经典二次函数和实际应用题解法

二次函数的应用题解析二次函数是一种常见的数学函数，其表达式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是实数，且 a 不为零。

二次函数在数学领域有广泛的应用，尤其在物理学、经济学和工程学等实际问题中。

本文将通过几个具体的应用题，来解析二次函数的运用。

1. 弹跳高度问题假设有一个物体从 10 米的高度自由落下，每次弹起的高度是上一次的 0.8 倍。

问经过多次弹跳后，物体的总弹起高度是多少。

解析：设经过 n 次弹跳后，物体的总弹起高度为 H(n)。

第一次弹跳后，高度为 10 * 0.8 = 8 米。

第二次弹跳后，高度为 8 * 0.8 = 6.4 米。

可知第 n 次弹跳的高度为 10 * (0.8)^n 米。

因此，物体的总弹起高度为 H(n) = 10 + 10 * 0.8 + 10 * (0.8)^2 + ... + 10 * (0.8)^n 米。

2. 投掷问题一个物体从地面抛出，并以初速度 20 米/秒和抛出角度 45 度的方式进行抛射。

求该物体的运动方程，并计算它的最大高度和飞行时间。

解析：设物体的运动方程为 y = ax^2 + bx + c。

由于抛体运动的轨迹是一个抛物线，因此可以使用二次函数来描述。

首先，我们需要确定二次函数的系数。

由于初速度和角度已知，可以通过物理公式得到 x 方向和 y 方向的运动方程：x(t) = v0 * cosθ * ty(t) = v0 * sinθ * t - (1/2) * g * t^2其中，v0 是初速度，θ 是抛出角度，t 是时间，g 是重力加速度。

将x(t) 和 y(t) 代入二次函数的表达式中，得到物体的运动方程。

最大高度可以通过求解二次函数的顶点坐标得到，顶点的 x 坐标即为最大高度对应的时间。

飞行时间可以通过求解二次函数的 x 轴上的两个根得到，即物体在地面上的两个交点对应的时间。

3. 利润最大化问题一个公司生产某种产品，每个产品的售价为 p 元，每个产品的生产成本为 c 元。

二次函数方程的应用题解析二次函数方程是高中数学中重要的一部分，它在实际生活和各个领域中有着广泛的应用。

本文将从实际问题出发，通过解析具体的应用题，介绍二次函数方程的应用方法和解题思路。

1. 弹射物体的高度计算假设一球从地面上以速度v0垂直上抛，经过时间t后，求球的高度h。

根据物理知识，球的高度h与时间t之间的关系可以用二次函数方程h=-gt^2+vt表示，其中g是自由落体加速度。

解题步骤：（1）确定二次函数的三要素，即开口方向、平移和伸缩等。

（2）将问题中已知的速度v0和时间t代入二次函数方程，解得球的高度h。

2. 投影问题假设有一个斜抛运动，以速度v0沿着夹角α斜抛出去，求物体的水平位移x和垂直位移y。

解题步骤：（1）将水平方向和垂直方向的速度分解，分别为v0cosα和v0sinα。

（2）根据时间t的不同，将x和y分别表达为关于t的函数。

（3）令y=0，求解方程得到物体落地的时间t0。

（4）将t0代入x的函数中，求解物体的水平位移x。

3. 关于顶点的最值问题对于二次函数方程f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，顶点的横坐标为x0=-b/2a。

（1）最值问题：若a>0，则f(x)在x0处取得最小值，最小值为f(x0)。

（2）最值问题：若a<0，则f(x)在x0处取得最大值，最大值为f(x0)。

通过上述例题，我们不难发现，二次函数方程在解决实际问题中起到了重要的作用。

掌握二次函数方程的应用方法和解题思路，将有助于我们更好地理解和应用数学知识。

总结：二次函数方程在实际应用中具有广泛的应用价值。

本文从弹射物体的高度计算、投影问题以及关于顶点的最值问题等方面，解析了二次函数方程的应用方法和解题思路。

通过深入理解和练习实际问题的解析，我们可以更好地掌握二次函数方程的应用技巧，提高数学解题能力。

二次函数经典题型详解
二次函数是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和三角学中都有广泛的应用。

