浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法

⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼆元⼀次⽅程组解题技巧讲义（补课⽤）⼀、⼆元⼀次⽅程组的有关概念：1.⼆元⼀次⽅程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．它的⼀般形式:)0,0(≠≠=+b a c by ax ，如6713,245=-=-n m y x 等是⼆元⼀次⽅程。

2.⼆元⼀次⽅程的解集：适合⼀个⼆元⼀次⽅程的每⼀对未知数的值，叫做这个⼆元⼀次⽅程的⼀个解．对于任何⼀个⼆元⼀次⽅程，令其中⼀个未知数取任意⼀个值，都能求出与它对应的另⼀个未知数的值．因此，任何⼀个⼆元⼀次⽅程都有⽆数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个⼆元⼀次⽅程的解集．3.⼆元⼀次⽅程组及其解：两个⼆元⼀次⽅程合在⼀起就组成了⼀个⼆元⼀次⽅程组．⼀般地，能使⼆元⼀次⽅程组的两个⽅程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做⼆元⼀次⽅程组的解．它的⼀般形式为:=+=+.,222111c y b x a c y b x a 其中2121,,,b b a a 不全为零，如：?==;2,3y x =+=-;5,3n m n m =-=+-;2,53q p q p 都是⼆元⼀次⽅程组。

4.⼆元⼀次⽅程组的解法：代⼊消元法：在⼆元⼀次⽅程组中选取⼀个适当的⽅程，将⼀个未知数⽤含另⼀个未知数的式⼦表⽰出来，再代⼊另⼀个⽅程，消去⼀个未知数得到⼀元⼀次⽅程，求出这个未知数的值，进⽽求得这个⼆元⼀次⽅程组的解，这种⽅法叫做代⼊消元法。

加减消元法：两个⼆元⼀次⽅程中同⼀未知数的系数相反或相等时，将两个⽅程的两边分别相加或相差，从⽽消去这个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，这种求⼆元⼀次⽅程组的解的⽅法叫做加减消元法，简称加减法．例题精析：例1.⽅程ax-4y=x-1是⼆元⼀次⽅程，则a 的取值为（） A 、≠0 B 、≠－1 C 、≠1 D 、≠2 解题思路：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式⽅程叫做⼆元⼀次⽅程．选B变式题1：如果（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，则a ，b 满⾜什么条件？解题思路：∵（a －2）x+（b+1）y=13是关于x ，y 的⼆元⼀次⽅程，∴a －2≠0，b+1≠0，?∴a ≠2，b ≠－1例2.若⼆元⼀次⽅程3x-2y=1有正整数解，则x 的取值应为（）A 、正奇数B 、正偶数D 、0 解题思路：由312x y -=，x 、y 都是正整数，选A变式题1：．⽅程组2528x y x y +=??-=?的解是否满⾜2x －y=8？满⾜2x －y=8的⼀对x ，y 的值是否是⽅程组2528x y x y +=??-=?的解？解：满⾜，不⼀定．∵2528x y x y +=??-=?的解既是⽅程x+y=25的解，也满⾜2x －y=8，?∴⽅程组的解⼀定满⾜其中的任⼀个⽅程，但⽅程2x －y=8的解有⽆数组，如x=10，y=12，不满⾜⽅程组2528x y x y +=??-=?．例3.已知⼆元⼀次⽅程组45ax by bx ay +=??+=? 的解是21x y =??=?,则a+b 的值为____。

数学二元一次方程组解法讲解和实例分析的完整教案：大家好！今天来给大家讲解一下数学中的二元一次方程组解法，并且使用实例展示这个解法的具体应用情况。

一、二元一次方程组的概念二元一次方程组是指由两个含有两个未知数的线性方程所组成的方程组。

一般形式为：$$\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}$$其中，a、b、c、d、e、f都是已知数，x、y是未知数。

解方程组就是求出x和y的值，使得这两个方程组成立。

二、二元一次方程组的解法1、代数法采用代数方法解二元一次方程组，我们可以先通过其中一个方程将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数。

将这个函数式代入另一个方程中，就会得到只含有一个未知数的一元一次方程，从而可以解出这个未知数的值。

接着，将求解出的值代入函数式中，可以得到另一个未知数的值。

二元一次方程组的代数解法具有操作简单、过程规范等特点。

我们可以通过实例来解释这个方法的正确性。

例1：用代数法解下列方程组：$$\begin{cases} 3x+5y=12 \\ 4x+2y=10 \end{cases}$$解：由第二个方程式得：$$y=\frac{10-4x}{2}=5-2x$$于是，方程组变成为：$$\begin{cases} 3x+5(5-2x)=12 \\ \\ 4x+2y=10\end{cases}$$将y=5-2x带入第一个方程式，可以消去y，得到：$$x=1$$将x=1代入y=5-2x，可以得到：$$y=3$$所以，这个方程组的解是（1，3）。

2、消元法消元法也是解二元一次方程组的一种方法。

它的核心思想是将两个含有两个未知数的方程中的一个未知数系数相等再作差，通过消元得到一个一元一次方程。

最后代入到其中一个方程，解出另一个未知数。

消元法解方程组的步骤如下：1）将其中一个方程两边同乘以一个数，使得两个未知数的系数相等或相反（决定于方便操作，一般情况下选择系数小的未知数）2）将两个方程加起来，消去某个未知数，从而得到另一个未知数的值3）代入其中一个方程式中，求出另一个未知数的值通过实例来解释这个方法的正确性。

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一，基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。

二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。

二，解的状况：二元一次方程组的解有三种状况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24∕7y=59∕7为方程组的解2.有多数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程事实上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有多数组解。

3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相冲突，所以此类方程组无解。

三，二元一次方程的解法：1,一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。

消元的方法有两种：1,代入消元法2,加减消元法3,教科书中没有的几种解法（一）加减•■代入混合运用的方法.例：i3x+14y=41（1）^14x+13y=40（2）解:（2）-⑴得x-y=-1x=y-1（3）把（3）代入⑴得13（y-1）+14y=41y=2把y=2代入⑶得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个X或单个y,这样就适用接下来的代入消元.（二）换元法例3：rx:y=1:4>5x+6y=29令X=1y=41 则方程2可写为：5t+6×4（=2929t=29t=1所以x=1,y=4四，列方程（组）解应用题（一）,其详细步骤是：⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组。

