集合与简单逻辑

第一章高一数学（上）第一章集合与简易逻辑 本章内容概述【考纲要求】（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相关关系；掌握充要条件的意义. （3）掌握二次不等式、简单的绝对值不等式的解法. 【考点剖析】“集合与简易逻辑”是高中数学的起始单元，也是整个中学数学的基础.它的基础性体现在两个方面：首先，集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、轨迹、方程和不等式、立体几何、解析几何中都被广泛地使用；其次，数学离不开变换（等价的或不等价的）和推理，而变换与推理又离不开四种命题、充要条件、逻辑联结词等逻辑概念，因为它们是全面理解概念、正确推理运算、准确表述判断的重要工具.集合与逻辑不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的柱石之一.高等数学的许多分支如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑学等都建立在集合与逻辑的理论基础之上.本单元的知识点在集合与逻辑的理论中都是最基本的，但其中蕴含的数学思想都很丰富，如集合的思想、函数的思想、转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等.总之，集合与简易逻辑是高考中考查基础、考查能力与考查进一步学习的潜力的很好的命题材料. 【知识结构图】§1.1集合 预备知识 初中数学基础知识实数分类课本知识导学运用课本知识诠解 重要提示１.集合的相关概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.２.元素与集合的关系集合的元素常用小写的拉丁字母表示，而集合常用大写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合Ａ，记作a ∈Ａ；如果a 不是集合Ａ的元素，就说a 不属于集合Ａ，记作aＡ（或aＡ）.可见，集合中的元素与集合间是从属关系.给出一个集合A 和一个元素a ，a 要么是Ａ的元素，要么不是A 的元素，二者必居其一.３.集合的分类按集合元素的个数，集合可分为有限集、无限集和空集.有理数 无理数分数 无理数含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集；不含任何元素的集合叫空集，空集用符号表示.４.集合的表示方法集合的表示方法，常用的有列举法和描述法.重要提示1.集合是现代数学中不加定义的基本概念，它的基本思想已渗透到现代数学的所有领域．集合中的元素可以是人、物、数点、式子、图形等．2.列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数.列举法常用来表示有限集或有特殊规律的无限集.其中表示有特殊规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才能用删节号.3.｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝有时也可写成｛x∈Ａ：Ｐ（x）｝或｛x∈Ａ；Ｐ（x）｝.4.图示法的使用对象具(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这样的表示方法叫列举法.其特点是：①元素一般是有限个；②元素不重复，不遗漏，不计顺序地列举出来；③元素间用“，”隔开.(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.一般格式为｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝，其中，x是集合的代表元素，Ａ是x的取值范围，Ｐ（x）是确定x应满足的条件.｛x∈A|Ｐ（x）｝即表示使命题Ｐ（x）为真的A中诸元素之集.例如，｛x∈R|x≤5｝，若从前后关系来看，集合Ａ已很明确，则可使用｛x|Ｐ（x）｝来表示，例如｛x|x≤5｝.为了形象地表示集合，常常画一条封闭的曲线,用它的内部表示一个集合，这种方法叫图示法(也称韦恩图法).5.常用的数集及其记法全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N*或N+.全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q；全体实数的集合通常简称实数集,记作R.基础例题点拨【例题1】下列各题中,分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法把这个集合表示出来，然后指出它是有限集还是无限集：(1)组成中国国旗图案的颜色；(2)世界上最高的山峰；(3)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)组成的一切自然数；(4)平面内到一个定点O的距离等于定长l(l＞0)的所有的点P.【解析】(1)｛红，黄｝，有限集；(2)｛珠穆朗玛峰｝，有限集；有一定的局限性,但在处理有关抽象集合问题时,却有着独特作用.（1）自然数集与非负整数集是相同的,即自然数集包括数0；（2）Q、Z、R中排除0的集分别可表示为Q*、Z*、R*.随笔：一拖二拖1用适当方法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集.(1)不超过10的非负偶数的集合.答案:｛0,2,4,6,8,10｝，有限集;(2)大于10的所有自然数组成的集合.答案:｛x∈N|x＞10｝，无限集；(3)方程x２-4=0的解集.答案:｛-2,2｝,有限集;(4)方程(x-1)２(x-2)=0的解集.答案:｛1,2｝,有限集.(3)｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213,231，312，321｝，有限集；(4)｛p|PO=l｝（Ｏ是定点,l是定长），无限集.(2)｛x∈N|x＞10｝，无限集；(3)｛-2,2｝,有限集;(4)｛1,2｝,有限集.【思路点拨】对于有限集并且集合中的元素比较少时，一般采用列举法表示，并且不必考虑元素之间的顺序；对于有限集中元素比较多，以及无限集，通常采用描述法表示.【例题2】把下列集合用另一种方法表示出来： (1)｛1，5｝；(2)｛x|x 2+x-1=0｝；(3)｛2，4，6，8｝；(4)｛x ∈N|3＜x ＜7｝. 【解析】(1)｛x|(x-1)(x-5)=0｝；(2)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---251,251；(3)｛x|x 是大于1，且小于9的偶数｝； (4)｛4，5，6｝【思路点拨】描述法表示集合的格式是｛x ∈A|Ｐ（x ）｝.因而(2)、(4)是描述法，(1)、(3)是列举法.列举法和描述法是表示集合的两种不同方式，它们可以互相“转化”.重难点突破重点·难点·易混点·易错点·方法技巧 重难点1.重点：集合的基本概念与表示方法，以及集合元素的三个性质的重要应用.正确表示集合是为了更好地学习后面的知识，解题过程中一定要注意满足集合的互异性.2.难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法和描述法，正确表示一些简单的集合.集合的元素类型多是以数、点、图形或集合等形式出现.对于已知的集合，必须知道集合元素的形式.如集合｛y|y=x2+1｝表示函数的所有函数值即｛y|y ≥1｝；集合｛x|y=x2+1｝表示函数 拖2把下列集合用另一种方法表示出来. (1)｛-1,0,1,2｝；答案:｛x ∈Z|-2＜x ＜3＝;(2) ｛x ∈Z|16-x ∈N ｝； 答案: 由于16-x ∈N*,故x-1必为6的正约数,∴x-1=1或2或3或6,从而x=2或3或4或7,∴｛2,3,4,7｝;(3)｛x|(x+1)x-32(x2-2)(x2+1)=0,x ∈Q ｝答案: {-1, 32}.拖3指出下列集合的异同点． Ａ=｛x|y=x2-1｝ B=｛y|y=x2-1｝ C=｛(x,y)|y=x2-1｝答案: A 与B 均表示数集,其中A=R,B=｛y|y ≥-1｝即B 表示不小于-1的所有实数,而C 表示抛物线y=x 2-1上的点的集合.的所有自变量的取值即｛x|x ∈R ｝，它们都是数集；集合｛(x ，y)|y=x 2+1｝表示抛物线y=x 2+1上的所有点，是点集.易混易错点 1. 易混点(1)数集与点集的区别用描述法表示数的集合时，其一般格式为｛x|Ｐ（x ）｝，即竖线“|”的前面是一个字母；而用描述法表示点集的一般格式为｛(x ，y)|Ｐ(x ，y)｝，即“竖线|”的前面是一对有序实数.(2)元素与集合的区别对于任一个字母a ，没有将其写在大括号内或写在封闭的曲线内，则a 表示元素,而｛a ｝表示含有一个元素a 的集合.(3)｛a ，b ｝与｛(a ，b)｝的区别｛a ，b ｝表示双元素集，即含有两个元素a 和b ，而｛（a ，b ）｝表示单元素集，即点集. (4)0与｛0｝、0与、与｛｝的区别0表示一个元素0，｛｝表示含有一个元素0的单元素集,表示空集(不含任何元素的集合)，{}表示含有一个元素的单元素集.2.易错点(1)忽视集合元素的确定性集合元素有三大特征：（1）确定性：对于一个给定的集合，元素或者属于这个集合，或者不属于这个集合，二者只能选其一.同时，一个给定的集合，它的元素所表示的意义是明确的，不能模棱两可.如“漂亮的花”就不能构成一个集合，因为“漂亮的花”没有明确的客观标准，也就难以判断某些对象是否属于这个范畴；（2）互异性：一个集合里的任何两个元素是不相同的，相同的元素在集合中只能算一个元素，如｛x|x 2-2x+1=0｝用列举法只能表示为｛1｝，而不能写成｛1，1｝；（3）无序性：用列举法表示集合时，其元素的排列是不讲次序的，如集合｛1，2，3｝与｛2，1，3｝及｛3，1，2｝均表示同一个集合.