下面是一些经典的二次函数题型及其解答方法。

1. 求二次函数的解析式
题目：已知二次函数的图像经过点(1,0)，(2,0)和(3,4)，求这个二次函数的
解析式。

解法：设二次函数的解析式为 $y = a(x - 1)(x - 2)$，将点(3,4)代入解析式，得到 $4 = a(3 - 1)(3 - 2)$，解得 $a = 2$，所以这个二次函数的解析式为$y = 2(x - 1)(x - 2)$。

2. 求二次函数的顶点坐标和对称轴
题目：已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的对称轴为 $x = 1$，且经过点(0,3)，求这个二次函数的解析式。

解法：由于对称轴为 $x = 1$，所以顶点的横坐标为 1，设顶点坐标为$(1,m)$，将点 (0,3) 代入解析式 $y = a(x - 1)^2 + m$，得到 $3 = a(0 -
1)^2 + m$，解得 $a = 3 - m$，所以这个二次函数的解析式为 $y = (3 - m)(x - 1)^2 + m$。

3. 求二次函数的最大值或最小值
题目：已知二次函数 $y = x^2 - 2x$，求这个二次函数的最小值。

解法：由于 $a = 1 > 0$，所以这个二次函数的最小值为顶点的纵坐标，即$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \times 1 \times (-2) - (-2)^2}{4 \times 1} = -\frac{3}{4}$。

二次函数的应用题及解答在数学中，二次函数是一类常见的函数类型，由形如y=ax²+bx+c的方程所定义，其中a、b和c是实数且a不等于零。

二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如在物理学、经济学和工程学等领域。

本文将探讨二次函数的应用题及解答，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 弹射问题假设有一个小球从地面上以初速度v0竖直上抛，忽略空气阻力的影响。

则小球的高度可用二次函数模型y=-gt²+v0t+h来描述，其中g是重力加速度，t为时间，h为抛射的起始高度。

问题：一个小球从地面上以10 m/s的速度竖直上抛，起始高度为1.5m。

求小球的高度和时间的关系，并计算小球落地时的时间。

解答：根据模型y=-gt²+v0t+h，将已知数据代入，得到二次函数模型为y=-5t²+10t+1.5。

我们需要求解该函数的根，即令y=0，解得t=0和t=2。

因此，小球的高度和时间的关系可用二次函数y=-5t²+10t+1.5表示。

落地时的时间为t=2秒。

2. 投射问题假设有一枚炮弹以一定角度a和初速度v0被抛射出去，并忽略空气阻力的影响。

则炮弹的水平位移可用二次函数模型x=v0cos(a)t来表示，垂直位移可用二次函数模型y=-gt²+v0sin(a)t来表示。

问题：一枚炮弹以60°的角度和100 m/s的速度被抛射，求炮弹的轨迹和最远射程。

解答：根据模型x=v0cos(a)t和y=-gt²+v0sin(a)t，将已知数据代入，得到二次函数模型x=50t和y=-5t²+86.6t。

炮弹的轨迹由这两个函数表示。

为了求解最远射程，我们需要找到函数y=-5t²+86.6t的顶点坐标。

通过求导可得到顶点坐标为(8.66, 346.4)。

因此，最远射程为346.4米，对应的水平位移为8.66米。

3. 经济问题假设某个公司的固定成本为C0，每单位产品的生产成本为C，每单位产品的售价为P。

实际问题与二次函数知识点总结和重难点精析一、实际问题与二次函数的定义和基本性质在九年级数学中，我们学习了二次函数的基本概念、表示方法和性质。

二次函数是指形如y = ax²+bx+c(a≠0)的函数，其中a、b、c为实数。

二次函数的图像是一个抛物线，具有以下基本性质：1.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

2.一次项系数b和二次项系数a共同决定抛物线的对称轴位置。

3.常数项c决定抛物线与y轴的交点。

二、实际问题与二次函数的解题方法解决实际问题时，需要灵活运用二次函数的性质和解题方法。

下面列举几种常见的解题方法：1.图像法：通过观察二次函数的图像，直接得出答案。

例如，在解决几何问题时，可以通过画图直接找出答案。

2.公式法：根据二次函数的公式，直接代入已知数进行计算。

例如，在解决代数问题时，可以运用二次方程求根公式等。

3.配方法：将二次函数化为顶点式，然后根据抛物线的性质进行解题。

例如，在解决最大值或最小值问题时，可以采用配方法。

4.因式分解法：将二次函数化为两个一次因式的乘积，然后通过解方程组得出答案。

例如，在解决某些代数问题时，可以采用因式分解法。

三、重难点精析1.重难点知识点介绍(1)二次函数的图像和性质：如何根据图像判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等;如何根据性质求出抛物线的最值、单调区间等。

