matlab 微分方程组的解法
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重要：MATLAB常微分方程(组)数值解法
Matlab常微分方程求解问题分类
边值问题：
初值问题：
• 定解附加条件在自变量 的一端
• 一般形式为： y' f (x, y)
y(a)
y0
• 初值问题的数值解法一 般采用步进法，如 Runge-Kutta法
➢ 在自变量两端均给定附加 条件
y' f (x, y)
➢ 一般形式：y(a)y1, y(b)y2
1.根据常微分方程要求的求解精度与速度要求
求解初值问题：
y
'
y
2x y
y ( 0 ) 1
(0x1)
比较ode45和ode23的求解精度和速度
ode45和ode23的比较-1
function xODE clear all clc
format long
y0 = 1; [x1,y1] = ode45(@f,[0,1],y0); [x2,y2] = ode23(@f,[0,1],y0); plot(x1,y1,'k-',x2,y2,'b--') xlabel('x') ylabel('y')
rD = k(3)*C(2)-k(5)*C(4);
rE = k(4)*C(3)+k(5)*C(4);
% Mass balances dCdt = [rA; rB; rC; rD; rE];
三个串联的CSTR等温反应器（例4-3）
function IsothermCSTRs clear all clc CA0 = 1.8; % kmol/m^3 CA10 = 0.4; % kmol/m^3 CA20 = 0.2; % kmol/m^3 CA30 = 0.1; % kmol/m^3 k = 0.5; % 1/min tau = 2; stoptime = 2.9; % min [t,y] = ode45(@Equations,[0 stoptime],[CA10 CA20 CA30],[],k,CA0,tau); disp(' Results:') disp(' t CA1 CA2 CA3') disp([t,y]) plot(t,y(:,1),'k--',t,y(:,2),'b:',t,y(:,3),'r-') legend('CA_1','CA_2','CA_3') xlabel('Time (min)') ylabel('Concentration') % -----------------------------------------------------------------function dydt = Equations(t,y,k,CA0,tau) CA1 = y(1); CA2 = y(2); CA3 = y(3); dCA1dt = (CA0-CA1)/tau - k*CA1; dCA2dt = (CA1-CA2)/tau - k*CA2; dCA3dt = (CA2-CA3)/tau - k*CA3; dydt = [dCA1dt; dCA2dt; dCA3dt];
MATLAB实验四_求微分方程的解
参数说明
[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)
odefun 为显式常微分方程，可以用命令 inline 定义，或 在函数文件中定义，然后通过函数句柄调用。
dy 2 2 y 2 x 2x 求初值问题 的数值解，求解范 例： dx 围为 [0,0.5] y( 0 ) 1
dsolve的输出个数只能为一个 或 与方程个数相等。
只有很少一部分微分方程（组）能求出解析解。 大部分微分方程（组）只能利用数值方法求数值解。
Matlab函数数值求解
[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0)
其中 y0 为初值条件，tspan为求解区间；Matlab在数值求解 时自动对求解区间进行分割，T (列向量) 中返回的是分割点 的值(自变量)，Y (数组) 中返回的是这些分割点上的近似解， 其列数等于因变量的个数。
数学实验
实验四
求微分方程的解
问题背景和实验目的
自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运 动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过 数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。 由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。 然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多 数微分方程需要利用数值方法来近似求解。 本实验主要研究如何用 Matlab 来计算微分方程 （组）的数值解，并重点介绍一个求解微分方程的 基本数值解法－－Euler折线法。
Runge-Kutta 方法
Euler 法与 R-K法误差比较
Matlab 解初值问题
用 Maltab自带函数 解初值问题 求解析解：dsolve 求数值解：
ode45、ode23、 ode113、ode23t、ode15s、 ode23s、ode23tb
matlab求解常微分方程
matlab求解常微分⽅程本⽂主要介绍matlab中求解常微分⽅程（组）的dsolve和ode系列函数，并通过例⼦加深读者的理解。
⼀、符号介绍D: 微分符号；D2表⽰⼆阶微分，D3表⽰三阶微分，以此类推。
⼆、函数功能介绍及例程1、dsolve 函数dsolve函数⽤于求常微分⽅程组的精确解，也称为常微分⽅程的符号解。
如果没有初始条件或边界条件，则求出通解；如果有，则求出特解。
1)函数格式Y = dsolve(‘eq1,eq2,…’ , ’cond1,cond2,…’ , ’Name’)其中，‘eq1,eq2,…’:表⽰微分⽅程或微分⽅程组;’cond1,cond2,…’:表⽰初始条件或边界条件;‘Name’:表⽰变量。
没有指定变量时，matlab默认的变量为t；2)例程例1.1(dsolve 求解微分⽅程)求解微分⽅程：dsolve('Dy=3*x^2','x')例1.2（加上初始条件）求解微分⽅程：例2(dsolve 求解微分⽅程组)求解微分⽅程组：由于x,y均为t的导数，所以不需要在末尾添加’t’。
