高二数学 (人教a版,选修1-1)作业：模块综合检测(b)

人教A版高二数学选修1-1单元综合素质检测-选修1-1全册选修1－1综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2009·天津高考)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0≥0 C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>02．设p：大于90°的角叫钝角，q：三角形三边的垂直平分线交于一点，则p与q的复合命题的真假是()A．“p∨q”假B．“p∧q”真C．“¬q”真D．“p∨q”真3．已知抛物线x2＝4y的焦点F和点A(－1,8)，点P为抛物线上一点，则|PA|＋|PF|的最小值为() A．16B ．6C ．12D ．94．如果双曲线经过点(6，3)，且它的两条渐近线方程是y ＝±13x ，那么双曲线方程是( ) A.x 236－y 29＝1 B.x 281－y 29＝ 1C.x 29－y 2＝1D.x 218－y 23＝1 5．设f (x )可导，且f ′(0)＝0，又lim x →0 f ′(x )x＝－1，则f (0)＝( )A ．可能不是f (x )的极值B ．一定是f (x )的极值 C ．一定是f (x )的极小值 D ．等于06．下列判断不正确．．．的是( ) A ．命题“若p 则q ”与“若¬q 则¬p ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a <b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否定为假D ．命题“∅{1,2}或4∈{1,2}”为真7．(2010·广东文，8)“x＞0”是“3x2＞0”成立的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件D．充要条件8．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是()A．12，－15 B．5，－15 C．5，－4 D．－4，－159．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x－1有极大值和极小值，则a的取值范围是() A．－1<a<2 B．－3<a<6 C．a<－3或a>6 D．a<－1或a>210．(2010·山东文，9)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2D．x＝－211．设F1、F2是双曲线x24a－y2a＝1的两个焦点，点P在双曲线上，∠F1PF2＝90°，若Rt△F1PF2的面积是1，则a的值是()A．1 B.52C．2D. 512．下列四图都是同一坐标中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()A．①②B．③④C．①③D．①④二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．实系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是________．14．使y＝sin x＋ax为R上的增函数的a的范围为______．15．一座抛物线形拱桥，高水位时，拱顶离水面2m ，水面宽4m ，当水面下降1m 后，水面宽________m.16．以下四个关于圆锥曲线的命题：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA→|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知P：{x|a－4<x<a ＋4}，Q：{x|x2－4x＋3<0}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．18．(本题满分12分)求与⊙C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切且与⊙C2：(x－1)2＋y2＝9相内切的动圆圆心P的轨迹方程．19．(本题满分12分)过抛物线y＝ax2(a>0)的顶点O作两条相互垂直的弦OP和OQ，求证：直线PQ恒过一个定点．20．(本题满分12分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝log a(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．21．(本题满分12分)设a∈R，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0,2]时，若|f(x)|≤2恒成立，求a 的取值范围．22．(本题满分14分)(2010·重庆文，19)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式：(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1[答案] D[解析]特称命题的否定为全称命题，故选D.2[答案] D[解析]p假，q真，故“p∨q”真．3[答案] D[解析]如图，过点A作准线的垂线，B为垂足，与抛物线交于一点P ，则点P 为所求的点，|PA |＋|PF |的最小值为|AB |的长度．4[答案] C[解析] 设双曲线方程为⎝⎛⎭⎪⎪⎫13x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －y ＝λ将点(6，3)代入求出λ即可．答案C.5[答案] B[解析] 由lim x →0 f ′(x )x ＝－1，故存在含有0的区间(a ，b )使当x ∈(a ，b )，x ≠0时，f ′(x )x <0，于是当x ∈(a,0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，b )时，f ′(x )<0，这样f (x )在(a,0)上单增，在(0，b )上单减．6[答案] B[解析]am2<bm2⇒a<b，但a<b⇒/ am2<bm2.例如：m＝0时．7[答案] A[解析]本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x>0显然能推出3x2>0，而3x2>0⇔|x|>0⇔x≠0，不能推出x>0，故选A.8[答案] B[解析]y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝－1或x＝2，∵x∈[0,3]，∴x＝－1舍去．列表如下：x 0 (0,2) 2 (2,3) 3 f ′(x )－0 ＋f (x ) 5极小值－15－4由上表可知，函数在[0,3]上的最大值为5，最小值为－15，故选B.9[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6，令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＋a ＋6＝0，由题意，得Δ＝4a 2－12(a ＋6)＝4(a 2－3a －18)＝4(a －6)(a ＋3)>0，∴a >6或a <－3，故选C.10[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴y 1＋y 22＝2，⎩⎨⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.11[答案] A[解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝4a (a >0)，∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16a，又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝4c2＝20a，∴|PF1|·|PF2|＝2a，∴S△F1PF2＝1 2|PF1|·|PF2|＝a＝1.12[答案] B[解析]二次函数为导函数，③中x<0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)内应递增，故③为假，同理，知④也为假．13[答案]a＋b＋1<0[解析]实系数方程x2＋ax＋b＝0的两个实根一个比1大，一个比1小的充要条件是f(1)＝a ＋b＋1<0.14[答案]a≥1[解析]y′＝cos x＋a≥0在R上恒成立，∴a≥－cos x在R上恒成立，又cos x∈[－1,1]，∴－cos x∈[－1,1]，∴a≥1.15[答案]2 6[解析]设抛物线方程为：x2＝－2py(p>0)，点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，设水面下降1m后，水面宽2x m，则点(x，－3)在抛物线上，∴x2＝6，∴x＝ 6.16[答案]③④[解析]①中当k＝|AB|时，点P的轨迹是一条射线．②中，点P的轨迹是以AC中点为圆心，以定圆半径的一半长为半径的圆．17[解析] 因为P ：{x |a －4<x <a ＋4}， Q ：{x |1<x <3}，又因为x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎨⎧a －4≤1a ＋4≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5a ≥－1，即－1≤a ≤5.18[解析] 设动圆圆心P 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题意得|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝3－r ， ∴|PC 1|＋|PC 2|＝r ＋1＋3－r ＝4>|C 1C 2|＝2， 由椭圆定义知，动圆圆心P 的轨迹是以C 1、C 2为焦点，长轴长2a ＝4的椭圆，椭圆方程为：x 24＋y 23＝1. 19[解析] 证明：设P (x 1，ax 21)，Q (x 2，ax 22)，则直线PQ 的斜率为k PQ ＝a (x 1＋x 2)∴其方程为y －ax 21＝a (x 1＋x 2)(x －x 1)， 即y －a (x 1＋x 2)x ＋ax 1x 2＝0，∵OP ⊥OQ ，∴k OP ·k OQ ＝－1⇒a 2x 1·x 2＝－1. ∴y －1a ＝a (x 1＋x 2)(x －0)． ∴PQ 恒过定点⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，1a .20[解析] 当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a >1时，y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同两点等价于(2a －3)2－4>0.即a <12或a >52.(1)p 正确，q 不正确． 则a ∈(0,1)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪⎪12≤a ≤52且a ≠1，即a ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1.(2)p 不正确，q 正确．则a ∈(1，＋∞)∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪⎪0<a <12或a >52，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫52，＋∞.综上，a 取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，＋∞. 21[解析] (1)对函数f (x )求导数， 得f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1.所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13，1.(2)由(1)知，f (x )在(0,1)上是递减的，在(1,2)上是递增的，所以，f (x )在[0,2]上的最小值为f (1)＝－1＋a ；由f (0)＝a ，f (2)＝2＋a ，知f (0)<f (2)， 所以，f (x )在[0,2]上的最大值为f (2)＝2＋a . 因为，当x ∈[0,2]时， |f (x )|≤2⇔－2≤f (x )≤2⇔⎩⎨⎧－1＋a ≥－22＋a ≤2，解得－1≤a ≤0，即a的取值范围是[－1,0]．22[解析]本题主要考查函数的奇偶性、单调性、最值等基础知识．考查导数在函数中的应用，同时还考查综合分析问题和解决问题的能力．解：(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因为函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即对任意x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b ＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(ba＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，b＝0.从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－13因此f(x)的解析表达式为f(x)＝－13＋x2.3x(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x 1＝2，x 2＝2，则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0时，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间[－2，2]上是增函数，由单调性可知，在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43. 因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.。

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“綈p ”为真命题D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋ax ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y＝f(x)的导数图像，则正确的判断是()①f(x)在(－3,1)上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④解析从图像可知，当x∈(－3，－1)，(2,4)时，f(x)为减函数，当x∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f(x)为增函数，∴x＝－1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点，故选B.答案 B11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：x＝a2c(c2＝a2＋b2)上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是()A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝c a ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________． 解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633，∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1，③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12. ∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)，∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6] (3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5.设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205.k1＋k2＝y1－1x1－4＋y2－1 x2－4＝(y1－1)(x2－4)＋(y2－1)(x1－4)(x1－4)(x2－4).上式分子＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)·(x1－4) ＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)＝2(4m2－20)5－8m(m－5)5－8(m－1)＝0，即k1＋k2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。

