圆.板块五.圆的规划问题.学生版

【例1】 如果实数x 、y 满足22(2)3x y -+=，则yx 的最大值为（ ） A ．12B 3C 3D 3【考点】圆的规划问题 【难度】3星 【题型】选择 【关键字】无【解析】等式22(2)3x y -+=有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为(20)，，半径3r =，（如图），而0y x x x -=-则表示圆上的点()x y ，与坐标原点(00)，的连线的斜率．如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A 在以(20)，3OA 的斜率的最大值，由图可见，当A ∠在第一象限，且与圆相切时，OA 的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan 603︒= yxMOA【答案】D ；【例2】 若集合3cos ()(0π)3sin x M x y y θθθ⎧=⎧⎫⎪=<<⎨⎨⎬=⎩⎭⎪⎩，，集合{}()|N x y y x b ==+，且M N ∅≠，则b 的取值X 围为______________．【考点】圆的规划问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无典例分析【解析】{}22()|901M x y x y y =+=<，，≤，显然，M 表示以(00)，为圆心，以3为半 径的圆在x 轴上方的部分，（如图），而N 则表示一条直线，其斜率1k =，纵截距为b ，由图形易知，欲使MN ∅≠，即是使直线y x b =+与半圆有公共点，显然b 的最小逼近值为3-，最大值为3b -<≤【答案】3b -<≤【例3】 试求圆2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到点(3,4)A 距离的最大（小）值．【考点】圆的规划问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】分析 利用两点间距离公式求解或数形结合求解．解法一 设P 是圆2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上任一点，则(2cos,2sin )P θθ．所以PA3arctan )4φ==．因为R θ∈，所以R θφ+∈，因此当sin()1θφ+=-时，7PA 最大值．当sin()1θφ+=时，3PA =最小值．解法二 将圆2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩代入普通方程得224x y +=．如图所示可得，1P A 、2P A 分别是圆上的点到(3,4)A 的距离的最小值和最大值． 易知：13P A =，27P A =．说明⑴ 在圆的参数方程cos ,sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）中，(,)A a b 为圆心，(0)r r >为半径，参数θ的几何意义是：圆的半径从x 轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到P 所得圆心角的大小．若原点为圆心，常常用(cos ,sin )r r θθ来表示半径为r 的圆上的任一点． ⑵ 圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具．【答案】最大值为7，最小值为4．【例4】 已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是．【考点】圆的规划问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】设(,)P x y ，则222222(2)(2)PA PB x y x y +=+++-+2222()828x y OP =++=+．设圆心为(3,4)C ，则min 523OP OC r =-=-=，∴22PA PB +的最小值为223826⨯+=．【答案】26．【例5】 已知圆22:(2)1C x y ++=，(,)P x y 为圆上任一点，求21y x --的最大、最小值，求2x y -的最大、最小值．【考点】圆的规划问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】方法一 由22(2)1x y ++=知，可设P 的坐标为(2cos ,sin )θθ-+，θ是参数．则2sin 21cos 3y x θθ--=--，令sin 2cos 3t θθ-=-，得sin cos 23t t θθ-=-)23t θϕ-=-sin()1θϕ⇒=-≤t ⇒．所以max t，min t =． 即21y x --．此时22cos 2sin 2)x y θθθϕ-=-+-=-++． 所以2x y -的最大值为2-+2-- 方法二21y x --表示点(,)P x y 与点(1,2)连线的斜率，其中P 点为圆上的动点，结合图象知，要求斜率的最值，只须求出过(1,2)点的圆的切线的斜率即可， 设过(1,2)点的直线方程为：20kx y k --+=． 由1d==，得k ， 所以21y x --令2x y m -=，同理两条切线在x 轴上的截距分别是 2x y-的最大、最小值． 由1d ==，得2m =-．所以2x y -的最大值为2-+2--【答案】最大值为2-2-【例6】 求函数sin 12cos 4x y x -=+的值域．【考点】圆的规划问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】sin 11sin 12cos 42cos 2x x y x x --==⨯++，于是sin 12cos 2x y x -=+， 其几何意义为单位圆上的任一点(cos ,sin )x x 与点(2,1)-的连线的斜率．结合图象知：过点(2,1)-与单位圆相切的直线的斜率为10k =，243k =-，连线的斜率的取值X 围为4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，从而此函数的值域为2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【答案】2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【例7】 设||1a ≤，,a b ∈R ，求22()25)a b b -+-的最小值． 【考点】圆的规划问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】分析式子的几何意义，它表示两点(,a 与(,25)b b +的距离的平方，前者在半圆221(0)x y y +=≥上，后者在直线25y x =+上，11，从而所求的最小值为21)6=-【答案】6-【例8】 实数,x y 满足221x y +=，求22x y u x y ++=-+的最大值与最小值．【考点】圆的规划问题 【难度】3星【关键字】无【解析】方法一变形得：(1)(1)2(1)0(2)u x u y u y x-+++-=≠+，此方程表示一条直线．