【金版学案】-高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系练习 新人教A版必修2

- 1 - 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课前预习学案一．预习目标：明确直线间的位置关系二预习内容：2.1.2课本内容思考：空间两条直线有多少种位置关系三、提出疑惑课内探究学案一． 学习目标（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

学习重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。

学习难点：异面直线所成角的计算。

二． 学习过程1 共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2.以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。

（1）师：如图，已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a'∥a 、b'∥b ，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。

（2）强调：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；2- 2 - ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； 注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角例1空间四边形 ABCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点求证：四边形EFGH 是平行四边形变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？例2已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,（1） 哪些棱所在直线与直线BA 1是异面直线？（2） 哪些棱所在的直线与AA 1垂直？变式：在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。

2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系[目标] 1.会判断空间两直线的位置关系；2.理解异面直线的定义，会求两异面直线所成角；3.能用公理4解决一些简单的相关问题．[重点] 两直线位置关系的判断；公理4的应用；异面直线的定义及两异面直线所成的角．[难点] 异面直线定义的理解；求两异面直线所成的角．知识点一空间直线的位置关系[填一填]1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．2．空间直线的三种位置关系：[答一答]1．若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a，b是否为异面直线？为什么？提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交．根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b都在这个平面内．2．若两条直线没有公共点，那么这两条直线的关系是怎样的？提示：这两条直线平行或异面．知识点二公理4和等角定理[填一填]1．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c.2．定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．[答一答]3．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(C)A．30°B．150°C．30°或150°D．大小无法确定解析：两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系，所以∠B′A′C′＝30°或150°.4．若两个角的两边分别对应平行，且两个角的开口方向相同，那么这两个角的关系是什么？提示：相等．知识点三异面直线所成的角[填一填][答一答]5．在异面直线所成角的定义中，角的大小与点O的位置有关系吗？提示：根据等角定理可知，a′与b′所成角的大小与点O的位置无关．但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等)．6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为65°.解析：∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.类型一空间两条直线的位置关系[例1]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：①直线DM与CC1是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．[分析]利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断．[解析]①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交．故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④.[答案]①③④判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[变式训练1](1)如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是(B)A．6B．4C．5D．8解析：与AA1异面的棱有CD、C1D1、BC、B1C1共4条．(2)若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是相交或异面．解析：b与c不可能平行，相交、异面都可能．类型二公理4与等角定理的应用[例2]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[分析](1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证BB1与MM1平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．[证明](1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM，由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.(1)公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法.,(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等.[变式训练2] 如右图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是AB ，BB 1，BC 的中点．求证：△EFG ∽△C 1DA 1.证明：连接B 1C .因为G ，F 分别为BC ，BB 1的中点，所以GF 綊12B 1C .又ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，所以CD 綊AB ，A 1B 1綊AB ，由公理4知CD綊A 1B 1，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，所以A 1D 綊B 1C . 又B 1C ∥FG ，由公理4知A 1D ∥FG . 同理可证：A 1C 1∥EG ，DC 1∥EF .又∠DA 1C 1与∠EGF ，∠A 1DC 1与∠EFG ，∠DC 1A 1与∠GEF 的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA 1C 1＝∠EGF ，∠A 1DC 1＝∠EFG ，∠DC 1A 1＝∠GEF .所以△EFG ∽△C 1DA 1.类型三 异面直线所成的角[例3] 如图，在正方体ABCD -EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求： (1)BE 与CG 所成的角． (2)FO 与BD 所成的角．[解] (1)如图，因为CG ∥BF ，所以∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又在△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)如图，连接FH ，因为HD ∥EA ，EA ∥FB ，所以HD ∥FB ，又HD ＝FB ，所以四边形HFBD 为平行四边形，所以HF ∥BD ，所以∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA ，AF ，易得FH ＝HA ＝AF ，所以△AFH 为等边三角形，又知O 为AH 的中点，所以∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角为30°.求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； (2)证：证明作出的角就是要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可作“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值范围为0°<θ≤90°.[变式训练3] 四面体A -BCD 中，AB ＝CD ，AB 与CD 成30°角，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．解：如图，取BD 的中点G ，连接EG ，FG .∵E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BD 的中点， ∴EG 綊12CD ，GF 綊12AB .∴∠EGF (或∠EGF 的补角)为AB 与CD 所成的角，即∠EGF ＝30°或150°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ，故由等腰△EGF ，知∠GFE ＝75°或15°.而由FG ∥AB ，知∠GFE 就是EF 和AB 所成的角．从而EF 和AB 所成的角为75°或15°.1．若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是( D ) A ．异面或平行 B ．异面或相交 C ．异面 D ．相交、平行或异面2．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是( D )A ．相交B ．异面C ．平行D ．异面或相交3．已知棱长为a 的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是平行．解析：如图所示，MN ∥AC 且MN ＝12AC ，又因为AC ∥A ′C ′，所以MN ∥A ′C ′.4．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为60°.解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.5．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝2，求AD，BC所成的角．解：如图，取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD＝2，所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1，所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF＝2，所以EH2＋FH2＝EF2，所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.——本课须掌握的两大问题1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小．。