模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：当x＝1∈N*时，x－1＝0，不满足(x－1)2＞0，所以B为假命题．答案：B2．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y ＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推得“x ＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．答案：A3．对∀k∈R，则方程x2＋ky2＝1所表示的曲线不可能是()A ．两条直线B ．圆C ．椭圆或双曲线D ．抛物线解析：分k ＝0，1及k ＞0且k ≠1，或k ＜0可知：方程x 2＋ky 2＝1不可能为抛物线．答案：D4．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：由y ＝x x ＋2，得y ′＝2（x ＋2）2，所以在点(－1，－1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝－1＝2.由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.答案：A5．抛物线y ＝14x 2的焦点到准线的距离是( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：方程化为标准方程为x 2＝4y .所以 2p ＝4，p ＝2.所以 焦点到准线的距离为2.答案：C6．下列结论中，正确的为( )①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件③“p 或q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A．①②B．①③C．②④D．③④解析：p∧q为真⇒p真q真⇒p∨q为真，故①正确，由綈p为假⇒p为真⇒p∨q为真，故③正确．答案：B7．函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为() A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)＜f(1)C．f(－1)＞f(1) D．无法确定解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2.所以f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x.f(1)＝－3，f(－1)＝5.所以f(－1)＞f(1)．答案：C8．过点P(0，3)的直线与双曲线x24－y23＝1只有一个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：数形结合，直线与双曲线只有一个公共点，有两个可能：一是直线恰与双曲线相切，二是直线与双曲线的渐近线平行．根据图形的对称性共有4条.答案：D9．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .由题意知3kx 2＋6(k －1)x ≤0.即kx ＋2k －2≤0在(0，4)上恒成立，得k ≤2x ＋2，x ∈(0，4) 又13＜2x ＋2＜1，所以 k ≤13. 答案：D10．以正方形ABCD 的相对顶点A ，C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为( ) A.10－23B.5－13C.5－12D.10－22解析：设正方形的边长为m ，则椭圆中的2c ＝2m ，2a ＝12m ＋m 2＋14m 2＝1＋52m ，故椭圆的离心率为c a ＝221＋5＝10－22. 答案：D11．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12解析：函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个极根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)，所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12. 答案：D12．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1→·PF 2→＝0，则e 21＋e 22（e 1e 2）2的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 解析：设椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2.平方相加得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22.又因为PF 1→·PF 2→＝0，所以 PF 1⊥PF 2，所以 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，所以 a 21＋a 22＝2c 2，所以 a 21c 2＋a 22c 2＝2， 即1e 21＋1e 22＝e 21＋e 22e 21e 22＝2. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝x ＋1x的极大值是________，极小值是________． 解析：f ′(x )＝1－1x 2(x ≠0)，由f ′(x )＝0得x ＝±1，当x ＜－1时，f ′(x )＞0，当－1＜x ＜0时f ′(x )＜0，则f (x )有极大值f (－1)＝－2；又当0＜x ＜1时f ′(x )＜0，当x ＞1时f ′(x )＜0，则f (x )有极小值f (1)＝2.答案：－2 214．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线l 与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，当y 21＋y 22＝32时，直线l 的方程为________．解析：y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)＝32， 所以 x 1＋x 2＝8，所以 线段AB 的中点的横坐标为4.答案：x ＝415．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________．解析：依题意，设抛物线的焦点为F ，点Q 的横坐标是x 0(x 0≥0)，则有|QF |＝x 0＋p 2的最小值是p 2＝1，则p ＝2. 答案：216．下列命题中，正确命题的序号是________．①可导函数f (x )在x ＝1处取极值则f ′(1)＝0；②若p 为：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p 为：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0；③若椭圆x 216＋y 225＝1两焦点为F 1，F 2，弦AB 过F 1点，则△ABF 2的周长为16. 解析：命题③中，椭圆焦点在y 轴上，a 2＝25，故△ABF 2的周长为4a ＝20，故命题③错误．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求适合下列条件的标准方程：(1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，求它的标准方程；(2)已知双曲线的离心率e ＝2，经过点M (－5，3)，求它的标准方程．解：(1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，可得焦点在x 轴，所以 a ＝5，b ＝3，则标准方程：x 225＋y 29＝1； (2)因为离心率e ＝2，所以 a ＝b ，又经过点M (－5，3)，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－9b 2＝1，a ＝b ，解得：a 2＝b 2＝16 或⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－25b 2＝1，a ＝b ，无解． 所以 双曲线C 的标准方程为：x 216－y 216＝1. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点(0，3)，且在(－∞，－1)和(3，＋∞)上为增函数，在(－1，3)上为减函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在R 上的极值．解：(1)因为f (x )的图象过点(0，3)，所以 f (0)＝d ＝3所以 f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx ＋3， 所以 f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c .又由已知得x ＝－1，x ＝3是f ′(x )＝0的两个根．所以 ⎩⎨⎧－1＋3＝－2b ，－1×3＝c ，所以 ⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－3.故f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3. (2)由已知可得x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点．所以 f (x )极大值＝f (－1)＝143， f (x )极小值＝f (3)＝－6.19．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2t ＋1＋y 23－t＝1所表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：实数t 满足不等式t 2－(a －1)t －a ＜0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)因为方程x 2t ＋1＋y 23－t＝1所表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆，所以 3－t ＞t ＋1＞0，解得：－1＜t ＜1.(2)因为命题p 是命题q 的充分不必要条件，所以 －1＜t ＜1是不等式t 2－(a －1)t －a ＝(t ＋1)(t －a )＜0解集的真子集．法一：因方程t 2－(a －1)t －a ＝(t ＋1)(t －a )＝0两根为－1，a .故只需a ＞1.法二：令f (t )＝t 2－(a －1)t －a ，因f (－1)＝0，故只需f (1)＜0，解得：a ＞1.20．(本小题满分12分)某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交3元的管理费，预计当每件产品的售价为x (9≤x ≤11)元时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润y (万元)与每件产品的售价的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润y 最大，并求出y 的最大值．解：(1)分公司一年的利润y (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－3)(12－x )2＝(x －6)(114＋x 2－24x )＝x 3－30x 2＋288x －864，x ∈[9，11]；(2)函数的导数为y ′＝3x 2－60x ＋288＝3(x 2－20x ＋96)＝3(x －12)(x －8)，当x ∈[9，11]时，y ′＜0，L 单调递减，于是当每件产品的售价x ＝9时，该分公司一年的利润最大，且最大利润y max ＝27万元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值；(2)求y ＝f (x )的单调区间．解：f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x(x ＞0)． (1)f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23. (2)f ′(x )＝（ax －1）（x －2）x(x ＞0)． ①当a ≤0时，x ＞0，ax －1＜0，在区间(0，2)上，f ′(x )＞0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，＋∞)．②当0＜a ＜12时，1a ＞2，在区间(0，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，f ′(x )＞0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(0，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a . ③当a ＝12时，f ′(x )＝（x －2）22x，故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)．④当a ＞12时，0＜1a ＜2，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上， f ′(x )＞0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. 22．(本小题满分12分)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为 1227.求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程． 解：(1)由题意知c ＝1，2a ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C的方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得：(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ＞0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2. 可得|AB |＝12（k 2＋1）3＋4k 2， 又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2， 所以 △AF 2B 的面积为12|AB |r ＝12|k |k 2＋13＋4k2＝1227， 化简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1，所以 r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。

模块综合检测()一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．命题“任意的∈－＋<”的否定是( )．不存在∈－＋<．存在∈－＋<．存在∈－＋≥．对任意的∈－＋≥解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在∈－＋≥.答案：．已知()＝＋＋，则′()等于( )．＋．＋·＋．＋·．＋·解析：( )′＝，注意避免出现( )′＝的错误．答案：．下列选项中，是的必要不充分条件的是( )．：＋>＋，：>且>．：>，>，：()＝－(>，且≠)的图象不过第二象限．：＝，：＝．：>，：()＝(>，且≠)在(，＋∞)上为增函数解析：，中是的充分不必要条件，中是的充要条件．答案：．函数()＝＋在＝处取得极值，则的值为( )．．－．．－解析：′()＝＋，令′()＝，得＝－，由题意知，当＝－时，原函数在＝处取得极值．答案：．下列四个命题：①“若＋＝，则实数，均为”的逆命题；②“相似三角形的面积相等”的否命题；③“∩＝，则⊆”的逆否命题；④“末位数不是的数都能被整除”的逆否命题．其中真命题为( )．①②．②③．①③．③④解析：①的逆命题为“若实数、均为，则＋＝”，是正确的；③中，∵“∩＝，则⊆”是正确的，∴它的逆否命题也正确．答案：．两曲线＝＋＋与＝－相切于点(，－)处，则，的值分别为( )．．，－．－．－，－解析：点(，－)在曲线＝＋＋上，可得＋＋＝，①又′＝＋，′＝＝＋＝，∴＝－，代入①，可得＝－.答案：．已知椭圆＋＝(>>)，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是( ) ．椭圆．圆．双曲线的一支．线段解析：∵为的中点，为的中点，∴＝，又＋＝，∴＋＝＋＝.∴的轨迹是以，为焦点的椭圆．答案：．函数()＝(－)的单调递增区间是( )．(－∞，) ．()．() ．(，＋∞)解析：′()＝＋(－)＝(－)，由′()>，得>.∴()在(，＋∞)上是递增的．答案：．设，是椭圆＋＝的两个焦点，是椭圆上一点，且到两个焦点的距离之差为，则△是( )．钝角三角形．锐角三角形．斜三角形．直角三角形解析：由椭圆的定义，知＋＝＝，由题可得－＝，则＝，＝.又＝＝，。

