下载文档原格式
7.4 数学建模活动：周期现象的描述教学目标1.借助具体实例，理解一类波动问题(如光波、声波、电磁波)等周期现象可以用三角函数刻画.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题． 教学知识梳理知识点一 三角函数的应用 1．三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 知识点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0中参数的物理意义教学小测1．电流I (A )随时间t (s)变化的关系是I ＝2sin 100πt ，t ∈(0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( ) A.1100 B ．100 C.150 D ．50 【答案】C【解析】T ＝2π|ω|＝2π100π＝150.2.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )A.12，1π B ．2，1π C.12，π D ．2，π 【答案】A【解析】t ＝0时，θ＝12sin π2＝12；又T ＝2π2＝π，所以单摆频率为1π.3．如图为某简谐运动的图像，则这个简谐运动需要________s 往返一次．【答案】0.8【解析】观察图像可知此简谐运动的周期T ＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s 往返一次． 4．如图所示的图像显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________________．【答案】y ＝－6sin π6x【解析】设y 与x 的函数关系式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，则A ＝6，T ＝2πω＝12，ω＝π6. 当x ＝9时，y max ＝6.故 π6×9＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z . 取k ＝1得φ＝π，即y ＝－6sin π6x .教学案例案例一 三角函数模型在物理中的应用例1.交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)， 即开始时的电压为110 3 V.(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300 s 时第一次取得最大值．反思感悟 处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1.已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)． 回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？解：可作出y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3t ∈[0，＋∞)的简图．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23， 所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 案例二 三角函数模型在生活中的应用例2.如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？解：(1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt (t ≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝2π12，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)令y ＝40.5－40cos π6t ＝60.5，得cos π6t ＝－12，所以π6t ＝23π或π6t ＝43π，解得t ＝4或t ＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2.某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据.t /小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y /米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0经长期观察，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A sin ωt ＋b 的图像． (1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)? 解：(1)由已知数据，描出曲线如图：易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米， 由y ≥11.5，得3sin π6t ＋10≥11.5，∴sin π6t ≥12.①∵0≤t ≤24，∴0≤π6t ≤4π.②由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6t ≤17π6.化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17.∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港， 在港内最多可停留16小时． 课堂小结 1．知识清单：(1)三角函数模型在物理中的应用． (2)三角函数模型在生活中的应用． 2．方法归纳：数学建模． 当堂达标 一、选择题1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100 s C ．50 s D ．100 s 【答案】A2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 【答案】A3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A ．3或0B ．－3或0C ．0D ．－3或3 【答案】D【解析】因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图像的对称轴． 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2 ＝±3.因此选D.4.如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图像大致是( )【答案】C【解析】d ＝f (l )＝2sin l2.二、填空题5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数 m 的值是________． 【答案】26,27,28【解析】∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28.6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________． 【答案】80【解析】T ＝2π160π＝180(分)．f ＝1T＝80(次/分)．7．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________． 【答案】g4π2【解析】T ＝2πg l＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g 4π2. 三、解答题8.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？ 解：(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6.由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t . 由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2. (2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.。
7.4 数学建模活动：周期现象的描述教学目标：1.能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点)2.将实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 教学知识梳理 三角函数模型的应用(1)三角函数模型的应用①根据实际问题的图像求出函数解析式．②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． ③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型． (2)解答三角函数应用题的一般步骤思考：在函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)中，A ，b 与函数的最值有何关系？ 提示：A ，b 与函数的最大值y max ，最小值y min 关系如下： (1)y max ＝A ＋b ，y min ＝－A ＋b ； (2)A ＝y max －y min 2，b ＝y max ＋y min2.[教学检测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内是增函数． ( ) (2)函数y ＝3sin x －1的最大值为3.( ) (3)直线x ＝π是函数y ＝sin x 的一条对称轴． ( ) (4)函数y ＝sin [π(x －1)]的周期为2.( )【答案】(1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．求下列函数的周期：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝________； (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝________； (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω≠0)的周期是T ＝________；【答案】(1)2π|ω| (2)2π|ω| (3)π|ω|3．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．【解析】∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T ＝80.【答案】80[合 作 探 究·攻 重 难]例1 交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203·sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．[思路探究] 交流电压与时间的关系呈现周期性变化，t ＝0时即为初始电压，求周期和最值可直接运用性质．[解] (1)当t ＝0时，E ＝1103(V)． 即开始时的电压为1103V.(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 3 V. 当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．1． 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系为s ＝ 6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (1)作出它的图像；(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？[解] (1)单摆的周期T ＝2π2π＝1，若令2πt ＋π6＝0，即t ＝－112，这时s ＝0.找出曲线上的五个特殊点，列表如下：t－112 212 512 812 1112 s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6 06－6用光滑的曲线连接这些点，得函数 s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6的图像(如图)．(2)当t ＝0时，s ＝6sin π6＝6×12＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.