流体力学习题总

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流体力学题库(附答案)

流体力学题库（附答案）一、单选题（共48题，每题1分，共48分）1.（）管路各段阻力损失相同。

A、短管管系B、串联管系C、并联管系D、分支管系正确答案：C2.理想液体的特征是( )A、不可压缩B、符合牛顿内摩擦定律的C、无粘性D、粘度为常数正确答案：C3.当容器内工质压力大于大气压力时，工质处于（）状态。

A、标准B、正压C、负压D、临界正确答案：B4.某点的真空压力是65000pa，当地大气压为0.1MPa，该点的绝对压强为（）。

A、165000PaB、65000PaC、55000PaD、35000Pa正确答案：D5.在圆管流中，层流的断面流速分布为（）。

A、均匀规律B、直线变化规律C、抛物线规律D、对数曲线规律正确答案：C6.抽气器的工作原理是（）A、动量方程B、静力学基本方程C、连续性方程D、伯努利方程正确答案：D7.伯努利方程说明，流体在水平管内定常流动中，流速降低（）A、压力下降B、都可能C、压力上升D、压力不变正确答案：C8.那个设备压力是真空压力（）。

A、再热器B、凝汽器C、过热器D、给水泵正确答案：B9.伯努利方程中Z+P/ρg表示（）A、单位体积流体具有的机械能B、通过过流断面的流体所具有的总机械能C、单位质量流体具有的机械能D、单位重量流体具有的测压管能头正确答案：D10.超临界机组主蒸汽压力最接近的是（）。

A、5个大气压B、26兆帕C、50巴D、5公斤正确答案：B11.静止的流体中存在（）。

A、压应力、拉应力和剪切力B、压应力和拉应力C、压应力D、压应力和剪切力正确答案：C12.将极细测压管插入水中，毛细现象会使得液位（）A、下降B、不变C、都有可能D、上升正确答案：D13.一个标准大气压（1atm）等于（）。

A、Hg780mmB、101.325kPaC、720mmHgD、110.325kPa正确答案：B14.流体在管道内的流动阻力分为（）两种。

A、阀门阻力、三通阻力B、沿程阻力、局部阻力C、流量孔板阻力、水力阻力D、摩擦阻力、弯头阻力正确答案：B15.主机润滑油压力为130千帕，其是多少米水柱（）。

流体力学习题及答案

第一章绪论1-1 连续介质假设的条件是什么？答：所研究问题中物体的特征尺度L ，远远大于流体分子的平均自由行程l ，即l/L<<1。

1-2 设稀薄气体的分子自由行程是几米的数量级，问下列二种情况连续介质假设是否成立？（1）人造卫星在飞离大气层进入稀薄气体层时；（2）假象地球在这样的稀薄气体中运动时。

答：（1）不成立。

（2）成立。

1-3 粘性流体在静止时有没有切应力？理想流体在运动时有没有切应力？静止流体没有粘性吗？答：（1）由于0=dy dv ，因此0==dydvμτ，没有剪切应力。

（2）对于理想流体，由于粘性系数0=μ，因此0==dydvμτ，没有剪切应力。

（3）粘性是流体的根本属性。

只是在静止流体中，由于流场的速度为0，流体的粘性没有表现出来。

1-4 在水池和风洞中进行船模试验时，需要测定由下式定义的无因次数（雷诺数）νUL=Re ，其中U 为试验速度，L 为船模长度，ν为流体的运动粘性系数。

如果s m U /20=，m L 4=，温度由C ︒10增到C ︒40时，分别计算在水池和风洞中试验时的Re 数。

（C ︒10时水和空气的运动粘性系数为410013.0-⨯和410014.0-⨯，C ︒40时水和空气的运动粘性系数为4100075.0-⨯和410179.0-⨯）。

答：C ︒10时水的Re 为：()()72410154.6/10013.04)/(20Re ⨯=⨯⨯==-sm m s m ULν。

C ︒10时空气的Re 为：()()72410714.5/10014.04)/(20Re ⨯=⨯⨯==-sm m s m ULν。

C ︒40时水的Re 为：()()82410067.1/100075.04)/(20Re ⨯=⨯⨯==-sm m s m ULν。

C ︒40时空气的Re 为：()()62410469.4/10179.04)/(20Re ⨯=⨯⨯==-sm m s m ULν。

流体力学习题(含答案)

