山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2019-2020学年高二下学期期中数学(文)试题

2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。

2019-2020学年山西省朔州市怀仁一中云东校区高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝，则C＝（）A．B．C．D．2．在△ABC中，tan A+tan B+＝tan A tan B，则C等于（）A．B．C．D．3．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且＝，则点P的坐标为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣8，1）C．（1，）D．（8，﹣1）4．在半径为15cm的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（）A．5B．5πC．D．5．已知，且0≤α＜π，那么tanα等于（）A．B．C．D．6．已知sin（α﹣）＝，则cos（α+）＝（）A．B．C．﹣D．﹣7．已知，，，若，则＝（）A．（1，）B．C．D．8．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝cos2xC．y＝sin（2x+）D．y＝sin（2x﹣）9．已知向量、的夹角为60°，且||＝2，||＝1，则向量与向量+2的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°10．函数y＝﹣sin（2x+）的图象可看成是把函数y＝﹣sin2x的图象做以下平移得到（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移11．函数y＝sin（﹣2x）的单调增区间是（）A．，]（k∈z）B．，]（k∈z）C．，]（k∈z）D．，]（k∈z）12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，则△ABC的面积为（）A．3B．C．D．3二、填空题（每题5分，共20分。

）13．已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|﹣3|等于．14．函数f（x）＝3sin（2x﹣）在区间[0，]上的值域为．15．函数y＝sin2x+cos2x的最小正周期为．16．在△ABC中，BC＝x，AC＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是．三、解答题（本大题共6道题，共70分。

2019~2020学年山西省高二下学期期中联合考试数学（理科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教A 版必修1，3，4，5占30%，必修2，选修2-1，2-2，2-3的第一章占70%.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|A x y ==，{}2|3100B x x x =--<，则A B =（ ）A. [)3,5B. (]5,3-C. (]3,5D. ()5,3--2. 已知复数z 满足()23311i z i -=-+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++<，则a ，b ，c 三个数一定（ ） A. 都小于0 B. 都不大于0 C. 至少有1个小于0D. 至多有1个小于04. 二项式n的展开式中第13项是常数项，则n =（ ）A. 18B. 21C. 20D. 305. 运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A. 4?k <B. 5?k <C. 6?k <D. 7?k <6. 若球O 是圆锥M 的内切球，且圆锥M 的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球O 的体积为（ ）A.43π B.C. D.49π 7. 函数2()4cos ()20,2f x x πωϕωωϕ⎛⎫=-->< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则“4πϕ=”是“()f x 为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（ ） A.23B.13C.12D.569. 人的正常体温在36.3C ︒至37.2C ︒之间，下图是一位病人在治疗期间的体温变化图.现有下述四个结论： ①此病人已明显好转；②治疗期间的体温极差小于3C ︒；③从每8小时的变化来看，25日0时~8时体温最稳定；④从3月22日8时开始，每8小时量一次体温，若体温不低于38.5C ︒就服用退烧药，根据图中信息可知该病人服用了3次退烧药.其中所有正确结论的编号是（ ） A. ③④B. ②③C. ①②④D. ①②③10. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，939S =，则6S =（ ） A. 24或-16B. 18或-3C. 12或-9D. 36或-1211. 已知双曲线C ：22221(0)y x a b a b-=>>，过其焦点F 的直线与该双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，以OB 为直径的圆过A 点，且OAB △的内切圆半径为23b，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.2 D.212. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，对任意的实数x 都有()()2'x f x f x e +=-，且302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若函数()y f x a =-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 252,e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B. 522,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 522,e -⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 522,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上. 13. 若复数3()12aia R i-∈-是纯虚数，则2a i +=______. 14. 已知数列{}n a 为等差数列，756a a -=，1124a =，若75m S =，则m =______.15. 设()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线C ：()220x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______.16. 某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有______种. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()3,m a c b =-，()cos ,cos n B C =-，且m n ⊥.（1）求sin B 的值；（2）若2b =，ABC △ABC △的周长. 18. 已知函数()321f x x bx cx =++-的图象在()()1,1f 处的切线经过点()2,4，且()f x 的一个极值点为-1.（1）求()f x 的极值；（2）已知方程()0f x m -=在[]2,2-上恰有一个实数根，求m 的取值范围.19. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，120ADC ∠=︒，M 是AD 的中点.（1）证明：BM ⊥平面11ADD A ；（2）若2AB =，13AA =，求二面角11C BM A --的正弦值. 20. 已知0x >，0y >，且()ln ln 2ln 0x y x y +--=. （1）证明：271232x y +≥。

2019-2020学年山西省高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知实数a，b，c满足，则a，b，c三个数一定A. 都小于0B. 都不大于0C. 至少有1个小于0D. 至多有1个小于04.二项式的展开式中第13项是常数项，则A. 18B. 21C. 20D. 305.运行如图所示的程序框图，若输出S的值为129，则判断框内可填入的条件是A. ？B. ？C. ？D. ？6.若球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球O的体积为A. B. C. D.7.函数的最小正周期为，则“”是“为奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为A. B. C. D.9.人的正常体温在至之间，下图是一位病人在治疗期间的体温变化图．现有下述四个结论：此病人已明显好转；治疗期间的体温极差小于；从每8小时的变化来看，25日0时时体温最稳定；从3月22日8时开始，每8小时量一次体温，若体温不低于就服用退烧药，根据图中信息可知该病人服用了3次退烧药．其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.10.已知等比数列的前n项和为，若，，则A. 24或B. 18或C. 12或D. 36或11.已知双曲线C：，过其焦点F的直线与该双曲线的两条渐近线的交点分别为A，B，以OB为直径的圆过A点，且的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.12.已知是函数的导函数，对任意的实数x都有，且，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数是纯虚数，则______．14.已知数列为等差数列，，，若，则______．15.设，是抛物线C：上不同的两点，线段AB的垂直平分线为，若，则______．16.某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有______种．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，，且．求sin B的值；若，的面积为，求的周长．18.已知函数的图象在处的切线经过点，且的一个极值点为．求的极值；已知方程在上恰有一个实数根，求m的取值范围．19.如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，M是AD的中点．证明：平面；若，，求二面角的正弦值．20.已知，，且．证明：．证明：．21.设点M和N分别是椭圆C：上不同的两点，线段MN最长为4．求椭圆C的标准方程；若直线MN过点，且，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值范围．22.已知函数．当时，求的最值；当时，记函数的两个极值点为，，且，求的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：因为或，，所以．故选：A．求出集合A，B，由此能求出本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：因为，，在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B．先化简所求复数，根据复数的几何意义，即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算即可得到结论．3.答案：C解析：解：由于，若3个数都大于等于0，则，矛盾，则a，b，c至少有1个小于0．故选：C．若3个数都大于等于0，则矛盾，由此得解a，b，c至少有1个小于0．本题为反证法的应用，正确推理是解决问题的关键，属基础题．4.答案：D解析：解：二项式的展开式中第13项，令，得，故选：D．先通项公式求出二项式展开式的第13项，再令该项x的幂指数等于0，即可求得n的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，；，；，；，；，；，，此时输出S，即判断框内可填入的条件是“？”．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：解：设球O的半径为r，则，得，故球O的体积，故选：B．利用圆锥的轴截面，转化求解内切球的半径，然后求解球的体积即可．本题考查圆锥的内切球的体积去的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．7.答案：A解析：解：因为，所以，所以，所以．令，则，又因为，所以．若为奇函数，则．“”是“为奇函数”的充分不必要条件．故选：A．化简，最小正周期为，可得，解得，可得令，根据，解得，进而判断结论．本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C．由题意可知，可能的比赛为aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中田忌可以获胜的事件为aB，aC，bC，共3种，则齐王的马获胜的概率．故选：A．记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，利用列举法能求出齐王的马获胜的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：D解析：解：从治疗过程看，此病人已明显好转；正确；治疗期间体温最高为，最低略高于，极差小于；正确；从每8小时的变化来看，25日0时时最稳定；正确；有2次不低于，可知服用2次退烧药．不正确；故选：D．根据题干条件和观察图象，逐一进行判断即可．本题考查了命题真假的判断，根据条件，结合图象，观察并做出判断，考查了学生的分析解决问题的能力，属于基础题．10.答案：C解析：解：因为为等比数列，所以，，仍成等比数列．设，则，解得或．故选：C．由已知结合等比数列的性质可知，，仍成等比数列，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．11.答案：B解析：解：不妨设直线AB过双曲线的上焦点，如图，设内切圆的圆心为D，直线AB与圆D切于点M，渐近线OA与圆D切于点N．以OB为直径的圆过A点，．又，且，四边形DMAN为正方形，且．双曲线C的渐近线OA的斜率，，双曲线的焦点到渐近的距离，，．又，，，．故选：B．设直线AB过双曲线的上焦点，内切圆的圆心为D，直线AB、渐近线OA与圆D分别相切于点M、N，易证得四边形DMAN为正方形，且因为双曲线C的渐近线OA的斜率，所以，而双曲线的焦点F到渐近的距离，所以，又，化简可得，所以离心率．本题考查双曲线的性质，还有简单的平面几何知识，考查学生的数形结合能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.答案：D解析：解：设函数，则，因为，即，所以，因为，则，由，则，，在上单调递减，在上单调递增，，且当时，，当时，与有两个交点，所以实数a的取值范围是，故选：D．问题转化为和有2个交点的问题，设函数，求出的解析式，根据函数的单调性，求出的最值，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：解析：解：为纯虚数，，即，．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．14.答案：10解析：解：由，可知，由，得，所以，解得或舍去．故答案为：10．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：由题知，，，两式相减得，，线段AB的垂直平分线为，直线AB的斜率，，．故答案为：．由题知，，，两式相减整理后可得，显然直线AB的斜率，而，代入即可求出p的值．本题考查抛物线的性质，运用点差法是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．16.答案：68解析：解：根据题意，设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，若甲乡镇派遣三名医生，则共有种方案；若甲乡镇派遣四名医生，则共有种方案；若甲乡镇派遣五名医生，则共有种方案．综上可得，不同的派遣方案有种．故答案为：68根据题意，设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，按甲乙乡镇派遣医生的数目不同分3种情况讨论，求出每种情况下选派方案的数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．17.答案：解：由，所以，由正弦定理可得，即；又，所以；又，所以，所以；又，所以．根据余弦定理可知，所以，即；又的面积为，所以，解得，所以，解得；所以的周长为．解析：根据平面向量的数量积和正弦定理，利用三角恒等变换，即可求得cos B和sin B的值；根据余弦定理和的面积公式，即可求出的值，得出的周长．本题考查了平面向量和余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．18.答案：解：，，的图象在处的切线方程为．该切线经过点，，即．又的一个极值点为，．由可知，，故，令，得或．当x变化时，，的变化情况如下表：x00单调递增极大值单调递减极小值单调递增故，．方程在上恰有一个实数根，函数的图象与直线在上恰有一个交点．，，结合函数的图象，可得．解析：求出导函数求出切线的斜率，切点坐标，得到切线方程，求出极值点，判断导函数的符号，推出结果即可．方程在上恰有一个实数根，推出函数的图象与直线在上恰有一个交点．利用零点判断定理推出结果即可．本题考查函数的导数的应用切线方程的求法，以及函数的极值的求法，函数的零点判断定理的应用，是中档题．19.答案：证明：，，是等边三角形，是AD的中点，．四棱柱是直四棱柱，平面ABCD．平面ABCD，．，且平面，平面，平面．解：取的中点N，则，由知，直线MA，MB，MN两两相互垂直，如图，以M为原点，分别以MA，MB，MN所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则0，，，0，，，，，．设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，可得．设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，可得．，从而，即二面角的正弦值为．解析：推导出是等边三角形，从而平面进而由此能证明平面．取的中点N，则，由知，直线MA，MB，MN两两相互垂直，以M为原点，分别以MA，MB，MN所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出二面角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：证明：正数x，y满足，，，即．，当且仅当，即，时取等号，；，，欲证，即证，即要证，只需证．，只要证，即证，即证，，，即，故显然成立，从而原不等式得证．解析：由已知等式可得再由，展开后利用基本不等式求最值，则原不等式得证；利用分析法证明，即要使成立，最后需要成立，再由，结合已知求得的，可得，得到成立，问题得证．本题考查不等式的证明，训练了利用基本不等式求最值，考查利用分析法证明不等式，是中档题．21.答案：解：因为线段MN最长为4，所以，即，所以椭圆C的标准方程为．由题意知，直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为，联立，整理得，由，可得．设，，则，，所以．因为，所以，即，故．设直线OP的斜率为，因为，两式相减得，所以，则，故直线OP的斜率的取值范围是．解析：当线段MN为长轴时，其长度最长，所以，，于是可得椭圆C的标准方程；直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为，将其与椭圆的方程联立可得，由解得，写出韦达定理，并求得，因为，所以，又解得，故然后设直线OP的斜率为，利用点差法可得，由即可求出直线OP斜率的取值范围．本题考查直线与椭圆的位置关系，用到了曲线与直线联立、点差法和平面向量数量积的坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．22.答案：解：当时，函数的定义域为，，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，无最大值．当时，，．因为，是方程的两个不等实根，所以，，因此．令，则，因为，所以．令，，则，在上恒成立，所以在上单调递减，故．即的最大值为．解析：当时，函数的定义域为，，令，得x，利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．当时，，由，是方程的两个不等实根，可得，，计算利用表示，令，则，利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法、换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

