2020高考数学(文)二轮复习：24分大题抢分练(二)

)五选填题( 一、选择题ABABxax ，则由?，0}＝{|，若－21．(2019·四川攀枝花第二次统考)集合＝＝{－1,2}a ) 实数 组成的集合为( {1} ．{－2} BA ．2,1,0} －DC ．{－2,1} ．{D答案aABBBAB ，2＝?或＝{－1}或0,1＝{2}，∴∵集合解析 ，－＝{－1,2}，?的值为，∴D. 故选2bzzzb ∈＝＋0(＋2i(i 为虚数单位)是方程6－2．(2019·广东适应性考试)若复数3＝1b )＝( )的根，则 R 5 ．BA ．13 513 ．CD ．A 答案22bbbzzz ，解∈R )0＝＋－＋－6＋2i)＝0(6(3＋2i)的根，∴(3∵解析 3＝＋2i 是方程1b A.13.＝得故选个零件进行抽样测某工厂利用随机数表法对生产的7003．(2019·河北衡水中学二调)个样本．下图提供随机数70001,002，…，699,700，从中抽取试，先将700个零件进行编号个样本编号列开始向右读取数据，则得到的第5行第行到第表的第46行，若从表中第56) ( 是35 78 90 56 4212 23 43 56 77 33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 23 68 96 08 0484 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 45 77 89 23 4534 89 94 83 75 22 53 55 78 32 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 328 B ．607 ．A007 C ．253 ．DB 答案，…5行第6253,313,457,253,007,328列开始向右读取数据，依次为从表中第解析 B.故选328.253去掉重复数据，得到的第5个样本编号是222xyx 2py )( ＋4．若双曲线－＝1与椭圆＝1有公共焦点，则的值为 p 833 B ．A ．224．C4 ．DC 答案．222xyx 2y 的焦点坐所以椭圆＋＝11的焦点坐标为(－2,0)，(2,0) 解析因为双曲线－，＝p 832pp 4.＝＝28－2,0)，(2,0)，所以－，标为(2xxfx )的图象大致为)＝e( 25．函数－(2答案 A04fff，结合选项可知A正确．(2)＝e－(0)＝e＝1，8(1)＝e－2≈0.72，解析计算k)的值应为( 6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入A．4.5 B．6D．C．7.5 9B答案执行题图所示的程序框图，解析nSkn<4是，＝，＝1kknSkn<4是－＝＝2，，＝22kkknSn<4是＝，＝3，＝－236kkknSn<4否，＝－＝4＝，3124kS1.5.＝输出＝4k6.所以＝950.1cbabac)的大小关系是( ＝lg ，＝log，则，，，．设7＝23102babcca >>．B >>．A．bacabc．．>>>> DCD答案590.1abc＝log<0，故选D.，∈＝lg (0,1)解析因为，＝2∈(1,2)32108．(2019·甘肃兰州一中6月冲刺)榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．榫卯结构中凸出部分叫榫(或叫榫头)，已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是( )A．36 B．45D．C．54 63C答案还原该几何体，如图所示，该几何体可看作两个四棱柱拼接而成，且四棱柱底面解析，两个四棱柱的，高为36为直角梯形，由题中数据可得，底面直角梯形的上底为3，下底为11V C. 故选3和1，所以该几何体的体积×(3＋6)×3×1＝＝×(3＋6)×3×3＋54.高分别为22acB ＋2ABCabcABCABC 的形状为( 则△ ，)．在△中，cos ＝(的对边，，)分别为角，，9 c 22A ．直角三角形 B ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰三角形 A 答案BBac ＋1＋cos 2＝∵解析 cos ＝，c 222222acab －＋222BabcCABC 的形状为直角三角形．则△ 则角，cos ∴＝＝解得＋＝，为直角， cac 2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望)10．(2019·江西南昌二模烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军怎样走才能使总路程最短？先到河边饮马后再回到军营，在观望烽火之后从山脚下某处出发，22yxxy ≤1，若将军从在平面直角坐标系中，设军营所在区域内点的横坐标满足，纵坐标＋yAx ，并假定将军只要到达军营所在区域即为＝点(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为3＋) 回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( 1 22－B ．10－1 ．A10 D22 C ．．A答案bab 2＋????kaxAyAbAA ，，′的中点为，，解析 设点)关于直线＋，＝3的对称点＝′(AA ′??a 222－b??，－·＝－1a 2－a ，＝3???AA ′到军到军营的最短总路程，即为点解得故点?bab ，＋＝21????，＝＋32222A.＝101－1.故选营最短的距离，则“将军饮马”的最短总路程为3＋1－OPABCD的球面上的五个点，四边形11．(2019·山东栖霞高考模拟)已知，，是球，，OABCDABDCADBCPAPAABCDADBC)的体积为＝2，，则球＝( ＝为梯形，4∥，，＝＝⊥平面π642π162 ．AB．33 16π2π D．16C．A 答案BDDEBCEAE，的中点，，连接解析如图，取，1AEADEBECBCBEADCEADBCAD＝＝＝，四边形∵∥，∴四边形且均为平行四边形，∴＝211ABCDECAEDEBEEBCDEDCABDCBCAB的外接圆圆心，＝，∴＝＝，∴，为四边形＝，又＝＝，22AEOFOEOABCDOFPAF，∴四边形⊥设为外接球的球心，由球的性质可知，垂足为⊥平面，作22RxAFOFAEOPxxROAx4＋4＝，∴2＝，解得＋4＝)－(4＋4，则＝＝，＝，设2＝＝为矩形，π26443OVR＝.故选的体积为A.＝＝22，∴球π332x1＋??x，<0－，x2?xxxgxf－＝2＝，若存(－12．(2019·广东汕头二模)已知函数())?x1＋?x≥0，，2agbfab的取值范围为( ＝(2)＋成立，则实数()在实数)，使得37????，－．1,2]BA．[－??2237????，－．C．(－1,2]D??22答案 A??x，－，<0x xx1＋?xxffxxf2＝)＝2)当(≥0时，＝(单调递增，故)解析因为(?x1 2x1＋??????1＋x??????xxxfx－＋＋?x≥0，2，2x1111＋，即≥2，当且仅当－－＝(＝－)＝－≥2；当＝－<0时，＋xx??????xxxfxagbfa)＝((时，取等号．综上可得，＋())∈[2，＋∞)．又因为存在实数2，使得＝－12bbbbgbfag A.))≤2－＝(－2≤0，解得－1≤)，即－(成立，所以只需≤2.故选(min二、填空题t bba t b t aa________. ，则－，若|＝＋|13．已知|＝(2,5＝－1)，|＝(1)＋1，－1答案b t a t ab t a t b －－＋2)＝(＝(2,5，－1)，(＝＋＋1，－1)，所以3,5解析 解法一：因为2222tt abab tttt,t 1. ，解得(5＝＋3)＋(5－2)＝－＝(1(15－)，因为|＋)|＝|)－|，所以(＋t b t ab t ababa ，解得1)0，即2(＝解法二：由|＋＋1)|＝|－－|易知(5⊥，所以0·－＝1.＝ππ????xa ????xf ，＋上是2在区间)＝3sin14．(2019·河北中原名校联盟联考)若函数－(????210a 的最大值是________．单调函数，则实数 7π 答案 5ππ3π2π7πkxkkkxkk ∈Z ()＋≤≤2，π＋由解析 2＋π≤≤2＋(π＋)∈Z ，得2π2510522π7π7π????a ，. 上单调递减，即的最大值为∴函数图象在区间 ??55515．