(3)s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫3πt ＋π6的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm. (4)s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s. 类型2 已知模型求解析式例2 如图所示，表示电流I (A)与时间t (s)的关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图像．根据图像写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式． [思路探究] 由图像确定A 、ω、φ.[解] 由图像可知A ＝300，又T ＝2⎣⎡⎦⎤1150－⎝⎛⎭⎫－1300＝150，∴ω＝2πT ＝100π. 又∵t ＝－1300时，ωt ＋φ＝0，∴100π·⎝⎛⎭⎫－1300＋φ＝0，即φ＝π3，∴I ＝300sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3. [规律方法] 求解析式的难点在于求φ，可根据图像找出与正弦曲线对应点求得. [跟踪训练]2．如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0，|φ|<π)．(1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．[解] (1)由题图知，这段时间的最大温差是30－10＝20 (℃)．(2)题图中从6时到14时的图像是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图像．所以12×2πω＝14－6，解得ω＝π8，由图像知，A ＝12(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ＋20.因为x ＝6时，y ＝10，所以10＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8×6＋φ＋20，所以sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1，可令3π4＋φ＝3π2，所以φ＝3π4.综上所述，所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．类型3三角函数的实际应用1．建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？提示：(1)先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模型． (2)其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题． (3)最后将所得结果翻译成实际答案． 2．如何建立拟合函数模型？提示：(1)利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”． (2)观察“散点图”，并进行数据拟合，获得具体的函数模型． (3)利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进行检验．例3 某港口的水深y (单位：m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据： t /h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y /m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数y ＝A sin ωt ＋b 的图像．(1)试根据以上数据，求函数解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m 时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m ，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？[思路探究] (1)根据题意确定A ，b ，ω，φ. (2)根据题意水深y ≥11.5可求解．[解] (1)从拟合曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ， 因此2πω＝12，得ω＝π6.∵当t ＝0时，y ＝10，∴b ＝10. ∵y max ＝13，∴A ＝13－10＝3.∴所求函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．(2)由于船的吃水深度为7 m ，船底与海底的距离不少于4.5 m ，故在船舶航行时水深y 应不小于7＋4.5＝11.5(m)．∴当y ≥11.5时就可以进港． 令y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，得sin π6t ≥12，∴π6＋2k π≤π6t ≤5π6＋2k π(k ∈Z )，∴1＋12k ≤t ≤5＋12k (k ∈Z )． 取k ＝0，则1≤t ≤5；取k ＝1，则13≤t ≤17； 取k ＝2，则25≤t ≤29(不合题意)．因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可以在港口停留4小时． 母题探究若将例3中“某港口的水深y 是时间t (0≤t ≤24，单位h)的函数”变为“海浪高度y (米)是时间t (时)的函数(0≤t ≤24)且浪高数据如下：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5若该函数图像可近似地看成函数y ＝A cos ωt ＋b 的图像． 试求：(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？[解] (1)由表中数据可知，T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅为12，函数解析式为y ＝12cos π6t＋1(0≤t ≤24)．(2)因为y >1时，才对冲浪爱好者开放，所以y ＝12cos π6t ＋1>1，cos π6t >0，2k π－π2<π6t <2k π＋π2，即12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )．又0≤t ≤24，所以0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t <15[规律方法] 根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决.[当 堂 达 标·固 双 基]1．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零【解析】由图像可知，该质点的振动周期是2×(0.7－0.3)＝0.8，故A 不正确；振幅为5 cm ，故选B.【答案】B2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数， 五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]【解析】由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.【答案】C3．如图所示，是一弹簧振子作简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.【解析】设函数解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)，则由题意得 A ＝2，T ＝2×(0.5－0.1)＝0.8，∴ω＝2π0.8＝52π.又52π×0.1＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫52πt ＋π4. 【答案】y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫52πt ＋π4 4．某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中0<A ≤2，0<ω<2，－π2<φ<π2 的图像，列出的部分数据如下表： x 0 1 234 y11－1－2经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．【解析】在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．根据函数图像的大致走势， 可知点(1,0)不符合题意；又∵0<A ≤2，函数图像过点(4，－2)，∴A ＝2， ∵函数图像过点(0,1)，∴2sin φ＝1. 又∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，由(0,1)，(2,1)关于直线x ＝1对称， 知x ＝1时函数取得最大值2， ∴函数的最小正周期为6. ∴ω＝π3.【答案】y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π65．如图所示，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋ b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，||φ<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．[解] (1)由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度． (2)b ＝30＋502＝40，A ×1＋40＝50⇒A ＝10，由图可知，T2＝14－8＝6，则T ＝12，ω＝2πT ＝π6，则y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40，代入(8,30)得φ＝π6， ∴解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．。
7.4 数学建模活动：周期现象的描述整体设计教学分析我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一,三角函数是研究周期现象最重要的数学模型.在这一节,我们将通过实例,让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过例题及变式训练,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.三维目标1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律,将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.3.通过实际问题的解决,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.重点难点教学重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(情境导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图像与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来探究这种三角函数模型的简单应用.推进新课新知探究提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?又是怎样解决实际问题的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?解决实际问题的一般程序是什么?活动：师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程,做好知识迁移的准备.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.讨论结果：①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.解决的方法是首先建立数学模型.②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究建立实际问题的一般数学方法.