随笔： 拖4下列集合表示空集的有( )个 (1)｛y|y 2+1=0｝ (2)｛(x,y)|x 2+y 2=1｝ (3)｛x|ax 2+x+1=0｝ (4)｛x ∈Q|(x 2-3)(x4-16)=0｝ A.1B.2C.3D.4答案: A,只有(1)是空集.【例题3】下列所给对象不能构成集合的是( ) A .平面内的所有点B .平面直角坐标系中第二、四象限角平分线上的所有点C .平方小于1的实数D .高一年级个子高的同学【错解】本题容易错选A.因为不知道是指哪个平面.【易错分析】判断所给对象是否构成集合，其理论依据是集合元素所具有的三大特性：确定性、互异性、无序性.本题选项D.中的对象含糊不清，所谓“个子高”没有明确的客观标准. 【正解】根据集合元素的确定性知选D.(2)忽视集合元素的互异性【例题4】若-3∈｛x-3，2x-1，x2-4｝，求实数x 的值.【错解】依题意有-3=x-3，-3=2x-1或-3=x 2-4,解得x=0，x=-1或x=±1，∴x 的取值为0，-1，1. 【易错分析】利用确定性解出所有的可能值，再要进行检验看是否满足互异性.【正解】依题意有-3=x-3或-3=2x-1或-3=x ２-4,解得x=0，-1，1，经检验当x=-1时，2x-1=-3=x 2-4,不符合集合元素的互异性，故舍去，∴x=0或1.(3)不能正确表示集合,两种表示方法混淆使用【例题5】可以表示方程组 的解集的是( )A.｛x=1，y=2｝B.｛1，2｝C.｛(1，2)｝D.｛(x ，y)|x=1，y=2｝E.｛(x ，y)|x=1且y=2｝ 拖5给出下列５种说法： (1)著名科学家组成一个集合; (2)1,32, 46,|21 |,0.5这些数组成的集合有5个元素; 答案: 中集合只有3个元素,((3)｛0｝是空集;答案: 是含有一个元素0的集合.(4)数轴上离原点很近的点可组成一个集合;(5)集合｛x|x=2k-1,k ∈Z ｝与集合｛y|y=2s+1,s ∈Z ｝表示的是同一集合,其中正确的说法的序号是. 拖6求实数集｛１，a,a 2-a ｝中a 的数值．x+y=3x-y=-1答案: 依集合元素的互异性,有⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠a -a?a 1a -a?1a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠≠±≠≠20251a aa a a 且,故a 的数集是除0、1、2,251±外的一切实数.拖7如图1-1-1(1)和(2)分别给出了集合A 、B,试用除图示法以外的方法给出集合A 、B.答案:图1-1-1(1)给出的集合A 中的元素的共同属性是:它们都是质数,且在小于18的范围内,所以A=｛小于18的质数｝.图1-1-1(2)给出的集合B 是一个无限集,它表示的是大于或等于-1,且小于或等于3的实数,∴B=｛x|-1≤x ≤3｝. F.(x ，y)|⎭⎬⎫⎩⎨⎧==21y x G.｛(x ，y)|(x-1)2+(y-2)2=0｝ 【错解】答案出现A 、B 或D. 【易错分析】方程组的解⎩⎨⎧==21y x 是一个点，因而解集是一个点集，应注意选项的等价性.【正解】应选C 、E 、F 、G.【思路点拨】C 表示的是列举法，F 表示的是描述法，而E 、G 与F 等价.对于D 中的元素有无数个点，表示常函数x=1及常函数y=2两条直线上的所有点.方法技巧1.正确选用集合的表示法集合有三种不同的表示方法，在使用中各有利弊.列举法使人对集合中的元素及其属性一目了然，但有时较繁，对无限集无法使用，有局限性；描述法虽然简捷明了应用范围广，但对其中元素属性的认识还得借助自己的理解，往往容易出错；图示法形象直观，也具有一定的局限性.【例题6】试用适当方法表示下列集合： (1)数轴上与原点的距离小于1的所有点；(2)平面直角坐标系中第二象限角平分线上的所有点； (3)所有非零偶数；(4)所有被3除余数是２的数.【解析】(1)｛x||x|＜1＝；(2)｛(x ，y)|y=-x ，x ＜0＝； (3)｛x|x=2k ，k ∈Z ，k ≠0｝或{x|2x∈Z ，且x ≠0}； (4)｛x|x=3k+2,k ∈Z ｝或｛x|x=3k-1,k ∈Z ｝.【思路点拨】数轴上的点表示的也是数，因而是数集．描述法表示集合有三种语言形式：文字语言、符号语言和图形语言．因而（３）也可表示为｛所有非零偶数｝，这是描述法的文字语言．当用符号不易表示集合元素的公共属性时，可用文字语言描述集合．图1-1-1随笔：拖8已知集合Ａ＝｛小于６的正整数｝，Ｂ＝｛小于１０的质数｝，Ｃ＝｛２４和３６的正公约数｝，用列举法表示集合： （１）Ｍ＝｛x|x ∈A 且x ∈C ｝答案: A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛2,3,5,7｝,C=｛1,2,3,4,6,12｝∵x ∈A 且x ∈C ∴x=1,2,3,4,即M=｛1，2，3，4｝ ∵x ∈B 且xC ∴x=5,7,即N=｛5,7｝.（２）N=｛x|x ∈B 且x C ｝随笔：２．根据“元素在集合中”解题【例题7】已知集合Ａ＝｛－１，２，３，a 2+2a-3,|a+1|｝,其中a ∈Ｒ，（１）若５是Ａ中的一个元素，求a 的值；（２）是否存在实数a ，使得Ａ中的最大元素是１２？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．【解析】（１）若a 2+2a-3＝５，则a 2+2a-８＝０，∴a=2或a=-4；但此时都有|a+1|=3,与集合中元素的互异性相矛盾，∴a ≠2且a ≠-４； 若|a+1|=5,则a=-6或a=4，此时a 2+2a-3=21,符合题意，故所求a 的值为－６或４．（２）若存在这样的实数a,则a 2+2a-3=１２，且|a+1|＜１２或|a+1|＝１２，且a 2+2a-3＜１２，由于|a+1|＝１２时，a 2+2a-3＝（a+1）2-4=140，∴后一种情况不存在，由第一种情况解得a=3或a=-5，即这样的a 值存在，且a=3或a=-5．【思路点拨】利用“元素在集合中”这一概念来确定某些待定系数时，一要进行相应的分类讨论，二要对所求结果进行必要的检验．这是由集合中元素的“三性”所决定的，若一旦忽视，将出现错误．名题活题创新探究 例题分析解答【例题8】已知集合Ａ＝｛x|ax 2+2x+1=0,x ∈R ｝，其中a ∈R. （１）若１是Ａ中的一个元素，用列举法表示Ａ； （２）若Ａ中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合Ｂ； （３）若Ａ中至多有一个元素，试求a 的取值范围．【分析】集合Ａ表示的是方程ax 2+2x+1=0在实数范围内的解集，问题由此转化为方程的有解，求解讨论问题． 拖9已知集合Ａ＝{x|x2+px+q=x},集合Ｂ＝{x|（x －１）2+p （x-1）+q=x+3}，当Ａ＝｛２｝时，求集合Ｂ．答案: ∵A=｛x|x2+px+q=x ｝=｛2｝,∴方程x2+px+q=x 有两相等实根x=2,由根与系数的关系知-(p-1)=2+2q=2×2解得p=-3q=4.∴B=｛x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3｝=｛x|x2-6x+5=0｝=｛1,5｝.随笔：拖10已知集合Ａ＝｛x|ax+b=1｝,B=｛x|ax-b ＞４｝，其中a ≠0,若Ａ中的元素必为Ｂ中的元素，求实数b 的取值范围．答案: ∵A 中的元素是x=1-ab-1,依题意知ab -1∈B ，∴a ·ab -1-b ＞4,即1-2b ＞4，∴b ＜-23. 随笔：【解析】（１）∵１是Ａ的元素，∴1是方程ax 2+2x+1=0的一个根，∴a ·12+2·1+1=0，即a=-3，故方程为－３x 2+2x+1=0，∴x １=1，x ２=-31，此时集合Ａ＝｛-31，１｝； （２）若a=0，方程化为2x+1=0，此时有且仅有一个根x=-21; 若a ≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝４－４a=0，即a=1时，方程有两个相等的实根x １=x ２=-1，此时集合Ａ有且仅有一个元素，由可知Ｂ＝｛０，１｝.（３）集合Ａ中至多有一个元素包括两种情况： Ａ中有且只有一个元素，由(2)知a=0或a=1； Ａ中一个元素也没有，即Ａ＝，此时a ≠0且Δ＝４－４a ＜0,∴a ＞1,由此可知a 的取值范围是：｛a|a ≥1或a=0｝.知识链接集合论起源于康托尔，是从最简单的概念出发，利用纯粹的推理而建立起来的重要数学分支.具有某种属性的事物的全体称为“集合”，组成集合的每个事物称为该集合的元素，研究集合的运算及其性质的数学分支称为“集合论”.康托尔：(1845～1918)德国数学家，集合论创始人，函数三角级数表示惟一性的研究引发他对无穷点集的探索，于1872年提出以柯西序列定义无理数的实数理论，1874年提出集合概念，证明有理数集可列而实数集不可列；1878年建立势(基数)概念，提出连续统假设，指明无穷集自身与真子集间有一一对应.能力达标检测1.下列条件所指的对象能构成集合的是( )Ａ.与2接近的数Ｂ.著名的足球运动员C.大于２而小于３的有理数Ｄ.旦夕祸福与不测风云答案: C 提示:“接近”、“著名”、“旦夕”、“不测”均是模糊概念.２.对于关系①３2｛x|x ≤17｝,②3∈Ｑ，③0∈Ｎ，④0∈，⑤｛π｝与｛3.1415926｝表示同一集合,其中正确的个数是( )个.随笔： A.4B.3C.2D.1答案: C 提示:①中32=18＞17,②中3是无理数,④中没有元素,0,⑤中π是无限不循环小数,故只有①与③正确.3.