流体力学习题（含答案）一、单选题（共54题，每题1分，共54分）1.在静止的连通的同一种连续流体内，任意一点的压强增大时，其他各点的压强则( )A、减小B、不一定C、不变D、相应增大正确答案：D2.离心泵在正常运转时，其扬程与升扬高度的大小比较是( )A、扬程>升扬高度B、不能确定C、扬程<升扬高度D、扬程=升扬高度正确答案：A3.启动往复泵前其出口阀必须( )A、微开B、无所谓C、关闭D、打开正确答案：D4.离心泵的工作点是指( )A、由泵的特性曲线所决定的点B、由管路特性曲线所决定的点C、泵的特性曲线与管路特性曲线的交点D、与泵最高效率时对应的点正确答案：C5.旋涡泵常用的调节方法是( )A、改变出口管路中阀门开度B、改变吸入管路中阀门开度C、改变泵的转速D、安装回流支路，改变循环量的大小正确答案：D6.离心泵铭牌上标明的扬程是( )A、最大流量时的扬程B、功率最大时的扬程C、泵的最大量程D、效率最高时的扬程正确答案：D7.测流体流量时，随流量增加孔板流量计两侧压差值将( )A、减少B、增加C、不变正确答案：B8.用离心泵向高压容器输送液体，现将高压容器改为常压容器，其它条件不变，则该泵输送液体流量( )，轴功率（）。

A、减小B、增加C、不确定、不变D、增加、增加正确答案：D9.关闭出口阀启动离心泵的原因是( )A、启动电流最小B、轴功率最大C、处于高效区D、能量损失最小正确答案：A10.能自动间歇排除冷凝液并阻止蒸汽排出的是( )A、疏水阀B、安全阀C、止回阀D、减压阀正确答案：A11.输送膏状物应选用( )A、压缩机B、往复泵C、齿轮泵D、离心泵正确答案：C12.在压力单位“m水柱”中，水的温度状态应指( )A、20℃B、0℃C、25℃D、4℃正确答案：D13.采用出口阀门调节离心泵流量时，开大出口阀门扬程( )A、先增大后减小B、不变C、减小D、增大正确答案：C14.流体运动时，能量损失的根本原因是由于流体存在着( )A、黏性B、湍流C、动能D、压力正确答案：A15.经计算某泵的扬程是30m，流量10m3/h，选择下列某泵最合适( )A、扬程32m，流量12.5m3/hB、扬程35m，流量7.5m3/hC、扬程35m，流量15m3/hD、扬程24m，流量15m3/h正确答案：A16.离心泵效率随流量的变化情况是( )A、Q增大，η先增大后减小B、Q增大，η减小C、Q增大，η先减小后增大D、Q增大，η增大正确答案：A17.在一输送系统中，改变离心泵的出口阀门开度，不会影响( )A、泵的特性曲线B、泵的工作点C、管路特性曲线D、管路所需压头正确答案：A18.在①离心泵、②往复泵、③旋涡泵、④齿轮泵中，能用调节出口阀开度的方法来调节流量的有( )A、①③B、①②C、②④D、①正确答案：D19.一定流量的水在圆形直管内呈层流流动，若将管内径增加一倍，产生的流动阻力将为原来的( )A、1/2B、1/8C、1/32D、1/4正确答案：C20.当流量、管长和管子的摩擦系数等不变时，管路阻力近似地与管径的( )次方成反比A、3B、2C、5D、4正确答案：C21.当两个同规格的离心泵串联使用时，只能说( )A、串联泵的工作点处较单台泵的工作点处扬程增大一倍B、串联泵较单台泵实际的扬程增大一倍C、在管路中操作的串联泵，流量与单台泵操作时相同，但扬程增大两倍D、当流量相同时，串联泵特性曲线上的扬程是单台泵特性曲线上的扬程的两倍正确答案：D22.稳定流动是指 ( )A、流动参数与时间变化有关与位置无关B、流动参数与时间和位置变化均无关C、流动参数与时间变化无关与位置有关D、流动参数与时间变化与位置变化都有关正确答案：C23.下列说法正确的是( )A、汽蚀与气缚的现象相同，发生原因不同B、调节离心泵的流量可用改变出口阀门或入口阀门开度的方法来进行C、允许安装高度可能比吸入液面低D、在离心泵的吸入管末端安装单向底阀是为了防止汽蚀正确答案：C24.在完全湍流时（阻力平方区），粗糙管的摩擦系数λ数值( )A、与粗糙度无关B、取决于相对粗糙度C、与光滑管一样D、只取决于Re正确答案：B25.离心泵中Y型泵为( )A、油泵B、多级清水泵C、耐腐蚀泵D、单级单吸清水泵正确答案：A26.通过计算得出管道的直径为50mm，该选用下列哪种标准管( )A、Φ114×4mmB、Φ48×3.5mmC、Φ60×3.5mmD、Φ75.50×3.75mm正确答案：C27.流量调节，往复泵常用( )A、进口阀B、出口阀C、旁路阀D、安全阀正确答案：C28.密度为850kg/m3的液体以5m3/h的流量流过输送管，其质量流量为( )A、170kg/hB、425kg/hC、1700kg/hD、4250kg/h正确答案：D29.泵壳的作用是( )A、将位能转化为动能B、汇集能量C、汇集液体D、汇集热量正确答案：C30.流体在圆形管道中流动时，连续性方程可写为( )A、u2/u1=D1/D2B、u2/u1=（D1/D2）2C、u2/u1=（D2/D1）2D、u2/u1=正确答案：B31.离心泵气蚀余量△h与流量Q的关系为( )。