解决二元一次方程组的问题是解决两个未知数之间关系的常见数学问题之一。

本文将介绍几种常用的解法。

方法一：代入法代入法是解决二元一次方程组的常用方法之一。

假设我们有以下二元一次方程组：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f我们可以通过以下步骤使用代入法解决该方程组：1. 将方程一解出其中一个未知数，例如将方程一解出 x：x = (c - by) / a2. 将 x 的值代入方程二，得到：d * ((c - by) / a) + ey = f3. 将方程二化简，整理未知数 y 的项：(bc - b^2y) / a + ey = f4. 合并同类项，整理为关于 y 的一元一次方程：(be + a) * y = af - bc5. 解一元一次方程得到 y 的值。

6. 将 y 的值代入方程一中，解出 x 的值。

这样，我们就得到了方程组的解。

方法二：消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。

假设我们有以下二元一次方程组：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f我们可以通过以下步骤使用消元法解决该方程组：1. 将方程一的两边乘以 e，方程二的两边乘以 b，得到：aex + bey = cebdx + bey = bf2. 将以上两个方程相减，消去未知数 y：(aex - bdx) + bey - bey = ce - bf3. 合并同类项，化简为关于 x 的一元一次方程：(ae - bd) * x = ce - bf4. 解一元一次方程得到 x 的值。

5. 将 x 的值代入方程一或方程二中，解出 y 的值。

这样，我们也得到了方程组的解。

方法三：克拉默法则克拉默法则是解决二元一次方程组的另一种解法。

假设我们有以下二元一次方程组：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f我们可以通过以下步骤使用克拉默法则解决该方程组：1. 计算方程组的系数行列式 D：D = |a b||d e|2. 计算 x 的系数行列式 Dx：Dx = |c b||f e|3. 计算 y 的系数行列式 Dy：Dy = |a c||d f|4. 计算 x 和 y 的值：x = Dx / Dy = Dy / D这样，我们也得到了方程组的解。

第四讲 二元一次方程组的概念及解法考点梳理考点一 二元一次方程组的概念含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

把两个二元一次方程合在一起就组成了一个方程组，像这样的方程组叫做二元一次方程组。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

典例分析 例1、在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有 个；例2、已知二元一次方程2x －y ＝1，若x ＝2，则y ＝ ;若y ＝0，则x ＝ ． 练习：1、方程x ＋y ＝2的正整数解是__________. 2、在方程3x －ay ＝8中，如果是它的一个解，那么a 的值为例3、方程组⎩⎨⎧=+=-521y x y x 的解是（ ）A 、 ⎩⎨⎧=-=21y xB 、⎩⎨⎧-==12y x C 、⎩⎨⎧==21y x D 、⎩⎨⎧==12y x例4、有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为 ，根据题意得方程组。

例5、我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十头，下有九十四足。

问鸡兔各几何。

”你能用二元一次方程组表示题中的数量关系吗？使找出问题的解。

考点二 解二元一次方程⎩⎨⎧==13y x（一）消元解二元一次方程⎧⎨⎩代入消元法加减消元法典例分析例1、把方程2x －y －5＝0化成含y 的代数式表示x 的形式：x ＝ ， 化成含x 的代数式表示y 的形式：y = ． 练习：用含一个未知数的代数式表示另一未知数 （1）5x-3y=x+2y (2)2(3y-3)=6x+4 (3)1223=+y x （4）24741=+y x例2、用代入消元法解下列方程 （1）⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x（3）23328x y x y -=-⎧⎨+=⎩（4）25342x y x y -=⎧⎨+=⎩例3、用加减消元法解下列方程 （1）⎩⎨⎧-=-=+54032y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+15234932y x y x（3）23328x y x y -=-⎧⎨+=⎩ （4）25342x y x y -=⎧⎨+=⎩（二）二元一次方程组的特殊解法 1、整体代入法例4、解方程组y x x y +=+-=⎧⎨⎪⎩⎪14232313、设参代入法例6、解方程组⎩⎨⎧==-3:4:23y x y x2、先消常数法 例5、解方程组⎩⎨⎧=-=+1523334y x y x4、换元法例7、解方程组()()x y x yx y x y +--=+=-⎧⎨⎪⎩⎪236345、简化系数法 例8、解方程组⎩⎨⎧=-=-443334y x y x练习：解下列方程（1）⎩⎨⎧-=-+=-85)1(21)2(3y x x y （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=184332y x y x（3）⎩⎨⎧=--=--023256017154y x y x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-=+234321332y x y x（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1323241y x x y （6）⎩⎨⎧=+=+24121232432321y x y x考点三 二元一次方程组解的应用 例1、若，则＝ ，＝ 。

解二元一次方程组的方法二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的方程组，通常形式为：ax + by = c。

dx + ey = f。

其中，a、b、c、d、e、f为已知数，x、y为未知数。

解二元一次方程组的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。

1. 代入法。

代入法是一种比较直观的解方程组的方法。

首先，我们可以利用其中一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，然后求解即可。

举个例子，对于方程组：2x + 3y = 7。

x y = 1。

我们可以将第二个方程中的x表示成y的函数，得到x = y + 1，然后将其代入第一个方程中，得到2(y + 1) + 3y = 7，化简得到2y + 2 + 3y = 7，进一步化简得到5y = 5，最终解得y = 1。

