高一数学平面向量应用举例

高一数学平面向量的投影与夹角的应用在高一数学学习中，我们经常会遇到平面向量的投影与夹角的概念和应用。

平面向量是数学中的重要概念之一，它具有很强的几何意义，被广泛应用于各个领域。

一、平面向量的投影平面向量的投影是指向量在某个方向上的投影长度。

在平面向量AB上，点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)。

设向量AB的单位向量为u，则向量AB在u方向上的投影长度为AB·u。

在实际应用中，平面向量的投影有着广泛的应用。

例如，在力学中，我们经常需要求解斜面上物体受力的问题。

当物体受到斜面的作用力时，我们可以将受力向量分解为与斜面平行和垂直于斜面的两个分力。

其中，垂直于斜面的分力即为受力的投影，它决定了物体在斜面上运动的加速度。

二、平面向量的夹角平面向量的夹角是指两个向量之间的夹角。

设向量A的模为|A|，向量B的模为|B|，则向量A与向量B的夹角θ满足以下关系：cosθ = (A·B) / (|A||B|)。

平面向量的夹角在几何推理和物理计算中有着广泛的应用。

例如，在三角函数的研究中，夹角的概念为我们提供了求解三角函数值的方法。

又如，在力学中，夹角的概念用于计算两个力的合力与分解力之间的关系，进而求解物体运动的特征。

三、平面向量的应用举例1. 空间的向量叠加在几何学和物理学中，我们经常需要处理多个平面向量的叠加问题。

例如，在力学中，当一个物体同时受到多个力的作用时，我们需要将这些力向量进行叠加，得到物体所受合力的大小和方向。

这个过程可以通过平面向量的加法来实现，将每个力向量分解为平行和垂直于某个方向上的分力，然后将这些分力向量进行叠加，最终得到合力向量。

2. 直线与平面的关系在几何学中，直线与平面的关系是一个重要的问题。

当给定一条直线的方向向量和通过一点的平面时，我们可以使用向量的夹角来确定直线与平面的关系。

如果直线方向向量与平面法向量的夹角为零，即二者平行，则直线与平面相交；如果夹角不为零，则直线与平面相交于一点。

平面向量高一数学知识点在高中数学中，平面向量是一个重要的概念。

它不仅在几何学中有着广泛的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。

本文将重点介绍平面向量的定义、性质以及相关定理。

一、平面向量的定义和运算平面向量可以用有序数对表示，也可以用箭头表示。

设点A和点B是平面上的两个点，用A和B表示它们对应的平面向量。

平面向量有两个重要的运算：加法和数乘。

1. 加法：设有平面向量OA和平面向量OB，它们的和记作OA + OB。

根据平行四边形法则，我们可以通过将OA和OB的起点放在同一个点，然后连接它们的终点，得到一个新的平面向量，即OA + OB。

加法满足交换律、结合律和平移律。

2. 数乘：设有平面向量OA和实数k，它们的数乘记作kOA。

根据数乘的定义，kOA的模长是|k|乘以OA的模长，并且kOA与OA的方向相同（当k>0）或相反（当k<0）。

二、平面向量的性质平面向量有多个重要的性质，下面我们来介绍其中的一些。

1. 零向量：零向量是一个特殊的平面向量，记作O，它的模长为0，方向任意。

对于任意平面向量OA，都有OA + O = OA。

2. 相等条件：平面向量OA和平面向量OB相等的充分必要条件是它们的模长相等并且方向相同。

3. 负向量：平面向量OA的负向量记作-OA，它的模长与OA 相等，方向相反。

4. 平面向量的基本性质：设A、B、C是平面上的三个点，对应的平面向量分别为OA、OB、OC。

有以下基本性质： - OA + O = OA- OA + OA = O- OA + (-OA) = O- OA - OA = O- k(OA + OB) = kOA + kOB (数乘的分配律)- (k + m)OA = kOA + mOA (数乘的分配律)三、平面向量的定理平面向量的定理是高中数学中一些重要的定理。

