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弧度制 课件

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5.1.2弧度制教学课件(人教版)

5.1.2弧度制教学课件(人教版)

13π B.
C. 2π
D. 17π
3
3
3
3
解析：与 5π 终边相同的角记为 ，则 5π 2kπ ， k Z ，
3
3
当 k 1时， π ，故 A 正确；
3
当
k
3 时，
13π 3
，故
B
正确；
令 5π 2kπ 2π ，解得 k 1 Z ，故 C 错误；
3
3
2
当 k 2 时， 17π ，故 D 正确.故选 ABD.
第五章 三角函数
5.1.2 弧度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制， 1
规定1度的角等于周角的 360 .
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度 的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
单位圆
半径为1的圆叫做单位圆.
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad ，
3
7.把角-690°化为 2kπ (0 2π, k Z) 的形式为___4_π___π6____.
解析：法一： 690
690
π 180
23 6
π
，
因为 23 π 4π π ，所以 690 4π π .
6
6
6
法二： 690
2360
30
，则 690
4π
π 6
.
8.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的
解析：（1）设扇形的半径为 r，弧长为 l.
60
3
，
r
3
，l
|
|
r
3
3
.
（2）由题设条件知，l 2r 16，l 16 2r(0 r 8) ，

高中数学《弧度制》课件

高中数学《弧度制》课件

弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1

弧度制课件

弧度制课件

04
弧度制在解决实际问题中应用
长度、面积和体积计算
弧长计算
利用弧度制计算圆弧的长 度，如计算圆的周长、圆 弧的长度等。
扇形面积计算
通过弧度制计算扇形面积 ，进而求解弓形面积、圆 环面积等。
球体体积计算
利用弧度制计算球体的体 积，如计算球的体积、球 冠的体积等。
物理问题中角度转换
角速度与线速度转换
和差化积公式
正弦和差化积
$\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$, $\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$
弧度制课件
目录
• 弧度制基本概念 • 弧度制下三角函数 • 弧度制下三角恒等式与公式 • 弧度制在解决实际问题中应用 • 弧度制与角度制对比及转换方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
弧度制基本概念
弧度制定义
等于弧长与半径之 比。
弧度单位
弧度制的单位是弧度，用 符号“rad”表示。
实际应用
角度制更直观易懂，常用于日常生 活和初级数学中；弧度制则更便于 微积分等高级数学运算。
转换方法介绍
角度转弧度
将角度数乘以π/180即可得到相 应的弧度数。例如，90度可转换 为π/2弧度。
弧度转角度
将弧度数乘以180/π即可得到相 应的角度数。例如，π弧度可转换 为180度。
06
总结回顾与拓展延伸
全体实数，值域为[-1,1]。

弧度制课件

弧度制课件

题型二 用弧度制表示终边相同的角 【例 2】 (1)把－1 480°写成 2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中 0 ≤α<2π； (2)若角 β 与 α 的终边相同，且 β∈[－4π，0)，求 β. [思路探索] 利用互化公式将－1 480°化为弧度制即可，根据 β 的范围用 β＝α＋2kπ，k∈Z，即可求出 β.
2．弧度制与角度制的互化技巧 弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时， 可牢记以下公式：1π80＝弧 角度 度，只要将已知数值填入相应位置， 解出未知的数值，再添上相应的单位即可．
3．(1)由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，由 α，r，l， S 中的两个量可以求出另外的两个量，即由其二得其二． (2)扇形面积公式可以类比三角形面积公式来记忆，S 扇＝12lR，l 相当于三角形的底边，R 对应为该底边上的高． 提醒 在同一个式子中，角度和弧度不能混用，如不能有 α＝6π ＋k·360°，k∈Z 形式的式子存在．
弧度制
自学导引
1．度量角的单位制
(1)角度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等
于周角的
1 360
.
(2)弧度制
①弧度制的定义 长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad
表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零
角的弧度数是零．
③角的弧度数的计算
如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么，角 α 的弧度
数的绝对值是|α|＝
l r
.
想一想：比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？ 提示 比值rl与所取的圆的半径大小无关，而仅与角的大小有 关．