(2)二次函数的应用题：如何根据实际问题建立二次函数模型;如何求解模型得出实际问题的答案;如何验证答案的正确性。

2.解题思路和技巧(1)对于图像题，可以采用数形结合的方法，将抽象的数学问题转化为形象的图像问题，从而简化解题过程。

(2)对于性质题，需要熟练掌握抛物线的各种性质，例如最值、单调性等，从而可以灵活运用到解题中。

(3)对于应用题，需要认真审题，将实际问题转化为数学问题，然后建立模型求解。

同时需要注意答案的合理性和实际意义的符合性。

3.解题错误分析(1)对于图像题，可能出现的错误是将图像中的信息误解或遗漏，导致答案错误。

求解二次函数方程的经典方法与练习题二次函数方程是高中数学中的重要内容之一，也是解析几何和数学分析中的关键概念。

本文将介绍几种经典的方法来求解二次函数方程，并提供一些练题供读者练。

1. 完全平方公式完全平方公式是求解一元二次方程的基本方法之一。

对于一般形式的二次函数方程 `ax^2 + bx + c = 0`，我们可以使用完全平方公式来求解。

该公式如下：对于方程 ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，设二次项系数为 a，一次项系数为 b，常数项为 c，则方程有如下两个解：x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)2. 因式分解法当二次函数方程的系数比较简单时，我们可以尝试使用因式分解法来求解。

例如，对于方程 `x^2 - 5x + 6 = 0`，我们可以尝试将其因式分解为 `(x - 2)(x - 3) = 0`。

这样，我们就可以得到方程的两个解为 `x = 2` 和 `x = 3`。

3. 直接开平方法当二次函数方程的形式为 `x^2 = a` 时，我们可以使用直接开平方法来求解。

该方法是直接对方程两边开平方，得到`x = ±√a`。

4. 练题下面是一些练题，希望读者能够通过练加深对求解二次函数方程的理解和掌握：1. 解方程 `2x^2 + 5x + 3 = 0`。

2. 解方程 `3x^2 - 12x + 9 = 0`。

3. 解方程 `x^2 - 6x + 9 = 0`。

4. 解方程 `4x^2 + 4x + 1 = 0`。

5. 解方程 `x^2 + 16 = 0`。

结论求解二次函数方程的经典方法包括完全平方公式、因式分解法和直接开平方法。

这些方法能够帮助我们高效地解决一元二次方程，并适用于不同形式的方程。

通过练题的练，我们可以加深对这些方法的理解和掌握。

希望本文对读者有所帮助，理解和掌握求解二次函数方程的经典方法。

二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。

二次函数实际问题广泛存在于我们的日常生活中，例如物体的自由落体运动、桥梁的拱形设计、以及经济学中的成本收益问题等。

下面，我们将通过具体的例子，探讨二次函数实际问题的解题方法。

例题：一位农民有一块形状为直角三角形的土地，他计划将这块土地用于种植，需要围上篱笆。

已知直角三角形的两条直角边长度分别为a米和b米，假设篱笆的价格是每米p元，那么他需要花费多少元来围这块土地？
解题步骤如下：
根据题目，理解问题的背景和目标。

在这个问题中，我们需要找出农民围土地所需的总花费，这是我们的目标。

定义变量。

这里，直角三角形的两条直角边长度是已知的，分别为a米和b米，篱笆的价格也是已知的，为p元/米。

我们需要找出的是篱笆的总长度，我们设其为L米。

建立数学模型。

我们知道，直角三角形的周长等于其三条边的长度之和。

因此，篱笆的总长度L = a + b + 斜边长度。

而斜边的长度可以通过勾股定理求得，即斜边长度= √(a²+ b²)。

所以，L = a + b + √(a²+ b²)。

然后计算总的花费，即总价= Lp = p(a + b + √(a²+ b²))。

通过数学模型，我们得到了总价是p*(a + b + √(a²+ b²))元。

以上就是一个利用二次函数解决的实际问题。

需要注意的是，在解决这类问题时，首先要明确问题的目标，然后确定已知和未知的变量，通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，最后求解数学模型，得出实际问题的答案。

