下载文档原格式
度第二学期主备人：时间：一、知识目标1、学生写出弧长公式，面积公式，基本关系式，四组诱导公式2、画出三角函数图像，牢记性质，归纳三角函数图像的变换3、求出函数解析式，应用性质解题二、能力目标能从图形观察、分析得出结论，体会数形结合的思想方法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在上与终边相同的角是( )A ．B ．C ．D ．2．已知,那么( )A ．B ．C ．D ．3．将函数的图像向左平移个单位后 ，所得图像的解析式是( )A ．B ．C ．D ．4．若将函数的图像向右平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小正值是 ( )A ．B ．C ．D ．5．已知，且，则的值是（ ）A. B ． C ． D ．6．要想得到函数y ＝sin 3π的图象，只须将y ＝cos x 的图象( ) A ．向右平移3π个单位 B ．向左平移3π个单位C ．向右平移65π个单位D ．向左平移65π个单位 7．设α是第二象限的角，且2α＝－cos 2α，则2α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知y ＝A sin(ωx ＋φ)在同一周期内，x ＝9π时有最大值21，x ＝94π时有 最小值－21，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin 6πB ．y ＝21sin 6πC ．y ＝2sin 6πD ．y ＝21sin 6π9．如图是函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)一个周期的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于( )A. B.22C ．2＋D ．210.若sin θ＝m ，|m |<1，－180°<θ<－90°，则tan θ等于( ) A.1－m2m B ．－1－m2m C ．±1－m2m D ．－m 1－m211．设函数，则下列结论错误的是( )A ．的一个周期为B ．的图像关于直线对称C ．的一个零点为D ．在上单调递增 12．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是( ) A ． B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为________14．函数的定义域是 ________________.15．已知，则的值为________________.16．关于函数有下列命题：①为偶函数;②要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位;③的图象关于直线对称;④在内的增区间为和．其中正确命题的序号为________________.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）(1)角α的终边经过点P(sin150°，cos150°)，求tanα.(2)角α的终边在直线y＝－3x上，求sinα、cosα.18．（本小题满分10分）（1）化简：；（2）已知，求的值.19．（本小题满分12分）已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）当时，求的取值范围.20．（本小题满分12分）已知函数的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据画出函数的图像并求出函数解析式；（2）根据(1)的结果，若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．21．(本题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<2π)的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调减区间，并指出f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合；(3)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？22．(本题满分12分) 是否存在实数λ，使函数f (x )＝－2sin 2x －4λcos x ＋12π的最小值是－23？若存在，求出对应的λ值，若不存在，试说明理由．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
三角函数教材解读1．1教材解读一、本节重、难点重点：将0到360范围的角推广到任意角，了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算． 难点：弧度的概念，用集合表示终边相同的角．二、任意角1．任意角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如右图，角α可以看作一条射线绕着端点O 从起始位置OA 按逆时针方向旋转到终止位置OB 所形成的．点O 为角的顶点，射线OA 是角的始边，射线OB 是角的终边．注：掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边．角可以是任意大小的．2．角的分类按照角的旋转方向可以将角分成三类．正角：按逆时针方向旋转形成的角叫正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫负角；零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫零角．注：正确理解正角、负角、零角的概念，由定义可知，关键是抓住终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动．3．象限角（１）在直角坐标系内，角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（或说这个角属于第几象限）．这里强调以“角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上”为前提，否则就不能从终边的位置来判断某角属于第几象限．（２）若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．4．终边相同的角所有与角α终边相同的角连同角α在内，可以构成一个集合{}|360S k k ββα==+∈Z ，·，即任一与角α终边相同的角都可以表示成角α与整数个周角的和．注：①α是任意角；②k是整数；③终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；④终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍．各象限角的集合为：第一象限角的集合为{}|36036090x k x k k<<+∈Z，··；第二象限角的集合为{}|36090360180x k x k k+<<+∈Z，··；第三象限角的集合为{}|360180360270x k x k k+<<+∈Z，··；第四象限角的集合为{}|360270360360x k x k k+<<+∈Z，··．注：象限角的集合表示形式并不唯一，如第四象限角的集合还可以表示为{}|36090360x k x k k-<<∈Z，··．三、弧度制1．角度制：规定周角1360的为１度角，记作1，用度作单位来度量角的单位制叫做角度制；2．弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角；用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，１弧度记作１rad，rad读作弧度．（１）规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值lrα=，其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径．（２）比值lr与所取的圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关．3．角度制与弧度制的转化（１）角的概念推广后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系．（２）在表示角的时候，弧度制不能与角度制混用．例如2π30()k kα=+∈Z是不正确的．（３）以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，但用度（°）为单位表示角时，度（°）就不能省去．4．