数列递推公式练习(带答案)

最新高考数列递推公式题型归纳解析完整答案版类型1)(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

变式1.1:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k ,其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.解：Θk k k a a )1(122-+=-，kk k a a 3212+=+∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+∴)1(313-+=-a a ，2235)1(3-+=-a a …………k k k k a a )1(31212-+=--+将以上k 个式子相加，得]1)1[(21)13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅++=-+k k k k k a a将11=a 代入，得1)1(21321112--+⋅=++kk k a ，1)1(21321)1(122--+⋅=-+=-k k k k k a a 。

经检验11=a 也适合，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--⋅+⋅--⋅+⋅=-+)(1)1(21321)(1)1(21321222121为偶数为奇数n n a nn n n n类型2n n a n f a )(1=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例3:已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+)1(≥n ，求n a 。

解：123132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---L 。

递推数列试题及答案1. 已知递推数列 \(a_n\) 满足 \(a_1 = 2\)，\(a_{n+1} = 2a_n + 1\)，求 \(a_5\) 的值。

答案：首先，我们根据给定的递推公式计算数列的前几项。

\(a_1 = 2\)\(a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \times 2 + 1 = 5\)\(a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \times 5 + 1 = 11\)\(a_4 = 2a_3 + 1 = 2 \times 11 + 1 = 23\)\(a_5 = 2a_4 + 1 = 2 \times 23 + 1 = 47\)所以，\(a_5\) 的值为 47。

2. 给定递推数列 \(b_n\) 满足 \(b_1 = 3\)，\(b_{n+1} = 3b_n - 2\)，求 \(b_4\) 的值。

答案：同样地，我们使用递推公式计算数列的前几项。

\(b_1 = 3\)\(b_2 = 3b_1 - 2 = 3 \times 3 - 2 = 7\)\(b_3 = 3b_2 - 2 = 3 \times 7 - 2 = 19\)\(b_4 = 3b_3 - 2 = 3 \times 19 - 2 = 55\)因此，\(b_4\) 的值为 55。

3. 考虑递推数列 \(c_n\) 满足 \(c_1 = 1\)，\(c_{n+1} = c_n + n\)，求 \(c_4\) 的值。

答案：我们根据递推公式计算数列的前几项。

\(c_1 = 1\)\(c_2 = c_1 + 1 = 1 + 1 = 2\)\(c_3 = c_2 + 2 = 2 + 2 = 4\)\(c_4 = c_3 + 3 = 4 + 3 = 7\)所以，\(c_4\) 的值为 7。

4. 递推数列 \(d_n\) 满足 \(d_1 = 5\)，\(d_{n+1} =\frac{d_n}{2} + 1\)，求 \(d_3\) 的值。

2.1.2 数列的递推公式（选学）5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.判断下列说法哪个是错误的( )A.递推公式也是数列的一种表示方法B.a n =a n-1(n≥2)是递推公式C.给出数列的方法只有图象、列表、通项公式D.a n =2a n-1(n≥2)是递推公式解析：通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法.a n =a n-1与a n =2a n-1，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，所以都是递推公式.答案： C2.已知数列{a n }的第1项是1，第2项是2，以后各项由a n =a n-1+a n-2(n ＞2)给出，则该数列的第5项等于( )A.6B.7C.8D.9解析：∵a 1=1，a 2=2,a n =a n-1+a n-2，∴a 3=a 2+a 1=1+2=3,a 4=a 3+a 2=3+2=5,a 5=a 4+a 3=5+3=8.答案：C3.一个数列{a n }的首项a 1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式a n =__________________.解析：这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n 的取值范围.答案：2a n-1+a n+1(n≥2)4.在数列{a n }中，a n+1=a n+2+a n ,a 1=2,a 2=5，则a 6的值为_______________.解析：∵a n+1=a n+2+a n ，∴a n+2=a n+1-a n ，则有a 6=a 5-a 4=(a 4-a 3)-a 4=-a 3=-(a 2-a 1)=a 1-a 2=2-5=-3.答案：-310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a 1=1，a n+1=22+n n a a (n ∈N *)，依次写出{a n }的前5项为__________，归纳出a n =_________. 解析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，根据递推公式：a n+1=22+n n a a ，将n=2,3,4,5代入可得这个数列的前5项.∴a 2=32,a 3=)42(21=,a 4=52,a 5=)62(31=．∴a n =12+n 答案：1，31,52,21,32 a n =12+n 2.数列{a n }满足a 1=1，a n =a n-1+n(n≥2)，则a 5=_____________.解析：由a n =a n-1+n(n≥2)，得a n -a n-1=n ，则a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,a 5-a 4=5，把各式相加得a 5-a 1=2+3+4+5=14,∴a 5=14+a 1=14+1=15.答案：153.已知a 1=2，a n+1=2a n ,写出前5项，并猜想a n .解：将n=2,3,4,5代入a n+1=2a n ，可得：a 1=2,a 2=22,a 3=23,这样我们就很容易猜出通项公式a n =2n .4.已知数列{a n }：1,5,8,9,4，通过公式b n =a n ·a n+1构造一个新的数列{b n }，试写出数列{b n }的前4项.解：将序号1,2,3,4代入公式b n =a n ·a n+1，可得：b 1=a 1·a 2=1×5=5，b 2=a 2·a 3=5×8=40，b 3=a 3·a 4=8×9=72，b 4=a 4·a 5=9×4=36.所以数列{b n }的前4项为：5,40,72,36.5.下面是由数字排列的一个数列：7,9,16,25,41,66,107,173，写出其递推公式.解：通过观察我们可以发现这个数列的一个规律：每一项都等于其前两项的和，7+9=16,9+16=25,16+25=41,25+41=66,…所以递推公式为：a 1=7,a 2=9,a n =a n-1+a n-2(3≤n≤8).6.在数列{a n }中，a 1=1，4a n+1-a n a n+1+2a n =9(n ∈N )，写出它的前4项并归纳出用n 表示a n 的式子.解：∵4a n+1-a n a n+1+2a n =9(n ∈N ),∴a n+1(4-a n )+2a n =9.∴a n+1(4-a n )=9-2a n .∴a n+1=nn a a --429. ∴a 2=11429a a -- =3714129=-⨯-， a 3=51337)37(2942922=-⨯-=--a a a ， a 4=7195134)513(2942923=-⨯-=--a a . 则求出的这个数列的前4项为：1，719,513,37，可归纳出通项公式为：a n =1256--n n . 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.在数列{a n }中，a n =1，a n+1=a n 2-1(n≥1)，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于( )A.-1B.1C.0D.2解析：由已知a n+1=a n 2-1=(a n +1)(a n -1)，∴a 2=0,a 3=-1，a 4=0,a 5=-1.答案：A2.已知数列{a n }中，a 1=b （b 为任意正数），a n+1=11+-n a （n=1,2,3，…），能使a n =b 的n 的数值可以是( )A.14B.15C.16D.17解析：∵a 1=b ，a n+1=11+-n a ， ∴a 2=11+-b ，a 3=bb 1+-，a 4=b. ∴{a n }为周期为3的数列.由于a 1=a 4=b ，∴a 16=b.答案：C3.若数列{a n }满足：a n+1=na 11-且a 1=2，a 2006等于( ) A.1 B.2 C.2 D.21 解析：由a n+1=n a 11-以及a 1=2得，a 2=21211=-，a 3=1-2=-1，a 4=2，…，由此可见，数列{a n }的项是以3为周期重复出现的，故a 2006=a 3×668+2=a 2=21，故选D ． 答案：D4.数列{a n }的前9项是1,5,7,17,31,65,127,257,511，请写出这个数列所隐含的递推关系式a n =_____________.解析：1+5=6,5+7=12,7+17=24,等等.12与17差个5，24与31差个7，那么下一项是否差个17呢？17+31+17=65正符合，这样可以猜想出这个数列的递推关系式.答案：a 1=1,a 2=5,a n =a n-1+2a n-2(n≥3)5.某网络公司，2005年的市场占有率为A ，根据市场分析和预测，该公司自1996年起市场占有率逐年增加，其规律如下图所示：则该公司2007年的市场占有率为____________；写出其中的递推关系式：____________. 解析：2005年的市场占有率为A ，2006年的市场占有率为A+2A ，2007年的市场占有率为A+42A A +，发现前一年的占有率与后一年的占有率密切联系，可以得到前后两年的递推关系式.答案：47A 递推关系式为：⎪⎩⎪⎨⎧≥+===--221111n A a a n A a n n n 6.设二次方程a n x 2-a n+1x+1=0(n ∈N )有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3.试用a n 表示a n+1.解：根据韦达定理，得α+β=n n a a 1+,α·β=n a 1，由6α-2αβ+6β=3得6·321+=+n n n a a a ，又在二次方程中a n ≠0，故a n+1=3121+n a . 7.已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=αa n +β，且a 2=3,a 4=15，求α,β的值.解：由a 2=αa 1+β=α+β=3，得β=3-α.故a 3=αa 2+β=3α+β=2α+3，a 4=αa 3+β=α(2α+3)+3-α=2α2+2α+3=15.化简得α2+α-6=0.解得α=-3或α=2，代入β=3-α得β=6或β=1.故⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=.6,3,6,3βαβα或代入检验皆成立. 8.平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，用a n 表示交点的个数，试写出a n 与a n-1的关系式.解：要想弄清a n 与a n-1的关系，需要先研究n=1,2,3,…,具体的关系.当n=2时，两条直线相交，交点只有1个，当n=3时，三条直线相交，交点有3个，……当n-1条直线相交时，交点个数为a n-1，现在来考虑n 条直线的情况.任取其中的1条直线，记为l ，除l 以外的其他n-1条直线的交点个数a n-1.又因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他n-1条直线都相交，有n-1个交点，又因为已知任何三条直线不过同一点，所以上面的n-1个交点两两不相同，且与平面内其他的a n-1个交点也两两不相同.从而平面内n 条直线交点的个数是a n =a n-1+(n-1).9.某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年增长率的一半，设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量，并写出第n 年与第(n-1)年（n ∈N 且n≥2）的产量之间的关系式（不要求证明）.解：不妨设改进技术后第n 年的产量为a n ，则a 1=a(1+200%)=3a ，a 2=a 1(1+21×200%)=6a ， a 3=a 2(1+221×200%)=9a ， a 4=a 3(1+321×200%)=a 445. 依此，得a n =a n-1(1+121-n ×200%)=a n-1［1+(21)n-2］（n ∈N *，n≥2）. 10.为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100 ℃开始第一次量细棒长度，以后每升高50 ℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{l n }表示成图象，如下图，根据图象完成下列问题：（1）第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？（2）求{l n }的通项和金属棒长度l （m ）关于温度t （单位：℃）的函数关系式；（3）在30 ℃的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500 ℃，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？解：(1)从图上不难看到第5次量得金属棒长度是 2.005 m ，这时温度为(5-1)×50+100=300 ℃.(2)设l n =dn+b ，由待定系数法可得通项公式l n =0.001n+2，由题意可得t=50(n-1)+100=50n+50，∴n=5050 t ，代入通项公式得所求函数关系式为l n =0.000 02t+1.999. （3）设当t=30 ℃时,金属板在某个面上长度为l′ m,当t=500 ℃时金属板在该个面的长度为l″ m ,l′=0.000 02×30+1.999,l″=0.000 02×500+1.999,则l″-l′=0.000 02×(500-30)=0.000 02×470=0.00 94(m)，这就是至少要留的空隙.。