人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学案【学习目标】1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．2．理解平行公理(公理4)和等角定理．(重点)3．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(难点、易错点)【要点梳理夯实基础】知识点1空间直线的位置关系阅读教材P44～P45“探究”以上的内容，完成下列问题．1．异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行.②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线.(2)画法：(通常用平面衬托)画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线.(3)判断方法：方法内容定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内2．空间两条直线的位置关系 (1)按两条直线是否共面分类 (2)按两条直线是否有公共点分类[思考辨析 学练结合]1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( ) (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )[解析] (1)错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面． (2)正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．(3)错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．(4)错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线． [答案] (1)× (2)√(3)× (4)×异面直线：不同在任何一个平面内， 没有公共点 共面直线相交直线：同一平面内， 有且只有一个 公共点 平行直线：同一平面内， 没有 公共点有且仅有一个公共点——相交直线无公共点平行直线异面直线2. (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？[解析] (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. [答案] (1)不一定. (2)不一定. 知识点2 公理4及等角定理阅读教材P 45“探究”以下至P 46倒数第7行的内容，完成下列问题． 1．公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .2．空间等角定理 (1)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 文字语言 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等 或 互补 .符号语言OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′⇒∠AOB ＝∠A ′O ′B ′或 ∠AOB ＋∠A ′O ′B ′＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补(2)推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.[思考辨析学练结合]1. 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？[答案] 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面.2. 已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对[解析]因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.[答案]B知识点3 异面直线所成的角阅读教材P46下面的两个自然段至P47“探究”以上的内容，完成下列问题．1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ_≤90°.3．如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b. 换言之，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.4．异面直线所成的角的两种求法(1)在空间任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角.(2)在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图).[思考辨析学练结合]如图2-1-11，正方体ABCD-A′B′C′D′中异面直线A′B′与BC所成的角为________．异面直线AD′与BC所成的角为________．图2-1-11[解析]∵A′B′∥AB，∴∠ABC为A′B′与BC所成的角，又∠ABC＝90°，∴A′B′与BC所成的角为90°.∵BC∥AD，∴∠D′AD为AD′与BC所成的角，因为∠D′AD＝45°，故AD′与BC所成的角为45°.[答案]90°45°【合作探究析疑解难】考点1 空间两直线位置关系的判定[典例1]如图2-1-12，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：图2-1-12①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．[点拨]判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．[解答]根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．[答案]①平行②异面③相交④异面[方法总结]1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．1．(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线[解析](1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.[答案](1)D(2)C考点2 公理4、等角定理的应用[典例2] 如图2-1-13，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD 和A1D1的中点．图2-1-13(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[点拨](1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．[解答](1)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴M1M＝AA1且M1M∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.[方法总结]1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．2．如图，已知在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.[证明](1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC.由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1.又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.考点3 求异面直线所成的角探究1已知直线a，b是两条异面直线，如图2-1-15，如何作出这两条异面直线所成的角？图2-1-15[提示]如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)角θ即两条异面直线a，b所成的角．探究2异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？[提示]异面直线a与b所成角的大小只由a，b的相互位置有关，与点O 的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上．[典例3]如图2-1-16，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝3，求异面直线AD、BC所成角的大小．图2-1-16[点拨]根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD、BC平移到同一平面上解决．[解答]如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM＝12AD，FM＝12BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝32，则sin∠EMH＝32，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.[方法总结]求两异面直线所成的角的三个步骤1．作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．2．证：证明作出的角就是要求的角．3．计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值的范围是0°< θ≤90°.[跟踪练习]3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．[解]如图，连接BD、A1D，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴DD1綊BB1，∴四边形DBB1D1为平行四边形，∴BD∥B1D1.∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，∴∠A1BD＝60°.∵∠A1BD是锐角，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，∴A1B与B1D1所成的角为60°.【学习检测巩固提高】题型一空间两条直线的位置关系的判定1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面[解析]可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.[答案] D2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.[解析]序号结论理由(1) 平行因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C(2) 异面A1B与B1C不同在任何一个平面内(3) 相交D1D∩D1C＝D1(4) 异面AB与B1C不同在任何一个平面内[[反思与感悟]1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.题型二公理4、等角定理的应用3．E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形.[证明]设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ＝A1D1.又因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1＝B1C1，所以EQ＝B1C1.所以四边形EQC1B1为平行四边形.所以B1E＝C1Q.又因为Q，F分别是矩形DD1C1C两边D1D，C1C的中点，所以QD＝C1F.所以四边形DQC1F为平行四边形.所以C1Q＝FD.又因为B1E＝C1Q，所以B1E＝FD.所以四边形B1EDF为平行四边形.4．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD 的边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.