山西省朔州市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·哈尔滨期末) “余弦函数是偶函数，是余弦函数，因此是偶函数”，以上推理（）A . 结论正确B . 小前提不正确C . 大前提不正确D . 全部正确2. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 复数的共轭复数是（）A .B .C .D .3. （2分）设曲线在点处的切线方程为，则（）A .B .C .D .4. （2分）在整数集Z中，被5除所得余数为K的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2013∈[3]；②－2∈[2]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④当且仅当“a－b∈[0]”整数a，b属于同一“类”．其中，正确结论的个数为（）．A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2020高二下·浙江期中) 现某路口对一周内过往人员进行健康码检查安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有（）A . 1440种B . 1400种C . 1320种D . 1200种6. （2分）设，（i为虚数单位），则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分） (2019高二上·昌平月考) 定积分的值为（）A .C . eD .8. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人参加某项活动，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的方法有（）A . 18种B . 12种C . 432种D . 288种9. （2分）设，则是的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分）(2017·襄阳模拟) 70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏．这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N，并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成3N+1；如果是个偶数，则下一步变成．不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入．为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1．准确地说，是无法逃出落入底部的4﹣2﹣1循环，永远也逃不出这样的宿命．这就是著名的“冰雹猜想”．按照这种运算，自然数27经过十步运算得到的数为（）A . 142B . 71C . 21411. （2分） (2016高二上·怀仁期中) 如图，在三棱锥S﹣ABC中，G1 ， G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是（）A . 相交B . 平行C . 异面D . 以上都有可能12. （2分） (2019高一上·双鸭山期中) 函数的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·闵行模拟) 如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为________．14. （1分） (2019高二下·吉林期末) 某技术学院为了让本校学生毕业时能有更好的就业基础，增设了平面设计、工程造价和心理咨询三门课程.现在有6名学生需从这三门课程中选择一门进修，且每门课程都有人选，则不同的选择方法共有________种（用数学作答）.15. （1分） (2018高一下·湖州期末) 若锐角的面积为，，，则BC边上的中线AD的长是________．16. （1分） (2019高二下·吉林期末) 若是函数的极值点，则在上的最小值为________.三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2019高二下·宁夏月考) 实数取什么数值时，复数分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数的点在复平面的第四象限？18. （5分） (2020高一下·河北期中) 已知函数，g(x)＝2x2－4x－16，（1）求不等式的解集；（2）若对一切，均有成立，求实数m的取值范围．19. （5分）有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？（1）甲得4本，乙得3本，丙得2本；（2）一人得4本，一人得3本，一人得2本；（3）甲、乙、丙各得3本．20. （15分）用0，1，2，3，4，5这六个数字（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？21. （5分）(2020·鄂尔多斯模拟) 已知函数 .（1）求在区间上的零点个数（其中为的导数）；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.22. （5分）用数学归纳法证明等式．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、。

山西省朔州市怀仁市第一中学2019-2020学年高二数学下学期第一次月考试题 理（含解析）一，选择题（60分）2i 31.复数z=— 的虚部为1 + i A. -1 C. -i【答案】A 【解析】【分析】 化简复数得到答案.2i 3-2i【详解】z=—=—1+i 1+i2虚部为T 故答案选A【解析】 由题意可得:/(« + !)-/(«)本题选择D 选项.3. 把5本不同的书分给3名同学，每人至少一本，不同的分法有（ A. 54B. 60C. 90D. 150B. 1 D. i【点睛】本题考查了复数的代数运算, 考查计算能力，属于简单题型.2.设 f{n) =1 ----- 1 -- -- T2 3A. ------- 3〃+ 2 1 1B.3/7 一 1那么 /■(/?+!)-A/?)等于(3n 3〃 + l C. ------- 1 -----3M + 1 3〃+ 2D. 1 —+ 3nH ------3〃 + l 3〃+ 2【答案】D= -- 1 ---- 1 --- 3n 3n + l 3n + 23(n + l)-l1+ .••+ -----3n-l【答案】D【解析】【分析】先将5本不同书分成3组，有两种情况:1、1、3和1、2、2.再将三组全排列分给3名同学即可.【详解】将5本不同的书分成3组,有两种情况：1、1、3和1、2、2.C5C4C3 5x4x1 小当分组为1、1、3时，除去重复，共有 5 3 =—— = 10组冷2u 4x3 ,厂1厂2厂2 5x ---- x l当分组为1、2、2时，除去重复的，共有— 2 ―广组Aj _ 2 -将分好的三组全排列后，总的不同分法有(10 + 15)A； =150种故答案为:D【点睛】本题考查了排列组合的实际应用，分类与分步计数原理的应用，注意除去重复的排列，属于中档题.4.已知f '(x)为函数f(x) = ax-blnx的导函数，且满足f '(1) = 0, / '(-1) = 2 ,则f ,(2)=()4 14A. 1B. ----C. —D.—3 2 3【答案】C【解析】分析】b根据题意，求得f\x) = a ——,代入《T(l)，«r(—1)，解得1 =人=1,代入x二2求值即可.x【详佥牟】由f(x) = a―― , W f '(l) = a-b = QJ (-l) = a + b = 2 , W a = b = l ,得xf'⑴=1-上，得f'(2) =，.x 2故答案为C.【点睛】本题考查函数的求导公式及运算能力，属于基础题.5.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数。

一、单选题山西省朔州市怀仁市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（文）试题1. 复数（）A ．B ．C ．D ．2. 中心在原点，焦点在 轴上， 若长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3.设、分别是椭圆的左、右焦点，是第一象限内该椭圆上的一点，且，则点的横坐标为A ．B ．C ．D ．4. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．-=1B ．-=1C ．-=1D ．-=15. 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，为的准线上一点，则的面积为（）A．18B．24C．36D．486. f′(x)是函数f(x)＝ x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（）A．0B．3C．4D．－7. 与直线平行的抛物线的切线方程为（）A．B．C．D．8. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为A．（1,1]B．（0,1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）9. 根据如下样本数据x345678y 4.0 2.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为=x+，则（）A．>0，<0B．>0，>0C．<0，<0D．<0，>010. 对于平面和共面的直线，，下列命题是真命题的是A．若，与所成的角相等，则B．若，，则C．若，，则二、填空题三、解答题D ．若，，则11. 命题“如果数列的前n 项和，那么数列一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定12. 对于R 上可导的任意函数，若满足则必有（ ）A ．B ．C ．D ．13. 已知复数z 满足，为虚数单位，则复数_________14.过椭圆（）的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若，则该椭圆的离心率为________.15. 已知在时有极值0，则的值为______．16. 若抛物线（）的准线经过双曲线的一个焦点，求的值．17. 已知函数.（1）求函数导数；（2）求函数的单调区间.18. 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.(1)请完成上面的列联表；（把列联表自己画到答题卡上）(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式：P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.63519. 已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图.（1）求的值；（2）求，，的值.20. 给出双曲线.（1）求以为中点的弦所在的直线方程；（2）若过点的直线l与所给双曲线交于，两点，求线段的中点P的轨迹方程.21. 已知，函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程．（Ⅱ）求在区间上的最小值．。

山西省朔州市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·清流期中) 设f（x）是可导函数，且则 =（）A .B . ﹣1C . 0D . ﹣22. （2分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·龙江月考) 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .4. （2分）(2017·资阳模拟) 双曲线E：﹣ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（）A .B .C . 2D . 35. （2分） (2016高二下·信宜期末) 双曲线 =1的焦距是（）A . 4B . 2C . 6D . 与m有关6. （2分）已知f（x）=x3+x2f′（1），则f′（2）=（）A . 0B . 1C . 2D . 37. （2分） (2016高二上·江北期中) 设F1（﹣c，0）、F2（c，0）是椭圆 =1（a＞b＞0）的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF1F2=5∠PF2F1 ，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， A,B是C上两点，，∠BAF2=90°，则椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .9. （2分）设定点与抛物线上的点P的距离为， P到抛物线准线l的距为，则取最小值时，P点的坐标为（）A .B .C .D .10. （2分）(2018·衡水模拟) 已知抛物线：的焦点为，准线为，过点作直线分别交抛物线与直线于点，（如图所示），若，则（）A .B .C .D .11. （2分）定义在R上的可导函数，已知的图象如图所示，则的增区间是（）A .B .C .D .12. （2分）双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·和平期末) 已知点A（4，1，3），B（6，3，2），且，则点C的坐标为________．14. （1分） (2015高二上·菏泽期末) 已知一条双曲线的渐近线方程为y= x，且通过点A（3，3），则该双曲线的标准方程为________．15. （1分） (2018高二上·佛山期末) 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上点作的垂线，垂足为 .设，与相交于点 .若，则的值为________．16. （1分） (2019高三上·铁岭月考) 已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2020高三上·闵行期末) 如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上)，圆锥的母线长为是底面的两条直径，且，圆柱与圆锥的公共点恰好为其所在母线的中点，点是底面的圆心.（1）求圆柱的侧面积；（2）求异面直线和所成的角的大小.18. （5分） (2017·合肥模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD边长为4的正方形，PA=PD=2 ，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）点E为线段PD上一点，且三棱锥E﹣BCD的体积为，求平面EBC与平面PAB所成锐二面角的余弦值的大小．19. （10分）(2016·湖南模拟) 已知抛物线方程为x2=2py（p＞0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M．（1）求；（2）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为，求直线AB的斜率k．20. （10分） (2018高二下·孝感期中) 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设点P是双曲线C上任意一点，且|PF1|=10，求|PF2|．21. （10分） (2018高二上·南宁月考) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，且过点 .（1）求椭圆的方程；（2）若点分别是椭圆的左右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于的任意一点，直线交于点 .①设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；②设过点垂直于的直线为，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.22. （5分）(2017·张掖模拟) 设函数f（x）= ﹣alnx．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，e2]内恰有两个零点，试求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