又∵,x y满足221x y+=，故直线与圆221x y+=有公共点．1，解得22u-≤cosxθ=由于直线2y x=+与圆221x y+=无公共点，因此，22u+≤即22x yux y++=-+的最大值为2，最小值为2方法二设，sinyθ=，则π22cos sin24π2cos sin224x yux yθθθθθθ⎛⎫++⎪++++⎝⎭===-+-+⎛⎫++⎪⎝⎭πsin4πcos4θθ⎛⎫+⎪⎝⎭=⎛⎫+⎪⎝⎭，① 几何意义为单位圆221x y+=上的点ππcos sin44θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，与点(连线的斜率，求过点(-的单位圆切线的斜率：12k=22k=-从而22x yux y++=-+的最大值为22② 由此式得πππcos sin444uθθθφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+==++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1，解得22u≤因此22x yux y++=-+的最大值为22【答案】最大值为22【例9】已知圆22(3)(4)1C x y-+-=：，(,)P x y为圆C上的动点，求22d x y=+的最大、最小值．【考点】圆的规划问题【难度】3星【关键字】无【解析】方法一 由圆的标准方程22(3)(4)1x y -+-=．可设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ++（θ是参数）． 则222296cos cos 168sin sin d x y θθθθ=+=+++++ 266cos 8sin 2610cos()θθθϕ=++=+-（其中4tan 3ϕ=）． 所以max 261036d =+=，min 261016d =-=．方法二 d 是圆上点到原点距离的平方，∴要求d 的最值，即求圆上距离原点距离最远和最近的点．结合图象知：距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．所以2max1)36d ==，2min 1)16d ==．【答案】最大值为36，最小值为16．【例10】 若220x y -+=，求函数2224u x y x y =+-+的最小值． 【考点】圆的规划问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】222224(1)(2)5u x y x y x y =+-+=-++-，先求点(1,2)-与直线220x y -+=的距离为d =， 2min 49245555u d =-=-=．【答案】245．【例11】 设点(,)P x y 是圆221x y +=是任一点，求21y u x -=+的取值X 围． 【考点】圆的规划问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】方法一 设(cos ,sin )P θθ，则有cos x θ=，sin y θ=，[0,2π)θ∈∴sin 2cos 1u θθ-=+，∴cos sin 2u u θθ+=-∴cos sin (2)u u θθ-=-+．)2u θφ-=+（tan u φ=） ∴sin()θφ-=．又∵sin()1θφ-≤∴1 解之得：34u -≤．方法二 根据几何意义求解21y u x -=+的几何意义是过圆221x y +=上一动点和定点(1,2)-的连线的斜率， 利用此直线与圆221x y +=有公共点，可确定出u 的取值X 围． 由21y u x -=+得：2(1)y u x -=+，此直线与圆221x y +=有公共点， 故点(0,0)到直线的距离1d ≤．∴1，解得：34u -≤．另外，直线2(1)y u x -=+与圆221x y +=的公共点还可以这样来处理： 由222(1)1y u x x y -=+⎧⎨+=⎩消去y 后得：2222(1)(24)(43)0u x u u x u u ++++++=， 此方程有实根，故2222(24)4(1)(43)0u u u u u ∆=+-+++≥，解之得：34u -≤．【答案】34u -≤．【例12】 已知对于圆22(1)1x y +-=上任一点(,)P x y ，不等式0x y m ++≥恒成立，某某数m 的取值X 围．【考点】圆的规划问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一 ∵0x y m ++=右上方面的点满足：0x y m ++>， 结合图象知，要圆上的任一点的坐标都满足0x y m ++≥， 只需直线在如图所示的切线的左下方，图中切线的纵截距1m -=+，故只需1m -≤，即1m 即可．方法二 分析 设圆上一点(cos ,1sin )P θθ+，问题转化为利用三角函数求X 围． 解 设圆22(1)1x y +-=上任一点(cos ,1sin )P θθ+，[0,2π)θ∈ ∴cos x θ=，1sin y θ=+，∵0x y m ++≥恒成立，∴cos 1sin 0m θθ+++≥恒成立， 即(1cos sin )m θθ-++≥恒成立．∴只须m 不小于(1cos sin )θθ-++的最大值．设π(sin cos )1)14u θθθ=-+-=+-，∴max 1u =即1m ．【答案】1m ．【例13】 实数x 、y 满足2286210x y x y +--+=，求yx的取值X 围． 【考点】圆的规划问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】方法一 设yk x=，方程2286210x y x y +--+= 可化为 22(1)(86)210k x k x +-++=，由0∆≥得：2122450k k k -+≤ 方法二 方程 2286210x y x y +--+=表示圆心为(4,3)A 、半径为4的圆，yx表示原点O 与该圆上的点P 连线的斜率． 设OP 方程为y kx =，由点A 到OP 距离2得：2122450k k k -+≤∴ 所求yx的取值Xy xy x【例14】 已知点(,)P x y 在圆22(1)1x y +-=上运动．⑴ 求12y x --的最大值与最小值； ⑵ 求2x y +的最大值与最小值．【考点】圆的规划问题 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】⑴ 设12y k x -=-，则k 表示点(,)P x y 与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时， k 取得最大值与最小值．1=，解得k =，∴12y x --，最小值为． ⑵ 设2x y m +=，则m 表示直线2x y m +=在y 轴上的截距． 当该直线与圆相切时，m 取得最1=，解得1m =2x y +的最大值为1+，最小值为1-．【答案】⑴12y x --，最小值为⑵2x y +的最大值为11【例15】 若集合3cos (,),0π3sin x M x y y θθθ⎧⎫=⎧⎪⎪=<<⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭，集合{}(,)|0N x y x y b =-+=，且MN ≠∅，则b 的取值X 围是．