2、ode函数在上⽂中我们介绍了dsolve函数。
但有⼤量的常微分⽅程，虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却⽆法求出其解析解，此时，我们需要寻求⽅程的数值解。
ode是Matlab专门⽤于解微分⽅程的功能函数。
该求解器有变步长（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。
不同类型有着不同的求解器，具体说明如下图。
其中，ode45求解器属于变步长的⼀种，采⽤Runge-Kutta算法；其他采⽤相同算法的变步长求解器还有ode23。
ode45表⽰采⽤四阶-五阶Runge-Kutta算法，它⽤4阶⽅法提供候选解，5阶⽅法控制误差，是⼀种⾃适应步长（变步长）的常微分⽅程数值解法，其整体截断误差为(Δx)^5。
解决的是Nonstiff(⾮刚性)常微分⽅程。
matlab dsolve 微分方程组
matlab dsolve 微分方程组【实用版】目录1.MATLAB 中的 dsolve 函数2.微分方程组的求解3.使用 dsolve 求解微分方程组的实例正文一、MATLAB 中的 dsolve 函数MATLAB 是一种广泛使用的数学软件，提供了各种数学运算和分析功能。
在 MATLAB 中，dsolve 函数可以用于求解微分方程。
该函数可以解决一类常微分方程组，使得用户可以方便地解决复杂的微分方程问题。
二、微分方程组的求解微分方程组是数学中的一个重要概念，它描述了多个变量之间的变化关系。
在实际问题中，微分方程组可以用于描述物理、生物、经济等各个领域的问题。
解决微分方程组，可以得到变量之间的变化规律，从而为实际问题的解决提供理论依据。
求解微分方程组的方法有很多，如数值法、符号法等。
在 MATLAB 中，dsolve 函数提供了一种符号法求解微分方程组的方法。
这种方法可以方便地处理含有符号的微分方程组，并且可以得到解析解。
三、使用 dsolve 求解微分方程组的实例下面我们通过一个实例，来说明如何使用 dsolve 函数求解微分方程组。
假设有一个二阶常微分方程组：```dx/dt = x + ydy/dt = -x + y```我们可以使用 dsolve 函数求解该方程组。
在 MATLAB 中，输入以下命令：```matlabt = 0:1:10; % 定义时间区间x0 = 1; % 定义初始条件 x 的值y0 = 2; % 定义初始条件 y 的值% 使用 dsolve 函数求解微分方程组[~, x, y] = dsolve("dx/dt = x + y", "dy/dt = -x + y", t, [x0, y0]);```运行以上命令，可以得到方程组的解析解。
在 MATLAB 中，结果以符号形式显示，如需将其转换为数值形式，可以使用以下命令：```matlabx_num = solve(t, x);y_num = solve(t, y);```通过以上命令，我们可以得到微分方程组的数值解，从而为实际问题的解决提供理论依据。
matlab求解常微分方程组
matlab求解常微分方程组常微分方程组是数学中的一个重要分支，它描述了多个变量随时间变化的关系。
在实际应用中，常微分方程组经常被用来描述物理、化学、生物等领域中的动态系统。
本文将介绍如何使用MATLAB求解常微分方程组。
MATLAB是一种强大的数学软件，它提供了许多工具和函数来求解常微分方程组。
在MATLAB中，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程组。
ode45函数是一种常用的数值求解器，它使用龙格-库塔方法来求解常微分方程组。
我们需要定义常微分方程组。
常微分方程组通常采用向量形式表示，例如：dy/dt = f(t,y)其中，y是一个向量，f(t,y)是一个向量函数。
在MATLAB中，我们可以使用匿名函数来定义f(t,y)。
例如，如果我们要求解以下常微分方程组：dy1/dt = -y1 + 2*y2dy2/dt = -2*y1 + 3*y2我们可以定义f(t,y)为：f = @(t,y) [-y(1) + 2*y(2); -2*y(1) + 3*y(2)];接下来，我们需要指定初值条件。
初值条件是指在t=0时，y的值。
在MATLAB中，我们可以使用一个向量来表示初值条件。
例如，如果我们要求解以下常微分方程组：dy1/dt = -y1 + 2*y2dy2/dt = -2*y1 + 3*y2初值条件为：y(0) = [1; 0]我们可以定义初值条件为：y0 = [1; 0];现在，我们可以使用ode45函数来求解常微分方程组。
ode45函数的语法如下：[t,y] = ode45(f,tspan,y0)其中，f是一个函数句柄，tspan是一个包含起始时间和结束时间的向量，y0是一个包含初值条件的向量。
ode45函数将返回一个包含时间和解向量的矩阵。
例如，如果我们要求解以下常微分方程组：dy1/dt = -y1 + 2*y2dy2/dt = -2*y1 + 3*y2初值条件为：y(0) = [1; 0]时间范围为0到10秒，我们可以使用以下代码来求解：f = @(t,y) [-y(1) + 2*y(2); -2*y(1) + 3*y(2)];tspan = [0 10];y0 = [1; 0];[t,y] = ode45(f,tspan,y0);现在，我们可以绘制解向量随时间变化的图像。
用MATLAB求解微分方程
用MATLAB求解微分方程
1. 微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
结 果：u = tan(t-c)
解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
STEP2
STEP1
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解法一（解析法）
由(1),(2)消去t整理得模型:
解法二(数值解)
结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')
3、结果如图
图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.