山西省朔州市2019-2020年度数学高二下学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，，则=（）A .B .C . 或D . 或2. （2分）已知复数的实部和虚部相等，则实数a等于（）A .B .C .D . 33. （2分） F1 ， F2是椭圆（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A . 圆B . 椭圆C . 双曲线D . 抛物线4. （2分）设连续函数，则当时，定积分的符号（）A . 一定是正的B . 一定是负的C . 当时是正的，当时是负的D . 以上结论都不对5. （2分） (2016高一上·历城期中) 下列函数是偶函数，并且在（0，+∞）上为增函数的为（）A .B .C .D . y=﹣2x2+36. （2分） (2018高二上·阳高期末) “ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）(2018·株洲模拟) 下列各组命题中，满足“‘ ’为真、‘ ’为假、‘ ’为真”的是（）A . 在定义域内是减函数:偶函数；B . ,均有是成立的充分不必要条件；C . 的最小值是6；：直线被圆截得的弦长为3；D . 抛物线的焦点坐标是过椭圆的左焦点的最短的弦长是 3．8. （2分） (2018高三上·丰台期末) 在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A . 直线B . 圆C . 椭圆D . 双曲线9. （2分）已知a、b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系（）A . 一定是异面B . 一定是相交C . 不可能平行D . 不可能垂直10. （2分） (2017高二下·扶余期末) 已知△ 中，，求证 .证明：，，画线部分是演绎推理的（）.A . 大前提B . 三段论C . 结论D . 小前提11. （2分）已知 M（2，-3），N（-3，-2），直线l经过点P（1，1），且与线段MN相交，则l的斜率k的取值范围是：（）A .B .C .D .12. （2分）设椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个公共点，则cos的值等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·沭阳月考) 已知椭圆C：的左、右焦点为F1 ， F2 ，离心率为，过F2的直线交C于A，B两点．若△AF1B的周长为，则C的标准方程为________。

2019-2020学年山西省朔州市怀仁市第一中学高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题 1．复数212i i-=+（ ） A ．i B ．i -C ．4355i -- D ．4355i -+ 【答案】A【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ---===++-，故选A 2．中心在原点，焦点在x 轴上， 若长轴长为18 ，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）A ．2218172x y +=B ．221819x y +=C ．2218145x y +=D ．2218136x y +=【答案】A【解析】长轴218,9a a ==，长轴三等分后26,3c c ==，故22281972b a c =-=-=，故选A .3．设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且12PF PF ⊥，则点P 的横坐标为A ．1B ．83C ．．3【答案】D【解析】试题分析：先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c ，根据PF 1⊥PF 2，推断出点P 在以坐标，则根据点P 所在的象限确定其横坐标=,又∵2+y 2=3与2214x y +=，解得点P 的横坐标为26，故答案选D 【考点】椭圆的简单性质点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆与圆的位置关系．考查了考生对椭圆基础知识的综合运用．属基础题．4．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =1【答案】A 【解析】【详解】由题意得，双曲线的焦距为10，即22225a b c +==， 又双曲线的渐近线方程为by x a=0bx ay ⇒-=，点1(2)P ，在C 的渐近线上， 所以2a b =，联立方程组可得，所以双曲线的方程为22=1205x y -．【考点】双曲线的标准方程及简单的几何性质．5．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，12,AB P =为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．18B ．24C ．36D ．48【答案】C【解析】解：设抛物线的解析式为y2=2px （p ＞0）， 则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x=-2p∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点， 又∵AB ⊥x 轴 ∴|AB|=2p=12 ∴p=6又∵点P 在准线上∴DP=（2p +|-2p|）=p=6 ∴S △ABP=12（DP•AB ）=12×6×12=36 故选C ．6．f′(x)是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f′(－1)的值为（ ） A ．0 B ．3C ．4D ．－73【答案】B【解析】先由函数31()213f x x x =++，求得导函数'2()2f x x =+， 再求'(1)f 即可得解. 【详解】 解：因为31()213f x x x =++，则'2()2f x x =+， 所以'2(1)123f =+=， 故选：B. 【点睛】本题考查了导函数的求法及求导函数的值，属基础题.7．与直线240x y -+=平行的抛物线2x y =的切线方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y --= D ．230x y -+=【答案】A【解析】试题分析：由抛物线方程2x y =，得2y x '=；因切线与直线240x y -+=平行，不妨设切线为20x y m -+=，令22,1y x x =∴'==；故切线与抛物线的交点为()1,1，把()1,1代入20x y m -+=得1m =-，故切线方程为210x y --=，答案为A ． 【考点】1、直线的位置关系；2、导数的几何意义． 8．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A ．（-1,1] B ．（0,1]C ．[1，+∞）D ．（0，+∞）【答案】B【解析】对函数21ln 2y x x =-求导，得211x y x x x='-=-（x>0）,令210{0x xx -≤>解得(0,1]x ∈，因此函数21ln 2y x x =-的单调减区间为(0,1]，故选B 考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域9．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆy =ˆb x+ˆa ，则（ ） A ．ˆa>0， ˆb <0 B ．ˆa>0， ˆb >0 C ．ˆa<0， ˆb <0 D ．ˆa<0， ˆb >0 【答案】A 【解析】【详解】根据样本数据，可以知，线性回归方程为负相关，且与y 轴交点在其正半轴，所以0,0ˆˆab ><，故答案为A. 10．对于平面α和共面的直线m ，n ，下列命题是真命题的是( ) A ．若m ，n 与α所成的角相等，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若m α⊂，//n α，则//m n 【答案】D【解析】利用直线和平面平行、垂直的判定和性质，判断命题A 、B 、C 都不正确，只有D 正确，从而得到结论． 【详解】由于平面α和共面的直线m ，n ，若m ，n 与α所成的角相等，则直线m ，n 平行或相交，故A 不正确． 若//m α，//n α，则，则共面直线m ，n 平行或相交，故B 不正确． 若m α⊥，m n ⊥，则n 与平面α平行或n 在平面α内，故C 不正确．若m α⊂，//n α，根据直线m ，n 是共面的直线，则一定有//m n ，故D 正确， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判定，命题的真假的判断，属于基础题．11．命题“如果数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，那么数列{}n a 一定是等差数列”是否成立( ) A ．不成立 B ．成立 C ．不能断定 D ．能断定【答案】B 【解析】首先根据题中所给的条件，得到14n n a a +-=（n *∈N ），最后根据等差数列的定义得到结果. 【详解】∵223n S n n =-，∴()()212131n S n n -=---（2n ≥），∴145n n n a S S n -=-=-，当1n =时，111a S ==-符合上式， 又∵14n n a a +-=（n *∈N ） ∴{}n a 是等差数列，所以命题成立， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用数列的前n 项和n S 求通项n a ，利用定义判断数列是否是等差数列，属于基础题目.12．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足()()10x f x -'≥则必有（ ） A ．()()()0221f f f +< B ．()()()0221f f f +≤ C ．()()()0221f f f +≥ D ．()()()0221f f f +>【答案】C【解析】先由题意得到函数的单调性,然后跟根据单调性进行判断可得结论. 【详解】()()10x f x -'≥Q若()0f x '=，则()f x 为常数函数,()()()02=21f f f +; 若()0f x '=不恒成立,∴当1x >时, ()0f x '≥,()f x 递增，当1x <时,()0f x '≤,()f x 递减.(0)(1),(2)(1)(0)(2)2(1)f f f f f f f ∴>>∴+>，.故选:C. 【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系,考查对基本概念的理解,解题时可根据导函数的符号得到函数的单调性,进而得到函数的最值情况,属于中档题.二、填空题13．已知复数z 满足()21i z i -=+，i 为虚数单位，则复数z =_________ 【答案】1355z i =+ 【解析】根据复数求法运算，即可求得答案． 【详解】Q ()21i z i -=+∴()()()()121222i i i z i i i +++==--+ ()()121355i i i +++==1355i =+ 故答案为：1355z i =+． 【点睛】本题主要考查了复数除法运算，解题关键是掌握复数除法的运算方法，考查了分析计算能力，属于基础题．14．过椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若AM MB ＝，则该椭圆的离心率为________.【答案】3【解析】首先根据题意，得到A 点的坐标为(),0a -，l 的方程为y x a =+，得到B 点的坐标为()0,a ，得到M 点的坐标为,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得到223a b =，从而有222c b =，进而求得椭圆的离心率，得到答案.【详解】由题意知A 点的坐标为(),0a -， l 的方程为y x a =+，∴B 点的坐标为()0,a ，故M 点的坐标为,22a a ⎛⎫-⎪⎝⎭， 代入椭圆方程得2222144a a a b+=，即223a b =，∴222c b =，∴c e a ===. 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的离心率，属于基础题目. 15．已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，则a b -的值为______．【答案】-7【解析】求导函数，利用函数f （x ）＝x 3+3ax 2+bx +a 2在x ＝﹣1处有极值0，建立方程组，求得a ，b 的值，再验证，即可得到结论． 【详解】∵函数f （x ）＝x 3+3ax 2+bx +a 2 ∴f '（x ）＝3x 2+6ax +b ，又∵函数f （x ）＝x 3+3ax 2+bx +a 2在x ＝﹣1处有极值0，∴2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，∴13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩当13a b =⎧⎨=⎩时，f '（x ）＝3x 2+6ax +b ＝3（x +1）2＝0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；当29a b =⎧⎨=⎩时，f '（x ）＝3x 2+6ax +b ＝3（x +1）（x +3）＝0，方程有两个不等的实数根，满足题意； ∴a ﹣b ＝﹣7 故答案为：﹣7． 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题． 16．以下四个命题，其中正确的序号是____________________．①从匀速传递的产品生产流水线上，每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程0.212ˆyx =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位；④分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值为k ，当k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大. 【答案】②③【解析】利用系统抽样的定义判断①利用独立性检验判断④；利用相关系数的性质判断②；由回归方程的性质判断③． 【详解】①为系统抽样, ①不正确；④分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值为k ，当k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，④不正确；根据相关系数的性质可知②正确；由回归方程的性质可知③正确．故答案为②③. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查系统抽样、相关系数、回归方程、独立性检验，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题17．若抛物线22y px =（0p >）的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，求p 的值．【答案】【解析】先求出双曲线的焦点，再根据抛物线方程求出准线，从而可求出答案． 【详解】解：由于双曲线221x y -=的焦点为()，抛物线22y px =的准线为2p x =，∴2p=，∴p =． 【点睛】本题主要考查双曲线的焦点和抛物线的准线，属于基础题． 18．已知函数()ln xf x x=. （1）求函数导数； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1）21ln xx-；（2）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞. 【解析】（1）直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算公式计算可得； （2）令()0f x '>及()0f x '<分别解不等式即可得到函数的单调区间； 【详解】解：（1）因为()ln xf x x =，所以函数()f x 的定义域为()0,∞+，且 ()21ln x f x x-'=. （2）当()0f x '>，即21ln 0xx ->解得0x e <<，即函数()f x 在()0,e 上单调递增； 当()0f x '<，即21ln 0xx-<解得x e >，即函数()f x 在(),e +∞上单调递减. 故函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞. 【点睛】本题考查导数的计算以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题.19．有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为2 7 .(1)请完成上面的列联表；（把列联表自己画到答题卡上）(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++P(K2≥k0)0.100.050.0250.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】()1由全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为27，可以计算出优秀人数，从而得到表中各项数据的值()2根据列联表中的数据，代入2K公式，计算出2K的值，与临界值比较即可得到结论【详解】(1)优秀非优秀总计甲班10 45 55乙班20 30 50总计30 75 105(2)根据列联表中的数据，得到 K 2＝()210510302045 6.109 3.84155503075⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． 【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，注意独立性检验的一般步骤：()1根据样本数据制成22⨯列联表，()2根据公式计算出2K 的值，属于中档题。