将y的值代入x = y + 1中，得到x = 2。

因此，方程组的解为x = 2，y = 1。

2. 消元法。

消元法是通过适当的加减消去其中一个未知数，从而得到只含有一个未知数的方程，然后求解即可。

对于方程组：2x + 3y = 7。

x y = 1。

我们可以通过将第二个方程乘以2，然后与第一个方程相加消去x的系数，得到2x + 3y + 2x 2y = 7 + 2，化简得到4x + y = 9。

然后可以利用这个新的方程和原来的第一个方程，采用代入法或者继续消元，最终求得x和y的值。

3. 克莱姆法则。

克莱姆法则是一种利用行列式的方法来解二元一次方程组的方法。

对于方程组：ax + by = c。

dx + ey = f。

如果行列式D = ae bd不等于0，那么方程组有唯一解，且x = (ce bf)/D，y = (af cd)/D。

这三种方法是解二元一次方程组常用的方法，通过这些方法，我们可以比较轻松地解决二元一次方程组的问题。

当然，在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法来解方程组是非常重要的。

方程7级二元一次方程的实际应用方程6级 方程组巅峰突破含参方程组 方程5级二元一次方程组的特殊解法五百只鸭子漫画释义满分晋级阶梯2二元一次方程组的特殊解法题型切片（两个） 对应题目题型目标方程组的基本解法例1；例2；例3；例4； 解复杂、特殊的方程组 例5；例6；例7；例8；考点一:知道代入、加减消元法的意义1、解方程组：4316x y x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎨+=⋅⋅⋅⋅⎩①②．【解析】①+②得，420x =，解得5x =，把5x =代入①得，54y -=，解得1y =， 故此方程组的解为：51x y =⎧⎨=⎩．考点二:选择适当方法解方程组2、已知24328a b a b +=⎧⎨+=⎩，则a b +等于（ ）A 、3B 、83C 、2D 、1考点剖析知识互联网题型切片【解析】24328a b a b +=⎧⎨+=⎩①②∵①＋②得：4412a b +=，∴3a b +=故选A【点评】本题考察了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用巧妙的方法求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目.【例1】二元一次方程及二元一次方程的解概念【例2】基本的代入、加减消元法解二元一次方程组 【例3】解复杂的二元一次方程组【例4】含有字母系数的二元一次方程组，先理解题意再进行计算 【例5】叠加叠减法 【例6】换元法 【例7】倒数法【例8】探索方程组中未知数满足的关系式.定 义示例剖析二元一次方程定义：通过化简后，只有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，系数都不是0的整式方程.23x y =，5x y +=，1a b -=，35m n=；二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．14x y =⎧⎨=⎩是方程5x y +=的一个解； 二元一次方程组定义：一般地，含有相同的未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组．41x y x y +=⎧⎨-=⎩二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解．31x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组41x y x y +=⎧⎨-=⎩的解.基本方法：⑴ 代入消元法：把方程组中的一个方程进行变形，写出用一个未知数x （或y ）编写思路模块一 方程组的基本解法知识导航表示另一个未知数y （或x ）的代数式，然后把它代入另一个方程中，消去未知数y （或x ），得到关于x （或y ）的一元一次方程，通过解这个一元一次方程，再来求二元一次方程组的解．我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法．⑵ 加减消元法：当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数互为相反数或相等时，可以把方程的两边分别相加（当某个未知数的系数互为相反数时）或相减（当某个未知数的系数相等时）来消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．像上面这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．易错点：二元一次方程有无数组解，二元一次方程组只有唯一一组解或无数组解.【例1】 ⑴ 已知关于x 、y 的方程()12mm x y ++=是二元一次方程，则m =______.⑵ 当m =_____时，方程220x my +=是关于x 的一元一次方程. ⑶ 写出方程342x y -=的三组解.【解析】 ⑴1；⑵ 0；⑶ 2610147，，x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩等.【例2】 解方程组 ⑴2127y x x y =-⎧⎨+=-⎩（北京五中期中）⑵233511x y x y +=⎧⎨-=⎩【解析】 ⑴ 13x y =-⎧⎨=-⎩；⑵21x y =⎧⎨=-⎩【例3】 ⑴ 解方程组121232132x y y x -+⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⑵ 若关于x ，y 的方程组18mx ny nx my -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，则m n -为 ．【解析】 ⑴ 32x y =⎧⎨=-⎩；⑵ 1.夯实基础能力提升【例4】 ⑴ m 为何值时，方程组522312x y mx y m -=⎧⎨+=-⎩的解x y 、互为相反数？⑵ 已知方程组2420x my x y +=⎧⎨-=⎩有解1x ny n =⎧⎨=+⎩，求m n 、的值.【解析】 ⑴ 9m =；⑵ 将1x n y n =⎧⎨=+⎩代入20x y -=中，即2(1)0n n -+=，解得2n =-，故有21x y =-⎧⎨=-⎩，代入24x my +=中，即44m --=，解得8m =-.定 义示例剖析当二元一次方程组比较复杂时，应先化简，利用去分母、去括号、合并同类项等将其变为简单的二元一次方程组后再选择合适的消元法求解.方程组()110.5142335x y x y +⎧--=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩化简得25531x y x y +=⎧⎨-=-⎩易错点：含绝对值的方程组要分类讨论.【例5】 解方程组：⑴ 199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩⑵ 361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩⑶ 201020092008200820072006x y x y -=⎧⎨-=⎩（北京四中期中）【解析】 ⑴ 12x y =⎧⎨=⎩；⑵ 11x y =⎧⎨=-⎩；⑶ 12x y =-⎧⎨=-⎩.【点评】 本题尽管可以用常规方法求解，但未知数的系数较大，无论是代入法还是加减法，运算量都很大.选择方法时要根据方程的特点，具体问题具体分析.仔细观察本题系数的特殊规律，大胆地将两个方程分别相加、相减形成新的方程组，进而求得方程组的解.【例6】 运用适当的方法解下列方程组夯实基础知识导航模块二 解复杂、特殊的方程组⑴()()()()4513453x y x yx y x y⎧++-=⎪⎨+--=⎪⎩（北京十一学校期中）⑵解关于x、y的二元一次方程组3223232232x a y b ax a y b a+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=⎪⎩（北京十二中期中）【解析】⑴3212xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；提示：令x y u x y v+=-=，⑵22x ay b=-⎧⎨=⎩；提示：令3223x a y bu v+-==，【点评】此题为整体换元法求解. 【例7】解下列方程组⑴1215b aabb aab+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⑵13281237xyx yxyx y⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩【解析】⑴原式可化简为11121115a ba b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以207203ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⑵取倒数得328237x yxyx yxy+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，化简得238327x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得1112xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得112xy=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点评】此题为倒数法求解.【例8】 1.（2011年人大附中期中）已知x、y满足方程组2524x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x y-的值为 .能力提升真题赏析2.（2013年一六一中学期中）由方程组213x m y m+=⎧⎨-=⎩可得出x 与y 的关系是 .3.（2013年首师大附中期中）已知关于x 、y 的方程组343x y ax y a +=-⎧⎨-=⎩，给出下列结论：①51x y =⎧⎨=-⎩是方程组的解；②当2a =-时，x ，y 的值互为相反数；③当1a =时，方程组的解也是方程4x y a +=-的解； ④,x y 满足的关系式是23x y +=其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④【解析】1. 1x y -=2. 24x y +=3. D.训练1. 如果2223n m n x y ---=是关于x y 、的二元一次方程，那么m = ，n = ． 【解析】 根据定义得2121n m n -=⎧⎨-=⎩，解得73m n =⎧⎨=⎩.训练2. 解方程组233119,253323.x y x y -=⎧⎨-=⎩①②【解析】 ②-①，得224x y -=，即2x y =+。