弧度制PPT课件

弧度制PPT课件

0,
2
2 ,
2
2
[0, )
2
(, )
2
[0,)
[0,2)
四、课堂小结：
1.弧度制定义
2.角度与弧度的互化 3.特殊角的弧度数
度 0° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 120 ° 135° 150°
弧 度
0
6
4
3
2 3 5 23 46
作业：
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无特别要 求，不用将π化成小数。
练习2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
r 3.任一已知角α的弧度数的绝对值
l
(弧长计算公式)
l
5、弧度与角度的换算 若L=2 π r，则∠AOB=
L r
= 2π弧度
此角为周角 即为360°
L=2 π r
360°= 2π 弧度
（B）
OrA
180°= π 弧度
180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
1°= ——π弧度 ≈ 0．01745弧度 180
1弧度 =（—1—8）0 °≈ 57．30°= 57°18′ π
三、例题
（1）、把67°30′化成弧度。
解：
6730'
671

1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)

1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）

弧度制ppt课件


• (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×1π80＝667π＝5×2π＋76π，又因为π＜76π＜32π， 所以α与76π终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝76π＋2kπ(k∈Z)，又因为－5π≤γ＜0， 所以当k＝－3时，γ＝－269π； 当k＝－2时，γ＝－167π；当k＝－1时，γ＝－56π．
解：(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2158π． (2)因为 θ 与 α 终边相同，所以 θ＝2kπ＋2158π(k∈Z)． 又因为 θ∈(－4π，4π)，所以－4π＜2kπ＋2158π＜4π， 所以－9376＜k＜4376(k∈Z)．所以 k＝－2，－1，0，1． 所以 θ 的值是－4178π，－1118π，2158π，6118π．
2π rad＝__3_6_0_°_____ π rad＝___1_8_0_°____ 1 rad＝1π80°≈57.30° 弧度数×1π80°＝度数
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)1 弧度就是 1°的圆心角所对的弧．
()
(2)“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 r，面 积为 S．
l＋2r＝10 ①， (1)依题意有12lr＝4 ②， ①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1， r2＝4． 当 r＝1 时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad＞2π rad，舍去； 当 r＝4 时，l＝2 cm，此时，θ＝24＝12(rad)．
边界)内的角的集合．
• 错解一：{α|k·360°＋330°＜α＜k·360°＋ 60°，k∈Z}．

弧度制 课件


α2kπ<α&lα2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z
Ⅳ
α2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. [思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
[规律方法] (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的 对应值．
180 1 rad＝ π °≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 度
0
π 180
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3 5π 3 4π 6
π
3π 2
2π
温馨提示：角度制与弧度制是两种不同的度量单位，两者之间 可相互转化，并且角度与弧度是一一对应的关系．在表示角时， 角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防 止出现π3＋k·180°或 60°＋2kπ 等这类错误的写法．
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用 【例3】 已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．

弧度制 课件


问题 4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关 系，请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
180°＝ π rad 1°＝1π80 rad
弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180° 1 rad＝1π80°
探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
问题 1 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公 式，请根据“一周角(即 360°)的弧度数为 2π”这一事实化 简上述公式．(设半径为 r，圆心角弧度数为 α)． 答 半径为 r，圆心角为 n°的扇形弧长公式为 l＝1n8π0r， 扇形面积公式为 S 扇＝n3π6r02. ∵2πl r＝2|απ|，∴l＝|α|r.
【典型例题】 例 1 (1)把 112°30′化成弧度；(2)把－71π2化成角度．
解 先将 112°30′化为 112.5°，然后乘以18π0 rad，即可将 112°30′化成弧度，－172π乘以18π0°即可化为角度．
所以，(1)112°30′＝112.5°＝2225°＝2225×1π80＝58π. (2)－71π2＝－172π×18π0°＝－105°.
小结 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解 决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形 中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为 r 的二次函数的最值问题．
例 3 把下列各角化成 2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指
出是第几象限角：
(1)－1 500°； (2)236π； (3)－4. 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
4．角度与弧度的互化：
(1)角度转化为弧度：
360°＝2π rad；180°＝π rad； π

