2018-2019学年最新青岛版数学八年级上册1.2.1怎样判定三角形全等同步练习及答案-精编试题

巧用全等三角形证明线段相等三角形全等是证明线段相等、角相等的重要工具，而掌握三角形全等的判断方法，一方面可以培养同学们的逻辑推理能力，另一方面又可以为今后的进一步学习作好准备。

为帮助大家顺利掌握利用全等三角形证明线段相等的有关知识,现举几例供大家参考——（一)利用“SAS”判定两三角形全等，从而得到线段相等例1．如图①，已知点B 是线段AC 的中点，且有DB = EB ，∠EBA=∠DBC。

试说明AD=CE 成立的理由.解：∵点B 是线段AC 的中点（已知)，∴AB=CB（线段中点的意义）.又∵∠EBA=∠DBC（已知）,∴∠DBA=∠DBE＋∠EBA=∠DBE＋∠DBC=∠EBC。

在△ABD 和△CBE 中：AB=CB DBA=EBC()DB=EB )⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，已知，(已知． ∴△ABD≌△CBE(SAS）.∴AD=CE(全等三角形的对应边相等）.评注：本例的解题依据是——有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称为“边角边”）。

（二)利用“ASA”判定两三角形全等，从而得到线段相等例2．如图②，已知∠ABC＝∠DCB，∠ABD＝∠DCA,试说明AC=DB成立的理由.解：∵∠ABC＝∠DCB,∠ABD＝∠DCA （已知）.∴∠ABC－∠ABD =∠DCB－∠DCA（等式的性质），即∠DBC＝∠ACB.在△ABC 和△DCB 中：DBC=ACB BC=CB ABC=DCB )∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，（公共边)，(已知． ∴△ABC≌△DCB（ASA ）。

∴AC=DB(全等三角形的对应边相等）.评注：本例的解题依据是——有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称为“角边角”）.(三）利用“AAS"判定两三角形全等，从而得到线段相等例3．如图③，已知△ABC 中，∠ACB=90°，且AC=BC 。

过点C 作一条射线CE⊥AE 于E ，再过点B 作BD⊥CE 于D. 试说明AE=CD 成立的理由。

典例解析：全等三角形的判定与全等三角形的识别有关的题型主要涉及以下三个方面：一、判别所给条件能否识别三角形全等例1 如图1，给出以下四组条件：①AB=DE，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF ；③∠B=∠E，BC=EF ，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF ，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF 的条件共有〔 〕〔A 〕1组 〔B 〕2组 〔C 〕3组 〔D 〕4组 分析：判别所给的条件能否识别三角形全等，主要看所给的条件是否满足“SAS，ASA ，AAS ，SSS 〞中的一种.解：①满足“SSS〞；②满足“SAS〞；③满足“ASA〞；④不满足三角形全等的识别方法.应选〔C 〕.例2 如图2，AB=AD ，那么添加以下一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC 的是〔 〕.〔A 〕CB=CD 〔B 〕∠BAC=∠DAC〔C 〕∠BCA=∠DCA 〔D 〕∠B=∠D=90°分析：要选择无法判别两个三角形全等的条件，可根据题目中的条件和图形中的隐含条件，再结合所给的条件，看是否符合SAS ，ASA ，AAS ，SSS 、HL 中的一个，不符合的就是无法判定全等的条件.解：当∠BCA=∠DCA 时，不符合三角形全等的识别方法，应选〔C 〕.A B D E 图1二、添加三角形全等的条件例3 如图3，直线AD，BC交于点E，且AE=BE，欲说明△AEC≌△BED，需增加的条件可以是__________________(只填一个即可)．分析：观察图形的隐含条件为∠AEC=∠BED，条件为AE=BE，可根据三角形全等的识别方法“SAS，ASA，AAS〞中的一个来添加条件.解：根据“SAS〞，可添加CE=DE；根据“ASA〞，可添加∠A=∠B；根据“AAS〞，可添加∠C=∠D.故填CE=DE或∠A=∠B或∠C=∠D.例4 如图4，AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是〔写出一个即可〕．分析：观察图形可知，两个三角形都包含∠EAC，结合∠BAE=∠DAC，可得两个三角形的一组对应角∠BAC=∠DAE，又由AB=AD，可知两个三角形具备一组对角和一组对边相等，故可根据“SAS，ASA，AAS〞来添加条件.解：添加的条件为AC=AE或∠B=∠D或∠C=∠E.例5 如图5，AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个．．条件，使△ABP≌△CDP (不能添加辅助线)，你增加的条件是 .分析：根据条件知△ABP和△CDP为直角三角形，可结合条件和图形中的隐含条件，从直角三角形全等的识别方法考虑要添加的条件.解：添加的条件为BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D或AB//CD.三、借助全等找出图中相等的角例6 如图6，点A、D、B、E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并说明．〔不再添加其他的字母与线段〕分析：要找一个与∠E相等的角，观察图形可知，E是△DEF中的一个内角，可借助△ABC 与△DEF全等来说明∠ABC=∠E.解：图中∠CBA=∠E.理由：因为AD=BE，所以AD＋DB=BE＋DB即AB=DE，因为AC∥DF，所以∠A=∠FDE. 又因为AC=DF，所以△ABC≌△DEF ，所以∠CBA=∠E. AFEDCB图6。