③解决实际问题的一般程序是：1°审题：逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求,理解题目中的数量关系；2°建模：分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原：把数学结论还原为实际问题的解答.提出问题在自然界中,存在着大量的周期函数,两个周期函数合成后,是否还是周期函数呢?周期函数的类型是否发生了改变?比如：两个正弦电流i1=3sin(100πt+π3),i2=4sin(100πt-π6)合成后是否仍是正弦电流呢?类似地,两个声波和光波合成后又是怎样的?活动：函数y=A1sin(ω1x+θ),y=A2sin(ω2x+φ)叠加后,即函数y=A1sin(ω1x+θ)+A2sin(ω2x+φ)是否仍是正弦型函数呢?若不是,需满足怎样的条件?讨论结果：一,利用图形计算器或其他绘图工具绘制一些函数,如：y=sin x+3cos x,y=3 sin2x+cos x,y=sin x+cos x,y=3sin x+4cos x,y=3sin x+cos3x,观察这些函数的图像,得出y=a sinω1x+b cosω2x仍是正弦型函数的条件.二,下面用图形计算器或其他绘制函数工具研究函数y=a sin x+b cos x与化简后的正弦型函数y=A sin(ωx+φ)的振幅,周期,初相与a,b的联系.三,通过实验验证你的猜想.可从具体函数入手,例如：先依据你猜测的函数类型,借助图形计算器或软件中测量等工具猜测出函数y=sin x+3cos x解析式的化简形式.绘制它的图像,验证它是否与y=sin x+3cos x的图像完全吻合.四,请在上面实验或进一步猜测实验的基础上,尝试确定该类型函数中参量与y=a sin x+b cos x 中a,b的关系,得出三角式a sin x+b cos x的化简公式,这个公式在正弦电流,声波和光波的合成中经常用到.五,请尝试证明你得出的化简公式,指出与其相关联的三角变换公式并说明两者间的联系.六,试求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅,周期,初相.应用示例例1 如图1,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.图1(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.活动：这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.题目已经给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图像的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图像直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.解：(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6—14时的图像是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图像, ∴A =21(30-10)=10,b =21(30+10)=20. ∵21·2πω=14-6, ∴ω=8π.将x =6,y =10代入上式,解得φ=3π4. 综上,所求解析式为y =10sin(π8x +3π4)+20,x ∈[6,14]. 点评：本例中所给出的一段图像实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.例2 函数y =|sin x |的一个单调增区间是( )A.(- π4, π4)B.(π4,3π4)C.(π,3π2) D.(3π2,2π) 【答案】C例3 水车问题.水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,图2是一个水车工作的示意图,它的直径为3 m,其中心(即圆心)O 距水面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转,旋转一圈的时间是34min.在水车轮边缘上取一点P ,点P 距水面的高度为h (m).图2(1)求h 与时间t 的函数解析式,并作出这个函数的简图.(2)讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时,所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化.若水车转速加快或减慢,函数解析式中的参数又会受到怎样的影响?活动与解答：不妨设水面的高度为0,当P 点旋转到水面以下时,P 点距水面的高度为负值.显然,h 与t 的函数关系是周期函数的关系.如图2,设水车的半径为R ,R =1.5 m;水车中心到水面的距离为b ,b =1.2 m;∠QOP 为α;水车旋转一圈所需的时间为T ;由已知T =34(min)=80(s),单位时间(s )旋转的角度(rad)为ω, ω=2πT =π40rad/s. 为了方便,不妨从P 点位于水车轮与水面交点Q 时开始计时(t =0),在t 时刻水车转动的角度为α,如图2所示,∠QOP =α=ωt =π40t (rad). 过P 点向水面作垂线,交水面于M 点,PM 的长度为P 点的高度h .过水车中心O 作PM 的垂线,交PM 于N 点,∠QON 为φ.从图中不难看出：h =PM =PN +NM =R sin(α-φ)+b .①这是一个由三角函数确定的数学模型.从图中可以看出：sinφ=5.12.1,所以φ≈53.1°≈0.295π rad.把前面已经确定了的参数α,φ,R和b代入①式,我们就可以得到h=1.5 sin(π40t-0.295π)+1.2(m).②这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数解析式.因为当P点旋转到53.1°时,P点到水面的距离恰好是1.2(m),此时t=801.53⨯≈11.8(s),故可列表,描点,画出函数在区间［11.8,91.8］上的简图(如图3)：图3如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少,将造成水车中心O与水面距离的改变,而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时参数b减小;水面回落时参数b增大.如果水车轮转速加快,将使周期T减小,转速减慢则使周期T增大.点评：面对实际问题建立数学模型,是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,就像这个例题,把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.知能训练1.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数,I a=I sinωt,I b=I sin(ωt+120°),I c=I sin(ωt+240°).则I a+I b+I c=___________.【答案】02.图4是一个单摆的振动图像,据图像回答下列问题：图4(1)单摆振幅多大;(2)振动频率多高;(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置;(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置;(5)若当g =9.86 m/s 2,求摆线长.解：结合函数模型和图像：(1)单摆振幅是1 cm;(2)单摆的振动频率为1.25 Hz;(3)单摆在0.6 s 通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值;(4)单摆在0.4 s 时在正向最大位移处,首次具有加速度的最大负值;(5)由单摆振动的周期公式T =2πg L ,可得L =224πgT =0.16 m. 点评：解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.课堂小结1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图像建立解析式,根据解析式作出图像,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.作业图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系I =A sin(ωx +φ)(ω＞0,|φ|＜π2)在一个周期内的图像.图5(1)根据图像写出I =A sin(ωx +φ)的解析式;(2)为了使I =A sin(ωx +φ)中的t 在任意一段1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?解：(1)由图知A =300,第一个零点为(－3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－3001)+φ=0,ω·1501+φ=π. 解得ω=100π,φ=π3.∴I =300sin(100πt +π3). (2)依题意有T ≤1001,即2π ≤1001, ∴ω≥200π.故ωmin =629.设计感想1.本教案设计指导思想是：充分唤起学生已有的知识方法,调动起学生相关学科的知识,尽量降低实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣.2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立起适当三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生根据自己选择的模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况差异进行评价.3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有条件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解.。
数学建模活动：周期现象的描述【学习目标】通过体验将实际问题抽象为三角函数模型并用三角函数知识加以解决的过程，逐步提高将实际问题抽象为数学模型的能力——即数学建模思想。
【学习重难点】能将某些实际问题抽象为数学模型，体会数学建模的过程。
【学习过程】一、自主学习1．三角函数模型应用的步骤：三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决。
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题。
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式。
2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题。
错误!解答三角函数应用题应注意四点：（1）三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系。
（2）在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题。
（3）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题。
（4）实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器。
基础自测：二、基础自测1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F（t）＝50＋4in错误!（t≥0），则在下列哪个时间段内人流量是增加的（）。
A．[0，5]B．[5，10]C．[10，15]D．[15，20212．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t（）时离开平衡位置的位移1（cm）和2（cm）分别由下列两式确定：＝5in错误!，2＝5co错误!。