1. 平行定理：设有两个平面向量OA和OB，当且仅当它们的方向相同或相反时，即OA = kOB（k为非零实数），则表示向量OA和向量OB平行。

2-5平面向量应用举例一、选择题1．△ABC 中，|AB →|＝|AC →|，且AB →与BC →的夹角为120°，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．斜三角形[答案] C2．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,3)，则k 的值是( )A ．5B ．－5 C.32 D ．－32[答案] A[解析] 由题意，得BC →＝AC →－AB →＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)． ∵∠C ＝90°，∴AC →⊥BC →.∴AC →·BC →＝0. ∴2(2－k )＋3×2＝0.∴k ＝5.3．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．形状无法确定 [答案] C[解析] ∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0， ∴CA 2→－CB 2→＝0，CA 2→＝CB 2→.∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形．4．点O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高线的交点 [答案] D[解析] 由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0. ∴OB →⊥CA →.同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →.∴OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的三条高线的交点．5．两个大小相等的共点力F 1、F 2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20N ，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40NB ．102NC ．202ND ．402N[答案] B[解析] 如上图，以F 1、F 2为邻边作平行四边形，F 为这两个力的合力．由题意，易知|F |＝2|F 1|，|F |＝20N ， ∴|F 1|＝|F 2|＝102N.当它们的夹角为120°时，以F 1、F 2为邻边作平行四边形， 此平时四边形为菱形， 此时|F 合|＝|F 1|＝102N.6．两质点M ，N 的位移分别为s M ＝(4，－3)，s N ＝(－5，－12)，则s M 在s N 方向上的投影为( )A ．(－1，－15)B ．(－20,36) C.1613 D.165[答案] C[解析] s M ·s N ＝4×(－5)＋(－3)×(－12)＝16，|s M |＝5，|s N |＝13，则s M 在s N 方向上的投影为s M ·s N |s N |＝1613.7．若向量OF 1→＝(2,2)，OF 2→＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(0,5)B ．(4，－1)C．2 2 D．5[答案] D[解析]F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝5.8．速度|v1|＝10m/s，|v2|＝12m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是()A．2m/s B．10m/sC．12m/s D．291m/s[答案] D[解析]|v|2＝|v1＋v2|2＝|v1|2＋2v1·v2＋|v2|2＝100＋2×10×12cos60°＋144＝364.∴|v|＝291(m/s)．9．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．27 B．2 5C．2 D．6[答案] A[解析]∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，∴|F3|＝|－F1－F2|＝(F1＋F2)2＝|F1|2＋2F1·F2＋|F2|2＝4＋2×2×4cos60°＋16＝27.10．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行3km”，则向量a＋b表示()A．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)km [答案] B[解析] a 与b 的夹角为90°，则a ·b ＝0，则|a ＋b |＝(a ＋b )2 ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝|a |2＋|b |2＝1＋3＝2， a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝1.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝11×2＝12，∴θ＝60°，即a ＋b 表示向北偏东30°方向航行2 km. 二、填空题11．在菱形ABCD 中，AC →·BD →＝________. [答案] 0[解析] ∵AC ⊥BD ，∴AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0.12．某人从点O 向正东走30m 到达点A ，再向正北走303m 到达点B ，则此人的位移的大小是________m ，方向是东偏北________．[答案] 60 60°[解析] 如图所示，此人的位移是OB →＝OA →＋AB →，且OA →⊥AB →，则|OB →|＝|OA →|2＋|AB →|2＝60(m)，tan ∠BOA ＝|AB →||OA →|＝ 3.∴∠BOA＝60°.13．一个物体在大小为10N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为50m ，且力F 所做的功W ＝2502J ，则F 与s 的夹角等于________．[答案] π4[解析] 设F 与s 的夹角为θ，由W ＝F ·s ， 得2502＝10×50×cos θ， ∴cos θ＝22.又θ∈[0，π]，∴θ＝π4.14．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 为对角线AC 上一点，则(AP →＋BD →)·(PB →＋PD →)的最大值为________．[答案] 1[解析] 如上图所示，设AP →＝xAC →，AB →＝a ，AD →＝b ， 则a ·b ＝0，BD →＝b －a ，AP →＝xAC →＝x (a ＋b )，其中x ∈[0,1]，所以PB →＝AB →－AP →＝a －x (a ＋b )＝(1－x )a －x b ， PB →＝AD →－AP →＝b －x (a ＋b )＝－x a ＋(1－x )b ，所以(AP →＋BD →)·(PB →＋PD →)＝[x (a ＋b )＋b －a ]·[(1－x )a －x b －x a ＋(1－x )b ]＝[(x －1)a ＋(x ＋1)b ]·[(1－2x )a ＋(1－2x )b ]＝－16x 2＋8x ＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋1， 由于x ∈[0,1]，则－16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋1的最大值为1. 三、解答题15．如图所示，已知▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，a 与b 的夹角为θ， 则|a |＝3，|b |＝1，θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC 2→＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， |DB →|＝DB 2→＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7. ∴AC ＝13，DB ＝7.[点评] 向量法求平面内A 、B 两点间的距离的步骤：①选取一组基底a ，b ；②用基底a ，b 表示AB →，即AB →＝x a ＋y b ；③利用|AB →|＝|AB →|2＝(x a ＋y b )2求得|AB →|；④归纳结论．16．已知：▱ABCD 中，AC ＝BD ，求证：四边形ABCD 是矩形． [分析] 以AB →和AD →为基底，转化为证明AB →⊥AD →. [证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，由于四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， BD →＝AD →－AB →＝b －a . ∵AC ＝BD ，∴|a ＋b |＝|b －a |. ∴|a ＋b |2＝|b －a |2.∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|b |2－2a ·b ＋|a |2. ∴a ·b ＝0.∴a ⊥b ，即AB →⊥AD →.∴AB ⊥AD . ∴四边形ABCD 是矩形．17．今有一小船位于d ＝60m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80m 处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s ，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？(sin37°＝35)[解析] 如图，由题设可知，船的实际速度v ＝v 划＋v 水，其方向为临界方向PO →.则最小划速|v 划|＝|v 水|·sin θ， sin θ＝dd 2＋l 2＝60602＋802＝35， ∴θ＝37°.∴最小划速应为v 划＝5×sin θ＝5×35＝3(m/s)．当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127°. 18．如图，已知甲、乙两人同时从O 出发，甲行走10 km 到达B 处，乙出发的方向与甲的方向的夹角为60°，乙走了14 km 后到A 处，求此时甲、乙两人之间的距离．[解析] 设向量OA →＝a ，OB →＝b ，AB 2→＝(OB →－OA →)2＝OB 2→＋OA 2→－2OA →·OB →，又∵|OB →|＝10，|OA →|＝14，∴AB 2→＝196＋100－2×10×14×cos60°＝156， ∴|AB →|＝239.∴甲、乙两人此时之间的距离为239km.。