专题1：递推公式求通项公式1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（ ）A ．14-=n a nB ．223++-=n n n a nC ．12++=n n a n D ．不存在2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （ ） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3-3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，*n N ∈都有2123n a a a a n ⋅⋅=L ，则35a a +=等于（ ）A.1661B.925C.1625D.1531 4．下列各式中，可以作为数列}{n a 的通项公式的是：（ ） A ．2-=n a n B ．)2(log 1-=-n a n n C ．112++=n n a n D ．4tan πn a n = 5．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是 （ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．13787．数列}{n a 的前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n ，而11=a ，通过计算2a ，3a ，4a 猜想=n aA ．2)1(2+n B ．n n )1(2+ C ．122-n D ．122-n8．数列}{n a 中，)2(31,1111≥+==--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（ ）A ．231-n B ．231+n C ．321-n D ．321+n 9．数列}{n a 中，若)(2)13(1+∈-=N n a S n n ，且544=a ，则1a 的值是________. 10．数列}{n a 满足2112313333n n n a a a a -+++++=L *()n N ∈，则=n a __________. 11．已知数列}{n a 满足21=a ，+∈∀N n ，0>n a ，且0)1(2112=-++++n n n n na a a a n ，则数列}{n a 的通项公式是=n a ____ __。

.专题 由递推关系求数列的通项公式一、目标要求通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：二、知识梳理求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。

三、典例精析1、公式法 ：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。

常用的公式有 a nS 1 S nSn 1等差数列和等比数列的通项公式。

例 1已知数列 { a n } 中 a 1 2 ， s nn 2+2 ，求数列 { a n } 的通项公式n 1及n 2评注 在运用 a n s n s n 1 时要注意条件 n 2 ，对 n=1 要验证。

2、累加法： 利用恒等式 a n a 1 a 2 a 1 +......+ a n a n 1 求通项公式的方法叫累加法。

它是求型如an 1a n +f n 的递推数列的方法（其中数列 f n 的前 n 项和可求）。

例2已知数列{ a n } 中 a 1 1 a n +1 ，求数列 { a n } 的通项公式 ， a n 12 +3n2 n 2评注 此类问题关键累加可消中间项，而f ( n ）可求和则易得 a n 3 、 . 累乘法 ：利用恒等式 a n a 1a 2a 3 a n a n 0 求通项公式的方法叫累乘法。

它是求型如a 1 a 2a n1an 1g n a n 的递推数列的方法 数列 g n可求前 n 项积例 3已知数列{a n} 中s n 1 na n，求数列{ a n} 的通项公式评注此类问题关键是化a ng n ，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。