《流体力学》试题及答案

《流体力学》试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个选项不属于流体力学的三大基本方程？A. 连续性方程B. 动量方程C. 能量方程D. 牛顿第二定律答案：D2. 在不可压缩流体中，流速和压力之间的关系可以用下列哪个方程表示？A. 伯努利方程B. 欧拉方程C. 纳维-斯托克斯方程D. 帕斯卡方程答案：A3. 下列哪个现象表明流体具有粘性？A. 流体流动时产生涡旋B. 流体流动时产生湍流C. 流体流动时产生层流D. 流体流动时产生摩擦力答案：D4. 在下列哪种情况下，流体的动能和势能相等？A. 静止流体B. 均匀流动的流体C. 垂直下落的流体D. 水平流动的流体答案：C5. 下列哪个因素不会影响流体的临界雷诺数？A. 流体的粘度B. 流体的密度C. 流体的流速D. 流体的温度答案：D二、填空题（每题5分，共25分）6. 流体力学是研究______在力的作用下运动规律的科学。

答案：流体7. 不可压缩流体的连续性方程可以表示为______。

答案：ρV = 常数8. 在恒定流场中，流体质点的速度矢量对时间的导数称为______。

答案：加速度矢量9. 伯努利方程是______方程在不可压缩流体中的应用。

答案：能量10. 流体的湍流流动特点为______、______和______。

答案：随机性、三维性、非线性三、计算题（每题25分，共50分）11. 一个直径为10cm的管道，流体的流速为2m/s，流体的密度为800kg/m³，求管道中流体的流量。

解：流量Q = ρvA其中，ρ为流体密度，v为流速，A为管道截面积。

A = π(d/2)² = π(0.05)² = 0.00785m²Q = 800kg/m³ 2m/s 0.00785m² = 12.44 kg/s答案：管道中流体的流量为12.44 kg/s。

12. 一个直径为20cm的圆柱形储罐，储罐内充满水，水面高度为1m。

流体力学试题含答案

流体力学试题含答案一、单选题（共48题，每题1分，共48分）1.圆管层流运动沿程水头损失与流速的变化关系是（）。

A、沿程水头损失与速度的2次方成正比B、沿程水头损失与速度成正比C、沿程水头损失与速度的0.5次方成正比D、沿程水头损失与速度的1.75次方成正比正确答案：A2.单位重量液体具有的相对于基准面的重力势能称为（）。