【考点】圆的规划问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】M 是一个圆心在原点，半径为3的半圆（不包括端点），N 代表斜率为1，截距为b 的直线．原问题对应的几何问题为：若直线与圆有交点，则直线的截距X 围是多少?如图，容易得到,P Q 是截距的极限位置，经过计算求出(3,0)P -，0)Q ．于是b 的取值X 围是3b -<≤【答案】3b -<≤【例16314x a +-的解集为[4,0]-，求a 的取值X 围．【考点】圆的规划问题 【难度】3星 【题型】解答【关键字】无【解析】函数y =可化为22(2)4x y++=，所以y =(2,0)C -，半径为2的圆在x 轴上方的部分，于是40x -≤≤．314y x a =+-表示斜率为34，截距为1a -的直线．如图，l 为极限位置，此时14a -=，所以a 的取值需要满足为14a -≥，解之得 a 的取值X 围是3a -≤．【答案】3a ≤-．【例17】 求函数y x =+ 【考点】圆的规划问题【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】解法1 ()f x x =+(,1][2,)-∞+∞．配方，有()f x x =32t x =-，即3()2x g t t ==+，有3(,1][2,)2t +∈-∞+∞，即11,,22t ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．于是 3()(())2f x f g t t ==+当1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，(())f g t 为增函数，所以1(),2f x fg ⎡⎫⎛⎫⎛⎫∈+∞⎪⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎭[2,)=+∞；当1,2t ⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦时，33()(())22t t f x f g t t ⎛⎛⋅+==++=+132=， 为减函数，所以13(),22f x fg ⎡⎫⎛⎫⎛⎫∈-⎪⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎭31,2⎡⎫=⎪⎢⎣⎭． 综上，()f x 的值域为[)31,2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．解法2 同解法1，将函数()f x 化为3()(())2f x f g t t ==++以原点为圆心，12为半径作圆，设(,0)P t 在x 轴上运动，则12t ≥时，如图中A 位置，过A 作圆的切线，切点为C ，显然OA t =，AC =，分析AOC ∆，当A 位于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时 OA AC +最小，为12，于是32t +[2,)∈+∞；12t -≤时，如图中B 位置，过B 作圆的切线，切点为D ，显然OA t =-，BD =DOB ∆，有102BD OB <-≤（当 B 位于1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭时，BDOB -最大，为12，于是32t ++31,2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；综上，()f x 的值域为31,[2,)2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．解法 3 ()f x x =的定义域为(,1][2,)-∞+∞．设y x =，则可以:f xy 涉及的实数对(,)x y 转化为满足22()32y x x x y x ⎧-=-+⎨⎩≥的解(,)x y ，由22()32y x x x y x ⎧-=-+⎨⎩≥得2223y x y y x⎧-=⎪-⎨⎪⎩≥．由x 的X 围(,1][2,)-∞+∞，可以求得()f x 的值域为31,[2,)2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．解法4 y x =的定义域为1x ≤或2x ≥ 求导，有1y '=+=当2x ≥时，0y '>，所以原函数为增函数，取值X 围为[)2,+∞；当1x ≤时，230x -=，∴0y '<，原函数为减函数，取值X 围为31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．从而，原函数值域为[)31,2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．解法5 设1y =2y x =-，则12y y y =-．1y =于是2213124x y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭（10y ≥），其几何意义是中心在3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的双曲线在x 轴上方的部分．2y x =-是过原点，斜率为1-的一条直线．如图，1l 为双曲线的一条渐近线，方程为32y x =-+，22:l y x =-，显然12l l ∥． 当1x ≤时，12y y PQ -=，随着x 越来越小，P 到1l 的距离越来越小，于是P 到2l 的距离越来越大（12,l l 之间的距离为定值），从而PQ 越来越大，取值X 围为31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭；当2x ≥时，随着x 越来越大，PQ 也越来越大，取值X 围为[)2,+∞； 综上，原函数的值域为[)31,2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【答案】[)31,2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【例18】 设90XOY ∠=︒，P 为XOY ∠内一点，且1OP =，30XOP ∠=︒，过P 任意作一条直线分别交射线OX 、OY 于点M 、N ，求OM ON MN +-的最大值．【考点】圆的规划问题 【难度】5星 【题型】填空 【关键字】无【解析】如图1，作OMN ∆的内切圆，设其半径为r ，则2OM ON MN r +-=，问题转化为OMN ∆的内切圆半径的最大值．图 3分析图形可得当P 在C ⊙上时，OMN ∆内切圆的半径最大，设此时C ⊙半径为0r ，如图2．若不然，设在某情形下C ⊙半径大于0r ，那么P 点将会在C ⊙内，这与C ⊙是OMN ∆的内切圆矛盾（如图3，圆心C 只能在射线l 上运动）．显然，此时P 点为切点．