§3.2导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 课时目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．函数y ＝f (x )＝c 的导数为____________，它表示函数y ＝c 图象上每一点处，切线的斜率为0.若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y ＝f (x )＝x 的导数为__________，它表示函数y ＝x 图象上每一点处切线的斜率为1.若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．2．常见基本初等函数的导数公式：(1)若f (x )＝c (c 为常数)，则f ′(x )＝______；(2)若f (x )＝x α (α∈Q *)，则f ′(x )＝________；(3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝________；(4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝________；(5)若f (x )＝a x ，则f ′(x )＝________ (a >0)；(6)若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝________；(7)若f (x )＝log a x ，则f ′(x )＝________ (a >0，且a ≠1)；(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝________.一、选择题1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 4．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎦⎤π2，3π4 5．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．⎝⎛⎭⎫－12，－18 6．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A ．12523B ．110523C ．25523D ．110523 题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________________． 8．已知f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝________________________________________________________________________.9．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________. 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝10x .11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．能力提升12．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．13．求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§3.2 导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)知识梳理1．y ′＝0 瞬时速度 静止 y ′＝1 瞬时速度 匀速直线2．(1)0 (2)αx α－1 (3)cos x (4)－sin x(5)a x ln a (6)e x (7)1x ln a (8)1x作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－12x －32＝－12x x.] 2．B [直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则y ′|x ＝3＝－227， 所以③正确．]3．D [设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ，得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.] 4．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 5．B [y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]6．B [s ′＝15t －45. 当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.] 7．x ＋2y －3－π6＝0 解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0. 8．4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.9．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .10．解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x －25＝355x 2. (4)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.11．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．－2解析 y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝n n ＋1. a n ＝lg x n ＝lg n n ＋1＝lg n －lg(n ＋1)， 则a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2.13．解 ∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e ，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率k ＝－1e， ∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)， 即x ＋e y －e 2－1＝0.。

模块综合检测(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1<0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0 B ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0 C ．存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0 D ．对任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0解析： 全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0. 答案： C2．已知f (x )＝x 3＋3x＋ln 3，则f ′(x )等于( ) A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x·ln 3解析： (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．答案： C3．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( ) A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x－b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限 C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数 解析： B ，C 中p 是q 的充分不必要条件，D 中p 是q 的充要条件． 答案： A4．函数f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( ) A ．12 B ．－1 C ．0D ．－12解析： f ′(x )＝a x＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，由题意知，当a ＝－1时，原函数在x ＝1处取得极值．答案： B 5．下列四个命题：①“若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 均为0”的逆命题； ②“相似三角形的面积相等”的否命题； ③“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”的逆否命题；④“末位数不是0的数都能被3整除”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．③④解析： ①的逆命题为“若实数x 、y 均为0，则x 2＋y 2＝0”，是正确的；③中，∵“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”是正确的，∴它的逆否命题也正确．答案： C6．两曲线y ＝x 2＋ax ＋b 与y ＝x －2相切于点(1，－1)处，则a ，b 的值分别为( ) A ．0,2 B ．1，－3 C ．－1,1D ．－1，－1解析： 点(1，－1)在曲线y ＝x 2＋ax ＋b 上， 可得a ＋b ＋2＝0，①又y ′＝2x ＋a ，y ′|x ＝1＝2＋a ＝1， ∴a ＝－1，代入①，可得b ＝－1. 答案： D7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段解析： ∵P 为MF 1的中点，O 为F 1F 2的中点，∴OP ＝12MF 2，又MF 1＋MF 2＝2a ，∴PF 1＋PO＝12MF 1＋12MF 2＝a . ∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 答案： A8．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析： f ′(x )＝e x＋(x －3)e x＝e x(x －2)， 由f ′(x )>0，得x >2.∴f (x )在(2，＋∞)上是递增的．答案： D9．设F 1，F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形解析： 由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8， 由题可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 1|＝5，|PF 2|＝3. 又|F 1F 2|＝2c ＝4， ∴△PF 1F 2为直角三角形． 答案： D10．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6 B ． 5 C.62D ．52解析： 由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b ax ， ∴－2＝－b a×4，∴a ＝2b ，设b ＝k ，则a ＝2k ，c ＝5k ， ∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52. 答案： D11．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如下图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析： x >0时，f ′(x )在(0,1)上有f ′(x )<0， 在(1，＋∞)上有f ′(x )>0； 且x ＝1处f (x )取极小值．x <0时，f ′(x )在(－1,0)上有f ′(x )<0，在(－∞，－1)上有f ′(x )>0且x ＝－1处f (x )取极大值，即函数f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上增加，在(－1,1)上减少，选项C 符合题意．答案： C12．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析： 由PF 1→·PF 2→＝0得PF 1→⊥PF 2→， 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7，故选C. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．下列四个结论中正确的是________．①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”； ②已知p ：任意x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p 且q 为真命题； ③命题“存在x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－x ≤0”；④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件． 解析： 只有③中结论正确． 答案： ③14．双曲线x 2－2y 2＝4的右焦点到渐近线的距离是____________． 解析： 双曲线方程化为标准形式为x 24－y 22＝1，∴a 2＝4，b 2＝2，则c 2＝6.右焦点为(6，0)，渐近线方程为y ＝±22x ， ∴右焦点到渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪22×6－01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 2. 答案：215．设命题p ：|4x －3|≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析： 由已知得，¬p ：|4x －3|>1⇔4x －3<－1，或4x －3>1⇔x <12，或x >1.¬q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0⇔(x －a )[x －(a ＋1)]>0⇔x <a 或x >a ＋1. 若¬p 是¬q 的必要不充分条件， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1⇔0<a ≤12或0≤a <12⇔0≤a ≤12.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 16．已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．解析： f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，要使f ′(x )在(－1,1)上恰有一个极值点， 则f ′(－1)·f ′(1)<0， ∴(a －7)(a ＋1)<0， ∴－1<a <7. 答案： (－1,7)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知命题p ：函数f (x )＝xx 2＋1在区间(a,2a ＋1)上是单调递增函数；命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．解析： 若p 是真命题，则 f ′(x )＝－x 2＋1x 2＋12，由f ′(x )>0得－1<x <1， ∴函数f (x )的增区间为(－1,1)， 要使f (x )在(a,2a ＋1)上是增函数， 只需使(a,2a ＋1)⊆(－1,1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，2a ＋1≤1，解得－1<a ≤0.若q 是真，可得a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，得：－2<a ≤2，由p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题知p 、q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－1<a ≤0，a ≤－2或a >2，无解．当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1或a >0，－2<a ≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a ≤－1，0<a ≤2.综上a 的取值范围为(－2，－1]和(0,2]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.求f (x )的极大值．解析： 由奇函数定义， 应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值， 必有f ′(1)＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3.因此，f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，故f (x )在单调区间(－∞，－1)上是增函数； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在单调区间(－1,1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在单调区间(1，＋∞)上是增函数． 所以f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝2.19．(本小题满分12分)已知抛物线C 经过点(3,6)且焦点在x 轴上． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)直线l ：y ＝kx －3过抛物线C 的焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点间的距离．解析： (1)设所求抛物线为y 2＝2px (p >0)， 代入点(3,6)，得p ＝6. ∴抛物线方程为y 2＝12x .(2)由(1)知F (3,0)，代入直线l 的方程得k ＝1.∴l 的方程为y ＝x －3，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y 2＝12x消去y 得x 2－18x ＋9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18. ∵AB 过焦点F ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋6＝24.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数． (1)若f (x )在x ＝1处取得的极值为2，求a ，b 的值；(2)若f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，求a 的取值范围． 解析： (1)由题设可知：f ′(x )＝3x 2－6ax －b ，f ′(1)＝0且f (1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a －b ＝0，1－3a －b ＝2，解得a ＝43，b ＝－5.(2)∵f ′(x )＝3x 2－6ax －b ＝3x 2－6ax －9a ， 又f (x )在[－1,2]上为减函数， ∴f ′(x )≤0对x ∈[－1,2]恒成立， 即3x 2－6ax －9a ≤0对x ∈[－1,2]恒成立． ∴f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋6a －9a ≤012－12a －9a ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1a ≥47⇒a ≥1，∴a 的取值范围是a ≥1.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值； (2)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围． 解析： (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)． ∵f (x )在x ＝3处取得极值， ∴f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0解得a ＝3.经检验知当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点． 故a 的值为3.(2)令f ′(x )＝0，得6(x －a )(x －1)＝0.解得x 1＝a ，x 2＝1. 当a <1时，若x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0， ∴f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数． 故当0≤a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 当a ≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，则f ′(x )>0. ∴f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数． 故当a ≥1时，f (x )在(－∞，0)上也为增函数．综上所述，当a ∈[0，＋∞)时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．22．(本小题满分14分)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程； (2)当OA →·OB →＝23时，求k 的值．解析： (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b2＝1，c 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切， 则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k2，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝23，∴k ＝±1.。