弧长公式与扇形面积公式弧度制下：l r α=；21122S lr r α==； 角度制下：π180n r l =；2π360n r S =． 两者相比较，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式具有更为简单的形式，其记忆与应用更易操作．1．2教材解读任意角的三角函数1．三角函数的定义：如图，设α是一个任意角，点()P x y ，是角α的终边与单位圆的交点，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan (0)y x xα=≠． 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．推广：设点()P x y ，是角α终边上的任意一点，它到坐标原点的距离OP r =，于是 sin P P y r α==点的纵坐标点到原点的距离； P P x r α==点的横坐标点到原点的距离cos ； tan (0)P P y x xα==≠点的纵坐标点的横坐标． 注：1.一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与2π()k k βα=+∈Z 的三角函数值相等；②由于x r ≤，y r ≤，故由sin cos y x r rαα==，，得sin 1α≤，cos 1α≤，这是三角函数中最基本的一组不等关系式．即三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点()P x y ，在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了．因此，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数．2．函数的定义域是函数概念的三要素之一，因此，对于三角函数的定义域要给予足够的重视．确定三角函数定义域时，主要应抓住分母等于零时比值无意义这一关键．结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域．3．三角函数值的符号与角所在的象限有关，它可根据三角函数的定义和各象限内的点的坐标符号推出．4．正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值，称它们为三角函数线．三角函数线的主要作用是解三角不等式，求三角函数的定义域及比较三角函数值的大小，同时它也是学习三角函数的图象与性质的基础，是利用数形结合思想解决问题的重要工具．5．同角三角函数的基本关系根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数的一些基本关系式：22sin cos 1αα+=；sin tan cos ααα=（当ππ2k α≠+，k ∈Z 时）． 注：在应用同角三角函数的基本关系式解题时，要注意基本关系式的灵活变形．例如，22sin 1cos x x =-，22cos 1sin x x =-，221sin cos x x =+等．1．3教材解读三角函数的诱导公式1．诱导公式可从两大方面掌握：（１）2π()k k α+∈Z ，α-，π+α，π-α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可简记为：“函数名不变，符号看象限”；（2）π2α-，π2α+的三角函数值等于α的余函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇、偶”是指π2k α±()k ∈Z 中k 的奇偶性；“符号”是指把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．在这里要注意“符号看象限”是把α看成锐角时原函数中角的象限及相应函数在该象限内的符号，如sin(180200)sin 200-=，而不是sin 200-．2．诱导公式中把α看作锐角，则α-为第四象限的角，πα-为第二象限的角；π+α为第三象限的角；2π+α为第一象限的角，这些是不变名诱导公式，即等式两端左、右名称相同．π+2α为第二象限的角；π2α-为第一象限的角，这四组是变名的诱导公式，即右端为左端的余函数．3．诱导公式一的作用在于可以把任意角的三角函数化为0~2π间的三角函数（方法是先在0~2π间找出与它终边相同的角，再把它写成公式一的形式，然后得出结果）．由此公式可以看到，在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的（不存在者除外）；反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之相对应．4．利用诱导公式可以将任意角的三角函数，转化到一个较小的特定范围内来研究，其解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角，化非锐角为锐角．。
高中数学人教A版必修4第一章《三角函数》单元教学设计［教材地位分析］三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。
三角函数是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。
三角函数是高中数学课程的传统内容，本模块的内容属于“传统内容”。
“三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。
通过发现生活中的周期现象，使学生感受引入三角函数的必要性，从而引出三角函数。
在研究三角函数的基本性质过程中，除了研究函数问题的常规方法外，教材也体现了研究周期性问题的方法，突出了数形结合的数学思想，最终目标是用三角函数的知识解决一大类生活中的问题，来服务生活。
［本单元教学内容］［教学内容分析］本单元教学课堂主线：1、坐标系、单位圆几乎贯穿每节课2、数学思想：数形结合思想3、计算能力：代数变形与三角变换教学要素分析：1、任意角讲课时需说明，锐角、直角、钝角已不能解决问题，需要对角的概念推广，角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要，且这种推广是符合逻辑推理的。
如何刻画圆周上一点周而复始的的运动？从生活中事例出发，如：体操中有“转体2周”，手表慢了5分钟，手表快了5分钟等，然后把课堂交给学生，学习小组讨论之后，小组代表发言，①用什么方法研究任意角？如何写出终边相同的角的集合，并介绍自己是如何思考的，为什么这样写？②如何判断两个角终边相同？弄清楚这两个问题，本节课目标完成。
建议充分利用教材中所提供的问题情境，如教材上所附的“思考”、“探究”中的问题等等都能够使学生参与到教学中来，建构他们的数学知识。
2、引入弧度制，建立角的集合与实数集之间的对应关系，为以后研究角的问题提供方便。
讲弧度制时，角度与弧度如何对应起来，就是说实数与度数如何来对应，先提出问题，让学生分小组合作探究，各小组说出想法，最后统一。
这样的课堂比较轻松，学生会主动学习知识，接受知识。
事实上，圆的周长是实数统计的，度量圆心角大小时用到度数，如何来对应？在讲课时，要讲清角度制与弧度制是辨证统一的，不是孤立的、割裂的，讲清之间的换算关系是课堂的关键。
《同角三角函数的基本关系式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《同角三角函数的基本关系式》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修 4 第一章第三节，同角三角函数的基本关系式是三角函数中的重要内容，它是三角函数恒等变形的基础，也是解决三角函数问题的重要工具。
通过本节课的学习，学生将进一步理解三角函数的定义，掌握三角函数之间的内在联系，为后续学习三角函数的化简、求值以及证明等内容奠定基础。
二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了任意角的三角函数的定义，具备了一定的函数知识和代数运算能力。
但对于三角函数之间的关系，学生还缺乏系统的认识和理解。
此外，由于三角函数的概念较为抽象，学生在学习过程中可能会遇到一些困难，需要教师通过引导和启发，帮助学生逐步掌握。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解同角三角函数的基本关系式：平方关系和商数关系。
（2）能够运用基本关系式进行三角函数的化简、求值和证明。
2、过程与方法目标（1）通过对关系式的推导和证明，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
（2）通过例题和练习，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）通过合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。