设00(,)C r r ，而()cos30,sin 30P ︒︒，于是CP r =，即()()222000cos30sin30r r r -︒+-︒=，化简有2002(sin30cos30)10r r -︒+︒+=∴0sin 30cos30r ==︒+︒-从而题中所求为021r =．【答案】021r =【例19】 设90XOY ∠=︒，P 为XOY ∠内一点，且1OP =，XOP θ∠=，过P 任意作一条直线分别交射线OX 、OY 于点M 、N ，求： ⑴ OM ON MN +-的最大值m 与θ的函数关系式； ⑵ 当θ在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，求m 的取值X 围．【考点】圆的规划问题 【难度】6星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】⑴ 求得2(sin cos m θθ=+-π4θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⑵ 设π4s θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，t =2()m s t =-．22π1cos 2π22sin 21sin 242s θθθ⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+=⋅=+ ⎪⎝⎭；2sin 2t θ=．于是221s t -=．由于π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12s ≤≤，01t ≤≤．如图，当2s =时，m 取得最小值，此时π4θ=，s 1t =，)21m =；当1s =时，m 取得最大值，此时0θ=或π2，1s =，0t =，2m =．【答案】⑴ 求得2(sin cos m θθ=+π4θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⑵)2,21⎡⎤⎣⎦【例20】 已知实数x 、y 满足()2233x y -+=，则1yx -的最大值是． 【考点】圆的规划问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】1yx -可看作是过点()P x y ，与()10M ，的直线的斜率，其中点P 在圆 ()2233x y -+=上，当直线处于图中切线位置时，斜率1yx -最大，最大值为tan θ=【例21】 不论k 为何实数，直线1y kx =+与曲线2222240x y ax a a +-+--=恒有交点，则实数a 的取值X 围是．【考点】圆的规划问题【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】题设条件等价于点()01，在圆内或圆上，或等价于点()01，到圆 ()2224x a y a -+=+的圆心距离≤半径，∴13a -≤≤．【答案】13a -≤≤【例22】 如果实数x 、y 满足22(2)3x y -+=，则yx的最大值为． 【考点】圆的规划问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】23y =，即点P (,)x y 的轨迹是圆心为C (2,0)，半此时0y y k x x -==-，为连接点(0,0)O 与(,)P x y 直线的斜率． 这样，该代数问题可转化为如下几何问题：圆C 的圆心为(2,0)P 在圆C 上移动，求直线OP 的斜率的最大值．过O 作圆C 的切线，设0P 为第一象限的切点，当动点P 在0P 位置时，直线OA 的斜率最大． 0OP k 容易在OCP ∆中求出：01OP=，000OP CP k OP ===yx显然，当动点P 在0P '位置时，yx取最小值为【例23】 函数sin 2cos xy x=+的最大值为________，最小值为________．【考点】圆的规划问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】表示点(cos sin )P x x ，与点(20)A -，连线的斜率的取值X 围，点P 在单位圆上，如图，过A 作单位圆的切线AB 、AC ．易知AB k =AC k =为斜率的最大值和最小值，那么y，最小值为．，最小值为．【例24】 若直线y x m =-与曲线y =m 的取值X 围是___________．【考点】圆的规划问题 【难度】2星 【题型】填空【关键字】无【解析】y x m=-表示倾斜角为45°，纵截距为m-的直线，而y=(00)，为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距[1m-∈，即(1]m∈-．明确方程的几何意义，在同一坐标系中画出相应的几何图形，根据直线系的特点，由图形研究直线与半圆的位置关系．【答案】(1]m∈-【例25】曲线1y=+(22)x-≤≤与直线(2)4y k x=-+有两个交点时，实数k的取值X围是．【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】曲线1y=+22(1)4x y+-=，为如图所示的半圆C；直线(2)4y k x =-+，表示过定点(2,4)P 的直线系；要使半圆与直线有两个交点，则:(2)4l y k x =-+只能在12,l l 之间移动，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则12k k k <≤． 解得1512k =，234k =，从而53124k <≤． 【答案】53124k <≤ 【例26】 过点(1的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =【考点】圆的规划问题【难度】2星【题型】填空【关键字】无【解析】由图形可知点(1A 在圆22(2)4x y -+=的内部，圆心为(20)O ，，要使得劣弧所对的圆心角最小，即l 被圆截得的弦长最短，只能是直线l OA ⊥，所以1l OA k k =-==． 对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转化为点到线的距离问题来解决．．【例27】 一束光线从点()11A -，发出，经x 轴反射到圆()()22231C x y -+-=∶上，其最短路程是（）A ．4B ．5C ．1D ．【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】设光线与x 轴交于点()0B x ，，依题意0BC BA k k +=，即31021x x -+=-+，解得 14x =-，于是最短路程为14d ==．或者求出A 关于x 轴的对称点()11A '--，，114d A C '=-=-=．【答案】A【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】选择【关键字】2010年，某某高考【解析】略．【答案】C ；【例29】 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值X 围是．【考点】圆的规划问题【难度】3星【题型】填空【关键字】2010年，某某高考【解析】略．【答案】()-；13,13。