《7．4 数学建模活动：周期现象的描述》教学设计一、教学内容解析本节课是《普通高中教科书•数学（人教B版）》必修第三册第七章第四节《数学建模活动：周期现象的描述》．数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容．数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学运用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的手段，也是推动数学发展的动力．数学建模和数学探究注重的是学习方式的转变、强调学习以知识接受为基本方式，以知识结果的获得为直接目的，对学生的动手动脑能力提出了更高的要求．二、教学目标设置根据教学内容以及学生现有的认知水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下四个方面：1.了解完整的数学建模过程，会建立函数模型解决实际问题；2.基于现实情境，构建数学模型，经历“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的过程．体验数学在解决问题中的价值和作用．提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力；3.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型；4.让学生重视学科之间的联系，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学的眼光观察世界，发现问题，并用数学的方法解决实际问题．教学重点：掌握完整的数学建模活动过程．教学难点：利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．三、学生学情分析学生已经研究了正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质，能利用函数知识解决简单的数学应用问题．他们初步掌握了计算机软件的使用方法，能够进行简单的数据处理．四、教学策略分析本节课以微课的形式进行教学．通过情景引入、初步探索、综合运用、综合提升四个环节，引导学生经历选题、开题、做题、结题的过程，培养数学建模素养．五、教学过程 （一）创设情境，引入新课情景一：将下图所示的摩天轮抽象成下图所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点O ，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系．设O 到地面的高OT 为l m ，P 点为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP 为r m ．记以OP 为终边的角为x rad ，点P 离地面的高度为y m ，那么y 是x 的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？情境二：交变电流可以用三角函数表达为)sin(ϕω+=t A y ，其中t 表示时间，y 表示电流，A 表示最大电流，πω2表示频率，ϕ表示初相位． 情境三：单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为)sin(ϕω+=t A y ，其中t 表示时间，y 表示位移，A 表示振幅，πω2表示频率，ϕ表示初相位．（1）教师对前几节遇到的实际问题进行梳理，引出本节课的课题——数学建模活动：周期现象的描述．设计意图：引领学生回顾前面教学中遇到的实例引入本节课题．（2）引导学生举出更多生活中的周期现象．设计意图：1、让学生体会数学源于生活，激发学生的学习兴趣．2、引出本节课的教学案例——潮汐现象．（二）初步探究，归纳步骤完整的数学建模活动一般要经历选题、开题、做题、结题四过程．选题：指根据要求选定合适的研究对象的过程；开题：指讨论与确定建模步骤的过程；做题：指按照讨论步骤进行实际建模的过程；结题：指总结与交流的过程．设计意图：梳理完整的建模过程，为接下来的学习提供思路．（三）综合应用，小结反思海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐。
2020-2021学年新教材人教B 版必修第三册 7.4 数学建模活动：周期现象的描述 作业一、选择题1、已知函数π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,若f ()x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32,则 m 的最小值是（ ）A ．2πB ．3πC ．6πD ．12π2、设0m >，把函数()sin cos f x x x=-的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数'()y f x =的图象（'()f x 是()f x 的导函数），则m 的值可以为（ ）A ．4πB ．34πC ．πD ．2π3、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 是以π为周期的周期函数，当62x ππ≤≤时，()sin f x x a =+，则56f π⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）A ．32B ．12-C ．12D ．32-4、将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位.若所得图象与原图象重合，则ω的值可能．．等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．125、已知函数()21f x x =-，()()sin 206g x m x m m π⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．[)1,4C ．[)1,+∞ D ．()0,46、函数sin cos 88ππy x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递减区间为（ ） A ．37,44k ππk ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B ．3788k ππ,k ππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈C ．1344k ππ,k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ D ．13,88k ππk ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ 7、下列函数中，周期为π的奇函数是（ ）A ．2sin y x =B ．cos 2y x =C ．tan 2y x =D ．sin 2y x =8、将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =的图象与函数cos 2y x =的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．2πC ．23πD ．56π9、已知角α是锐角，若sin ,cos αα是关于x 的方程20x mx n ++=的两个实数根，则实数m 和n 一定满足（ ）A ．240m n -=B ．221m n =+ C ．10m n ++≤ D ．0mn >10、已知π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，点()sin cos ,sin cos P x x x x +-在角α的终边上，则cos α的取值范围是（ ）． A ．[]1,1-B．2⎛⎤- ⎥⎝⎦ C．⎤⎥⎝⎦ D．(2⎤⎦ 11、已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 在11,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．512π是()f x 的一个极值点12、已知直线x m =与函数()sin f x x =，()sin 2g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象分别相交于M ，N 两点，则||MN 的最大值为（ ）．A ．1B1 C．2二、填空题13、已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()13f x =在()0,π的解为1x ，()212x x x <，则()12sin x x -=________.14、已知方程2cos 4sin 0x x a +-=有解，则a 的范围是______.15、若函数sin cos 44⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x a x ππ的图像关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则实数a 的值为_________．16、已知不等式22cos sin 1sin x a x a x -+-对任意的实数x 均成立，则实数a 的取值范围为________.三、解答题17、（本小题满分10分）已知函数()12sin 2,,342f x x x πππ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式2()2f x m -<-<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围. 18、（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,02f x x m πωϕωϕ⎛⎫=++>-<< ⎪⎝⎭满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①32ω=，②周期T π=，③过点()0,0，④332f π⎛⎫=⎪⎝⎭．（1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离．19、（本小题满分12分）已知函数()3sin 2cos2f x x x=+．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,π上的图像，并写出()y f x=图像的对称中心；（2）先将函数()y f x=的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x=的图像，若()g x在[]0,m上的值域为[]1,2-，求m的取值范围．参考答案1、答案B解析先求出522666x m πππ-≤-≤-，再根据πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为1得到m 的取值范围即得解.详解由题得25,22,2233666x m x m x m πππππ-≤≤∴-≤≤∴-≤-≤-，因为函数f(x)的最大值为32，所以πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为1，所以2,623m m πππ-≥∴≥.所以m 的最小值为3π.故答案为：B 点睛本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 2、答案D解析首先利用辅助角公式求出()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则求出()f x '，然后利用三角函数的平移变换原则即可求解.详解：()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()cos sin 4y f x x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭'， 所以只要把函数()f x 的图象向左平移2π个单位长度就可以得到函数()y f x ='的图象.故选：D点睛本题考查了三角函数的平移变换原则、辅助角公式以及基本初等函数的导数公式以及导数的运算法，属于基础题.3、答案B 解析根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为π，得到a 的值，566f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到答案.详解因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以22f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而()f x 是以π为周期的周期函数，所以222f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，当62x ππ≤≤时，()sin f x x a =+，所以sin02a π+=，得到1a =-，即当62x ππ≤≤时，()sin 1f x x =-566f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 162π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B点睛本题考查根据函数的奇偶性和周期性求参数的值，根据周期性求函数值，属于中档题. 