2019-2020学年山西省高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ={x|y =√x 2−9}，B ＝{x |x 2﹣3x ﹣10＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[3，5）B ．（﹣5，3]C ．（3，5]D ．（﹣5，﹣3）2．已知复数z 满足（2﹣3i ）z ＝﹣3+11i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知|a |≤2，|b |≤5，则|a ﹣2b |的最大值是（ ） A ．14B ．10C ．12D ．74．曲线C 的方程为2x 2+3y 2＝1，曲线C 经过伸缩变换{x′=2xy′=3y ，得到新曲线的方程为（ ）A ．8x 2+27y 2＝1B ．18x 2+12y 2＝1C ．x 22+y 23=1D ．x 24+y 29=15．已知实数a ，b ，c 满足a +b +c ＜0，则a ，b ，c 三个数一定（ ） A ．都小于0B ．都不大于0C ．至少有1个小于0D ．至多有1个小于06．已知a ＝90.7，b ＝31.3，c =log √35，则（ ） A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c7．若球O 是圆锥M 的内切球，且圆锥M 的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球O 的体积为（ ） A ．43πB ．4√327πC ．4√39πD ．49π8．函数f(x)=4cos 2(ωx −φ)−2ω(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，则“φ=π4”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（）A．23B．13C．12D．1610．人的正常体温在36.3℃至37.2℃之间，下图是一位病人在治疗期间的体温变化图．现有下述四个结论：①此病人已明显好转；②治疗期间的体温极差小于3℃；③从每8小时的变化来看，25日0时～8时体温最稳定；④从3月22日8时开始，每8小时量一次体温，若体温不低于38.5℃就服用退烧药，根据图中信息可知该病人服用了3次退烧药．其中所有正确结论的编号是（）A．③④B．②③C．①②④D．①②③11．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝3，S9＝39，则S6＝（）A ．24或﹣16B ．18或﹣3C ．12或﹣9D ．36或﹣1212．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F 在x 轴上，其准线为l ，过F 的直线交抛物线于M ，N 两点，作MS ⊥l ，NT ⊥l ，垂足分别为S ，T ．若MF →=3FN →，且△STF 的面积为8√33，则抛物线C 的方程为（ ） A ．y 2＝±x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±3x D ．y 2＝±4x二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，A =3π4，B =π6，b ＝2，则a ＝ ． 14．已知双曲线C ：y 2a −x 2b =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣3y ＝0，则双曲线C 的离心率为 ．15．已知数列{a n }为等差数列，a 7﹣a 5＝6，a 11＝24，若S m ＝75，则m ＝ ． 16．已知椭圆W ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(√3，0)，且离心率为√32，△ABC 的三个顶点都在椭圆W 上，直线AB ，BC ，AC 的斜率存在且均不为0，记它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3，设AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，P ，O 为坐标原点，若直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为34，则1k 1+1k 2+1k 3= ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．学生学习的自律性很重要．某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到2×2列联表的部分数据如表：自律性一般自律性强合计 成绩优秀 40 成绩一般 20 合计50100（1）补全2×2列联表中的数据；（2）判断是否有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关．参考公式及数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． P （K 2≥k 0）0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8416.6357.87910.82818．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4+2cosαy =−2+2sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(π4−θ)=2√2．（1）写出C 1的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为（1，﹣3），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值．19．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +3|． （1）解不等式f （x ）≤10；（2）若f （x ）≥2a ﹣1恒成立，求a 的取值范围．20．在直角坐标系xOy 中，已知点Q （6，2），曲线C 1的参数方程为{x =8t −6y =8t 2−2（t 为参数），点P 是曲线C 1上的任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；（2）已知直线l ：y ＝kx 与曲线C 2交于点O ，A ，射线OA 逆时针旋转90°交曲线C 2于点B ，且|OA |•|OB |=64√33，求k ．21．已知实数a ，b ，c 均为正数．（1）若a＞2b，求a2+2b(a−2b)的最小值；（2）若2a+2b+2c＝5，证明：(52a−1)(52b−1)(52c−1)≥8．22．已知函数f（x）＝ae x+b的图象在（0，f（0））处的切线方程为x﹣y+2＝0．（1）讨论函数F（x）＝f（mx）﹣x﹣m的单调性；（2）证明：f（x）+lnx x−3x+1．（注：（e mx）'＝me mx，m是常数）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|y=√x2−9}，B＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，则A∩B＝（）A．[3，5）B．（﹣5，3]C．（3，5]D．（﹣5，﹣3）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．|解：因为A＝{x|x≥3或x≤﹣3}，B＝{x|﹣2＜x＜5}，所以A∩B＝{x|3≤x＜5}．故选：A．2．已知复数z满足（2﹣3i）z＝﹣3+11i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先化简所求复数，根据复数的几何意义，即可得到结论．解：因为（2﹣3i）z＝﹣3+11i，∴z=−3+11i2−3i=(−3+11i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=−39+13i13=−3+i，在复平面内对应的点（﹣3，1）位于第二象限．故选：B．3．已知|a|≤2，|b|≤5，则|a﹣2b|的最大值是（）A．14B．10C．12D．7【分析】直接根据绝对值的几何意义及性质求解即可．解：因为|a|≤2，|2b|≤10，所以|a ﹣2b |≤|a |+|2b |≤12． 故选：C ．4．曲线C 的方程为2x 2+3y 2＝1，曲线C 经过伸缩变换{x′=2xy′=3y ，得到新曲线的方程为（ ）A ．8x 2+27y 2＝1B ．18x 2+12y 2＝1C ．x 22+y 23=1D ．x 24+y 29=1【分析】直接利用关系式的变换的应用求出结果． 解：由{x′=2x y′=3y ，得{x′=x′2y =y′3，代入2x 2+3y 2＝1， 可得x′22+y′23=1，即x 22+y 23=1．故选：C ．5．已知实数a ，b ，c 满足a +b +c ＜0，则a ，b ，c 三个数一定（ ） A ．都小于0B ．都不大于0C ．至少有1个小于0D ．至多有1个小于0【分析】若3个数都大于等于0，则a +b +c ≥0矛盾，由此得解a ，b ，c 至少有1个小于0．解：由于a +b +c ＜0，若3个数都大于等于0，则a +b +c ≥0，矛盾， 则a ，b ，c 至少有1个小于0． 故选：C ．6．已知a ＝90.7，b ＝31.3，c =log √35，则（ ）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可得出90.7＞31.3＞3＞log√35，从而得出a，b，c的大小关系．解：∵90.7＝31.4＞31.3＞3，log√35＜log√33√3=3，∴a＞b＞c．故选：A．7．若球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球O的体积为（）A．43πB．4√327πC．4√39πD．49π【分析】利用圆锥的轴截面，转化求解内切球的半径，然后求解球的体积即可．解：设球O的半径为r，则(12×r×2)×3=12×2×2×√32，得r=√33，故球O的体积V=43×π×(√33)3=4√327π，故选：B．8．函数f(x)=4cos2(ωx−φ)−2ω(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，则“φ=π4”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】化简f（x）＝4cos2（ωx﹣φ）﹣2ω＝2cos（2ωx﹣2φ）+2﹣2ω，最小正周期为π，可得2π2ω=π，解得ω＝1，可得f（x）＝2cos（2x﹣2φ）．令−2φ=π2+kπ(k∈Z)，根据|φ|＜π2，解得φ，进而判断结论．解：因为f（x）＝4cos2（ωx﹣φ）﹣2ω＝2cos（2ωx﹣2φ）+2﹣2ω，所以2π2ω=π，所以ω＝1，所以f（x）＝2cos（2x﹣2φ）．令−2φ=π2+kπ(k∈Z)，则φ=−π4−kπ2(k∈Z)，又因为|φ|＜π2，所以φ=±π4．若f（x）为奇函数，则φ=±π4．∴“φ=π4”是“f（x）为奇函数”的充分不必要条件．故选：A．9．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（）A．23B．13C．12D．16【分析】记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C．利用列举法能求出齐王的马获胜的概率．解：依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C．由题意可知，可能的比赛为aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中田忌可以获胜的事件为aB，aC，bC，共3种，则齐王的马获胜的概率P=1−39=23．故选：A．10．人的正常体温在36.3℃至37.2℃之间，下图是一位病人在治疗期间的体温变化图．现有下述四个结论：①此病人已明显好转；②治疗期间的体温极差小于3℃；③从每8小时的变化来看，25日0时～8时体温最稳定；④从3月22日8时开始，每8小时量一次体温，若体温不低于38.5℃就服用退烧药，根据图中信息可知该病人服用了3次退烧药．其中所有正确结论的编号是（）A．③④B．②③C．①②④D．①②③【分析】根据题干条件和观察图象，逐一进行判断即可．解：①从治疗过程看，此病人已明显好转；①正确；②治疗期间体温最高为39°C，最低略高于36°C，极差小于3°C；②正确；③从每8小时的变化来看，25日0时～8时最稳定；③正确；③有2次不低于38.5°C，可知服用2次退烧药．④不正确；故选：D．11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3，S 9＝39，则S 6＝（ ） A ．24或﹣16B ．18或﹣3C ．12或﹣9D ．36或﹣12【分析】由已知结合等比数列的性质可知S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6仍成等比数列，代入即可求解．解：因为{a n }为等比数列，所以S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6仍成等比数列． 设S 6＝x ，则（x ﹣3）2＝3×（39﹣x ）， 解得x ＝12或x ＝﹣9． 故选：C ．12．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F 在x 轴上，其准线为l ，过F 的直线交抛物线于M ，N 两点，作MS ⊥l ，NT ⊥l ，垂足分别为S ，T ．若MF →=3FN →，且△STF 的面积为8√33，则抛物线C 的方程为（ ）A ．y 2＝±xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±3xD ．y 2＝±4x【分析】过点N 作NH ∥l 交直线MS 于点H ，交x 轴于点P ．设点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），当焦点在x 轴的正半轴时，设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），结合抛物线的定义和MF →=3FN →，可知x 1+p 2=3(x 2+p2)，即x 1﹣3x 2＝p ①．再由HM ∥PF ，可得|PF|=14|HM|=14|x 1−x 2|=14(x 1−x 2)，所以|OF|=|OP|+|PF|=x 2+14(x 1−x 2)=p 2②．由①②解得x 1=3p2，x 2=p 6．然后在Rt △HMN 中，利用勾股定理求出|HN |的长，也就是线段|ST |的长，最后由S △STF =8√33，可列出关于p 的方程，解之得p ＝2．当焦点在x 轴的负半轴时，同理可得p ＝﹣2，从而得解．解：如图所示，过点N 作NH ∥l 交直线MS 于点H ，交x 轴于点P ．设点M（x1，y1）、N（x2，y2），当焦点在x轴的正半轴时，设抛物线C：y2＝2px（p＞0），由MF→=3FN→，得x1+p2=3(x2+p2)，即x1﹣3x2＝p①．∵HM∥PF，∴|PF|=14|HM|=14|x1−x2|=14(x1−x2)，∴|OF|=|OP|+|PF|=x2+14(x1−x2)=p2②．由①②可解得x1=3p2，x2=p 6．在Rt△HMN中，|MN|=x1+x2+p=83p，|HM|=x1−x2=43p，∴|ST|=|HN|=√(83p)2−(43p)2=4√33p，∴S△STF=12⋅4√33p⋅p=8√33，解得p＝2，此时抛物线C的方程为y2＝4x．同理，当焦点在x轴的负半轴时，可得p＝﹣2，此时抛物线C的方程为y2＝﹣4x．综上所述，抛物线C的方程为y2＝±4x．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，A=3π4，B=π6，b＝2，则a＝2√2．【分析】利用正弦定理即可算出结果．解：根据正弦定理，得a =bsinAsinB=2×√2212=2√2．故答案为：2√2． 14．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣3y ＝0，则双曲线C 的离心率为 √132．【分析】因为双曲线y 2a −x 2b =1的渐近线方程为y =±ab x ，所以a b=23，而离心率e =√c 2a 2=√1+b 2a2，代入即可得解． 解：由题可知，双曲线的渐近线方程为y =±ab x ，因为有一条渐近线方程为2x ﹣3y ＝0，即y =23x ，所以a b=23，所以双曲线C 的离心率e =√c 2a2=√1+b 2a2=√1+(32)2=√132．故答案为：√132．15．已知数列{a n }为等差数列，a 7﹣a 5＝6，a 11＝24，若S m ＝75，则m ＝ 10 ． 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：由a 7﹣a 5＝2d ＝6，可知d ＝3，由a 11＝a 1+10×3＝24，得a 1＝﹣6， 所以S m =m ×(−6)+m(m−1)2×3=75， 解得m ＝10或m ＝﹣5（舍去）． 故答案为：10．16．已知椭圆W ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(√3，0)，且离心率为√32，△ABC 的三个顶点都在椭圆W 上，直线AB ，BC ，AC 的斜率存在且均不为0，记它们的斜率分别为k 1，k 2，k 3，设AB ，BC ，AC 的中点分别为M ，N ，P ，O 为坐标原点，若直线OM ，ON ，OP 的斜率之和为34，则1k 1+1k 2+1k 3= ﹣3 ．【分析】先根据c =√3，ca=√32，求得a ＝2，b ＝1，从而得椭圆W 的方程为为x 24+y 2=1，再设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），利用点差法可得1k AB=−4k OM ，1k BC=−4k ON ，1k AC=−4k OP ，所以1k 1+1k 2+1k 3=−4(k OM +k ON +k OP )=−3．解：由题意可得，c =√3，ca =√32，所以a ＝2，b ＝1， ∴椭圆W 的标准方程为x 24+y 2=1．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则x 124+y 12=1，x 224+y 22=1， 两式作差得，(x 2−x 1)(x 2+x 1)4=−(y 1+y 2)(y 2−y 1)， ∴x 2−x 1y 2−y 1=−4(y 2+y 1)x 2+x 1，即1k AB =−4k OM ．同理可得，1k BC =−4k ON ，1k AC=−4k OP ，∴1k 1+1k 2+1k 3=−4(k OM +k ON +k OP )=−3．故答案为：﹣3．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．学生学习的自律性很重要．某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到2×2列联表的部分数据如表：自律性一般自律性强合计成绩优秀 40 成绩一般 20 合计50100（1）补全2×2列联表中的数据；（2）判断是否有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关．参考公式及数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． P （K 2≥k 0）0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8416.6357.87910.828【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可； （2）计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论． 解：（1）因为总人数为100，可填写列联表如下：自律性一般自律性强 合计 成绩优秀 10 30 40 成绩一般 40 20 60 合计5050100（2）根据表中数据，得K 2=100×(40×30−20×10)240×60×50×50=503≈16.667＞10.828，所以有99.9%的把握认为学生的自律性与学生成绩有关．18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4+2cosαy =−2+2sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(π4−θ)=2√2．（1）写出C 1的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为（1，﹣3），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |•|PB |的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =4+2cosαy =−2+2sinα（α为参数），转换为C 1的普通方程为（x ﹣4）2+（y +2）2＝4．直线l 的极坐标方程为ρsin(π4−θ)=2√2，整理得：ρcos θ﹣ρsin θ＝4． 由{x =ρcosθy =ρsinθ，得直线l 的直角坐标方程x ﹣y ﹣4＝0． （2）把直线l 的直角坐标方程转换为直线l 的参数方程为{x =1+√22ty =−3+√22t（t 为参数），代入C 1的普通方程（x ﹣4）2+（y +2）2＝4， 得t 2−4√2t +6=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， |PA |•|PB |＝|t 1|•|t 2|＝|t 1t 2|＝6． 19．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +3|． （1）解不等式f （x ）≤10；（2）若f （x ）≥2a ﹣1恒成立，求a 的取值范围．【分析】（1）运用分段函数的形式，写出f （x ）的解析式，由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）作出f （x ）的图象，可得f （x ）的最小值，f （x ）≥2a ﹣1恒成立，即为f （x ）min ≥2a ﹣1恒成立，解不等式可得所求范围．解：（1）f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +3|={4−x ，x ＜−3−3x −2，−3≤x ≤12x −4，x ＞12，不等式f （x ）≤10等价于{x ＜−3−x +4≤10或{−3≤x ≤12−3x −2≤10或{x ＞12x −4≤10，解得﹣6≤x ＜﹣3或−3≤x ≤12或12＜x ≤14．综上，原不等式的解集为{x |﹣6≤x ≤14}； （2）如图，作出f （x ）的图象． 由图可知f(x)min =f(12)=−72，因为f （x ）≥2a ﹣1恒成立，所以−72≥2a −1，即a ≤−54，即a 的取值范围为(−∞，−54]．20．在直角坐标系xOy 中，已知点Q （6，2），曲线C 1的参数方程为{x =8t −6y =8t 2−2（t 为参数），点P 是曲线C 1上的任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；（2）已知直线l ：y ＝kx 与曲线C 2交于点O ，A ，射线OA 逆时针旋转90°交曲线C 2于点B ，且|OA |•|OB |=64√33，求k ．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 解：（1）设P （8t ﹣6，8t 2﹣2），M （x ，y ）． 因为点M 为PQ 的中点，所以{x =4t y =4t 2，可得C 2的直角坐标方程为x 2＝4y ，由{x =ρcosθy =ρsinθ，得曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ． （2）设射线OA ：θ=α(ρ≥0，0＜α＜π2)． 将θ＝α（ρ≥0）代入ρcos 2θ＝4sin θ， 得ρA =4sinαcos 2α． OA 逆时针旋转90°，得射线OB ：θ=α+π2(ρ≥0)，则ρB =4sin(α+π2)cos 2(α+π2)=4cosαsin 2α． 因为|OA|⋅|OB|=64√33，所以ρA ⋅ρB =4sinαcos 2α⋅4cosαsin 2α=16cosα⋅sinα=64√33， 所以cosα⋅sinα=√34，则sin2α=√32，又α∈(0，π2)，即α=π6或α=π3．故k 的值为√3或√33． 21．已知实数a ，b ，c 均为正数．（1）若a ＞2b ，求a 2+2b(a−2b)的最小值； （2）若2a +2b +2c ＝5，证明：(52a −1)(52b −1)(52c −1)≥8． 【分析】（1）由a =2b +(a −2b)≥2√2b(a −2b)，即2b （a ﹣2b ）≤a 24，得42b(a−2b)≥16a ，再利用基本不等式的性质即可得出．（2）由2a +2b +2c ＝5，得52a−1=b+c a≥2√bc a，52b−1=a+c b≥2√ac b，52c −1=a+b c≥2√abc，再由不等式的可乘积性得结论． 【解答】（1）解：a 2+2b(a−2b)=a 2+42b(a−2b)， 又a =2b +(a −2b)≥2√2b(a −2b)， ∴2b （a ﹣2b ）≤a 24，∴42b(a−2b)≥16a2，则a 2+42b(a−2b)≥a 2+16a 2≥2√a 2⋅16a 2=8， 当且仅当a ＝2，b =12时等号成立，故a 2+2b(a−2b)的最小值为8； （2）证明：由2a +2b +2c ＝5，得52a −1=b+c a ≥2√bc a （当且仅当b ＝c 时取等号），①52b −1=a+c b ≥2√ac b（当且仅当a ＝c 时取等号），②52c−1=a+b c≥2√ab c（当且仅当a ＝b 时取等号），③又∵实数a，b，c均为正数，由①×②×③，得(52a−1)(52b−1)(52c−1)≥8（当且仅当a=b=c=56时取等号），故(52a−1)(52b−1)(52c−1)≥8得证．22．已知函数f（x）＝ae x+b的图象在（0，f（0））处的切线方程为x﹣y+2＝0．（1）讨论函数F（x）＝f（mx）﹣x﹣m的单调性；（2）证明：f（x）+lnx 4√x−3x+1．（注：（e mx）'＝me mx，m是常数）【分析】（1）求出函数的导数，求出a，b的值，求出F（x）的解析式，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出f（x）的最小值，结合lnx≥1−1x，得到x(ex+lnx)＞x(x+1+1−1x)=x2+2x−1，令φ(x)=x2+2x−1−(4√x−3)，根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：因为f'（x）＝ae x，所以f'（0）＝ae0＝a＝1．因为f（0）＝ae0+b＝2，所以b＝1，所以f（x）＝e x+1．所以F（x）＝e mx+1﹣x﹣m，F'（x）＝me mx﹣1，当m≤0时，F'（x）＝me mx﹣1＜0，F（x）在一、选择题上单调递减．当m＞0时，令F'（x）＝me mx﹣1＞0，得x＞−1m lnm；令F'（x）＝me mx﹣1＜0，得x＜−1m lnm，F（x）在(−1mlnm，+∞)上单调递增，在(−∞，−1m lnm)上单调递减．（2）证明：由题意，要证e x+1+lnx√x−3x+1，即证x(e x+lnx)＞4√x−3．由（1）知，当m＝1时，F（x）min＝F（0）＝1，所以e x﹣x≥1，即e x≥x+1（x≥0），由e x﹣1≥x（x≥1），两边同时取自然对数，可得lnx≤x﹣1，于是ln 1x≤1x−1，即lnx≥1−1x，故x(e x+lnx)＞x(x+1+1−1x)=x2+2x−1．令φ(x)=x2+2x−1−(4√x−3)，则φ(x)=(x+1)2−4√x+1≥(2√x)2−4√x+1=(2√x−1)2≥0，因为x＝1和x=14不能同时取到，故x2+2x−1＞4√x−3．因为x（e x+lnx）＞x2+2x﹣1，所以x(e x+lnx)＞4√x−3，所以原不等式成立．。

