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一元二次方程的近似解

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第2课时一元二次方程的解
1．使一元二次方程左右两边___________的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说，求近似解的过程就是找到这样的x，使ax2＋bx＋c的值接近____，则可大致确定x的取值范围．
知识点一：一元二次方程的解
1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是()
A．－1B．1C．－2D．0
2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是()
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m＝____．
4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是__________________．
5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则6m＋2n＝____．
6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝____．
7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．
知识点二：估算一元二次方程的近似解
8．已知x2－101＝0，那么它的正数解的整数部分是()
A．8 B．9 C．10 D．11
9．方程x2－2x－2＝0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是()
A．－2<x1<－1 B．－1<x1<0 C．0<x1<1 D．1<x1<2
10．已知长方形宽为x cm，长为2x cm，面积为24 cm2，则x最大不超过()
A．1 B．2 C．3 D．4
11．为估算方程x2－2x－8＝0的解，填写下表：
________________
12．填写下表，并探索一元二次方程x2－6x＋9＝0的解的取值范围.
13．观察下表：
根的取值范围．
14．(2014·菏泽)已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为() A．1B．－1C．0D．－2
15．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是()
A.3<x<3.23 B．
16．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，满足a＋b＋c＝0，则方程必有一个实根为____．17．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝____．
18．小明在做“一块矩形铁片，面积为1 m2，长比宽多3 m，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x(x－3)＝1，整理得x2－3x－1＝0.小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面
是他的探索过程： 第一步：
所以，____<x <____． 第二步：
所以，____<x <____(1)请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
(2)通过以上探索，估计出矩形铁片长的整数部分为____，十分位为____．
19．对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下关系：h ＝vt －1
2gt 2，其中h 是离抛出点所在
平面的高度，v 是初速度，g 是重力加速度(g ＝10米/秒2)，t 是抛出后所经过的时间．如果将一物体以25米/秒的初速度向上抛，几秒种后它在离抛出点20米高的地方？
20．已知m 是关于x 的一元二次方程x 2－2015x ＋1＝0的一个不为0的根，求代数式m 2－2014m ＋2015
1＋m 2的
值．
21．某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m ，宽60 m 的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m 2.四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道宽为x m .
(1)你能列出相应的方程吗？
(2)x可能小于0吗？说说你的理由；
(3)x可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；
(4)你知道人行走道的宽x是多少吗？说说你的求解过程．
参考答案
1．使一元二次方程左右两边__相等__的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来说，求近似解的过程就是找到这样的x，使ax2＋bx＋c的值接近__0__，则可大致确定x的取值范围．
知识点一：一元二次方程的解
1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是(B)
A．－1B．1C．－2D．0
2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是(C)
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m＝__1__．
4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是__x2－1＝0(答案不唯一)__．
5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则6m＋2n＝__－2__．
6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝__－2__．
7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．
解：设被覆盖的数是a，将x＝5代入原方程，得3×25－5a－5＝0.解得a＝14
知识点二：估算一元二次方程的近似解
8．已知x2－101＝0，那么它的正数解的整数部分是(C)
A．8 B．9 C．10 D．11
9．方程x2－2x－2＝0的一较小根为x1，下面对x1的估计正确的是(B)
A．－2<x1<－1 B．－1<x1<0 C．0<x1<1 D．1<x1<2
10．已知长方形宽为x cm，长为2x cm，面积为24 cm2，则x最大不超过(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
11．为估算方程x2－2x－8＝0的解，填写下表：
__－2或4__
12．填写下表，并探索一元二次方程x2－6x＋9＝0的解的取值范围.
__4____2__
13．观察下表：
从表中你能得出方程5x 2－24x ＋28＝0的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围．
解：一个解为x ＝2，另一个解的取值范围为2.5<x <3
14．(2014·菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( A ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2
15．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是( C )
A .3<x <3.23
B ．16．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，满足a ＋b ＋c ＝0，则方程必有一个实根为__x ＝1__． 17．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__．
18．小明在做“一块矩形铁片，面积为1 m 2，长比宽多3 m ，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为x ，列出的方程为x (x －3)＝1，整理得x 2－3x －1＝0.小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程： 第一步：
所以，__3__<x <__4__． 第二步：
所以，__3.3__<x <__3.4__(1)请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；
(2)通过以上探索，估计出矩形铁片长的整数部分为__3__，十分位为__3__．
19．对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，有如下关系：h ＝vt －1
2gt 2，其中h 是离抛出点所在
平面的高度，v 是初速度，g 是重力加速度(g ＝10米/秒2)，t 是抛出后所经过的时间．如果将一物体以25米/秒的初速度向上抛，几秒种后它在离抛出点20米高的地方？
解：由题意得，25t －5t 2＝20，列表(略)，估算，当t ＝1秒和t ＝4秒时，物体在离抛出点20米高的地方
20．已知m 是关于x 的一元二次方程x 2－2015x ＋1＝0的一个不为0的根，求代数式m 2－2014m ＋2015
1＋m 2的
值．
解：∵m2－2015m＋1＝0，∴m2＝2015m－1，m2＋1＝2015m，m＋1
m＝2015，
∴原式＝m－1＋1
m＝2015－1＝2014
21．某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2.四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道宽为x m.
(1)你能列出相应的方程吗？
(2)x可能小于0吗？说说你的理由；
(3)x可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；
(4)你知道人行走道的宽x是多少吗？说说你的求解过程．
解：(1)由题意，得(80－2x)(60－2x)＝3 500，整理为x2－70x＋325＝0(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x>30时，网球场的宽60－2x<0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40
（4）
显然，当x＝5时，x2－70x＋325＝0，∴人行走道的宽为5 m。