一：判断1. 一个圆的周长是它的半径的6.28倍。

（ ）2. 圆的周长越长面积越大。

（ ）3. 圆的半径是2cm,则半圆的周长是6.28cm 。

（ ）4. 圆的面积是圆内最大正方形的面积的2π倍。

（ ）5. 因为r d 2 ，所以直径的一半是半径。

（ ）6. 大圆的半径等于小圆的直径，则小圆的面积是大圆面积的41。

（ ）7. 当圆的半径是2时，它的周长和面积相等。

（ ）8. 圆心角是77度，则它所对的弧长为圆周长的18077。

（ ）二：选择1. 用圆规画一个面积是25π2cm 的圆，那么在画圆时圆规两脚之间的距离是_________cm 。

A.3.14B.5C.12.5D.2.52. 一段弧长等于它所在圆的周长的83，那么这段弧所对的圆心角是_________度。

A.135B.120C.100D.903. 一个半圆的周长是半径的_________倍。

A.πB.2πC.2πD.π+24. 圆周长的一半与半个圆的周长比较，_________。

A.一样长B.前者长C.后者长D.不能比较5. 在周长相等的长方形，正方形，圆中面积最大的是_________。

A.长方形B.正方形C.圆D.不能确定6. 若大圆的周长比小圆的周长多了41，那么小圆的面积是大圆面积的_________。

A.161 B.2516 C.169 D.2597. 直径是2，圆心角是2度的弧长是_________。

A.180π B.90π C.1801 D.9018. 长方形的长为8dm ，宽为4dm ，在其内画一个最大的圆，则圆的面积是_________2dm 。

A.200.96B.50.24C.12.56D.3.149. 一根长为314cm 的细绳正好绕一个圆筒圈，则这个圆筒的半径是_________cm 。

A.5B.10C.20D.3.14三：填空1. 一个等边三角形的底边长为6.28cm ，与之周长相等的圆的面积是_________。

本期话题·探究性作业研究前置探究性作业，促课堂结构转变*——以《圆的认识》一课为例□任宁“圆的认识”是小学阶段“图形与几何”板块中一节经典的概念课，综观各版本教材内容的编排，结合常见教学设计，笔者认为在该节课的学习中有两个问题需要引起重视。

【问题分析】问题1：涉及知识要点繁多，课堂结构零散。

本课中学生要认识圆的外观特征，掌握圆规画圆的方法，知道圆的各部分名称，理解直径半径的关系与特征，知道圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小，等等。

整节课涉及的知识点较多，也较为零碎，因此，在课堂中很多环节之间联系不够紧密，往往由教师一一推动，显得比较生硬。

问题2：学生已有的相关认知，课中未能体现。

根据以往的教学实践经验以及各类前测，发现课前学生对圆的相关知识都有一定程度的了解，比如对圆的各部分名称（圆心、半径、直径）都有所耳闻，知道圆是轴对称图形，对圆规画圆的方法也有所尝试，甚至有学生听说过圆周率、圆周长面积计算公式。

但是教师在教学设计时很少考虑学生的已有认知，往往还是按部就班地进行教学。

【课前预测与分析】如何在教学设计中更好地关注学生的已有认知？如何使课堂教学更加结构化？在学生学习圆的认识之前，笔者布置了前置性的探究作业，以期了解学生的已有认知水平。

（一）前置探究作业设计直径你还有什么发现？厘米的正方形中画一个最大的圆，（二）前置探究作业分析（对象：城区A学校五年级学生39人，乡镇B学校五年级学生44人）1.图像表征的人数多于文字表征，城乡差距不明显A学校：有65%的学生提到了圆心、直径和半径的名称，有89.7%的学生能够在圆上画出半径和*本文为教育部全国“十三五”规划课题《发展高阶思维的小学数学探究性作业的设计与应用研究》的阶段性成果（立项编号：FHB180591）。

本期话题·探究性作业研究直径的正确图像。

B学校：有63.7%的学生提到了圆心、半径和直径的名称，有81.8%的学生能够画出直径和半径的正确图像。

第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三：切线与切线长问题题型四：弦长问题题型五：判断圆与圆的位置关系题型六：由圆的位置关系确定参数题型七：公共弦与切点弦问题题型八：公切线问题题型九：圆中范围与最值问题题型十：圆系问题【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线/与圆。

的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线/与圆。

有公共点.有两组实数解时，直线/与圆C相交；有一组实数解时，直线/与圆C相切；无实数解时，直线/与圆c相离.(2)几何法：由圆C的圆心到直线I的距离日与圆的半径尸的关系判断：当d<r时，直线/与圆。

相交；当d=r时，直线/与圆。

相切；当d>r时，直线/与圆。

相离.知识点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二：圆的切线方程的求法1、点M在圆上，如图.M法一：利用切线的斜率％与圆心和该点连线的斜率幻肱的乘积等于-1,即k OM•吟=—L.法二：圆心。

到直线/的距离等于半径尸.2、点(Jr。

,％)在圆外，则设切线方程：y-y0=^(x-x0),变成一般式：kx-y+y Q-kx Q=O,因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出奴知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上.常见圆的切线方程：(1)过圆f+,2二广上一点尸(柘为)的切线方程是x0x+y0y=r2；(2)过圆(x-。

2024年高三物理二轮常见模型专题板块模型特训目标特训内容目标1高考真题(1T -3T )目标2无外力动力学板块模型(4T -7T )目标3有外力动力学板块模型(8T -12T )目标4利用能量动量观点处理板块模型(13T -17T )目标5电磁场中的块模型(18T -22T )【特训典例】一、高考真题1(2023·全国·统考高考真题)如图，一质量为M 、长为l 的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m 的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v 0开始运动。

已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f ，当物块从木板右端离开时()A.木板的动能一定等于flB.木板的动能一定小于flC.物块的动能一定大于12mv 20-fl D.物块的动能一定小于12mv 20-fl 2(2023·辽宁·统考高考真题)如图，质量m 1=1kg 的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k =20N /m 的轻弹簧，弹簧处于自然状态。

质量m 2=4kg 的小物块以水平向右的速度v 0=54m/s 滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。

木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能E p 与形变量x 的关系为E p =12kx 2。