集合A=｛x ∈R|x 2+x+1=0｝,B=｛x ∈N|x(x 2+6x+10)=0｝,C=｛绝对值小于2的质数｝,D=｛(x,y)|y 2=-x ２,x ∈R,y ∈R ｝其中是空集的有( )个.A.1B.2C.3D.4答案: B 提示：Ａ＝，Ｂ＝｛0｝,C=,D=｛(0,0)｝.4.下列表示同一个集合的是( ).A.M=｛(1，2)｝，N=｛(2，1)｝B.M=｛1，2｝，N=｛2，1｝C.M=｛y|y=x-1,x ∈R ｝,N=｛y|y=x-1,x ∈N ｝D.M=(x ，y)21--x y =1，N=｛(x ，y)|y-1=x-2｝ 答案: B 提示：A 中M 、N 都是点集,但是不同的点;C 中M=R,N=｛-1,0,1,2,…｝;D 中M=｛(x,y)|y-1=x-2且x ≠2｝即(2,1)M,但(2,1)∈N.5.设三角形三边长分别为a ，b ，c ，若它们能构成集合A=｛a ，b ，c ｝，则此三角形一定不是( ). A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案: D 提示：由集合元素的互异性知a 、b 、c 两两不等．6.由实数x ，-x ，|x|，2x ，33x -所组成的集合中，最多含有( )个元素.A.2B.3C.4D.5答案: A 提示：2x =|x|=()()00<-≥x x x x ,33x-=-x 当x=0时只有一个元素０，当x ≠0时，只有x 与-x ，故最多含２个元素．7.集合A=｛一条边为1,一个角为40°的等腰三角形｝中的元素个数为( ). A.2B.3C.4D.无数个答案: C 提示：分四种情况：(1)底边为1,顶角为40°;(2)底边为1,底角为40°;(3)腰为1,顶角为40°;(4)腰为1,底角为40°,故选C.8.已知集合Ｍ＝｛(x,y)|x+y=2｝,N=｛(x,y)|x-y=4｝,那么，集合｛x|x ∈M 且x ∈N ｝为( ). A.x=3,y=-1B.(3,-1)C.｛3,-1｝D.｛(3,-1)｝答案: D 提示：方程组的解集是点集.９.设a,b,c 为非零实数,则A=||||||||abc abc c c b b a a +++的所有值组成的集合为( ). A.｛4｝B.｛-4｝C.｛0｝D.｛0,-4,4｝答案: D 提示：按a 、b 、c 的正负分类讨论.10.集合｛3,49,37,25 ,…｝可表示为( ). A.｛x|x=nn 212+,n ∈N*｝B.｛x|x=n n 32+,n ∈N*｝C.｛x|x=n n 12-,n ∈N*｝D.｛x|x=nn 12+,n ∈N*｝答案: D 提示：取n=1,2,3进行排除.11.集合A=｛(x,y)|y=-1+x-2x2,x ∈R,x ≠0｝，若点P 的坐标(x,y)∈A,则( ). A.P 在第一象限或第二象限B.P 在第三象限或第四象限 C.P 在第一象限或第四象限D.P 在第二象限或第三象限答案: B 提示：y=-1+x-2x 2=-2(x 2-x 21+161)-87=-2(x-41)2-87≤-87,其图像落在第三、四象限.12.集合Ａ＝｛x|x=2k,k ∈Z ｝，Ｂ＝｛x|x=2k+1,k ∈Z ｝,C=｛x|x=4k+1,k ∈Z ｝,又a ∈A,b ∈B,则有( ). Ａ.a+b ∈AB.a+b ∈B C.a+b ∈CD.a+bA 、B 、C 中任何一个答案: B 提示：A 表示偶数集,B 表示奇数集,C 表示被4整除余数为1的集合,奇数与偶数之和必为奇数.13.集合｛2x,-x+x 2｝中x 的取值范围为.答案: x ≠0且x ≠3提示：由集合元素的互异性知2x ≠-x+x2.14.设M=｛x ∈Z|x-512∈N ｝,用列举法表示集合M=. 答案: ｛-7,-1,1,2,3,4｝提示：由x-512∈N 知5-x=1,2,3,4,6,12.15.定义A-B=｛x|x ∈A 且xB ｝,若M=｛1,2,3,4,5｝,N=｛2,3,6｝,则N-M=.答案: ｛6｝提示:在N 中排除又属于M 中的元素2、3,故只剩下6.16.n 是正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数与合数的个数相等,这样的n 称为“怪异数”,则“怪异数”的集合是.答案: ｛1,9,11,13｝提示:当n=1时,质数与合数的个数都为0;当n ≥3时,每增加一个质数至少增加一个合数;当n=9时,质数与合数的个数都为4;当n=11时,质数与合数的个数都为5;当n=13时,质数与合数的个数都为6;当n=17时,合数增加了14、15、16三个数,即合数有9个,而质数只增加1个;当n ＞17时，每增加１个质数必至少增加１个合数，所以质数与合数个数不会相等．故“怪异数”为1,9,11,13. １７.已知｛x|x2+ax+b=0｝=｛3｝,求a ２+b ２+ab 的值.答案: ∵｛x|x 2+ax+b=0｝=｛3｝,∴3是方程x 2+ax+b=0的相等实根,由根与系数的关系知-a=3+3,b=3×3,解得a=-6,b=9,∴a 2+b 2+ab=36+81-54=63.１８.设A=｛(x,y)|21x y - =1｝,B=｛(x,y)|y=1-x ２｝,若集合C=｛(x,y)|(x,y)∈B 且（x,y ）A ｝，用列举法表示C.答案: 依题意知B 是抛物线y=-x 2+1上所有点的集合,而A 是抛物线y=-x 2+1上除去点(-1,0),(1,0)外的所有点的集合,故C=｛(-1,0),(1,0)｝.19.已知集合A=｛x|mx ２-3x+2=0,m ∈R ｝,(1)若A=,求m 的取值范围;(2)若A 中至多有一个元素,求m 的范围.答案: (1)若A=,即方程mx2-3x+2=0无解,∴Δ=9-8m ＜0,即m ＞89. (2)A 至多有一个元素,包括A 为空集和A 中只有一个元素两种情况,若A=,3x+2=0,即x=32,当m ≠0时,方程mx 2-3x+2=0有两相等实根,∴Δ＝0m=89综合可知m ≥89或m ＝0. 20.已知A=｛a-3,2a-1,a ２+1｝,其中a ∈R,(1)若-3∈A,求实数a 的值;(2)当a 为何值时,集合A 的表示不正确?答案: (1)由-3∈A 知a-3=-3或2a-1=-3或a 2+1=-3∴a=0或a=-1,经检验可知a=0或a=-1均可.(2)要使A 的表示不正确,则a-3=2a-1或a-3=a 2+1或2a-1=a 2+1或2a-1=a 2+1=a-3,分别解得a=-2或a 2-a+4=0或a 2-2a+2=0,而a 2-a+4=0和a 2-2a+2=0均无解,故a=-2.21.设集合A=｛x|x=m 2+n 2,m,n ∈Z ｝,若a,b ∈A,证明:①ab ∈A ②ba＝p 2+q 2,其中b ≠0,p 、q ∈Q. 答案: ①∵a,b ∈A,∴可设a=m 21+n 21,b=m 22+n 22,其中m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴ab=(m 21+n 21)(m 22+n 22)=(m 1m 2)2+(n 1n 2)2+(m 1n 2)2+(m 2n 1)2=(m 1m 2+n 1n 2)2+(m 1n 2-m 2n 1)2∵m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴m 1m 2+n 1n 2,m 1n 2-m 2n 1∈Z,∴ab ∈A. ②由①知a,b ∈A,∴ab=m 2+n 2,m 、n ∈Z∴222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==b n b m b n m b ab b a ,∵b ∈A,∴b ∈Z,∴b n b m ⋅∈Q 令p=bm ,q=b n ,∴p,q ∈Q,∴ba=p 2+q 2,b ≠0,p,q ∈Q.22.集合A=｛x|x=3n+1,n ∈Z ｝,B=｛x|x=3n+2,n ∈Z ｝,C=｛x|x=6n+3,n ∈Z ｝,(1)若c ∈C,求证：必有a ∈A,b ∈B 使c=a+b;(2)对任意的a ∈A,b ∈B,是否一定有a+b ∈C ？证明你的结论.答案: (1)设a=3m+1,b=3n+2,m,n ∈Z,则a+b=3(m+n)+3,显然当m+n=2k,k ∈Z 时,a+b=6k+3∈C,令a+b=c ∈C,则a=3m+1,b=3n+2时c ∈C. (2)由(1)可知,当m+n 为偶数时,a+b ∈C,当m+n 为奇数时,a+b=3(2k －1)+3=6k C,可见对任意的a ∈A,b ∈B,不一定有a+b ∈C.参考答案【一拖二】1.(1)｛0,2,4,6,8,10｝，有限集;(2)｛x ∈N|x ＞10｝，无限集；(3)｛-2,2｝,有限集;(4)｛1,2｝,有限集. 2.(1)｛x ∈Z|-2＜x ＜3＝;(2)由于16-x ∈N*,故x-1必为6的正约数,∴x-1=1或2或3或6,从而x=2或3或4或7,∴｛2,3,4,7｝;(3){-1, 32}. 3.A 与B 均表示数集,其中A=R,B=｛y|y ≥-1｝即B 表示不小于-1的所有实数,而C 表示抛物线y=x 2-1上的点的集合. 4.A,只有(1)是空集.5.(5).其中(1)中“著名”和(4)中“很近”均是模糊概念,没有明确标准,(2)中集合只有3个元素,(3)是含有一个元素0的集合.6.依集合元素的互异性,有⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠a -a a 1a -a 1a 2解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠≠±≠≠20251a aa a a 且,故a 的数集是除0、1、2,251±外的一切实数.7.图1-1-1(1)给出的集合A 中的元素的共同属性是:它们都是质数,且在小于18的范围内,所以A=｛小于18的质数｝. 图1-1-1(2)给出的集合B 是一个无限集,它表示的是大于或等于-1,且小于或等于3的实数,∴B=｛x|-1≤x ≤3｝. 