注意全等三角形的构造方法搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．1．截长补短法例1．如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC．解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC,由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45º，∴BF=BE,∴AB+BE=AB+BF=AF=AC．解法（二）（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知△ABE≌△AGE，∴EG=BE，∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º，∴CG=EG,∴AB+BE=AG+CG=AC．2．平行线法(或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt△，有时可作出斜边的中线．例2．△ABC中，∠BAC=60°,∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q, 求证:AB+BP=BQ+AQ（全国初中数学赛题）．证明:如图,过O作OD∥BC交AB于D,∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO,OA=AO,∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ,AD=AQ，又∵OD∥BP,∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，AB CPQD ODF∴BD=OD，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ． 说明：⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ,连OD ，构造全等三角形，即“截长补短法”． ⑵本题利用“平行法"解法也较多，举例如下:① 如图（2），过O 作OD∥BC 交AC 于D ，则△ADO≌△ABO 来解决．② 如图（3），过O 作DE∥BC 交AB 于D,交AC 于E ，则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO 来解决．③ 如图（4),过P 作PD∥BQ 交AB 的延长线于D ，则△APD≌△APC 来解决．④ 如图(5)，过P 作PD∥BQ 交AC 于D,则△ABP≌△ADP 来解决．（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）． 3．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形． 例3．已知：如图（6）,P 为△ABC 内一点，且PA=3，PB=4，PC=5, 求∠APB 的度数．分析：直接求∠APB 的度数,不易求，由PA=3，PB=4,PC=5，ACO ABCP QD图（2）A BCPQDE图（3）O AB CP Q 图（4）DOABCPQ图（5）DO联想到构造直角三角形．略解：将△BAP 绕A 点逆时针方向旋转60°至△ACD,连接PD ， 则△BAP≌△ADC，∴DC=BP=4，∵AP=AD,∠PAD=60°，又∵PC=5，PD 2+DC 2=PC 2 图(6） ∴△PDC 为Rt△， ∠PDC=90º∴∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90º=150º． 4．倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内．例4．如图（7）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F,且AE=BE ．求证：AC=BF证明：延长AD 至H 使DH=AD,连BH ，∵BD=CD， ∠BDH=∠ADC,DH=DA，∴△BDH≌△C DA ，∴BH=CA，∠H=∠DAC，又∵AE=EF，∴∠DAC=∠AFE,∵∠AFE=∠BFD,∴∠AFE= 图(7) ∠BFD=∠DAC=∠H，∴BF=BH，∴AC=BF． 5．翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．例5．如图(8)已知：在△ABC 中，∠A=45º， AD⊥BC，若BD=3，DC=2， 求：△ABC 的面积．解：以AB 为轴将△ABD 翻转180º，得到与它全等 的△ABE,以AC 为轴将△ADC 翻转180º，得到 与它全等的△AFC，EB 、FC 延长线交于G ，易证E ABCDF HABC D E GF四边形AEGF 是正方形，设它的边长为x ，则BG=x －3，CG=x －2,在Rt△BGC 中，(x-3）2+（x —2)2=52．解得x=6，则AD=6，∴S△ABC=21×5×6=15． 图（8）尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。