取重力加速度g =10m/s 2，结果可用根式表示。

(1)求木板刚接触弹簧时速度v 1的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x 1；(2)求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x 2及此时木板速度v 2的大小；(3)已知木板向右运动的速度从v 2减小到0所用时间为t 0。

求木板从速度为v 2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能DU (用t 0表示)。

3(2023·河北·高考真题)如图，质量为1kg 的薄木板静置于光滑水平地面上，半径为0.75m 的竖直光滑圆弧轨道固定在地面，轨道底端与木板等高，轨道上端点和圆心连线与水平面成37°角．质量为2kg 的小物块A 以8m/s 的初速度从木板左端水平向右滑行，A 与木板间的动摩擦因数为0.5．当A 到达木板右端时，木板恰好与轨道底端相碰并被锁定，同时A沿圆弧切线方向滑上轨道．待A离开轨道后，可随时解除木板锁定，解除锁定时木板的速度与碰撞前瞬间大小相等、方向相反．已知木板长度为1.3m,g取10m/s2, 10取3.16,sin37°=0.6,cos37°=0.8．(1)求木板与轨道底端碰撞前瞬间，物块A和木板的速度大小；(2)求物块A到达圆弧轨道最高点时受到轨道的弹力大小及离开轨道后距地面的最大高度；(3)物块A运动到最大高度时会炸裂成质量比为1:3的物块B和物块C，总质量不变，同时系统动能增加3J，其中一块沿原速度方向运动．为保证B、C之一落在木板上，求从物块A离开轨道到解除木板锁定的时间范围．二、无外力动力学板块模型4如图所示，质量为M的木板B在光滑水平面上以速度v0向右做匀速运动，把质量为m的小滑块A 无初速度地轻放在木板右端，经过一段时间后小滑块恰好从木板的左端滑出，已知小滑块与木板间的动摩擦因数为μ。

1. 六年级奥数多次相遇和追及问题学生版2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的,多人相遇与追及问题虽然较复杂,但只要抓住这个公式,逐步表征题目中所涉及的数量,问题即可迎刃而解．【例 1】 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步,甲每秒钟跑3.5米,乙每秒钟跑4米,问：他们第十次相遇时,甲还需跑多少米才能回到出发点？【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒3米,乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发,10分钟内共相遇几次？【巩固】 甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A 背向同时出发,8分钟后两人第五次相遇,已知每秒钟甲比乙多走0.1米,那么两人第五次相遇的地点与点A 沿跑道上的最短路程是多少米?【例 2】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行,6时后相遇。

如果二人的速度各增加1千米／时,那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。

问：甲、乙二人的速度各是多少？知识精讲 教学目标3-1-4多次相遇和追及问题板块二、运用倍比关系解多次相遇问题【例 3】上午8点8分,小明骑自行车从家里出发,8分钟后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上小明的时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分？【例 4】甲、乙两车同时从A地出发,不停的往返行驶于A,B两地之间。

已知甲车的速度比乙车快,并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C地。

问：甲车的速度是乙车的多少倍？【例 5】如图,甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,当乙走了100米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】A、B是圆的直径的两端,甲在A点,乙在B点同时出发反向而行,两人在C点第一次相遇,在D点第二次相遇．已知C离A有75米,D离B有55米,求这个圆的周长是多少米？【巩固】如右图,A,B是圆的直径的两端,甲在A点,乙在B点同时出发反向而行,两人在C点第一次相遇,在D点第二次相遇。