模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，2x －1＞0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C ．∃x ∈R ，lg x ＜1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析：当x ＝1∈N *时，x －1＝0，不满足(x －1)2＞0，所以 B 为假命题． 答案：B2．“a ＝－1”是“函数f (x )＝ax 2＋(a －1)x －1有且只有一个零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－1时，易知函数f (x )有且只有一个零点，故充分性成立；当a ＝0时，函数f (x )也有且只有一个零点，故必要性不成立．答案：A3．与双曲线y 25－x 2＝1共焦点，且过点(1，2)的椭圆的标准方程为()A.x 28＋y 22＝1B.x 210＋y 24＝1C.y 28＋x 22＝1 D.y 210＋x 24＝1 解析：由题知，焦点在y 轴上，排除A ，B ，将(1，2)代入C ，D 可得C 正确，故选C. 答案：C4．函数f (x )＝e xln x 在点(1，f (1))处的切线方程是() A ．y ＝2e(x －1) B ．y ＝e x －1 C ．y ＝e(x －1) D ．y ＝x －e 解析：因为f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ，所以f ′(1)＝e.又f (1)＝0， 所以所求的切线方程为y ＝e(x －1)． 答案：C5．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF ⊥x 轴，知点P ，F 的横坐标相等，再根据点P 在曲线y ＝k x上求出k .因为y 2＝4x ，所以F (1，0)．又因为曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，所以P (1，2)． 将点P (1，2)的坐标代入y ＝k x(k >0)得k ＝2.故选D. 答案：D6．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下叙述正确的是()A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，选C.答案：C7．函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)＜f (1) C ．f (－1)＞f (1)D ．无法确定解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，所以 f ′(1)＝－2.所以 f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)＝x 2－4x .f (1)＝－3，f (－1)＝5. 所以 f (－1)＞f (1)． 答案：C8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为()A ．y ＝±12x B ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析：由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以b a ＝12，故双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±12x .答案：A9．若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是()A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0，b <0，二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴为x ＝－b2a<0，且函数图象开口向下，所以在区间(0，＋∞)上单调递减．答案：B10．以正方形ABCD 的相对顶点A ，C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为( )A.10－23 B.5－13 C.5－12D.10－22解析：设正方形的边长为m ，则椭圆中的2c ＝2m ，2a ＝ 12m ＋m 2＋14m 2＝1＋52m ，故椭圆的离心率为c a ＝221＋5＝10－22. 答案：D11．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( ) A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12解析：函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个极根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)， 所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12.答案：D12．已知抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且与椭圆交于A ，B两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，则椭圆的离心率为( )A.23B.12C.13D.14解析：因为抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，抛物线y 2＝4x 的准线过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，所以椭圆的左焦点坐标为(－1，0)，所以c ＝1， 因为O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，所以12×2b 2a ×1＝32，所以b 2a ＝a 2－1a ＝32，整理得2a 2－3a －2＝0，解得a ＝2或a ＝－12(舍)，所以e ＝c a ＝12.故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．椭圆x 264＋y 248＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝10，则S △PF 1F 2＝________．解析：由已知：a 2＝64，b 2＝48，c 2＝16， 又因为P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝16. 因为|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝6.因为|F 1F 2|＝2c ＝8，所以△PF 1F 2为直角三角形， 且∠PF 2F 1＝90°，所以S △PF 1F 2＝12×6×8＝24.答案：2414．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .当k <0时，f ′(x )<0在区间(0，4)上恒成立， 即f (x )在区间(0，4)上是减函数，故k <0满足题意．当k ≥0时，则由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，f ′（4）≤0，解得0≤k ≤13.综上，k 的取值X 围是k ≤13.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 15．设F 1，F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos∠F 1PF 2＝________．解析：椭圆焦点在y 轴上，a 2＝4，b 2＝3，c ＝1，又P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以cos ∠F 1PF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－42×52×32＝35. 答案：3516．在下列结论中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ③“p 或q ”为真是“¬p ”为假的必要不充分条件； ④“¬p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． 正确的结论为________(填序号)．解析：①中p 且q 为真⇒p ，q 都为真⇒p 或q 为真，p 或q 为真p 且q 为真；②中p且q 为假p 或q 为真；③中p 或q 为真⇒p ，q 至少有一个为真¬p 为假，¬p 为假⇒p 为真⇒p 或q 为真；④中p 且q 为假¬p 为真．答案：①③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：f (x )＝x ＋a x在区间[1，＋∞)上是增函数；命题q ：g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值．若命题“p ∨q ”为真命题，某某数a 的取值X 围．解：因为f (x )＝x ＋a x在区间[1，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )＝1－a x2≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≤x 2在[1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤(x 2)min ，所以a ≤1. 所以命题p 为真时：A ＝{a |a ≤1}．要使得g (x )＝x 3＋ax 2＋3x ＋1在R 上有极值， 则g ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3＝0有两个不相等的实数解，Δ＝4a 2－4×3×3>0，解得a <－3或a >3.所以命题q 为真时：B ＝{a |a <－3或a >3}． 因为命题“p ∨q ”为真命题， 所以p 真或q 真或p 、q 都为真． 因为A ∪B ＝{a |a ≤1或a >3}．所以所某某数a 的取值X 围为(－∞，1]∪(3，＋∞)．18．(本小题满分12分)如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2，0)，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32在椭圆上，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过点A 作斜率为k (k >0)的直线交椭圆E 于另一点B ，直线BF 2交椭圆E 于点C .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求k 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程l AB 为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，所以x A ·x B ＝－2x B ＝16k 2－123＋4k2，所以x B ＝－8k 2＋63＋4k 2，所以y B ＝k (x B ＋2)＝12k3＋4k 2，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2，12k 3＋4k 2.若k ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，又F 1(－1，0)，所以kCF 1＝－34，所以F 1C 与AB 不垂直，所以k ≠12.因为F 2(1，0)，kBF 2＝4k 1－4k 2，kCF 1＝－1k AB ＝－1k ， 所以直线BF 2的方程lBF 2为y ＝4k1－4k2(x －1)， 直线CF 1的方程lCF 1为y ＝－1k(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4k 1－4k 2（x －1），y ＝－1k （x ＋1），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－1，y ＝－8k ，所以C (8k 2－1，－8k )．又点C 在椭圆上，则（8k 2－1）24＋（－8k ）23＝1，即(24k 2－1)(8k 2＋9)＝0，解得k 2＝124.因为k >0，所以k ＝612. 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－x (x －a )2(x ∈R)，其中a ∈R 且a ≠0，求函数f (x )的极大值和极小值．解：f ′(x )＝－(3x －a )(x －a )， 令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝a3.现分两种情况讨论如下：(1)若a >a3，即a >0，则x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3时，f ′(x )<0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 时，f ′(x )>0；x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0. 因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极小值－427a 3，在x ＝a 处取得极大值0.(2)若a <a3，即a <0，则x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 3时，f ′(x )>0； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )<0. 因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值－427a 3，在x ＝a 处取得极小值0.20．(本小题满分12分)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．解：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，得a ＝2b .①设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则x 2＝a 2－a 2y 2b2，且d 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝a 2－a 2b 2y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝－3y 2－3y ＋4b 2＋94＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3，其中－b ≤y ≤b .如果b <12，则当y ＝－b 时，d 2取得最大值，即有(7)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322， 解得b ＝7－32>12与b <12矛盾．如果b ≥12，则当y ＝－12时，d 2取得最大值，即有(7)2＝4b 2＋3.②由①②可得b ＝1，a ＝2. 所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由y ＝－12可得椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12. 21．(本小题满分12分)直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，所以y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， 所以y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，② 由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2. 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2.③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， 所以x 1＋x 2＝2a 3－a 2.④把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2＝2，解得a ＝32， 所以k AB ＝32，而k l ＝2，所以k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a .22．(本小题满分12分)请设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S (单位：cm 2)最大，试求此时x 的值；(2)若厂商要求包装盒容积V (单位：cm 3)最大，试求此时x 的值，并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：(1)S ＝4×2x ·60－2x 2＝240x －8x 2(0<x <30)，所以S ′＝240－16x .令S ′＝0，则x ＝15. 当0<x <15时，S ′>0，S 递增； 当15<x <30时，S ′<0，S 递减． 所以当x ＝15时，S 取最大值．所以，当x ＝15 cm 时，包装盒侧面积最大． (2)V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )(0<x <30)， 所以V ′＝62x (20－x )．令V ′＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.当0<x <20时，V ′>0；当20<x <30时，V ′<0. 所以，当x ＝20时，V 最大．此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60－2x ）2x ＝12.。