四、教学重难点1、教学重点同角三角函数的基本关系式及其应用。
2、教学难点（1）关系式的推导和证明。
（2）灵活运用关系式解决三角函数的化简、求值和证明问题。
五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解同角三角函数的基本关系式及其推导过程，使学生掌握基本概念和方法。
（2）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探索，培养学生的思维能力。
（3）练习法：通过例题和练习，让学生巩固所学知识，提高应用能力。
必修4 第一章 三角函数教材分析一、大纲要求但课标不要求1.大纲中的三角函数包括六种三角函数，原教材中专门给出了余切、正割、余割函数的定义，还给出了与它们有关的同角关系式tan cot 1αα=，并要求掌握如何去求cot α；而课标中三角函数只有三种三角函数，新教材中不仅删去了原教材中的余切、正割、余割函数的定义与之有关的公式和计算.例1（1）已知4sin 5α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα的值.（2）求证：2221tan 1tan ()1cot 1cot AA AA +-=-+. [说明]凡是与余切、正割、余割有关的公式与计算，课标均不作要求.2.大纲对化简三角函数和证明三角恒等式及给值求值、解三角不等式等三角运算的技能要求都较高，而课标只要求学生获得必要的数学基础知识和基本技能，对三角运算的解题技巧和难度上要求都较低.例2根据正弦、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）sin ()2x x R ≥∈，（20()x x R +≥∈. 例3求下列函数的定义域： （1）11sin y x=+，（2）11cos y x=-，（3）y =（4）y =例4已知函数sin(),y A x x R ωϕ=+∈（其中0,0)A ω>>的图象在y 轴右侧的第一个最高点（函数最大值的点）为M 与x 轴在原点右侧的第一个交点为(6,0)N ，求这个函数的解析式.例5 已知函数22sin 2sin cos 3cos ,,y x x x x x R =++∈问： （1）求函数的最小正周期；（2）函数在什么区间上是增函数？ （3）函数图象可以由函数2,y x x R =∈的图象经过怎样的变换得出？3.大纲中明确要求学生掌握已知三角函数值求角这种解最简单的三角方程的技能，并要求学生理解相关的反三角函数的知识，课标对这些内容不要求.例6求适合下列关系式的x 的集合.如果x 不是特殊角，那么用反正弦、反余弦、反正切的符合把所求集合表示出来.（1）cos [0,2]2x x π=-∈；（2）tan [0,2]x x π=∈ [说明]这类已知三角函数值求角与反三角函数内容，课标均不作要求. 二、课标要求但大纲不要求1．课标强调让学生参与数学知识的发生、发展过程，而大纲在这方面基本不做要求. 例1 如教材13页探究 例2 教材46页11题2.课标强调数形结合思想的应用和现代数学工具（计算器）的应用，大纲这方面不作要求.3.课标强调了数学知识的应用，要求学生掌握用数学知识去分析、解决生活中的实际问题的方法，对一些较复杂的实际问题也不回避，为此还专门新增了“三角函数模型的简单应用”一节；而大纲对此要求较低，原教材对较复杂的实际问题的数学建模解法则干脆不作要求.三、典型例题例1已知角α的终边在直线34y x =-上，则2sin cos αα+的值是 .例2已知函数3sin 2y x =的图象为C ，为了得到函数23sin(2)5y x π=+的图象，只要把C上的所有点 .例3α为第二象限角. 学生对于化简到什么形式往往不清楚.一般，要实现函数名称尽量少，角尽可能少，运算尽可能简单（如次数尽量低、分母尽可能不含三角式、尽量不带根号等），即算到用目前所掌握知识不能再算为止.例4 已知tan 2α=，求sin cos sin cos αααα+-的值.引申：（1）求2222sin 2cos 2sin 3cos αααα+-的值.（2）22cos sin αα-的值. （3）sin cos αα⋅的值.此题关键是将未知用已知表达，因此选择关系式sin tan cos ααα=，问题便可迎刃而解.上述解法体现了“切化弦”的划归思想，即在三角运算中注意用四个划归方向（减少不同的角；减少项；减少不同名的函数；减少不同的次数；）来指引解题方向.例5已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos(2)πα-；（2）3sin()2απ-；（3）tan()2πα-.[说明]本题解法体现了分类讨论的思想. 例6求函数1sin()23y x π=+，[2,2]x ππ∈-的单调增区间.变形：1sin()23y x π=-+[2,2]x ππ∈-的单调增区间.例7 画出函数12sin()36y x π=-在一个周期内的简图.必修4 第三章 三角恒等变换1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式.2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来.3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围.4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于左边，或都将左右进行变换使其左右相等.5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等. 6.典型例题例1cos x x +.[说明]推广到sin cos )A x B x x ϕ+=+，其中tan B Aϕ=.例2 ( 2006年重庆卷)已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+4πα= ____. [说明]角的组合是解决本题的关键. 例3（2006年福建卷）已知函数22()sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈（I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？ [说明]降幂公式与辅助角公式的综合应用.例4求函数sin(10)cos(40)y x x =+++的值域及函数值最小时相应的x 值. 例5 求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最值.例6（07湖北文16）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．。
课题：任意角的三角函数（第二课时）一、教材分析●教学内容《任意角的三角函数》是普通高中课程标准实验教科书（必修4）第一章《三角函数》第二节的内容，课程标准安排本节内容授课时间为三课时，本节课作为第二课时.三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数的相关公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图象和性质，可以说，三角函数线是研究三角函数的有利工具.●地位与作用本小节给出了任意角的三角函数的代数定义和几何定义，这里用一个课时学习其几何定义-----三角函数线.三角函数线是三角函数定义的又一种表现形式，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，又为继续学习三角函数的各种性质，如定义域、值域、单调性、最值等提供了另一种工具，具有承上启下的作用.由于本节内容是概念性的基础内容，所以其重要性不言而喻.二、学情分析就学生而言，已经学习了三角函数的定义，三角函数在各象限的符号、诱导公式一和单位圆的相关知识，对有向线段的相关知识也有所认知，已经具备了对三角函数线探究的能力.三、目标分析依据课程标准的要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：●知识目标①理解三角函数线的定义, 理解“有向线段”的定义；②掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值；③能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.●能力目标借助多媒体演示让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和探索的能力；并逐步形成自觉运用几何方法解决代数问题的能力，提高学生抽象概括、形象表述等数学核心素养.●情感、态度与价值观激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长.