A、位置能头B、速度能头C、压力能头D、绝对压力能头正确答案：A3.除氧器在给水泵上方25米，除氧器压力为0.7兆帕，给水泵入口绝对压力为多少（）。

A、0.7兆帕B、0.9兆帕C、1.06兆帕D、0.8兆帕正确答案：C4.1毫米汞柱是多少（）帕。

A、50B、1C、1000D、133.3正确答案：D5.相对压强的起算点是()。

A、绝对真空B、１个标准大气压C、当地大气压D、液面压强正确答案：C6.伯努利方程说明，流体在水平管内定常流动中，压力下降（）A、流速下降B、都可能C、流速不变D、流速上升正确答案：D7.常态下，下列哪种流体粘性最大（）A、水B、酒精C、空气D、油正确答案：D8.从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体（）A、能承受拉力，平衡时能承受切应力B、能承受拉力，平衡时也能承受切应力C、不能承受拉力，平衡时不能承受切应力D、能承受拉力，平衡时不能承受切应力正确答案：C9.凝结水泵吸水处压力为-98千帕（），其真空是。

A、98千帕B、3千帕C、1000帕D、100帕正确答案：A10.某点的真空压力是65000pa，当地大气压为0.1MPa，该点的绝对压强为（）。

A、165000PaB、35000PaC、55000PaD、65000Pa正确答案：B11.下列流体的作用力不是质量力的是()。

A、惯性力B、粘性内摩擦力C、电磁力D、重力正确答案：B12.流体运动黏度的国际单位是（）A、牛/平方米B、牛．秒/平方米C、平方米/秒D、千克/米正确答案：C13.表面力是指作用在（）上的力。

流体力学习题集汇总

【1�3】测压管用玻璃管制成。水的表面张力系数σ�0.0728N/m�接触角θ� 8º�如果要求毛细水柱高度不超过 5mm�玻璃管的内径应为多少� 【解】由于
因此
【1�4】高速水流的压强很低�水容易汽化成气泡�对水工建筑物产生气蚀。拟将小气泡合并在一起�减少气泡的危害。现将 10 个半径 R1�0.1mm 的气泡合成一个较大的气泡。已知气泡周围的水压强 po�6000Pa�水的表面张力系数σ� 0.072N/m。试求合成后的气泡半径 R。【解】小泡和大泡满足的拉普拉斯方程分别是
还可以算得大、小气泡的压强分布为 �
【1�5】一重 W�500N 的飞轮�其回转半径ρ�30cm�由于轴套间流体粘性的影响�当飞轮以速度ω�600 转/分旋转时�它的减速度ε�0.02m/s2。已知轴套长 L�5cm�轴的直径 d�2cm�其间隙 t=0.05mm�求流体粘度。【解】�由物理学中的转动定律知�造成飞轮减速的力矩 M�Jε,飞轮的转动惯量J
流体力学习题集
【1�1】底面积 A�0.2m×0.2m 的水容器�水面上有一块无重密封盖板�板上面放置一个重量为 G1�3000N 的铁块�测得水深 h�0.5m�如图所示。如果将铁块加重为 G2�8000N�试求盖板下降的高度Δh。【解】:利用体积弹性系数计算体积压缩率�
�v / v � �p / E E � np 0 ( p / p0 � B)
p 为绝对压强。当地大气压未知�用标准大气压 p0 � 1.01325 �10 5 Pa 代替。
p1 � p0 � G1 / A � 1.76325 � 10 5 Pa p2 � p0 � G2 / A � 3.01325 � 10 5 Pa
因 p1 / p0 和 p2 / p0 不是很大�可选用其中任何一个�例如�选用 p2 / p0 来计算体积弹性系数�

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2h
(3)
即
h 2H h1
(4)
等角速度旋转容器中液体相对平衡时等压面的方程为
2r2 gz C
2
(5)
r d z h 对于自由液面，C=0。圆筒以转速 n1 旋转时，自由液面上，边缘处，
，
，则
2
2
d 2
2
gh
0
(6)
2
得
2 2gh
d
(7)
由于
2 n1
60
(8)
n1
30
30
d δ
n L
2.在温度不变的条件下，体积为由流体压缩系数计算公式可知：
的水，压强从
增到
，体积减少了
，试求水的压缩率。
3.某种油的运动黏度是 4.28x10∧-7 ㎡/s，密度是 ρ=678kg/m³，试求其动力黏度。
解:油的运动黏度 v=4.28x10∧-7 ㎡/s。ρ=678kg/m³
v=u/p 得 u=pv=4.28x10*-7x678=2.9x10∧-4Pa.s 4.(习题 1-8)
h= 因此，可以计算 h 得到：
pA -pB Hg g
(2.7+2.9) 104 = 13.55103 9.8
=0.422m
6、如图所示，一直立的煤气管，为求管中煤气的密度，在高度差 H=20m 的两个断面上安装 U 形管测压计，其内工
m h h 的密度 =1.28kg/ 3 ，测压计读数 1 =100mm， 2 =115mm。若忽略 U 形管测压计中空气密度的影响，试求煤气管中煤气的密度。解：
，间隙
，间隙内润滑油的动力黏度
，消耗的功率
解油层与轴承接触面上的速度为零，与轴接触面上的速度等于轴面上的线速度