(2019·安徽黄山第三次质量检测)在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成进行“扩展”，第一次得到1,2新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列．nxxx 2.，，…；第…，次“扩展”后得到的数列为1，；1,2,2第二次得到数列1,2,2,4,2；t,21naaxxxta ________.}的通项公式2－并记1＝log(1·，则数列··…·{·2)，其中＝＝ntnn 221n 13＋ 答案2xaxxlog(1··…···2)，得解析 由＝tn 212axxxxxxx ·2)·2)· )·＝log(1·(1··()··…··(tnt2＋11121233333xxx ·2·1··…·??t 21??kaaakaka log ＋2，即＝3，设－1＝＋＝＝3(3＋，可得)nnnnn 1＋＋12??2n11＋13133??n 1－aaka －. 所以＝－＝＝－，则数列·3是首项为，公比为3的等比数列，故，?? nnn222222??fxfx )，上的函数′((若对任意的)的导函数为)16．(2019·江苏扬州调研已知定义在R 19122xfxffxxxx )＋3的解集为－则不等式2(________－2．)<实数，(′( )>恒成立，且(3)＝，222答案 (－1,3)11gxfxxgxfxgxg (3)上单调递增，又)在))＝－(－)>0，则，∴′(()＝′(解析 令(R 223931122222ffxxxxgxxfxxx －－((－(2－3)＋等价于2(－2)＝)23－－＝(3)＝＝，∴(－)< 222222xxxgx ．1,3)(22)<(3)，即－<3，解得∈－。

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案) 数 学（文史类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） i 是虚数单位，复数=534ii +- （A ） （B ）1i -1i -+（C ） （D ）1i +1i --【解析】复数，选C.i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435【答案】C（2）设变量x,y 满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，选 B.yx z 23-=223z x y -=223z x y -=)2,0(C 223zx y -=y x z 23-=423-=-=y x z 【答案】B（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环满足条件输出，选 C.2,2330==-=n S 3,83322==-+=n S 4,2633823==-+=n S 26=S 【答案】C（4） 已知，则a ，b ，c 的大小关系为120.2512,(),2log 22a b c -===（A ）c<b<a （B ）c<a<b （C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为，所以，，所以，选 A.122.02.022)21(<==-b a b <<114log 2log 2log 25255<===c a b c <<【答案】A（5）设xR ，则“x>”是“2x2+x-1>0”的∈12 （A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件【解析】不等式的解集为或，所以“”是“”成立的充分不必要条件，选A.0122>-+x x 21>x 1-<x 21>x 0122>-+x x【答案】A（6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） cos 2y x =，xR ∈（B ） xy 2log =，xR 且x ≠0∈（C ） 2x xe e y --=，xR ∈ （D ）31y x =+，xR ∈【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.x y 2log =0>x x x y 22log log ==)2,1( 【答案】B（7）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是()sin f x x ω=ω4π)0,43(πω（A ） （B ）1 C ） （D ）21353【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以,所以的最小值为2，选 D.4π)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g )0,43(π0)443(sin =-ππω,2)443(πωπππωk ==-Z k k ∈=,2ωω 【答案】D（8）在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足=，=(1-)， R 。

24分专项练(二) 21、22题1．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫2，153. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 2的直线l (不过坐标原点)与椭圆C 交于A ，B 两点，求F 1A →·F 1B →的取值范围．2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，圆O ：x 2＋y 2＝2与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M ，N 两点，试判断|PM |·|PN |是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax 2＋ax ＋1e －x ，a 为实数． (1)当a ＝2时，求f (x )的单调递增区间；(2)如果对任意x ≥0，f (x )≤x ＋1恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝e x x－a ln x . (1)当a ＝0时，求函数f (x )在(0，＋∞)上的最小值；(2)若0<a ≤e 22，求证：f (x )>0.24分专项练(二) 21、22题1．解：(1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，4a 2＋53b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，b 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 25＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则F 1A →＝(x 1＋1，y 1)，F 1B →＝(x 2＋1，y 2)．根据题意设直线l 的方程为x ＝my ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 26＋y 25＝1，消去x 得(5m 2＋6)y 2＋10my －25＝0， 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－10m 5m 2＋6，y 1y 2＝－255m 2＋6. 所以F 1A →·F 1B →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(1＋m 2)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝(1＋m 2)·－255m 2＋6＋2m ·－10m 5m 2＋6＋4 ＝－25m 2－15m 2＋6＝－5＋295m 2＋6. 因为5m 2＋6≥6，所以0<295m 2＋6≤296，所以－5<－5＋295m 2＋6≤－16. 所以F 1A →·F 1B →∈⎝⎛⎦⎤－5，－16. 2．解：(1)设椭圆C 的半焦距为c ，由椭圆C 的离心率为22知，b ＝c ，a ＝2b ，则椭圆C 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.易求得点A (2，0)，则点(2，2)在椭圆C 上，所以22b 2＋2b2＝1，解得b 2＝3，所以a 2＝6，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)|PM |·|PN |为定值2.