专题02平面向量的数量积及其应用（含坐标）5种常考题型归类向量数量积的运算1．（2023春•西城区校级期中）向量||||2a b == ，a与b 的夹角为34π，则a b ⋅ 等于()A ．-B ．C ．2-D ．4【解析】 ||||2a b == ，a与b 的夹角为34π，∴32||||cos 22()42a b a b π⋅==⨯⨯-=-．故选：A ．2．（2023春•西城区校级期中）已知向量a，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c -⋅=；a b ⋅=．【解析】如图建立平面直角坐标系，所以(2,1)a = ，(2,1)b =- ，(0,1)c =，所以(0,2)a b -= ，()2a b c -⋅= ，221(1)3a b ⋅=⨯+⨯-=．故答案为：2；3．3．（2023春•东城区校级期中）已知菱形ABCD 边长为1，60BAD ∠=︒，则(BD DC ⋅=)A B ．C ．12D ．12-【解析】60BAD ∠=︒ ，由菱形的几何性质可得：1AB BD DC ===，,120BD DC 〈〉=︒，故111cos1202BD DC ⋅=⨯⨯︒=- ．故选：D ．4．（2023春•怀柔区校级期中）已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则(DA CD ⋅=)A ．212a -B ．214a -C ．214a D ．212a 【解析】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则2211||||cos(180)()22DA CD DA CD ADC a a ⋅=︒-∠=⨯-=- ．故选：A ．5．（2021秋•西城区校级期中）在ABC ∆中，90C =︒，4AC =，3BC =，点P 是AB 的中点，则(CB CP ⋅= )A ．94B ．4C ．92D ．6【解析】在ABC ∆中，90C =︒，则0CB CA ⋅=，因为点P 是AB 的中点，所以1()2CP CB CA =+ ，所以222111119[()]||222222CB CP CB CB CA CB CB CA CB CB ⋅=⋅+=+⋅=== ．故选：C ．6．（2015秋•北京校级期中）ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且20OA AB AC ++= ，||||OA AB =，则CA CB等于()A ．32B C ．3D ．【解析】 20OA AB AC ++=，∴0OA AB OA AC +++= ，∴OB OC =- ．O ∴，B ，C 共线，BC 为圆的直径，如图AB AC ∴⊥． ||||OA AB = ，∴||||1OA AB == ，||2BC =，||AC =，故6ACB π∠=．则||||cos303CA CB CA CB =︒= ，故选：C ．7．（2023春•房山区期中）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2CD =，4BAD π∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅ ，则(AD AC ⋅= )A ．12B ．16C ．20D ．10【解析】因为2AB AC AB AD ⋅=⋅，所以()AB AC AB AD AB AC AD AB DC AB AD ⋅-⋅=⋅-=⋅=⋅ ，所以2||AB AB AD =⋅ ，可得||cos 24AD π= ，解得||22AD = ，所以22()(22)222cos 124AC AD AD AD DC AD AD DC π⋅=⋅+=+⋅=+⨯= ．故选：A ．8．（2023秋•大兴区期中）已知等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，则EF EA ⋅=；若M ，N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则EM EN ⋅的最小值为．【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为等边ABC ∆的边长为4，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以(2,0)B -，(2,0)C ，(0A ，23)，(3)E -，3)F ，所以(2,0)EF = ，3)EA =，所以21032EF EA ⋅=⨯+=；不妨设M 在N 的左边，则设(M m ，0)(21)m - ，则(1,0)N m +，所以(1,3)EM m =+ ，(2,3)EN m =+，所以22311(1)(2)335(24EM EN m m m m m ⋅=+++=++=++ ，所以当32m =-时，EM EN ⋅ 有最小值为114．故答案为：2；114．9．（2023春•西城区校级期中）已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形所在平面上的动点，且||BP =，则DB AP ⋅的最大值是()A ．0B ．4C ．D ．8【解析】已知正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形所在平面上的动点，且||BP =，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)B ，(0,2)A ，(2D ，2(2,2)2))θθ=--⋅-，P θ)θ，[0θ∈，2]π，则(2,2)2)444sin(4DB AP πθθθθθ⋅=--⋅-=--=-+ ，又[0θ∈，2]π，则[0DB AP ⋅∈，8]，则DB AP ⋅的最大值是8．故选：D ．10．（2023春•顺义区期中）已知P 是ABC ∆所在平面内一点，||3AB = ，||1AP = ，6AC AB ⋅=，则AB CP ⋅的最大值是()A ．3B ．2C ．2-D ．3-【解析】||3AB = ，||1AP = ，6AC AB ⋅=，∴()AB CP AB AP AC ⋅=⋅- AB AP AB AC =⋅-⋅ ||||cos 6AB AP BAP =∠-3cos 6BAP =∠-，cos 1BAP ∴∠=时，AB CP ⋅取最大值3-．故选：D ．11．（2023秋•通州区期中）在等腰ABC ∆中，2AB AC ==，2BA BC ⋅=，则BC =2；若点P满足122CP CA CB =-，则PA PB ⋅ 的值为．【解析】在等腰ABC ∆中，2AB AC ==，又2BA BC ⋅=，则()2AB AC AB ⋅-=-，则222AB AC AB ⋅=-= ，即||||cos 2AB AC BAC ∠=，即1cos 2BAC ∠=，即3BAC π∠=，即ABC ∆为等边三角形，即2BC =；又点P 满足122CP CA CB =-，则221111111()()(2)(3)664422242242422PA PB CA CP CB CP CB CA CB CA CB CA CB CA ⋅=-⋅-=+⋅-=-+⋅=⨯-⨯+⨯⨯⨯= 故答案为：2；24．向量的模12．（2023秋•东城区校级期中）已知向量a 与向量b 的夹角为120︒，||||1a b == ，则|2|(a b += )A ．3B C ．2D ．1【解析】已知向量a与向量b 的夹角为120︒，||||1a b == ，则1111()22a b ⋅=⨯⨯-=-，则|2|a b +=== ．故选：B ．13．（2023春•海淀区校级期中）已知平面向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，且a与b 的夹角为23π，则||(a b += )A B C ．D ．3【解析】 ||2a = ，||1b = ，且a与b 的夹角为23π，∴平面向量的数量积运算可知，221cos 13a b π⋅=⨯⨯=-，∴222222||()222113a b a b a a b b +=+=+⋅+=-⨯+= ，∴||a b +=故选：A ．14．（2022春•东城区校级期中）已知a ，b 是单位向量，2c a b =+ ，若a c ⊥，则||(c = )A ．3BC D【解析】 a ，b 是单位向量，2c a b =+ ，a c ⊥，∴2(2)20a c a a b a a b ⋅=⋅+=+⋅=，∴21a b ⋅=-，||c = ==．故选：C ．15．（2014秋•西城区校级期中）已知向量a与b 的夹角是120︒，||3a = ，||a b + ，则||b =．【解析】向量a与b 的夹角是120︒，||3a = ，||a b += ，则2()13a b +=，即有22213a b a b ++=，即29||23||cos12013b b ++⨯︒=，即2||3||40b b --=，即有||4(1b =-舍去），故答案为：4．16．（2020春•朝阳区校级期中）设向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，a < ，60b >=︒，则|2|a b += ．【解析】由||2a = ，||1b = ，a <，60b >=︒ ，则1||||cos ,2112a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯=，则|2|a b +==故答案为：．17．（2023春•海淀区校级期中）已知||1a =，||b = 1a b ⋅=，则|2|(a b -= )A ．3BC ．5D ．9【解析】 222222|2|(2)441414(5a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+⨯=，∴|2|a b -=．故选：B ．18．（2023春•东城区校级期中）若向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||||a b a b ++-的最小值为()A ．