4、答案ACD解析原函数向左平移2π个单位后，得到新的函数()sin()2f x x ωπωϕ=++，由于与原函数图象重合，则有2,2k k Zωππ=∈，由此即可得到本题答案.详解：将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位后，解析式变为()sin[()]sin()22f x x x πωπωϕωϕ=++=++，因为平移后图象与原来图象重合，所以2,2k k Zωππ=∈，得4,k k Z ω=∈.故选：ACD点睛本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数的平移问题，考查学生分析问题和解决问题的能力. 5、答案C 解析分别求出()f x 与()g x 在区间[]0,1上的值域，根据题意只需()()max min f x g x ≥，解不等式即可求解. 详解：存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，就是()()max minf xg x ≥.因为01x ≤≤，所以066x ππ≤≤，10sin 62m x m π⎛⎫≤≤⎪⎝⎭.于是1()2,22g x m m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 当01x ≤≤时，()[]210,1f x x =-∈.因此()()max minf xg x ≥，就是12m ≥-，解得m 1≥.故选：C点睛本题考查了不等式能成立问题、求三角函数的值域、二次函数的值域，属于基础题. 6、答案B解析化简解析式得1sin 224πy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用整体法结合sin y x =减区间即可得到答案. 详解：1sin cos sin 28824πππy x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由3222242πππk πx k π+<-<+，得3788ππk πx k π+<<+，k Z ∈.故选：B ．点睛本题考查正弦型三角函数的单调区间的求法，涉及到二倍角公式的运用，是一道基础题. 7、答案D解析通过判断四个函数的周期性、奇偶性，可选出答案. 详解：函数2sin y x =的周期为2π，不符合题意； 函数cos 2y x =是偶函数，不符合题意；函数tan 2y x =的周期为π2，不符合题意；sin 2y x =是周期为π的奇函数，符合题意.故选：D. 点睛本题考查三角函数的周期性与奇偶性，属于基础题. 8、答案A解析根据三角函数的平移变换,先求得()y g x =的解析式.由两个函数关于6x π=对称,可知当6x π=时两个函数的函数值相等,即可求得ϕ的表达式,进而求得ϕ的最小值.详解把函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移3π个单位长度可得()2sin 2sin 233g x x x ϕϕ⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 因为函数()y g x =的图象与函数cos 2y x =的图象关于直线6x π=对称所以当6x π=时两个函数的函数值相等即2sin 2cos 2636πππϕ⎛⎫⎛⎫⨯++=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 化简可得1sin cos32πϕ=-=-由正弦函数的图像与性质可知,1sin cos32πϕ=-=-则726k πϕπ=+或112,6k k Z πϕπ=+∈所以当1k =-时,代入112,6k k Z πϕπ=+∈可得11266ππϕπ=-+=取得最小值当6πϕ=-时，()2sin 2cos 236g x x x ππ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭满足题意，故选:A点睛本题考查了三角函数图像的平移变化,三角函数的对称性及正弦函数的性质应用,属于中档题. 9、答案B解析由韦达定理有，sin cos m αα+=-①，sin cos n αα⋅=②，①式两边平方结合②式，即可得到本题答案. 详解因为sin ,cos αα是关于x 的方程20x mx n ++=的两个实数根，由韦达定理有，sin cos m αα+=-①，sin cos n αα⋅=②，①式两边平方得，212sin cos m αα+⋅=③，②代③得，221m n =+. 故选：B点睛本题主要考查韦达定理与三角函数的综合应用. 10、答案C解析根据终边上点的坐标，利用余弦函数的定义，结合正弦函数的图象与性质，可求出cos α范围.详解：根据题意可得：cos α==πsin 4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 当π0,2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，πsin 42x ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， cos α∴的取值范围是2⎛⎤⎥⎝⎦， 故选：C点睛本题主要考查了三角函数的定义，正弦函数的图象与性质，辅助角公式，属于中档题. 11、答案D解析结合正弦函数性质判断．详解：∵()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴最小正周期为22T ππ==，A 错；ππ()sin(2)333f π=⨯-=，∴(,0)3π不是函数()f x 图象的对称中心．B 错；11(,)212x ππ∈时，232(,)332x πππ-∈，()f x 递减，C 错；55()sin(2)112123f πππ=⨯-=是函数的最大值，∴512π是()f x 的一个极值点，D 正确．故选：D ． 点睛本题考查正弦型复合函数的性质，掌握正弦函数的性质是解题关键． 12、答案C解析先根据诱导公式进行化简，然后令()|()()|F x f x g x =-，求出函数F （x ）的最大值，即为|MN|的最大值．详解：由题意得()cos g x x =，令()|()()|F x f x g x =-，所以()|sin cos |4F x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 当42x k πππ-=+，k Z ∈，即34x k ππ=+，k Z ∈时，()F x||MN故选：C 点睛本题主要考查了三角函数的图象和函数解析式的关系，同时考查三角函数的最值，属于基础题． 13、答案3-. 解析由题意可知12,x x 关于()f x 对称轴对称⇒令232x k πππ-=+，求得函数()f x 对称轴方程⇒12,x x 之间的关系⇒代入()12sin x x -化简，再结合三角函数知识即可求解.详解由题意：令232x k πππ-=+，∴函数()f x 对称轴方程为：5()122k x k Z ππ=+∈，又方程()13f x =在()0,π的解为1x ，()212x x x <，125212x x π+∴=，2156x x π∴=-，121115sin()sin(2)sin (2))cos(2)6323x x x x x ππππ⎡⎤∴-=-=--=--⎢⎥⎣⎦，又2156x x π=-，12x x <，15012x π∴<<，15026x π∴<<，12332x πππ∴-<-< ，又11sin(2)33x π-=，121sin()cos(2)3x x x π∴-=--===故答案为：点睛本题考查三角函数性质的综合运用，考查理解辨析能力及求解运算能力. 14、答案[]4,4-解析由题意得出22cos 4sin sin 4sin 1a x x x x =+=-++，计算出函数2sin 4sin 1y x x =-++的值域，即可得出实数a 的取值范围.详解由2cos 4sin 0x x a +-=，可得22cos 4sin sin 4sin 1a x x x x =+=-++，令()22sin 4sin 1sin 25y x x x =-++=--+，1sin 1x -≤≤，3sin 21x ∴-≤-≤-，()21sin 29x ∴≤-≤，()24sin 214x ∴-≤--+≤，因此，实数a 的取值范围是[]4,4-.故答案为：[]4,4-.点睛本题考查利用三角方程有解求参数的取值范围，将问题转化为正弦型二次函数的值域求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 15、答案1解析根据函数的性质可知函数sin cos 44⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x a x ππ过点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求解即可.详解：因为函数sin cos 44⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x a x ππ在2x π=处有定义，且图像关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数sin cos 44⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x a x ππ上. 故0sin cos 2424a ππππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即022a -=，解得1a =.此时sin cos 44y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称满足条件.故1a =.故答案为：1点睛本题主要考查了根据三角函数的性质求解参数的问题，属于基础题. 16、答案(][),21,-∞-+∞解析即22sin (1)sin 0x a x a +--恒成立，设sin t x =，则[1,1]t ∈-，令22()(1)f t t a t a =+--，即()0f t ≤在[1,1]t ∈-时恒成立，即max ()0f t ≤，根据二次函数在闭区间上的最值的特点可得，()f t 的最大值一定为()1f 或()1f -，所以只需22(1)1(1)0(1)1(1)0f a a f a a ⎧-=---≤⎨=+--≤⎩，从而得出答案.详解：由22cos sin 1sin x a x a x -+-可得22sin (1)sin 0x a x a +--. 令sin t x =，则[1,1]t ∈-，令22()(1)f t t a t a =+--，[1,1]t ∈-，即()0f t ≤在[1,1]t ∈-时恒成立，即max ()0f t ≤.由开口向上的二次函数的图象和性质知，当[1,1]t ∈-时，()f t 的最大值一定为()1f 或()1f -.所以22(1)1(1)0(1)1(1)0f a a f a a ⎧-=---≤⎨=+--≤⎩，解得2a ≤-或1a ≥.故答案为：(][),21,-∞-+∞点睛本题主要考查不等式恒成立问题、二次函数的图象和性质、三角函数的有界性、换元法的应用，考查化归与转化思想及数形结合思想,属于中档题. 17、答案（1）最大值为3，最小值为2（2）()1,4（2）根据（1）的结果，得到使()22f x m -<-<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，只需3222m m -<⎧⎨->-⎩，求解即可得出结果. 详解 （1）∵42ππx ≤≤，∴22633x πππ≤-≤， ∴1sin 2123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴()212sin 233f x x π⎛⎫≤=+-≤ ⎪⎝⎭， 故()f x 的最大值为3，最小值为2； （2）由（1）知，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()23m f x m m -≤-≤-， 要使()22f x m -<-<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 只需3222m m -<⎧⎨->-⎩，解得14m <<，∴实数m 的取值范围是()1,4. 点睛本题主要考查求正弦型三角函数的最值，以及由三角函数的范围求参数的问题，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型. 