山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2019-2020学年高二下学期期中数学（文)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}|13,A x x x N =≤<∈，{}2|9=<B x x ，则A B =I ( ) A ．{}|13≤<x x B ．{}2,1,0,1,2-- C ．{}|23,x x x N ≤<∈ D ．{}1,22．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ．12i -+B ．12i -C ．32i +D ．32i -3．极坐标系中，圆1ρ=上的点到直线cos sin 2ρθρθ+=的距离最大值为( ) AB1 C1 D．4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7?5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）销售额（万元）根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 6．用反证法证明命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中至少有一个是偶数”正确的假设为（ ）A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数7．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 8．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1B ．x ＝1C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝19．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,2), C ．(2,)+∞ D ．(1,2]10．已知函数()()f x x R ∈满足()11f =，且()f x 的导函数()13f x '<，则()233x f x <+的解集为（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|1x x <-或}1x >C ．{|1}x x <-D ．{|1}x x > 11．已知定点()2,3A ，F 为抛物线26y x =的焦点，P 为抛物线上的动点，则||||PF PA +的最小值为( )A ．5B ．4.5C ．3.5D ．不能确定 12．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a b ab+的最小值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．13．若复数()()2322a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为___________ 14．函数()ln f x x x =-的单调减区间为___________.15．已知F 1,F 2是双曲线x 24−y 212=1两个焦点，P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2=600，则ΔF 1PF 2的面积为__________．16．已知函数()f x 的定义域为[-1,5]，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x ='的图象如图所示，下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为0,4；②函数()f x 在[0,2]上是减函数；③如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当1<a<2时，函数()y f x a =-有4个零点.其中正确命题的序号是__________．17．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(()2219x y ++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线():R 6OP πθρ=∈与圆C 交于点,M N ，求线段MN 的长.18．在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN∆的面积．19．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了 105 个样本，统计结果为：服药的共有 55 个样本，服药但患病的仍有 10 个样本，没有服药且未患病的有 30个样本.（1）根据所给样本数据完成 22⨯ 列联表中的数据；（2）请问能有多大把握认为药物有效？ (参考公式：22()()()()()n ad bc x a b c d a c b d -=++++独立性检验临界值表20．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2A ，离心率为12，左右焦点分别为12,F F ，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当2F AB ∆时，求直线l 的方程． 21．已知顶点为O 的抛物线22y x =与直线()2y k x =-相交于不同的A ，B 两点. （1）求证：OA OB ⊥；（2）当k =OAB V的面积.22．已知函数()ln 1f x x kx =-+.（1）求函数()f x 的的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】首先求出集合B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】由{}|13,A x x x N =≤<∈，{}{}2|933B x x x x =<=-<<， 则A B =I {}1,2.故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.2．C【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.【考点】 复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可. 视频3．B【解析】【分析】把极坐标方程分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d ，即可求出最大值.【详解】1ρ=与cos sin 2ρθρθ+=化为普通方程：221x y +=，20x y +-=，圆心()0,0到直线20x y +-=的距离d ==，因此圆1ρ=上的点到直线cos sin 2ρθρθ+=1.故选：B【点睛】本题考查了极坐标化为普通方程、点到直线的距离、圆上的点到直线距离的最值问题，属于基础题.4．A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C. 考点：程序框图.5．B【解析】【分析】【详解】 试题分析：4235492639543.5,4244x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，∴ˆa =9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5考点：线性回归方程6．A【解析】【分析】反证法需假设原命题不成立,即自然数,,a b c 都不是偶数,即可判断选项【详解】由题,利用反证法,则需假设“自然数,,a b c 都不是偶数”,即“自然数,,a b c 都是奇数” 故选：A【点睛】本题考查反证法的应用,属于基础题7．B【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维， 可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14．证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r ，连接球心与正四面体的四个顶点． 把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，所以4×13S•r=13•S•h ，r=14h ． （其中S 为正四面体一个面的面积，h 为正四面体的高）故选B ．点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）．8．C【解析】【分析】 先化简极坐标方程，再代入极坐标化直角坐标的公式得解.【详解】由题得22(cos 1)0,0cos 1,0 1.x y x ρρθρρθ-=∴==∴+==或或故答案为C.【点睛】(1)本题主要考查极坐标和直角坐标互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 求点的极坐标一般用公式222=tan x y y x ρθ⎧+⎪⎨=⎪⎩,求极角时要先定位后定量.把极坐标化成直角坐标，一般利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求解.（3）本题容易漏掉220x y +=. 9．A【解析】【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ， 若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a，∴b a 22224a b e a +=…， 2e ∴…，故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．10．D【解析】设()()233x g x f x =--，则函数的()g x 的导数()()()1'',3g x f x f x =-Q 的导函数()()()11',''033f xg x f x <∴=-<，则函数()g x 单调递减，()()()1211,1111033f g f ==--=-=Q ，则不等式()233x f x <+，等价为()0g x <，即()()1g x g <，则1x >，即()233x f x <+的解集{}|1x x >，故选D. 11．C【分析】过点P 作PM ⊥准线l ，垂足为M ，根据抛物线的定义可知PF PM =，当且仅当A 、P 、M 三点共线时，||||PF PA +的最小值为AM .【详解】如图所示，过点P 作PM ⊥准线l ，垂足为M ，则PF PM =，当且仅当A 、P 、M 三点共线时，||||PF PA +取得最小值32 3.52AM =+=. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题. 12．B 【解析】对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +，当且仅当228a b 2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件 13．1 【解析】∵复数()232)2a a a i -++-（是纯虚数，则2320{20a a a -+=-≠，解得1a =，故答案为1.14．(]0,1 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域为()0,∞+，再求出()f x '，令()0f x '≤，解不等式即可求解. 【详解】函数()ln f x x x =-的定义域为()0,∞+， 且()111x f x x x-'=-=， 令()0f x '≤，即10x x-≤，解不等式可得01x <≤， 所以函数的单调递减区间为(]0,1. 故答案为：(]0,1 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题. 15．12√3【解析】根据双曲线焦点三角形面积公式可知，S ΔF 1PF 2=b 2tan ∠F 1PF 22=12tan30∘=12√3 .点睛：双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P 与两焦点距离的绝对值||PF 1|−|PF 2||=2a （其中0<2a <|F 1F 2| ）与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形的问题.灵活运用双曲线定义进行解题，注意知识点间的联系，考查学生的综合运用能力. 16．①②试题分析： ①由函数()f x 的导函数的图像知，函数()f x 的极大值点为0，4，所以①正确；②因为在[]0,2上的导函数为负，所以函数()f x 在[]0,2上是减函数，所以②正确； ③由表中数据可得当或时，函数取最大值2，若时，函数()f x 的最大值是2，那么，故的最大值为5，即③错误；④由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，故④不正确.综上所述，正确命题的个数为2.考点：利用导数研究函数的极值；命题的真假判断与应用. 17．（1）223cos 2sin 50ρρθρθ-+-=；（2）.【解析】试题分析：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==，得到圆的极坐标方程；（2）将直线的极坐标方程6πθ=代入，得到2250ρρ--=，所以12MN ρρ=-=.试题解析：（1）(()2219x y -++=可化为22250x y y +-+-=，故其极坐标方程为2cos 2sin 50ρθρθ-+-=.（2）将6πθ=代入2cos 2sin 50ρθρθ-+-=，得2250ρρ--=，∴122ρρ+=，125ρρ=-，∴12MN ρρ=-==18．(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12． 【解析】试题分析：（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得12ρρ==， 所以MN =12.试题解析：（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得240ρ-+=得12ρρ== 所以MN =因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为111sin 4522⨯=o 考点：坐标系与参数方程.19．(1)(2)97.5%. 【解析】分析：(1)由所给数据可得服药但没有病的45人，没有服药且患病的20，从而可得到22⨯联表；（2）利用公式()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++求得2x ，与邻界值比较，即可得到结论.详解：(1)解依据题意得，服药但没有病的45人，没有服药且患病的20可列下列22⨯联表 （2）假设服药和患病没有关系，则2x 的观测值应该很小， 而()()()()()226.109,n ad bc x a d c d a c b d -==++++6.109 5.024,>由独立性检验临界值表可以得出，由97.5%的把握药物有效；点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）20．（1）22143x y +=；（2）10x y -+=或10x y ++=． 【解析】 【分析】（1）由已知条件推导出22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，由此能求出椭圆C 的方程． （2）由（1）知F 1（-1，0），①当l 的倾斜角是2π时，23ABF S ∆=≠,不合题意；当l 的倾斜角不是2π时，设l 的方程为()1y k x =+，由()221431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：()22224384120kx k x k +++-=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由此利用韦达定理能求出直线l 的方程． 【详解】（1）椭圆2222:1x y C a b+=过点31,,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 离心率为11,,22c a ∴=又,解22222191412a bcaa b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩得22a4,3,b==椭圆C的方程22143x y+=.（2）由（1）知()11,0F-，①当l的倾斜角是2π时，l的方程为1x=-，交点331,,1,22A B⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时2121132322ABFS AB F F∆=⨯=⨯⨯=≠,不合题意；②当l的倾斜角不是2π时，设l的斜率为k,则其直线方程为()1y k x=+，由()221431,x yy k x⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y得：()22224384120k x k x k+++-=，设()()1122,,,A x yB x y，则221212228412,4343k kx x x xk k-+=-=++，，又已知2,7F ABS∆=4217180k k=⇒+-=,()()22211718010k k k⇒-+=⇒-=解得1k=±，故直线l的方程为()11y x=±+，即10x y-+=或10x y++=．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．21．（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立得到韦达定理的形式，通过验证0OA OB →→⋅=可证得结论； （2）根据（1）中韦达定理的结论可计算求得,A B 坐标，进而得到,OA OB ，根据三角形面积公式可计算求得结果. 【详解】（1）将直线()2y k x =-代入抛物线的方程22y x =，消去y 可得：()22224240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12224x x k+=+，124x x =， ()()()222121212122422424484y y k x x k x x x x k k ⎛⎫∴=--=+-+=+--=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 即有12120x x y y +=，则0OA OB →→⋅=，OA OB ∴⊥.（2）当k =，由（1）可得：11x =，24x =，代入直线方程可得：1y =2y =(1,A ∴，(4,B ，OA ∴==OB == 1122OAB S OA OB ∴=⋅==△【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到垂直关系的证明、三角形面积的求解问题；证明垂直关系的常用方法是将问题转化为平面向量数量积的运算，结合韦达定理推导出结果.22．（1）当0k ≤时，()f x 单调递增区间是()0,∞+，当0k >时，()f x 单调递增是10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1k ³．【解析】 【分析】（1）函数()f x 的定义域为()()10,,'f x k x+∞=-，分0k ≤和0k >两种情况分类讨论，即可求解函数的单调性；（2）由（1）知0k ≤时，()()110,0f k f x =->≤不成立，故0k >，又由（1）知()f x 的最大值为1f k ⎛⎫⎪⎝⎭，只需10f k ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可，即可求解1k ³. 【详解】（1） 函数()f x 的定义域为()()10,,'f x k x+∞=-， 当0k ≤时，()()1'0,f x k f x x=->在()0,∞+上是增函数， 当0k >时，若10,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x k 时，有()1'0f x k x =->， 若1,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭x k 时，有()1'0f x k x =-<，则()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,k ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是减函数， 综上，当0k ≤时，()f x 单调递增区间是()0,∞+， 当0k >时，()f x 单调递增是10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,k ⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）由（1）知0k ≤时，()f x 在()0,∞+上是增函数， 而()()110,0f k f x =->≤不成立，故0k >， 又由（1）知()f x 的最大值为1f k ⎛⎫⎪⎝⎭， 要使()0f x ≤恒成立，则10f k ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可，即ln 0k -≤，得1k ³. 考点：函数的综合问题. 【点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及放缩法证明不等式等知识点的综合考查，属于中档试题.。