a n14、转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。

6.数列递推公式与通项公式基础过关练 ......................................................................................................................... 1 能力提升练 ......................................................................................................................... 4 培优拔尖练 . (9)基础过关练1．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =（ ）A ．361B ．374C ．385D ．395【答案】B【分析】将数列的前22项写出来，再进行求和即可.【详解】根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13， 所以()()221361015212836455566345678910111213S =+++++++++++++++++++++()313112863742+⨯=+=2．若数列{}n a 满足132n n a a +=+，则称{}n a 为“梦想数列”，已知正项数列{}1n b -为“梦想数列”，且12b =，则n b =（ ） A ．n b =23n ⨯ B ．n b =213n -⨯ C ．n b =23n ⨯+1 D ．n b =213n -⨯+1【答案】B【分析】将1n b - 作为整体代入，即可求解.【详解】依题意，()()111312,3n n n n b b b b ++-=-+∴= ，即{}n b 是首项为2，公比为3的等比数列，123n n b -=⨯ ；3．已知数列{}n a 的首项11a =，若向量()11,n n a a a +=+，向量()1,1b =，且满足a b ∥，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．1n a = B ．1,2,n n a n ⎧=⎨-⎩是奇数是偶数C ．n a n =-D ．n a n =【答案】D【分析】根据题目所给的条件，求出数列的递推关系，再根据递推关系求出通项公式. 【详解】由题意，//a b 1111n n a a ++∴= ，即11n n a a +=+ ， 数列{}n a 是首项为1，公差d =1的等差数列，()1111n a a n d n n =+-=+-= ； 4．已知等比数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n N n +-=⋅∈≥，则2n a = A ．1 B ．2C ．nD ．2n【答案】B【分析】由等比中项性质知211n n n a a a +-=，而112(,2)n n n a a a n N n +-=⋅∈≥，即有22n n a a =进而可得n a 的通项，即可求2n a【详解】等比中项的性质得：22n n a a =∴2(,2)n a n N n =∈≥，其中0n a =舍去 ∴22n a =5．数列2，22，222，2222，的一个通项公式an 是（ ） A ．nn a 108=- B ．n n 101a 9-=C ．nn a 21=-D ．()n n 2101a 9-=【答案】D【分析】根据所给的这个数列的特点，先写出数列{c n }:9，99，999，9999的通项是10n﹣1，而要求数列的每一项均是数列{c n }的29，即可得答案． 【详解】根据题意，数列{c n }：9，99，999，9999的通项是10n ﹣1， 数列2，22，222，2222，…的每一项均是数列{c n }的29， 则数列2，22，222，2222，的一个通项公式是a n ()n 21019-=；6．已知{a n }是等差数列，满足：对∀n ∈N*，a n +a n+1＝2n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝（ ） A ．nB ．n ﹣1C ．n ﹣12D ．n+12【答案】C【分析】由12n n a a n ++=得1222n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a +-=，可得d 的值，可得答案.【详解】解：由12n n a a n ++=得1222n n a a n +++=+， 两式相减得2221n n a a d d +-==⇒=， 故122n n n a a d n a n ++=⇒=-.7．设数列{}n a 满足1a a =，2121n n n a a a +-=+（*N n ∈），若数列{}n a 是常数列，则=a ( )A ．-2B ．-1C ．0D ．(1)n -【答案】A【分析】因为数列{}n a 是常数列，所以2a a =，再由递推公式可得2221a a a -=+，联立求解即可.【详解】解：因为数列{}n a 是常数列，所以221212211a a a a a a --===++， 即2(1)2a a a +=-，解得2a =-.8．在数列{}n a 中，114a =-，*111(2,)n n a n n N a -=-≥∈，则2016a 的值为 A ．14-B ．5C ．45 D ．54【答案】C【分析】利用数列的周期性即可求解.【详解】解：由题意，可得114a =-，2145a =+=，314155a =-=，4151144a a =-=-=， 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 所以2016345a a ==， 9．在数列{}n a 中，若12a =，1132n n n a a ++=+，则n a =（ ） A ．2n n ⋅ B ．5122n -C ．1232n n +⋅-D ．11432n n -+⋅-【答案】C【分析】根据题干条件构造等比数列，进行求解.【详解】令22n n n a b =+，则11111322232222222n n n n n n n n n n n a a b a a b ++++++++===++， 又11232a b =+=，所以{}n b 是以3为首项，32为公比的等比数列， 所以132322n n n n a b -⎛⎫=+=⨯ ⎪⎝⎭，得1232n n n a +=⋅-．10．已知数列{}n a 满足2123n a a a a n =，其中1,2,3,n =，则数列{}n a （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求得数列{}n a 的通项公式，再分析数列的单调性即可 【详解】依题意，因为2123n a a a a n =，其中1,2,3,n =，当1n =时，2111a ==，当2n ≥时，21231(1)n a a a a n -=-，2123n a a a a n =，两式相除有22211,2(1)1n n a n n n ⎛⎫=+≥ ⎪--⎝⎭=，易得n a 随着n 的增大而减小，故24n a a ≤=，且11n a a >=，故最小项为11a =，最大项为24a =能力提升练1．已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（ ） A ．-15 B ．-14C ．-11D ．-6【答案】A【分析】根据已知条件得出最小项为6a ，利用迭代的思想即可求得6a .【详解】∵1211n n a a n +-=-，∴当5n ≤时，10n n a a +-<，当5n >时，10n n a a +->，∴12345678a a a a a a a a >>>>><<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又1211n n a a n +-=-，∴()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+- ()()()()()109753115=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是15-.2．若数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1232n n n a a b +=++，1232n n n b a b +=+-，则20222021a b +=（ ） A ．2020231⋅+B ．2020321⋅-C ．2020321⋅+D ．2021321⋅-【答案】C【分析】依题意可得{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求出{}n n a b +的通项公式，再根据1232n n n a a b +=++，得到131122n n n a a b +=++，即可得到{}1n n a b ++的通项公式，最后代入即可； 【详解】解：因为1232n n n a a b +=++， 1232n n n b a b +=+-，所以()112232324n n n n n n n n a b a b a b a b ++-+=++++=+，即()112n n n n a b a b +++=+， 又112a b +=， 所以{}nn a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn n a b +=，又1232n n n a a b +=++，即131122n n n a a b +=++， 所以()1313112223212n n n n n n n n a b a b b a b +===⨯+++++++ 所以20212002222200213213212a b +=⨯+=⨯+； 3．已知n a 为数列{}n b 的前n 项积，若121n nb a -=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ） A ．32n - B ．32n -+C ．34n -D ．12n -【答案】D【分析】先求出11a =-，再根据题意可得111221n nn n n n a a a a a a ---=-=,化简为12n n a a --=-，由此求得答案.【详解】当1n = 时，111121,1a a a -==-， 当2n ≥ 时，111221n n n n n n a a a a a a ---=-=，即12n n a a --=-， 故数列{}n a 为首项为1- ，公差为2- 的等差数列， 故1(1)(2)12n a n n =-+--=- ，4．已知数列{n a }满足2112333...3n n a a a a -++++=3n（n ∈N *），则n a =（ ） A ．13nB ．-113n C ．13nD ．113n +【答案】C【分析】根据已知条件，应用作差法可得1133n n a -=，进而求得数列{n a }的通项公式，注意验证1a 是否满足通项公式.【详解】由题设，2112333...3n n a a a a -++++=3n ①，则221231133 (33)n n n a a a a ---++++=(2)n ≥②，①-②得：1113333n n n n a --=-=(2)n ≥， 所以13n n a =(2)n ≥，由①知113a =也满足上式，故13n n a =（n ∈N *）. 5．已知数列{}n a 满足22a =，2212nn n a a -=+（n *∈N ），()2121n n n a a +=+-（n *∈N ），则数列{}n a 第2022项为（ ） A ．101222- B ．101223- C ．101122- D ．101121-【答案】A【分析】先通过条件得到12222(1)n n n n a a --=++-，再利用累加法即可求解.【详解】由()2121n n n a a +=+-得()()12122,21n n n a n n a -*--=+-∈≥N ，又2212n nn aa -=+，可得12222(1)n n n n a a --=++-，所以()()223426421,21a a a a =++-=++-，()()3101041011862022202021,,21a a a a =++-=++-，将上式相加得()()()12101023101120222111222a a =+-+-+-++++101010124(12)22212⋅-=+=--.6．已知数列{}n a 满足：①先单调递减后单调递增：②当3n =时取得最小值．写出一个满足条件的数列{}n a 的通项公式n a =_________．【答案】()()2*3N n n a n =-∈【分析】利用数列单调性的定义进行判断，从而得到数列的最值.【详解】设()()2*3N n a n n =-∈，则()212n a n +=-，()()2122325n n a a n n n +-=---=-，当120152,n n n n a a +-=-≤<≤，数列单调递减，当1503,2n n n a a n +-=->≥，数列单调递增，即1234a a a a >><<⋅⋅⋅， 可得当3n =时数列取得最小值，故答案为：()()2*3N n n a n =-∈7．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=（n 为正整数），则数列{}n a 的通项公式为________．【答案】21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【分析】当2n ≥时，12n n a S -=，所以两式相减得()112n n n n a a S S +--=-，所以化简有13n na a +=，又因为212a a =，可得数列{}n a 是以22a =为首项，公比为3的等比数列，即可求出数列{}n a 的通项公式.【详解】因为11a =，12n n a S +=， 所以当1n =时，211222a S a ===，当2n ≥时，12n n a S -=，所以两式相减得：()112n n n n a a S S +--=-， 则12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，又因为 212aa =， 所以数列{}n a 是以22a =为首项，公比为3的等比数列.所以当2n ≥时，223n n a -=⋅.所以数列{}n a 的通项公式为：21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩8．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足211nn S n a n +=+，则其通项n a =______． 【答案】2n 【分析】设出首项和公差，根据1n =和2n =得到方程组，变形后得到()1123223a d d a d +=+，从而求出公差，进一步求出首项，求出通项公式.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，令1n =得： 12212a a =，即2212a a =，令2n =得：则122323a a a +=，由212212342332a a a a a ⎧=⎨+=⎩，两式相减得：()()21323232a a a a a a -=+-，即()1123223a d d a d +=+，因为等差数列{}n a 的各项均为正数，所以1230a d +>，解得：12d =，代入2212a a =中，解得：112a =， 所以()111222=+-=n n a n .故答案为：2n 9．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1125n n n S S a +=++，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________. 【答案】1165121111n -⋅- 【分析】利用n S 与n a 的关系，得到1125n n a a +=+，再利用待定系数法，进行构造数列，得到511n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，进而利用等比通项公式即可求解.【详解】由题意得，1125n n a a +=+，设()112n n a a λλ++=+，故11211n n a a λ+=+，则115λ=，故511λ=，则155121111n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即151112511n n a a ++=+，则数列511n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1611，公比为12的等比数列，故1516121111n n a -+=⋅，故1165121111n n a -=⋅-. 10．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且()12n n nS n S +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =___________. 【答案】n【分析】先利用累乘法将n S 的通项公式求出，再利用n S 与n a 的关系，求出{}n a 的通项公式即可.【详解】解：∵1(2)n n nS n S +=+，∴12n n S n S n++= 当2n ≥时，121121n n n n n S S S S S S S S ---=⨯⨯⨯⨯， 1126543112344321n n n n n n n n +--=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯---- (1)2n n +=当1n =时，111212S a ⨯===成立， ∴(1)2n n n S +=， 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=， 当1n =时，11a =满足上式， ∴n a n =.培优拔尖练1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足①0n a ≥恒成立，②12n S ≤≤，③{}n a 是一个递减数列，写出一个满足以上条件的数列{}n a ：___________. 【答案】2441n a n =-（答案不唯一）【分析】由已知可知数列{}n a 每一项均非负，且为递减数列，前n 项和大于等于1且小于等于2，所以对于2441n a n =-逐个验证即可【详解】易知24041n a n =>-恒成立，满足条件①；24112412121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， 则12n n S a a a =+++=111112212335212121n n n ⎛⎫=⨯-+-++-=- ⎪-++⎝⎭. 又20121n <<+，所以12n S <<，满足条件②； 由2441n a n =-易知{}n a 是递减数列，满足条件③.2．在数列{}n a 中，11a =，213a =，且满足1112(3)n n n n n a a a a a +-+=-(2)n ≥，则n a =___________. 【答案】121n- 【分析】由递推公式两边同除11n n n a a a -+得到11231n n n a a a -+=-，即可得到1111112n n n na a a a -+⎛⎫-=⎪- ⎝⎭，即可得到111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项、2为公比的等比数列，则1112n n na a +-=，再利用累加法求出1na ，即可得到数列{}n a 的通项公式； 【详解】解：因为11a =，213a =，()11123n n n n n a a a a a +-+=-，显然0n a ≠，所以111123n n n n n n a a a a a a ++--=-，同除11n n n a a a -+得11231n n n a a a -+=-，所以1111112nn n n a a a a -+⎛⎫-=⎪- ⎝⎭，所以1111211n nn n a a a a +--=-，所以111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项、2为公比的等比数列，所以1111222n n n n a a -+-=⨯=，所以132212111111111111n n n n n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1211222212112nn n n ---=++++==--所以121n n a =- 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，函数2()cos 21n n f x x S x a =-+-在定义域内有唯一的零点，则数列{}n a 的通项公式________．【答案】12n n a -=【分析】根据偶函数的对称性可以判定函数为唯一零点的横坐标必然为0，进而得到数列的和与项的关系式，利用作差法消和得到项的递推关系，结合首项的求解结果，可以判定此数列是等比数列，然后写出通项公式即可.【详解】函数2()cos 21n n f x x S x a =-+-在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性，2()cos 21n n f x x S x a =-+-为偶函数，其图象关于y 轴对称可知这个公共点的横坐标一定是0，（否则公共点则成对出现），即21n n S a =-,取1n =得11121a S a ==-,s 所以11a =,当2n ≥时得到1121n n S a --=-,122n n n a a a -∴=-,即12n n a a -=,∴数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n a -=,4．已知数列{}n a 满足()1111n n a n N a *+=-∈+，11a =.若从四个条件：①A ；②2ωπ=；③3πϕ=；④12B =中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列{}n a 的通项n a 表示为sin()0,||2A n B πωϕωϕ⎛⎫++>< ⎪⎝⎭的形式，则n a =___________.134n ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭或134n ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 【分析】由递推关系推出n a 的通项公式，发现n a 周期为2，求出w π=，则排除②，再根据，1a ，2a 的取值，求出14B =，排除④，分别讨论①和③作为条件时是否成立，得到最终的表达式.【详解】解：因为()1111n n a n N a *+=-∈+，11a =，则212a =-，31a =，412a =-，51a =，612a =-，L ，所以数列{}n a 周期为2，即22T wπ==，解得w π=，则②不能作为条件，此时sin()n a A n B πϕ=++，有sin()11sin(2)2A B A B πϕπϕ++=⎧⎪⎨++=-⎪⎩ 解得：14B =，则④不能作为条件，此时1sin()4n a A n πϕ=++，当①作为条件时，1)4n a n πϕ++，11)14a πϕ=++=，此时sin ϕ=，3πϕ=-，代入n a成立，故①可作为条件，此时1)34n a n ππ=-+ 当③作为条件时，1sin()34n a A n ππ=++，则11s i n ()134a A n ππ=++=，此时A =，代入na成立，故③可作为条件，此时1)34n a n ππ=++. 5．在数列{}n a 中，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，则n a =___________.【答案】()2211nn -+【分析】根据已知条件求得()2122111n nn a a n +⎡⎤-+⎣⎦+=，用累乘法求得n a . 【详解】依题意，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，即()()()2221121,2111211n n n n n a n a n a a n ++⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤+=+=-⎣⎦+， 所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()22222222211201222212311121111n n n n ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-+-+⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=⋅⋅⋅⋅⋅++()2211n n =-+.故答案为：()2211n n -+ 6．已知数列{}n a 中，11511,2n n a a a +==-，若12n n b a =-，则数列{}n b 的前n 项和n S =_______. 【答案】4619n n +--【分析】根据条件，先构造等比数列求出n a ，再由12n n b a =-得n b ，从而可求和. 【详解】由1512+=-n n a a ，有11112222n n n na a a a +--=-=⋅，12111222n n n n a a a a +--=-=⋅；两式相除得到1122111422n n n n a a a a ++--=⋅--，所以212n n a a ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭是以14为公比，112212a a -=--为首项的等比数列，所以，1212142n n n a a --⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭-，13224n n a -=-+，从而12433n n b -=--. 所以2141241461333399n n n n n n n S --+-=--⨯=--=-. 7．已知数列{}n a 满足11a =，195n n n a a a +-=-，则n a =______. 【答案】23n-【解析】由已知数列递推式可得数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭以12-为首项,以12-为公差的等差数列,求出等差数列的通项公式后可得n a . 【详解】由195n n n a a a +-=-得()()()()1115903323230n n n n n n n n a a a a a a a a +++∴--+=∴---++-=，， 1111332n n a a +∴=---，又11113132a ==---，所以数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭以12-为首项,以12-为公差的等差数列,111(1)3222n n n a ⎛⎫∴=-+--=- ⎪-⎝⎭，23n a n ∴-=-，所以23n a n=-， 8．已知递增数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，若141n n n b b S +=-，则n b =________. 【答案】21n -【分析】由条件可得()11411n n n b b S n --=->与141n n n b b S +=-两式相减可得{}n b 的关系，从而得到答案.【详解】当1n =时，121141=41b b S b =--，得23b =. 由141n n n b b S +=-………① 当1n >时，1141n n n b b S --=-……②由①－②得: ()11144n n n n n n n b b b b S b S +--==-- 又数列{}n b 为递增数列且11b =，所以1n b ≥ 所以得到114n n b b +--=所以数列{}n b 的奇数项是以11b =为首项，4为公差的等差数列, 设21,*n k k N =-∈,则()211414321n k b b k k n -==+-=-=-. 数列{}n b 的偶数项是以23b =为首项，4为公差的等差数列,设2,*n k k N =∈,则()23414121n k b b k k n ==+-=-=- 所以21n b n =-9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2119*2n n n nS S n N +-+=∈，若24a <-，则n S 取最小值时n =__________. 【答案】10【分析】由题意结合递推关系可得21(2)n n a a n +-=≥，即数列为隔项等差数列，结合数列的性质可得n S 取最小值时n 的值.【详解】由21192n n n nS S +-+=，()21(1)1912n n n n S S ----+=，两式作差可得：1110(2)n n S S n n +--=-≥，即110(2)n n a a n n ++=-≥，由110n na a n ++=-，219n n a a n +++=-，两式作差可得：21(2)n n a a n +-=≥， 则328a a +=-，24a <-，故234a a <-<，进一步可得：4567891011,,,a a a a a a a a <<<<，又10110a a +=，则10110a a <<，且111212130a a a a <+<+<，则n S 取最小值时10n =.10．已知数列{}n a 满足121,3a a ==，()1N,3n n a a n n n --=∈≥，{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，则2018a =__________． 【答案】1005-【分析】先判断()21201n n a a n +->≥，()222101n n a a n ++-<≥，可得()21222212122n n n n a a n a a n +++-=+⎧⎨-=-+⎩，相加得到2221n n a a +-=-，根据等差数列的通项公式可得结果.【详解】{}21n a -是递增数列，21210n n a a +-∴->，()()2122210n n n n a a a a +-∴-+->， 212221212,n n n n n n a a a a +-+>∴->-， ()21202n n a a n +∴->≥，∵1n n a a n --=，∴当3n =时，323a a -=， ∵23a =，∴333a -=，解得：36a =或0， ∵{}21n a -是递增数列， ∴310a a >>， ∴36a =， ∴230,a a ->()21201n n a a n +∴->≥成立，由{}2n a 是递减数列，2220n n a a +∴-<， 同理可得()222101n n a a n ++-<≥，()21222212122n n n n a a n a a n +++-=+⎧∴⎨-=-+⎩， 2221n n a a +∴-=-，{}2n a ∴是首项为3，公差为1-的等差数列，故()()201831009111005a =+-⋅-=-.。

