＝(1，1，－1)，AC →＝(－1，2，0)，AD →1＝(－1，0，1)． 设平面ACD 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝－a ＋2b ＝0，n ·AD →1＝－a ＋c ＝0，取a ＝2，得n ＝(2，1，2)，所以点E 到平面ACD 1的距离h ＝|D 1E →·n ||n |＝|2＋1－2|3＝13.答案：135.如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，E 是CC 1的中点．(1)求直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值； (2)求点C 到平面A 1BE 的距离．解：(1)由AA 1⊥平面ABC ，则在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ， 由AC ，BC ⊂平面ABC ，故CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，又∠ACB ＝90°，所以CC 1，AC ，BC 两两垂直，故可构建以C 为原点，CA →，CB →，CC 1→为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系(图略)，所以B (0，2，0)，E (0，0，1)，A 1(2，0，2)，C 1(0，0，2)，则BC 1→＝(0，－2，2)，BE →＝(0，－2，1)，EA 1→＝(2，0，1)，若m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，则⎩⎨⎧－2y ＋z ＝0，2x ＋z ＝0，令z ＝2，有m ＝(－1，1，2)，所以|cosBC →1，m|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC 1→·m |BC 1→||m |＝222×6＝36，故直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值为36. (2)由V C ­A 1BE ＝V A 1­BCE ，由(1)易知S △BCE ＝12CE ·BC ＝1，A 1到面BCE 的距离为A 1C 1＝2，若C 到平面A 1BE 的距离为d ，又EA 1＝BE ＝5，BA 1＝23，则S △A 1BE ＝12×23×5－3＝6，由13d ·S △A 1BE ＝13A 1C 1·S △BCE ，可得d ＝63. 所以点C 到平面A 1BE 的距离为63. 6.如图，在三棱锥P ­ABC 中，△PAC 是正三角形，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，D 是AB 的中点．(1)求证：AC ⊥PD ；(2)若AC ＝BC ＝PD ＝2，求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值．解：(1)证明：取AC 中点O ，连接OP ，OD ，因为OD ∥CB ，AC ⊥CB ，所以AC ⊥OD ， △PAC 为正三角形，所以PO ⊥AC ，⎭⎬⎫AC ⊥ODAC ⊥PO PO ∩OD ＝O ⇒AC ⊥平面POD ，PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . (2)由(1)及PD 2＝PO 2＋OD 2，知OA ，OP ，OD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：O (0，0，0)，A (1，0，0)，D (0，1，0)，C (－1，0，0)，P (0，0，3)，PC →＝(－1，0，－3)，PA →＝(1，0，－3)，PD →＝(0，1，－3)，设平面PAB 法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PA →＝0n ·PD ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －3z ＝0，y －3z ＝0，令z ＝1, n ＝(3，3，1)，所以sin θ＝|cosPC →，n|＝|PC →·n ||PC →|·|n |＝|－3－3|2×7＝217.即直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为217. [B 综合应用]7.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD, EF ∥AB ，∠BAF ＝90°，AD ＝ 2，AB ＝AF ＝2EF ＝1，点P 在棱DF 上．(1)若P 是DF 的中点， ①求证：BF ∥ 平面ACP ；②求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； (2)若平面DAP 与平面APC 夹角的余弦值为63，求PF 的长度． 解：(1)①证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP . 因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点， 所以OP 为三角形BDF 中位线， 所以BF ∥OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ， 所以BF ∥ 平面ACP . ②因为∠BAF ＝90°， 所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ， 且平面ABEF ∩平面ABCD ＝ AB ，AF ⊂平面ABEF ， 所以AF ⊥平面ABCD ， 因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A ­xyz .所以B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，C (1，2，0)．所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1，CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12，所以cos 〈BE →，CP →〉＝BE →·CP →|BE →|·|CP →|＝4515， 即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为4515.(2)因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APD 的法向量为n 1＝(1，0，0)． 设P 点坐标为(0，2－2t ，t )(0<t <1)，在平面APC 中，AP →＝(0，2－2t ，t )，AC →＝(1，2，0)， 设平面APC 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AP →＝（2－2t ）y ＋tz ＝0，n 2·AC →＝x ＋2y ＝0，取y ＝1，则x ＝－2，z ＝2t －2t，得平面APC 的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，2t －2t ， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝2（－2）2＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫2t －2t 2＝63， 解得t ＝23或t ＝2(舍)．所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，23，所以PF 的长度|PF |＝（0－0）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＝53.[C 素养提升]8.如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时，求线段BQ 的长． 解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz .则各点的坐标为B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)， A (0，0，0)．(1)因为AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)． 因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)．设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0， 即⎩⎨⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1， 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量， 从而|cos 〈AD →，m 〉|＝|AD →·m ||AD →|·|m |＝33.所以平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值为33. (2)因为BP →＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)． 又CB →＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)． 又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →|·|DP →|＝1＋2λ10λ2＋2，设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010，因为y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值，又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.。