高中数学圆的存在问题教案主题：圆的存在问题
教学目标：
1. 了解圆的定义，理解圆的存在问题。

2. 能够解决相关的圆的存在问题的实际应用题。

教学重点：
1. 掌握圆的存在问题的解决方法。

2. 理解圆的定义及相关性质。

教学难点：
1. 能够运用所学知识解决复杂的圆的存在问题。

2. 掌握圆的存在问题的实际应用。

教学准备：
1. 教师准备PPT、教辅资料。

2. 学生准备课堂练习册和实例题。

教学过程：
一、导入：
教师通过提问引入话题，让学生思考圆的定义及存在问题。

二、讲解：
1. 提出存在问题的定义及应用场景。

2. 讲解相关概念和方法。

3. 播放相关实例视频，深化学生对存在问题的理解。

三、练习：
1. 完成课堂练习册上的相关题目。

2. 学生自主解决实例题。

四、讨论：
学生交流解题思路及方法，教师指导学生合理解题。

五、展示：
学生展示解答思路，教师点评。

六、总结：
复习整理所学内容，梳理解题思路及方法。

七、作业布置：
布置作业，巩固所学内容。

【教学评估】
通过学生课堂练习及作业情况，了解学生对存在问题的掌握情况。

【教学反思】
根据学生的学习情况调整教学方法，提高教学效果。

」典例分析板块四.直线与圆相交3x + 2与圆心为D 的圆富二^+^3'0曲（朕［0, 2 J ）交与A 、B 两_____ y =1 __3 si nr.7_ I点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（）C .. . 2【例2】 若P （2,_1）为圆（x —1）+y 2=25的弦AB 的中点，则直线 AB 的方程为.【例3】直线x¥2y+5*0与圆x 2+y 2岸8相交于A 、B 两点，则|AB^||【例4】 已知P 是圆O:（x-5）2・（y -5）2=16上的一点，关于点 A （5, 0）的对称点是Q ，将半径OP 绕圆心O 依逆时针方向旋转90到OR ，求RQ 的最值.【例5】 直线y =kx +3与圆（x _3 $ +（y _2）2=4相交于M , N 两点，若 | MN| > 2矗,则k 的取值范围是 A . 一：，0 B .3U 0 ,-C .巨，回D .［二,0】_ 3 3 _ 5【例6】直线72ax +by |=1与圆x 2+y 2^1相交于A , B 两点（其中a ,b 是实数），且MOB是直角三角形（O 是坐标原点），则点P （a , b ）与点（0 , 1）之间距离的最大值为 （ ） 拆【例7】直线x +y 十血卜0截圆x 2+y 2目4所得劣弧所对圆心角为（）’ nln — n2 nA .-B .-C . 一 D.—63 23【例8】 圆x 2y^4被直线3x ，y-2 3=0截得的劣弧所对的圆心角的大小为.【例9】 已知直线l:y 二kx ・2.2 k=0与圆O : x 2y^4相交于A , B 两点，O 为坐标原点，厶AOB 的面积为S .⑴试将S 表示为k 的函数S k ，并求出它的义域；⑵求 S 的最大值，并求出此时的k 值.【例10】经过点P （2,［~3）作圆（x+1）2+y 2*25的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ）A . x —y —5=0B .x+5岂0【例1】目线D . 53【例11】某圆拱桥的水面跨度是20m ,拱高为4m ,现有一船宽9m ,在水面以上部分高3m , 故通行无阻•近日水位暴涨了 1.5m，为此，必须加重船载，降低船身•当船身至少应降低m时，船才能通过桥洞.(结果精确到0.01m )线方程是__________ .【例13】若直线2ax_ by，2 =0(a, b . 0始终平分圆x2• y2• 2x_4y • 1 =0的周长，则1 1—的最小值为 _________________ .a b【例14】直线x =2被圆(x —a)2 y2 =4所截得的弦长等于2 3，则a的为.【例15】若过定点M(_1, 0)且斜率为k的直线与圆x24x y2_5=0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( )A . 0 ：：:k ；・5B . - 5 ::: k ：：0 C. 0 ：:k ：：： .. 13 D . 0 ：：: k ：：：5【例16】已知圆C : (x -1)2(y - 2)2= 25，直线l : (2m 1)x (m 1)y—7m —4 = 0(m 三R). ⑴证明直线l与圆相交；⑵求直线I被圆C截得的弦长最小时，求直线I的方程.【例17】已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称.直线3x+4y—11=0与圆C 相交于A ,B两点，且|AB| = 6，则圆C的方程为.【例18】求过直线x 3y -^0与已知圆x2y22x -2y -3 =0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为-8的圆的方程.2 2 _________________________【例19】已知圆C: x-1 y -2 25及直线I : 2m 1 x m 1 y =7m 4(m R)⑴证明：不论m取什么实数，直线I与圆C恒相交；⑵求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线I的方程.【例20】已知圆C : (x—1$+y2=9内有一点P(2 ,2)，过点P作直线I交圆C于A、B两占八、、•⑴当I经过圆心C时，求直线I的方程；⑵当弦AB被点P平分时，写出直线I的方程；⑶当直线I的倾斜角为45时，求弦AB的长. 【例21】已知点A(N,yj、B(X2 , 丫2)(人冷^0)是抛物线y2=2px(p 0)上的两个动点，O 是坐标原点，向量OA、OB满足OA "O^"O^~OB设圆C的方程为x2y2-(X1 x2)x -(射y2)y =0 .⑴证明：线段AB是圆C的直径；⑵当圆C的圆心到直线x _2y =0的距离的最小值为兰时，求p的值.5【例22】已知两圆x y -4x・2y=0和x y -2y-4=0的交点分别为A、B ,⑴ 求直线AB的方程及线段AB的长；⑵ 求经过A、B两点，且圆心在直线2x・4y=1上的圆的方程.【例23】已知acosa+bsin a =c , acos0+bsin B =c , （ab 鼻0, a 鼻k n, k 环Z），求证：2 L - - c2cOs 2 2 •2 a2+b2【例24】求过直线2x y・4=0和圆x2y2• 2x-4y T =0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.⑴过原点；⑵有最小面积.【例25】直线I与x轴、y轴的正半轴分别交于A B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2-14x 4（AB 2） =0的两个根（OA :：: OB）, P为直线l上异于A、B两点之间的一动点. 且PQ//OB交OA于点Q .⑴ 求直线I AB斜率的大小；1⑵若S P AQ= -S四OQPB时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；Q 3⑶在y轴上是否存在点M，使.MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【例26】已知圆x2y2x -6y ^0与直线I : x • 2y -3=0相交于P、Q两点，O为原点，且OP _OQ，求实数m的值.【例27】直线经过点P -3 , -1被圆x2y^ 25截得的弦长为8，求此弦所在直线方程.【例28】过点P（1, 2）的直线将圆x2• y2-4x-5 = 0分成两个弓形，当这两个弓形面积之差最大时，这条直线的方程为（）A . x=1B . y=2C . y = x1D . x -2y 3=0【例29】过点（1, .2）的直线I将圆（x-2）2• y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线I的斜率k二.【例30】已知圆C：x2y2-2x 4y -4 =0，问最否存在斜率为1的直线I，使I被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出直线方程；若不存在，说明理由.【例31】已知直线ax by ^0与圆O : x2y2 =1相交于A、B两点，且| AB .3，则T —IOA OB =.【例32】已知直线l: (2m - 1)x (m ・1)y =7m 4，圆C :(x_1)2• (y _2)2=25，则m 为任意实数时，I 与C是否必相交？若必相交，求出相交的弦长的最小值及此时m的值；若不一定相交，则举一个反例.【例33】已知圆C和y轴相切，圆心在直线x_3y=0上，且被直线y二x截得的弦长为2.. 7 , 求圆C 的方程.【例34】直线I与圆x2y22x -4y • a = 0 (a ：：：3)相交于两点A , B，弦AB的中点为0,1 ,则直线I的方程为.【例35】已知圆的方程为x2• y2-6x-8y =0 •设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A . 10 6 B. 20.6 C. 30 6 D. 40 6【例36】直线x —2y +3=0与圆x2+y2=4相交弦中点M与点N(1,2)的距离为 _____________ . 【例37】若过定点M (_1, 0)且斜率为k的直线与圆x2• 4x • y2_5 =0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是______________________ .【例38】如果直线l将圆x2y2_2x_4y=：0平分，且不通过第四象限，那么直线I的斜率的取值范围是_________ .。