常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题k=1，则an+1=an+f(n)为一阶线性递推数列，可用递推公式或特征方程求解。

例如已知a1=1，an+1=an+1/n，则有：an+1-an=1/nan-an-1=1/(n-1)an-a1=1+1/2+。

+1/n-1an=1+1/2+。

+1/n当k≠1时，设an+1+m=k(an+m)，则有：an+1=kan+km-m比较系数得km-m=b，解得m=b/(k-1)an+m=b/(k-1)k^(n-1)+(a1-b/(k-1))k^n-1即为通项公式。

例2]an+1=kan+f(n)型。

当k=1时，an+1-an=f(n)，若f(n)可求和，则可用累加消项的方法求得通项公式。

例如已知a1=1，an+1-an=1/(n(n+1))，则有：an+1-an=1/n-1/(n+1)an-an-1=1/1-1/2-1/2+1/3+。

+1/(n-1)-1/n-1/(n+1)an-a1=1-1/(n+1)an=2-1/n当k≠1且f(n)=an+b时，可设an+1+A(n+1)+B=k(an+An+B)，解得A=a/(k-1)，B=(2k-1)/(k-1)b-a，即可得通项公式。

例3]an+1=f(n)an型。

若f(n)=q(n+1)/n，则有：Cn=qCn-1Cn=q^nC0an=Cn/n!=q^nC0/n!即为通项公式。

1.已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}$，求 $a_n$。

解：根据递推式，可以列出 $a_2=3$，$a_3=7$，$a_4=15$，$a_5=31$，$a_6=63$，$a_7=127$，$\cdots$，可以猜测 $a_n=2^n-1$。

可以用数学归纳法证明：当 $n=1$ 时，$a_1=1=2^1-1$，假设 $a_k=2^k-1$，则 $a_{k+1}=a_k+2a_{k-1}=2^k-1+2\cdot 2^{k-1}-2=2^{k+1}-1$，所以 $a_n=2^n-1$。

数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。

2.项：数列中的每一个数。

3.项数：数列中数的个数。

4.首项：数列的第一项。

5.末项：数列的最后一项。

6.公差：等差数列中，相邻两项的差。

7.公比：等比数列中，相邻两项的比。

二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。

2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。

3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。

五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。

2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。

六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。

2.无限数列：项数无限的数列。

3.交错数列：正负交替出现的数列。

4.非交错数列：同号连续出现的数列。

5.常数数列：所有项都相等的数列。

6.非常数数列：各项不相等的数列。

综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。

同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。

习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。

数列递推公式练习1 数列2, —, — ^8,10中第8项是( )3 15 35 63 9914 16 18 20A. B. C. D.195 255 323 3992、已知数列'a n满足a n a n j = a n j ■ -1 \且ai =1，则a5亠 ()a316 4 8 8A. B. C. — D.15 3 15 33、数列a?中,已知a T=1,a2 : =2, a n 2 =a n 1 " a n n N ，则a2002 =A. 1B. -1C. -2 D .24、已知a T1—Jan 1 -3an /n* -IN ,则a n 二() 2 a n32 23 3A. B C. D.n +5 n 4 n 5 n 45、数列Sn 满足a n = 4a n」3且a1 = 0，则此数列第5项是()A. 15B. 255C. 16D. 636、数列Sn冲，a1 =3,a n1 -2a n = 0 ,数列：b n啲通项b n满足关系式a nb n =( —1$(n€ N* ),贝V b n = _______________________________________ 。