52B ．2C ．1D ．12【解析】设a OA =，b OB = ，c OC = ，设M 为AB 的中点，已知向量,,a b c满足：,||1a b c ≠= ，且()()0a c b c -⋅-= ，则||1OC = ，CA CB ⊥ ，则||||2||||2||2||2(||||)2||2a b a b OM BA OM CM OM CM OC ++-=+=+=+=，当且仅当O 在线段CM 上时取等号，即||||a b a b ++-的最小值为2．故选：B ．19．（2023秋•丰台区期中）已知平面向量,a b满足||2a = ，||1b = ，且1a b ⋅= ，则|2|(a b += )A ．12B ．4C ．D ．2【解析】已知平面向量,a b满足||2a = ，||1b = ，且1a b ⋅= ，则|2|2a b +=故选：C ．20．（2022春•东城区校级期中）已知向量(1,1)a =，(2,3)b =- ，那么|2|(a b -= )A ．5B ．C ．8D【解析】向量(1,1)a =，(2,3)b =- ，那么|2||(5a b -= ，5)|-==．故选：B ．21．（2022春•西城区校级期中）已知向量a ，b满足||5a = ，(3,4)b = ，0a b ⋅= ．则||a b -= ．【解析】因为||5a = ，(3,4)b = ，所以2223425b =+= ，所以||5b = ，又因为0a b ⋅=，所以222()225202550a b a a b b -=-⋅+=-⨯+= ，所以||a b -=．故答案为：．22．（2023秋•西城区校级期中）已知向量,a b满足(2,),(2,1)a b x a b +=-=- ，且22||||1a b -=- ，则(x =)A ．3-B ．3C ．1-D ．1【解析】因为(2,),(2,1)a b x a b +=-=-，所以2222||||()()41a b a b a b a b x -=-=+⋅-=-+=-，解得：3x =．故选：B ．23．（2017春•东城区校级期中）设x ，y R ∈，向量(,1)a x = ，(1,)b y = ，(2,4)c =- ，且a c ⊥ ，//b c，则||(a b += )A B C ．D ．10【解析】 (,1),(2,4)a x c ==- ，且a c ⊥，21(4)0x ∴+-= ，解得2x =．又 (1,),(2,4)b y c ==-，且//b c ，1(4)2y ∴-= ，解之得2y =-，由此可得(2,1)a =，(1,2)b =- ，∴(3,1)a b +=-，可得||a b +=．故选：B ．向量的垂直问题24．（2023春•大兴区校级期中）已知向量(,2),(1,1)a x b ==- ，若a b ⊥，则(x =)A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解析】因a b ⊥ ，则20a b x ⋅=-+=，得2x =．故选：C ．25．（2023春•昌平区校级期中）向量(,1),(2,4)a t b == ，若a b ⊥，则实数t 的值为()A ．1B ．1-C ．2D ．2-【解析】因为(,1),(2,4)a t b == ，且a b ⊥，所以240a b t ⋅=+=，得2t =-．故选：D ．26．（2023春•通州区期中）已知向量(2,4)a =，(1,)b m =- ，则“3m =”是“()a b b -⊥ ”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】根据题意，当3m =时，向量(2,4)a =，(1,3)b =- ，则(3,1)a b -= ，有()330a b b -⋅=-+= ，则有()a b b -⊥，反之，若()a b b -⊥ ，则()3(4)0a b b m m -⋅=-+-=，解可得3m =或1，3m =不一定成立；故“3m =”是“()a b b -⊥”的充分不必要条件．故选：A ．27．（2023春•东城区校级期中）已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ．若向量a b + 与a垂直，则(m =)A ．6B ．3C ．7D ．14-【解析】已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ，若向量a b + 与a垂直，则2()5(2)0a b a a a b m +=+=+-+=，求得7m =，故选：C ．28．（2023秋•东港区校级期中）已知向量(1,0),(0,1)a b == ，若()()a b a b λμ-⊥+，其中λ，R μ∈，则()A ．1λμ+=-B ．1λμ+=C ．1λμ⋅=-D ．1λμ⋅=【解析】(1,0),(0,1)a b ==，则(1,)a b λλ-=- ，(1,)a b μμ+=，()()a b a b λμ-⊥+，则110λμ⨯-⋅=，解得1λμ⋅=．故选：D ．29．（2023秋•西城区校级期中）如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，那么下列结论中正确的是()A ．||||a b = B ．a b =C ．()a b b -⊥D ．//a b【解析】由平面向量(2,0)a =，(1,1)b = ，知：在A 中，||2a =，||b = ||||a b ∴≠ ，故A 错误；在B 中，2a b =，故B 错误；在C 中， (1,1)a b -=- ，()0a b b ∴-= ，()a b b ∴-⊥，故C 正确；在D 中， 2011≠，∴a与b 不平行，故D 错误．故选：C ．30．（2023春•海淀区校级期中）已知平面向量11(,),)2222a b =-=-，则下列关系正确的是()A ．()a b b +⊥B ．()a b a +⊥C ．()()a b a b +⊥-D ．()//()a b a b +-【解析】平面向量11()22a b =-=-，则a b ⋅=-=，22||1b b == ，22||1a a == ，对于A ，2()0a b b a b b +⋅=⋅+≠，故A 错误；对于B ，2()0a b a a a b +⋅=+⋅≠，故B 错误；对于C ，向量1(,)22a =-，1()22b =- ，则||||1a b == ，则有22()()||||0a b a b a b +⋅-=-= ，即()()a b a b +⋅-，故C 正确；对于D ，12a b += 1)2，1(2a b -=1)2+，易得()a b + 与()a b - 平行不成立，故D 错误．故选：C ．31．（2021春•东城区校级期中）已知向量(1,0)a = ，(,1)b m = ，且a与b 的夹角为4π．（1）求m 及|2|a b -；（2）若a b λ+与b 垂直，求实数λ的值．【解析】（1）根据题意，向量(1,0)a =，(,1)b m = ，则a b m ⋅= ，||1a =，||b = ，又由a与b 的夹角为4π，则有||||cos a b a b θ⋅= ，即2m =，解可得：1m =，则2(1,2)a b -=-- ，故|2|a b -==；（2）由（1）的结论，1m =，则(1,1)b =，若a b λ+与b 垂直，则()120a b b λλ+⋅=+= ，解可得：12λ=-．向量的夹角问题32．（2023春•仓山区校级期中）若||1a = ，||b = ，2a b ⋅= ，则a，b 的夹角为()A ．0B ．4πC ．2πD ．34π【解析】cos a b a b θ⋅=⨯⨯，将已知代入可得：21cos θ=⨯，解得：2cos 2θ=，[0θ∈ ，]π，故4πθ=，故选：B ．33．（2023春•顺义区期中）若1e ，2e 是夹角为3π的两个单位向量，则12a e e =+ 与122b e e =- 的夹角为()A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【解析】根据题意，设12a e e =+与122b e e =- 的夹角为θ，[0θ∈，]π，1e ，2e 夹角为3π的两个单位向量，则1212e e ⋅= ，12a e e =+，122b e e =- ，则有221212322a b e e e e ⋅=--⋅=- ；又由2212||()3a e e =+=，2212||(2)3b e e =-= ，则有||a =，||b = ，则1cos 2||||a b a b θ⋅==- ，则23πθ=．故选：C ．34．（2023秋•朝阳区期中）已知单位向量a ，b 满足(2)2a a b ⋅+= ，则向量a与b 的夹角为．【解析】因为a，b 是单位向量，且(2)2a a b ⋅+= ，所以222a a b +⋅= ，所以12a b ⋅= ，所以1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==，因为,[0,]a b π<>∈，所以,3a b π<>=．故答案为：3π．35．（2023春•房山区期中）已知向量(3,1)a =，(2,1)b =- ．则a b ⋅= ；a <，b >=．【解析】向量(3,1)a =，(2,1)b =- ，所以321(1)5a b ⋅=⨯+⨯-=；计算cos a <，2||||a b b a b ⋅>=== ，又因为a <，[0b >∈ ，]π，所以a <，4b π>= ．故答案为：5；4π．36．（2023春•通州区期中）已知向量(1,2)a =- ，(2,4)b = ，则向量a与b 夹角的余弦值为()A ．35-B ．35C ．1-D ．1【解析】根据题意，设向量a与b 夹角为θ，向量(1,2)a =-，(2,4)b = ，则||a ==，||b == ，286a b ⋅=-=-，则3cos 5||||a b a b θ⋅===- ．故选：A ．37．（2023春•海淀区校级期中）已知a ，b 是单位向量，2c a b =+ ．