通过数形结合思想的应用，体会到由数转化为形所带来的美感.四、教学重点、难点●重点：三角函数线的作法及其简单应用.●难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数分别用它们的几何形式表示出来.五、教学方法与教学手段1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”—问题串导引教学.2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.3．教学手段：引导学生学会用三角函数的几何定义解决三角代数问题的方法，学会运用数形结合思想解决三角问题.六、教学过程教学环节教学内容学生活动设计意图复习引入复习引入：1.三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么:（1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；（2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；（3)叫做α的正切，记作tanα，即学生回答巩固上节课的学习成果；为本节课的学习做好铺垫.tanα=（x≠0）2.三角函数在各象限的符号：yx oαsin yxoαcosyxoαtan+--+--++-+-+设置疑问点明主题以前我们学习指数函数和对数函数时，都是先学习函数的定义，然后画出图象，利用图象来研究函数的性质.三角函数是特殊的函数，当然也是一样的探讨顺序，当我们了解了三角函数的定义后，如何才能精确地画出三角函数的图象呢？那就必须知道三角函数定义的几何表示----三角函数线.学生思考用问题情境引出课题，可以增强学生的好奇心,激发学生的求知欲.思考1：若角α为第一象限角，能否借助单位圆用几何图形表示角α的正弦值？学生回实验探索辨析研讨利用定义y=αsin.取角α的终边与单位圆的交点为P,过点P作x轴的垂线，设垂足为M，则sin y MPα==.思考2：若角α为第二、三、四象限角，能否借助单位圆用几何图形表示角α的正弦值？(动画演示)由图可知sin y MPα==±，那么能否几何图形表示，这条线段既能表示角α的正弦值的数值，又能体现其在各象限的符号？于是,有向线段MP叫做角α的正弦线.即αsin=MP.角α的终边与x轴重合时，正弦线答动画演示学生观察概念引入，指导学生学会用三角函数的几何定义解决三角函数的代数问题的方法，引导学生建立有向线段（的数量）与三角函数值之间的对应.实验探索辨析研讨变成一个点，此时正弦值为0.思考3:哪条有向线段能表示角α的余弦值？cos x OMα==.有向线段OM叫做角α的余弦线.角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，此时余弦值为0 ．思考4：若角α为第一象限角，用哪条有向线段表示角α的正切值？ATxy==αtan.学生思考学生回答学生回答通过类比正弦线、快速的寻找出余弦函数值的几何形式--余弦线.实验探索辨析研讨思考5：若角α为第四象限角，此时用哪条有向线段表示角α的正切值？ATxy==αtan.有向线段AT叫做角α的正切线.思考6：当角α的终边在坐标轴上，正切线又如何？当角α的终边与x轴重合时，正切线变成一个点，tanα=0；当角α的终边与y轴重合时，正切线不存在，tanα不存在.教师引导学生回答学生回答七、教学反思关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是先交待三种三角函数线，再讲应用；另一个设想是，先指出正弦线、余弦线及它们的应用，然后再引入正切线及三线综合运用.本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维的培养．我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，让学生去猜、去找三角函数的几何形式，而不是教师包办代替．数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面.将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用.通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．可以说有了三角函数线，有关三角函数的问题都能解决，至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好,而函数的周期性等，用图像更为直观.本节课还是有许多的不足之处，比如：没能大胆放开手让学生进行自主活动，学生的探究活动还是过少，如果三角函数线的寻找过程能让学生分组讨论得到，本节课将会更加充实.。
必修4“第一章三角函数”教材分析函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画。
三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。
本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力。
一、内容与课程学习目标本章的学习内容是三角函数及其基本性质。
通过本章学习，要引导学生：1．了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；3．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性；4．借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）；5．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，；6．结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；7．会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
二、内容安排本章共安排了6个小节以及两个选学内容，教学时间约需16课时，大体分配如下（仅供参考）：1。
1任意角和弧度制…………………………………………………约2课时1。
2任意角的三角函数………………………………………………约3课时1。
3三角函数的诱导公式……………………………………………约2课时1。
4三角函数的图象与性质…………………………………………约4课时1。
5函数y=Asin(φ)的图象………………………………约2课时1。
6三角函数模型的简单应用……………………………………约2课时小结……………………………………………………………………约1课时本章知识结构如下：1．本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学1中建立的函数概念，以及指数函数、对数函数的研究经验；主要的学习内容是三角函数的概念，图象与性质，以及三角函数模型的简单应用；单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观，可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质，因此三角函数的学习可以帮助学生更好地体会数形结合思想；三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（特别是物理、地理）有紧密联系，因此本章的学习可以培养学生的数学应用能力。
§1.5.1函数y=Asin(<ur+0)的图象教学设计【教材分析】三角函数是高中数学的重要内容之一，研究方法主要是代数中的式子变形和图象分析，因此三角函数已经初步把代数和几何联系起来了。
三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容之一，特殊到一般、数形结合、函数化归的数学思想，以及分析、探索、化归、类比、平行移动、伸长和缩短等常用的基本方法，是培养学生数学能力的良好题材。
本节课是人教版《高中数学(必修4)》第一章1.5节“函数y=Asin0)x+0)的图象，，第二课时，本节课是研究将函数y=sinx变化为y=sin(口x+e)图象的步骤，数形结合、特殊到一般、函数思想等思想方法是实现本节课目标的基本思想，正确认识这一方法，是理解函数y=sinx与y=Asin(cr+0)图象关系的基础。
【学情分析】通过前一课时的学习，学生能比较熟练地运用“五点法”画出函数y=Asin(azx+0)的图象。
学生具备了通过画图，将函数V=sinx的图象变化到y=sin(g+Q)图象的知识和能力基础；但根据函数y=sinx与y=sin(口x+9)的图象，观察、分析、发现它们的关系，需要借助函数y=sin(x+0)或)=、山内的图象，这要求学生经过独立思考，找到这一联系函数V=sinx与y=sin(口x+。