17、设数列a ［满足a1 =1 , a n=1 n，写出这个数列的前5项。

a n」8、设数列：a n匚满足a1 = 5 ,a n T=3a n，写出这个数列的前5项并归纳猜想通项公式。

9、数列'a n '中, a i =a,a n i2a n1 a n写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律,写出数列的一个通项公式。

10、设数列；an ｝满足a i =1 , a n .1 - a n =3n2• 3n T ,写出这个数列的前5项并归纳通项公式。

11、已知数列3n 满足a i =1, a. ^pa n q，且a? =3, =15，求p,q 的值。

参考答案:1、B2、B3、B4、C5、B6、a n7、a i =1,a「2,a「|,a4 5 8「,a5=5= 15, a? =45, 83 = 135, a^ = 405 a n -5 3nJ9、2a=a a21 +a4aa3 :1 3aa28a1 7a2n」a1 2n」-1a10、a i =1@=8, a3 = 27, a4 = 64,a5 =12511、解:由已知可得a22a4二pa3 q = p pa2 q q = p a2 pq q 即3p2pq q =15联立方程组p +q =33p2+ pq + q =15解得丿p—3或」q =6。

4.1.2 数列的递推公式知识点一数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．数列递推公式与通项公式的关系：递推公式表示a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)之间的关系，而通项公式表示a n 与n 之间的关系． 要点二 a n 与S n 的关系1．前n 项和S n ：把数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝12n a a a +++ 2．a n 与S n 的关系：a n ＝11,1,2n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．( ) (2)有些数列可能不存在最大项．( ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．( ) (4)所有的数列都有递推公式．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×2．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 【答案】D【解析】a 3＝a 2＋a 1＝5＋2＝7，a 4＝a 3＋a 2＝7＋5＝12，a 5＝a 4＋a 3＝12＋7＝19，故选D. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，则125是这个数列的第几项( ) A ．4 B ．8 C ．7 D ．12 【答案】B【解析】令2n 2－3＝125得n ＝8或n ＝－8(舍)，故125是第8项．故选B. 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，则a n ＝________. 【答案】2n －1【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝n 2－n 2＋2n －1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.题型一 数列中项与项数关系的判断(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；(2)判断42和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．【解析】(1)由于22＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为a n ＝3n －1；a 20＝3×20－1＝59.(2)令3n －1＝42，两边平方得3n ＝33，解得n ＝11，是正整数令3n －1＝10，两边平方得n ＝1013，不是整数．∴42是数列的第11项，10不是数列中的项． 【方法归纳】(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．【跟踪训练1】已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 【解析】(1)a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项．由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，所以68不是该数列的一项．题型二 已知S n 求a n例2 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2－30n .求a n . 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n －[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28，适合上式， 所以a n ＝4n －32.借助a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2)【变式探究1】将本例中的“S n ＝2n 2－30n ”换为“S n ＝2n 2－30n ＋1”，求a n . 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－30×1＋1＝－27. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－30n ＋1－[2(n －1)2－30(n －1)＋1] ＝4n －32.验证当n ＝1时，上式不成立∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－27，n ＝14n －32，n ≥2.方法归纳已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2.【跟踪训练2】已知数列：a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，求a n .【解析】当n ≥2时，由a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，得a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，两式相减得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，则a n ＝13n .当n ＝1时，a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n .题型三 由数列递推公式求通项公式【例3】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝________.【答案】n (n ＋1)2【解析】∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 1＝1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 2－a 1＝2 以上式子相加得： a n －a 1＝2＋3＋…＋n∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.变形为：a n ＋1－a n ＝n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求． 【变式探究2】若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，则a n ＝________.【答案】1n【解析】∵a n ＋1＝n n ＋1a n ，a 1＝1，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1，∴a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 2a 1＝12，以上式子两边分别相乘得：a n a 1＝n －1n ×n －2n －1×…×12＝1n∴a n ＝1n a 1＝1n .【方法归纳】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝g (n )·a n ，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当a n ＝a n －1＋f (n )时，常用a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1求通项公式．(2)累乘法：当a n a n －1＝g (n )时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1求通项公式．【跟踪训练3】在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 【答案】A【解析】∵在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＋2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·21＋2＝2＋ln n .故选A.【易错辨析】数列中忽视n 的限制条件致误【例4】设S n 为数列{a n }的前n 项和，log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2【解析】由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.经验证不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝12n ，n ≥2.【易错警示】1. 出错原因忽视n ＝1的情况致错，得到错误答案：a n ＝2n . 2. 纠错心得已知a n 与S n 的关系求a n 时，常用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)来求a n ，但一定要注意n ＝1的情况.一、单选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2(1)nn S a n n =+-，（*n N ∈），若()22112n S S S n n+++--2013=，则n 的值为（ ）． A ．1007 B ．1006 C ．2012 D ．2014【答案】A 【分析】根据数列n a 与n S 的关系证得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式求出题中的式子，化简计算即可. 【解析】2(1)nn S a n n=+-， 12(1)(2)nn n S S S n n n-∴-=+-， 整理可得，1(1)2(1)n n n S nS n n ---=-， 两边同时除以(1)n n -可得12(2)1n n S S n n n --=-，又111S = ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列，2321(1)23nS S S S n n∴++++-- 2(1)12(1)2n n n n -=⨯+⨯-- 22(1)n n =--21n =-，由题意可得，212013n -=， 解得1007n =． 故选：A ．2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．171 B ．190 C ．174 D ．193【答案】C 【分析】根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，⋯，满足：11(2)n n a a n n --=-，13a =，从而利用累加法即可求出n a ，进一步即可得到19a 的值． 【解析】3,4,6,9,13,18,24,后项减前项可得1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()111133,222n n n n n -+⋅--=+=+≥.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：C3．在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a +-=-，则9a =（ ）A ．512B ．511C ．502D ．503【答案】D 【分析】利用累加法先求出通项即可求得答案. 【解析】因为11a =，121nn n a a +-=-，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()()21211(21)21211222(1)2n n n n n --+-+-++-=++++--=-，所以9929503a =-=.故选：D. 4．数列23，45，69，817，1033，…的一个通项公式为（ ）A ．221n n n a =+ B ．2221n n n a +=+ C ．1121n n n a ++=-D ．12222n n n a ++=+【答案】A 【分析】根据数列中项的规律可总结得到通项公式. 【解析】1221321⨯=+，2422521⨯=+，3623921⨯=+，48241721⨯=+，510253321⨯=+， ∴一个通项公式为：221n nna =+. 故选：A.5．下列命题不正确的是（ ）A 的一个通项公式是n aB ．已知数列{},3n n a a kn =-，且711a =，则1527a =C ．已知数列{}n a 的前n 项和为()*,25n n n S S n N =-∈，那么123是这个数列{}n a 的第7项D ．已知()*1n n a a n n N +=+∈，则数列{}n a 是递增数列【答案】C 【分析】A：根据被开方数的特征进行判断即可；B：运用代入法进行求解判断即可；C：根据前n项和与第n项之间的关系进行求解判断即可；D：根据递增数列的定义进行判断即可.【解析】对于A31⇒⨯na⇒=A正确；对于B，3na kn=-，且7151122327na k a n a=⇒=⇒=-⇒=，B正确；对于C，()*25nnS n N=-∈，13a=-，当2,n n N*≥∈时，111222n n nn n na S S---=-=-=，12127n-=，无正整数解，所以123不是这个数列{}n a的第7项，C错误；对于D．由()*11,0n n n na a n n N a a n++=+∈-=>，易知D正确，故选：C．6．已知数列{}n a的前n项和2nS n=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（）A．1168B．1134C．198199D．99199【答案】D【分析】先根据11,2,1n nnS S naS n--≥⎧=⎨=⎩，求出21na n=-，然后利用裂项相消求和法即可求解.【解析】解：因为数列{}n a的前n项和2nS n=，2121nS n n-=-+，两式作差得到21(2)na n n=-≥，又当1n=时，21111a S===，符合上式，所以21na n=-，111111(21)(21)22121n na a n n n n+⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭，所以12233411111n na a a a a a a a+++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D.7．数列{}n a 中的前n 项和22nn S =+，数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，则20T =（ ）.A ．190B ．192C ．180D ．182【答案】B 【分析】根据公式1n n n a S S -=-计算通项公式得到14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，故2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，求和得到答案.【解析】当1n =时，111224a S ==+=；当2n ≥时，()11112222222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=，经检验14a =不满足上式，所以14,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩， 2log n n b a =，则2,11,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩，()201911921922T ⨯+=+=. 故选：B.8．已知数列{}n a 满足11a =，()()()11*12n n n n a a a a n N n n ++-=∈++，则10a 的值为（ ）A ．1231B ．2231C ．1D ．2【答案】B 【分析】首先根据已知条件得到1111112n n a a n n +-=-++，再利用累加法求解即可. 【解析】 因为()()()*1112n n n n a a n n n N a a ++++=∈-，所以()()()*11112nn n n a a n N a a n n ++-=∈++， 所以()()111111212n n n n a a a a n n n n ++-==-++++，即1111112n n a a n n +-=-++，当2n ≥时，11221111111n n n n a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111123n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪⎪+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭-⎝⎭， 1111121n a a n -=-+，解得()11131122122n n n a n n +=-+=≥++ 当1n =时，上式成立，故2231n n a n +=+，故102022230131a +==+. 故选：B二、多选题9．数列{a n }的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（ ）A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【答案】ABD 【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得n S 以及判断出{}n S 是等比数列.【解析】依题意()*111,2N n n a a S n +==∈，当1n =时，2122a a ==， 当2n ≥时，12n n a S -=，11222n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=，所以()2223232n n n a a n --=⋅=⋅≥，所以21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩. 当2n ≥时，1132n n n a S -+==；当1n =时，111S a ==符合上式，所以13n n S -=.13n nS S +=，所以数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列. 所以ABD 选项正确，C 选项错误.故选：ABD10．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=，数列{}n b 满足1n n b a =，若n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，则k 的值不可能是（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】AD 【分析】利用n a 与n S 的关系，求得n a ，进而求得n b ，然后根据n b ，2n b +，n k b +（k *∈N ，2k >）成等差数列，得到n 与k 的关系，进而求得答案.【解析】当1n =时，11212a S ===，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S n --+++=-=-=，故n a n =（N n *∈），11n n b a n ==（N n *∈）．因为n b ，2n b +，n k b +（N k *∈，2k >）成等差数列，所以22n n n k b b b ++=+，即2112n n n k=+++，所以48422n k n n ==+--，（2k >，N k *∈），从而2n -的取值为1，2，4，8，则对应的k 的值为12，8，6，5，所以k 的值不可能是4，10， 故选:AD ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题11．数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，n a =________．【分析】利用2n 时，1n n n a S S -=-求n a ，同时注意11a S =． 【解析】解析：由题可知，当2n 时，1n n n a S S -=-22313(1)(1)1n n n n ⎡⎤=++--+-+⎣⎦62n =-，当1n =时，113115a S ==++=，故答案为：5,162,2n n n =⎧⎨-⎩．12．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n －3，则a n ＝________.【答案】【解析】解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－[2(n －1)－3]＝2，又a 1＝S 1＝2×1－3＝－1，故a n ＝13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a b S +=，2414a a =，则数列{}n a 的通项公式为___________. 【答案】212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 由n n a b S +=可得数列{}n a 是公比为12的等比数列，然后根据2414a a =求出21a =即可. 【解析】因为n n a b S +=，所以当1n =时，1112b a S a +==，即12b a = 当2n ≥时，11n n b a S --+=，然后可得10n n n a a a --+=，即()1122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是公比为12的等比数列 所以21124b a a ==，4111816a a b ==， 因为22411644a ab ==，所以4b =±， 当4b =时， 21a =，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b =-时， 21a =-，2221122n n n a a --⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭或212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭四、解答题 14．已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n kn k N =-+∈，且n S 的最大值为4．（1）求常数k 及n a ；（2）设()17n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2k =，25n a n =-+ （2）2(1)n n T n =+ 【分析】（1）由于()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，则可得24k =，从而可求出2k =，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出n a ， （2）由（1）可得11121n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后利用裂项相消求和法求解即可 （1）因为()222*2()n S n kn n k k k N =-+=--+∈，所以当n k =时，n S 取得最大值2k ， 所以24k =，因为*k N ∈，所以2k =，所以24n S n n =-+，当1n =时，11143a S ==-+=，当2n ≥时，2214[(1)4(1)]25n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，13a =满足上式，所以25n a n =-+（2）由（1）可得()()11111177252(1)21n n b n a n n n n n n ⎛⎫====- ⎪-+-++⎝⎭， 所以1111111112222321n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111212(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 15．已知数列{}n a 满足()23*1232222n n a a a a n n N ++++=∈，求数列{}n a 的通项公式．【答案】12n na =【分析】 先根据前n 项和与通项的关系得12n n a =，再检验1n =时也满足条件即可求得答案. 【解析】因为23*1232222()n n a a a a n n N ++++=∈①， 所以()2311231222212n n a a a x a n n --++++=-≥②， ①-②得21(2)n n a n =≥，即 12n n a =, 当1n =时，112a =，满足12n n a =， 所以12n na = 16．已知数列{}n a 的前n 项和112n n S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n a 的通项公式． 【答案】312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 【分析】根据n S 与n a 的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.【解析】()111111222n n n n S S n --⎛⎫⎛⎫=+∴=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①②-①②得()122n n a n ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭ 根据题意，1111311222a S ⎛⎫==+=≠- ⎪⎝⎭ 所以数列的通项公式为312122n n n a n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩。

