第01讲_概率的进一步认识知识图谱概率的计算知识精讲一．用列表法和树状图法求事件的概率1.列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．2.树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．二．用频率估计概率实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．三点剖析一．考点：概率的计算二．重难点：用列表法和树状图法求事件概率三．易错点：（1）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（2）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。
判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合。
求简单事件的概率例题1、在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A.13B.23C.16D.34【答案】B【解析】分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率=46=23．例题2、围棋盒子中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是23．如果在原有的棋子中再放进4颗黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子为白色棋子的概率是12，则原来盒子中有白色棋子（）A.4颗B.6颗C.8颗D.12颗【答案】C【解析】由题意得14223xx yxx y⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪+⎩；解得48yx=⎧⎨=⎩，由此可得，原来盒子中有白色棋子8颗例题3、某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，摸到都是黄球的顾客获得大奖，摸到不全是黄球的顾客获得小奖．（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你讲转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数，结合转盘简述获奖方式，不需要说明理由）．【答案】见解析【解析】（1）符合，一共出现20种可能性，并且每种可能性都相同，所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记为事件A）的结果有2种，即（黄1，黄2）或（黄2，黄1），所以P（两黄球）212010==，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%；（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．如图，将转盘中圆心角为36︒的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．随练1、如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】列表如下：共有6种情况，必须闭合开关S 3灯泡才亮， 即能让灯泡发光的概率是=．故选C ．随练2、 在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，它们除颜色外全部相同，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（ ） A.1颗B.2颗C.3颗D.4颗【答案】 B【解析】 解：由题意得：25134x x y x x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪++⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩故选：B ．随练3、 有一盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，6个乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一乒乓球．（1）你认为李明同学摸出的球，最有可能是______颜色； （2）请你计算摸到每种颜色球的概率；（3）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？【答案】 （1）白（2）16（3）公平【解析】 （1）因为白色的乒乓球数量最多，所以最有可能是白色（2）摸出一球总共有6种可能，它们的可能性相等，摸到白球有3种、黄球有2种、红球有1种．所以P （摸到白球）=3162=，P （摸到黄球）=2163=，P （摸到红球）=16；（3）答：公平．因为P （摸到白球）=12，P （摸到其他球）=21162+=，所以公平．列表法和树状图法求概率例题1、 如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是__________．【答案】715【解析】 列表得（1，8）（1，7）（1，6）（1，5）（1，4）；（2，8）（2，7）（2，6）（2，5）（2，4）；（3，8）（3，7）（3，6）（3，5）（3，4）；其中为偶数的有7种，故数字和为偶数的概率是715例题2、 一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有1，1-，2-，3-四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为__________． 【答案】 38【解析】画树状图，得因为共有16种可能的结果，两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的有6种情况所以两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率63168==．例题3、 有十张正面分别标有数字3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，6的不透明卡片，他们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，将该卡片上的数字加1记为b ．则数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的概率为___________．【答案】 710【解析】 列表得：一共有(3,2)--、(2,1)--、(1,0)-、(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)；数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的情况有：(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)七种，则710P =． 例题4、 在平面直角坐标系中给定以下五个点A （2-，0）、B （1，0）、C （4，0）、D （2-，92）、E （0，6-），在五个形状、颜色、质量完全相同的乒乓球上标上A 、B 、C 、D 、E 代表以上五个点．玩桌球游戏，每次摸三个球，摸一次，三球代表的点恰好能确定一条抛物线（对称轴平行于y 轴）的概率是（ ） A.12 B.35 C.710 D.45 【答案】 B【解析】 所有的摸球情况有：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BCE 、BDE 、CDE 共有10种情况；其中，ABC 时，三点都在x 轴上，共线，不能确定一条抛物线；而ABD 、ACD 、ADE 时，A 、D 的横坐标都是2-，不复合函数的定义；所以能确定一条抛物线的情况有：10136--=，所以35P =．随练1、 把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x ，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y ，以长度分别为x 、y 、5的三条线段能构成三角形的概率为__________． 【答案】49【解析】 列表可得因此，点(),A x y 的个数共有9个；则x 、y 、5的三条线段能构成三角形的有4组，可得49P =． 随练2、 在不透明的口袋中，有五个形状、大小、质地完全相同的小球，五个小球分别标有数字2-、1-、0、2、3，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的横坐标，然后放回摇匀，再从口袋中人去一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的纵坐标，则点C 恰好与点A （2-，2）、B （3，2）构成直角三角形的概率是_________． 【答案】 25【解析】 画树状图如下：共有25种情况，当点C 的坐标为（2-，2-）、（2-，1-）、（2-，0）、（2-，3）、（1-，0）、（2，0）、（3，2-）、（3，1-）、（3，0）、（3，3）共10种情况时，构成直角三角形，P （直角三角形）102255==．