[证明](1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.故E ，F ，G ，H 四点共面.(2)由(1)知EH ∥BD ，同理AC ∥GH.又∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ⊥GH.故AC ⊥BD. [反思与感悟] 1.空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.2.求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.题型三 异面直线所成的角5．如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角.[解] 如图，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ，所以EG ∥CD ，GF ∥AB ，且EG ＝21CD ， GF ＝21AB. 所以∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角，EG ＝GF.因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF.所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形.所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.6．空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小.[解] 取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，故直线GE ，EF 所成的锐角即为AB 与EF 所成的角，直线GE ，GF 所成的锐角即为AB 与CD 所成的角.∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°.由AB ＝CD ，知EG ＝FG ，∴△EFG 为等腰三角形.当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°；当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°.故EF 与AB 所成的角为15°或75°.则EG ＝21AB ， GF ＝21CD. [反思与感悟]1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O 常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.2.求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线.(2)证明：用定义证明前一步的角为所求.(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围.转化与化归思想7．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2a ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF ＝3a ，求异面直线AD ，BC 所成的角.[分析]要求异面直线AD ，BC 所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD ，BC 平移至一个三角形中.此题已知E ，F 分别为AB ，CD 的中点，故可寻找一边中点，如BD 的中点M ，则∠EMF(或其补角)为所求角.解：如图，取BD 的中点M.由题意，知EM 为△BAD 的中位线，∴EM ∥AD 且EM ＝21AD.同理，MF ∥BC 且MF ＝21BC. ∴EM ＝a ，MF ＝a ，且∠EMF(或其补角)为所求角.在等腰△MEF 中，取EF 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥EF.又∵EF ＝3a ，∴EN ＝23a ， ∴sin ∠EMN ＝EM EN ＝23. ∴∠EMN ＝60°，所以∠EMF ＝2∠EMN ＝120°.∵∠EMF ＝120°＞90°，∴AD ，BC 所成的角为∠EMF 的补角，即AD 和BC 所成的角为60°.[反思与感悟]人教版高中数学必修二第2章 点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课时训练一、单项选择1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能[答案] D2．若空间两条直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是( )A.共面B.平行C.异面D.平行或异面[解析]若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.[答案] D3．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l() A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线[解析]不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.[答案] C4．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是() A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面[解析]异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．[答案] D5．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是() A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交[解析]如图，在正方体ABCD－A11B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.[答案] B6．下列命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]由公理4及等角定理知，只有②④正确．[答案] B7．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面[答案] D8．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线()A.有无数条B.有两条C.至多有两条D.有一条[解析]我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.[答案] A9．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4[解析]①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．[答案] B10．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形[解析]易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．11．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是()A．MN≥12(AC＋BD)B．MN≤12(AC＋BD)C．MN＝12(AC＋BD)D．MN<12(AC＋BD)[解析]如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME＝12AC，NE＝12BD，所以ME＋NE＝12(AC＋BD)．在△MNE中，有ME＋NE>MN，所以MN<12(AC＋BD)．[答案] D12．正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心，则EF和CD 所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．90°[解析]连接B 1D 1，则E 为B 1D 1中点，连接AB 1，EF ∥AB 1，又CD ∥AB ，∴∠B 1AB 为异面直线EF 与CD 所成的角，即∠B 1AB ＝45°．[答案] B二、填空题13．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．[答案] 60°或120°14．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.[解析] 由等角定理可知β＝135°.[答案] 135°15．如图所示，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________.(填序号)[解析一] ①中，∵G ，M 是中点，∴AG 綊BM ，∴GM 綊AB 綊HN ， ∴GH ∥MN ，即G ，H ，M ，N 四点共面；②中，∵H ，G ，N 三点共面，且都在平面HGN 内，而点M 显然不在平面HGN 内，∴H ，G ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面；③中，∵G ，M 是中点，∴GM ＝21CD ， ∴GM ＝21HN ， 即GMNH 是梯形，则HG ，MN 必相交，∴H ，G ，M ，N 四点共面；④中，同②，G ，H ，M ，N 四点不共面，即GH 与MN 异面.[答案] ②④[解析二]①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．[答案]②④16．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．[解析]连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．[答案](1)60°(2)45°17．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________.[解析]如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.[答案]DC，BC，D1C1，B1C118．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．[解析]把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．[答案]①③三、解答题19．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．[解]取AC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°．由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．故EF与AB所成的角为15°或75°．20．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．[解]取AC的中点G，连接EG，FG，则FG∥CD，EG∥AB，所以∠FEG即为EF与AB所成的角，且FG＝12CD，EG＝12AB，所以FG＝EG.又由AB⊥CD得FG⊥EG，所以∠FEG＝45°.故EF和AB所成的角为45°.21．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．[证明](1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M、N分别是CD、AD的中点，∴MN是三角形的中位线，∴MN∥AC，MN＝12AC．由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1．。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【学习目标】1、理解空间中直线与直线的位置关系，会判定异面直线．2、理解异面直线所成的角的含义，掌握求异面直线所成角的步骤．3、理解平行公理与等角定理，知道平面几何中的定理推广到立体几何中需要证明．【探索新知】1、空间两条直线的位置关系有_______种，分别是________直线、________直线、________直线。