第8课时数列的递推公式知识点一利用数列的递推公式求数列的项1．已知数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3，且a1＝0，则此数列第5项是() A．15B．255C．16D．63答案B解析a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255．2．已知a1＝1，a n＋1＝a n3a n＋1，则数列{a n}的第4项是()A．116B．117C．110D．125答案C解析a2＝a13a1＋1＝13＋1＝14，a3＝a23a2＋1＝1434＋1＝17，a4＝a33a3＋1＝1737＋1＝110．3．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n－1(n∈N*)，则a1000＝()A．1B．1999C．1000D．－1答案A解析a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知a n＝1(n∈N*)．4．已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21答案C解析由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3．∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30．5．已知数列{a n}，a n＝a n＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．答案2解析＝a ＋m ，＝a 2＋m ，＝－1，＝3，∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2．6．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2011＝________；a 2018＝________．答案01解析∵a 2011＝a 503×4－1＝0，∴a 2018＝a 2×1009＝a 1009＝a 4×253－3＝1．7．数列{a n }满足递推公式a 1＝5，a n ＝nn ＋1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前四项依次为________，它的通项公式为________．答案5，103，52，2a n ＝10n ＋1解析由a n a n －1＝nn ＋1(n ≥2，n ∈N *)，得a 2a 1＝23，a 3a 2＝34，…，a n a n －1＝n n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，将以上各式两两相乘得a n a 1＝23·34·…·n n ＋1＝2n ＋1，所以a n ＝10n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，又a 1＝5符合上式，所以其通项为a n ＝10n ＋1．所以a 1＝5，a 2＝103，a 3＝52，a 4＝2．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＝1n (n －1)(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．解累加法：a n －a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n，a 2－a 1＝1－12，a 3－a 2＝12－13，a 4－a 3＝13－14，…，a n －a n －1＝1n －1－1n，累加可得a n－a1＝1－1 n．又a1＝1，所以a n＝2－1 n．9．在数列{a n}中，若a1＝2，且对所有n∈N*满足a n＝a n＋1＋2，则a2016＝________．易错分析本题求通项公式时采用累加法易漏掉a1错解a n＝－2n＋2致a2016＝－4030．答案－4028解析由题意知a n＋1－a n＝－2，所以a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋(a n－2－a n－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－2(n－1)＋2＝－2n＋4，所以a2016＝－2×2016＋4＝－4028．10．已知数列{a n}满足a1a2a3…a n＝n2(n∈N*)，求a n．易错分析本题易忽略式子a1a2a3…a n－1＝(n－1)2仅适用于n∈N*且n≥2时的情况，因此两式相除得到a n＝n2(n－1)2也仅适用于n≥2时的情况，从而错误断定a n＝n2(n－1)2是数列的通项．解当n＝1时，a1＝1．由条件知a1a2a3…a n＝n2(n∈N*)，当n≥2时a1a2a3…a n－1＝(n－1)2，两式相除得a n＝n2(n－1)2(n≥2，n∈N*)，故a n，n≥2，n∈N*.一、选择题1．已知a n＝3n－2，则数列{a n}的图象是() A．一条直线B．一条抛物线C．一个圆D．一群孤立的点答案D解析∵a n＝3n－2，n∈N*，∴数列{a n}的图象是一群孤立的点．2．在数列{a n}中，a1＝13，a n＝(－1)n·2a n－1(n≥2)，则a5等于()A．－163B．163C．－83D．83答案B解析∵a1＝13，a n＝(－1)n·2a n－1，∴a2＝(－1)2×2×13＝23，a3＝(－1)3×2×23＝－4 3，a4＝(－1)4×2×－43＝－8 3，a5＝(－1)5×2×－83＝16 3．3．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定答案A解析∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，f(n＋1)>f(n)，…．∴f(n)是递增数列．4．数列{a n}的构成法则如下：a1＝1，如果a n－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式a n＋1＝a n－2，否则用递推公式a n＋1＝3a n，则a6＝() A．－7B．3C．15D．81答案C解析由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3．又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9．又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7．又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5．又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15．故选C．5．设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是()A ．415B ．425C ．435D ．445答案D解析由题知：a n ＋1＝2na n －(n －1)a n －1n ＋1，a 3＝2×2×3－13＝113，a 4＝2×3×113－2×34＝4，a 5＝2×4×4－3×1135＝215，a 6＝2×5×215－4×46＝266，故a n ＝5n －4n ．所以a 20＝5×20－420＝245＝445．故选D ．二、填空题6．在数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，对于数列{b n }，b 1＝a 1，当n ≥2时，b n ＝ab n－1，则b 4＝________，b 5＝________．答案3163解析由a n ＝2n ＋1，知b 2＝ab 1＝a 3＝7，b 3＝ab 2＝a 7＝15，b 4＝ab 3＝a 15＝31，b 5＝ab 4＝a 31＝63．7．已知F (x )＝1是R 上的奇函数．a n ＝f (0)＋f (1)(n ∈N *)．则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝n ＋1解析因为F (x )＋F (－x )＝0，所以x 2，即若a ＋b ＝1，则f (a )＋f (b )＝2．于是由a n ＝f (0)＋…＋f (1)(n ∈N *)，得2a n ＝[f (0)＋f (1)]…[f (1)＋f (0)]＝2n ＋2，所以a n ＝n ＋1．8．函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2019＝________．x 12345f (x )51342答案5解析由题意可得x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，…的值分别为2，1，5，2，1，…故数列{x n }为周期为3的周期数列．∴x 2019＝x 3×673＝x 3＝5．三、解答题9．数列{a n }中a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2．(1)求a 3，a 5；(2)探究256225是否为此数列中的项；若是，是第多少项？(3)试比较a n 与a n ＋1(n ≥2)的大小．解(1)∵对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴a 1·a 2＝22，a 1·a 2·a 3＝32，a 1·a 2·a 3·a 4＝42，a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝52．∴a 3＝94，a 5＝2516．(2)∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，∴n ≥3时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，∴n ≥3时，∴a n ，且a 1＝1，a 2＝4，而256225＝，∴256225是数列中的项，是第16项．(3)∵a na n＋1＝>1，∴a n>a n＋1(n≥2)．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a na n＋2n∈N*)，试探究数列{a n}的通项公式．解解法一：将n＝1，2，3，4依次代入递推公式得a2＝23，a3＝24，a4＝25，又a1＝2 2，∴可猜想a n＝2n＋1．应有a n＋1＝2n＋2，将其代入递推关系式验证成立，∴a n＝2n＋1．解法二：∵a n＋1＝2a na n＋2，∴a n＋1a n＝2a n－2a n＋1．两边同除以2a n＋1a n，得1a n＋1－1a n＝12．∴1a2－1a1＝12，1a3－1a2＝12，…，1a n－1a n－1＝12．把以上各式累加得1a n－1a1＝n－12．又a1＝1，∴a n＝2n＋1．故数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋1(n∈N*)．。