2.
解方程组：ìïïíïïî
2 2
015 016
x＋2 x＋2
016 017
y＝2 y＝2
017，① 018.②
解：②－①，得x＋y＝1.③
由③，得x＝1－y.④
把④代入方程①，得2 015(1－y)＋2 016y＝2 017.
解这个方程，得y＝2.
把y＝2代入方程③，得x＝－1.
所以原方程组的解为
- 24 y2 6
=
-
44 y2
=
. 11
本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其 中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知 数的式子去表示另外两个未知数．

1. 用代入法解方程组：
ìïïïíïïïî
x ＋ y ＝0，① 34 （2 x＋y）－（3 2
y－x）＝62.②
解：由①，得 x = 3
y 4.
设 x = - y ＝k，则x＝3k，y＝－4k. 34
将x＝3k，y＝－4k代入方程②，
得2(3k－4k)－3[2×(－4k)－3k]＝62.
解这个方程，得k＝2.所以x＝6，y＝－8.
ìïïíïïî
x＝-1， y＝2.
观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如 果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大， 而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未 知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再 用代入法或加减法求解，更为简便．
类型2 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
3.
解方程组：ìïïíïïî
018的值．
解：依题意有(1)
ìïïíïïî
3 x－y＝5， 4x－7 y＝1，(2)
ìïïíïïî
ax－by＝4， ax＋by＝16.

二元一次方程组的解法及应用引言：数学作为一门重要的学科，广泛应用于各个领域。

在数学中，方程组是一种常见的问题形式。

而二元一次方程组作为最简单的方程组形式，其解法和应用也是我们学习数学的基础。

本文将介绍二元一次方程组的解法及其应用。

一、二元一次方程组的解法二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。

通常表示为：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f为已知数，x和y为未知数。

1.1 消元法消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。

通过将两个方程相加或相减，使得一个未知数的系数相互抵消，从而得到另一个未知数的值。

具体步骤如下：- 将两个方程的系数进行调整，使得一个未知数的系数相等或相反数；- 将两个方程相加或相减，消除一个未知数，得到一个新的方程；- 解得新方程中的未知数的值；- 将求得的未知数的值代入原方程中，求得另一个未知数的值。

1.2 代入法代入法是另一种解二元一次方程组的方法。

通过将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程，从而得到一个只含有一个未知数的方程。

具体步骤如下：- 选取一个方程，将其中一个未知数表示为另一个未知数的函数；- 将得到的函数代入另一个方程，得到一个只含有一个未知数的方程；- 解得新方程中的未知数的值；- 将求得的未知数的值代入原方程中，求得另一个未知数的值。

二、二元一次方程组的应用二元一次方程组在实际生活中有广泛的应用。

以下将介绍二元一次方程组在经济学、物理学和几何学中的应用。

2.1 经济学中的应用在经济学中，二元一次方程组常用于描述供给和需求的关系。

例如，假设某商品的供给方程为ax + by = c，需求方程为dx + ey = f，其中x表示价格，y表示数量。

通过解方程组，可以得到平衡价格和数量，从而确定市场的供需关系。

2.2 物理学中的应用在物理学中，二元一次方程组常用于描述物体的运动轨迹。

例如，假设某物体在平面上的运动轨迹可以用方程组ax + by = c，dx + ey = f来表示，其中x和y分别表示物体在水平和垂直方向上的位移。

二元一次方程组多种解法二元一次方程组是由两个未知数组成的一组方程，一般形式为ax+by=c和dx+ey=f。

解二元一次方程组的方法有很多种，下面将介绍几种解法，帮助读者更好地理解和掌握这种类型的方程组的求解方法。

方法一：代入法代入法是解一元一次方程组的常用方法，也同样适用于二元一次方程组的解法。

其步骤如下：1.根据一个方程列出其中一个未知数的表达式，如 $x = \\frac{c -by}{a}$。

2.将其代入另一个方程中，得到只含有一个未知数的方程。

3.解该一元一次方程，得到一个未知数的值。

4.将该值代入已知的方程，求得另一个未知数的值。

方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的经典方法之一，通过消去一个未知数，得到一个只含有一个未知数的方程。

步骤如下：1.将两个方程相加或相减，消除其中一个未知数，得到一个新的一元一次方程。

2.解得其中一个未知数的值。

3.将该值代入原来的一个方程，求得另一个未知数的值。

方法三：矩阵法矩阵法是一种系统性的解方程方法，可以用于解决任意个数的方程组。

对于二元一次方程组，可以将其写成矩阵形式，通过矩阵的运算来求解。

设方程组为：$$ \\begin{align*} ax + by &= c \\\\ dx + ey &= f \\end{align*} $$写成矩阵形式为：$$ \\begin{bmatrix} a & b \\\\ d & e \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x \\\\ y \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} c \\\\ f \\end{bmatrix} $$通过矩阵的逆矩阵运算，可以求得未知数的值。