（1）相交直线：在________平面内，有且只有_____个公共点；（2）平行直线：在________平面内， _____公共点；平行直线与相交直线统称为_______直线； （3）异面直线：不同在____________平面内，_____公共点。

2、空间两条直线的位置关系的表示： （1）图形表示：（2）符号表示： ________ ________ _______ 3、平行公理：平行于同一条直线的两条直线____________4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角___________________5、异面直线所成的角：已知异面直线a 、b ，经过空间中任一点O 作直线a '∥a 、b '∥b ，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）。

6、异面直线的夹角的范围为____________，若异面直线a 与b 所成的角为90°，那么这两条直线________，记作______【合作学习】例1、空间四边形ABCD 中，E 、F 、G.、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点求证：四边形EFGH 是平行四边形ababab AABCDE FGH变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 例2、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，（1）图中哪些棱所在的直线与直线BD 1成异面直线？ （2）求直线BA 1与DC 1的夹角的度数。

2.1.2 空间中直线与直线的位置关系知识点一：空间两条直线的位置关系 [提出问题]问题1：在同一平面内，两条直线有怎样的位置关系？ 问题2：若把立交桥抽象成一条直线，它们是否在同一平面内？有何特征？问题3：观察一下，日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在直线，是否也具有类似的特征？ [导入新知] 1．异面直线（1）定义：不同在 的两条直线． （2）异面直线的画法2．空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种． （1）若从公共点的数目分，可以分为： ① 只有一个公共点—— ；② 没有公共点（2）若从平面的基本性质分，可以分为：① 在同一平面内② 不同在任何一个平面内——；思考：若βα⊂⊂b a ,，那么a 与b 一定是异面直线吗？知识点二：平行公理及等角定理 [提出问题]1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．问题：空间中是否有类似规律？2．观察下图中的AOB ∠与B O A '''∠问题1：这两个对应的两条边之间有什么样的位置关系？问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？[导入新知]1． 平行公理（公理4）（1）文字表述：平行于同一直线的两条直线 ，这一性质叫做空间 ． 符号表述：⇒⎭⎬⎫c b b a //// ． 2．等角定理：空间中如果两个角的两边分别 ， 那么这两个角 或 ． 3．异面直线所成的角（1）定义：已知两条异面直线b a ,，经过空间任意一点O 作直线b b a a //,//''，我们把a '与b '所成的（或 ）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）． （2）异面直线所成的角θ的取值范围： ． （3）当=θ 时，异面直线a 与b 垂直，记作： ． 3突破常考题型题型一：两条直线位置关系的判定[例1]如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，判断下列直线的位置关系：①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是 ； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是 ； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是 ； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是 ． [活学活用]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和B1C1的中点，问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．题型二：平行公理及等角定理的应用[例2]在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD和AD的中点．（1）求证：四边形MN A1 C1是梯形；（2）求证：111CADDNM∠=∠[活学活用]已知如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．题型三：两异面直线所成的角[例3]如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成角的大小．[活学活用]已知正方体ABCD-A1B1C1D1．（1）哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？（2）直线BA1和CC1的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？4应用落实体验 [随堂即时演练]1．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 1平行和异面的棱的条数是（ ）A ．6，4B ．3，4C ．5,，8D ．8，4 2．已知如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，2321===AA AD AB ,．BC 和A 1C 1以及BC 1和AB 1所成的角分别是（ ）A ．6045, B ．4545, C ．9060, D ．6030, 3．如果B O OB A O OA ''''//,//，那么AOB ∠和B O A '''∠ ．4．已知b a ,是异面直线，直线c //直线a ，那么c 与b 的位置关系 ．5．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB =CD ，CD AB ⊥， E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．5课时跟踪检测A 组基础达标 1．空间两个角βα,，且α与β的两边对应平行，60=α，则β为（ ）A ．60 B ．120 C ．30 D ．60或120 2．给出下列四个命题：①若b a ,是异面直线，c b ,是异面直线，则c a ,异面； ②若直线b a ,相交，c b ,相交，则c a ,相交； ③若b a //，则b a ,与c 所成的角相等； ④若c b b a ⊥⊥,，则c a //．其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．正方形 4．在空间四边形ABCD 中，AB ，BC ，CD 的中点分别是P ，Q ，R ，且352===PR QR PQ ,,，那么异面直线AC和BD 所成的角是（ ）A ．90 B ．60 C ．45 D ．305．在三棱锥A —BCD 中，E ，F ，G 分别是AB ，AC ，BD 的中点，若AD 与BC 所成的角是60，那么FEG ∠为（ ） A ．60 B ．30 C ．120 D ．60或120 6．如图，将无盖的正方体纸盒展开，直线AB ，CD ，在原正方体的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交且垂直C ．异面D ．相交成607．如图，G ，H ，M ，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形是 ．8．