新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷(word文档有答案)新课标人教版高二数学选修1-1综合测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.“sinA=1/2”是“A=30°”的（）。

A。

充分而不必要条件B。

必要而不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件2.“mn<0”是“方程mx^2+ny^2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）。

A。

充分而不必要条件B。

必要而不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件3.命题“对任意的x∈R，x-x+1≤32”的否定是（）。

A。

不存在x∈R，x-x+1≤32B。

存在x∈R，x-x+1≤32C。

存在x∈R，x-x+1>32D。

对任意的x∈R，x-x+1>324.双曲线x^2/102-y^2/22=1的焦距为（）。

A。

2√22B。

4√22C。

2√10D。

4√105.设f(x)=xlnx，若f'(x)=2，则x=（）。

A。

eB。

e^2C。

ln2D。

26.若抛物线y=2px的焦点与椭圆x^2/36+y^2/4=1的右焦点重合，则p的值为（）。

A。

-2B。

2C。

-4D。

47.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）。

A。

√3/2B。

2/3C。

1/2D。

1/38.已知两点F1(-1,0)、F2(1,0)，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）。

A。

x^2/9+y^2=1B。

x^2/4+y^2=1C。

x^2+y^2/9=1D。

x^2+y^2/4=19.设曲线y=ax^2在点（1，a）处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a=（）。

A。

1B。

1/2C。

-1/2D。

-110.抛物线y=-x^2的准线方程是（）。

A。

x=11/8B。

y=2C。

y=-2D。

y=-11/811.双曲线x^2/49-y^2/39=1的渐近线方程是（）。

A。

y=±x/7B。

y=±3x/7C。

选修1-1模块综合测试（一）(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若命题p ：∀x∈R,2x 2＋1>0，则¬p 是( ) A ．∀x ∈R,2x 2＋1≤0 B ．∃x ∈R,2x 2＋1>0 C ．∃x ∈R,2x 2＋1<0 D ．∃x ∈R,2x 2＋1≤0 解析：¬p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0. 答案：D2．不等式x －1x>0成立的一个充分不必要条件是( )A. －1<x <0或x >1B. x <－1或0<x <1C. x >－1D. x >1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的图象，两图象的交点为(1,1)、(－1，－1)，依图知x －1x>0⇔－1<x <0或x >1 (*)，显然x >1⇒(*)；但(*)x >1，故选D.答案：D3．[2014·某某模拟]命题“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题是( ) A ．若a ＋1≤b ，则a >b B ．若a ＋1<b ，则a >b C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b D ．若a ＋1<b ，则a <b解析：“若a >b ，则a ＋1>b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C. 答案：C4．[2014·某某省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ) A. ∀x ∈R ，x 2－x －1>0B. ∀α，β∈R ，sin(α＋β)<sin α＋sin βC. 函数y ＝2sin(x ＋π5)的图象的一条对称轴是x ＝45πD. 若“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，则a 的取值X 围为(－2,2)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以A 错误；当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 错误；当x ＝4π5时，y ＝0，故C 错误；因为“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1≤0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1>0”为真命题，即Δ<0，即a 2－4<0，解得－2<a <2，即a 的取值X 围为(－2,2)．故选D.答案：D5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知 |BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23， 所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC | ＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3. 答案：C6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D. y 22－x 24＝1解析：与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.答案：D7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值X 围是( )A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <2解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c2>a ，∴c a>2.答案：C8．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为( )A. 1∶πB. 2∶πC. 1∶2D. 2∶1解析：设圆柱高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π(6－x 2π)2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)． 当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4， (6－x )∶x ＝4∶2＝2∶1. 答案：D9．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x2＋1±bax ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4， ∴c 2a2＝5，∴e ＝ 5. 答案：C10．[2014·某某五校联考]设函数f (x )＝e x(sin x －cos x )(0≤x ≤2012π)，则函数f (x )的各极小值之和为( )A. －e 2π1－e2012π1－e 2πB. －e 2π1－e1006π1－eπC. －e 2π1－e1006π1－e2πD. －e 2π1－e2010π1－e2π解析：f ′(x )＝(e x)′(sin x －cos x )＋e x(sin x －cos x )′＝2e xsin x ，若f ′(x )<0，则x ∈(π＋2k π，2π＋2k π)，k ∈Z ；若f ′(x )>0，则x ∈(2π＋2k π，3π＋2k π)，k ∈Z .所以当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得极小值，其极小值为f (2π＋2k π)＝e2k π＋2π[sin(2π＋2k π)－cos(2π＋2k π)]＝e2k π＋2π×(0－1)＝－e2k π＋2π，k ∈Z .因为0≤x ≤2012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k ∈[0,1004]，所以函数f (x )的各极小值构成以－e 2π为首项，以e 2π为公比的等比数列，共有1005项，故函数f (x )的各极小值之和为S 1005＝－e 2π－e 4π－…－e2010π＝e2π1－e2010π1－e2π.答案：D11．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32解析：∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)． 设A (x 0，y 0)，如下图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.答案：B12．[2013·某某高考]如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C. 32D.62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0) ①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意a 2＋b 2＝3＝c 2②，|OA |＝|OF 1|＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线C 2上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数y ＝13ax 3－12ax 2(a ≠0)在区间(0,1)上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：y ′＝ax 2－ax ＝ax (x －1)，∵x ∈(0,1)，y ′>0，∴a <0. 答案：a <014．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值X 围是__________．解析：p 是假命题，则¬p 为真命题，¬p 为：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0，所以有Δ＝4a 2－4a <0，即0<a <1.答案：(0,1)15．[2014·某某质检]已知a ∈R ，若实数x ，y 满足y ＝－x 2＋3ln x ，则(a －x )2＋(a ＋2－y )2的最小值是________．解析：(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥x －a ＋a ＋2－y22＝x ＋x 2－3ln x ＋222.设g (x )＝x＋x 2－3ln x (x >0)，则g ′(x )＝1＋2x －3x＝2x ＋3x －1x，易知g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故g (x )≥g (1)＝2，(a －x )2＋(a ＋2－y )2≥2＋222＝8.答案：816．[2013·某某省某某一中月考]F 1、F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心，且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2⇒12×|PF 2|×r ＝12×|PF 1|×r －12λ×|F 1F 2|×r ⇒|PF 1|－|PF 2|＝λ|F 1F 2|，根据双曲线的标准方程知2a ＝λ·2c ，∴λ＝a c ＝45.答案：45三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －3<0}，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)<0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，p 是q 的什么条件？(2)若q 是p 的必要条件，某某数a 的取值X 围． 解：(1)A ＝{x |x －2x －3<0}＝{x |2<x <3}， 当a ＝12时，B ＝{x |12<x <94}，故p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ， 由a 2＋2>a ，故B ＝{a |a <x <a 2＋2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3，解得a ≤－1或1≤a ≤2.18．(12分)已知c >0，设p ：y ＝c x为减函数；q ：函数f (x )＝x ＋1x >1c 在x ∈[12，2]上恒成立，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值X 围．解：由y ＝c x为减函数，得0<c <1.当x ∈[12，2]时，由不等式x ＋1x ≥2(x ＝1时取等号)知：f (x )＝x ＋1x 在[12，2]上的最小值为2，若q 真，则1c <2，即c >12.若p 真q 假，则0<c <1且c ≤12，所以0<c ≤12.若p 假q 真，则c ≥1且c >12，所以c ≥1.综上：c ∈(0，12]∪[1，＋∞)．19．(12分)[2014·海淀期末]已知函数f (x )＝(x ＋a )e x，其中a 为常数． (1)若函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，某某数a 的取值X 围； (2)若f (x )≥e 2在x ∈[0,2]时恒成立，某某数a 的取值X 围． 解：(1)f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x，x ∈R .因为函数f (x )是区间[－3，＋∞)上的增函数，所以f ′(x )≥0，即x ＋a ＋1≥0在[－3，＋∞)上恒成立． 因为y ＝x ＋a ＋1是增函数，所以满足题意只需－3＋a ＋1≥0，即a ≥2. (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝－a －1，f (x )，f ′(x )的变化情况如下：f (0)≥e 2，解得a ≥e 2，所以此时a ≥e 2；②当0<－a －1<2，即－3<a <－1时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (－a －1)， 若满足题意只需f (－a －1)≥e 2，求解可得此不等式无解， 所以a 不存在；③当－a －1≥2，即a ≤－3时，f (x )在[0,2]上的最小值为f (2)，若满足题意只需f (2)≥e 2，解得a ≥－1，所以此时a 不存在．综上讨论，所某某数a 的取值X 围为[e 2，＋∞)．20．(12分)已知椭圆x 29＋y 25＝1，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点A (1,1)为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点．求|PA |＋|PF 1|的最大值．解：由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 所以|PF 1|＝6－|PF 2|，这样|PA |＋|PF 1|＝6＋|PA |－|PF 2|.求|PA |＋|PF 1|的最大值问题转化为6＋|PA |－|PF 2|的最大值问题， 即求|PA |－|PF 2|的最大值问题， 如图在△PAF 2中，两边之差小于第三边，即|PA |－|PF 2|<|AF 2|，连接AF 2并延长交椭圆于P ′点时， 此时|P ′A |－|P ′F 2|＝|AF 2|达到最大值， 易求|AF 2|＝2，这样|PA |－|PF 2|的最大值为2， 故|PA |＋|PF 1|的最大值为6＋ 2.21．(12分)已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线x 2＝－42y 的焦点是椭圆M 的一个焦点，又点A (1，2)在椭圆M 上．(1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线l 的方向向量为(1，2)，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知抛物线的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－2＝1.将点A (1，2)代入方程得2a 2＋1a 2－2＝1，整理得a 4－5a 2＋4＝0，解得a 2＝4或a 2＝1(舍去)． 故所求椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，代入椭圆方程并化简得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 由Δ＝8m 2－16(m 2－4)＝8(8－m 2)>0， 可得m 2<8.由x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，故|BC |＝3|x 1－x 2|＝3×16－2m22.又点A 到BC 的距离为d ＝|m |3，故S △ABC ＝12|BC |·d ＝m216－2m24≤142×2m 2＋16－2m22＝ 2.因此△ABC 面积的最大值为 2.22．(12分)[2014·某某质检]已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值． 解：(1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex ，又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解之得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．(3)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x .令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1ex ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．当k >1时，g (0)＝1>0，g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0， 又函数g (x )的图象在定义域R 上连续，由零点存在定理，可知g (x )＝0至少有一实数解，与“方程g (x )＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1.当k ＝1时，g (x )＝1e x >0，知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1.。