8.A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛2,3,5,7｝,C=｛1,2,3,4,6,12｝ ∵x ∈A 且x ∈C ∴x=1,2,3,4,即M=｛1，2，3，4｝ ∵x ∈B 且xC ∴x=5,7,即N=｛5,7｝.9.∵A=｛x|x2+px+q=x ｝=｛2｝,∴方程x2+px+q=x 有两相等实根x=2,由根与系数的关系知-(p-1)=2+2q=2×2解得p=-3q=4. ∴B=｛x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3｝=｛x|x2-6x+5=0｝=｛1,5｝. 10.∵A 中的元素是x=1-ab-1,依题意知ab -1∈B ，∴a ·ab -1-b ＞4,即1-2b ＞4，∴b ＜-23. 【能力达标检测】1.C 提示:“接近”、“著名”、“旦夕”、“不测”均是模糊概念.2.C 提示:①中32=18＞17,②中3是无理数,④中没有元素,0,⑤中π是无限不循环小数,故只有①与③正确.3.B 提示：Ａ＝，Ｂ＝｛0｝,C=,D=｛(0,0)｝.4.B 提示：A 中M 、N 都是点集,但是不同的点;C 中M=R,N=｛-1,0,1,2,…｝;D 中M=｛(x,y)|y-1=x-2且x ≠2｝即(2,1)M,但(2,1)∈N.5.D 提示：由集合元素的互异性知a 、b 、c 两两不等．6.A 提示：2x =|x|=()()00<-≥x x x x ,33x-=-x ,当x=0时只有一个元素０，当x ≠0时，只有x 与-x ，故最多含２个元素．7.C 提示：分四种情况：(1)底边为1,顶角为40°;(2)底边为1,底角为40°;(3)腰为1,顶角为40°;(4)腰为1,底角为40°,故选C. 8.D 提示：方程组的解集是点集. 9.D 提示：按a 、b 、c 的正负分类讨论. 10.D 提示：取n=1,2,3进行排除. 11.B 提示：y=-1+x-2x 2=-2(x 2-x 21+161)-87=-2(x-41)2-87≤-87,其图像落在第三、四象限.12.B 提示：A 表示偶数集,B 表示奇数集,C 表示被4整除余数为1的集合,奇数与偶数之和必为奇数. 13.x ≠0且x ≠3提示：由集合元素的互异性知2x ≠-x+x 2. 14.｛-7,-1,1,2,3,4｝提示：由x-512∈N 知5-x=1,2,3,4,6,12. 15.｛6｝提示:在N 中排除又属于M 中的元素2、3,故只剩下6.16.｛1,9,11,13｝提示:当n=1时,质数与合数的个数都为0;当n ≥3时,每增加一个质数至少增加一个合数;当n=9时,质数与合数的个数都为4;当n=11时,质数与合数的个数都为5;当n=13时,质数与合数的个数都为6;当n=17时,合数增加了14、15、16三个数,即合数有9个,而质数只增加1个;当n ＞17时，每增加１个质数必至少增加１个合数，所以质数与合数个数不会相等．故“怪异数”为1,9,11,13.17.∵｛x|x 2+ax+b=0｝=｛3｝,∴3是方程x 2+ax+b=0的相等实根,由根与系数的关系知-a=3+3,b=3×3,解得a=-6,b=9,∴a 2+b 2+ab=36+81-54=63. 18.依题意知B 是抛物线y=-x 2+1上所有点的集合,而A 是抛物线y=-x 2+1上除去点(-1,0),(1,0)外的所有点的集合,故C=｛(-1,0),(1,0)｝. 19.(1)若A=,即方程mx2-3x+2=0无解,∴Δ=9-8m ＜0,即m ＞89. (2)A 至多有一个元素,包括A 为空集和A 中只有一个元素两种情况,若A=,3x+2=0,即x=32,当m ≠0时,方程mx 2-3x+2=0有两相等实根,∴Δ＝0m=89综合可知m ≥89或m ＝0. 20.(1)由-3∈A 知a-3=-3或2a-1=-3或a 2+1=-3∴a=0或a=-1,经检验可知a=0或a=-1均可.(2)要使A 的表示不正确,则a-3=2a-1或a-3=a 2+1或2a-1=a 2+1或2a-1=a 2+1=a-3,分别解得a=-2或a 2-a+4=0或a 2-2a+2=0,而a 2-a+4=0和a 2-2a+2=0均无解,故a=-2.21.①∵a,b ∈A,∴可设a=m 21+n 21,b=m 22+n 22,其中m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴ab=(m 21+n 21)(m 22+n 22)=(m 1m 2)2+(n 1n 2)2+(m 1n 2)2+(m 2n 1)2=(m 1m 2+n 1n 2)2+(m 1n 2-m 2n 1)2∵m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴m 1m 2+n 1n 2,m 1n 2-m 2n 1∈Z,∴ab ∈A. ②由①知a,b ∈A,∴ab=m 2+n 2,m 、n ∈Z∴222222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==b n b m b n m b ab b a ,∵b ∈A,∴b ∈Z,∴b n b m ⋅∈Q 令p=bm ,q=bn,∴p,q ∈Q,∴a 〖〗b=p 2+q 2,b ≠0,p,q ∈Q. 22.(1)设a=3m+1,b=3n+2,m,n ∈Z,则a+b=3(m+n)+3,显然当m+n=2k,k ∈Z 时,a+b=6k+3∈C,令a+b=c ∈C,则a=3m+1,b=3n+2时c ∈C. (2)由(1)可知,当m+n 为偶数时,a+b ∈C,当m+n 为奇数时,a+b=3(2k －1)+3=6k C,可见对任意的a ∈A,b ∈B,不一定有a+b ∈C.【课本习题】 练习P5 (略)1∈N ，0∈N ，-3N ，0.5N ，2N ； 1∈Z ，0∈Z ；-3∈Z ；0.5Q ，2Z ； 1∈Q ，0∈Q ，-3∈Q ，0.5∈Q ，2Q ；1∈R ，0∈R ，-3∈R ；0.5∈R ，2∈R.练习P6页(1)｛x ∈N|x ＞10｝，无限集；(2)｛1，2，3，6｝，有限集； (3)｛-2，2｝，有限集；(4)｛2，3，5，7｝，有限集.(1)｛x|x 是4与6的公倍数｝，无限集；(2)｛x|x=2n ，n ∈N*｝，无限集； (3)｛x|x2-2=0｝，有限集；(4)x|x ＜11〖〗4，无限集. 习题1.1 1.(1)；(2)；(3)∈；(4).2.(1)｛红，黄｝，有限集；(2)｛珠穆朗玛峰｝，有限集；(3)｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213，231，312，321｝，有限集； (4)｛P|PO=l ｝(O 是定点，l 是定长)，无限集. 3.(1)｛x|(x-1)(x-5)=0｝；(2)-1-5〖〗2，-1+5〖〗2； (3)｛x|x 是大于1且小于9的偶数｝；(4)｛4，5，6｝.§1.2子集、全集、补集预备知识1.集合的概念：某些指定的对象集在一起组成一个集合.2.集合的表示法：列举法和描述法.课本知识导学运用 课本知识诠解 重要提示１.子集的概念一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A B（或B A）.当集合Ａ不包含于集合Ｂ，或集合Ｂ不包含集合Ａ时，记作A B(或B A).２.集合相等一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B.３.真子集对于两个集合Ａ与Ｂ，如果A B，并且A≠B，我们说集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）.用图形语言可表示为:图1-2-11.子集的概念用数学符号表示为“ＡB若a∈A,则a∈B”.也可用,也可以用；也可用,也可用.2.用数学符号表示集合相等的概念为“A=B若a∈A，则a∈B；且若a∈B，则a∈A”A B且B A.Ａ是Ｂ的真子集用符号语言表示为“ＡＢk若a∈A，则a∈B，且至少存在一个元素b∈B，但b A”．4.当Ａ＝时，Ａ的表示是错误的．5.A在Ｓ中的补集ＣＳＡ可用图表示为：４.子集与真子集的相关结论(1)任何集合是它本身的子集.故有，A，A A成立;(2)空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.(3)集合与集合间的包含关系与相等关系满足传递性,即:若A B,B C,则A C;若A B,B C,则A C;若A＝B,B＝C,则A＝C.5.全集与补集的概念(1)全集:如果一个集合中含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.全集通常用U来表示.(2)补集:一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即A S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作CSA,即CSA=｛x|x∈S,且x A｝.(3)补集的特殊性质：CSS=，CS=S，CS（CSA）=A.基础例题点拨【例题1】写出集合｛a,b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.【解析】集合｛a,b｝的所有子集是，｛a｝,｛b｝,｛a,b｝,其中，｛a｝,｛b｝是｛a,b｝的真子集.【思路点拨】若集合A有n个元素,则它的子集有2n个,真子集个数有2n-1个(即去掉与集合A本身相等的那一个).写出子集时,可通过含有0个元素(即空集),1个元素,2个元素,…n个元素的子集依次写出.【例题2】填空:(1)如果全集U=Z,那么N的补集C U N=;图1-2-2随笔：随笔：拖1写出符合条件{1}A{1，2，3，4}的所有集合A。