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为x ＝2，则P (2，0)．由(1)知M (2，2)，N (2，－2)，所以|PM |·|PN |＝2.此时OM →＝(2，2)，ON →＝(2，－2)，OM →·ON →＝0，即OM ⊥ON ，当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 26＋y 23＝1，消去y 得x 2＋2(kx ＋m )2＝6， 即(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0，得Δ>0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.因为OM →＝(x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)，所以OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)·2m 2－61＋2k 2＋km ·－4km 1＋2k 2＋m 2 ＝（1＋k 2）（2m 2－6）－4k 2m 2＋m 2（1＋2k 2）1＋2k 2＝3m 2－6k 2－61＋2k 2＝3（2k 2＋2）－6k 2－61＋2k 2＝0， 所以OM ⊥ON .综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M ，N ，都有OM ⊥ON .又在Rt △OMN 中，OP ⊥MN ，由△OMP 与△NOP 相似可得|OP |2＝|PM |·|PN |＝2为定值．3．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(x 2＋2x ＋1)e －x ，f ′(x )＝(2x ＋2)e －x －(x 2＋2x ＋1)e －x ＝－(x ＋1)(x －1)e －x .由f ′(x )>0，得－1<x <1，所以f (x )的单调递增区间为(－1，1)．(2)由f (x )≤x ＋1得12ax 2＋ax ＋1≤(x ＋1)e x ， 即当x ≥0时，(x ＋1)e x －12ax 2－ax －1≥0恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)e x －12ax 2－ax －1， 则g ′(x )＝(x ＋2)e x －ax －a ，则g ″(x )＝(x ＋3)e x －a ，则g (x )＝(x ＋4)e x ，易知，当x ≥0时，g(x )＝(x ＋4)e x >0，从而g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增，g ″(0)＝3－a ，g ′(0)＝2－a ，g (0)＝0.①当a ≤2时，g ″(0)＝3－a >0，由g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增可知，g ″(x )≥3－a >0，所以g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，所以g ′(x )≥g ′(0)＝2－a ≥0，故g (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而g (x )≥g (0)＝0恒成立；②当2<a ≤3时，g ″(0)＝3－a ≥0，由g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增可知，g ″(x )≥3－a ≥0，所以g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，因为g ′(0)＝2－a <0，所以存在x 1>0，使g ′(x 1)＝0，当0<x <x 1时，g ′(x )<0，此时g (x )单调递减，所以g (x 1)<g (0)＝0，与题意不符； ③当a >3时，g ″(0)＝3－a <0，由g ″(x )在[0，＋∞)上单调递增可知，存在x 2>0，使g ″(x 2)＝0，当0<x <x 2时，g ″(x )<0，此时g ′(x )单调递减，所以g ′(x 2)<g ′(0)＝2－a <0，故g (x )在(0，x 2)上单调递减，此时g (x 2)<g (0)＝0，与题意不符．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．4．解：(1)当a ＝0时，由f (x )＝e x x (x >0)，得f ′(x )＝（x －1）e x x 2， 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝e.(2)证明：函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝（x －1）e x x 2－a x ＝（x －1）e x －ax x 2. 令g (x )＝(x －1)e x －ax ，x >0，则g ′(x )＝x e x －a ，易知g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，因为0<a ≤e 22，所以g ′(0)＝－a <0，g ′(2)＝2e 2－a >0， 所以存在唯一的x 1∈(0，2)，使g ′(x 1)＝0，当x ∈(0，x 1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(x 1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．又因为g (0)＝－1，g (2)＝e 2－2a ≥0，所以当x ∈(0，x 1)时，g (x )<g (0)<0，即g (x )在(0，x 1)上无零点．所以存在唯一的x 0∈(x 1，2]，使g (x 0)＝0，即(x 0－1)e x 0＝ax 0，因为g (1)＝－a <0，所以1<x 0<2，则e x 0x 0＝a x 0－1. 当x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0x 0－a ln x 0＝a x 0－1－a ln x 0＝ a ⎝⎛⎭⎫1x 0－1－ln x 0，1<x 0<2. 令h (x )＝1x －1－ln x ，则h (x )在(1，＋∞)上单调递减， 因为1<x 0<2，所以h (x 0)>h (2)＝1－ln 2>0.又因为a >0，所以f (x )min >0，从而f (x )>0.。

2020届湖南长郡中学高考仿真抢分模拟(二)文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,3,6,7}，C＝{3,4,5,6}，则图中阴影部分表示的集合是()A．{2,3} B．{6}C ．{3}D ．{3,6}答案 B解析 由题可知，A ∩B ∩C ＝{3}，B ∩C ＝{3,6}，故阴影部分表示的集合是{6}．2．若(－1＋2i)z ＝－5i ，则|z |的值为( ) A ．3 B ．5 C. 3 D.5 答案 D解析 由(－1＋2i)z ＝－5i ，可得z ＝－5i －1＋2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝－10＋5i5＝－2＋i.所以|z |＝(－2)2＋12＝ 5.3．设a ，b ，c ，d ，x 为实数，且b >a >0，c >d ，下列不等式正确的是( ) A ．d －a <c －b B.b a ≥b ＋x a ＋xC ．b c >a d D.a b ≤a ＋|x |b ＋|x |答案 D解析 取a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝2，d －a ＝0，c －b ＝－1，此时d －a >c －b ，A 错误；取b ＝3，a ＝2，x ＝－1，则b a ＝32，b ＋x a ＋x ＝2，此时b a <b ＋xa ＋x ，B 错误；取b ＝3，a ＝12，c ＝1，d ＝－3，b c ＝3，a d ＝8，此时b c <a d，C 错误；对于D ，a b －a ＋|x |b ＋|x |＝a (b ＋|x |)－b (a ＋|x |)b (b ＋|x |)＝(a －b )|x |b (b ＋|x |)≤0，D 正确．4．