方法四：图解法对于二元一次方程组，我们可以将其转化成二维平面上的直线，两条直线的交点即为方程组的解。

通过画图可以直观地找到交点的坐标，进而求得未知数的值。

以上便是解二元一次方程组的几种常用方法，每种方法都有其独特的特点和适用范围。

解：由（1）得2x﹣3y＝2 （3）， 把（3）代入（2），得 y＝4 把y=4代入(3)得: x=7
例4.
2x 7 x
6y 2 18 y 1
① ②
解： ①×3得 6x+18y=-6 ③
② - ③得: x=5 把x＝5代入①得:
2×5+6y=-2
y＝-2
∴
x
y
5 2
特点: 方程组中没有未知数的系数的 绝对值相等
办法：选一个未知数，用方程变形 的规则⑵，变其系数为绝对 值相等，从而为加减消元法 解方程组创造条件．
87y
3( 2 ) -8y= 10
把 y 4 代入(3)得:
5
x
8
7
4 5
8
28 5
12 5
6
2
2 25
24+21y-16y=20
5y=-4
y4 5
x6
∴
5
y4
5
选一个方程变形为y=？x或x=?y,代入另一个方程，实现消元，进而求得二 元一次方程组的解的方法叫代入消元法， 简称代入法
用加减法解方程组
(5)写解 写出方程组的解
解二元一次方程组的方法选择
x 2y 0 3x 4y 6
5x 3y 2 2x 3y 10
代入法还是加减法
选择的标准: 若有未知数的系数为±１， 用代入法． 否则用加减法．
⑴ 中x的系数为１
例1． 解方程组 x－y=3 3x－8y=14
解:将方程⑴变形,得
选择用代入法．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
2
2 25
24+21y-16y=20
5y=-4
y4 5

二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的方程组。

解决这类方程组有多种方法，包括代入法、消元法和矩阵法等。

本文将介绍三种常见的解法方法，并通过示例来说明每种方法的具体步骤和应用。

一、代入法解二元一次方程组代入法是一种直观、简单的解法，通过将一个方程的解代入另一个方程，从而求得未知数的值。

以下是解二元一次方程组的代入法步骤：步骤1：给定二元一次方程组：ax + by = c （方程1）dx + ey = f （方程2）步骤2：从方程1中解出x或y，并将其代入方程2中，得到一个只含有一个未知数的方程。

步骤3：求解上一步得到的方程，得到这个未知数的值。

步骤4：将这个未知数的值代入方程1或方程2中，求解另一个未知数。

步骤5：得到二元一次方程组的解。

下面通过一个具体的例子来说明代入法的解题过程：例题：求解方程组2x + 3y = 7 （方程1）x - y = -1 （方程2）解：首先，从方程2中解出x，即x = -1 + y。

将x = -1 + y代入方程1中，得到新方程：2(-1+y) + 3y = 7化简得到：y = 2将y = 2代入方程2中，求解x：x - 2 = -1化简得到：x = 1因此，方程组的解为x = 1，y = 2。

二、消元法解二元一次方程组消元法是通过对方程组进行线性组合，消去一个未知数的系数，得到一个仅含有一个未知数的方程。

以下是解二元一次方程组的消元法步骤：步骤1：给定二元一次方程组：ax + by = c （方程1）dx + ey = f （方程2）步骤2：通过将方程1的倍数加到方程2上（或将方程2的倍数加到方程1上），得到一个新的方程。

步骤3：通过这个新的方程，消去一个未知数的系数，得到一个只含有一个未知数的方程。

步骤4：求解上一步得到的方程，得到这个未知数的值。

步骤5：将这个未知数的值代入方程1或方程2中，求解另一个未知数。

步骤6：得到二元一次方程组的解。

解二元一次方程组的方法二元一次方程组是高中数学中常见的问题，解决这类问题需要掌握一定的方法和技巧。

本文将介绍几种解二元一次方程组的方法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

一、图解法图解法是解决二元一次方程组的简单直观方法。

考虑到二元一次方程的几何意义，我们可以将方程转化为对应的图形，并通过图形的相交或平行关系来求解方程组。

举例来说，考虑以下二元一次方程组：```2x + y = 5x - y = 1```我们可以将其转化为直线的形式：```y = -2x + 5y = x - 1```通过绘制这两条直线的图像，我们可以发现它们在点 (2, 3) 相交，因此该点即为方程组的解。

二、代入法代入法是解二元一次方程组的一种常用方法。

通过将一方程的变量用另一方程的变量表示，从而将两个未知数的问题转化为一个未知数的问题。

以以下方程组为例：```2x + y = 5x - y = 1```我们可以先从第二个方程中解出 x，然后将其代入第一个方程中，得到：```2(x - 1) + y = 5```化简得到：```2x - 2 + y = 5```从中解出 y：```y = 7 - 2x```此时我们已经获得了y 的表达式，可以将其代入任意一个原方程中，求出对应的x 值。

将x 的值和y 的值组合起来，即可得到方程组的解。

三、消元法消元法是另一种解二元一次方程组的有效方法。

通过将方程组中的一个方程乘以适当的系数，使得两个方程的系数相等或相差一个常数，从而消去一个未知数。

以以下方程组为例：```2x + y = 5x - y = 1```我们可以将第二个方程乘以 2，使得两个方程的 x 系数相等：```2x + y = 52x - 2y = 2```然后将第二个方程从第一个方程中消去 y：```(2x + y) - (2x - 2y) = 5 - 23y = 3```解出 y 的值为 1，然后将其代入任意一个原方程中，求出对应的 x 值。

解方程组(1)，得
xy＝＝12，，代入(2)，得
a＝5， b＝6.
所以(a－b)2 018＝(5－6)2 018＝1.
方法5 主元法解一元二次方程组
6. 已知
4x－x－33y－y－z＝3z0＝0，(x，y，z均不为0)，求
xy x2
2 yz y2 z2
的值．
解：将原方程组变形，得
4x－3z＝3 y， x－z＝3 y. 解得
所以原方程组的解为 y＝2.
解这个方程，得y＝2.
方法2 特殊消元法解二元一次方程组
类型2 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
3.
解方程组：
13 x＋14 14 x＋13
y＝40，① y＝41.②
解：①＋②，得27x＋27y＝81.化简，得x＋y＝3.③
①－②，得－x＋y＝－1.④ ③＋④，得2y＝2，y＝1. ③－④，得2x＝4，x＝2.
知识要点
解二元一次方程组的思想是“消元”，是一个变“未知” 为“已知”的过程．解二元一次方程组的过程的实质是转化过 程，因此解方程组时，要根据方程组的特点，灵活运用方程组 的变形的技巧，选用较简便的方法来解．
方法1 引入参数法解二元一次方程组
1. 用代入法解方程组：
解：由①，得 x
y .
34
设x
x＝－6 y， z＝－9 y.
xy 2 yz ( 6 y) y 2 y ( 9 y) 所以 x2 y2 z2 ( 6 y)2 y2 ( 9 y)2
24 y2 6 . 44 y2 11
所以原方程组的解为 x＝3，
y＝1.
方法4 同解交换法解一元二次方程组
5. 已知关于x，y的方程组 ax－by＝4，与方程组 ax＋by＝16，