流体力学习题库(含答案)

流体力学习题库（含答案）一、单选题（共70题，每题1分，共70分）1、低温泵的气相平衡线的作用是防止泵的( )。

A、憋压B、超温C、汽蚀D、汽缚正确答案：D2、若被输送液体的黏度增大时，离心泵的效率( )。

A、减小B、增大C、不变D、不定正确答案：A3、当地大气压为745mmHg测得一容器内的绝对压强为350mmHg，则真空度为( )A、395mmHgB、350mmHgC、410mmHg正确答案：A4、单位质量的流体所具有的( )称为流体的比容。

A、位能B、动能C、体积D、黏度正确答案：C5、喷射泵是利用流体流动时的( )的原理来工作的。

A、动能转化为静压能B、热能转化为静压能C、静压能转化为动能正确答案：C6、机械密封与填料密封相比( )的功率消耗较大。

A、填料密封B、机械密封C、差不多正确答案：A7、下列不属于离心泵的主要构件是 ( )A、泵轴B、泵壳C、叶轮D、轴封装置正确答案：A8、一台离心泵开动不久，泵入口处的真空度正常，泵出口处的压力表也逐渐降低为零，此时离心泵完全打不出水。

发生故障的原因是( )A、吸入管路堵塞B、忘了灌水C、吸入管路漏气D、压出管路堵塞正确答案：A9、某液体在内径为D0的水平管路中稳定流动，其平均流速为u0，当它以相同的体积流量通过等长的内径为D2（D2=D0/2）的管子时，若流体为层流，则压降ΔP为原来的( )倍。

A、32B、8C、4D、16正确答案：A10、造成离心泵气缚原因是( )A、泵不能抽水B、安装高度太高C、入口管路阻力太大D、泵内流体平均密度太小正确答案：D11、离心泵的轴功率N和流量Q的关系为( )A、Q增大，N增大B、Q增大，N先增大后减小C、Q增大，N减小D、Q增大，N先减小后增大正确答案：A12、在静止的连通的同一种连续流体内，任意一点的压强增大时，其他各点的压强则( )A、减小B、不变C、相应增大D、不一定正确答案：C13、往复泵的流量调节采用( )A、出口支路B、出口阀开度C、入口阀开度D、入口支路正确答案：A14、为了防止( )现象发生，启动离心泵时必须先关闭泵的出口阀A、汽蚀B、电机烧坏C、气缚D、叶轮受损正确答案：B15、某泵在运行的时候发现有汽蚀现象应( )A、停泵向泵内灌液B、降低泵的安装高度C、检查进口管路是否漏液D、检查出口管阻力是否过大正确答案：C16、选离心泵是根据泵的( )A、扬程和轴功率选择B、转速和轴功率选择C、轴功率和流量选择D、扬程和流量选择正确答案：D17、流体运动时，能量损失的根本原因是由于流体存在着 ( )。

(完整版)流体力学练习题及答案

(完整版)流体力学练习题及答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN流体力学练习题及答案一、单项选择题1、下列各力中，不属于表面力的是（）。

A ．惯性力B ．粘滞力C ．压力D ．表面张力2、下列关于流体粘性的说法中，不准确的说法是（）。

A ．粘性是实际流体的物性之一B ．构成流体粘性的因素是流体分子间的吸引力C ．流体粘性具有阻碍流体流动的能力D ．流体运动粘度的国际单位制单位是m 2/s3、在流体研究的欧拉法中，流体质点的加速度包括当地加速度和迁移加速度，迁移加速度反映（）。