若a c ⊥ ，则a与b 的夹角为()A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【解析】设a与b 的夹角为θ，[0θ∈，]π， 2c a b =+ ，a c ⊥，∴2(2)20a c a a b a a b ⋅=⋅+=+⋅=，a，b 是单位向量，12cos 0θ∴+=，解得1cos 2θ=-，∴23πθ=．故选：C ．38．（2023春•东城区校级期中）平面向量||2a = ，||2b = ，()a b a -⊥ ，则a与b 的夹角是()A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【解析】()a b a -⊥，()0a b a ∴-⋅= ，即20a a b -⋅=，∴22a b a ⋅==，2cos ,2||||a b a b a b ⋅∴<>==⋅，,[0,]a b π<>∈，∴,a b的夹角是4π．故选：C ．39．（2022春•西城区校级期中）已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b的夹角为()A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．135︒【解析】根据题意，如图，建立坐标系，设小正方形的边长为1，向量a，b 的夹角为θ，则(3,1)a =，(2,4)b = ，则||10a = ||4165b =+ 10a b ⋅=，则102cos 2||||1025a b a b θ⋅===⨯ ，则45θ=︒，故选：A ．40．（2023春•海淀区校级期中）已知向量(1,0)a =，(2,a b += ，则向量a与b 的夹角为()A ．3π-B ．6πC ．3πD ．23π【解析】向量(1,0)a =，(2,a b +=，所以(1,b = ，所以1,||1,||2a b a b ⋅===，设向量a与b 的夹角为α，则1cos 2||||a b a b α⋅== ，因为[0α∈，]π，故3πα=．故选：C ．41．（2013秋•宣武区校级期中）若向量a 、b 满足(2,1)a b +=- ，(1,2)a = ，则向量a与b 的夹角等于()A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【解析】向量a、b 满足(2,1)a b +=- ，(1,2)a = ，则(1,3)b =- ，165a b =-=-，||a =，||b =即有cos ,2||||a b a b a b <>===，由于0,180a b ︒<>︒，则有向量a与b 的夹角等于135︒．故选：A ．42．（2023秋•通州区期中）已知向量(2,0)a =- ，(1,2)b =，c =，则下列结论中正确的是()A ．//a bB ．2a b ⋅= C ．||2||b c = D ．a 与c的夹角为120︒【解析】已知向量(2,0)a =- ，(1,2)b =，c =，A 选项，因(2)210-⨯≠⨯，则a与b 不平行，故A 错误；B 选项，因202a b ⋅=-+=-，故B 错误；C选项，||b ==又||2c ==，则||2||b c ≠ ，故C 错误；D 选项，21cos ,||||222a c a c a c ⋅-〈〉===-⨯，又,[0,180]a c 〈〉∈︒︒，则,120a c 〈〉=︒，即a 与c的夹角为120︒，故D 正确．故选：D．投影向量问题43．（2023春•通州区期中）已知向量a ，b 满足10a b ⋅= ，且(3,4)b =- ，则a在b 上的投影向量为()A ．(6,8)-B ．(6,8)-C ．6(5-，8)5D ．6(5，8)5-【解析】因为10a b ⋅=，且(3,4)b =- ，所以a在b 上的投影向量||cos a a < ，2(3,4)6()10(9165||||b b b a b b b ->=⋅=⨯=-+ ，85．故选：C ．44．（2023春•朝阳区校级期中）已知两个单位向量a和b 的夹角为120︒，则向量a b - 在向量b 上的投影向量为()A ．12b- B ．12bC ．32b- D ．32b【解析】 单位向量a和b 的夹角为120︒，23()||11cos12012a b b a b b ∴-⋅=⋅-=⨯⨯︒-=- ，向量a b -在向量b 上的投影向量为()32||||a b b b b b b -⋅⋅=- ．故选：C ．45．（2021春•丰台区期中）已知(1,0)a = ，(5,5)b = ，则向量a在向量b 方向上的投影向量的坐标为．【解析】向量a在向量b方向上的投影为22||a b b ⋅= ，由于向量a在向量b 方向上的投影向量与b 共线，可得所求向量为11(102b = ，1)2，故答案为：1(2，1)2．46．（2023春•房山区期中）已知向量(1,3)a =，(1,1)b =- ，则下列结论正确的是()A ．a与b 的夹角是钝角B ．()a b b+⊥C ．a在bD ．a在b 上的投影的数量为105【解析】对于A ，因为1320a b ⋅=-+=> ，所以a与b 的夹角不是钝角，选项A 错误；对于B ，2()2240a b b a b b +⋅=⋅+=+=≠ ，所以()a b b +⊥不成立，选项B 错误；对于C ，a在b上的投影的数量为||a b b ⋅== C 正确；对于D ，由C 知选项D 错误．故选：C ．47．（2023春•昌平区校级期中）如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，AB OP ⋅的值为；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值为．【解析】矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点．当点P 在BC 边上时，||||cos 212AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯=；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅的最小值，||||cos AB OP AB OP POB ⋅=∠ ，P 应该在线段AD 上，此时||||cos 2(1)2AB OP AB OP POB ⋅=∠=⨯-=-；故答案为：2；2-．48．（2023秋•东城区校级期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为该正六边形的中心，圆O 的半径为2，圆O 的直径//MN CD ，点P 在正六边形的边上运动，则PM PN ⋅的最小值为．【解析】如图，连结PO ，显然OM ON =-，则222()()()()4PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- ，点P 在正六边形ABCDEF 的边上运动，O 是其中心，因此||PO的最小值等于中心O 到正六边形的边的距离，又中心O 到正六边形的边的距离为42⨯=，所以PM PN ⋅的最大值为248-=．故答案为：8．49．（2023春•大兴区期中）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 是边BC 上的动点，E 是边AC的中点，则BE AD ⋅ 的取值范围是()A ．[-B ．C ．[3-，0]D ．[0，3]【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0)C ，B ，(0,0)E ，设CD CB λ= ，01λ，则(1)OD OC CB λλ=+=- ，则(2)AD λ=- ，又(0,BE = ，所以(2)0(3BE AD λλ⋅=-⨯+⨯=- ，又01λ，所以BE AD ⋅ 的取值范围是[3-，0]．故选：C ．50．（20210.618≈的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形ABCD 中，1BC =，AB BC >，那么AB AC ⋅ 的值为()A1-B1+C ．4D．2+【解析】由黄金矩形的定义，可得2AB =，1BC =-，在矩形ABCD中，cos AB CAB AC ∠==，则||||cos 24AB AC AB AC CAB ⋅=⋅⋅∠=⨯ ，故选：C ．51．（2023秋•西城区校级期中）已知OA a = ，OB b = ．若||5OA = ，||12OB = ，且90AOB ∠=︒，则||a b -= ．【解析】已知OA a = ，OB b = ，90AOB ∠=︒，∴0a b ⋅= ，又||5OA = ，||12OB = ，即||5,||12a b ==，||13a b ∴-= ．故答案为：13．52．（2023春•道里区校级期中）若平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则|2|a b + 等于()AB．C ．4D ．12【解析】因为平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，所以||2a = ，||||cos 21cos601a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯︒= ，所以|2|2a b += ．故选：B ．53．（2023春•东城区校级期中）已知向量(0,5)a = ，(4,3)b =- ，(2,1)c =-- ，那么下列结论正确的是()A ．a b - 与c 为共线向量B ．a b - 与c 垂直C ．a b - 与a 的夹角为钝角D ．a b - 与b 的夹角为锐角【解析】根据题意，向量(0,5)a = ，(4,3)b =- ，(2,1)c =-- ，则(4,8)a b -=- ，又由(2,1)c =-- ，有(4)(1)(2)8-⨯-≠-⨯，则()a b - 与c 不是共线向量，(2,1)c =-- ，则()(4)(2)(1)80a b c -=-⨯-+-⨯= ，则()a b - 与c 垂直；故选：B ．。