怀仁县怀仁一中云东校区2021-2021学年高二数学下学期期中试题 理制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

时间是：120分钟 满分是：150分第一卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，有且只有一项是哪一项符合题目要求的 〕1．假设复数Z 满足()i 34Z i 4-3+=，那么Z 的虚部为〔 〕A.i 54-B.54-C.54D.i 54 2. 用反证法证明命题：“假设,,,,1,1a b c d R a b c d ∈+=+=，且1ac bd +>，那么,,,a b c d 中至少有一个负数〞的假设为〔 〕 A. ,,,a b c d 中至少有一个正数 B. ,,,a b c d 全都为正数 C. ,,,a b c d 全都为非负数D. ,,,a b c d 中至多有一个负数3．设X 为随机变量，且⎪⎭⎫ ⎝⎛31,~n B X ，假设随机变量X 的方差()43D X =，那么()2P X == ( )A. 4729B. 16C. 20243D. 802434.以下有关线性回归分析的四个命题： ①线性回归直线必过样本数据的中心点()y x ,；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③当相关性系数0>r 时，两个变量正相关；④假如两个变量的相关性越强，那么相关性系数r 就越接近于1. 其中真命题的个数为〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.某教育局HY 门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该三所不同的任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一，那么不同的安排方法种数为〔 〕 A. 18B. 24C. 30D. 366.两圆θρcos 2=，θρsin 2=的公一共区域的面积是〔 〕 A ．21-4π B ．2-πC ．1-2πD ．2π7.()()51.1x ax ++的展开式中2x 的系数为5，那么a ＝〔 〕 A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－18.在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.〞拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，那么正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A.12 B. 14 C. 16 D. 189、篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。