第一章集合与简易逻辑【知识网络】【学法点拨】集合与简易逻辑是近代数学中最基本、应用非常广泛的基础知识，是研究数学问题、进行数学思维的基本工具．集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支，有关简易逻辑常识与原理无不贯穿在数学的分析推理、计算与探索之中．复习巩固有关知识，对于提升数学语言素养，增强解决数学问题能力、提高思维能力等都会产生一定的影响，同时也为今后进一步学习高等数学打好基础．解决集合问题时一要注意吃透概念，准确表示，善于推理判断，并留心元素互异性的特征的利用、所给集合能否为空集的讨论、所求特定系数的取舍；二要注意集合与函数、方程、不等式、三角、解几、立几等知识的密切联系与综合应用；三要注意灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合、补集法等思想方法解题．在面临与命题相关的具体问题中，应结合语境仔细阅读、推敲，反复咀嚼有关逻辑联结词．为了加深对于逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义的理解，可联系集合运算中的“交”、“并”、“补”对应地理解．尤其应注意，对逻辑联结词“或”的理解是难点；在研究四种命题及其相互关系时，应注意逆命题、否命题、逆否命题都是相对于原命题而言的．另应注意区分“否命题”与“命题的否定”的不同含义：前者是同时否定条件和结论，而后者只否定结论；反证法是一种重要的证题方法，其理论基础是互为逆否命题的等价性，证明步骤应分为三步：反设、归谬、结论．具体证题时，应注意书写的规范性、步骤的完整性以及导出矛盾时推理的严密性；判断条件的充要关系时，究竟是充分非必要条件，还是必要非充分条件？还是既充分又必要条件？还是非充分又非必要条件？应当判断到位．在寻求充要条件或证明充要性命题时，应准确运用相关概念，防止误把“充分”当“必要”，或把“必要”当“充分”．第1课 集合的概念【考点指津】理解集合、子集、全集、交集、并集、补集等基本概念的内涵，了解属于、包含、相等关系的意义；正确识别与使用集合的有关术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【知识在线】 １．设集合A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==N m x x m ,21|，若,,21A x A x ∈∈则必有 （ ）A ．A x x ∈+21B ．A x x ∈21C ．A x x ∈-21D ．A x x ∈21２．给出6个关系式：（1）0∈∅，（2）∅∈{∅}，（3）{}0φ，（4）{}φφ≠，（5）φ{}φ，（6）{}0φ≠.其中正确的个数是 （ ）A ．6B ． 5C ． 4D ． 33．设Ｓ为全集，,B A S ⊆⊆则下列结论中不正确的是 （ ）Ａ．S S A B ⊆痧 Ｂ．A B B = Ｃ．()S A B =∅ ð Ｄ．()S A B =∅ ð 4．已知集合A=},21|{+≤≤-a x a x B=},53|{<<x x 则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是5．满足{1,2}X ⊆ {1,2,3,4,的集合X 的个数为 ．【讲练平台】例１．（2002年全国高考）设集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则 （ ） A ．M ＝N B 。