A ．由于流体质点运动改变了空间位置而引起的速度变化率B ．流体速度场的不稳定性C ．流体质点在流场某一固定空间位置上的速度变化率D ．流体的膨胀性4、重力场中平衡流体的势函数为（）。

A ．gz -=πB ．gz =πC ．z ρπ-=D ．z ρπ=5、无旋流动是指（）流动。

A ．平行B ．不可压缩流体平面C ．旋涡强度为零的D ．流线是直线的6、流体内摩擦力的量纲[]F 是（）。

A . []1-MLtB . []21--t MLC . []11--t ML D . []2-MLt 7、已知不可压缩流体的流速场为xyj zi x 2V 2+= ，则流动属于（）。

A ．三向稳定流动B ．二维非稳定流动C ．三维稳定流动D ．二维稳定流动8、动量方程的不适用于(??? ??) 的流场。

A ．理想流体作定常流动B ．粘性流体作定常流动C ．不可压缩流体作定常流动D ．流体作非定常流动9、不可压缩实际流体在重力场中的水平等径管道内作稳定流动时，以下陈述错误的是：沿流动方向 ( ) 。

A ．流量逐渐减少B ．阻力损失量与流经的长度成正比C ．压强逐渐下降D ．雷诺数维持不变10、串联管道系统中,其各支管内单位质量流体的能量损失（）。

A ．一定不相等B ．之和为单位质量流体的总能量损失C ．一定相等D ．相等与否取决于支管长度是否相等11、边界层的基本特征之一是（）。

流体力学考试题及答案

流体力学考试题及答案一、选择题（共20题，每题2分，共40分）1.流体力学研究的对象是（）。

A. 固体B. 气体C. 液体D. 固体、气体和液体2.流体静力学研究的是（）。

A. 流体的静力学平衡B. 流体的动力学行为C. 流体的温度分布D. 流体与固体之间的相互作用3.流体力学基本方程之一是（）方程。

A. 安培B. 麦克斯韦C. 牛顿D. 热力学第一定律4.流体的粘度是指（）。

A. 流体的黏滞性B. 流体的稠密程度C. 流体的表面张力D. 流体的温度5.流体的黏滞性是指（）。

A. 流体的分子间相互作用力B. 流体的流动性C. 流体的表面张力D. 流体的温度6.斯托克斯定律适用于（）。

A. 小颗粒在粘稠流体中的沉降速度B. 大颗粒在粘稠流体中的沉降速度C. 任意颗粒在粘稠流体中的沉降速度D. 颗粒在非粘稠流体中的沉降速度7.雷诺数是流体运动的（）。

A. 速度与压强之比B. 速度与密度之比C. 惯性力与粘滞力之比D. 惯性力与压强之比8.当雷诺数大于临界雷诺数时，流体的流动状态为（）。

A. 层流B. 湍流C. 不稳定流动D. 静止9.均匀流动的速度场中，速度大小不随时间和位置而变化，这种流动称为（）。

A. 层流B. 湍流C. 定常流动D. 非定常流动10.当流体通过管道时，由于摩擦作用，流体靠近管壁的流速会（）。

A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法确定11.流体的质量守恒方程描述了（）。

A. 流体的质量变化率B. 流体的流速变化率C. 流体的压力变化率D. 流体的体积变化率12.对于不可压缩流体的质量守恒方程，密度可以看作（）。

A. 常数B. 变量C. 无穷大D. 无法确定13.流体的动量守恒方程可以描述流体中（）。

A. 速度变化率B. 加速度变化率C. 压力变化率D. 质量变化率14.流体的能量守恒方程描述了流体的（）。

A. 温度变化率B. 内能变化率C. 压强变化率D. 势能变化率15.速度势和流函数是（）。

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[ 证明 ]
等位线的法线方向 — 梯度方向
∇ϕ=∇(r +r2 )=∇r +∇r2 1 1 r r = 1 + 2 = er1 +er2 ∇(r n )=nrn−2r r r2 1
er1 ⋅∇ϕ=er1 ⋅ (er1 +er2 )=1+er1 ⋅ er2 er2 ⋅∇ϕ=er2 ⋅ (er1 +er2 )=er2 ⋅ er1 +1