第三章空间向量与立体几何1空间直角坐标系........................................................................................................ - 1 -1.1点在空间直角坐标系中的坐标..................................................................... - 1 -1.2空间两点间的距离公式................................................................................. - 6 -2空间向量与向量运算.............................................................................................. - 10 -2.1从平面向量到空间向量............................................................................... - 10 -2.2空间向量的运算(一) .................................................................................... - 10 -2.2空间向量的运算(二) .................................................................................... - 14 -2.2空间向量的运算(三) .................................................................................... - 18 -3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算.......................................................... - 23 -3.1空间向量基本定理....................................................................................... - 23 -3.2空间向量运算的坐标表示及应用............................................................... - 26 -4向量在立体几何中的应用...................................................................................... - 31 -4.1直线的方向向量与平面的法向量............................................................... - 31 -4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系................................................... - 34 -4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系................................................... - 42 -第1课时空间中的角................................................................................ - 42 -第2课时空间中的距离问题.................................................................... - 47 - 5数学探究活动(一)：正方体截面探究 ................................................................... - 52 -1空间直角坐标系1.1点在空间直角坐标系中的坐标1．空间直角坐标系的建立(1)空间直角坐标系：过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：x轴、y轴和z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz．(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直．②四指先指向x轴正方向．③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向．④大拇指的指向即为z轴正方向．(3)有关名称如图所示，①O叫作原点．②x，y，z轴统称为坐标轴．③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面．x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用唯一的一个三元有序实数组来刻画．(2)三元有序实数组(x，y，z)叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x，y，z)．x叫作点P的横坐标，y叫作点P的纵坐标，z叫作点P的竖坐标．(3)空间直角坐标系中：点与三元有序实数组一一对应．如何确定空间中点P坐标？[提示]过点P分别向坐标轴作垂面，与三条坐标轴分别交于A、B、C，若点A、B、C的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．疑难问题类型1根据点的坐标确定点的位置【例1】在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．[思路点拨]可以先确定点(2，－6，0)在xOy平面的位置，再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置．[解]法一：先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M 的位置了(如图所示)．法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置．2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|、|y0|、|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0、y0、z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．类型2已知点的位置写出点的坐标【例2】已知棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′，建立如图所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．(1)(2)[思路点拨](1)可先写出A，B，C，D的坐标，再结合正方体的性质得出A′，B′，C′，D′的坐标；(2)可先写出A′，B′，C′，D′的坐标，再结合正方体的性质得出A，B，C，D 的坐标．[解](1)因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，正方体的棱长为1，所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)．因为B点在xDy平面上，所以B(1，1，0)．同理，A ′(1，0，1)，C ′(0，1，1)．因为B ′B 垂直于xDy 平面且与z 轴正半轴在xDy 平面同侧，且|B ′B |＝1，所以B ′(1，1，1)．(2)因为D ′是坐标原点，A ′，C ′分别在x 轴， y 轴的正半轴上，D 在z 轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，所以A ′(1，0，0)，C ′(0，1，0)，D (0，0，－1)，D ′(0，0，0)．同(1)得B ′(1，1，0)，A (1，0，－1)，C (0，1，－1)，B (1，1，－1)．1．已知点M 的位置，求其坐标的方法作MM ′垂直平面xOy ，垂足为M ′，求M ′的x 轴坐标，y 轴坐标，即点M 的x 轴坐标，y 轴坐标，再求M 点在z 轴上射影的z 轴坐标，即点M 的z 轴坐标，于是得到M 点坐标(x ，y ，z )．2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x ，y ，z ∈R ． 