2019-2020学年山西省高二第二学期期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ={x|y =√x 2−9}，B ＝{x |x 2﹣3x ﹣10＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[3，5）B ．（﹣5，3]C ．（3，5]D ．（﹣5，﹣3）2．已知复数z 满足（2﹣3i ）z ＝﹣3+11i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知实数a ，b ，c 满足a +b +c ＜0，则a ，b ，c 三个数一定（ ） A ．都小于0B ．都不大于0C ．至少有1个小于0D ．至多有1个小于04．二项式(√x 3−x)n的展开式中第13项是常数项，则n ＝（ ） A ．18B ．21C ．20D ．305．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．k ＜4？B ．k ＜5？C ．k ＜6？D ．k ＜7？6．若球O 是圆锥M 的内切球，且圆锥M 的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球O 的体积为（）A．43πB．4√327πC．4√39πD．49π7．函数f(x)=4cos2(ωx−φ)−2ω(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，则“φ=π4”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（）A．23B．13C．12D．169．人的正常体温在36.3℃至37.2℃之间，下图是一位病人在治疗期间的体温变化图．现有下述四个结论：①此病人已明显好转；②治疗期间的体温极差小于3℃；③从每8小时的变化来看，25日0时～8时体温最稳定；④从3月22日8时开始，每8小时量一次体温，若体温不低于38.5℃就服用退烧药，根据图中信息可知该病人服用了3次退烧药．其中所有正确结论的编号是（）A ．③④B ．②③C ．①②④D ．①②③10．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3，S 9＝39，则S 6＝（ ） A ．24或﹣16 B ．18或﹣3C ．12或﹣9D ．36或﹣1211．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，过其焦点F 的直线与该双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，以OB 为直径的圆过A 点，且△OAB 的内切圆半径为2b 3，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√52C ．√62D ．√7212．已知f '（x ）是函数f （x ）的导函数，对任意的实数x 都有f '（x ）+f （x ）=−2e x ，且f(32)=0，若函数y ＝f （x ）﹣a 有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2e −25，+∞)B ．(−2e 25，0)C ．(−2e −52，+∞)D ．(−2e −52，0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13．若复数3−ai 1−2i（a ∈R ）是纯虚数，则|2a +i |＝ ．14．已知数列{a n }为等差数列，a 7﹣a 5＝6，a 11＝24，若S m ＝75，则m ＝ ． 15．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y ＝x +b ，若x 1+x 2=−12，则p ＝ ．16．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有 种．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知m →=(3a −c ，b)，n →=(cosB ，−cosC)，且m →⊥n →． （1）求sin B 的值；（2）若b ＝2，△ABC 的面积为√64，求△ABC 的周长．18．已知函数f （x ）＝x 3+bx 2+cx ﹣1的图象在（1，f （1））处的切线经过点（2，4），且f （x ）的一个极值点为﹣1． （1）求f （x ）的极值；（2）已知方程f （x ）﹣m ＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，求m 的取值范围． 19．如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ADC ＝120°，M 是AD 的中点．（1）证明：BM ⊥平面ADD 1A 1；（2）若AB ＝2，AA 1＝3，求二面角C 1﹣BM ﹣A 1的正弦值．20．已知x ＞0，y ＞0，且ln （x +y ）﹣ln 2x ﹣lny ＝0． （1）证明：12x +3y ≥272．（2）证明：(x 2+1)(y 2+1)x+y≥2．21．设点M 和N 分别是椭圆C ：x 2a +y 2=1（a ＞0）上不同的两点，线段MN 最长为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 过点Q （0，2），且OM →⋅ON →＞0，线段MN 的中点为P ，求直线OP 的斜率的取值范围．22．已知函数f （x ）＝x 2+mlnx （m ∈R ）． （1）当m ＝﹣1时，求f （x ）的最值；（2）当m ＝2时，记函数g （x ）＝f （x ）﹣ax （a ≥5）的两个极值点为x 1，x 2，且x 1＜x 2，求g （x 2）﹣g （x 1）的最大值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|y=√x2−9}，B＝{x|x2﹣3x﹣10＜0}，则A∩B＝（）A．[3，5）B．（﹣5，3]C．（3，5]D．（﹣5，﹣3）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．|解：因为A＝{x|x≥3或x≤﹣3}，B＝{x|﹣2＜x＜5}，所以A∩B＝{x|3≤x＜5}．故选：A．2．已知复数z满足（2﹣3i）z＝﹣3+11i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先化简所求复数，根据复数的几何意义，即可得到结论．解：因为（2﹣3i）z＝﹣3+11i，∴z=−3+11i2−3i=(−3+11i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=−39+13i13=−3+i，在复平面内对应的点（﹣3，1）位于第二象限．故选：B．3．已知实数a，b，c满足a+b+c＜0，则a，b，c三个数一定（）A．都小于0B．都不大于0C．至少有1个小于0D．至多有1个小于0【分析】若3个数都大于等于0，则a+b+c≥0矛盾，由此得解a，b，c至少有1个小于0．解：由于a +b +c ＜0，若3个数都大于等于0，则a +b +c ≥0，矛盾， 则a ，b ，c 至少有1个小于0． 故选：C ． 4．二项式(√x 3−√x)n的展开式中第13项是常数项，则n ＝（ ） A ．18B ．21C ．20D ．30【分析】先通项公式求出二项式展开式的第13项，再令该项x 的幂指数等于0，即可求得n 的值．解：∵二项式(√x 3x )n 的展开式中第13项 T 13=C n 12(√x 3)n−121√x12=C n 12x n 3−10， 令n3−10=0，得n ＝30，故选：D ．5．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．k ＜4？B ．k ＜5？C ．k ＜6？D ．k ＜7？【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，k＝1；S＝0+1×21﹣1＝1，k＝2；S＝1+2×22﹣1＝5，k＝3；S＝5+3×23﹣1＝17，k＝4；S＝17+4×24﹣1＝49，k＝5；S＝49+5×25﹣1＝129，k＝6，此时输出S，即判断框内可填入的条件是“k＜6？”．故选：C．6．若球O是圆锥M的内切球，且圆锥M的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球O的体积为（）A．43πB．4√327πC．4√39πD．49π【分析】利用圆锥的轴截面，转化求解内切球的半径，然后求解球的体积即可．解：设球O的半径为r，则(12×r×2)×3=12×2×2×√32，得r=√33，故球O的体积V=43×π×(√33)3=4√327π，故选：B．7．函数f(x)=4cos2(ωx−φ)−2ω(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，则“φ=π4”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】化简f（x）＝4cos2（ωx﹣φ）﹣2ω＝2cos（2ωx﹣2φ）+2﹣2ω，最小正周期为π，可得2π2ω=π，解得ω＝1，可得f（x）＝2cos（2x﹣2φ）．令−2φ=π2+kπ(k∈Z)，根据|φ|＜π2，解得φ，进而判断结论．解：因为f（x）＝4cos2（ωx﹣φ）﹣2ω＝2cos（2ωx﹣2φ）+2﹣2ω，所以2π2ω=π，所以ω＝1，所以f（x）＝2cos（2x﹣2φ）．令−2φ=π2+kπ(k∈Z)，则φ=−π4−kπ2(k∈Z)，又因为|φ|＜π2，所以φ=±π4．若f（x）为奇函数，则φ=±π4．∴“φ=π4”是“f（x）为奇函数”的充分不必要条件．故选：A．8．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（）A．23B．13C．12D．16【分析】记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C．利用列举法能求出齐王的马获胜的概率．解：依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C．由题意可知，可能的比赛为aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中田忌可以获胜的事件为aB，aC，bC，共3种，则齐王的马获胜的概率P=1−39=23．故选：A．9．人的正常体温在36.3℃至37.2℃之间，下图是一位病人在治疗期间的体温变化图．现有下述四个结论：①此病人已明显好转；②治疗期间的体温极差小于3℃；③从每8小时的变化来看，25日0时～8时体温最稳定；④从3月22日8时开始，每8小时量一次体温，若体温不低于38.5℃就服用退烧药，根据图中信息可知该病人服用了3次退烧药．其中所有正确结论的编号是（）A．③④B．②③C．①②④D．①②③【分析】根据题干条件和观察图象，逐一进行判断即可．解：①从治疗过程看，此病人已明显好转；①正确；②治疗期间体温最高为39°C ，最低略高于36°C ，极差小于3°C ；②正确； ③从每8小时的变化来看，25日0时～8时最稳定；③正确； ③有2次不低于38.5°C ，可知服用2次退烧药．④不正确； 故选：D ．10．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝3，S 9＝39，则S 6＝（ ） A ．24或﹣16B ．18或﹣3C ．12或﹣9D ．36或﹣12【分析】由已知结合等比数列的性质可知S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6仍成等比数列，代入即可求解．解：因为{a n }为等比数列，所以S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6仍成等比数列． 设S 6＝x ，则（x ﹣3）2＝3×（39﹣x ）， 解得x ＝12或x ＝﹣9． 故选：C ．11．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，过其焦点F 的直线与该双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，以OB 为直径的圆过A 点，且△OAB 的内切圆半径为2b 3，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√2B ．√52C ．√62D ．√72【分析】设直线AB 过双曲线的上焦点，△OAB 内切圆的圆心为D ，直线AB 、渐近线OA 与圆D 分别相切于点M 、N ，易证得四边形DMAN 为正方形，且|DN|=|AN|=2b3．因为双曲线C 的渐近线OA 的斜率k OA =−a b ，所以tan∠AOF =b a =|AF||AO|，而双曲线的焦点F 到渐近的距离|AF |＝b ，所以|AO |＝a ，|ON|=a −2b 3．又tan∠AOF =|DN||ON|=2b3a−2b 3，化简可得a ＝2b ，所以离心率e =√1+(b a )2=√52．解：不妨设直线AB过双曲线的上焦点，如图，设△OAB内切圆的圆心为D，直线AB 与圆D切于点M，渐近线OA与圆D切于点N．∵以OB为直径的圆过A点，∴∠OAB=π2．又∵∠DMA=∠DNA=π2，且|DM|＝|DN|，∴四边形DMAN为正方形，且|DN|=|AN|=2b 3．∵双曲线C的渐近线OA的斜率k OA=−a b，∴tan∠AOF=ba=|AF||AO|，∵双曲线的焦点F（0，c）到渐近y=−abx的距离|AF|=|bc|√a2+b=bc c=b，∴|AO|＝a，∴|ON|=a−2b 3．又∵tan∠AOF=|DN||ON|=2b3a−2b3，∴ba=2b3a−2b3，∴a＝2b，∴e=√1+(ba)2=√52．故选：B．12．已知f'（x）是函数f（x）的导函数，对任意的实数x都有f'（x）+f（x）=−2e x，且f(32)=0，若函数y＝f（x）﹣a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．(−2e−25，+∞)B．(−2e25，0)C．(−2e−52，+∞)D．(−2e−52，0)【分析】问题转化为y＝a和y＝f（x）有2个交点的问题，设函数g（x）＝e x f（x）+2x ﹣3，求出f（x）的解析式，根据函数的单调性，求出f（x）的最值，求出a的范围即可．解：设函数g（x）＝e x f（x）+2x﹣3，则g'（x）＝e x f（x）+e x f'（x）+2，因为f′(x)+f(x)=−2e x，即e x f（x）+e x f'（x）+2＝0，所以g'（x）＝0，因为f(32)=0，则g(32)=0，由g（x）＝0，则f(x)=3−2xe x，f′(x)=2x−5e x，f（x）在(−∞，52)上单调递减，在(52，+∞)上单调递增，∴f（x）min＝f（52）＝﹣2e−52，且当x＞32时，f（x）＜0，当a∈(−2e−52，0)时，y＝f（x）与y＝a有两个交点，所以实数a的取值范围是(−2e−52，0)，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上.13．若复数3−ai 1−2i（a ∈R ）是纯虚数，则|2a +i |＝ √10 ．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值，然后利用复数模的计算公式求解．解：∵3−ai 1−2i=(3−ai)(1+2i)5=3+2a+(6−a)i5为纯虚数，∴{3+2a =06−a ≠0，即a =−32，∴|2a +i|=|−3+i|=√10． 