二元一次方程组的几种特殊解法及分析摘要：从初中学段的学生特点来看，七年级数学教学要引导学生通过观察，分析，思考，交流等，获得数学的基础知识，掌握基本技能，逐步感悟数学的基本思想，并不断积累基本的活动经验。

“-解二元一次方程组”是一项基本技能，对于学生的学习而言，不仅要求学生感悟消元思想和化归思想，掌握求解这一基本功，更要求学生养成认真观察，细致分析的审题习惯，选择合理简洁的解题方法，有效提高学习效率，增强学习信心。

对此，本人结合自己平时的教学实践，粗浅地分析几种特殊解法，并通过对实例的分析来说明选择恰当解法的重要性.关键词：二元一次方程组消元思想化归思想整体思想二元一次方程组解法是新人教版七年级数学第二学期第八章第二节的内容：“消元---解二元一次方程组”，它在初中数学中占有非常重要的位置，是一项基本技能，它对多元方程组，高次方程，函数以及今后矩阵的学习都将产生深远的影响，在学生知识掌握方面不仅要求熟练应用代入消元法和加减消元法求解这一基本功，更要求学生把前面所学的整式，一元一次方程的解法等知识与之融会贯通，并且能够在认真观察，细致分析的基础上，合理高效地选择恰当的消元方法与消元技巧，达到准确求解的目的，从而体会到初中数学中的转化思想，消元意识的重要性，提高观察分析和解决问题的能力.一、二元一次方程组解法的基本思想消元-----解二元一次方程组”的标题点出了这一节的核心和基本思想-----消元思想。

二元一次方程组含有两个未知数，如果消去其中一个未知数，由两个方程得出一个方程，这样就得到前面已学习过的一元一次方程，由它可以先解出一个未知数的值，然后再设法求出另一个未知数的值。

这一节首先从讨论解方程组的实际需要出发，引导学生从解决问题的基本策略的角度认识消元思想，然后教科书通过举例分析讨论了两种消元方法：代入法和加减法，并结合具体问题用框图形式表示了这两种解法的一般过程。

在方程组解法的讨论中，重视过程和结果的关系，突出消元和化归思想.二、二元一次方程组解法探讨1.基本解法（1）代入消元法的概念及一般步骤：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的形式表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法的概念及一般步骤：当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的项的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.1.特殊解法对于一些特殊的方程组，若用基本解法，解题过程就会过于繁琐冗长，而且容易造成计算错误，如果能细心观察，潜心分析，总结经验，根据题目以及系数特征，采取一定的解题技巧，化繁为简，就可以收到意想不到的解题效果，归纳起来，常用的有以下几种消元方法或技巧：（1）整体代入法，（2）换元法，（3）系数化简法，（4）比例设k法.三、实例分析:例1解方程组分析：当方程组比较复杂时，本应通过去分母，去括号，移项，合并同类项，使之化为二元一次方程组的标准形式，为代入消元或加减消元创造条件。