已知b a ,为不垂直的异面直线，α是一个平面，则b a ,在α上的射影有可能的是（ ）① 两条平行的直线； ② 两条互相垂直的直线； ③ 同一条直线； ④ 一条直线及其外一点．在以上结论中，正确的是 （写出所有正确的结论的编号）9． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别AA 1，CC 1是的中点．求证：1ED BF //且1ED BF =10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求 （1）AA 1与B 1C 所成的角； （2）A 1B 与B 1C 所成的角．B 能力提升11．如图，在空间四边形ABCD 中，两条对边3==CD AB ，E ，F 分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且521===EF FC BF ED AE ,，求AB 和CD 所成的角的大小．。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系问题导学一、空间两条直线位置关系的判定活动与探究1在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC；(3)A1C与D1B；(4)DC与BD1；(5)D1E与CF．迁移与应用1．异面直线是指( )A．空间中两条不相交的直线B．分别位于两个不同平面内的两条直线C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线2．下列结论正确的是( )A．没有公共点的两条直线是平行直线B．两条直线不相交就平行C．两条直线有既不相交又不平行的情况D．一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行3．已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，则a与c的位置关系是__________．(1)空间两条直线位置关系的判定方法：①判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．②判定两条直线是异面直线的方法：定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)．(2)两条直线异面，是指找不到平面，使这两条直线同在这一平面内，并不是说，这两条直线不同在某一平面内．二、公理4与等角定理的应用活动与探究2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC=∠B1M1C1．迁移与应用1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，即β为( )A．60° B．120°C．30° D．60°或120°2．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．(1)公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．三、求异面直线所成的角活动与探究3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列异面直线所成的角．(1)AA1与BC；(2)DD1与A1B；(3)A1B与AC．迁移与应用正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________．求两异面直线所成的角的一般步骤：(1)作角：根据两异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证明：证明作出的角就是要求的角即证明所作角的两边分别与两异面直线平行；(3)计算：求角的值，常在三角形中求解；(4)结论．也可用“一作”“二证”“三求解”来概括．当堂检测1．如图所示，在三棱锥P－ABC中，六条棱所在的直线是异面直线的共有( )A．2对 B．3对 C．4对 D．6对2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行3．若直线a∥直线b，直线a与直线c异面，则b与c( )A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，与棱AA1平行的棱有______．5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AC成45°角的棱共有__________条．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．(1)任何一个预习交流1提示：a，b不一定是异面直线，因为a，b也有可能平行或相交．根据异面直线的定义，若a，b是异面直线，则找不到任何一个平面，使得直线a，b 都在这个平面内．2．相交直线平行直线异面直线预习交流2提示：这两条直线平行或异面．3．(1)互相平行平行线的传递性a∥c(2)对应平行相等互补预习交流3 提示：相等4．(1)锐角直角(2)直角a⊥b预习交流4 (1)提示：0°＜θ≤90°(2)提示：∵a⊥c，∴a与c所成的角为直角．∵a∥b，∴b与c所成的角等于a与c所成的角．即b与c所成的角是直角，∴b⊥c．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：依据两直线相交、平行、异面的定义、公理或定理判断．解：(1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面．(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC．(3)∵A1D1∥BC，则A1，B，C，D1在同一平面内，∴A1C与D1B相交．(4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．(5)连接A1B，EF，D1C，则A1B D1C．又E，F分别是AA1，AB的中点，∴EF 12A1B．∴EF 12D1C，∴四边形CD1EF是梯形，D1E与CF是腰．∴D1E与CF相交．迁移与应用1．D 2．C3．相交、平行或异面活动与探究2 思路分析：(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证BB1与MM1平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1AA1．又∵AA1BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM．同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM．由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，∴∠BMC＝∠B1M1C1．迁移与应用1．D2．证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD ．同理FG ∥BD ，且FG ＝12BD ．所以EH ∥FG ，且EH ＝FG ．所以四边形EFGH 是平行四边形．活动与探究3 思路分析：先根据两异面直线所成角的定义，在图中作出或找出两异面直线所成的角，然后再求其大小．解：(1)∵AD ∥BC ，AA 1⊥AD ，∴AA 1⊥BC ，即AA 1与BC 所成的角为90°．(2)∵DD 1∥AA 1，∴DD 1与A 1B 所成的角就是AA 1与A 1B 所成的角．又∠AA 1B ＝45°，∴DD 1与A 1B 所成的角为45°．(3)连接D 1C ，AD 1，则A 1B ∥D 1C ．∴D 1C 与AC 所成的角就是A 1B 与AC 所成的角． 又∵AC ＝CD 1＝D 1A ， ∴∠ACD 1＝60°．∴A 1B 与AC 所成的角为60°．迁移与应用 (1)90° (2)45° (3)90° 【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．BB 1，CC 1，DD 1 5．8。