高一数学平面向量的应用通用版【本讲主要内容】平面向量的应用（几何中解三角形和物理中的应用）【知识掌握】【知识点精析】1. 正弦定理2. 余弦定理3. 解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力。

【解题方法指导】例1. 在△ABC中，已知（a＋b＋c）（a＋b－c）＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC 的形状。

解法一：利用边的关系来判断。

由正弦定理，得sin sin CBcb由2cosAsinB ＝sinC ，有又据余弦定理，得∴，即，cb c a cb c a ba 2222222222=+-=+-=∴a ＝b又已知（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）＝3ab ，由a ＝b ，∴故4322222b cb bc-==，b ＝c 。

∴a ＝b ＝c 。

因此△ABC 为等边三角形。

解法二：利用角的关系来判断 ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sinC ＝sin （A ＋B ） 又 2cosAsinB ＝sinC ，∴2cosAsinB ＝sinAcosB ＋cosAsinB ∴sin （A －B ）＝0又A 与B 均为△ABC 的内角，∴A ＝B 又由（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）＝3ab ，据余弦定理，上式化为∴C ＝60°。

故△ABC 为等边三角形。

说明：判定三角形的形状时，一般有两种思路：一是通过三角形的边关系，另一是考虑三角形的内角的关系。

当然可将边和角巧妙结合同时考虑。

例2. 如图，是曲柄连杆机的示意图。

当曲柄CB 0绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞做直线往复运动。

当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 0处。

设连杆AB 长为340 ｍｍ，曲柄CB 长为85 ｍｍ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离A 0A ）（精确到1ｍｍ）。