专题4-1二元一次方程组（考题猜想，六种特殊解法）解法1：用整体代入法解二元一次方程组【例题1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）阅读以下材料：解方程组()1045x y x y y --=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②，由①得1x y -=③，把③代入②，得415y ⨯-=，解得1y =-，把1y =-代入③得0x =．∴01x y =⎧⎨=-⎩，这种解法称为“整体代入法”．请你用这种方法解方程组：310622243x y x y y -+=⎧⎪⎨-++=⎪①②．∴132x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）先阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组：()2034x y x y y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②，由①，得2x y +=．③把③代入②，得324y ⨯-=，解得2y =．把2y =代入③，得0x =．∴原方程组的解为02x y =⎧⎨=⎩；这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：321032526x y x y y --=⎧⎪⎨-++=⎪①②．∴原方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩【变式2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）材料：解方程组()4314x y x y y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②将①整体代入②，得3414y ⨯+=，解得2y =，把2y =代入①，得2x =，所以22x y =⎧⎨=⎩这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩①②【答案】01x y =⎧⎨=-⎩【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．利用整体代入法解方程组即可．【详解】解：由①得：1x y -=③，将③代入②得：415y ⨯-=，解得：1y =-，将1y =-代入①得：()110x ---=，解得：0x =，∴方程组104()5x y x y y --=⎧⎨--=⎩①②的解为01x y =⎧⎨=-⎩【变式3】2023七年级上·全国·专题练习）解方程组2320523297x y x y y -+=⎧⎪-+⎨+=⎪故原方程组的解为54 xy=⎧⎨=⎩解法2：用特殊消元法解二元一次方程组类型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等【例题2】（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组3242x y kx y k+=+⎧⎨-=⎩(1)若方程组的解互为相反数，求k的值(2)若方程组的解满足方程310x y+=，求k的值．代入②得：321k -⨯=，∴1k =【变式1】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）解下列方程或方程组(1)()()4320679x x x x --=--(2)1226x x x +-=-(3)2354210x y x y +=⎧⎨--=⎩①②所以原方程组的解为1698x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【变式2】（2024·广东肇庆·一模）解二元一次方程组225x y x y +=⎧⎨-=⎩．【答案】41x y =⎧⎨=-⎩【分析】用加减消元法解方程组即可；【详解】()()22,15,2x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解：(1)(2)-得33y =-，解得1y =-．将1y =-代入（1）得4x =．所以该方程组的解为4,1.x y =⎧⎨=-⎩【变式3】（23-24八年级上·山东济南·期末）解下列方程组：(1)248x y x y -=⎧⎨+=⎩；(2)422237x y x y -=⎧⎨+=-⎩．类型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等【例题3】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于x，y的方程组325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩，a为常数．(1)求方程组的解（用含a的式子表示）；(2)平面直角坐标系中，若以方程组的解为横、纵坐标的点(),P x y在第一、三象限的角平分线上，求a的值．【答案】(1)212 x a y a=+⎧⎨=-⎩(2)3a=-【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一，三象限角平分线上点的坐标特点，熟练的解方程组是解本题的关键．（1）直接利用加减消元法解方程组即可；（2）由一，三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，再建立方程求解即可．【详解】（1）解：325x y ax y a-=+⎧⎨+=⎩①②，+①②，得363x a =+，∴21x a =+．将21x a =+代入①，得2y a =-．∴原方程组的解为：212x a y a =+⎧⎨=-⎩；（2）∵以方程组的解为横、纵坐标的点(),P x y 在第一、三象限的角平分线上，∴212a a +=-，解得：3a =-【变式1】（2024年贵州省黔南州中考一模考试数学模拟试题）解方程组：227x y x y -=⎧⎨+=⎩【答案】31x y =⎧⎨=⎩【分析】灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键．选择相加消元后直接解方程即可．【详解】227x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，+①②得39x =，解得3x =，把3x =代入①，可得32y -=，解得1y =，31x y =⎧∴⎨=⎩是原方程的解【变式2】（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）甲、乙两人同时解方程组5213mx y x ny +=⎧⎨-=⎩①②，甲解题看错了①中的m ，解得722x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，乙解题时看错②中的n ，解得37x y =⎧⎨=-⎩，试求原方程组的解．【答案】23x y =⎧⎨=-⎩．【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组．把甲的解代入②中求出n 的值，把乙的解代入①中求出m 的值；把m 与n 的值代入方程组求解即可得到答案．则方程组的解为23 xy=⎧⎨=-⎩【变式3】（23-24七年级下·全国·随堂练习）用加减法解下列方程组：(1)2531x yx y+=⎧⎨-=⎩(2)92153410x yx y+=⎧⎨+=⎩解法3：用换元法解二元一次方程组【例题4】（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：(1)解方程组3213213x y x y -=-⎧⎨+=⎩，我们利用加减消元法，可以求得此方程组的解为___________；(2)如何解方程组()()()()35231352313m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢，我们可以把5,3m n ++分别看成一个整体，设5m x +=，3n y +=，请补全过程求出原方程组的解；(3)若关于m ，n 的方程组()()()()3223226m n m n m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩，则方程组的解为______．【变式1】（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）计算：解方程组726x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪（）（93x y =⎧∴⎨=⎩【变式2】（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：(1)已知方程组3213213x y x y -=-⎧⎨+=⎩的解为272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，如何解大于,m n 的方程组()()()()35231352313m n m n ⎧+-+=-⎪⎨+++=⎪⎩呢，我们可以把分别5,3m n ++看成一个整体，设5,3m x n y +=+=，则原方程组的解为______________________；(2)若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是32x y =⎧⎨=-⎩，求方程组1111122222322322a m b n a b c a m b n a b c +=++⎧⎨+=++⎩的解．(3)已知m ，n 为定值，关于x 的方程136kx m x nk ++=-，无论k 为何值，它的解总是2x =，求m n +的值．把2x =代入，得4262k m nk +=--，(4)240n k m ∴++-=恒成立，40240n m +=⎧∴⎨-=⎩，即42n m =-⎧⎨=⎩，2m n ∴+=-【变式3】（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）用换元法解方程组：121134x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪．∴原方程组的解是11x y =-⎧⎨=⎩解法4：用同解交换法解二元一次方程组【例题5】（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）已知关于x y ，的方程组37x y ax b y -=⎧⎨+=⎩和28x by a x y +=⎧⎨+=⎩的解相同．求,a b 的值．【答案】11a b ==-，【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据两个方程组有相同的解，将①与④组合可求出x y ，的值，再代入②与③组合的方程组中即可求解．【详解】解：方程组37x y ax b y -=⎧⎨+=⎩①②与28x by a x y +=⎧⎨+=⎩③④的解相同，∴①与④组合得，3728x y x y -=⎧⎨+=⎩①④，①+④得，3x =，∴2y =，把x y ，代入②与③组合的方程组中得，3232a b b a +=⎧⎨+=⎩②③，把③代入②得，1b =-，∴1a =，∴11a b ==-，【变式1】（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知关于x ，y 的方程组23324x y ax by -=⎧⎨+=⎩和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求20243)(a b +的值．【答案】1【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a b ，的值．由题意可得：方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩和方程组24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，求得a b ，的值，代入求解即可．【详解】解：由题意可得：方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩和方程组24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩的解相同，解方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩可得：31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入24233ax by ax by +=⎧⎨+=⎩可得：324633a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：25ab=-⎧⎨=⎩，将25ab=-⎧⎨=⎩代入()20243a b+可得，原式()2024651-+==，即()20243a b+的值1．