(∇×a)×b=(∇×ac )×b+(∇×a)×bc (∇×ac )×b=−∇(ac ⋅b)+ac (∇⋅b) =−ac×(∇×b)−(ac ⋅∇)b+ac (∇⋅b)
=−3a+axex +ayey +azez = −3a+a=−2a
(∇×a)×b = −a×(∇×b) −(a ⋅∇)b + a(∇⋅b) −b ×(∇×a)
(c⋅∇)(a×b)=(c⋅∇)(ac×b)+(c⋅∇)(a×bc )
=ac×(c⋅∇)b+[(c⋅∇)a]×bc
=a×(c⋅∇)b −b×(c⋅∇)a
习题一
十. 证明
（3）
(a ×b) ⋅ (∇× c) = b ⋅ (a ⋅ ∇)c − a ⋅ (b ⋅ ∇)c (a×b)⋅(∇×c)=(∇×c)⋅(ac×bc )=a⋅(b×(∇×c)) =a⋅(b×(∇×c)) =a⋅∇(bc ⋅c)−a⋅(b⋅∇)c
a⋅ P= P ⋅ a c
四. 若（1））（2）） [证] (1): 证 (2):
为对称张量，证明： P 为对称张量，证明： P= P c
b ⋅ (P ⋅ a) = a ⋅ (P ⋅ b)
P = pij = p ji = P c
b ⋅(P⋅ a) =bi ( pij a j ) =a j pijbi
bc × a = ei (bi c j ej × a) = bi ei (c j ej × a) = b(c × a)
(ω× I )⋅ a =(ω×ei )δij e j ⋅ ai ei
=(ω×ei )ei ⋅ ai ei =(ω×ei )ai =ω×a
（3））
(a×P)c =[(a×ei ) pi ]c
b ⋅(P⋅ a) =bi ( pij a j ) =a j pijbi
= a j (− pc ) ji bi
= −a j [( pc ) ji bi ]
=−a ⋅(P ⋅b) c
利用并矢形式求证：六. 利用并矢形式求证：（1））（2））
P = pi ei c
a ⋅ P = P ⋅ a = ai pi c
b′ =α jibi j
ai bj 是张量 ai′b′ =αisα jt asbt j =αis asα jt bt ai 是矢量 a′b′ = a′α b i j i jt t ai′(b′ −α jt bt ) =0 j
考虑到
ai 的任意性： bi′ =αit bt =αijbj 的任意性：
求证：（：（1）三. 求证：（）（2）） [证] (1): 证
= ey[−2(cy z−cz y)cz +2(cx y−cy x)cx ] = ez[2(cy z−cz y)cy −2(cz x−cx z)cx ]
2 2 + ey 2y(cz +cx +c2 )−ey 2cy (zcz +xcx + ycy ) y
2 2 + ez 2z(c2 +cx +cz )−ez 2cz (xcx + ycy +zcz ) y
=bc ⋅(a⋅∇)c−a⋅(b⋅∇)c
(a × ∇) × b = (a ⋅ ∇)b + a × (∇× b) − a(∇⋅ b)
(a×∇)×b=−a(∇⋅b)+∇(ac ⋅b)
（4）
=−a(∇⋅b)+a×(∇×b)+(a⋅∇)b
a×(∇×b)=∇(ac ⋅b)−(a⋅∇)b
∇(ac ⋅b)=a×(∇×b)+(a⋅∇)b
证明下列各式：一. 证明下列各式：
2）（习题一 grad( ) = − ）
1 r
r r3
grad (rn )=nrn−2r
1 1 1 grad(1)=ex ∂ ( )+ey ∂ ( )+ez ∂ ( ) r ∂x x2 + y2 +z2 ∂y x2 + y2 +z2 ∂z x2 + y2 +z2
习题一
十. 证明
（5）
(a × ∇) × r = −2a
(a×∇)×r =−a(∇⋅r)+∇(a⋅r ) ∂x +∂y +∂z )+∇(a x+a y+a z) =−a( x y z ∂x ∂y ∂z
（6）
(∇×a)×b = −(a ⋅∇)b −a×(∇×b) −b ×(∇×a) + a(∇⋅b)
= a j ( pc ) ji bi
= a j [( pc ) ji bi ]