二次函数的应用题及解析二次函数是数学中重要的函数之一，广泛应用于各个领域。

本文将探讨几个常见的二次函数应用题，并进行详细解析。

问题一：某天气预报显示，一天内温度的变化服从二次函数关系。

已知该地点上午8时的温度为15摄氏度，下午2时的温度为25摄氏度，晚上8时的温度为18摄氏度。

问该地点第二天早上6时的温度是多少摄氏度？解析：根据已知条件构建二次函数的关系式。

假设时间为x，温度为y，则可以得出二次函数表达式为：y = ax^2 + bx + c。

根据题目所给的条件，可以列出如下方程组：方程1：64a + 8b + c = 15方程2：256a + 16b + c = 25方程3：576a + 48b + c = 18解上述方程组，得到 a = -0.005, b = 0.16, c = 15.16。

带入x = 22（第二天早上6时的时间），计算二次函数的值，即可得到第二天早上6时的温度为20.62摄氏度。

问题二：某公司销售某款产品，预测未来几个月的销售情况。

已知该产品销售量符合二次函数模型。

已知该产品2月份的销售量为2000件，5月份的销售量为3000件，8月份的销售量为4000件。

预测11月份的销售量是多少件？解析：同样地，假设时间为x，销售量为y，构建二次函数关系式：y = ax^2 + bx + c。

根据已知条件，列出方程组：方程1：4a + 2b + c = 2000方程2：25a + 5b + c = 3000方程3：64a + 8b + c = 4000解方程组得到a = 100, b = -500, c = 2400。

带入x = 14（11月份的时间），计算二次函数的值，可得到预测11月份的销售量为3400件。

通过以上两个实例，我们可以看到二次函数在温度预测和销售预测中的应用。

根据给定的条件，构建二次函数关系式，并解方程组可以得到问题所求的结果。

通过这种方法，我们可以更加准确地评估和预测未来的发展趋势。

二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数的应用背景1.二次函数在实际问题中的重要性2.常见实际问题与二次函数的关系二、二次函数典型例题解析1.例题一：抛物线与直角三角形的面积问题2.例题二：抛物线与最值问题3.例题三：抛物线与交点问题4.例题四：抛物线与对称性问题三、解决二次函数实际问题的方法与技巧1.利用二次函数的基本性质2.代数法与几何法的结合3.合理运用已知条件四、总结1.二次函数与实际问题的紧密联系2.解决二次函数实际问题的策略与方法正文：二次函数在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解许多现实中的现象，还能为解决实际问题提供有力的工具。

本文将通过解析几道典型的二次函数实际问题例题，来探讨如何巧妙地运用二次函数来解决实际问题。

首先来看一道抛物线与直角三角形的面积问题。

题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与x 轴相交于A、B 两点，且AB = 4，点C 到AB 的距离为h。

求抛物线与三角形ABC 的面积。

解析：通过将抛物线与x 轴相交的点A、B 坐标代入解析式，可以求得a、b、c 的值，进一步计算出顶点坐标。

由于已知AB = 4，可以根据顶点到AB 的距离公式求得h，最后利用三角形面积公式计算出结果。

接下来是抛物线与最值问题。

题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 在x = 1 处取得最小值，求a、b、c 的值。

解析：根据抛物线的性质，可以知道当a > 0 时，抛物线开口向上，此时可以通过配方法将解析式转化为顶点式，从而求得最小值点的坐标。

当a < 0 时，抛物线开口向下，此时可以通过配方和换元法求得最值。

再来一道抛物线与交点问题。

题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与直线y = mx + n 相交于不同的两点，求a、b、c、m、n 的关系。

解析：将直线方程代入抛物线方程，消去y 得到一个关于x 的二次方程，通过求解该方程可以得到交点的横坐标，再代入直线方程求得纵坐标，从而得到交点坐标。