【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·阶段练习）数学学霸甲、乙两人在一次解方程组比赛中，甲求关于x y、的方程祖35368x ybx ay-=⎧⎨+=-⎩的正确解与乙求关于,x y的方程组25264x yax by+=-⎧⎨-=-⎩的正确的解相同．则()20232a b+的值为多少？【答案】1【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．联立不含a与b的方程求出x与y的值，进而确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：联立得：3536 2526 x yx y-=⎧⎨+=-⎩，解得：26 xy=⎧⎨=-⎩，代入得：268 264 b aa b-=-⎧⎨+=-⎩，解得：11 ab=⎧⎨=-⎩，∴()()2023202321 211a b=⨯-=+【变式3】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）已知关于x，y的方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩与方程组31mx nymx ny+=⎧⎨-=⎩的解相同，求mn的值．【答案】2mn=【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题关键．先解方程组45321x yx y+=⎧⎨-=⎩，再根据两个方程组同解，得到关于m、n的方程，求解即可计算求值．【详解】解：45321x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，2⨯+①②得：1111x =，解得：1x =，将1x =代入①得：1y =，∴方程组45321x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为11x y =⎧⎨=⎩， 方程组45321x y x y +=⎧⎨-=⎩与方程组31mx ny mx ny +=⎧⎨-=⎩的解相同，31m n m n +=⎧∴⎨-=⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩，2mn ∴=解法5：用主元法解方程组【例题6】（22-23八年级上·四川成都·期中）已知3460x y z -+=，45230x y z +-=，0xyz ≠，则2222324x y z xy yz zx --+-的值为．故答案为：5-【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）已知433030x y zx y z--=⎧⎨--=⎩（x，y，z均不为0），求2222xy yzx y z++-的值．【点睛】本题不是考查学生直接解方程的能力，而是让学生理清三个未知数之间的关系，所以未知数之间的转换就是关键【变式2】（20-21八年级上·全国·课时练习）已知430,4520,x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩xyz≠．（1）用含z的代数式表示x，y；（2）求222232x xy zx y++的值．（2）2222222211232321633351233z z z z x xy z x y z z ⎛⎫⨯+⨯⨯+ ⎪++⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了用加减法解方程组的特殊解法，把x 、y 看作未知数解方程组是解题的关键【变式3】已知x ，y ，z 都不为零，且满足4360x y z --=，270x y z +-=．求2335x y z x y z-++-的值．【点睛】本题主要考查解方程组，代数式求值，能根据具体问题选择合适的解法，如本题中用含有z 的代数式来表示x 、y ，这是解题的关键解法6：用设辅助元法解方程组【例题7】【观察思考】怎样判断两条直线是否平行？如图①，很难看出直线a 、n 是否平行，可添加“第三条线”（截线c ），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c 为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【理解运用】（1）计算111111111111113367867896786789⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．【拓展提高】（2）若关于x，y的方程组mx ny pax by q+=⎧⎨-=⎩的解是32xy=⎧⎨=⎩，则关于x、y的方程组(1)(1)(1)(1)m x n y pa xb y q-++=⎧⎨--+=⎩的解为．【变式1】．（22-23七年级下·广西玉林·期末）【阅读·领会】怎么判断两条直线是否平行？如图①，很难看出直线是否平行，可添加“第三条线”（截线），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系，我们称直线为“辅助线”.在部分代数问题中，难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入字母为“辅助元”或“整体代换”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践·体验】（1）已知210a a +-=，则23a a ++=______（引入“辅助元”或“整体代换”计算）.（2）如图②，已知C E EAB ∠+∠=∠，求证：AB CD ∥，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．【创造·突破】（3）若关于x y ，的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，则关于x y ，的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩的解为______．【答案】（1）4；（2）见解析；（3）13x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）把210a a +-=变形为21a a +=，然后整体代入求值即可；（2）利用“辅助线”延长BA 交EC 于点F ，由三角形内角和定理以及等量代换可得AFE C ∠=∠，由同位角相等，两直线平行可得结论；（3）将23x y =⎧⎨=⎩代入关于x 、y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩可得，2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，再代入关于x 、y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩可得答案．【详解】解：（1）∵210a a +-=，∴21a a +=，∴23134a a ++=+=，故答案为：4（2）如图，延长BA 到，使BA 与CE 相交于点F ，∵AFE E EAB C E EAB ∠+∠=∠∠+∠=∠，，∴EFA C =∠∠，∴AB CD ∥；（3）将23x y =⎧⎨=⎩代入关于x 、y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩可得，2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，再代入关于x 、y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩可得，223223ax by a b mx ny m n -=+⎧⎨+=-⎩，所以13x y =⎧⎨=-⎩，故答案为：13x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查二元一次方程组，平行线的性质以及有理数的运算，掌握二元一次方程组的解法、平行线的性质和判定，理解“辅助线”、“辅助元”、“辅助元素”的意义是正确解答的前提．【变式2】【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？如图1，很难看出直线a 、b 是否平行，可添加“第三条线”（截线c ），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c 为“辅助线”．在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．【实践•体悟】(1)计算111111125675678⎛⎫⎛⎫+++⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111125675678⎛⎫⎛⎫-++⨯++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．(2)如图2，已知C E EAB ∠+∠=∠，求证AB CD ∥，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．【创造•突破】(3)若关于,x y 的方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，则关于,x y 的方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩的解为___________．(4)如图3，15120A A ∠=∠=︒，2470A A ∠=∠=︒，6890A A ∠=∠=︒，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角3270A ∠=︒，则优角7A ∠=___________．EAB ∠ 是EFA 的外角，EAB E EFA ∴∠=∠+∠，又EAB E C ∠=∠+∠ ，EFA C ∴∠=∠，AB CD ∴∥；（3）把23x y =⎧⎨=⎩代入方程组ax by c mx ny p +=⎧⎨-=⎩得：2323a b c m n p +=⎧⎨-=⎩，与方程组22ax by c mx ny p -=⎧⎨+=⎩比较得：13x y =⎧⎨=-⎩，方程组的解为：13x y =⎧⎨=-⎩，故答案为：13x y =⎧⎨=-⎩；（4）连接3A 、7A ，分成两个五边形，如图所示：五边形的内角和为(52)180540-⨯︒=︒，两个五边形的内角和为1080︒，7A ∠=两个五边形的内角和1263222A A A A -∠-∠-∠-∠10802120270290270250=︒-⨯︒-⨯︒-⨯︒-︒=︒，故答案为：250°．【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，平行线的性质与判断，解二元一次方程组，多边形的内角和等知识，加入了“辅助”的思想解题的关键是正确找到“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”．【变式3】．（20-21七年级下·江苏无锡·期中）[阅读•领会]如图①，为了判断两直线的位置关系．我们添加了直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．【实践•体悟】（1）计算111111111111112256756785675678⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++-++++++⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．（2）若关于x、y的方程组的解是ax by cmx ny p+=⎧⎨-=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，则关于x、y的方程组22ax by cmx ny p-=⎧⎨+=⎩的解为．【创造•突破】（3）已知直线AB//CD．如图2，请写出∠ABE、∠E、∠CDE的数量关系，并添加适当的辅助线说明理由．（4）已知直线AB//CD．如图3，∠ABM＝13∠MBE，∠CDN＝13∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F＝m°，则∠E=．（用含m的代数式表示）。

二元一次方程组的解法
二元一次方程是指含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组。

解决二元一次方程组的方法有三种常见的方法：代入法、消元法和等式相减法。

1.代入法：通过将其中一个方程的一个变量用另一个方程
中对应的变量表示，然后再将此代入另一个方程中，从而将方程组化简为只含有一个变量的一次方程，进而求解该方程得到一个变量的值，再将其代入另一个方程中求解另一个变量的值。

2.消元法：通过加减乘除等基本运算，将方程组中的某一
变量相消，使得方程组中只含有一个变量，并且求得该变量的值，再将该值代入另一个方程中求解另一个变量的值。

3.等式相减法：将两个方程相减，得到一个新的方程，该
方程中只含有一个变量，然后求解该方程得到一个变量的值，再将其代入原来的方程中求解另一个变量的值。

需要注意的是，无论使用哪种方法，最终的解都需要检验是否符合原方程组。