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模块综合检测(B）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x,y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b,则错误!<错误!。

给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q;③¬p；④¬q。

其中真命题的个数是( ）A．1 B．2C．3 D．4解析: 命题p为真，命题q为假，故p或q真，¬q真．答案：B2．设集合A＝｛x∈R|x－2〉0｝，B＝{x∈R|x〈0}，C＝｛x∈R｜x（x－2）〉0｝,则“x∈A ∪B”是“x∈C”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：A∪B＝｛x∈R|x〈0或x>2｝,C＝｛x∈R｜x〈0或x>2｝，∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．答案: C3．已知椭圆C1:错误!＋错误!＝1,C2：错误!＋错误!＝1,则（)A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同D．C1与C2焦距相等答案：D4．下列求导运算正确的是( ）A。

错误!′＝1＋错误!B．(log2x)′＝错误!C．(5x)′＝5x log5e D．(x2cos x)′＝2x sin x解析：∵错误!′＝1－错误!；(5x)′＝5x ln 5；（x2cos x）′＝(x2)′cos x＋x2（cos x)′＝2x·cos x－x2sin x，∴B选项正确．答案：B5．焦点在x轴上，焦距等于6，离心率等于错误!，则此椭圆的标准方程是（)A.x2100＋y236＝1 B．错误!＋错误!＝1C.错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1解析：2c＝6，e＝错误!＝错误!，∴a＝5，椭圆方程为x225＋y216＝1。

学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。

模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．已知命题“p ：x≥4或x≤0”，命题“q ：x ∈Z”，如果“p 且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A ．{x|x≥3或x≤－1，x ∉Z}B ．{x|－1≤x≤3，x ∉Z}C ．{－1,0,1,2,3}D ．{1,2,3}2．“a>0”是“|a|>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知2x ＋y ＝0是双曲线x 2－λy 2＝1的一条渐近线，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D ．24．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．126．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.y 22－x 24＝1 7．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －58．函数f(x)＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1]，(0,1) D ．[－1,0)，(0,1] 9．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3 C.303 D.326 10．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－211．若函数y ＝f(x)的导函数在区间[a ，b]上是增函数，则函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象可能是( )12．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝4x 3－4x ，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极小值－6时，x 的值应为( )A ．0B ．－1C ．±1D ．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．14．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．15．给出如下三种说法：①四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc. ②命题“若x≥3且y≥2，则x －y≥1”为假命题． ③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确说法的序号为________．16．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a>0，b>0)的两个焦点F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，求m 的取值范围．18．(12分)F 1，F 2是椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线引垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹．19.(12分)若r(x)：sin x ＋cos x>m ，s(x)：x 2＋mx ＋1>0.已知∀x ∈R ，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为22，过点B(0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．21.(12分)已知函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f(x)的解析式； (2)求函数y ＝f(x)的单调区间．22．(12分)已知f(x)＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R)，(1)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数a 的取值范围； (2)试讨论y ＝f(x)在(－1,1)内的极值点的个数．模块综合检测(B) 答案1．D2．A [因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0，但|a|>0 ⇒a>0，所以“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．]3．C4．A [由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 又e ＝ca ＝2，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12， ∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.]5．C [设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知 |BA|＋|BF|＝23，且|CF|＋|AC|＝23， 所以△ABC 的周长＝|BA|＋|BC|＋|AC| ＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4 3.]6．D [与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2. 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.]7．B [y′＝3x 2－6x ，∴k ＝y′|x ＝1＝－3， ∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1)， ∴y ＝－3x ＋2.] 8．A [由题意知x>0，若f′(x)＝2x －2x ＝2(x 2－1)x≤0，则0<x≤1，即函数f(x)的递减区间是(0,1]．]9．C [令直线l 与椭圆交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4 ①x 22＋2y 22＝4 ② ①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k l ＝－12，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0x 2＋2y 2－4＝0，得6y 2－12y ＋5＝0. ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝56.∴|AB|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝303.] 10．D [y ＝x ＋1x －1，∴y′|x ＝3＝－2(x －1)2|x ＝3＝－12. 又∵－a×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，∴a ＝－2.] 11．A [依题意，f ′(x)在[a ，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A 满足．]12．C [f(x)＝x 4－2x 2＋c. 因为过点(0，－5)，所以c ＝－5.由f′(x)＝4x(x 2－1)，得f(x)有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f(1)＝f(－1)＝－6.] 13. 3解析 焦点(±2,0)，渐近线：y ＝±3x ， 焦点到渐近线的距离为23(3)2＋1＝ 3.14. 2解析 先设出曲线上一点，求出过该点的切线的斜率，由已知直线，求出该点的坐标，再由点到直线的距离公式求距离．设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0>0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.15．①②解析 对①，a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之不一定，故①正确；对②，令x ＝5，y ＝6，则x －y ＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p ∧q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．16．(1,3]解析 设|PF 2|＝m ， 则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m ， 2c ＝|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＝3m.∴e ＝c a ＝2c2a ≤3，又e>1，∴离心率的取值范围为(1,3]．17．解 命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0m>0⇔m>2.命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根 ⇔Δ′＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0 ⇔1<m<3.∵“p 或q”为真，“p 且q”为假， ∴p 为真、q 为假或p 为假、q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m>2m≤1或m≥3或⎩⎨⎧m≤21<m<3，解得m≥3或1<m≤2. 18．解设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)，F 1，F 2是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)，连结PO ，过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ，则P 是F 2H 的中点，且|F 2Q|＝|QH|， 因此|PO|＝12|F 1H|＝12(|F 1Q|＋|QH|)＝12(|F 1Q|＋|F 2Q|)＝a ， ∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点)．19．解 由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]， ∀x ∈R ，r(x)为假命题即sin x ＋cos x>m 恒不成立． ∴m≥ 2. ① 又对∀x ∈R ，s(x)为真命题． ∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立．则Δ＝m 2－4<0，即－2<m<2. ② 故∀x ∈R ，r(x)为假命题，且s(x)为真命题， 应有2≤m<2.20．解 (1)由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2. ∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0， ∴直线与椭圆有两个公共点， 设为C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－169x 1x 2＝23，∴|CD|＝1＋(－2)2|x 1－x 2| ＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5·⎝⎛⎭⎫－1692－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD|·d ＝4910.21．解 (1)由f(x)的图象经过P(0,2)知d ＝2， ∴f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋2， f′(x)＝3x 2＋2bx ＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f(－1)＋7＝0， 即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b －c ＝0，2b －c ＝－3， 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x 3－3x 2－3x ＋2. (2)f′(x)＝3x 2－6x －3，令3x 2－6x －3＝0， 即x 2－2x －1＝0.解得x 1＝1－2，x 2＝1＋ 2.当x<1－2或x>1＋2时，f′(x)>0. 当1－2<x<1＋2时，f′(x)<0.故f(x)＝x 3－3x 2－3x ＋2在(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)内是增函数，在(1－2，1＋2)内是减函数．22．解 (1)∵f(x)＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f′(x)＝2x 2－4ax －3，∵f(x)在区间(－1,1)上为减函数， ∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立；∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f′(1)≤0 得－14≤a≤14.故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，14. (2)当a>14时，∵⎩⎨⎧f′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14>0f′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使f′(x 0)＝0， ∵f′(x)＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内，f′(x)>0，在(x 0,1)内，f′(x)<0， 即f(x)在(－1，x 0)内单调递增，在(x 0,1)内单调递减， ∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．当a<－14时，∵⎩⎨⎧f′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14<0f′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14>0，∴存在x 0∈(－1,1)使f′(x 0)＝0. ∵f′(x)＝2x 2－4ax －3开口向上， ∴在(－1，x 0)内f′(x)<0， 在(x 0,1)内f′(x)>0.即f(x)在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增， ∴f(x)在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点． 当－14≤a≤14时，由(1)知f(x)在(－1,1)内递减，没有极值点．综上，当a>14或a<－14时，f(x)在(－1，1)内的极值点的个数为1，当－14≤a≤14时，f(x)在(－1，1)内的极值点的个数为0.。