弧度制 课件

【解析】 (1)72°＝72×1π80＝25π； (2)－300°＝－300×1π80＝－53π； (3)2＝2×1π80°＝3π60°； (4)－29π＝－29π×1π80°＝－40°.
方法归纳 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝180°是关键， 由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数．
类型三 扇形的弧长及面积公式 [例 3] (1)已知扇形的圆心角为 120°，半径为 3 cm，则此扇 形的面积为________ cm2； (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的 弧度数．
【解】 (1)设扇形弧长为 l， 因为 120°＝120×1π80 rad＝23π(rad)， 所以 l＝αR＝23π× 3＝2 33π(cm)． 所以 S＝12lR＝12×2 33π× 3＝π(cm2)．故填 π.
(2)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，半径为 R，
l＋2R＝10.① 依题意有21lR＝4.② ①代入②得 R2－5R＋4＝0，解之得 R1＝1， R2＝4. 当 R＝1 时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad 舍去． 当 R＝4 时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12(rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad.
的半径大小无关的值； (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
与弧度制换算公式的理解 、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算． 制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都 制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．
类型一 角度与弧度的换算 [例 1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－29π.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的 一 个 比 值
与 半 径 长 无 关
l=r 1弧度 弧度 O r r A O
A
小 结
1.圆心角 所对弧长与半径的比是一个 圆心角α所对弧长与半径的比是一个 圆心角 仅与角α大小有关的常数 大小有关的常数,所以作为度 仅与角 大小有关的常数 所以作为度 量角的标准. 量角的标准 2.角度是一个量 弧度数表示弧长与半 角度是一个量,弧度数表示弧长与半 角度是一个量 径的比,是一个实数 是一个实数,这样在角集合与实 径的比 是一个实数 这样在角集合与实 数集之间就建立了一个一一对应关系. 数集之间就建立了一个一一对应关系
弧度制
弧度制的定义:用弧度做单位来度量 弧度制的定义
1.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆 心角叫做1弧度的角 用符号 弧度的角.用符号 表示。 弧度的角 用符号rad表示。 表示
正角 正数 负数 0
角的制度叫做 弧度制
2.正角的弧度数 正角的弧度数 负角
零角 负角的弧度数 任意角的集合 零角的弧度数
1º = 180 rad≈0.01745rad ≈ 1rad = ( 180) º ≈ 57.3º =57º 18′ π
6 .特殊角的度数与弧度数的对应表 特殊角的度数与弧度数的对应表: 特殊角的度数与弧度数的对应表
0º 0 30º 45º 60º 90º π/3 π/ π/2 π/6 π/4 π/ π/ 180º 270º 2π/ π/3 π π/
正角 零角 负角 正实数 零 负实数
1 2 (1)S = αR ; 2 1 (2)S = lR. 2
O R S l
由弧度的定义可知： 由弧度的定义可知：
定 义 的 合 理 性
圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径 的弧度数等于它所对的弧的长与半径 圆心角 的弧度数等于 长的比的绝对值。 长的比的绝对值。
B B l=r
1弧度 弧度
π
按照下列要求， 化成弧度： 例1. 按照下列要求，把67 °30′化成弧度： （1）精确值； ）精确值； 的近似值。 （2）精确到 ）精确到0.001的近似值。 的近似值
换算成角度（ 例2. 将3.14 rad换算成角度（用度数 换算成角度 表示，精确到0.001). 表示，精确到
利用弧度制来推导扇形的公式： 例3.利用弧度制来推导扇形的公式： 利用弧度制来推导扇形的公式
正数 负数 零
实数集R 实数集
3.任一已知角 的弧度数的绝对值 任一已知角α的弧度数的绝对值 任一已知角
|α| = r 其中l为以角 其中 为以角α作为圆心角时所对圆弧的
为圆的半径. 长,r为圆的半径 为圆的半径
l —
4.
l = |α| r
(弧长计算公式 弧长计算公式) 弧长计算公式
5.角度制与弧度制的换算 角度制与弧度制的换算: 角度制与弧度制的换算 360º = 2π rad, 180º = π rad