《人教A版必修一知识点汇总》第1章《集合与常用逻辑用语》知识点汇总1.1 《集合的概念》1.集合的概念一般地，由某些确定的对象组成的整体就称为集合，简称为集.组成这个集合的对象称为这个集合的元素。

注:集合通常用大写字母表示，如A,B,C…元素通常用小写字母表示，如a,b,c…2.集合与元素之间的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a ∈ A,读作“a属于A”;（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A,读作“a不属于A”;3.集合中元素的三种特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了（即x∈A与x∉A必居其一.）（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同.（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置.4.集合的分类根据集合所含有元素的个数，将集合分为：（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合；（3）空集：特别的，把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅.5.常用的数集例如1∈N，−5∈Z,π∉ Q6. 用列举法表示集合当集合中元素的个数为有限个（或无限个但呈现出某种规律）时，可以把集合中所有的元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用大括号“｛｝”把它们括起来，这种表示集合的方法就称为列举法。

例1小于6的所有正整数组成的集合A用列举法可以表示为A=｛1,2,3,4,5｝.7.用描述法表示集合当集合的元素是无穷多个时，我们可以利用元素的特征性质来表示集合，这种表示集合的方法就叫做描述法.注：用描述法表示集合时，在大括号｛｝中画一条竖线（分隔符），竖线的左侧表示的是组成集合的元素，竖线的右侧是元素所具有的特征性质（或元素满足的条件）.解：小于1的所有整数组成的集合A用描述法表示为A=｛x ∣ x＜1,且 x∈Z ｝1.2集合间的基本关系1.子集与包含关系（1）定义像上面这样，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，并称集合A为B的子集．记作：A⊆B(或者B⊇A)，读作：A包含于B（或B包含A）.规定：空集是任何集合的子集，即 ∅⊆A.（2）用Venn图表示集合与集合之间的关系例如集合A=｛1,2,3｝与B=｛1,2,3,4,5｝的关系为A⊆B，用Venn图表示为（3）非子集与不包含关系如果集合A不是集合B的子集，记作A⊈B或B⊉A,读作“A不包含于B“（或B不包含A）.例如：集合C=｛2,3｝，集合D=｛2,4,5｝，则集合C不是集合D的子集，即C⊈D.2.集合与集合相等若集合A和集合B的元素完全相同：即A的每个元素都是B的元素，而B的每个元素也都是A的元素，那么就说A和B相等，记作“A=B”例如A={1，2，3} 与B={3 , 1 , 2}，则A=B.3.真子集与真包含于一般的，若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则A叫做B的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)，读作A真包含于B（或B真包含A）注：空集是任何非空集合的真子集例如A={1，3}与B={1, 3，5}，则A⫋B（即A是B的真子集）.1.3《集合的基本运算》1.交集的概念及其运算（1）定义一般地,对于给定的集合A与集合B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作A∩B.读作“A交B”.即 A∩B={ x | x∈A 且 x∈B }.（2）实例运用例1设集合A={2,4,6}, 集合B={0,1,2},则A∩B={2}．例2 设集合A={x | −2<x≤1}，集合B ={x|−1≤x < 3}，则Ａ∩B={x |−1≤x ≤1}．2.并集的概念及其运算（1）定义一般地,对于给定的集合A与集合B,由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集,记作A∪B.读作“A并B”.即A∪B={x|x∈A或x∈B}.（2）实例运用例1 设集合A={1,3,5,7}, 集合B={0,2,3,4,6},则A∪B={0,1,2,3,4,5,6,7}．例2 设集合A={x |−1<x≤2}, 集合B={x |0<x≤3}，则 A∪B={x |−1<x≤3}.3.补集的概念及其运算（1）定义一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作C U A，即C U A={ x | x∈U且x∉A }（2）实例运用例1设全集U={x∈N|x＜7}，集合A={1,2,4,6},则C U A={0,3,5}．例2设全集U= R，集合A={x|−2≤x＜1}，则CA={ x | x＜−2或 x≥1 }．U1.4充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件（1）定义一般地，“若p, 则q”为真命题，即由“条件p 可以推出条件 q ”，记作：p⇒ q那么就称：“p 是 q 的充分条件， q 是p的必要条件”注：如果“若p, 则 q ”为假命题，即由“条件p不能推出条件 q ”，记作： p⇏ q那么就称：“p不是 q 的充分条件， q 不是p的必要条件”（2）实例运用例1若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；解析：设题设“四边形的两组对角分别相等”为p，结论“这个四边形是平行四边形”为 q∵ p ⇒ q∴p是 q的充分条件, q是p的必要条件例2若x2=1，则x = 1；解：设题设“x2=1”为 p ，结论“x = 1”为 q∵由x2=1可得x=1或x=−1∴p ⇏ q故p不是q的充分条件,q不是p的必要条件2.充要条件（1）定义一般地，如果 p ⇔ q （即情况1：原真逆真）我们就称 p 是 q 的充分必要条件，简称为“ 充要条件”.注1（情况2：原真逆假）如果 p ⇒ q ，且 q ⇏p , 我们就称 p是 q 的充分而不必要条件；注2（情况3：原假逆真）如果 p ⇏ q ，且 q ⇒p , 我们就称 p是 q 的必要而不充分条件；注3（情况4：原假逆假）如果 p ⇏ q ，且 q ⇏p , 我们就称 p是 q 的既不充分也不必要条件；（2）实例运用例1 p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；解：①原命题：“若p，则q”∵ 已知两个三角形相似∴ 两个三角形三边成比例即 p ⇒ q （相似三角形的性质）∴ p是q的充分条件②逆命题：“若 q ，则 p ”∵ 已知两个三角形三边成比例∴ 两个三角形相似即 q ⇒ p （三边定理）∴ p 是 q 的必要条件.综上所述，∵ p ⇔ q，即原真逆真，∴ p 是 q 的充要条件例2 p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；解：①原命题：“若 p ，则 q ”∵ 已知四边形是正方形∴ 四边形的对角线互相垂直且平分即 p ⇒ q∴ p 是 q 的充分条件②逆命题：“若 q ，则 p ”∵ 已知四边形的对角线互相垂直且平分∴ 四边形是菱形,即 q ⇏ p∴ p 不是 q 的必要条件综上所述，∵ 原真逆假，∴ p 是 q 的充分而不必要条件1.5 全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题一变：∀ （任意）变 ∃（存在） 二变：结论 p(x) 变 它的反面 ¬p(x) 像上面这样，短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示；含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.例如，命题“对任意的n ∈Z,2n +1 是奇数”；“所有的正方形都是矩形” 等都是全称量词命题注：通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，g(x)，r(x)，… 表示，变量x 的取值范围用 M 表示 那么，全称量词命题“对 M 中任意一个 x ， p(x)成立”可用符号简记为：∀x ∈M ,p(x)2.存在量词与存在量词命题像上面这样，短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃ ”表示；含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.例如，命题“有的平行四边形是菱形”；“有一个素数不是奇数” 等都是存在量词命题注：通常，将含有变量 x 的语句用 p(x)，g(x)，r(x)，… 表示，变量x 的取值范围用 M 表示 那么，存在量词命题“存在M 中的元素 x ， p(x)成立”可用符号简记为：∃ x ∈M ,p(x)3. 全称量词的否定（1）概念一般地，对于全称量词命题：∀x ∈M , p(x)它的否定为：∃x ∈M , ¬p(x)注1：符号 “ ¬p(x) ” 表示 “ p(x) 的反面 ”注2：全称量词命题的否定是存在量词命题（2）实例运用例1所有能被3整除的整数都是奇数；解：原全称量词命题的否定为：“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数”一变：∃ （存在）变 ∀（任意） 例2对 ∀ x ∈R , x 2≥0 ;解：原全称量词命题的否定为:“ ∃ x ∈R ,x 2<0 ”4.存在量词命题的否定（1）概念一般地，对于存在量词命题：∃ x ∈M , p(x)它的否定为：∀x ∈M , ¬p(x)注1：符号 “ ¬p(x) ” 表示 “ p(x) 的反面 ” 注2：存在量词命题的否定是全称量词命题（2）实例运用例1 ∃x ∈R,x +2 ≤ 0 ;解：原存在量词命题的否定为“ ∀x ∈R,x +2 > 0” 例2 有的三角形是等边三角形；解：原存在量词命题的否定为“ 所有的三角形都不是等边三角形 ”二变：结论 p(x) 变它的反面 ¬p(x)。

高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

第一章 集合与简易逻辑∮1.1集合的概念与运算一、复习目标 理解集合，子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义。

通过掌握有关术语和符号，能够正确表示一些较简单的集合。

理解并掌握集合，交、并、补的运算法则。

能够运用集合语言与集合思想解决有关问题。

二、考向指导1、考查对集合概念的认识和理解水平，如对集合中涉及的特定字母和符号、元素与集合间的关系，集合与集合间的关系，主要表现在对集合的识别和表述上。

2、考查对集合知识应用的水平。

集合知识的应用主要是和数学上其他知识的综合应用，题目多数是一个固定的集合和非固定的集合满足某种集合间的运算关系，要明确不固定集合中的参数的值。

三、重点1、 理解集合中的有关概念，掌握集合的表示方法和有关术语和符号。

2、 熟练进行集合的交、并、补运算。

四、知识要点1、集合的有关概念 （1）集合（2）构成集合的两个必要条件： （3）集合内元素的三特征。

（4）集合的分类 （5）集合的表示方法 （6）元素与集合的关系（7）集合中的关系：子集、真子集、相等集的概念 2、集合的运算（1）交集的定义：},|{B x A x x B A ∈∈=且交集的运算性质 ,,,A B B A A B A A B B A ϕ=⊆⊆=∅ A B A B A =⇔⊆ （2）并集的定义：{|,}A B x x A x B =∈∈ 或并集的运算性质：,,,,B B A B A A A B B A B A A =⇔⊆=⊇⊆ φ （3）补集的定义，已知全集 ，集合 ⊆A ，},|{A x x x A C ∉∈⋅=且补集的运算性质φφ===A C A C A A C C ,,)(，A C A = ，)()()(B C A C B A C =，)()()(B C A C B A C =（4）两个公式：1° 有n 个元素的集合的子集个数为2n 个。