高中数学高一年级必修二第二章 第2.1.2节 ：空间中直线与直线之间的位置关系导学案Ａ．学习目标1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

Ｂ．学习重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。

难点：异面直线所成角的计算。

Ｃ．学法指导学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。

D ．知识链接空间中直线与直线的位置关系的讨论。

E ．自主学习 通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

F.合作探究1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

在空间中，是否有类似的规律？共面直线组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

课后导练基础达标1两条异面直线的公垂线指的是（）A.和两条异面直线都垂直的直线B.和两条异面直线都垂直相交的直线C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.和两条异面直线都垂直的所有直线解析：两异面直线的公垂线必须满足两个条件：（1）与两异面直线都垂直；（2）都相交. 答案：B2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交，则直线a、b的位置关系是（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线解析：a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.答案：D3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.相交或异面解析：已知a与b异面，a∥l,则l与b相交或异面（如图）.答案：D4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…（）A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析：如图正方体中：AB与BC相交；AB与CD异面；AE∥CD.答案：D5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（）A.2对B.3对C.6对D.12对解析：长方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1成异面直线的棱有：BB1；BC；A1B1；A1D1；DD1；DC.答案：C6四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB的中点，若EF与PA、BC成的角分别为α、β，则α+β等于（）A.30°B.60°C.90°D.45°解析：如图取PB的中点D，连结DE、DF.∵E、F分别为PC、AB中点，∴DF∥PA,DE∥BC.∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.答案：C7“a、b是异面直线”是指（）①a∩b=∅且a不平行于b ② a⊂平面α，b⊂平面β且a∩b=∅③ a⊂平面α，b⊄平面α④不存在平面α，使a⊂α且b⊂α成立A.①②B.①③C.①④D.③④解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内，即它们既不平行，也不相交，应选①④.答案：C8如图，已知不共面的直线a、b、c相交于O点，M、P是直线a上的两点，N、Q分别是直线b、c上的一点.求证：MN和PQ是异面直线.证明：假设MN和PQ共面于α，则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,∴a⊂α,又a∩b=O,∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,∴b⊂α,∴a与b都在平面α内，同理，可证C也在α内，与a,b,c不共面矛盾.所以假设错误，故MN与PQ是异面直线.综合应用9把两条异面直线看成“一对”，正六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对.解析：如图，若成异面直线，则必是底边与侧棱各取一条，在底面上任取一条，如AB其异面直线为PF，PE，PD，PC共4对，∴4×6=24对.答案：2410一条直线和这条直线外不共线的三个点，能够确定平面的个数是（ ） A.1 B.4 C.3 D.1或3或4解析：有三种情况：①直线与三点共一个面；②直线与三个点分别组成平面，则有三个；③在②的基础上，这三个点确定一个面，则有４个.选D. 答案：D11已知:a 、b 是异面直线，a 上有两点A 、B ，距离为8，b 上有两点C 、D ，距离为6，BD 、AC 的中点分别为M 、N ，且MN=5，求证：a ⊥b.证明：如图所示，连结BC ，取BC 的中点P ，连MP 、NP. 在四边形ABCD 中，MP 是中位线， ∴MP ∥DC,且MP=21DC=3.同理，NP ∥AB 且NP=21AB=4, 在△PMN 中，∵MP 2+NP 2=42+32=52=MN 2,∴MP ⊥NP,即MP 和NP 所成的角为90°. ∴MP ∥CD,NP ∥AB,∴MP 和NP 所成的角等于a,b 所成的角, ∴a,b 所成的角为90°，∴a ⊥b. 拓展探究12如图，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点，AC∩BD=P,A 1C 1∩EF=Q,求证：（1）D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P 、Q 、R 三点共线. 证明：（1）∵EF 是△C 1D 1B 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中，B 1D 1∥BD, ∴EF ∥BD,∴EF 和BD 可确定一个平面，即D 、B 、E 、F 四点共面. （2）正方体AC 1中，设A 1ACC 1确定的平面为α, 又设平面DBFE 为β. ∵Q ∈A 1C 1,∴Q ∈α.又Q ∈EF,∴Q ∈β.∴Q 是α与β的公共点. 同理，P 点也是α与β的公共点， ∴α∩β=PQ.又∵A 1C∩β=R,∴R ∈α.又∵R ∈β,∴R ∈α∩β=PQ. 故P 、Q 、R 三点共线.。