函数f (x )＝1＋x 2＋tan xx 的部分图象大致为( )答案 D解析 由函数是偶函数，排除A ，C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >0.故选D.5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2 B.73 C.83 D ．3答案 C解析 由三视图可知该几何体为四棱锥，记为四棱锥E －ABCD ，将其放入棱长为2的正方体中，如图，易知四棱锥E －ABCD 的底面积S 四边形ABCD ＝42，高为2，故所求体积为13×42×2＝83.6．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若tan α＝35，则tan(α－β)的值为( )A ．0 B.3034 C.916 D.158 答案 D解析 由角α与角β的始边相同，终边关于y 轴对称可知tan α＝－tan β.又tan α＝35，所以tan β＝－35，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝158.7．(2019·四川名校联盟信息卷一)不等式组⎩⎨⎧x ≥0，0≤y ≤1，y ≥x 2所表示的平面区域为 Ω，用随机模拟方法近似计算 Ω的面积，先产生两组(每组100个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x 100和y 1，y 2，…，y 100，由此得到100个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，100)，再数出其中满足y i ＜x 2i (i ＝1,2，…，100)的点数为33，那么由随机模拟方法可得平面区域 Ω面积的近似值为( )A ．0.33B ．0.66C ．0.67 D.13答案 C解析 设平面区域 Ω的面积为S ，依题意，得S 1≈100－33100.∴S ≈0.67.故选C.8．已知单位向量a ，b 的夹角为3π4，若向量m ＝2a ，n ＝4a －λb ，且m ⊥n ，则|n |＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 B解析 依题意，m ⊥n ，故2a ·(4a －λb )＝0，故8a 2－2λa ·b ＝0，故4－λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝0，解得λ＝－42，故n ＝4a ＋42b ，故|n |2＝(4a ＋42b )2＝16，故|n |＝4.9．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产．龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{a n }，则log 2(a 3a 5)的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．16 答案 C解析 依题意a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝1016，又因为数列{a n }是公比为2的等比数列，则a 1(1－27)1－2＝1016，所以a 1＝8，所以a 3a 5＝(a 4)2＝(8×23)2＝212， 所以log 2(a 3a 5)＝log 2212＝12.10．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A．－1008 B．－1010 C．1009 D．1007答案C解析执行程序框图：S＝0＋1·sin π2＝0＋1，i＝3,3>2018？，否；S＝0＋1＋3·sin 3π2＝0＋1－3，i＝5,5>2018？，否；S＝0＋1－3＋5·sin 5π2＝0＋1－3＋5，i＝7,7>2018？，否；…S＝0＋1－3＋…＋2017·sin 2017π2＝0＋1－3＋ (2017)i＝2019,2019>2018？，是．输出S＝0＋1－3＋5－7…－2015＋2017＝(0＋1)＋(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋(－2015＋2017)＝1＋2＋2＋…＋2＝1＋504×2＝1009.11．(2019·江西临川一中考前模拟)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与抛物线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a的值为()A．0 B．0或8 C．8 D．1答案C解析由题意，得y′＝1＋1x，当x＝1时，切线的斜率k＝2，切线方程为y＝2(x －1)＋1＝2x －1，因为它与抛物线相切，所以ax 2＋(a ＋2)x ＋1＝2x －1有唯一解，即ax 2＋ax ＋2＝0有唯一解，故⎩⎨⎧a ≠0，a 2－8a ＝0，解得a ＝8，故选C.12．已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(7－2x )，0<x ≤32，f (x －3)，x >32，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝( )A ．log 25B ．－log 25C ．－2D ．0 答案 B解析 由题意，得f (－1)＝f (2)＝f (5)＝…＝f (2＋672×3)＝f (2018)，f (0)＝f (3)＝f (6)＝…＝f (3＋672×3)＝f (2019)，f (1)＝f (4)＝f (7)＝…＝f (4＋672×3)＝f (2020)，又因为f (－1)＝－f (1)＝log 25，f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)＝673×[f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2020)＝673×0＋f (1)＝－log 25.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校男女比例为2∶3，从全体学生中按分层抽样的方法抽取一个样本容量为m 的样本，若女生比男生多10人，则m ＝________.答案 50解析 由题意，得3m 5－2m5＝10，解得m ＝50.14．已知双曲线y 2m －x 2＝1(m >0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为________．答案233解析 ∵双曲线y 2m －x 2＝1(m >0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合， 抛物线y ＝18x 2的焦点坐标为(0,2)，∴c ＝2，∴1＋m ＝4即m ＝a 2＝3，∴a ＝3， ∴e ＝c a ＝233.15．(2019·辽宁丹东质量测试二)长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，若在侧棱AA1上存在点E，使得∠C1EB＝90°，则侧棱AA1的长的最小值为________．答案2解析如图，设侧棱AA1的长为x，A1E＝t，则AE＝x－t，∵长方体ABCD －A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，∠C1EB＝90°，∴C1E2＋BE2＝BC21，∴2＋t2＋1＋(x－t)2＝1＋x2，整理，得t2－xt＋1＝0，∵在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB＝90°，∴Δ＝(－x)2－4≥0，解得x≥2.∴侧棱AA1的长的最小值为2.16．(2019·揭阳模拟)在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝π6.若AB ＝3BD，则∠CAD＝________；若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________．答案π33解析设BD＝m，则AB＝3m，BC＝2m，根据余弦定理，得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos∠ABD＝m2，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABD＝m2，∴AD ＝DC＝AC＝m，即△ACD是正三角形，∴∠CAD＝π3.