)的图象的纽带，因此，这是学生探究过程中的难点之一。
难点之二：学生找到联系函数y=sinx与、=、：111(>«+0)的图象，对先平移后伸缩、先伸缩后平移两种变化思路过程中产生的平移量理解需要借助于对函数解析式的深刻理解，学生在运用函数解析式原理解释图象变化引起的函数表达式变化时，还没有达到纯熟的程度。
【教学目标】1认知目标：(1)结合具体实例，理解y=Asin(砸+伊的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin®+妗的简图。
会用计算机画图，观察并研究参数、叩,进一步明确5"对函数图象的影响。
人教版高中数学必修4第一章《三角函数》教材分析和教学建议函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数I 的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理解，提高用函数概念解决问题的能力.一、课程标准内容1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(2,的正弦、余弦、正切)，能画出y=sin x , y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性.4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π］，正切函数在（-2，2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等）.5. 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x+cos 2x=1，x xxtan cos sin .6. 结合具体实例，了解y=Asin （x+）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin （x + ）的图象，观察A ，，对函数图象变化的影响.7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.二、知识框图三、教学要求1．1任意角、弧度基本要求①认识角扩充的必要性，了解任意角的概念；②能用集合和数学符号表示终边相同的角；③能用集合和数学符号表示象限角；④了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.⑤认识弧长公式，能进行简单应用.发展要求能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.说明对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.1．2任意角的三角函数基本要求①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；②能判断各象限角的正、余弦，正切函数的符号；③理解终边相同的角的同一三角函数的值相等；④认识单位圆中，任意角的正弦线、余弦线和正切线；⑤理解同角三角函数的两个基本关系；sin2x+cos2x=1 ，xxxtancossin能进行简单应用.发展要求利用单位圆中的三角函数线解决简单的三角问题.说明用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，教学中不必作太多的拓展、补充.1．3 三角函数的诱导公式基本要求①能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式2，的正弦、②余弦、正切，能进行简单地应用.发展要求掌握用单位圆中三角函数线研究三角问题的方法说明已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展.1．4三角函数的图象与性质基本要求①能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象；②了解三角函数的周期性；③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2]，正切函数在(-2,2)上的性质（单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）.发展要求①掌握一种用计算机软件绘制函数图象的方法；②知道“五点法”画正、余弦函数；③了解y=cosx图象与y=sinx图象之间的联系.说明教学中根据学生基础选择画函数图象的方法.1．5 函数y=Asin(x+)的图象基本要求①了解y=Asin(x+)的实际意义，能借助计算器或计算机画出它的图象，观察参数A，，对函数图象变化的影响；②会用“五点法”画函函数y=Asin(x+)的图象.发展要求①掌握参数A，，对函数图象变化的影响的规律②掌握运用平移变换和伸缩变换把y=sinx的图象变换为y=Asin(x+)的图象的方法.③掌握函数y=Acos(x+)的图象与函数y=Asin(x+)的图象的联系.说明教学中提倡用计算机辅助研究函数y=Asin(x+)图象1．6三角函数模型的简单应用基本要求①会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.②初步学会由图象求出解析式的方法；③体验实际问题抽象为数学问题的过程.④体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.发展要求能运用三角函数知识分析和处理实际问题.说明教学中应突出三角函数的工具性，重点在引导学生建立三角函数模型.四、教学建议1．课时分配：(共16个课时)1.1.1 任意角约1课时1.1.2 弧度制约1课时1.2.1 任意角的三角函数约2课时1.2.2 同角三角三数的基本关系约1课时1.3 三角函数的诱导公式约2课时1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象约1课时1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质约2课时1.4.3 正切函数的性质与图象约1课时1．5 函数y=Asin(x+)的图象约2课时1.6 三角函数的简单应用约2课时复习与小结 12．重点难点1.1 任意角和弧度制重点：将0至360范围的角推广到任意角，了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算. 难点：弧度的概念，用集合来表示终边相同的角和象限角.1.2 任意角的三角函数重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，同角三角函数的基本关系.难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；利用与单位圆有关的有向线段，表示任意角的正弦、余弦、正切的函数值.1.3三角函数的诱导公式重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明. 难点：（）的诱导公式的推导.21.4三角函数的图象与性质重点：正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）.难点：正弦函数和余弦函数图象间关系、图象间的变换.1.5函数y=Asin(x+)的图象重点:用平移变换和伸缩变换画函数y=Asin(x+)的图象变换过程.难点:图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识.1.6三角函数模型的简单应用重点: 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.难点: 将某些实际问题抽象为三角函数模型.3.分析说明任意角和弧度制,教学中要注意在学生已有生活经验的基础上，通过较丰富的实例展示角扩充的必要性.在直角坐标系中，引入象限角概念，为用代数方法研究角提供了基础. 要认识象限角的分类，通过比较、发现，导出同终边角的集合表示.要揭示引入实数度量角的必要性，弧长公式和扇形面积计算公式只需要会做简单应用. 本节内容涉及概念较多，在教学方法上建议：先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.任意角的三角函数的教学，可通过计算机辅助，突出三对比值与终边上点的位置无关，与角的终边有关.在此基础上，得出三种函数.教学中可运用三角函数定义，导出单位圆中它们的几何表示，既促进对三角函数定义的理解，又给出三角函数的几何意义. 但作为初次接触，学生能达到能辩认出任意角的正弦线、余弦线和正切线即可.教学中只运用三角函数定义导出两个同角三角函数基本关系即可.