解析18、答案（1）②③④；()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）3π． （2）根据题意1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故6x k ππ=+，或2x k ππ=+，k ∈Z ，得到答案. 详解：（1）所满足的三个条件是：②③④，()f x 的周期T π=，2ω∴=，()()sin 2f x x m ϕ∴=++，又过点()0,0，且332f π⎛⎫=⎪⎝⎭，sin 0m ϕ∴+=，23sin 32m πϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，23sin sin 32πϕϕ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，13sin sin 222ϕϕϕ--=，13cos 222ϕϕ⎫-=⎪⎪⎭，sin 62πϕ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭02πϕ-<<，6πϕ∴=-， 又sin 0m ϕ+=，102m ∴-+=，12m ∴=，()1sin 262f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭．（2）由()1sin 2162f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得1sin 262x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 2266x k πππ∴-=+，或52266x k πππ-=+，k ∈Z ， 6x k ππ∴=+，或2x k ππ=+，k ∈Z ，所以函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离为263πππ-=．点睛本题考查了三角函数解析式，图像中的最短距离，意在考查学生的计算能力和应用能力. 解析19、答案（1）作图见解析；对称中心ππ,0212k ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z ；（2）4π8π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）根据伸缩变换得()π2sin 26x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再根据正弦函数图象即可解决详解：（1）()π3sin 2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 列表如下：xπ6 5π12 2π3 11π12ππ26x +π6π2π3π22π13π6y122-1()f x 在[]0,π上的图像如图所示，其对称中心为ππ,0212k ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z ．（2）将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移π6个单位后得到 πππ2sin 22sin 2666y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图像，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变， 得到函数()π2sin 26x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像， ∵[]0,x m ∈，∴πππ,26626x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 结合正弦函数图数可知ππ7π2266m ≤-≤，解得4π8π33m ≤≤，∴m的取值范围是4π8π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦．点睛本题考查五点法作图，三角函数图象的变换，正弦型函数的值域问题，是中档题. 解析。
7．4 数学建模活动：周期现象的描述1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．x 轴上B ．最低点C ．最高点D ．不确定 答案 C解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 根据图像得函数的最小值为2， 有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.3．弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t (s)时离开平衡位置的位移s (cm)满足函数关系式s ＝2sin ⎝⎛⎭⎫t ＋π4，给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方2cm 处；②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm 处；③经过2π s 小球重复振动一次，其中正确的说法是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 答案 D解析 当t ＝0时，s ＝2sin ⎝⎛⎭⎫0＋π4＝2，故①正确；s min ＝－2，故②正确；函数的最小正周期T ＝2π，故③正确．4．如图是一个简谐运动的图像，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为－5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 答案 D解析 由图像及简谐运动的有关知识知T ＝0.8 s ，A ＝5 cm ，当t ＝0.1 s 及t ＝0.5 s 时，v ＝0，故排除选项A ，B ，C.5．某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上按月以 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x 为月份为模型波动，已知3月份第一次达到最高价7千元，7月份第一次达到最低价3千元，根据以上条件可以确定f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N ＋) B ．f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N ＋) C ．f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N ＋) D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋5(1≤x ≤12，x ∈N ＋) 答案 D解析 根据题意，T ＝2×(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，由⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋B ＝7，－A ＋B ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝5，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋5，当x ＝3时，2sin ⎝⎛⎭⎫π4×3＋φ＋5＝7，又|φ|<π2， 可得φ＝－π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋5，故选D. 6．已知一弹簧振子的位移y 与时间t 的函数关系式为y ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)，若已知此振子的振幅为3，周期为2π7，初相为π6，则这个函数的解析式为________．答案 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7t ＋π6，t ∈[0，＋∞) 7．某城市一年中12个月的平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 答案 20.5 解析 根据题意得18＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(12－6)＝a －A,28＝a ＋A ，解得a ＝23，A ＝5， 所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)， 令x ＝10，得y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(10－6)＝23＋5cos 2π3＝20.5. 8．已知某种交流电流I (A )随时间t (s)的变化规律可以拟合为函数I ＝52sin ⎝⎛⎭⎫100πt －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s 内往复运动________次． 答案 50解析 据I ＝52sin ⎝⎛⎭⎫100πt －π2知ω＝100π rad/s ， 该电流的周期为T ＝2πω＝2π100π＝0.02 s ，则这种交流电电流在0.5 s 内往复运行次数为n ＝2·t T ＝2×0.50.02s ＝50(次)．9．交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间． 解 (1)当t ＝0时，E ＝2203sin π6＝1103(伏)，即开始时的电压为110 3 伏． (2)电压的最大值为220 3 伏， 当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次获得这个最大值．10．某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多；若入住客栈的游客人数y 与月份x (x ∈N ＋)之间的关系可用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0,0<|φ|<π)近似描述． (1)求该函数的解析式；(2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？ 解 (1)由①，得最小正周期T ＝2πω＝12，所以ω＝π6；由②，得f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400；由③，得f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋b ＝100，A ＋b ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，b ＝300.又f (2)最小，f (8)最大，所以⎩⎨⎧sin ⎝⎛⎭⎫π6×2＋φ＝－1，sin ⎝⎛⎭⎫π6×8＋φ＝1.由0<|φ|<π，所以φ＝－5π6，所以y ＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300(x ∈N ＋，且1≤x ≤12)． (2)由200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400， 得sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12.所以2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6(k ∈Z )，解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10(k ∈Z )．因为x ∈N ＋，且1≤x ≤12，所以x ＝6,7,8,9,10， 即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400人的用餐．11．有一冲击波，其波形为函数y ＝－sin πx2的图像，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰，则正整数t 的最小值是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 答案 C12．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示．