记△ABC的三内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的三条边分别为a，b，c，则BD＝12a，由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos∠ABD，∴1＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－32ac ，即4＝4c 2＋a 2－23ac ，又AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，∴4＝c 2＋a 2－3ac ，于是，4c 2＋a 2－23ac ＝c 2＋a 2－3ac ，∴a ＝3c ，代入c 2＋a 2－3ac ＝4可得c ＝2，a ＝23，∴S △ABC ＝12ac sin ∠ABC ＝ 3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·天津部分区一模联考)(本小题满分12分)“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动”．他随机地选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：(1)超过5000步的概率；(2)已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，将这30人按照“积极型”“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为A i (i ＝1,2,3，…)，属于“懈怠型”的人依次记为B i (i ＝1,2，3，…)，现在从这5人中随机抽取2人接受问卷调查．设M 为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M 发生的概率．解 (1)由题意，知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56， ∴估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. 4分 (2)5人中“积极型”有5×1230＝2人，这两人分别记为A 1，A 2,5人中“懈怠型”有5×1830＝3人，这三人分别记为B 1，B 2，B 3. 6分在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}. 9分事件M“抽取的2人来自不同的类型”有以下6种不同的等可能结果：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}．其概率为6 10＝35.∴事件M发生的概率为35. 12分18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n}中，a1＝2，a2＋a4＝16.(1)设b n＝2a n，求证：数列{b n}是等比数列；(2)求{a n＋b n}的前n项和．解(1)证明：设{a n}的公差为d，由a2＋a4＝16，可得(a1＋d)＋(a1＋3d)＝16，即2a1＋4d＝16. 2分又a1＝2，可得d＝3.故a n＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×3＝3n－1. 3分依题意，b n＝23n－1，因为b n＋1b n＝23n＋223n－1＝23(常数)，故数列{b n}是首项为4，公比q＝8的等比数列. 6分(2){a n}的前n项和为n(a1＋a n)2＝n(3n＋1)2. 8分{b n}的前n项和为b1－b n q1－q＝4－23n－1·231－8＝17·23n＋2－47. 10分故{a n＋b n}的前n项和为n(3n＋1)2＋17·23n＋2－47. 12分19．(2019·辽宁丹东质量测试)(本小题满分12分)如图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，SD＝CD，AB＝AD＝2，CD＝2AD，M 是BC的中点，N是SA的中点．(1)求证：MN∥平面SDC；(2)求点A到平面MDN的距离．解(1)证明：取AD的中点E，连接ME，NE，则ME∥DC，因为ME⊄平面SDC，所以ME∥平面SDC，2分同理NE∥平面SDC.所以平面MNE∥平面SDC，所以MN∥平面SDC. 4分(2)因为CD⊥AD，所以ME⊥AD.因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD，ME⊥SD.又因为AD∩SD＝D，所以ME ⊥平面SAD . 6分因为DA ＝2，则ME ＝3，NE ＝2，MN ＝NE 2＋ME 2＝13，MD ＝10，ND ＝ 5.在△MDN 中，由余弦定理，得cos ∠MDN ＝210， 从而sin ∠MDN ＝7210，所以△MDN 的面积为72， 9分 连接AM ，则△ADM 的面积为12×2×3＝3. 设点A 到平面MDN 的距离为d ， 由V A －MDN ＝V N －AMD ，得72d ＝3NE ，因为NE ＝2，所以点A 到平面MDN 的距离d ＝127. 12分20．(2019·河南九师联盟1月质量检测)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1－a 2)x ＋1x ＋2a ln x (a ＞0)．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明：对任意x ∈[1，＋∞)，有f (x )≤2x －a 2.解 (1)f ′(x )＝1－a 2－1x 2＋2a x ＝1x 2[(1－a 2)x 2＋2ax －1]＝1x 2[(1＋a )x －1][(1－a )x ＋1]. 2分①当0＜a ≤1时，由f ′(x )＜0，得[(1＋a )x －1][(1－a )x ＋1]＜0，解得0＜x ＜1a ＋1； 由f ′(x )＞0，得[(1＋a )x －1][(1－a )x ＋1]＞0，解得x ＞1a ＋1. 故函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ＋1，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1，＋∞. 4分②当a ＞1时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1a ＋1或x ＞1a －1； 由f ′(x )＞0，得1a ＋1＜x ＜1a －1.故函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a ＋1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1，1a －1. 6分 (2)证明：构造函数g (x )＝f (x )－2x ＋a 2＝－(1＋a 2)x ＋1x ＋2a ln x ＋a 2， 则g ′(x )＝－(1＋a 2)－1x 2＋2ax ＝－(1＋a 2)x 2－2ax ＋1x 2. 8分因为Δ＝(2a )2－4(1＋a 2)＜0,1＋a 2>0， 所以(1＋a 2)x 2－2ax ＋1＞0，即g ′(x )＜0. 故g (x )在区间[1，＋∞)上是减函数．又因为x ≥1，所以g (x )≤g (1)＝－(1＋a 2)＋1＋a 2＝0. 故对任意x ∈[1，＋∞)，有f (x )≤2x －a 2. 12分21．(2019·广东湛江测试二)(本小题满分12分)已知定点F (1,0)，横坐标不小于0的动点T 在y 轴上的射影为H ，若|TF |＝|TH |＋1.(1)求动点T 的轨迹C 的方程；(2)若点P (4,4)不在直线l ：y ＝kx ＋m 上，并且直线l 与曲线C 相交于A ，B 两个不同点．问是否存在常数k 使得当m 的值变化时，直线P A ，PB 的斜率之和是一个定值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设点T 在直线x ＝－1上的射影是R ，则由于T 的横坐标不小于0，所以|TR |＝|TH |＋1，又|TF |＝|TH |＋1，所以|TF |＝|TR |，即点T 到点F (1,0)的距离与点T 到直线x ＝－1的距离相等，所以T 的轨迹是以F (1,0)为焦点，以x ＝－1为准线的抛物线．