选修1-1模块综合质量检测(B)(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝1 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x>02．已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)点对称，则( )A ．“p ∧q ”为真B ．“p ∨q ”为假C ．p 假q 真D ．p 真q 假3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2D ．44．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,0)D ．(－1,0)5．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或326．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数8．有下列四个命题：①若“x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题，其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③9．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)11．已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为( )A ．m ＞12B ．m ＜12C ．m ≥12D ．m ≤1212．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．命题“∃x 0∈R ，x 20－1<0”的否定为________．14．若双曲线x 216－y 2m＝1的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为________．15．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．16．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上的三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|等于________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)命题p ：x 2－4mx ＋1＝0有实数解，命题q ：∃x 0∈R ，使得mx 20－2x 0－1>0成立．(1)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； (2)若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；(3)若命题¬p ∨¬q 为真命题，且命题p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝x 和直线l ：y ＝kx ＋34，要使C 上存在着关于l 对称的两点，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 3＋bx 2－2x ＋c ，在x ＝－2时有极大值6，在x ＝1时有极小值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求f (x )在区间[－3,3]上的最大值和最小值．21．(本小题满分12分)已知定点C (－2,0)，D (2,0)，动点P 满足直线PC 与PD 的斜率之积为－14.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)已知M ()－3，0，N ()3，0，过点M 的直线交轨迹E 于A 、B 两点．求证：△ABN 的周长l 为定值．22．(本小题满分14分)a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：a>ln 2－1时，且x>0，e x>x2－2ax＋1.。