x 1 2 3 y10 0009 500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) A ．10 000元B ．9 500元C ．9 000元D ．8 500元答案 C解析 因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)， 所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000； 当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500， 所以ω可取3π2，φ可取π，即y ＝500sin ⎝⎛⎭⎫3π2x ＋π＋9 500. 当x ＝3时，y ＝9 000.13．示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标M (2,4)和P (6,0)，已知M ，P 是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则得曲线的方程是________． 答案 y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4解析 由题意可设曲线方程为y ＝4sin(ωx ＋φ)(ω>0)． 因为T 4＝4，所以T ＝16，所以ω＝2π16＝π8，所以y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 又曲线经过点M (2,4)， 所以π8×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.14．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωπt ＋π4＋60(美元)(A >0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t ＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________． 答案1120解析 因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωπt ＋π4＋60，最高油价80美元， 所以A ＝20.当t ＝150(天)时达到最低油价， 即sin ⎝⎛⎭⎫150ωπ＋π4＝－1，此时150ωπ＋π4＝2k π－π2，k ∈Z ，因为ω>0，所以令k ＝1，得150ωπ＋π4＝2π－π2，解得ω＝1120.故ω的最小值为1120.15．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，若将A ，B 两点的距离d (cm)表示成时间t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0,60]． 答案 10sinπt 60解析 秒针1 s 转π30弧度，t s 后秒针转了π30t 弧度，如图所示，sin πt 60＝d25，所以d ＝10sinπt 60. 16．如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 解 (1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt ，t ≥0，由周期为12分钟可知，当t ＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝π6，所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)设转第1圈时，第t 0分钟时距离地面60.5米． 由60.5＝40.5－40cos π6t 0，得cos π6t 0＝－12，所以π6t 0＝2π3或π6t 0＝4π3，解得t 0＝4或t 0＝8，所以t ＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．。
7.4 数学建模活动:周期现象的描述课后篇巩固提升基础巩固1.单摆离开平衡位置O 的位移s (单位:cm)和时间t (单位:s)的函数关系为s=6sin 2πt+π6,则单摆在摆动时,从最右边到最左边的时间为( ) A.2 s B.1 sC.12 s D.14 s,知周期T=2π2π=1 s,从最右边到最左边的时间是半个周期,为12s .2.某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格,单位:元)与第x 季度之间近似满足y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.x 1 2 y10 000 9 500则此楼群在第3季度的平均单价大约是( ) A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元D.8 500元y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,即{sin (2ω+φ)=0,sin (ω+φ)=1,所以{2ω+φ=mπ,m ∈Z ,ω+φ=π2+2nπ,n ∈Z .易得3ω+φ=-π2+2k π,k ∈Z .又当x=3时,y=500sin(3ω+φ)+9 500,所以y=9 000.3.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x )=A sin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f (x )的解析式为( ) A.f (x )=2sin π4x-π4+7(1≤x ≤12,x ∈N +) B.f (x )=9sinπ4x-π4(1≤x ≤12,x ∈N +)C.f (x )=2√2sin π4x+7(1≤x ≤12,x ∈N +)D.f (x )=2sinπ4x+π4+7(1≤x ≤12,x ∈N +)x=3可排除D,令x=7可排除B,由A=9-52=2可排除C;或由题意,可得A=9-52=2,b=7,周期T=ω=2×(7-3)=8,则ω=π4,f (x )=2sinπ4x+φ+7.∵当x=3时,y=9, ∴2sin3π4+φ+7=9,即sin3π4+φ=1.∵|φ|<π2,∴φ=-π4. ∴f (x )=2sinπ4x-π4+7(1≤x ≤12,x ∈N +).4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某节日期间某一天商场的人流量满足函数F (t )=50+4sin t2(t ≥0),则人流量增加的时间段是( )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]2k π-π2≤t 2≤2k π+π2,k ∈Z ,知函数F (t )的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k ∈Z .当k=1时,t ∈[3π,5π].因为[10,15]⊆[3π,5π],所以选C .5.有一小球从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s (单位:cm)关于时间t (单位:s)的函数解析式是s=A sin(ωt+φ),0<φ<π2,函数图像如图所示,则φ= .解析根据图像,知16,0,1112,0两点的距离刚好是34个周期,所以34T=1112−16=34.所以T=1,则ω=2πT =2π.因为当t=16时,函数取得最大值,所以2π×16+φ=π2+2k π,k ∈Z ,又0<φ<π2,所以φ=π6.6.如图,游乐场中的摩天轮匀速旋转,每转一圈需要12分钟,其中心O 距离地面40.5米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时.请解答下列问题:(1)求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式; (2)当你第四次距离地面60.5米时,用了多少时间?由已知可设y=40.5-40cos ωt (t ≥0),由已知周期为12分钟,可知ω=2π12,即ω=π6.所以y=40.5-40cos π6t (t ≥0). (2)令y=40.5-40cos π6t=60.5, 得cos π6t=-12,所以π6t=23π或π6t=43π,解得t=4或t=8,故第四次距离地面60.5米时,用时为12+8=20(分钟).7.已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (单位:cm)与时间t (单位:s)的函数关系式为h=3sin 2t+π4.(1)求小球开始振动的位置;(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间; (3)经过多长时间小球往返振动一次? (4)每秒内小球能往返振动多少次?令t=0,得h=3sin π4=3√22,所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置3√22cm 处. (2)由题意知,当h=3时,t 的最小值为π8,即小球第一次上升到最高点的时间为π8s . 当h=-3时,t 的最小值为5π8,即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s . (3)T=2π2=π,即经过约π s 小球往返振动一次. (4)f=1T=1π,即每秒内小球往返振动1π次.8.某港口水深y (单位:米)是时间t (0≤t ≤24,单位:小时)的函数,记作y=f (t ),下面是某日水深的数据.经长期观察,y=f (t )的曲线可近似地看成是函数y=A sin ωt+b 的图像. (1)试根据以上数据,求出函数y=f (t )的近似解析式;(2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?由已知数据,描出曲线如图:易知函数y=f (t )的周期T=12,振幅A=3,b=10, 则ω=2πT =π6,y=3sin π6t+10(0≤t ≤24).(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米, 由y ≥11.5得3sin π6t+10≥11.5,即sin π6t ≥12.① ∵0≤t ≤24,∴0≤π6t ≤4π.②由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6t ≤17π6.化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17.∴该船最早能在凌晨1时进港,下午17时出港,在港内最多可停留16小时.。
7.4 数学建模活动：周期现象的描述三维目标1．知识与技能用三角函数研究简单的实际问题，将实际问题抽象为三角函数问题，尤其是周期性问题．2．过程与方法通过用三角函数解决实际问题，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过本节内容的学习，使学生感受到生活离不开数学，培养学生健康向上的高尚情操．重点难点重点：三角函数在实际生活中的应用．难点：将实际问题抽象为三角函数模型．(教师用书独具)教学建议1．本节学习的重点是用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题，教学中注意引导学生学会从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．2．教师在课堂上引导学生归纳运用三角函数模型解决问题的几种类型：(1)由图像求解析式：首先由图像确定解析式的基本形式，例如：y＝A sin(ωx＋φ)，然后根据图像特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．(2)由图像研究函数性质：观察分析函数图像，易求单调性、奇偶性、对称性、周期性，然后求最值、周期、频率、相位、初相等．(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图像及性质解答数学问题，最后解答出实际问题．3．解决这类题目的通法如下：教学流程创设问题情境，引出问题：三角函数模型的常见应用类型有哪些？引导学生联想生活具有周期性变化的现象．⇒引导学生探究：你如何应用三角函数模型来解决上述这些问题呢？在应用过程中应注意些什么呢？⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握用三角函数模型解决实际问题的方法思路及注意事项．