1. 微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
结 果：u = tan(t-c)
解 输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
STEP2
STEP1
解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')
导弹追踪问题
设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解法一（解析法）
由(1),(2)消去t整理得模型:
解法二(数值解)
结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t
2、取t0=0，tf=12，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')
3、结果如图
图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.
Matlab微分方程的解法
-0.5
-0.55
-0.6
-0.65
-0.7
-0.75
-0.8
-0.85
-0.9
-0.95
-1
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
time t0=0,tt=1
图3 给定新的初始数据，由函数xprim2定义的ODE解的图形
（d） 求解下面方程组并不难：
x x x x ì ' = - 0.1
在下面的初值问题中，有两个未知函数：x1(t)和x2(t),并用以下式子表达其微... 页码，1/11
Matlab关于微分方程的解法
MATLAB使用龙格-库塔-芬尔格（Runge-Kutta-Fehlberg）方法来解ODE问题。在有限点内计算求解。而 这些点的间距有解的本身来决定。当解比较平滑时，区间内使用的点数少一些，在解变化很快时，区间内应使 用较多的点。 为了得到更多的有关何时使用哪种解法和算法的信息，推荐使用helpdesk。所有求解方程通用的语法或句法在 命令集中头两行给出。时间间隔将以向量t=[t0,tt]给出。 命令ode23可以求解(2,3)阶的常微分方程组，函数ode45使用(4,5)阶的龙格-库塔-芬尔格方法。注意，在这种情 况下x’是x的微分不是x的转置。 在命令集中solver将被诸如ode45函数所取代。
0.6
0.55
0.5
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
time t0=0,tt=1
图1 由函数xprim1定义的ODE解的图形
（b） 解下面的ODE过程是等价的：
ïíìx' = x2
ïîx(0) = 1
matlab求解常微分方程
用matlab 求解常微分方程在MATLAB 中，由函数dsolve ()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下：r = dsolve('eq1,eq2,...', 'cond1,cond2,...', 'v')'eq1,eq2,...'为微分方程或微分方程组，'cond1,cond2,...',是初始条件或边界条件，'v'是独立变量，默认的独立变量是't'。
函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。
例1：求解常微分方程1dy dx x y =+的MATLAB 程序为：dsolve('Dy=1/(x+y)','x')，注意，系统缺省的自变量为t ，因此这里要把自变量写明。
其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X 。
例2：求解常微分方程的MATLAB 程序为：2'''0yy y −=Y2=dsolve('y*D2y-Dy^2=0','x')Y2=dsolve('D2y*y-Dy^2=0','x')我们看到有两个解，其中一个是常数0。
例3：求常微分方程组253ttdxx y edtdyx y edt⎧++=⎪⎪⎨⎪−−=⎪⎩通解的MATLAB程序为：[X,Y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t)','t')例4：求常微分方程组2210cos,24,tttdx dyx t xdt dtdx dyy e ydt dt=−=⎧+−==⎪⎪⎨⎪++==⎪⎩2通解的MATLAB程序为：[X,Y]=dsolve('Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t)','x(0)=2,y(0)=0','t')以上这些都是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解。
Matlab学习——求解微分方程（组）