学而思高中完整讲义：圆.板块一.圆的方程.学生版(1)【例1】 若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是A ．1122⎡⎤-+⎣⎦，B ．122122⎡⎤-+⎣⎦，C ．1223⎡⎤-⎣⎦， D ．123⎡⎤-⎣⎦，【例2】 直线323y x =+与圆心为D 的圆33cos 13sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩[)()02πθ∈，交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）A ．7π6B ．5π4C ．4π3D ．5π3【例3】 若曲线C 上的点的坐标都是方程()0f x y =，的解，则下面判断正确的是（ ）A ．曲线C 的方程是()0f x y =，B ．以方程()0f x y =，的解为坐标的点都在曲线C 上 C ．方程()0f x y =，表示的曲线是CD ．方程()0f x y =，表示的曲线不一定是C【例4】 “点M 在曲线24y x =上”是点M 的坐标满足方程y x =- ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【例5】 下列命题正确的是（ ）A ．到两坐标轴的距离相等的点组成的直线方程是y x =B ．已知三点(20)A ，，(02)B ，，(00)C ，，ABC ∆的边AB 上的中线方程为y x = C ．到两坐标轴的距离的乘积是1的点的轨迹方程是1xy =±D ．到x 轴的距离等于1的点的轨迹方程是1y =【考点】曲线与方程【例6】 已知以4T =为周期的函数21(11]()12(13]m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，，，，其中0m >．若方程典例分析3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A ．83⎫⎪⎪⎝⎭，B ．⎝C ．4833⎛⎫⎪⎝⎭，D ．43⎛ ⎝【例7】 条件A ：曲线C 上所有点的坐标都是方程()0f x y =，的解；条件B ：以方程()0f x y =，的解为坐标的点都在曲线C 上．则A 与B 的关系是（ ）A ．A 是B 的充分不必要条件 B ．A 是B 的必要不充分条件C ．A 是B 的充要条件D ．A 既不是B 的充分条件也不是B 的必要条件【例8】 方程y = ）A ．两条直线B ．两条射线C ．一条直线D ．一条射线【例9】 方程222xy x y x -=所表示的曲线（ ）A ．关于y 轴对称B ．关于0x y +=对称C ．关于原点对称D ．关于0x y -=对称【例10】 已知111()P x y ，是直线l ：()0f x y =，上的一点，222()P x y ，是直线l 外一点，则方程1122()()()0f x y f x y f x y ++=，，，表示的直线与直线l 的位置关系是（ ） A ．平行B ．重合C ．垂直D ．斜交【例11】 已知圆C 的方程()0f x y =，，点00()A x y ，在圆外，点11()B x y ，在圆上，则0011()()()0f x y f x y f x y -+=，，，表示的曲线是（ ）A ．就是圆CB ．过A 点且与圆C 相交的圆 C ．可能不是圆D ．过A 点且与圆C 同心的圆【例12】 斜率为2的直线与圆锥曲线交于1122()()A x y B x y ，，，两点，若弦长AB =，则12y y -= ．【例13】y =||y x =的交点个数是______．【例14】 曲线22330y x ++=与曲线22450x y x +--=的交点的个数是_________．【例15】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个相异公共点A B ，，()f k 是弦长AB 关于k 的函数，⑴求()f k 并指出函数的定义域； ⑵若已知k >，求()f k 的值域．【例16】 设π02θ<<，曲线22sin cos 1x y θθ+=和22cos sin 1x y θθ-=有四个交点， ⑴求θ的范围；⑵证明：这四个交点共圆，并求该圆半径的取值范围．【例17】 当a 为何值时，曲线22()12x a y -+=与曲线212y x =有公共点？【例18】 求过两圆222310x y x y ++-+=和222240x y x y ++-=的公共点的直线方程．【例19】 设0a >且1a ≠，试求使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解的k 的取值范围．【例20】 如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心，以(0)t t >为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． ⑴求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；⑵设曲线G 上点D 的横坐标为2a +，求证：直线CD 的斜率为定值．【例21】 过点(0)，A a 作直线与圆E ：22(2)1x y -+=交于B 、C 两点，在直线BC 上取点P满足，BP PC AB AC λλ==． ⑴求P 点的轨迹方程；⑵设所求轨迹方程与圆E 交于M 、N 两点，求EMN ∆面积的最大值．。