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握三角函数模型在物理现象中的应用方法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正. 教学案例例1 已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin(π8x －5π4)＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？【思路探究】(1)只需根据时间x 的变化范围求出最高温度和最低温度；(2)可令y ＝15和25，分别求出相应的时刻x ，便得细菌存活的时间．【解】(1)x ∈[4,16]，则π8x －5π4∈[－3π4，3π4]．由函数图像易知，当π8x －5π4＝π2，即x ＝14时，函数取最大值即最高温度为30 ℃，当π8x －5π4＝－π2，即x ＝6时，函数取最小值即最低温度为10 ℃，所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)令10sin(π8x －5π4)＋20＝15，可得sin(π8x －5π4)＝－12，而x ∈[4,16]，所以，x ＝263.令10sin(π8x －5π4)＋20＝25，可得sin(π8x －5π4)＝12，而x ∈[4,16]，所以，x ＝343.故该细菌的存活时间为343－263＝83(小时)．规律方法1．现实生活中许多具有周期性的现象都可建立三角函数模型．如本题中一天从4点到16点的气温，具有周而复始的特征，所以可用三角函数模型描述．2．建立三角函数模型解决实际问题的步骤是：(1)收集与角有关的信息，确定相应的三角模型；(2)建立三角函数关系式；(3)求解；(4)作答．变式训练如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h .(1)求h 与θ间的函数关系式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？【解】(1)以圆心O 为原点，建立如图所示的坐标系， 则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2.故B 点坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))．∴h ＝5.6＋4.8sin(θ－π2)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30弧度/秒故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin(π30t －π2)，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4 m. 由sin(π30t －π2)＝1得π30t －π2＝π2，∴t ＝30.∴缆车第一次到达最高点时，用的最少时间为30秒．类型2三角函数在物理学中的应用例2 已知电流I ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图像如图1－9－4，(1)根据图中数据求I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式； (2)如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流I ＝A sin(ωt ＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？【思路探究】可先根据图像确定电流I 的解析式，再由函数的性质确定ω的值． 【解】(1)由图像可知A ＝300，T ＝2[1180－(－1900)]＝12900＝175.∴ω＝2πT ＝2π175＝150π.∴I ＝300sin(150πt ＋φ)．∵函数图像过(－1900，0)，∴0＝300sin[150π×(－1900)＋φ]．∴sin(－π6＋φ)＝0.令－π6＋φ＝0，∴φ＝π6，∴I ＝300sin(150πt ＋π6)，t ∈[0，＋∞)．(2)由题意得T ≤1150，即2πω≤1150.∴ω≥300π，∴ω的最小正整数值是943. 规律方法三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度随时间变化规律等问题中，此类问题中要弄清振幅、频率、周期、初相的定义和表示方法． 变式训练电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝150秒时，电流强度是________安.【解析】A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，T ＝2100＝2πω⇒ω＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)，当t ＝1300时，100π×1300＋φ＝π2⇒φ＝π6，∴I ＝10·sin(100πt ＋π6)，当t ＝150秒时，I ＝5安．【答案】5转化与化归思想在三角函数模型问题中的应用典例 下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏)． 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.426.036.048.859.168.6月份 7 8 9 10 11 12 平均气温73.071.964.753.539.827.7(1)描出散点图．(2)用正弦曲线去拟合这些数据． (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A .(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①y A ＝cos(πx 6)； ②y －46A ＝cos(πx6)； ③y －46－A＝cos(πx 6); ④y －26A ＝sin(πx6)．【思路点拨】(1)(2)建立直角坐标系即可；(3)找出气温的最大值和最小值的月份，作差，可求得T2；(4)找出气温的最大值和最小值，作差，求出2A ；(5)将表中数据代入检验．【规范解答】(1)(2)如图所示．(3)1月份的气温最低为21.4,7月份的气温最高为73.0， 根据图知，T2＝7－1＝6，∴T ＝12.(4)2A ＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6， ∴A ＝25.8(5)∵x ＝月份－1，∴不妨取x ＝2－1＝1，y ＝26.0， 代入①，得y A ＝26.025.8>1≠cos π6，∴①差距明显；代入②，得y －46A ＝26.0－4625.8<0≠cos π6，∴②差距明显；代入④，得y －26A ＝0≠sin π6；∵④差距明显，不适合；代入③，得y －46－A ＝26－46－25.8≈0.78，与cos π6较接近，拟合性更好，∴③相对最适合这些数据.思维启迪三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意以下几点： (1)反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质．(2)充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量．(3)结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围以及要解决的问题的结论．课堂小结1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)中有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象； (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合；(3)利用三角函数模型解决实际问题；(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．当堂检测1．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90【解析】∵T ＝2π160π＝180，∴f ＝1T ＝80.【答案】C2．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零【解析】由图像可知，该质点的振动周期是2(0.7－0.3)＝0.8，故A 不正确；振幅为5 cm ，故选B.【答案】B3．如图，是一弹簧振子作简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．【解析】A ＝2，T ＝2×(0.5－0.1)＝0.8， ∴ω＝2π0.8＝52π，又52π×0.1＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴解析式为y ＝2sin(52πt ＋π4)．【答案】y ＝2sin(52πt ＋π4)4．如图，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b .(A >0，ω>0，|φ|<π2)(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．【解】(1)由图可知一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度； (2)b ＝30＋502＝40，A ×1＋40＝50⇒A ＝10，由图可知T2＝14－8＝6，则T ＝12，ω＝2πT ＝π6，则y ＝10 sin(π6x ＋φ)＋40，代入(8,30)得φ＝π6，∴解析式为y ＝10sin(π6x ＋π6)＋40，x ∈[8,14].。
课时分层作业(十三) 数学建模活动：周期现象的描述(建议用时：40分钟)一、选择题1．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(单位：s)离开平衡位置的位移s1(单位:cm）和s2(单位：cm）分别由s1＝5sin错误!，s2＝10cos 2t 确定，则当t＝错误!s时,s1与s2的大小关系是()A．s1〉s2B．s1<s2C．s1＝s2D．不能确定C［当t＝错误!时，s1＝5sin错误!＝5sin 错误!＝－5，当t＝错误!时,s2＝10cos 错误!＝10×错误!＝－5，故s1＝s2.］2．已知电流强度I与时间t的关系为I＝A sin(ωx＋φ)（A>0,ω>0）,其在一个周期内的图像如图所示，则该函数的解析式为(）A．I＝300sin错误!B．I＝300sin错误!C．I＝300sin错误!D．I＝300sin错误!C［由题图可推知，A＝300,T＝2错误!＝错误!，ω＝错误!＝100π,I ＝300sin（100πt＋φ)．代入点错误!,得100π×错误!＋φ＝0，得φ＝错误!,故I＝300sin错误!。
]3．如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是（）A．该质点的振动周期为0。
7 sB．该质点的振幅为5 cmC．该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大D．该质点在0。
3 s和0。
7 s时加速度最大B［由图形可知振幅为5，故选B．]4．已知简谐运动f(x）＝2sin错误!错误!的图像经过点（0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(）A．T＝6，φ＝错误!B．T＝6，φ＝错误!C．T＝6π,φ＝错误!D．T＝6π，φ＝错误!A［由题意知f（0)＝2sin φ＝1，又｜φ｜<错误!,所以φ＝错误!，T＝错误!＝6.故选A．］5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价做了统计与预测：发现每个季度的平均单价y（每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ）＋9 500（ω>0），已知第一、二季度平均单价如下表所示：则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（)A．10 000元B．9 500元C．9 000元D．8 500元C［因为y＝500sin（ωx＋φ）＋9 500（ω〉0），所以当x ＝1时，500sin（ω＋φ）＋9 500＝10 000;当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取错误!，φ可取π,即y＝500sin错误!＋9 500.当x＝3时，y＝9 000。