2° 对任意两个有限集合A ，B ，有)()()()(B A card B card A card B A card -+=。

集合与简易逻辑知识点总结集合与简易逻辑集合是由一些指定的对象组成的集合体。

集合中的每一个对象都被称为该集合的元素。

元素与集合的关系可以表示为a∈A或a∉A。

集合常用的表示方法有列举法和描述法。

集合元素的特征包括确定性、互异性和无序性。

常用的数集及其代号有非负整数集或自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q和实数集R。

子集是指集合A的所有元素都是集合B的元素，记为A⊆B。

真子集是指A⊆B且A≠B，记为A⊂B。

空集是任何集合的子集，但是是非空集合的真子集。

如果集合A中有n个元素，则A的子集个数为2^n个，真子集个数为2^n-1个。

补集是指由集合S中不属于集合A的所有元素组成的集合，记为S的子集A的补集，即C_s A={x|x∈S且x∉A}。

全集是指包含我们所要研究的各个集合的集合，通常记作U。

交集是指由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，记作A∩B。

并集是指由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合，记作A∪B。

记住两个常见的结论：A∩B=A⇔A⊆B；A∪B=A⇔B⊆A。

命题是可以判断真假的语句。

全称命题和特称命题是两种命题形式。

全称命题使用“∀”表示，“∀x∈M，p(x)”表示“对于集合M中的任意一个元素x，p(x)成立”。

全称命题的否定使用“∃”表示，“∃x∈M，¬p(x)”表示“存在集合M中的一个元素x，使得p(x)不成立”。

特称命题和特称命题的否定使用同样的符号表示。

逻辑联结词包括“或”、“且”、“非”，不含有逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

在“或”、“且”、“非”的真值判断中，非p与p真假相反；“p且q”：同真才真，一假即假；“p或q”：同假才假，一真即真。

命题的四种形式包括原命题、逆命题、反命题和对偶命题。

原命题“若P则Q”表示如果P成立，那么Q也成立。

逆命题是一种逻辑推理关系，表述为“若q，则p”。

否命题是另一种逻辑推理关系，表述为“若非p，则非q”。

1.1 集 合〖考纲要求〗理解集合、子集的概念，了解空集、属于、包含、相等的意义. 〖复习要求〗掌握子集的概念，正确使用符号：∈，∉，⊆，⊂，≠，Γ ，H 等〖复习建议〗集合是高考必考内容，一般考查两方面：集合自身的知识与集合语言与集合思想的应用。

复习时要抓住元素这个关键，遇到集合问题，首先要弄清集合里的元素是什么。

注意区别：a 与{a }；{a ，b }与{(a ，b )}，φ与{φ}〖双基回顾〗集合元素具有的三大特征是： 、 、 ；集合的表示方法： 、 、 ；集合的分类：有限集与无限集。