用频率估计概率例题1、 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ） A.频率就是概率B.频率与试验次数无关C.概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】 D【解析】 本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答． ∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率， ∴D 选项说法正确． 故选：D ．例题2、 某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：根据表中数据，估计这种幼树移植活率的概率为__________（精确到0.1）． 【答案】 0.9【解析】 (0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902)70.9x =++++++÷≈例题3、 在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据 （1）请你估计，当n 很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________． （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】 （1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】 （1）根据题意可得当n 很大时，摸到白球的概率将会接近0.6．移植总数（） 成活数（） 成活的频率摸球次数（） 摸到白球次数（）摸到白球的频率（）（2）由（1）可得，摸到白球的概率是35，摸到黑球的概率是25；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数320125=⨯=个；黑球的个数22085=⨯=个．随练1、 如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 （精确到0.1）．【答案】 0.5【解析】 由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：7961550≈0.5．随练2、 某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： （1）计算并完成表格： （2）请估计，当n 很大时，频率将会接近多少？（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1）【答案】 （1）见解析；（2）0.7；（3）0.7；（4）252 【解析】 （1）（2）当n 很大时，频率将会接近 681111363455647010.71001502005008001000+++++=+++++（3）获得铅笔的概率约是0.7（4）扇形的圆心角约是0.7360252⨯=拓展1、 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ）投篮次数（n ） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m ） 28 60 78 104 123 152 251 投中频率（m/n ） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50转动转盘的次数 落在“铅笔”的次数落在铅笔的频率转动转盘的次数 落在“铅笔”的次数落在铅笔的频率A.49B.13C.16 D.19【答案】 D【解析】 列表得：∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，∴两次摸出的球都是黑球的概率为19．2、 在四张编号为A ，B ，C ，D 的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．（1）我们知道，满足a 2+b 2=c 2的三个正整数a ，b ，c 成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P 1；（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A ，B ，C ，D 表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P 2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？【答案】 （1）嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P 1=34（2）淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样【解析】 （1）嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P 1=34；（2）列表法：由列表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种， 其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种，∴P 2=612=12，∵P 1=34，P 2=12，P 1≠P 2∴淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．3、 从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a ，那么，使关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，且使关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4的概率____．黑 白 白 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白）A BC D A（A ，B ） （A ，C ） （A ，D ） B （B ，A ）（B ，C ）（B ，D ） C （C ，A ） （C ，B ）（C ，D ）D （D ，A ） （D ，B ）（D ，C ）【答案】13【解析】 由关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a 的值，由关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，可求得a 的取值范围，继而求得答案．∵一次函数y=2x+a 与x 轴、y 轴的交点分别为：（﹣2a，0），（0，a ），∴|﹣2a |×|a|×12=4，解得：a=±4，∵当△=16﹣4a ≥0，即a ≤4时，关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，∴使关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，且使关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：13．故答案为：134、 王红和刘芳两人在玩转盘游戏，如图，把转盘甲、乙分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则是：转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为7时，王红胜；数字之和为8时，刘芳胜．那么这二人中获胜可能性较大的是__________．【答案】 王红【解析】 共9种情况，和为7的情况数有3种，王红获胜的概率为39；和为8的情况数有2种，刘芳获胜的概率为29； 王红获胜的可能性较大． 5、 在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据（1）请你估计，当n 很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________． （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】 （1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】 （1）根据题意可得当\(n\)很大时，摸到白球的概率将会接近\(0.6\)．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是\(\frac{3}{5}\)，摸到黑球的概率是\(\frac{2}{5}\)；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数\(=20\times \frac{3}{5}=12\)个；黑球的个数\(=20\times \frac{2}{5}=8\)个．摸球次数（） 摸到白球次数（）摸到白球的频率（）6、在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；（2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率=；（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=．。