三角函数的诱导公式的教学中可先创设情境，引入发现结论的条件，促成学生发现诱导公式. 为能使创设的情境与学生原有基础的距离缩小，需要复习一些已知知识，如终边相同的角的同一三角函数的值相等；单位圆与三角函数线等. 在此基础上，提出P26探究问题，给学生思考时间，而后，由学生发现，终边与角的终边关于原点、x轴、y轴和直线y=x 对称的各类角的各种表示方法，借助单位圆，通过图形观察，由学生发现公式二至四，然后引导学生，概括四组公式，认识它们的作用. 而后安排的例题与练习，要围绕熟悉公式，理内的角解化归与转化思想来进行, 并知道任意角的三角函数一定可以等价于转化为0至2的三角函数. 公式五、六的教学可同上安排. 在本节小结中，要突出两点，一是突出几何图形对发现结论的影响，即我们是如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现结论的. 二是在诱导公式的运用中隐含着化归与转化的思想.三角函数的图象与性质的教学建议在通过给出一定的实例，展现正弦函数图象，使学生对这类函数图象有一个直观的了解.利用单位圆中的正弦线画出y=sinx 在一个周期内的图象，再经平移得出y=sinx（x∈R）的图象，然后利用诱导公式经过平移变换得出y=cosx 的图象.引导学生观察图象上的关键点，引入“五点法”画简图的方法.学习正、余弦函数性质要注意借助图象的支持.函数周期性是首次引入，需要展示三角函数具有f( x + T ) = f ( x )的特征，由此引入定义，使学生理解周期性是三角函数的重要性质.对于正切函数，教材是先讲性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反来利用图象观察性质.函数y=Asin(x+)的图象的教学，可以借助计算机来模拟A,,的变化对函数y=Asin(x+)图象的影响，关键是建立y=sinx与y=Asin(x+)图象的联系.利用前面研究结果，通过变换由y=sinx的图象得出y=Asin(x+)图象. 其基本要求是掌握由→→Ａ的变换，也可以引入其它顺序的变换，从本质上掌握这类变换.通过图象引导学生认识y=Asin(x+)图象的五个关键点，由此得出“五点法”画y=Asin(x+)图象的方法.教学中可在A,,对函数y=Asin(x+)图象影响的基础上，介绍它们的物理意义.三角函数模型的简单应用是通过4个例题，展现三角函数的简单应用，突出三角函数作为描述现实世界中周期变化现象的一种数学模型，其在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 同时，也体现化归转化、方程与函数、数形结合等思想方法在研究解决问题中的作用.五．注意问题（1）准确把握教学要求.（2）加强相关知识的联系，强调数学思想方法.（3）恰当使用信息技术.。
《三角函数》整体说课设计各位评委、同仁：大家好，今天我说课的题目是《三角函数》全章的教学设计，接下来我会按照教材分析、学情分析、教法分析、学法分析、教学过程分析等五个方面阐述我对这节课的设计。
一、教材分析《三角函数》是人教版高中数学必修四第一章的内容。
是近年来高考重点考察的内容之一，在高考中占有较大的比重。
我们知道，函数是刻画客观世界变化规律的数学模型。
在数学必修1中，我学习了指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数，知道这些函数可以用来刻画现实问题中某些类型的变化规律。
这一章的内容是基本初等函数的一个延续。
它是描述周期现象的重要数学模型，在数学、天文、航海、建筑等其他领域都有重要的作用，与其他学科（物理、化学、生物）有紧密的联系。
学好这章内容，不仅可以帮助我们学好其他学科，也是我们接下来要学习《三角恒等变换》、《向量》等知识点的基础，更是我们学生走向大学后《高等数学》学习的一个基础知识。
二、学情分析高一学生热爱学习，喜欢探索，对于初中已经学习了锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法，能够迅速适应任意角的三角函数的定义。
但在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强必须在老师一定的指导下才能进行 针对对教材内容重难点的和学生实际情况的分析我们制定教学目标如下（一）教学目标通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。
能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。
如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。
根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。
1.知识目标（1）了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度和角度的互化。
（2）理解任意角三角函数的定义。
（3）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（απ±2，απ±的正弦、余弦、正切），能画出x y sin =、x y cos =，x y tan =的图象，了解三角函数的周期性。
人教A版数学必修4 第一章三角函数教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角本章知识结构如下：2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用（1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”构成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。
（2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。
（3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系非常紧密。
因此三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。
（4）三角函数的基础知识，主要是平面几何中的相似形和圆。
研究三角函数的方法，主要是在必修1中建立的研究初等函数的方法。
因此，通过对三角函数的学习，可以初步地把“数”与“形”联系起来。
（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生获得新的知识和技能，而且可以培养学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。
3、本单元教学内容总体教学目标 （1）任意角的概念、弧度制了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． （2）任意角的三角函数理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。
理解同角三角函数的基本关系式： 22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。
第一章 三角函数1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境： “转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（anyangle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