元素与集合只有两种关系： 、 ；子集的定义与集合的相等： n 元集合子集的个数= ；全集的意义；交集、并集、补集的定义与运算 提示：“和”、“或”、“且”体现在集合的运算中应该是 .一、知识点训练：1、用适当符号填空：0 {0，1}；{a ，b } {b ，a }；0 φ；{3＋17} {x |x ＞6＋3}2、用列举法表示{y |y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}= .{(x ,y )|y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}= . 3、M ={x |x 2＋2x －a =0，x ∈R}≠φ，则实数a 的取值范围是……………………………………（ ） (A )a ≤－1 (B ) a ≤1 (C ) a ≥－1 (D ) a ≥1. 4、已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}，B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q = . 5、已知集合A ={x |－1≤x ≤2}，B ={x |x ＜a }，如果A ∩B =A ，那么a 的取值范围是 . 6、已知集合A ={x |x ≤2}，B ={x |x ＞a }，如果A ∪B =R ，那么a 的取值范围是 .二、典型例题分析：1、如果a ∈A 则a-11∈A（1）当2∈A 时，求A （2）如果A 是单元素集，求A .2、A ={x |x =y 2－2y －8}，B ={y |y =－x 2＋2x ＋3}，求A ∩B .3、已知A ={x |x 2－a x ＋a 2－19=0}，B ={x |log 2(x 2－5x ＋8)=1},C ={x |12822=-+x x }，且A ∩B H Φ，A∩C =Φ，求实数a 及集合A .4、已知集合A ={x |x ≥|x 2－2x |}，B ={x ||1|1xx x x -≥-}，C ={x |a x 2＋x ＋b ＜0}，如果（A ∪B ）∩C =φ，A ∪B ∪C =R ，求实数a 、b 的值.*5、S =[－1，a ]，A ={y |y =x ＋1，x ∈S }，B ={z|z=x 2，x ∈S }，如果A =B ，求a 的值.*6、设f （x ）=x 2＋p x ＋q ，A ={x |f （x ）=x ，x ∈R}，B ={x |f (x －1)=x ＋1，x ∈R},C ={x |f (f (x ))=x }. （1）如果A ={2}，求B .（2）如果证明A 是C 的子集三、课堂练习：1、如果{x |x 2－3x ＋2=0}⊇{x |a x －2=0}，那么所有a 值构成的集合是 .2、A ={x |x =a 2＋1，a ∈Z}，B ={y |y =b 2－4b ＋5，b ∈Z}，则A 、B 的关系是 .3、满足{0，1}ΓM ⊆{0，1，3，5，6}的集合M 的个数为 .4、设集合A ={x |10＋3x －x 2≥0}，B ={x |x 2＋a ＜0}，如果B ⊆A ，那么实数a 的取值范围是 .四、课堂小结：1、学习集合，关键在搞清集合中元素的构成.2、掌握元素互异性在集合中的应用.3、能利用集合中元素满足的条件进行解题.五、能力测试： 姓名 得分 .1、全集I={x |x ≤4，x ∈N *}，A ={1，2，3}，A ∩B ={2，3}，那么B =…………………………（ ） (A ){2，3} (B ) {2，3}或者{2，3，4} (C ){1，4} (D ) {1，4}或者{1}2、集合A ={3－2x ，1，3}，B ={1，x 2}，并且A ∪B =A ，那么满足条件的实数x 个数有………（ ） (A )1 (B ) 2 (C )3 (D ) 43、三个集合A 、B 、C 满足A ∩B =C ，B ∩C =A ，那么有…………………………………………（ ） (A )A =B =C (B ) A ⊆B (C )A =C ，A ≠B (D ) A =C ⊆B4、已知非空集合M ，N ，定义M －N ={x |x ∈M ，x ∉N }，那么M －（M －N ）=……………………（ ） (A )M ∪N (B ) M ∩N (C )M (D ) N5、设M ={x |x ∈Z}，N ={x |x =2n ，n ∈Z }，P ={x |x =n ＋21}，则下列关系正确的是………………（ ） (A )N ⊂M (B ) N ⊂P (C )N =M ∪P (D ) N =M ∩P6、全集I={2，3，a 2＋2a －3}，A ={|a +1|，2}，A ={5}，则a =……………………………………（ ） (A )2 (B ) –3或者1 (C )－4 (D )－4或者27、集合A ={x |x ≤1}，B ={x |x ＞a }，如果A ∩B =Φ，那么a 的取值范围是……………………（ ） (A )a ＞1 (B ) a ≥1 (C ) a ＜1 (D ) a ≤18、集合A ={y |y =x 2+1}，B ={y |y =x +1}，则 A ∩B =………………………………………………（ ） (A ){(1,2),(0,1)} (B ){0,1} (C ){1,2} (D )),1[+∞9、A ={x |x ≠1，x ∈R}∪{y |y ≠2，x ∈R }，B ={z|z ≠1且z ≠2，z ∈R}，那么……………………（ ） (A )A =B (B )A ⊂B (C )A ⊃B (D )A ∩B =φ10、A ={x |f (x )=0},B ={x |g(x )=0},那么方程f 2(x )＋g 2(x )=0的解集是……………………………（ ） (A )A ∩B (B )A ∪B (C )A ∩B (D ) A ∪B11、非空集合S ⊆{1，2，3，4，5}，并且满足a ∈S 则6－a ∈S ，那么这样的集合S 一共有 个. 12、设集合M ={x |x ＜5}，N ={x |x ＞3}，那么“x ∈M 或者x ∈N ”是“x ∈M ∩N ”的 条件. 13、用列举法化简集合M ={x |Z x Z x∈∈-,36}= . 14、如果集合A ={x |a x 2+2x +1=0}只有一个元素，则实数a 的值为 . 15、集合A ={x |x 2－3x ＋2=0}， B ={x |x 2－a x ＋a －1=0} ，C ={x |x 2－m x ＋2=0}，若A ∪B =A ，A ∩C =C ，求实数a 、m 之值.*16、求集合{x |x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋1=0，b ∈R}的各元素之和.1.2 不等式的解法——绝对值不等式〖考纲要求〗在掌握一元一次与一元二次不等式解法的基础上掌握绝对值不等式解法.〖复习建议〗掌握绝对值的概念，会把绝对值问题转化为简单的问题；掌握去绝对值的基本方法：找零点分区间讨论法与换元法.一、知识点训练：1、不等式|2x －7|<3的解为………………………………………………………………………（ ） (A )x >2 (B )2<x <5 (C )x <5 (D ) x >02、不等式(x －1)02≥+x 的解为……………………………………………………………（ ） (A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠13、方程12|12|-+=-+x x x x 的解是…………………………………………………………………（ ） (A )x =－2 (B ) x ≠1 (C ) x ≤－2或者x ＞1 (D ) －2≤x ＜1 4、不等式525≤-x 的解集为 ； 5、不等式129->-x x 的解集为 ；二、典型例题分析：1、解不等式：(1)392+≤-x x(2)x x 2212>-1332)3(2-<+-x x x2、⑴已知适合不等式5|3|||≤-++x p x 的x 的最大值为4，求实数p 之值（p =0）.⑵已知适合不等式a x x >--+|3||1|的解集为R ，求实数a 的取值范围.3、关于x 的不等式2)1(|2)1(|22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 、B ，如果A 是B 的子集，求实数a 的取值范围.三、课堂练习：1、不等式x x ≤-52 的解集为 ；2、不等式x x x ≥+-11的解集为 ； 3、如果不等式kx x >+|1|的解集为R ，则实数k 的取值范围是 .四、课堂小结：解绝对值不等式时，常需要分类讨论，有时也可以用绝对值的几何意义求解，以简化计算.五、能力测试：1、关于x 的不等式a x x <++-|2||1|解集为空集，则实数a 的取值范围是………………（ ） （A ）(3,＋∞) （B ）[3,＋∞) （C ）(－∞,3] （D ）(－∞,3)2、不等式|log |2|log 2|22x x x x +<-的解集为…………………………………………………（ ） （A ）(1，2) （B ）(0，1) （C ）(1，＋∞) （D ）(2，＋∞)3、若321><x x和同时成立，则x 满足是 ； 4、不等式02||2<--x x 的解集为 . 5、解不等式||1212x x ≤- 6、解下列不等式：5252)1(≤--x 432)2(+>+x x (3)311≥-+x x7、关于x 的不等式23+>ax x 与不等式|x －2－c |＜c －2同解，求a 与c 的值.8、函数)(x f =2x －1，)(x g =1－x 2，定义函数⎩⎨⎧<-≥=))(|)((| )())(|)((| |)(|)(x g x f x g x g x f x f x F ，试化简此函数解析式，并研究其最值.1.3 不等式的解法——一次与二次〖考纲要求〗熟练掌握一元一次与一元二次不等式的解法.〖复习建议〗掌握不等式的性质，知道解不等式的基本思想：化归与转化，掌握一元一次不等式：.一、知识点训练：1、x =3在不等式 ax ＞b 的解集中，那么…………………………………………………………（ ） (A)a ＞0，3a ＞b (B)a ＜0，3a ＜b(C) a ＞0，b =0 (D) a ≠0，3a ＞b 或者a =0，b ＜0 2、不等式ax 2+bx +c ＞0（a ≠0）的解集为Φ，那么………………………………………………（ ）(A)a ＜0，△＞0 (B)a ＜0，△≤0 (C) a ＞0，△≤0 (D) a ＞0，△≥0 3、不等式(x －1)02≥+x 的解为………………………………………………………………（ ）(A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠1 4、不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为3121<<-x ，则a ；b . 5、不等式组⎩⎨⎧<-+>-+0820222x x x x 的解集为 .二、典型例题分析：1、 如果不等式(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0的解集为}31|{-<x x ，求不等式(a －3b )x ＋b －2a >0的解集.2、不等式2)1()12(2≤->-m x m x 对满足的一切实数m 的值都成立，求实数x 的取值范围.3、解关于x 的不等式0)(22>-+-m m x x4、如果不等式b x ax +<的解集为（4，16），求a 、b 的值.5、已知a ≠b ，解关于x 的不等式222)]1([)1(x b ax x b x a -+≥-+.三、课堂练习：1、在实数集内，关于x 的一元二次不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是空集，则………… ( ) (A )04,02>-<ac b a 且 (B )04,02≤-<ac b a 且(C ) 04,02≤->ac b a 且 (D ) 0402>->ac b a 且2、0)(≥x f 解集是F ，0)(<x g 解集是G ，定义域都为R ，则不等式组⎩⎨⎧≥<0)(0)(x g x f 解集是 ……（ ）(A )G F (B ) G F (C ) G F (D ) G F 3、不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为212->-<x x 或，那么不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为 . 4、关于x 的不等式：ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 恒成立，那么实数a ∈ .四、课堂小结：一元一次不等式的解法：关键是学会讨论，知道其解集情况与系数之间的关系。

集合与简易逻辑—MBAMPACC、MPAUD、第⼀章集合与简易逻辑⼀、集合1.1 集合1.2⼦集、全集、书集1.3 交集、并集1.4绝对值的不等值解1.5⼀元⼆次不等式解法⼆、简易逻辑1.5逻辑连接词1.7 四种命题1.8 充分条件与必要条件第⼆章函数⼀、函数2.1 函数2.2 函整的表⽰法2.5 函数的单调性2.4. 反函数⼆、指数函数2.5指数2.6 指数函数三、对数与对数函数2.7对数2.8 对数函数2.9.两数的应⽤举例第三章数列3.1数列3.2 等差数列3.3等差数到的前n项和3.4等差数列3.5 等差数育的前n项和]研究性容题：数列在分期付款中的应⽤x属于A;x是集合A的⼀个原素不属于A;不是⼀个集合A的元素，都不属于A 不是集合A的⼀个元素x对元素a,b,c...·.构成的集合的⾮整数集；⾃然集正整数集Z*整数集Q*有理数集R*实数集C*复数集]B属于A; B是A的⼦集B真包含于A B是A的真⼦集B不包含于A;B不是A的⼦集AVB A与B的并集A有B的交集A中⼦集B的补集或系集R中(包含于内）到b的在半开区间R中由a到b(含于内）的左半开区间集合A到集合B的映射第⼀章集台与简易理辑1.1集合1.2. ⼦集、补集1.3 交集、并集1.4 含绝对值的不等式解法1.5 ⼀元⼆次不等式解法1.6逻辑连接词1.7.四种命题1.8充分条件的必要条件正负整数有理数集正整数集⽆理数复数虚数1.1.1.集合⽤⼀⽆⼀次不等式2x-1>3,“正致的集合”“负数的集合”等三⾓函数、正态分布的集合所有⼤于2的实数都是它的解我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集在初中⼏何学习时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合，⼏何图形可以看成点的集合⼀般地，某指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合①,也简称集例如，我校篮球队的队员“组成⼀个集合；“太平洋、⼤西洋、印度洋、北冰洋”也组成⼀个集合、我们⼀般⽤⼤括号表⽰集合，上⾯的两个集合就可以外别表⽰成｛我校篮球队的以员了与：太平洋，⼤西洋，印度洋，北冰洋。

{}9B =,;B A =B B =)()();U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+()()card B card A B -()U A =ð()U A =ð13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B).有两相)(,2121x x x x <有两相等ab x x 221-==无实根有意义的①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. （否命题⇔逆命题.）②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.（原命题⇔逆否命题.）4.反证法是中学数学的重要方法。

会用反证法证明一些代数命题。

充分条件与必要条件答案见下一页数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案例1选A;例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9AB =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-,{}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-.[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。

例4C 例5C 例6①∉,②Ü,③Ü,④例7填2 例8C 例9∅例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。