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一元二次方程

一元二次方程

ax²+c=0（a、c是实数，a≠0）;ax²=0（a是实数，a≠0）.注：a≠0这个条件十分重要.配方式两根式求解方法直接开平方法形如x²=p或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

如果方程化成x²=p的形式，那么可得x=±。

如果方程能化成(nx+m)²=p的形式，那么，进而得出方程的根。

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

[3]配方法步骤将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

举例例一：用配方法解方程3x²－4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x²-4x=2将二次项系数化为1：方程两边都加上一次项系数一半的平方：配方：直接开平方得：∴ , .∴原方程的解为 , .求根公式法步骤用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况；③在（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根。

《利用二次函数求方程的近似根》人教版九年级数学(下册)

《利用二次函数求方程的近似根》人教版九年级数学(下册)


B. 3.23 < x < 3.24 D. 3.25 <x< 3.26
2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求
得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．4.4
B．3.4
C．2.4 D D．1.4
3.用图象法求一元二次方程
x2 的x 近1似根0（精确到0.1）.
解：画出函数 y=x²-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个 实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器 进行探索，见下表：
x
…
-0.4
-0.5
…
y
…
-0.04
0.25
…
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这 时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
＋bx＋c＝0的近似根为( )
B
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而
对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称
轴为x＝－1，则
y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方1程
ax2+bx+c=0的根是__(2_,_0_)_.
第二十四章 一元二次方程

第二十四章 一元二次方程


的长和宽
例2
解方程3x2-32x-48=0.
x232 3
解：方程两边都除以3，得 x-16=0. 将方程的二次项系 数化为1，更便于配 方！
移项，得 x2x232 3 x=16.
配方，得
16 16 32 x+( 3 )2=16+( 3 )2， 3 (x- 16 )2=( 20)2， 3 3 20 16 16 x= ，或x- = 20 . 3 3 3 3
2 b b 4ac 2 最后得到(x+ 2a ) = 2 4a
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)： x
小明认为，
把上式两边开平方并整理，就可求得方程的根
x b± b 4ac 2a
2
小亮认为，
小明的做法存在着问题。由a ≠0，得4a2>0，所以， 只有在b2-4ac≥0，即
b 4ac 4a
看看下面几道题的结果是什么呢？
如果(x+2)2=9，那么x= _______ 1或-5
7 3 或 7 3 如果(x-3)2=7，那么x= ___________
1或-3 如果x2+2x+1=4，那么x= _______
事实上，方程x2+2x-3=0可变形为 x2+2x+1=4，也就是(x+1)2 =4，在通 过开平方即可求出x1=-3，x2=1。
4 所以， x1=12，x2= . 3
用配方法解一元
二次方程的一般
步骤是什么？
例3 有一张长方形 桌子，它的长为2m，宽 为1m。有一张长方形台 布，它的面积是桌面面 积的2倍，将台布铺在 桌面上时，各边垂下的 长相等。求这块台布的 长和宽（均精确到 0.01m）。
利用函数的图象求一元二次方程近似根

利用函数的图象求一元二次方程近似根

21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时）实验中学-余志高一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。

二、教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学方法】学生合作交流学习法三、教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.函数图象求一元二次不等式的解集.：画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：ax2+bx+c>0(a>0)的解集是x<x1或x>x2ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c<0(a<0)的解集是x<x1或x>x2Ⅲ．课堂练习P34随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．了解一元二次方程不等式的解集可由二次函数图象直接得出结论。