高中数学人教A 版选修1-1模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．42．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0 (x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝14．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 05．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段6．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π) 7．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是( ) A ．1 B ．3 C ．9 D ．不存在8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．49．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.5210．若当x ＝2时，函数f (x )＝ax 3－bx ＋4有极值－43，则函数的解析式为( )A ．f (x )＝3x 3－4x ＋4B ．f (x )＝13x 2＋4 C ．f (x )＝3x 3＋4x ＋4 D ．f (x )＝13x 3－4x ＋411．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝012．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数 C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数 D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范 围是 ________________________________________________________________．14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________________________________________________________________________．15．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与坐标轴不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝________.16．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．18．(12分)设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．19.（12分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP→|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．21.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．答案1．B [原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]2．B [命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．]3．D [双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.]4．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 22a ，此时函数对应的图象开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.]5．A [∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆．]6．D [∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4e x (e x ＋1)2.令e x ＋1＝t ，则e x ＝t －1且t >1，∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t .再令1t ＝m ，则0<m <1，∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1，m ∈(0,1)． 容易求得－1≤y ′<0，∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.]7．B [因为函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以有f ′(x )≥0，x ∈[1，＋∞)，即3x 2－a ≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2.因为x ∈[1，＋∞)时，3x 2≥3，从而a ≤3.] 8．B [由抛物线的定义， 得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]9．D [由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y ＝－b a x ，∴－2＝－ba ×4，∴a ＝2b ，设b ＝k ，则a ＝2k ，c ＝5k ，∴e ＝c a ＝5k 2k ＝52.] 10．D [因为f (x )＝ax 3－bx ＋4， 所以f ′(x )＝3ax 2－b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝12a －b ＝0f (2)＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝4，故所求函数解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.]11．D [如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，PF 1→＋PF 2→＝2PO →，∴（PF 1→＋PF 2→)2＝(2PO →)2.即 |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋2|PF 1→|·|PF 2→|·cos 60°＝4|PO →|2. 又∵|PO |＝7a ，∴ |PF 1→|2＋|PF 2→|2＋|PF 1→||PF 2→|＝28a 2. ① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2.即|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4a 2. ② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20a 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|， ∴8a 2＝20a 2－4c 2.即c 2＝3a 2. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝2a 2. 即b 2a 2＝2，ba ＝ 2.∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0.]12．C [f ′(x )＝2x －ax 2，故只有当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上才是增函数，因此A 、B 不对，当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，因此C 对，D 不对．]13．[3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0， 即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0， 即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8. 14.x 24－y 212＝1解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x 得ba ＝3，∴b ＝3a . ∵抛物线y 2＝16x 的焦点为F (4,0)，∴c ＝4. 又∵c 2＝a 2＋b 2，∴16＝a 2＋(3a )2， ∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线的方程为x 24－y 212＝1.15．－b 2a 2解析 设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)， 则B (－x 1，－y 1)，则k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 20＋b 2－⎝⎛⎭⎫－b 2a 2x 21＋b 2x 20－x 21＝－b 2a 2. 16．57解析 f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝0， 得x ＝0或x ＝－2.又∵f (0)＝a ，f (－3)＝a ， f (－2)＝a ＋4，f (3)＝54＋a ，∴f (x )的最小值为a ，最大值为54＋a . 由题可知a ＝3，∴f (x )的最大值为57.17．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <32<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p ，∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0. 设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0， 需⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)≤0f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤018－27＋a ≤0. ∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 18．解 如图所示，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn .由椭圆的定义知 |PF 1|＋|PF 2|＝20，即m ＋n ＝20. ① 又由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3 ＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－mn ＝122. ②由①2－②，得mn ＝2563.∴S △F 1PF 2＝643 3.19．解 设 P ＝(x ，y )，则 MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )， NP →＝(x －2，y )．∴ |MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2， MN →·NP →＝4(x －2)，代入 |MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0， 即(x ＋2)2＋y 2＝2－x ， 化简整理，得y 2＝－8x .故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .20．解 (1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎨⎧f ′(1)＝2a －43a ＝1f (1)＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝32b ＝52，∴f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.21．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0， ∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1， x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)， 因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－a x 2，x ∈(0，＋∞)． 令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 所以当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a －1. a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．b ．当0<a <12时，1a －1>1， x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a －1时，g (x )<0， 此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．c ．当a <0时，由于1a －1<0. x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a －1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞上单调递减．模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．已知命题“p ：x ≥4或x ≤0”，命题“q ：x ∈Z ”，如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∉Z }C ．{－1,0,1,2,3}D ．{1,2,3}2．“a >0”是“|a |>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知2x ＋y ＝0是双曲线x 2－λy 2＝1的一条渐近线，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D ．24．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝15．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．126．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.y 22－x 24＝17．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5 8．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1] 9．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3C.303D.32 610．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－211．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极小值－6时，x 的值应为( )A ．0B ．－1C ．±1D ．1题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．14．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． 15．给出如下三种说法：①四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc . ②命题“若x ≥3且y ≥2，则x －y ≥1”为假命题． ③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确说法的序号为________．16．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．18．(12分)F 1，F 2是椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线引垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹．19.(12分)若r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.已知∀x ∈R ，r (x )为假命题且s (x )为真命题，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为22，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．22．(12分)已知f(x)＝23x3－2ax2－3x (a∈R)，(1)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数a的取值范围；(2)试讨论y＝f(x)在(－1,1)内的极值点的个数．答案1．D2．A [因为|a |>0⇔a >0或a <0，所以a >0⇒|a |>0，但|a |>0 ⇒a >0，所以“a >0”是“|a |>0”的充分不必要条件．]3．C4．A [由题意知c ＝4，焦点在x 轴上，又e ＝c a ＝2，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.]5．C [设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23，所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3.]6．D [与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.]7．B [y ′＝3x 2－6x ，∴k ＝y ′|x ＝1＝－3，∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，∴y ＝－3x ＋2.]8．A [由题意知x >0，若f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x ≤0，则0<x ≤1，即函数f (x )的递减区间是(0,1]．]9．C [令直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋2y 21＝4 ①x 22＋2y 22＝4 ②①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k l ＝－12，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0x 2＋2y 2－4＝0，得6y 2－12y ＋5＝0. ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝56.∴|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝303.] 10．D [y ＝x ＋1x －1， ∴y ′|x ＝3＝－2(x －1)2|x ＝3＝－12. 又∵－a ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，∴a ＝－2.] 11．A [依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A 满足．]12．C [f (x )＝x 4－2x 2＋c .因为过点(0，－5)，所以c ＝－5.由f ′(x )＝4x (x 2－1)，得f (x )有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f (1)＝f (－1)＝－6.] 13. 3 解析 焦点(±2,0)，渐近线：y ＝±3x ，焦点到渐近线的距离为23(3)2＋1＝ 3. 14. 2解析 先设出曲线上一点，求出过该点的切线的斜率，由已知直线，求出该点的坐标，再由点到直线的距离公式求距离．设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0>0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2. 15．①②解析 对①，a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之不一定，故①正确；对②，令x ＝5，y ＝6，则x －y ＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p ∧q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．16．(1,3]解析 设|PF 2|＝m ，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m ，2c ＝|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＝3m .∴e ＝c a ＝2c 2a ≤3，又e >1，∴离心率的取值范围为(1,3]．17．解 命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4>0m >0⇔m >2. 命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根⇔Δ′＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0⇔1<m <3.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 为真、q 为假或p 为假、q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >2m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3， 解得m ≥3或1<m ≤2.18．解 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，F 1，F 2是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)，连结PO ，过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ，则P 是F 2H 的中点，且|F 2Q |＝|QH |，因此|PO |＝12|F 1H |＝12(|F 1Q |＋|QH |)＝12(|F 1Q |＋|F 2Q |)＝a ，∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点)．19．解 由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]， ∀x ∈R ，r (x )为假命题即sin x ＋cos x >m 恒不成立．∴m ≥ 2. ①又对∀x ∈R ，s (x )为真命题．∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立．则Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2. ②故∀x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题， 应有2≤m <2.20．解 (1)由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2.∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝－169x 1x 2＝23，∴|CD |＝1＋(－2)2|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·⎝⎛⎭⎫－1692－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.21．解 (1)由f (x )的图象经过P (0,2)知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －c ＝0，2b －c ＝－3， 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3，令3x 2－6x －3＝0，即x 2－2x －1＝0.解得x 1＝1－2，x 2＝1＋ 2.当x <1－2或x >1＋2时，f ′(x )>0.当1－2<x <1＋2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2在(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)内是增函数，在(1－2，1＋2)内是减函数．22．解 (1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∵f (x )在区间(－1,1)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立；∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(1)≤0 得－14≤a ≤14. 故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，14. (2)当a >14时，∵⎩⎨⎧ f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14>0f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使f ′(x 0)＝0，∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内，f ′(x )>0，在(x 0,1)内，f ′(x )<0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递增，在(x 0,1)内单调递减，∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．当a <－14时，∵⎩⎨⎧ f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14<0f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14>0，∴存在x 0∈(－1,1)使f ′(x 0)＝0.∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0.即f (x )在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增，∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．当－14≤a ≤14时，由(1)知f (x )在(－1,1)内递减，没有极值点．综上，当a >14或a <－14时，f (x )在(－1，1)内的极值点的个数为1，当－14≤a ≤14时，f (x )在(－1，1)内的极值点的个数为0.模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分2．若抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－28yB ．x 2＝28yC ．y 2＝－28xD ．y 2＝28x3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2 D.324．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④5．已知a 、b 为不等于0的实数，则a b >1是a >b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4，m )是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆一共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个7．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 6 C.233 D.263 8．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为245，则此双曲线方程是( )A.x 212－y 24＝1 B ．－x 212＋y 24＝1C.x 24－y 212＝1 D ．－x 24＋y 212＝19．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”；②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p ∧q 为真命题；③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c ) (a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c )11．函数y ＝ln x x 的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2 D.10312．已知命题P ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ；命题Q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <2C ．1<a <2D ．a ≤1或a ≥2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．14．一动圆圆心在抛物线x 2＝8y 上，且动圆恒与直线y ＋2＝0相切，则动圆必过定点________．15．已知F 1、F 2是椭圆C x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.16．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________________________________________________________________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：x 2－12x ＋20<0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0 (a >0)．若綈q 是綈p 的充分条 件，求a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f (x )＝0的一个根为2.(1)求c 的值；(2)求证：f (1)≥2.19.(12分) 如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一个定点，动弦ME 、MF 分别与x 轴交于不同的点A 、B ，且|MA |＝|MB |.证明：直线EF 的斜率为定值．20．(12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．21.(12分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．22.（12分）如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2=－2py （p>0）交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．答案1．B [x ＝1－4y 2，∴x 2＋4y 2＝1 (x ≥0)．即x 2＋y 214＝1 (x ≥0)．]2．D3．C [由已知，b 2a 2＝1，∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2，∴e ＝c a ＝2a a ＝ 2.]4．C5．D [如取a ＝－3，b ＝－2，满足a b >1，但不满足a >b .反过来取a ＝1，b ＝－5，满足a >b ，但不满足a b >1，故答案为D.]6．D [因为点M (4，m )在抛物线y 2＝4x 上，所以可求得m ＝±4.由于圆经过焦点F 且和准线l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上．又因为圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知对于点M (4,4)和(4，－4)，都各有两个交点，因此一共有4个满足条件的圆．]7．C8．B [由已知得椭圆中a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，且它的焦点在y 轴上，故双曲线的焦点也应在y 轴上且为(0,4)和(0，－4)，又椭圆的离心率为e ＝c a ＝45，所以双曲线的离心率为2，即c a ＝2，又c ＝4，∴它的实半轴为2，虚半轴平方为b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12， 则双曲线方程为y 24－x 212＝1.]9．B [只有③中结论正确．]10．A11．A [令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x2＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0，y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e .]12．C [先化简P 与Q ，建构关于a 的关系式；由函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R 知：内层函数u (x )＝x 2＋2x ＋a 恰好取遍(0，＋∞)内的所有实数⇔Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即P ⇔a ≤1；同样由y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a >1，即Q ⇔a <2；由P 或Q 为真，P 且Q 为假知，P 与Q 中必有一真一假．故答案为C.]13.⎣⎡⎭⎫13，＋∞解析 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，依题意可知f (x )在R 上只能单调递增，所以Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.14．(0,2)解析 动圆一定过抛物线x 2＝8y 的焦点．15．3解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a |PF 1|·|PF 2|＝18， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋36＝4a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴4a 2－4c 2＝36，∴b ＝3.16．(－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由已知得，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．当x <0时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，0)上为增函数．又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，∴F (x )为奇函数．∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数．又g (－3)＝0，∴F (－3)＝0，F (3)＝0.∴f (x )g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．17．解 p ：{x |2<x <10}，q ：{x |x <1－a ，或x >1＋a }．由綈q ⇒綈p ，得p ⇒q ，于是1＋a <2，∴0<a <1.18．(1)解 ∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴f ′(0)＝0.∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝c ＝0.∴c ＝0.(2)证明 ∵f (2)＝0，∴8＋4b ＋2c ＋d ＝0，而c ＝0，∴d ＝－4(b ＋2)．∵方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＝0的两个根分别为x 1＝0，x 2＝－23b ，且f (x )在[0,2]上是减函数，∴x 2＝－23b ≥2，∴b ≤－3.∴f (1)＝b ＋d ＋1＝b －4(b ＋2)＋1＝－7－3b ≥－7＋9＝2.故f (1)≥2.19．证明 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，则直线MF 的斜率为－k ，直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k (x －y 20)y 2＝x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.于是y 0·y E ＝y 0(1－ky 0)k. 所以y E ＝1－ky 0k .同理可得y F ＝1＋ky 0－k. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝y E －y F y 2E －y 2F＝1y E ＋y F ＝－12y 0(定值)． 20．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，则有3－2a >1，即a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1， ∴1≤a <2.②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <1， ∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a |1≤a <2或a ≤－2}．21．解 由f (x )>1，得ax －ln x －1>0.即a >1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x 2，∵x >1，∴g ′(x )<0.∴g (x )＝1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内单调递减．∴g (x )<g (1)＝1，即1＋ln x x <1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1.22．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为 OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2. 所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大， y ′＝－x ，所以－x 0＝2⇒x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0， |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410.∴△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.。