即动点T 的轨迹C 的方程是y 2＝4x . 4分(2)由于A ，B 两点在曲线C ：y 2＝4x 上，所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 24，b ，则P A 的斜率k 1＝a －4a 24－4＝4a ＋4，PB 的斜率k 2＝b －4b 24－4＝4b ＋4，所以k 1＋k 2＝4a ＋4＋4b ＋4＝4(a ＋b ＋8)ab ＋4(a ＋b )＋16. 8分又曲线C 与直线l 相交于A ，B 两点，所以k ≠0，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，整理，得ky 2－4y ＋4m ＝0，所以a ＋b ＝4k ，ab ＝4mk .则k 1＋k 2＝4(a ＋b ＋8)ab ＋4(a ＋b )＋16＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋84m k ＋4×4k ＋16＝8k ＋44k ＋m ＋4＝1＋4k －m 4k ＋m ＋4，11分此式随着m 的变化，值也在变化，所以不存在k 值满足题意. 12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点P (1，－2)，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－2＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，直线l 和曲线C 的两交点为A ，B .(1)求直线l 和曲线C 的普通方程； (2)求|P A |＋|PB |.解 (1)直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－2＋t (t 为参数)，消去t ，可得直线l 的普通方程为x－y －3＝0. 2分曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，即为ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得曲线C 的普通方程为y 2＝2x . 5分(2)直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ′，y ＝－2＋22t ′(t ′为参数)，代入曲线C ：y 2＝2x ， 可得t ′2－62t ′＋4＝0， 有t ′1＋t ′2＝62，t ′1t ′2＝4，则|P A |＋|PB |＝|t ′1|＋|t ′2|＝t ′1＋t ′2＝6 2. 10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知a >0，b >0，a 2＋b 2＝a ＋b .证明：(1)(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)； (2)(a ＋1)(b ＋1)≤4.证明 (1)因为(a ＋b )2－2(a 2＋b 2)＝2ab －a 2－b 2＝－(a －b )2≤0. 所以(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2). 4分(2)证法一：由(1)及a 2＋b 2＝a ＋b 得a ＋b ≤2. 因为(a ＋1)(b ＋1)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋1)＋(b ＋1)22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋222≤4. 于是(a ＋1)(b ＋1)≤4. 10分证法二：由(1)及a 2＋b 2＝a ＋b 得a ＋b ≤2. 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以ab ≤1. 故(a ＋1)(b ＋1)＝ab ＋a ＋b ＋1≤4. 10分。

24分大题抢分练（二)（建议用时:40分钟）20．（12分）(2019·沈阳高三教学质量监测三）已知抛物线C：x2＝2py(p＞0）的焦点为F，M（－2,y0)是C上一点，且｜MF｜＝2.（1）求C的方程;(2)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B 两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．［解] （1)根据题意知，4＝2py0，①因为|MF｜＝2，所以y0＋错误!＝2，②联立①②解得y0＝1,p＝2。

所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2）四边形PAQB存在外接圆．设直线AB方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y中,得x2－4kx－4＝0，设点A(x1，y1）,B(x2，y2)，则Δ＝16k2＋16＞0，且x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以｜AB｜＝错误!｜x1－x2｜＝4(k2＋1）,因为C：x2＝4y，即y＝错误!，所以y′＝错误!.因此，切线l1的斜率为k1＝错误!，切线l2的斜率为k2＝错误!,由于k1k2＝错误!＝－1,所以PA⊥PB，即△PAB是直角三角形，所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是圆的直径，所以点Q一定在△PAB的外接圆上，即四边形PAQB存在外接圆．又因为|AB|＝4（k2＋1），所以当k＝0时，线段AB最短,最短长度为4，此时圆的面积最小,最小面积为4π.21．(12分)(2019·武汉模拟)已知函数f(x)＝x e x－ax－a ln x。

（1)若a＝e，求f（x）的单调区间；（2)[一题多解］若f（x）≥1,求a的取值范围．［解] （1)因为f（x)＝x e x－ax－a ln x,所以f′（x)＝(x＋1)e x－a－ax(x＞0），即f′(x）＝错误!(x e x－a)（x＞0)．当a＝e时，f′（x)＝错误!(x e x－e），令g(x)＝x e x－e（x＞0),则g′（x）＝（x＋1)e x＞0，所以g(x）在(0，＋∞)上单调递增．因为g（1)＝0,所以当0＜x＜1时,g(x)＜0，f′(x)＜0;当x＞1时，g（x)＞0，f′(x)＞0。

24分专项练24分专项练(一) 21、22题1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .(1)求抛物线的标准方程； (2)求|AB ||MF |的最小值．2．(2020·山东省普通高等学校统一考试)设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎝⎛⎭⎫1，32，且离心率为32.F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，⊙F 的半径为PF .(1)求椭圆E 和⊙F 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －3)(k >0)与⊙F 交于A ，B 两点，与E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求l 的方程；若不存在，请说明理由．3．已知函数f (x )＝e x －ln (x ＋1)(e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ，a ∈R ，试求函数g (x )的极小值的最大值．4．(2020·山东省普通高等学校统一考试)函数f (x )＝a ＋x1＋x (x >0)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线在y 轴上的截距为112.(1)求a 的值；(2)讨论g (x )＝x (f (x ))2的单调性；(3)设a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )．证明：2n －2|2ln a n －ln 7|<1.24分专项练24分专项练(一) 21、22题1．解：(1)由椭圆方程得椭圆的右焦点为(1，0)．