=a⋅(P ⋅b) c
五. 若（1））（2）） [证] (1): 证 (2):
为反对称张量，证明： P 为反对称张量，证明： P = −P c
b ⋅(P⋅ a) = −a ⋅ (P⋅b)
P = pij = − p ji = −P c
及
P = ei pi
求证：求证：
Q = qjej
P ⋅ Q = pik qkj
p11e1 + p12e2 + p13e3 pi = pij e j = p21e1 + p22e2 + p23e3 p31e1 + p32e2 + p33e3
grad c × r
习题一
2
= 2r (c ⋅ c ) − 2c (r ⋅ c )
的法线的几何方法，六. 求作卵形线 r r2 =a2 的法线的几何方法，其中 r 及 r2 为动点至 1 1 的距离。两焦点A 及B 的距离。等位线的法线方向 — 梯度方向
[ 证明 ]
∇ϕ=∇(r r2 )=r ∇r2 +r2∇r 1 1 1
∂u ∂v gradϕ[u(r),v(r)]=ex ∂ ϕ[u,v]+ey ∂ ϕ[u,v]+ez ∂ ϕ[u,v] ∂x ∂y ∂y
∂ϕ ∂u ∂ϕ ∂v ∂ϕ ∂u ∂ϕ ∂v ∂ϕ ∂u ∂ϕ ∂v + ez = ex + + ey + + ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂z ∂v ∂z ∂ϕ ∂ϕ = (ex ∂u +ey ∂u +ez ∂u)+ (ex ∂v +ey ∂v +ez ∂v) ∂u ∂x ∂y ∂z ∂v ∂x ∂y ∂z
ai bi = a j bj =αij ai′bj =ai′αijbj ai′(bi′ −αijbj ) = 0
考虑到
ai 的任意性：的任意性：
bi′ =αijbj
二. 若 ai bj 是一张量，ai 是矢量。是一张量，是矢量。求证：求证： bj 必为矢量。必为矢量。 [证] 即证证即证:
grad(c⋅r )=grad(cx x+cy y+cz z) =ex ∂ (cx x+cy y+cz z)+ey ∂ (cx x+cy y+cz z)+ez ∂ (cx x+cy y+cz z) ∂x ∂y ∂z =excx +eycy +ezcz
4）（4） gradϕ[u(r),v(r)]=∂ϕ gradu+∂ϕ gradv
ab = (ba)c
a⋅ P = P ⋅a c
Qc =(ba)c = q ji =bj ai =ai bj = pij = P =ab
(2):
P=ab ⇒ pij = ai bj Q=ba ⇒ qij =bi a j
a ⋅ P = ai pij
P ⋅ a =( pc ) ji ⋅ ai = pij ai = ai pij c
2 2 = ex 2x(cz +c2 +cx )−ex 2cx ( ycy +zcz +xcx ) y
= ex[2(cz x−cx z)cz −2(cx y−cy x)cy ]
ex ∂ [(cy z−cz y)2 +(cz x−cx z)2 +(cx y−cy x)2 ] ∂x
ey ∂ [(cy z−cz y)2 +(cz x−cx z)2 +(cx y−cy x)2 ] ∂y
= r er2 +r2er1 1
r r2 1
ϕ=r r2 1
习题一
十. 证明
（1）
(V⋅∇)ϕ a=a(V⋅∇ϕ)+ϕ(V⋅∇)a
(V⋅∇)ϕ a=(V⋅∇)ϕca+(V⋅∇)ϕ ac
=ϕ(V⋅∇)a+a(V ⋅∇)ϕ =ϕ(V⋅∇)a+a(V⋅∇ϕ)
（2）
(c ⋅ ∇)(a × b) = a × (c ⋅ ∇)b − b × (c ⋅ ∇)a
七. 张量 P 和矢量 a的右向和左向矢积分别定义为：的右向和左向矢积分别定义为：
P× a = ei ( pi × a)
和
a × P = (a × ei ) pi
求证：（）求证：（1） bc × a = b(c × a) ：（（2） (ω × I ) ⋅ a = ω × a ）（3） (a × P)c = −(P × a) ） c [证] （1）证）（2））