正弦、余弦函数的周期性教案一、教材分析：《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．二、教学目标：学情分析：学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标：(一)知识与技能1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．2．会求一些简单三角函数的周期.(二)过程与方法从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x 的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．(三)情感、态度与价值观让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性.四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期.五、教学准备：三角板、多媒体课件六、教学流程：求下列函数的周期： (1)3sin4x y =，x R ∈；(2)sin()10y x π=+，x R ∈；(3)cos(2)3y x π=+,x R ∈(4)1sin()24y x π=-，x R ∈ 课外思考：1. 求函数()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>）的周期．2.求下列函数的周期：（1）|sin |x y =，x R ∈；（2）|2cos |x y =，x R ∈ 附：板书设计附：1．本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维．2．预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点，设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过学生互动建构自己对周期函数概念的认识．3．预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设计中，例１第１问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法．再由学生完成第２问和第３问，再由师生共同点评．教案设计说明 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程．设计反映了由学生熟悉的生活的周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了教学活动的环节．以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环节进行具体的设计．教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想．下面从如下几个方面进行详细说明．一、教学内容的数学本质及教学目标定位本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．通过对正弦函数图象“周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画“周而复始”的变化规律．学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．另外，我还对我班学生的具体情况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高．于是，结合以上的学情分析，我从“知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期．过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念. 运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．并且在过程中渗透了本课的情感态度目标：让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明．二、教学流程入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物理研究的《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识有着密切相关的联系．在数学和其它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁．四、教学诊断分析1．学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用正弦线画正弦函数y=sin x图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律．2．部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调.3．本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去．五、教法特点及预期效果分析结合教学目标以及学生的实际情况，我采用了启发引导与小组合作交流相结合的教学方式，而在知识构建过程中，在教师引导下，使学生经历了直观感知、观察发现、抽象概括等思维活动，提高数学思维能力；注重信息技术与数学课程的整合，提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用信息技术进行探索和发现．本节课遵循学生的认知规律，通过典型具体例子的分析和学生自主地观察、探索活动，使学生理解周期概念的形成过程，体会蕴含在其中的数形结合的思想方法，把数学的学术形态通过适当的方式转化为学生易于接受的教育形态，教学内容利用生活中的问题和课本上已有的知识创设情境，使教学内容不仅贴近生活，并且来源于旧知识，设计内容一环扣一环，使学生对周期函数的概念理解和应用步步深入.在教学方法上运用多种方法，如观察、分析、归纳、讨论；在知识的学习过程中，重视知识的形成过程和概括过程.在解决问题中，引导学生分析、归纳方法，注意优化学生的思维品质；在教学手段上采用多媒体和黑板重点板书结合的教学方法．通过本节课学习，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究，合作交流的课堂气氛.2、学生进一步了解数学来源于生活，理解周期函数和周期的定义.3、让学生体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想，让学生领悟问题探究的学习方法.由于本课内容不多，难度不大，相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标.。
.人教版高中数学必修 4 第一章《三角函数》教材分析和教学建议函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画 .三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数 本章中，学生将在数学 1 中 学习函数概念与基本初等函数 I 的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解 决具有周期变化规律的问题中的作用．通过本章的学习，学生将进一步加深对函数概念的理 解，提高用函数概念解决问题的能力. 一、课程标准内容1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( π ±α,2π±α的正弦、余弦、正切 )，能画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x的图象，了解三角函数的周期性 .4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在 [0，2π]，正切函数在（- π ， π ）上的性质（如单调性、最大和最小值、图22象与 x 轴交点等）.5. 理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x +cos 2x =1 ，sin x= tan x . cos x6. 结合具体实例，了解 y =Asin （ωx +ϕ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出 y =Asin （ωx + ϕ）的图象，观察A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响 ..7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .二、知识框图三、教学要求基本要 求发展要 求说明① 认识角扩充的必要性，了解任意角的概念； ② 能用集合和数学符号表示终边相同的角； ③ 能用集合和数学符号表示象限角； ④ 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. ⑤ 认识弧长公式，能进行简单应用.能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深1．1 任意角、弧度③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在(-π基本要求1．2任意角的三角函数①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；②能判断各象限角的正、余弦，正切函数的符号；③理解终边相同的角的同一三角函数的值相等；④认识单位圆中，任意角的正弦线、余弦线和正切线；⑤理解同角三角函数的两个基本关系；sin2x+cos2x=1，sin xcos x=tan x能进行简单应用.发展要求说明利用单位圆中的三角函数线解决简单的三角问题.