数列通项公式的十种求法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。

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(n 1)bn1 nbn 2 0 令 n 1, 得 b1 2. bn 2 (n 1)d .
设 b2 2 d (d R), 下面用数学归纳法证明 （1）当 n 1, 2 时，等式成立
新疆 源头学子小屋
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a2k 1 a2k 3k a2k 1 (1) k 3k ，即 a2k 1 a2k 1 3k (1) k a3 a1 3 (1) ， a5 a3 32 (1) 2 ……
将以上 k 个式子相加，得 …… a2k 1 a2k 1 3k (1) k
②－①，得 2(bn1 1) (n 1)bn1 nbn , 即 (n 1)bn1 nbn 2 0, nbn2 (n 1)bn1 2 0.
-3-
③－④，得
nbn2 2nbn1 nbn 0, 即 bn2 2bn1 bn 0,
1 ___
n 1 n2
解：由已知，得 an1 a1 2a2 3a3 (n 1)an1 nan ，用此式减去已知式，得 当 n 2 时， an1 an nan ，即 an1 (n 1)an ，又 a2 a1 1，
a1 1,
b 1 b 1 b 1
(an 1)bn (n N * ), 证明：数列{bn}
是等差数列；（Ⅲ）证明：
a n 1 a1 a2 n ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an 1 2
（I）解： an1 2an 1(n N * ), an1 1 2(an 1), an 1 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的 等比数列 an 1 2n.

数列的通项公式的求法 一、观察法（即猜想法，不完全归纳法）观察各项的特点，关键是找出各项与项数n 的关系例1：根据数列的前4，写出它的一个通项公式：9,99,999,9999，......二、公式法若已知数列的前n 项和与项数n 的关系，求数列的通项公式可用公式法求解。

)1()2(111==≥-=-n S a n S S a n n n例2：}{n a 的前n 项和n S ，求}{n a 的通项公式。

三、由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊的数列。

1.迭加法已知递推关系)(),(*1N n n f a a n n ∈=-+例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.迭乘法 已知递推关系是)(),(*1N n n f a a nn ∈=+ 例4：已知数列}{n a 中，n n a nn a a 1,211+==+，求}{n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

3、待定系数法例5 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式： 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4、数学归纳法例6 已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =，得 2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181a a a a a a +⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯ 由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。