所以抛物线的焦点为F (1，0)，p ＝2，故抛物线的标准方程为y 2＝4x . (2)①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时， |AB |＝2p ＝4，|MF |＝2，|AB ||MF |＝2. ②当动弦AB 所在的直线斜率存在时，易知直线的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为y ＝k (x －1)，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1）得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1＋x 2＝2（k 2＋2）k 2，x 1x 2＝1，Δ＝16(k 2＋1)>0.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫2k 2＋4k 22－4＝4（k 2＋1）k 2.FM 所在直线的方程为y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x －1），x ＝－1得点M ⎝⎛⎭⎫－1，2k . 所以|MF |＝22＋4k 2＝21＋k 2k 2， 所以|AB ||MF |＝4（k 2＋1）k 221＋k 2k 2＝21＋1k2>2. 综上所述，|AB ||MF |的最小值为2. 2．解：(1)由题意得：⎩⎨⎧1a 2＋34b2＝1c a ＝32a 2＝b 2＋c2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1.当x ＝3时，|PF |＝b 2a ＝12，所以圆的方程为(x －3)2＋y 2＝14.(2)假设存在k 使|AC |＝|BD |，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 因为|AC |＝－12|CF |，|BD |＝|DF |－12，|AC |＝|BD |，所以|CF |＋|DF |＝1，即|CD |＝1.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）x 24＋y 2＝1消去y 整理得(4k 2＋1)x 2－83k 2x ＋4(3k 2－1)＝0，Δ＝16(k 2＋1)>0，x 1＋x 2＝83k 24k 2＋1，x 1x 2＝4（3k 2－1）4k 2＋1，|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝4k 2＋14k 2＋1.|CD |＝1＋k 2|x1－x 2|＝4（k 2＋1）4k 2＋1＝1， 即4k 2＋4＝4k 2＋1，显然上式不成立，故不存在k 使|AC |＝|BD |.3．解：(1)函数f (x )＝e x －ln(x ＋1)的定义域是(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x －1x ＋1.令h (x )＝e x －1x ＋1，则h ′(x )＝e x ＋1（x ＋1）2>0，所以函数h (x )在(－1，＋∞)上单调递增，且h (0)＝f ′(0)＝0.所以当x ∈(－1，0)时，h (x )＝f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时h (x )＝f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以函数f (x )的单调递减区间是(－1，0)，单调递增区间是(0，＋∞)． (2)由g (x )＝f (x )－ax ＝e x －ln(x ＋1)－ax ，得g ′(x )＝f ′(x )－a . 由(1)知，g ′(x )＝f ′(x )－a 在(－1，＋∞)上单调递增． 当x →－1时，g ′(x )→－∞；当x →＋∞时，g ′(x )→＋∞， 则g ′(x )＝0有唯一解x 0.当x ∈(－1，x 0)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以函数g (x )在x ＝x 0处取得极小值，g (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋1)－ax 0，且x 0满足e x 0－1x 0＋1＝a .所以g (x 0)＝(1－x 0)e x 0－ln(x 0＋1)＋1－1x 0＋1. 令φ(x )＝(1－x )e x －ln(x ＋1)＋1－1x ＋1，则φ′(x )＝－x ⎣⎡⎦⎤e x ＋1（x ＋1）2.当x ∈(－1，0)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增；当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，可得φ(x )max ＝φ(0)＝1.所以函数g (x )的极小值的最大值为1. 4．解：(1)因为f ′(x )＝1－a （1＋x ）2，所以k ＝f ′(1)＝1－a 4，又f (1)＝a ＋12，所以切线方程为y －a ＋12＝1－a 4(x －1)，即y ＝1－a 4x ＋3a ＋14.又切线在y 轴上的截距为112，所以3a ＋14＝112，所以a ＝7.(2)由(1)得f (x )＝x ＋71＋x ，则g (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋71＋x 2，定义域为(0，＋∞)．g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋71＋x 2＋2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋71＋x （1＋x ）－（x ＋7）（1＋x ）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋71＋x 2＋2x (x ＋7)－6（1＋x ）3＝（x ＋7）（x 2－4x ＋7）（1＋x ）3>0， 所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增． (3)证明：要证2n －2|2ln a n －ln 7|<1， 即证|ln a 2n7|<12n －2，当n ＝1时，ln 7<2成立， 即证|ln a 2n ＋17|<12n －1，即证|ln a 2n ＋17|<12|ln a 2n7|，由题意得a n >0， 即证|ln a 2n ＋17|<|ln a n 7|.因为a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，所以a n ＋1＝a n ＋7a n ＋1，a n ＋1－7＝a n ＋7a n ＋1－7＝（a n －7）（1－7）a n ＋1， 由a n >0即a n －7与a n ＋1－7异号， ①当a n >7，0<a n ＋1<7，即证ln 7a 2n ＋1<lna n7， 即证7a 2n ＋1<a n7，即证a n a 2n ＋1>77，即证a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋a n 1＋a n 2>77，由(2)知，当a n >7，g (a n )>g (7)＝77成立． ②当a n ＋1>7，0<a n <7，即证ln a 2n ＋17<ln 7a n ，即证a 2n ＋17<7a n，即证a n a 2n ＋1<77，即证a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋a n 1＋a n 2<77， 由(2)知，当0<a n <7，g (a n )<g (7)＝77成立． 综上2n －2|2ln a n －ln 7|<1得证．。

24分大题抢分练（一)(建议用时：30分钟)20．（12分）如图所示，椭圆C ：错误!＋错误!＝1（a＞b ＞0）的离心率为错误!，B 1，B 2是椭圆C 的短轴端点，且|B 1B 2|＝6，点M 在椭圆C 上运动，且点M 不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2。

（1)求椭圆C 的方程；(2）求四边形MB 2NB 1面积的最大值．［解] （1）∵e ＝c a ＝错误!，∴a ＝错误!c ，又2b ＝6，且a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝18，b 2＝9，因此椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝1。