第2课时 空间中直线与直线之间的位置关系知识点一 空间两直线的位置关系 1．空间中两条直线的位置关系2．异面直线(1)定义：把不同在任一平面内的两条直线叫作异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托),1．异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．2．不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a ⊂α，b ⊂β，即a ，b 分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O ，所以a 与b 不是异面直线．知识点二 平行公理与等角定理 1．平行公理(公理4)与等角定理 (1)平行公理①文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫作空间平行公理． ②符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．异面直线所成的角θ(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：0°<α≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.1．异面直线所成角的范围是0 °<θ≤90 °，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．2．公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )A．共面B．平行C．异面 D．平行或异面解析：由两条直线的位置关系，可知答案为D.答案：D3．设α为两条异面直线所成的角，则α满足( )A．0°<α<90° B．0°<α≤90°C．0°≤α≤90° D．0°<α<180°解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B.答案：B4．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，BB′∥AA′，DD′∥AA′，则BB′与DD′的位置关系是________．解析：由公理4知，BB′∥DD′.答案：平行类型一 公理4的应用例1 如图，E ，F 分别是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 为平行四边形．【证明】如图所示，取DD 1的中点Q ，连接EQ ，QC 1. ∵E 是AA 1的中点，∴EQ 綊A 1D 1.∵在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1，∴EQ 綊B 1C 1， ∴四边形EQC 1B 1为平行四边形，∴B 1E 綊C 1Q . 又Q ，F 分别是D 1D ，C 1C 的中点，∴QD 綊C 1F ， ∴四边形DQC 1F 为平行四边形， ∴C 1Q 綊FD .又B 1E 綊C 1Q ，∴B 1E 綊FD ， ∴四边形B 1EDF 为平行四边形.公理4主要用于证明直线平行，只要找到一条直线与两条直线都平行，就可以证明两条直线互相平行，除了公理4 ，利用平面几何知识也可以证明线线平行．方法归纳证明空间中两条直线平行的方法(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．(2)利用公理4，即找到一条直线c ，使得a ∥c ，同时b ∥c ，由公理4得到a ∥b .跟踪训练1 已知四边形ABCD 是空间四边形，E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边CB ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23.求证：四边形EFGH 有一组对边平行但不相等．证明：如图所示．由已知得EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，EH ＝12BD .在△BCD 中，CF CB ＝CG CD ＝23，所以FG ∥BD ，FG ＝23BD .根据公理4，知EH ∥FG ，又FG >EH ，所以四边形EFGH 有一组对边平行但不相等． 由平面几何知识得到线线平行，用公理4进行转化． 类型二 等角定理及其应用例2 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.【证明】 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连接BM ，F 1M ，则BF ＝A 1M .又∵BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形，∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1M 綊C 1B 1.而C 1B 1綊BC ，∴F 1M 綊BC ，∴四边形F 1MBC 为平行四边形． ∴BM ∥CF 1.又BM ∥A 1F ，∴A 1F ∥CF 1.同理，取A 1D 1的中点N ，连接DN ，E 1N ，则有A 1E ∥CE 1. ∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行，且方向都相反， ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.要证明∠EA1F＝∠E1CF1，可证明A1F∥CF1，A1E∥CE1且射线A1E与CE1，射线A1F与CF1的方向分别相反．方法归纳(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．(2)证明角相等，一般采用三种途径①利用等角定理及推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等．跟踪训练2 在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，所以PN∥BC.①又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，所以A1M綊NC.所以四边形A1NCM为平行四边形，于是A1N∥MC.②由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.利用空间等角定理证明两角相等的步骤：(1)证明两个角的两边分别对应平行；(2)判定两个角的两边的方向都相同或者都相反．类型三求异面直线所成的角例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF 所成的角的大小．【解析】 方法一 如图所示，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点，∴GO ⊥A 1C 1. ∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.方法二 如图所示，连接A 1D ，取A 1D 的中点H ，连接HE ，则HE 綊12DB 1，∴∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)． 连接HF ，设AA 1＝1，则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连接HI ，IF ，则HI ⊥IF ，∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2，∴∠HEF ＝90°.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.方法三：如图，连接A 1C 1，分别取AA 1，CC 1的中点M ，N ，连接MN . ∵E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点， ∴EF ∥A 1C 1，又MN ∥A 1C 1，∴MN ∥EF . 连接DM ，B 1N ，MB 1，DN ，则B 1N 綊DM ，∴四边形DMB 1N 为平行四边形，∴MN 与DB 1必相交，设交点为P ， 则∠DPM 为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)． 设AA 1＝k (k >0)，则MP ＝22k ，DM ＝52k ，DP ＝32k ，∴DM 2＝DP 2＋MP 2，∴∠DPM ＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.