第三讲 利用递推公式求数列的通项公式1．递推数列(1)概念：数列的连续若干项满足的等量关系a n ＋k ＝f (a n ＋k －1，a n ＋k －2，…，a n )称为数列的递推关系．由递推关系及k 个初始值确定的数列叫递推数列．(2)求递推数列通项公式的常用方法：构造法、累加(乘)法、归纳猜想法． 2．数列递推关系的几种常见类型（1）公式法：形如S n =f(n)或S n =f(a n )或S n =f(n,a n ) (2)累加法：形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N *，且n ≥2)当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1. (3)累乘法：形如a n a n －1＝f (n )(n ∈N *且n ≥2) 当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1. 注意：n ＝1不一定满足上述形式，所以需要检验．（4）倒数法：（构造等差数列）形如11110nn n n n n n pa a a ka a a qa k++++-==+整式或分式整式：两边同时除以1n n a a + 分式：两边同时取倒数 （5）待定系数法①形如a n ＝pa n －1＋q (n ∈N *且n ≥2) 方法：化为a n ＋qp －1＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋q p －1的形式．令b n ＝a n ＋qp －1，即得b n ＝pb n －1，{b n }为等比数列，从而求得数列{a n }的通项公式．②形如a n ＝pa n －1＋f (n )(n ∈N *且n ≥2) 方法：两边同除p n，得a n p n ＝a n －1p n －1＋f (n )p n ，令b n ＝a n p n ，得b n ＝b n －1＋f (n )p n，转化为利用累加法求b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫若f (n )p n 为常数，则{b n }为等差数列，从而求得数列{a n }的通项公式．考向一 公式法【例1】(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝________. (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝________.【答案】（1）4n －5 （2）-63 （3）∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.【解析】（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.（2）∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1×(1－2n )1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.（3）当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，① ∴a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n.显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.【举一反三】1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.2.设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则a n ＝________.【答案】13n 【解析】 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，① 则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13符合上式，所以a n ＝13n .3.若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.【答案】 (－2)n －1【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，所以数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列．故a n ＝(－2)n －1.考向二 倒数法求通项【例2】（1）在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则a n ＝________. (2)已知在数列{}a n 中，a 1＝15，且当n ≥2时，有a n －1－a n －4a n a n －1＝0，则a n ＝____________.【答案】（1）2n ＋1，n ∈N * （2）14n ＋1(n ∈N *) 【解析】（1)由已知可知a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12， 又1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列，1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n ＋12，∴a n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)由题意知a n ≠0，将等式a n －1－a n －4a n a n －1＝0两边同除以a n a n －1得1a n －1a n －1＝4，n ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为1a 1＝5，公差d ＝4，故1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1，∴a n ＝14n ＋1(n ∈N *)．【举一反三】1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 【答案】 －1n【解析】 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ， 又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1， ∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.2.若数列{a n }的首项a 1＝12，且a n ＝(a n ＋1)a n ＋1，则a 200a 300＝________.【答案】301201【解析】 a n ＝(a n ＋1)a n ＋1，得a n －a n ＋1＝a n a n ＋1且a n ≠0， 所以1a n ＋1－1a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为首项，1为公差的等差数列，1a n＝n ＋1，从而a 200a 300＝301201. 考向三 累加法【例3】已知在数列{}a n 中，a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1，求a n . 【答案】a n ＝(n －1)2【解析】由已知得a n －a n －1＝2n －3，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1) ＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n －5)＋…＋1＋0＝(n －1)2. 当n ＝1时，a 1＝0符合上式，所以a n ＝(n －1)2，n ∈N *.【举一反三】1．数列{}a n 满足a 1＝12，a n ＝a n －1＋1n 2－n (n ≥2，n ∈N *)，求数列{}a n 的通项．【答案】a n ＝32－1n (n ∈N *)．【解析】由a n －a n －1＝1n 2－n (n ≥2，n ∈N *)且a 1＝12， a n －a n －1＝1n 2－n ＝1n －1－1na n －1－a n －2＝1n －2－1n －1，…，a 2－a 1＝1－12，各式累加整理得a n ＝32－1n ，n 取1时，32－1＝12＝a 1，所以a n ＝32－1n(n ∈N *)．2.已知数列 ， ，，则数列 的通项公式=______．【答案】【解析】数列 ， ，， 可得 ， ， ，…， 累加可得：． 故答案为：考向四 类乘法【例4】已知在数列{}a n 中，a 1＝2，且na n ＋1＝(n ＋2)a n ，求a n . 【答案】a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． 【解析】由已知得a n ＋1a n ＝n ＋2n ，当n ≥2时，a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1.a 1＝n ＋1n －1.n n －2.. (3)1·2＝n (n ＋1)， 当n ＝1时，a 1＝2也符合上式，所以a n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．【举一反三】1．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．【答案】【解析】(1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1， 将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n (n ＋1)2.当n ＝1时，a 1＝1也符合上式， 综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *.考向五 待定系数法【例5】（1）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． (2)已知在数列{}a n 中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3·2n，则a n ＝________.【答案】（1）a n ＝2n ＋1－2(n ∈N *)． （2）2n·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *【解析】（1）∵a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)， 又a 1＋2＝4，∴{a n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2(n ∈N *)．（2）在递推关系a n ＋1＝2a n ＋3·2n的两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋32，令b n ＋1＝a n ＋12n ＋1，则b n ＋1＝b n ＋32，b 1＝1，所以{b n }是以1为首项，32为公差的等差数列．所以b n ＝1＋32(n －1)＝32n －12，故a n ＝2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －12，n ∈N *.【举一反三】1.已知数列{}a n 满足a n ＝13a n －1＋2，a 1＝1，求数列{}a n 的通项公式．【答案】a n ＝3－23n －1(n ∈N *)【解析】 设a n ＋λ＝13(a n －1＋λ)，解得λ＝－3，则a n －3＝13(a n －1－3)，令b n ＝a n －3，则数列{}b n 是以b 1＝a 1－3＝－2为首项，13为公比的等比数列，所以b n ＝－23n －1，所以a n ＝3－23n －1(n ∈N *)．2．已知在数列{}a n 中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，则a n ＝________.【答案】32n －23n (n ∈N *) 【解析】 在a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1的两边同乘以2n ＋1得2n ＋1·a n ＋1＝23·(2n a n )＋1，令b n ＝2na n .则b 1＝53，b n ＋1＝23b n ＋1，于是可得b n ＋1－3＝23(b n －3)，∴b n －3＝－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，【套路总结】使用条件：型如1n n a pa q +=+（其中,p q 为常数，且(1)0,pq p -≠）解题模板：第一步 假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )； 第二步 由待定系数法，解得1qt p =-； 第三步 写出数列{}1n qa p +-的通项公式； 第四步 写出数列{}n a 通项公式.∴b n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，∴a n ＝b n 2n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝32n －23n (n ∈N *)．1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.2.已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，则a n ＝________. 【答案】 2n －1【解析】方法一 由已知2S n ＝a n ＋1，得当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入已知得2S n ＝S n －S n －1＋1，即S n －1＝(S n －1)2. 又a n >0，故 S n －1＝S n －1或S n －1＝ 1－S n (舍)， 即S n －S n －1＝1(n ≥2)，由定义得{S n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴S n ＝n .故a n ＝2n －1.方法二 ∵2S n ＝a n ＋1，∴4S n ＝(a n ＋1)2， 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2，两式相减，得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2， 化简可得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2， ∵2a 1＝a 1＋1，∴a 1＝1.∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝2n －1.3．已知a 1＝3，a n ＋1＝3n －13n ＋2a n (n ≥1，n ∈N *)，则a n ＝________. 【答案】 63n －1【解析】 当n ≥2时，a n ＝3(n －1)－13(n －1)＋2·3(n －2)－13(n －2)＋2·…·3×2－13×2＋2·3－13＋2a 1＝3n －43n －1·3n －73n －4·…·58·25·3＝63n －1. a 1＝3也符合上式，所以a n ＝63n －1. 4．已知在数列{}a n 中，a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋14n 2－1，则a n ＝____________. 【答案】 4n －34n －2(n ∈N *) 【解析】 由已知可得a n ＋1－a n ＝14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 令n ＝1,2，…，(n －1)，代入得(n －1)个等式累加，即(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1， ∴a n －a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1，∴a n ＝a 1＋12－12·12n －1， 即a n ＝1－14n －2＝4n －34n －2(n ∈N *)⎝ ⎛⎭⎪⎫经验证a 1＝12也符合. 5．在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝________. 【答案】 2＋ln n (n ∈N *)【解析】 ∵当n ≥2时，a n ＝a n －1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝a n －1＋ln n n －1， a n －1＝a n －2＋ln n －1n －2， a n －2＝a n －3＋ln n －2n －3， …，a 2＝a 1＋ln 2，累加可得a n ＝a 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×2＝a 1＋ln n ， ∴a n ＝2＋ln n ，n ∈N *(经验证a 1＝2也符合此式)． 6．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式为____________．【答案】 a n ＝3n －1【解析】 由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)， 解得a 1＝1或a 1＝2.由已知a 1＝S 1>1，得a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3， 从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n ，则数列{a n }的通项公式为____________．【答案】 a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *) 【解析】 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12≠1，∴a n ＋1－1a n －1＝12. 设c n ＝a n －1，∵首项c 1＝a 1－1＝－12. ∴数列{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列． 故c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *)． 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知4a n －2n ＝3S n ，则a n ＝________.【答案】 3·4n －1－2n －1(n ∈N *)【解析】 由已知得4a n ＋1－2n ＋1＝3S n ＋1，∴4(a n ＋1－a n )－2n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1＝4a n ＋2n ， a n ＋1＋2n ＝4a n ＋2n ＋1＝4(a n ＋2n －1)，又4a 1－2＝3S 1，∴a 1＝2，∴{a n ＋2n －1}是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴a n ＋2n －1＝3·4n －1， ∴a n ＝3·4n －1－2n －1(n ∈N *)． 9.已知a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2且a n ＋1－a n ＝b n .(1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【答案】见解析【解析】(1)证明：由题知，b n ＋1＋2b n ＋2＝2b n ＋2＋2b n ＋2＝2， ∵b 1＝a 2－a 1＝4－2＝2，∴b 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)可得，b n ＋2＝4·2n －1，故b n ＝2n ＋1－2.∵a n ＋1－a n ＝b n ，∴a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2，a 4－a 3＝b 3，…a n －a n －1＝b n －1.累加得，a n －a 1＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1(n ≥2)，a n ＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n －2)＝21－2n 1－2－2(n －1) ＝2n ＋1－2n ，故a n ＝2n ＋1－2n (n ≥2)．∵a 1＝2符合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1－2n (n ∈N *)．10．已知 是数列 的前 项和，数列 满足，则 __________．【答案】【解析】∵， ∴， 两式做差，∴，∴ ，而 时，可得： 也满足，∴ ，∴ .11.设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1=2，对任意n ∈N *，都有2S n =（n+1）a n ，求数列{a n }的通项公式。

高三数学——由数列的递推公式求通项公式课堂例题：例题1. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1n +2＋n +1，求a n .例题2. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1a n= nn +1，求a n .反馈练习：1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n (n ∈N 且n ≥2)，则通项a n ＝ ．2. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝ ________．3. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1a n=2n ，则通项a n ＝ ________．4.已知数列{a n }满足a 1＝254，a n ＋1－a n ＝2n ，当n ＝________时，a nn 取得最小值．课堂例题：例题3. （1）已知a 1=1，a n =3a n -1+2，则a n = ；（2）已知a 1＝1，a n ＝a n －13a n －1＋1(n ∈N 且n ≥2)，求a n 。

例题4.已知数列{a n }中，a 1=2,前n 项和S n ，若S n =n 2a n ，求a n .反馈练习：1． 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝23a n －1＋1 (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝________．2． 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n =2a n -1＋2n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝________．3． 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1a n －1＋2(n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝________．高考演练：1．（2018，全国卷Ⅰ，17）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． ⑴求123b b b ，，；⑵判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； ⑶求{}n a 的通项公式．2．（2017，全国卷Ⅲ，17）（12分）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.（1）求{}n a 的通项公式；3.（2016，全国卷Ⅲ，17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列满足，.（I ）求；（II ）求的通项公式.4. （2014，大纲卷，17）（本小题满分10分） 数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式.{}n a 11a =211(21)20n n n n a a a a ++---=23,a a {}n a。

递推公式求通项公式作业1．数列3，7，13，21，31，…，的一个通项公式为（ ）A ．14-=n a nB ．223++-=n n n a nC ．12++=n n a nD ．不存在 2．在数列}{n a 中，21-=a ， n a a n n +=+21，则=3a （ ） A. 6- B. 5- C. 4- D. 3-3．数列}{n a 中，a 1=1，对于所有的2n ≥，*n N ∈都有2123n a a a a n ⋅⋅= ，则35a a +=（ ）A.1661B.925C.1625D.1531 4．在数列}{n a 中，2,121==a a ，n n n a a a -=++122，则=4a （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又是正方形数的是 （ ）A ．289B ．1024C ．1225D ．1378 6．数列}{n a 中，)2(31,1111≥+==--n a a a a n n n ，则数列｛a n ｝的通项公式是：（ ） A ．231-n B ．231+n C ．321-n D ．321+n 7．数列}{n a 中，若)(2)13(1+∈-=N n a S n n ，且544=a ，则1a 的值是________. 8．已知数列}{n a 满足21=a ，+∈∀N n ，0>n a ，且0)1(2112=-++++n n n n na a a a n ，则数列}{n a 的通项公式是=n a ____ __。

9．已知数列}{n a 的首项11=a（1）若11n n a a n +=++，则n a =_________；（2）若112n n n a a ++=⋅，则n a =_______ （3）若1)1(++=n n a n na ，则n a =______；（4）若)2(231≥+=-n a a n n ，则n a =________； （5）若11nn n a a a +=+，则n a =_______;（6）122(2),_______.nn n n a a n a -=+≥=若则10.设正数数列{}n a 满足21=a，n a =n ≥2），求数列{}n a 的通项公式。