(2）法一:设M (x 0，y 0)(x 0≠0），N (x 1，y 1），∵MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2，∴直线NB 1:y ＋3＝－错误!x ①，直线NB 2:y －3＝－错误!x ②,由①②解得x ＝错误!，即x 1＝错误!，又错误!＋错误!＝1，∴x 1＝－错误!，∴四边形MB 2NB 1的面积S ＝12｜B 1B 2|（|x 1|＋|x 0｜)＝3×32|x 0｜. ∵0＜x 2，0≤18,∴当x 错误!＝18时，S 取得最大值错误!.法二:设直线MB 1：y ＝kx －3（k ≠0）,则直线NB 1：y ＝－错误!x －3 ①，直线MB 1与椭圆C ：x 218＋错误!＝1的交点M 的坐标为错误!，则直线MB 2的斜率为kMB 2＝错误!＝－错误!，∴直线NB 2:y ＝2kx ＋3 ②，由①②解得N 点的横坐标为x N ＝－错误!，∴四边形MB 2NB 1的面积S ＝错误!｜B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×错误!＝错误!≤错误!，当且仅当｜k ｜＝错误!时，S 取得最大值错误!.21．(12分)（2019·济南模拟）已知函数f （x )＝错误!（x －1）2－x ＋ln x (a ＞0）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若1＜a ＜e ，试判断f （x ）的零点个数．[解] （1)函数f （x ）的定义域为(0，＋∞）， f ′（x ）＝a （x －1）－1＋错误!＝错误!，令f ′（x )＝0，则x 1＝1，x 2＝错误!，①当a ＝1，则f ′(x )≥0恒成立，所以f （x ）在（0，＋∞)上是增函数．②若0＜a ＜1，则错误!＞1,当x ∈(0，1）时,f ′(x )＞0，f （x )是增函数，当x ∈错误!时，f ′（x )＜0，f (x ）是减函数，当x ∈错误!时,f ′（x )＞0，f (x ）是增函数．③若a ＞1,则0＜1a＜1， 当x ∈错误!时，f ′(x ）＞0，f (x )是增函数,当x ∈错误!时，f ′（x ）＜0，f （x ）是减函数，当x ∈（1，＋∞）时，f ′(x ）＞0，f （x ）是增函数．综上所述，当a ＝1时，f （x ）在(0，＋∞)上是增函数；当0＜a ＜1时，f （x ）在(0，1）上是增函数，在错误!上是减函数，在错误!上是增函数； 当a ＞1时，f （x )在错误!上是增函数，在错误!上是减函数，在(1,＋∞）上是增函数．（6分）(2）当1＜a ＜e 时,f （x )在错误!上是增函数，在错误!上是减函数，在（1，＋∞）上是增函数，所以f (x )的极小值为f (1)＝－1＜0，f (x )的极大值为f 错误!＝错误!错误!2－错误!＋ln 错误!＝错误!－错误!－ln a －1.设g (a ）＝错误!－错误!－ln a －1,其中a ∈(1,e），则g ′(a )＝错误!＋错误!－错误!＝错误!＝错误!＞0，所以g （a ）在(1，e)上是增函数，所以g（a)＜g（e）＝错误!－错误!－2＜0。

基础保分强化训练(二)1．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝{|x ∈R 12a ≤x ≤2a －1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝1＋m i1－i 1＋i 1－i ＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m 2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．13 答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13a 1＋a 132＝13×7a 1＋a 72，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3 B.8π3 C.16π3 D.32π3答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A. 5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A. 6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0.故D 错误，故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64 B.14 C.26 D.36答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋62－222×2×6＝64.故选A.8．如图，在矩形区域ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，且在A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．2－π2 B.π2－1 C ．1－π4 D.π4答案 C解析 由条件得扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积均为π4，又矩形区域ABCD 的面积为2×1＝2，根据几何概型概率公式可得所求概率为P ＝2－2×π42＝1－π4，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是1－π4.9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA →＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m 2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA →＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫252＝－35. 13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB ＝sin ∠BDC sin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.。

46分大题保分练（二）(建议用时：40分钟)17．(12分)(2019·福州模拟）已知正项等比数列｛a n}的前n项和为S n，满足S2＋4S4＝S6，a1＝1.(1)求数列｛a n｝的公比q;(2)令b n＝a n－15,求T＝｜b1|＋|b2｜＋…＋|b10|的值．[解］（1)｛a n}是正项等比数列，若q＝1，则S n＝na1＝n，∴S2＝2,4S4＝4×4，S6＝6，不合题意．∴q≠1，从而S n＝a11－q n1－q.由S2＋4S4＝S6可知错误!＋4·错误!＝错误!，∴（1－q2）＋4(1－q4）＝1－q6，而q≠1,且q＞0，∴1＋4(1＋q2)＝1＋q2＋q4，即q4－3q2－4＝0，∴（q2－4）(q2＋1)＝0，∴q＝2.（2）由（1）知a n＝2n－1，则a n的前n项和S n＝错误!＝2n－1.当n≥5时,b n＝2n－1－15＞0，n≤4时，b n＝2n－1－15＜0,∴T＝－（b1＋b2＋b3＋b4）＋(b5＋b6＋…＋b10)＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4）＋（a5＋a6＋…＋a10－15×6)＝－S4＋S10－S4＋60－90＝S10－2S4－30＝（210－1）－2×（24－1)－30＝210－25－29＝1 024－32－29＝963。

18．(12分）如图,在四棱锥P.ABCD中,底面ABCD 是边长为1的菱形，∠DAB＝错误!，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝错误!.(1）证明：PB⊥BC；（2)求点A到平面PBC的距离．[解］（1)如图,取AD的中点H,连接PH，HB,BD.∵底面ABCD是边长为1的菱形，∴AD＝AB ＝1，∴AH＝错误!AD＝错误!，由BH2＝AB2＋AH2－2AB·AH·cos∠DAB，得BH2＝1＋错误!－2×1×错误!×错误!＝错误!，∴BH＝错误!，∴AH2＋BH2＝AB2，∴BH⊥AD。