平面向量的应用制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

一、根本知识：1．在阅读、理解具有实际意义的文字材料的根底上，能准确、明晰、有条理地用向量的语言表述问题．2．能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型．3．能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解．4．能结合实际意义，正确表述问题的解．5．能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题．二、例题分析：例1 某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一流速度3km/h，方向正东，风向北偏西30º，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为3 km/h，假设要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 3 km/h．的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．分析 撇开题设情境，提炼出四个速度，即水流速度v 1，风的速度v 2，船本身的速度v 3，船的实际航行速度v ，并且有v 1＋v 2＋v 3=v ，在这一等式中，v 1、v 2、v ，v 3可求．略解：设水的速度为v 1 ，风的速度v 2，v 1＋v 2=a ，易求得a 的方向是北偏东 30º，a 的大小为 3 km/h ．设船的实际航行速度v ，方向南向北，大小 2 3 km/h ．．船本身的速度v 3，那么a +v 3=v ， 即 v 3=v -a ， 数形结合知，v 3方向是北偏西60º，大小为 3 km/h ．． 点评 四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略．每一次合成只相当于求解了一个简单题．例2 O 为ΔABC 所在平面内一点，满足|OA → |2＋| BC → |2=|CA →|2＋|OB →|2=|OC →|2＋|AB →|2．试证明O 是ΔABC 的垂心．分析 等式是关于线段长度平方和的等式，OA → 与BC → 、OB →与CA →、OC →与AB → 都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难．VV 1V但线段长度平方和即向量模的平方，要证O 是ΔABC 的垂心，只需证得OA → ⊥BC → ，OB →⊥CA →，联想向量的数量积，只需证OA → ·BC → =OB →·CA →=0．|OA → |2＋| BC → |2=|CA →|2＋|OB →|2 ，得a 2＋〔c －b 〕2=b 2＋〔a －c 〕2 ， c ·b =a ·c ，即〔b －a 〕·c =0．OC →·AB →=0， 故 AB →⊥OC →．同理 CA →⊥OB →，BC → ⊥OA → ．故O 是ΔABC 的垂心．点评 向量知识的应用领域很广泛，中学数学所涉及的平几、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于揭去假装，合理转化．例3．如下图，对于同一高度〔足够高〕的两个定滑轮A 、B ，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m 1和m 2的物体〔m 1≠m 2〕，另在两滑轮中间的一段绳子的O 点处悬挂质量为m 的另一物体，m 1∶m 2=OB ∶OA ，且系统保持平衡〔滑轮半径、绳子质量均忽略不计〕．求证：（1） ∠AOB 为定值；m（2） 212m m m ＞2． 分析 根据题意，我们可以作出物体的受力图，引用平衡条件可列出方程组，在方程组的变形中，探究∠AOB 的大小，在求出∠AOB 后，再向第2问结论努力．解〔1〕设两绳子AO 、BO对物体m 的拉力分别为F 1、F 2，物体m 向下的重力为F ，由系统平衡条件知F 1+F 2+F =0．如图，设∠BAO=α，∠ABO=β，根据平行四边形法那么，得F 2cos β+F 1cos 〔π－α〕=0，F 2sin β+F 1sin 〔π－α〕＋F=0．即 m 2cos β－m1 cos α=0 ， ①m 2sin β＋m 1 sin α=m ． ②在ΔAOB 中，由正弦定理，得OB ∶OA= sin α∶sin β，将m 1∶m 2= sin α∶sin β代入①，得sin βcos β= sin αcos α，即sin2β= sin2α． F∵m 1≠m 2 ，∴OA ≠OB ． ∴α≠β，2α＋2β=180º．∴α＋β=90º， 即∠AOB=90º．〔２〕由α＋β=90º，得 cos βcos α＝sin βsin α．将①②平方相加，得m 2=m 12＋m 22 ．由m 2－2m 1m 2=m 12＋m 22－2m 1m 2=〔m 1－m 2〕2>0 ，得m 2>2m 1m 2．∴ 212m m m ＞2． 点评 向量在物理中的应用最常见的是力学问题，物体处于平衡状态即所受各力的合力为０，亦即向量之和为零向量，运用三角形法那么、平行四边形法那么及解斜三角形的根底知识可望得到问题的解．此题所列方程组，是根据物体程度方向、竖直方向所受各力的合力分别为０得到．三、训练反应：１．假如一架向东飞行200km ，再向南飞行300km ，记飞机飞行的路程为s ，位移为a ，那么 〔 A 〕A ． s>|a |B ． s<|a |C ． s=|a |D ． s 与|a |不能比大小2． 一条河宽为d ，水流速度为v 2，一船从岸边A 处出发，垂直河岸线航行到河的正对岸B 处，船在静水中的速度为v 1，那么船在航行过程中，船的实际航行速度大小为 〔 C 〕A ．| v 1|B ．| v 1|2＋| v 2|2C ．| v 1|2－| v 2|2D ．| v 1|－| v 2|3．一艘船以4km/h 的速度，沿着与水流方向成120º的方向航行，河水流速为2 km/h ，该船假设航行6 km ，所须时间是为 〔 A 〕A ． 3 hB ．23h C ．3 h D ．2 h 4．A 〔k ，12〕，B 〔4，5〕，C 〔10，k 〕，假设点C 在线段AB 上，那么k 值等于 〔A 〕A ．11B ．－2C ．－11或者2D ．485 或者2525．ΔABC 中，AB →=c ，BC →=a ，CA →=b ，那么以下推理不正确的选项是 〔 D 〕A ． 假设a ·b =b·c ，那么ΔABC 为等腰三角形B ． 假设a ·b >0，那么ΔABC 为钝角三角形C ． 假设a ·b =0，那么ΔABC 为直角三角形D ．假设c ·〔a ＋b ＋c 〕=0，那么ΔABC 为正三角形6．两人同提重|G |的书包时，用力都为|F |，夹角为θ，那么|F |、|G |、θ之间的关系为|F | =_____；当θ= 时，|F|获得最小值；当|F |=|G |时，θ= ．2cos 2θGF =； 0；θ=π32 提示：画示意图，用加法的平行四边形法那么. 8．以下各个量：①物体的位移；②汽车的速度；③物体的质量；④某液体的温度．其中能称为向量的有 ．①②9．三个力F 1=〔1，3〕，F 2〔－2，1〕，F 3=〔x ，y 〕，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，那么力F 3= ．〔1，－4〕10．设某人向东走3 km 后，又改变方向向北偏东30º走3 km ，该人行走的路程是 ，他的位移是 ．6 km,向北偏东60º走3 3 km11．一条东西方向的河流，水流速度为2 km/h ，方向正东．一船从南岸出发，向北岸横渡，船速为4 km/h ，试求船的实际航行速度，并画出图形〔角度可用反三角函数表示〕．答：船的实际航行速度方向是北偏东arctan 12，大小为2 5 km/h.12．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停顿转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行．此时，风向是北偏东30º，风速是20 km/h ．；水的流向是正东，流速为20 km/h ．，假设不考虑其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度为 ．北偏东60º， 20 3 km/h.13．a =〔sin α， sin α－cos α〕，b =〔cos α，0〕，O 为坐标原点，OP →=a ＋b ，那么|OP →|= ．214．一个30º的斜面上放有一个质量为1kg 的球，假设要保持球在斜面上静止不动，应沿斜面方向给球多大的力？假设表示球的重力的向量为p ，球对斜面的压力为ω，那么球的重力沿斜面方向的分力f 如何表示？保持球在斜面上静止不动的推力f ′又如何表示？4.9N, f =p －ω , ,f ′=－f =ω－p15． 点A 〔1，2〕和B 〔4，－1〕，问能否在y 轴上找一点C ，使∠ACB=90º，假设能，求出C 点坐标；假设不能，说明理由．不能. 因AC → ·BC → =0 无解.16． O 为坐标原点，OA → =〔3，0〕，OB → =〔23,21〕，两个质点甲、乙分别从A 、B 两点同时出发，速度均为4km/h ，且甲沿AO →方向运动，乙沿OB →方向运动．（1） 甲乙两个质点之间的初始间隔 是多少？（2） 用包含t 的式子f 〔t 〕表示t 小时后，两个质点之间的间隔 ；（3） 什么时候两个质点之间相距最近．提示：〔1〕由|AB → |2=|OA → |2+|OB → |2－2OA → ·OB → 可得|AB → |=7 km.〔2〕设t h 后，甲、乙分别运动到P 、Q ，写出OP → 、OQ → ，并求得2PQ =48t 2－24t ＋7.注意：要分0≤t 43 与t >43讨论.〔3〕 利用配方法求最小值，得t =41h 时，两个质点之间相距最近制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

高一数学 2.5平面向量应用举例教案新人教A 版一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。

三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决.四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。

五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。

平面向量知识点回顾一、 向量的概念（1）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法(,)x i y j x y α→→=⋅+⋅=. （3）向量的长度：即向量的大小，记作2a x y =+（4）特殊的向量：零向量a ＝O｜a ｜＝O . 单位向量a 为单位向量｜a ｜＝1.（5）相等的向量：大小相等，方向相同12112212(,)(,)x x x y x y y y =⎧=⇔⎨=⎩（6） 相反向量：0a b b a a b =−⇔=−⇔+=（7）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.二、向量的运算法则（1）加法a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AB BC AC +=注：向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。

（2）减法()a b a b −=+− （减法可以变成加法来计算，因此加法的相关运算法则减法也适用）AB BA =− OB OA AB −=注：向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。

（3）数乘()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=注：1.a λ是一个向量,满足:a a λλ=；2.λ>0时, a λ与a 同向; λ<0时, a λ与a 异向; λ=0时,0a λ=.（4）数量积a b b a ⋅=⋅()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅()22a a =a b a b ⋅≤注：1.a b ⋅是一个数；2.00a b ==或时，0a b ⋅=；3. 00a b ≠≠且时，()cos ,,a b a b a b θθ⋅=是之间的夹角三、向量的直角坐标系运算法则 ()11,a x y =，()22,b x y =（1） 加法()1212,a b x x y y +=++（2） 减法()1212,a b x x y y −=−−（3） 数乘()11,a x y λλλ=（4） 数量积1212a b x x y y ⋅=+21a x y =+四、重要的定理以及公式（应用）（1）平面向量基本定理1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数12,λλ，使112a e e λλ=+.注：1.我们把不是共线的1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2.基底不是唯一的，关键是不是共线；3.由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；4.基底给定时，分解形式是唯一的，12,λλ是被a 、1e ，2e 唯一确定的数量。