方法四：如图，在原正方体的右侧补上一个与其大小相等的正方体，连接B1Q，易得B1Q∥EF，∴∠DB1Q就是异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．设AA1＝k(k>0)，则B1D＝3k，DQ＝5k，B1Q＝2k，∴B1D2＋B1Q2＝DQ2，∴∠DB1Q＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.利用中位线作平行线，找出异面直线DB1与EF所成的角即可求解．方法归纳求异面直线所成角的步骤一作：选择适当的点，用平移法作出异面直线所成的角；二证：证明作出的角就是要求的角；三计算：将异面直线所成的角放入某个三角形中，利用特殊三角形求解．,跟踪训练3 如图，P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝25，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA与BC所成的角的大小．解析：如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.同理可得EF∥BC.∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角)．在△DEF中，DE＝3，又DF＝12PA＝2，EF＝12BC＝5，∴DE2＝DF2＋EF2，∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.平移PA，BC至一个三角形中→找出PA和BC所成的角→求出此角[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．可能相交、平行、也可能异面解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．答案：D2．空间两个角α，β的两边分别对应平行且方向相同，若α＝50°，则β等于( ) A．50° B．130°C．40° D．50°或130°解析：由等角定理知β与α相等，故选A.答案：A3.如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在边CD ，DA 上，且满足CG ＝12GD ，DH ＝2HA ，则四边形EFGH 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．梯形解析：因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点， 所以EF 綊12AC ，又DH HA ＝21，DG GC ＝21， 所以DH HA ＝DG GC ，所以HG 綊23AC ，所以EF ∥HG 且EF ≠HG ， 所以四边形EFGH 为梯形． 答案：D4．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解析：由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交． 答案：D5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有面对角线中，与AB 1成异面直线且与AB 1成60°的有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 解析：如图，△AB1C是等边三角形，所以每个内角都为60°，所以面对角线中，所有与B1C平行或与AC平行的直线都与AB1成60°角．所以异面的有2条．又△AB1D1也是等边三角形，同理满足条件的又有2条，共4条，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④7．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________________________________________________________________________；(2)AD与BC′所成的角为________________________________________________________________________．解析：连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形．∴∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，∴AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.答案：(1)60°(2)45°8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________(填序号)．解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A，C1C的中点，求证：四边形MBND1为平行四边形．证明：取B1B的中点P，连接C1P，MP.因为N为C1C的中点，由正方体性质知C1N綊PB，所以四边形C1PBN为平行四边形，所以C1P綊BN，(*)又因为M，P分别为A1A，B1B的中点，有MP綊A1B1.又由正方体性质知A1B1綊C1D1，所以MP綊C1D1，所以四边形D1MPC1为平行四边形，所以C1P綊MD1.由(*)知MD1綊BN，所以四边形MBND1为平行四边形．10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解析：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角(或其补角)．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.[能力提升](20分钟，40分)11．[2019·江西师大附中月考]已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60°角的直线共有( )A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：把a平移至a′与b相交，其夹角为60°.60°角的补角的平分线c与a、b成60°角．过空间这一点作直线c的平行线即满足条件．又在60°角的“平分面”上还有两条满足条件，故选C.答案：C12.[2019·江西新余一中月考]如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别为AB ，AD 的中点，F ，G 分别是BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH ，FG 间的距离为________．解析：EH ＝3，FG ＝6×23＝4， 设EH ，FG 间的距离为h ，则S 梯形EFGH ＝EH ＋FG h 2＝28，得h ＝8 (cm)．答案：8 cm 13.已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明：如图，连接AC ，在△ACD 中，因为M ，N 分别是CD ，AD 的中点，所以MN 是△ADC 的中位线，所以MN ∥AC ，由正方体的性质得AC ∥A 1C 1，所以MN ∥A 1C 1.又因为ND ∥A 1D 1，所以∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角，所以∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.14．如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，求异面直线AD 、BC 所成角的大小．解析：如图，取BD 的中点M ，连接EM ，FM .因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以EM 綊12AD ，FM 綊12BC ，则∠EMF 或其补角就是异面直线AD 、BC 所成的角． 因为AD ＝BC ＝2，所以EM ＝MF ＝1，在等腰△MEF 中，过点M ，作MH ⊥EF 于H ，在Rt△MHE 中，EM ＝1，EH ＝12EF ＝32， 则sin∠EMH ＝32，于是∠EMH ＝60°， 则∠EMF ＝2∠EMH ＝120°.所以异面直线AD 、BC 所成的角为∠EMF 的补角，即异面直线AD 、BC 所成的角为60°.。