Matlab学习——求解微分⽅程（组）介绍：1.在 Matlab 中，⽤⼤写字母 D 表⽰导数，Dy 表⽰ y 关于⾃变量的⼀阶导数，D2y 表⽰ y 关于⾃变量的⼆阶导数，依此类推.函数 dsolve ⽤来解决常微分⽅程（组）的求解问题，调⽤格式为X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…)如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解系统缺省的⾃变量为 t。
2.函数 dsolve 求解的是常微分⽅程的精确解法，也称为常微分⽅程的符号解.但是，有⼤量的常微分⽅程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却⽆法求出其解析解，此时，我们需要寻求⽅程的数值解，在求常微分⽅程数值解⽅⾯，MATLAB 具有丰富的函数，将其统称为 solver，其⼀般格式为：[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)说明：(1)solver 为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i 之⼀.(2)odefun 是显⽰微分⽅程y ' = f (t , y) 在积分区间 tspan = [t 0 , t f ] 上从t0 到t f⽤初始条件 y0求解.(3)如果要获得微分⽅程问题在其他指定时间点t 0 , t1 , t 2 , , t f上的解，则令tspan = [t 0 , t1 , t 2 , t f ](要求是单调的).(4)因为没有⼀种算法可以有效的解决所有的 ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器 solver，对于不同的 ODE 问题，采⽤不同的 solver3．在 matlab 命令窗⼝、程序或函数中创建局部函数时，可⽤内联函数 inline，inline 函数形式相当于编写 M 函数⽂件，但不需编写 M-⽂件就可以描述出某种数学关系.调⽤ inline 函数，只能由⼀个 matlab 表达式组成，并且只能返回⼀个变量，不允许[u,v]这种向量形式.因⽽，任何要求逻辑运算或乘法运算以求得最终结果的场合，都不能应⽤ inline 函数，inline 函数的⼀般形式为：FunctionName=inline(‘函数内容’, ‘所有⾃变量列表’)例如：（求解 F(x)=x^2*cos(a*x)-b ,a,b 是标量；x 是向量）在命令窗⼝输⼊:Fofx=inline('x.^2.*cos(a.*x)-b','x','a','b');g = Fofx([pi/3 pi/3.5],4,1)系统输出为：g=-1.5483 -1.7259注意：由于使⽤内联对象函数 inline 不需要另外建⽴ m ⽂件，所有使⽤⽐较⽅便，另外在使⽤ ode45 函数的时候，定义函数往往需要编辑⼀个 m ⽂件来单独定义，这样不便于管理⽂件，这⾥可以使⽤ inline 来定义函数。
matlab解微分方程组拉式变换后的方程
一、概述微分方程组是描述自然界中众多物理现象的重要数学工具，它在工程、物理学、生物学等领域有着广泛的应用。
Matlab作为一种高效的科学计算软件，能够方便地对微分方程组进行求解和分析。
在求解微分方程组时，拉普拉斯变换是一种非常重要的方法，它可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解的过程。
本文将重点探讨利用Matlab对微分方程组进行拉普拉斯变换后的求解过程。
二、微分方程组的拉普拉斯变换1. 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种用来处理微分方程的常用方法。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换定义如下：L{f(t)} = F(s) = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，s为复变量，t为实变量。
通过拉普拉斯变换，可以将微分方程组转化为代数方程组，从而利用代数方法进行求解。
2. 微分方程组的拉普拉斯变换考虑一个n阶线性微分方程组：a_n(t)y^n + a_(n-1)(t)y^(n-1) + ... + a_1(t)y' + a_0(t)y = f(t)通过拉普拉斯变换，将上述微分方程组转化为代数方程组：A_n(s)Y(s) + A_(n-1)(s)Y(s) + ... + A_1(s)Y(s) + A_0(s)Y(s) = F(s)其中，Y(s)和F(s)分别为y(t)和f(t)的拉普拉斯变换，A_n(s)等为对应的系数的拉普拉斯变换。
三、Matlab求解拉普拉斯变换后的微分方程组1. 预处理在利用Matlab求解微分方程组之前，需要对微分方程组进行拉普拉斯变换。
假设有一个简单的n阶线性微分方程组：a_n(t)y^n + a_(n-1)(t)y^(n-1) + ... + a_1(t)y' + a_0(t)y = f(t)通过拉普拉斯变换，可以得到：A_n(s)Y(s) + A_(n-1)(s)Y(s) + ... + A_1(s)Y(s) + A_0(s)Y(s) = F(s)将上述代数方程组输入Matlab中进行求解。