用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，教学中不必作太多的拓展、补充.1．3三角函数的诱导公式基本①能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式π2±α，π±α的正弦、②余弦、要求发展要求说明基本正切，能进行简单地应用.掌握用单位圆中三角函数线研究三角问题的方法已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展.1．4三角函数的图象与性质①能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象；②了解三角函数的周期性；要求π,)上的性22质（单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）.发展要求①掌握一种用计算机软件绘制函数图象的方法；②知道“五点法”画正、余弦函数；③了解y=cosx图象与y=sinx图象之间的联系.说明教学中根据学生基础选择画函数图象的方法..基本要求发展要求1．5 函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象①了解 y=Asin(ωx+ϕ)的实际意义，能借助计算器或计算机画出它的图象，观察参数 A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响； ②会用“五点法”画函函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象.① 掌握参数 A ，ω，ϕ对函数图象变化的影响的规律② 掌握运用平移变换和伸缩变换把 y=sinx 的图象变换为 y=Asin(ωx+ϕ)的图象的方法.③掌握函数 y=Acos(ωx+ϕ)的图象与函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象的联系.说明教学中提倡用计算机辅助研究函数 y=Asin(ωx+ϕ)图象1．6 三角函数模型的简单应用①会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化基本要求发展要求说明现象的重要函数模型. ②初步学会由图象求出解析式的方法；③体验实际问题抽象为数学问题的过程.④体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.能运用三角函数知识分析和处理实际问题.教学中应突出三角函数的工具性，重点在引导学生建立三角函数模型四、教学建议1．课时分配：(共 16 个课时)1.1.11.1.2 1.2.1 1.2.21.31.4.11.4.2 1.4.3 1．51.6任意角弧度制任意角的三角函数同角三角三数的基本关系 三角函数的诱导公式正弦函数、余弦函数的图象 正弦函数、余弦函数的性质 正切函数的性质与图象 函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象 三角函数的简单应用复习与小结约 1 课时约 1 课时 约 2 课时 约 1 课时 约 2 课时 约 1 课时 约 2 课时 约 1 课时 约 2 课时 约 2 课时1. ... 2．重点难点1.1 任意角和弧度制重点：将 0︒至 360︒范围的角推广到任意角，了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算 难点：弧度的概念，用集合来表示终边相同的角和象限角.1.2 任意角的三角函数重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，同角三角函数的基本关系 难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；利用与单位圆有关的有向线段，表示任意角 α 的正弦、余弦、正切的函数值.1.3 三角函数的诱导公式重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明.难点：（π±α）的诱导公式的推导.21.4 三角函数的图象与性质重点：正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）.难点：正弦函数和余弦函数图象间关系、图象间的变换.1.5 函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象重点:用平移变换和伸缩变换画函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象变换过程.难点:图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识.1.6 三角函数模型的简单应用重点: 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题 难点: 将某些实际问题抽象为三角函数模型.3.分析说明任意角和弧度制,教学中要注意在学生已有生活经验的基础上，通过较丰富的实例展示角扩充的必要性.在直角坐标系中，引入象限角概念，为用代数方法研究角提供了基础. 要认识象限角的分类，通过比较、发现，导出同终边角的集合表示.要揭示引入实数度量角的必要性，弧长公式和扇形面积计算公式只需要会做简单应用 本节内容涉及概念较多，在教学方法上建议：先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.任意角的三角函数的教学，可通过计算机辅助，突出三对比值与终边上点的位置无关，.. ..与角的终边有关.在此基础上，得出三种函数.教学中可运用三角函数定义，导出单位圆中它们的几何表示，既促进对三角函数定义的理解，又给出三角函数的几何意义 但作为初次接 触，学生能达到能辩认出任意角的正弦线、余弦线和正切线即可 .教学中只运用三角函数定义导出两个同角三角函数基本关系即可.三角函数的诱导公式的教学中可先创设情境，引入发现结论的条件，促成学生发现诱导公式. 为能使创设的情境与学生原有基础的距离缩小，需要复习一些已知知识，如终边相同的角的同一三角函数的值相等；单位圆与三角函数线等. 在此基础上，提出 P26 探究问题，给学生思考时间，而后，由学生发现，终边与角α的终边关于原点、x 轴、y 轴和直线 y=x对称的各类角的各种表示方法，借助单位圆，通过图形观察，由学生发现公式二至四，然后引导学生，概括四组公式，认识它们的作用 而后安排的例题与练习，要围绕熟悉公式，理解化归与转化思想来进行, 并知道任意角的三角函数一定可以等价于转化为 0 至π内的角2的三角函数. 公式五、六的教学可同上安排. 在本节小结中，要突出两点，一是突出几何图形对发现结论的影响，即我们是如何从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现结论的 二是在诱导公式的运用中隐含着化归与转化的思想.三角函数的图象与性质的教学建议在通过给出一定的实例，展现正弦函数图象，使学生对这类函数图象有一个直观的了解 .利用单位圆中的正弦线画出 y=sinx 在一个周期内的图象，再经平移得出 y=sinx （x ∈R ）的图象，然后利用诱导公式经过平移变换得出 y=cosx的图象.引导学生观察图象上的关键点，引入“五点法”画简图的方法.学习正、余弦函数性质要注意借助图象的支持.函数周期性是首次引入，需要展示三角函数具有 f( x + T ) = f ( x )的特征，由此引入定义，使学生理解周期性是三角函数的重要性质 .对于正切函数，教材是先讲性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反来利用图象观察性质 函数 y=Asin(ωx+ϕ)的图象的教学，可以借助计算机来模拟 A,ω,ϕ的变化对函数 y=Asin(ωx+ϕ)图象的影响，关键是建立 y=sinx 与 y=Asin(ωx+ϕ)图象的联系.利用前面研究结果，通过变换由 y=sinx 的图象得出 y=Asin(ωx+ϕ)图象. 其基本要求是掌握由 ϕ→ω→A 的变换，也可以引入其它顺序的变换，从本质上掌握这类变换.通过图象引导学生认识 y=Asin(ωx+ϕ)图象的五个关键点，由此得出 “ 五点法 ” 画 y=Asin(ωx+ϕ) 图象的方法 . 教学中可在A,ω,ϕ 对函数y=Asin(ωx+ϕ)图象影响的基础上，介绍它们的物理意义.三角函数模型的简单应用是通过 4 个例题，展现三角函数的简单应用，突出三角函数作为描述现实世界中周期变化现象的一种数学模型，其在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.同时，也体现化归转化、方程与函数、数形结合等思想方法在研究解决问题中的作用.五．注意问题（1）准确把握教学要求.（2）加强相关知识的联系，强调数学思想方法.（3）恰当使用信息技术.。