2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2.证法一：如图2-7-1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a.图2-7-1∴|AC|2=（a+b）2=a2+2a·b+b2，|BD|2=（b-a）2=a2-2a·b＋b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二：如图2-7-2所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a，b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2-7-2=OB＋OD=（c,0）+(a，b)=(a+c,b)，BD=AD-AB=OD-OB=(a,b)-(c,0)=(a-c,b).∴|AC|2=（c+a）2+b2，|BD|2=（a-c）2+b2.∴|AC|2＋|BD|2=2a2+2c2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2|OB|2＋2|OD|2=2a2+2c2+2b2，∴|AC|2＋|BD|2=2|AB|2＋2|AD|2，即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.绿色通道：1.向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种），研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系.这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译）.2.平面几何经常涉及距离、夹角的问题.而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模及向量的夹角.因此,我们可以用向量方法解答几何问题.在具体问题中,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素,然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等几何元素之间的关系,最后将结论转化为几何问题.变式训练如图2-7-3所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，BC＞AD，E、F分别为BD、AC的中点.试用向量证明：EF∥BC.图2-7-3 思路分析：证明EF ∥BC，转化为证明EF ∥BC，选择向量基底或建立坐标系均可解决. 证法一（基向量法）：设AB =a ，AD =b ，则有BD =AD -AB =b -a . ∵AD ∥BC ，∴存在实数λ＞1使BC =λAD =λb . ∵E 为BD 的中点，∴BE =21BD =21 (b -a ）. ∵F 为AC 的中点， ∴BF =BC +CF =BC +21CA =BC +21(BA -BC ）=21(BA +BC ）=21(BC -AB ）=21 (λb -a ）.∴EF =BF -BE =21 (λb -a ）-21 (b -a ）=（21λ-21）b . ∴EF =［（21λ-21）·λ1］BC . ∴EF ∥BC .EF ∥BC.证法二(坐标法)：如图2-7-4所示，以BC 为x 轴，以B 为原点建立平面直角坐标系.则B(0,0)，设A （a,b ）,D(c,b),C(d,0).图2-7-4∴E(2,2b c )，F(2,2b b a +). ∴EF =(2,2b b a +)-(2,2b c )=(0,2c d a -+)，BC =(d,0).∵2c d a -+×0-d×0=0. ∴EF ∥BC .∴EF ∥BC.例2如图2-7-5，一艘船从A 点出发以32km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.图2-7-5 思路分析：船的实际航行速度是船的速度与水流速度的合速度，用平行四边形法则合成即可. 解：如图2-7-5所示，设AD =a 表示船垂直于对岸行驶的速度，AB =b 表示水流的速度，以AD 、AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船的实际航行速度,即AC =a +b ， ∵|a |=32，|b |=2,a ·b =0，∴|AC |2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=16，即|AC |=4. ∵AC ·AB =（a +b ）·b =a ·b +b 2=4， ∴cos〈AC ,AB 〉21424||||=⨯=AB AC . 又∵0°≤〈AC ,AB 〉≤180°，∴〈AC ,AB 〉=60°,即船的实际航行速度的大小为4 km/h ，方向与水的流速间的夹角为60°.绿色通道： 用向量法解决物理问题的步骤：（类似于用向量方法解决平面几何问题的步骤） ①把物理问题中的量用向量来表示；②将物理问题转化为向量问题，通过向量运算解决数学问题；③把结果还原为物理问题.变式训练如图2-7-6所示，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠AC W=150°，∠BC W=120°,求A 和B 处所受力的大小.（忽略绳子的质量）思路分析：由于力和重量都是向量，求A 和B 处所受力的大小转化为求向量的模|CE |和|CF |.A 和B 处所受力的合力是10 N ，即物体W 的重量，用平行四边形法则解决.图2-7-6解：由题意，得四边形CEWF 是矩形， 则有CF +CE =CW ,CF ⊥CE |，CW |=10,∠FCW=60°.∴CF ·CE =0， ∴|CW |2=（CF +CE ）2=|CF |2+2CF ·CE +|CE |2. ∴|CF |2+|CE |2=100.① 又∵CF ·CE =0，〈CF ，CW 〉=60°，∴CF ·CW =CF ·（CF +CE ）=2CF +CF ·CE =2CF . ∴cos〈CF ，CW 〉||||CW CF 21||=CW . ∴|CF |=21|CW |=5,| CE |=35, 即A 和B 处所受力分别是35N 和5 N.例3（2006某某高三百校第二次考试卷，文9）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC ),λ∈［0，+∞),则P 的轨迹一定通过△A BC 的（ ） A.外心 B.垂心C.内心D.重心思路解析：OP =OA +λ(AB +AC )可以化为AP =λ(AB +AC ).所以AP ∥（AB +AC ）.又AB +AC 所在直线平分BC .所以AP 所在直线也平分BC .所以P 的轨迹一定通过△ABC答案：D绿色通道：判断图形的特点，主要从已知出发，利用向量运算的几何意义或由已知向量的关系判断出线线的位置关系或等量关系，从而对图形的特殊性作出判断.要作出准确判断，还要结合几何图形即数形结合.另外还要掌握三角形和特殊四边形的性质，例如三角形的四心（内心、外心、重心、垂心）的定义和性质，四边相等的四边形是菱形，对角线相等且相互平分的四边形是矩形等.变式训练1在四边形ABCD中,AB·BC=0,且AB=DC,则四边形ABCD是（）A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形思路解析：由AB·BC=0，得AB⊥BC,又AB=DC,∴AB与DC平行且相等.从而四边形ABCD是矩形.答案：C变式训练2（2005全国高考卷Ⅰ，文12）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是△ABC的（）A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点思路解析：由OA·OB=OB·OC，得OA·OB-OB·OC=0.∴OB·（OA-OC）=0，即OB·CA=0,∴OB⊥CA.同理可证OA⊥CB,OC⊥AB.∴OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB.答案：D问题探究问题1一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳臂受伤，试一试你能用向量知识加以解释吗？导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决，针对小孩的两条胳膊画出受力图形，然后通过胳膊受力分析，建立数学|F 1|=2cos 2||θG ,θ∈［0,π］来确定何种情景时，小孩的胳膊容易受伤.图2-7-7探究：设小孩的体重为G ，两胳膊受力分别为F 1，F 2，且F 1=F 2，两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-7-7（不计其他因素产生的力），不难建立向量模型：|F 1|=2cos 2||θG ，θ∈［0,π］，当θ=0时|F 1|=2||G ；当θ=3π2时，|F 1|=|G |；又2θ∈(0,2π)时，|F 1|单调递增，故当θ∈(0, 3π2)时，F 1∈(2||G ,|G |),当θ∈（3π2，π）时，|F 1|＞|G |.此时，悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.。