故答案为：√10．14．已知数列{a n }为等差数列，a 7﹣a 5＝6，a 11＝24，若S m ＝75，则m ＝ 10 ． 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．解：由a 7﹣a 5＝2d ＝6，可知d ＝3，由a 11＝a 1+10×3＝24，得a 1＝﹣6， 所以S m =m ×(−6)+m(m−1)2×3=75， 解得m ＝10或m ＝﹣5（舍去）． 故答案为：10．15．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y ＝x +b ，若x 1+x 2=−12，则p ＝14．【分析】由题知，x 12=2py 1，x 22=2py 2，两式相减整理后可得y 1−y 2x 1−x 2=x 1+x 22p=k AB ，显然直线AB 的斜率k AB ＝﹣1，而x 1+x 2=−12，代入即可求出p 的值．解：由题知，x 12=2py 1，x 22=2py 2，两式相减得（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）＝2p （y 1﹣y 2），∴y 1−y 2x 1−x 2=x 1+x 22p=k AB ，∵线段AB 的垂直平分线为y ＝x +b ，∴直线AB 的斜率k AB ＝﹣1，∴x 1+x 2=−2p =−12，∴p =14．故答案为：14．16．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有 68 种．【分析】根据题意，设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，按甲乙乡镇派遣医生的数目不同分3种情况讨论，求出每种情况下选派方案的数目，由加法原理计算可得答案． 解：根据题意，设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，若甲乡镇派遣三名医生，则共有C 41+C 21⋅C 42+C 22⋅C 41=20种方案；若甲乡镇派遣四名医生，则共有C 20⋅C 42+C 21⋅C 41+C 21⋅C 43+C 22⋅C 42=28种方案； 若甲乡镇派遣五名医生，则共有C 20⋅C 43+C 21⋅C 42+C 22⋅C 43=20种方案．综上可得，不同的派遣方案有20+28+20＝68种． 故答案为：68三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知m →=(3a −c ，b)，n →=(cosB ，−cosC)，且m →⊥n →． （1）求sin B 的值；（2）若b ＝2，△ABC 的面积为√64，求△ABC 的周长． 【分析】（1）根据平面向量的数量积和正弦定理，利用三角恒等变换，即可求得cos B 和sin B 的值；（2）根据余弦定理和△ABC 的面积公式，即可求出a +c 的值，得出△ABC 的周长．解：（1）由m →⊥n →，所以m →⋅n →=(3a −c)cosB −bcosC =0， 由正弦定理可得（3sin A ﹣sin C ）cos B ﹣sin B cos C ＝0，即3sin A cos B ﹣sin C cos B ﹣sin B cos C ＝3sin A cos B ﹣sin （B +C ）＝0； 又sin （B +C ）＝sin A ，所以3sin A cos B ﹣sin A ＝0；又A ∈（0，π），所以sin A ≠0，所以cosB =13；又B ∈（0，π），所以sinB =√1−cos 2B =2√23．（2）根据余弦定理可知b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 所以4=a 2+c 2−23ac ，即4=(a +c)2−83ac ；又△ABC 的面积为√64，所以−12acsinB =12ac ×2√23=√64，解得ac =3√34，所以(a +c)2=4+83ac =4+2√3=(√3+1)2， 解得a +c =√3+1； 所以△ABC 的周长为√3+3．18．已知函数f （x ）＝x 3+bx 2+cx ﹣1的图象在（1，f （1））处的切线经过点（2，4），且f （x ）的一个极值点为﹣1． （1）求f （x ）的极值；（2）已知方程f （x ）﹣m ＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，求m 的取值范围．【分析】（1）求出导函数求出切线的斜率，切点坐标，得到切线方程，求出极值点，判断导函数的符号，推出结果即可．（2）方程f（x）﹣m＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，推出函数y＝f（x）的图象与直线y＝m在[﹣2，2]上恰有一个交点．利用零点判断定理推出结果即可．解：（1）∵f'（x）＝3x2+2bx+c，∴f'（1）＝3+2b+c，∴f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y﹣（b+c）＝（3+2b+c）（x﹣1）．∵该切线经过点（2，4），∴4﹣（b+c）＝（3+2b+c）（2﹣1），即3b+2c＝1①．又∵f（x）的一个极值点为﹣1，∴f'（﹣1）＝3﹣2b+c＝0②．由①②可知b＝1，c＝﹣1，故f（x）＝x3+x2﹣x﹣1．f'（x）＝3x2+2x﹣1，令f'（x）＝0，得x＝﹣1或x=1 3．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）﹣1(−1，13)13(13，+∞)f'（x）+0﹣0+ f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增故f（x）极大值＝f（﹣1）＝0，f(x)极小值=f(13)=−3227．（2）∵方程f（x）﹣m＝0在[﹣2，2]上恰有一个实数根，∴函数y＝f（x）的图象与直线y＝m在[﹣2，2]上恰有一个交点．∵f（﹣2）＝﹣3，f（2）＝9，结合函数f（x）的图象，可得m∈[−3，−3227)∪(0，9]．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠ADC＝120°，M是AD的中点．（1）证明：BM ⊥平面ADD 1A 1；（2）若AB ＝2，AA 1＝3，求二面角C 1﹣BM ﹣A 1的正弦值．【分析】（1）推导出△ABD 是等边三角形，BM ⊥AD ．从而AA 1⊥平面ABCD ．进而AA 1⊥BM ．由此能证明BM ⊥平面ADD 1A 1．（2）取A 1D 1的中点N ，则MN ∥AA 1，由（1）知，直线MA ，MB ，MN 两两相互垂直，以M 为原点，分别以MA ，MB ，MN 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M ﹣xyz ．利用向量法能求出二面角C 1﹣BM ﹣A 1的正弦值．【解答】（1）证明：∵AB ＝AD ，∠ADC ＝120°，∴△ABD 是等边三角形， ∴M 是AD 的中点，∴BM ⊥AD ．∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，∴AA 1⊥平面ABCD ． ∵BM ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥BM ．∵AD ∩AA 1＝A ，且AD ⊂平面ADD 1A 1，AA 1⊂平面ADD 1A 1， ∴BM ⊥平面ADD 1A 1．（2）解：取A 1D 1的中点N ，则MN ∥AA 1，由（1）知，直线MA ，MB ，MN 两两相互垂直，如图，以M 为原点，分别以MA ，MB ，MN 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M ﹣xyz ．则M （0，0，0），B(0，√3，0)，A 1（1，0，3），C 1(−2，√3，3)， ∴MA 1→=(1，0，3)，MB →=(0，√3，0)，MC 1→=(−2，√3，3)．设平面BMC 1的一个法向量为n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅MB →=0n →⋅MC 1→=0，即{√3y 1=0−2x 1+√3y 1+3z 1=0，令z 1＝2，则x 1＝3，y 1＝0，可得n →=(3，0，2)．设平面A 1BM 的一个法向量为m →=(x 2，y 2，z 2)，则{m →⋅MB →=0m →⋅MA 1→=0，即{√3y 2=0x 2+3z 1=0， 令x 2＝﹣3，则z 2＝1，y 2＝0，可得m →=(−3，0，1)．∴cos〈n →，m →−9+213×10=−7√130130，从而sin〈n →，m →〉=9√130130， 即二面角C 1﹣BM ﹣A 1的正弦值为9√130130．20．已知x ＞0，y ＞0，且ln （x +y ）﹣ln 2x ﹣lny ＝0． （1）证明：12x +3y ≥272． （2）证明：(x 2+1)(y 2+1)x+y≥2．【分析】（1）由已知等式可得1x+1y=2．再由12x +3y =12(12x +3y)(1x +1y )，展开后利用基本不等式求最值，则原不等式得证；（2）利用分析法证明，即要使(x 2+1)(y 2+1)x+y≥2成立，最后需要（5xy ﹣1）（xy ﹣1）≥0成立，再由x +y ≥2√xy ，结合已知求得的x +y ＝2xy ，可得xy ≥1，得到（5xy ﹣1）（xy ﹣1）≥0成立，问题得证．【解答】证明：（1）∵正数x ，y 满足ln （x +y ）﹣ln 2x ﹣lny ＝0， ∴ln （x +y ）＝ln 2xy ， ∴x +y ＝2xy ，即1x +1y=2．∴12x +3y =12(12x +3y)(1x +1y )=12(15+12xy +3yx )≥272， 当且仅当12x y=3y x，即x =34，y =32时取等号，∴12x +3y ≥272； （2）∵x ＞0，y ＞0，∴欲证(x 2+1)(y 2+1)x+y≥2，即证（x 2+1）（y 2+1）≥2（x +y ），即要证（xy ）2+（x 2+y 2）+1≥2（x +y ）， 只需证（xy ）2+（x +y ）2﹣2xy +1≥2（x +y ）．∵x +y ＝2xy ，∴只要证（xy ）2+4（xy ）2﹣2xy +1≥4xy ， 即证5（xy ）2﹣6xy +1≥0， 即证（5xy ﹣1）（xy ﹣1）≥0，①∵x +y ≥2√xy ，∴2xy ≥2√xy ，即xy ≥1，故①显然成立， 从而原不等式得证．21．设点M 和N 分别是椭圆C ：x 2a +y 2=1（a ＞0）上不同的两点，线段MN 最长为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线MN 过点Q （0，2），且OM →⋅ON →＞0，线段MN 的中点为P ，求直线OP的斜率的取值范围．【分析】（1）当线段MN 为长轴时，其长度最长，所以4＝2a ，a ＝2，于是可得椭圆C 的标准方程；（2）直线MN 的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx +2，将其与椭圆的方程联立可得（1+4k 2）x 2+16kx +12＝0，由△＞0解得k 2＞34，写出韦达定理，并求得y 1y 2=4−4k21+4k2，因为OM →⋅ON →＞0，所以x 1x 2+y 1y 2＞0，又解得k 2＜4，故34＜k 2＜4①．然后设直线OP的斜率为k '，利用点差法可得k =−14k′②，由①②即可求出直线OP 斜率的取值范围．解：（1）因为线段MN 最长为4，所以4＝2a ，即a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）由题意知，直线MN 的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx +2，联立{y =kx +2x 24+y 2=1，整理得（1+4k 2）x 2+16kx +12＝0，由△＝（16k ）2﹣4×（1+4k 2）×12＝16（4k 2﹣3）＞0，可得k 2＞34．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=−16k 1+4k2，x 1x 2=121+4k2，所以y 1y 2＝（kx 1+2）（kx 2+2）=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=4−4k 21+4k2．因为OM →⋅ON →＞0，所以x 1x 2+y 1y 2=121+4k2+4−4k 21+4k2=4(4−k 2)1+4k2＞0，即k 2＜4，故34＜k 2＜4．设直线OP 的斜率为k '，因为{x 124+y 12=1x 224+y 22=1，两式相减得y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)，所以k =−14k′，则k′2=116k 2∈(164，112)，故直线OP的斜率的取值范围是(−√36，−18)∪(18，√36)．22．已知函数f（x）＝x2+mlnx（m∈一、选择题）．（1）当m＝﹣1时，求f（x）的最值；（2）当m＝2时，记函数g（x）＝f（x）﹣ax（a≥5）的两个极值点为x1，x2，且x1＜x2，求g（x2）﹣g（x1）的最大值．【分析】（1）当m＝﹣1时，函数f（x）＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），f′(x)=2x−1 x =2x2−1x，令f'（x）＝0，得x，利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．（2）当m＝2时，g（x）＝x2+2lnx﹣ax（x＞0），g′(x)=2x−a+2x．由x1，x2是方程2x2﹣ax+2＝0的两个不等实根，可得x1+x2=a2，x1x2＝1，计算g（x2）﹣g（x1）利用x2表示，令t=x22，则g(x2)−g(x1)=1t−t+2lnt，利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可得出．解：（1）当m＝﹣1时，函数f（x）＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），f′(x)=2x−1x =2x2−1x，令f'（x）＝0，得x=√22，所以函数f（x）在(0，√22)上单调递减，在(√22，+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(√22)=1+ln22，无最大值．（2）当m＝2时，g（x）＝x2+2lnx﹣ax（x＞0），g′(x)=2x−a+2 x．因为x1，x2是方程2x2﹣ax+2＝0的两个不等实根，所以x1+x2=a2，x1x2＝1，因此g(x2)−g(x1)=(x22−ax2+2lnx2)−(x12−ax1+2lnx1)=x22−x12+2(x1+x2)(x1−x2)+2ln x2x1=x12−x22+2ln x2x1=1x22−x22+2lnx22．令t=x22，则g(x2)−g(x1)=1t−t+2lnt，因为x2=a+√a2−164≥5+√25−164=2，所以t=x22∈[4，+∞)．令h(t)=1t−t+2lnt，t∈[4，+∞），则h′(t)=−1t2−1+2t=−t2−2t+1t2=−(t−1)2t2＜0，在t∈[4，+∞）上恒成立，所以h(t)=1t−t+2lnt在t∈[4，+∞）上单调递减，故h(t)max=h(4)=14−4+2ln4=4ln2−154．即g（x2）﹣g（x1）的最大值为4ln2−15 4．。