概率的进一步认识知识精讲1.古典概型(1)古典概型的定义某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
(2)古典概型的概率的求法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件Am包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P(A)=n2.列表法求概率(1)列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
(2)列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
3.树状图法求概率(1)树状图法就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
(2)运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
4、利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
5、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
6、随机数在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。
把这些随机产生的数据称为随机数。
知识点01 用树状图或表格求概率的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．【例1】一个33(1)如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为__________；(2)如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．【例2】某校准备从八年级(1)班、(2)班的团员中选取两名同学作为十四运的志愿者，已知(1)班有5名团员(其中男生3人，女生2人)，(2)班有4名团员(其中男生1人，女生3人)．(1)如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为______；(2)如果分别从(1)班、(2)班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率．【例3】相约西安，筑梦全运，为迎接十四运，学校开展了运动会志愿者选拔活动．小亮和小贾都很优秀，一同报名参加了选拔活动，但只有一个参加名额．现通过抽卡片的方式决定谁去参加，规则如下：现有两组卡片，第一组为正面分别写有字母X、Y、Z的三张卡片，第二组为正面分别写有字母X、Y、Y、Z的四张卡片，这些卡片除正面字母外其余均相同．将卡片正面朝下洗匀，随机抽一张，记下字母后放回，称为抽卡片一次．(1)若小贾从第二组中抽卡片15次，其中9次抽出的卡片上写有字母Y，求这15次抽出的卡片上写有字母Y的频率；(2)小亮从第一组中抽卡片一次，小贾从第二组中抽卡片一次，若两人抽出的卡片上的字母相同，则小亮去参加；否则，小贾去参加．请问这种抽卡片的方式对两人是否公平？用列表或画树状图的方法说明理由．【例4】．如图，在3×3的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案．(1)如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？(2)现将方格内空白的小正方形(A，B，C，D)中任取2个涂黑，得到新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是中心对称图形的概率．【例5】．某校九(1)班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，将“垃圾分类”的知晓情况分为A，B，C，D四类，其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息解决下列问题：(1)补全条形统计图，并求出扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数．(2)类别A的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．知识点02 用频率估计概率【例1】在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八(1)班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：(2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______(精确到0.1)；(3)请推算：摸到红球的概率是_______(精确到0.1)；(4)试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．【例2】勤劳是中华民族的传统美德，学校要求学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．在学期初，小丽同学随机调查了七年级部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A(0≤x＜10)，B(10≤x ＜20)，C(20≤x＜30)，D(30≤x＜40)，E(x≥40)．并将调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)本次共调查了名学生；(2)根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；(3)扇形统计图中m＝，类别D所对应的扇形圆心角α的度数是度；(4)若从七年级随机抽取一名学生，估计这名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时的概率．【例3】如图，两个转盘A ，B 都被分成了3个全等的扇形，在每一个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A ，B ，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字(若指针停在扇形的边线上，当作指向上边的扇形)(1)用列表法(或树形图)表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果； (2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表： 转盘总次数 20 30 50 100 150 180 240 330 450 “和为7”出现的频数 7101630465981110150“和为7”出现的频率0.35 0.33 0.32 0.30 0.31 0.33 0.34 0.33 0.33如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；(3)根据(2)，若0＜x ＜y ，试求出x 与y 的值．1.有三张卡片上分别写有一个等式：1x +、21x -、5，把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张．第一次抽取的卡片上的整式做分子，第二次抽取的卡片上的整式做分母，用列表法或树形图法求能组成分式的概率是多少?2.甲、乙两同学设计了这样一个游戏：把三个完全一样的小球分别标上数字1、2、3后，放在一个不透明的口袋里，甲同学先随意摸出一个球，记住球上标注的数字，然后让乙同学抛掷一个质地均匀的、各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体骰子，又得到另一个数字，再把两个数字相加．若两人的数字之和小于7，则甲获胜；否则，乙获胜． (1)请你用画树状图或列表法把两人所得的数字之和的所有结果都列举出来．(2)这个游戏公平吗?如果公平，请说明理由；如果不公平，请你加以改进，使游戏变得公平．当堂提升3.某学校七年级数学兴趣小组组织一次教学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当做数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，再通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．(1)小军能进入迷宫中心的概率是多少?请画出树状图进行说明．(2)小组两位组员小张和小李商量做一个游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规定：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得一分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗?如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．（3）在(2)的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心?4.如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次，小秋转乙盘一次为一次游戏(当指针指在边界线上时视为无效，重转)．(1)小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少?(2)请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法(例如：树状图、列表)说明其公平性．5.张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场劵，各自设计了一种方案：张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场劵；否则，王华得到入场劵；王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中，从中随机取出1个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球．若两次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场劵；否则，张彬得到入场劵．请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平．。
概率的进一步认识--知识讲解责编：常春芳【学习目标】1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、用树状图或表格求概率1.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.2.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.3.用列举法求概率的一般步骤（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n 和其中出现所求事件A 的结果个数m ；（3）用公式计算所求事件A 的概率.即P （A ）=n m . 要点二、用频率估计概率1.频率与概率的定义频率：在相同条件下重复n 次试验，事件A 发生的次数m 与试验总次数n 的比值.概率：事件A 的频率nm 接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）. 2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.要点诠释：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.3.利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.【典型例题】类型一、用树状图或表格求概率1.同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（）A．13B．14C．12D．34【答案】B.【解析】可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种，正面都同时向上的占1种，所以概率为1 4 .【总结升华】利用树状图法列出所有的可能，看符合题意的占多少.举一反三：【变式1】袋中装有一个红球和一个黄球，它们除了颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色放回袋中，充分摇匀后，再随机从中摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（）A．13B．12C．14D．34【答案】C.【变式2】随机地掷两次骰子，两次掷得的点数相同的概率是（）.A．13B．14C．112D．16【答案】D.2.一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是( )A. B. C. D.【答案】C.【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有8种，每种情况可能性相同，其中是黄球的情况有3种，故摸到黄球的概率是.【总结升华】每个球被摸到的可能性相同很关键.举一反三：【变式1】从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为（）A．19B．18C．29D．13【答案】D.【变式2】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.【答案】P（停在阴影部分）=23.类型二、频率与概率3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）A. 频率等于概率B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D. 试验得到的频率与概率不可能相等【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而变化的.【答案】B.【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.类型三、利用频率估计概率4. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：(1)计算并完成表格：转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701落在“铅笔”的频率(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；(2) 0.69；(3) 由（1）的频率值可以得出P （获得铅笔）=0.69；(4) 0.69×360°≈248°.【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．5.（2015春•泰兴市期末）在一个暗箱里放有a 个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%．（1）试求出a 的值；（2）从中任意摸出一个球，下列事件：①该球是红球；②该球是白球；③该球是蓝球．试估计这三个事件发生的可能性的大小，并将三个事件按发生的可能性从小到大的顺序排列（用序号表示事件）．【思路点拨】（1）根据频率估计概率，可得到摸到红球的概率为20%，然后利用概率公式计算a 的值； （2）根据概率公式分别计算出摸出一个球是红球或白球或蓝球的概率，然后根据概率的大小判断这三个事件发生的可能性的大小．【答案与解析】解：（1）a=4÷20%=20；（2）在一个暗箱里放有20个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，蓝求有6个，所以从中任意摸出一个球，该球是红球的概率=20%；该球是白球的概率==50%；该球是蓝球的概率==30%，所以可能性从小到大排序为：①③②． 【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”.举一反三：【变式1】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条． 【答案】条 .【变式2】一只箱子里原有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．（1）从箱子中任意摸出两个球，用树状图或列表法列举出所有可能并求两次摸出球的都是白球的概率．（2）若从箱子中任意摸出一个球是红球的概率为53，则需要再加入几个红球？ 【答案】类型四、概率的简单应用6. 把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王胜；当张牌面数字不相同时，小李胜．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.【思路点拨】（1）问属于古典概型；（2）问可以采用列表法或树状图法列出所有的可能，计算小王和小李各自取胜的概率，再去做判断.【答案与解析】（1）P（抽到牌面数字４）=；（2）游戏规则对双方不公平，理由如下：3 4 53 （3，3）（3，4）（3，5）4 （4，3）（4，4）（4，5）5 （5，3）（5，4）（5，5）一共有9种可能的结果，每种结果发生的可能性相等，∴P（牌面数字相同）=；P（牌面数字不相同）=23，∴小李胜的概率要大，游戏不公平.【总结升华】列表法可以不重不漏地列出所有可能的结果.举一反三：【变式】（2015•漳州）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】解：（1）根据题意画图如下：∵从表中可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和小于9的有4种，∴P（小明获胜）==；（2）∵P（小明获胜）=，∴P（小东获胜）=1﹣=，∴这个游戏不公平．。