分类坐标轴 坐标平面 x 轴 y 轴 z 轴 xOy 平面 yOz 平面 xOz 平面 坐标形式 (x ，0，0) (0，y ，0) (0，0，z )(x ，y ，0) (0，y ，z ) (x ，0，z )类型3 空间中点的对称问题[探究问题]1．类比平面直角坐标系中，线段的中点坐标公式，空间直角坐标系中，线段的中点坐标公式是什么？[提示] 若A ()x 1，y 1，z 1，B ()x 2，y 2，z 2，则线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22． 2．类比平面直角坐标系中，三角形的重心坐标公式，空间直角坐标系中，三角形的重心坐标公式是什么？[提示] 若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)，则△ABC 的重心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，z 1＋z 2＋z 33． 关于点对称【例3】 点M ()x 0，y 0，z 0关于点(a ，b ，c )的对称点的坐标为________．[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题来求解，其中线段的对称中心是线段的中点．(2a －x 0，2b －y 0，2c －z 0) [由中点坐标公式得，点M (x 0，y 0，z 0)关于点(a ，b ，c )的对称点的坐标为M ′(2a －x 0，2b －y 0，2c －z 0)．]关于坐标轴对称【例4】 求点M (a ，b ，c )关于坐标轴的对称点的坐标．[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．[解] 关于x 轴的对称点M 0的坐标为(a ，－b ，－c )，关于y 轴的对称点M 1的坐标为(－a ，b ，－c )，关于z 轴的对称点M 2的坐标为(－a ，－b ，c )．关于坐标平面对称【例5】 求点M (a ，b ，c )关于坐标平面的对称点的坐标．[思路点拨] 从分析对称点的性质入手．[解] 点M 关于xOy 平面的对称点M 1的坐标为(a ，b ，－c )，关于xOz 平面的对称点M 2的坐标为(a ，－b ，c )，关于yOz 平面的对称点M 3的坐标为(－a ，b ，c )．1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．归纳总结1．确定空间定点M的坐标的步骤(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R．(2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z．(3)得出点M的坐标为(x，y，z)．2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q、R．(2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．(3)三个平面的唯一交点就是M．3．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是①要根据图形对称性建立空间直角坐标系；②要使尽量多的点落在坐标轴上．1.2空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式(1)在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)与原点间的距离|OP|＝x2＋y2＋z2．(2)空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)之间的距离|PQ|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2．方程x2＋y2＋z2＝1表示什么图形？[提示]以坐标原点为圆心，1为半径的球面．疑难问题类型1求空间中两点间的距离【例1】如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．[解]以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式，可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝6．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：类型2由距离公式求空间点的坐标【例2】已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|P A|＝|PB|，则点P的坐标为________．(0，0，6)[设P(0，0，z)，由|P A|＝|PB|，得(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z )2＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z )2，解得z ＝6．∴点P 的坐标为(0，0，6)．]1．若本例中“在z 轴上”改为“在y 轴上”，其他条件不变，结论又如何？[解] 设P (0，y ，0)，由|P A |＝|PB |，得(4－0)2＋(5－y )2＋(6－0)2＝(－5－0)2＋(0－y )2＋(10－0)2，解得y ＝－245．∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－245，0． 2．求到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] 因为点P (x ，y ，z ) 到A ，B 的距离相等，所以(x －4)2＋(y －5)2＋(z －6)2＝(x ＋5)2＋(y －0)2＋(z －10)2．化简得9x ＋5y －4z ＋24＝0，因此，到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是9x ＋5y －4z ＋24＝0．1．空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，而平面上两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例．2．到A ，B 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )构成的集合就是线段AB 的中垂面，P 是线段AB 的中垂面与z 轴的交点．类型3 距离公式的应用【例3】 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，求|PQ |的最小值．。

高中数学知识点总结空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算〔1〕空间向量的根本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

②空间向量根本定理：ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。

ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。

ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。

ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

③共线向量〔平行向量〕：ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。

ⅱ规定：零向量与任意向量共线；ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。

④共面向量：ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。

ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，那么说向量平行于平面α，记作。

平行于同一平面的向量，也是共面向量。

ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。

ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。

ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。

⑤空间两向量的夹角：两个非零向量、，在空间任取一点O，作，〔两个向量的起点一定要相同〕，那么叫做向量与的夹角，记作，且。

⑥两个向量的数量积：ⅰ定义：空间两个非零向量、，那么叫做向量、的数量积，记作，即：。