多项式逼近定理的含参积分证法

魏尔施特拉斯逼近定理魏尔施特拉斯逼近定理（Weierstrass Approximation Theorem）是数学中的一个重要定理，它说明了任意连续函数在闭区间上都可以被多项式函数逼近。

这个定理在数学分析和近似理论中有着广泛的应用和重要意义。

魏尔施特拉斯逼近定理最早由德国数学家卡尔·魏尔施特拉斯（Karl Weierstrass）在19世纪提出，并且在20世纪得到了进一步的推广和完善。

该定理的表述为：对于任意给定的连续函数f(x)，以及任意小的正实数ε，存在一个多项式函数P(x)，使得在闭区间[a, b]上，对于任意的x∈[a, b]，都有|f(x) - P(x)| < ε成立。

换句话说，魏尔施特拉斯逼近定理保证了在闭区间上的任意连续函数都可以用多项式函数来无限逼近。

这个定理的证明相对复杂，需要运用泰勒级数展开和三角函数等工具，但其基本思想可以用直观的方式来理解。

我们可以想象一个闭区间上的连续函数f(x)如同一条连续的曲线。

魏尔施特拉斯逼近定理告诉我们，无论这条曲线有多么复杂，我们总可以找到一条多项式函数P(x)，使得它在闭区间上与曲线的误差不超过给定的ε。

换句话说，我们可以用一条平滑的多项式函数来近似表示任意连续函数。

这个定理的直接应用之一就是数值计算中的函数逼近问题。

在实际计算中，我们常常需要用简单的函数来近似复杂的函数，例如在数值积分、数值微分和函数插值等问题中。

魏尔施特拉斯逼近定理保证了我们可以用多项式函数来进行逼近，从而简化计算和分析的复杂度。

除了在数值计算中的应用，魏尔施特拉斯逼近定理还有广泛的数学理论和实际应用价值。

它不仅为函数逼近问题提供了一种有效的方法，也为分析学和拓扑学等领域的研究提供了有力的工具。

在实际应用中，例如信号处理、图像处理和数据拟合等领域，魏尔施特拉斯逼近定理也发挥着重要的作用。

魏尔施特拉斯逼近定理是数学中一个重要而有用的定理，它给出了任意连续函数在闭区间上的多项式逼近解决方案。

附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。

通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。

Weierstrass 第一逼近定理 设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。

也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得)(x P ε<−)()(x f x P对一切∈x [a , b ]成立。

Weierstrass 第一逼近定理的证明证 不失一般性，设[a , b ]为[0, 1]。

设X 是[0, 1]上连续函数全体构成的集合，Y 是多项式全体构成的集合，定义映射)(t f n B : X Y→ )(t f 6k n k k n n k n x x C n k f x f B −=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑)1(),(0，得到{}，表示),(x f B n ),(x f B n X f ∈在映射作用下的像，它是以n B x 为变量的次多项式，称为的n 次Bernstein 多项式。

n f关于映射，有下述基本性质与基本关系式：n B (1)线性性：对于任意及X g f ∈,∈βα,R ，成立),(),(),(x g B x f B x g f B n n n βαβα+=+；(2)单调性：若（)()(t g t f ≥∈t [a , b ]），则 ),(),(x g B x f B n n ≥ （∈x [a , b ]）；(3)； 1)1(),1(0=−=−=∑k n k k n n k n x x C x B x x x C n k x t B k n k k n n k n =−=−=∑)1(),(0； =−=−=∑k n k k n n k n x x C n k x t B )1(),(0222nx x x 22−+。

§1 正交多项式 一、正交函数系的概念
考虑函数系
1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ] 上的积分都等于0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[- , ]上是正交 的，并且称这个函数系为一个正交函数系。
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计算方法与数值计算
函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A（如连续函数类）中给定的函数f (x)，要求在另 一类较简单的且便于计算的函数类B（如多项式、三角函数类等）
中寻找一个函数p (x)，使p (x)与f (x)之差在某种度量意义下最小。
最常用的度量标准为：一致逼近、 平方逼近
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计算方法与数值计算
特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。 若定义 4中的函数系为多项式函数系，则称为以 (x) 为权的在[a, b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a, b]上
(4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。
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计算方法与数值计算
3．正交
定义3 设 f (x)，g(x) C [a, b] 若
( f , g ) ( x) f ( x) g ( x)dx 0
带权 (x)的n次正交多项式。
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第三章 参数多项式的插值与逼近2009年8月29日10时35分 1本章内容•几何不变性与参数变换•参数多项式插值与逼近的基本概念•参数多项式插值曲线与逼近曲线•张量积曲面•参数双三次曲面片2009年8月29日10时35分 22009年8月29日10时35分 3第一节 几何不变性和参数变换 • 一、几何不变性：1、定义：指曲线曲面不依赖于坐标系的 选择，或者说在旋转与平移变化下不变 的性质。

2、曲线曲面的基表示： 0 n i i i P a j = = å r r 其中： 为矢量系数，修改它可以改变曲线曲面的形状i a r i j 为单参数（表示曲线时）或双参数（表示曲面时） 的基函数，决定曲线曲面的几何性质2009年8月29日10时35分 43、基表示的分类：（1）规范基表示：即满足Cauchy 条件 也称权性。

这种表示下，曲线 （面）上的点是矢量系数的一个重心组 合，重心坐标是基函数。

其中 一、几何不变性：0 1n i i j = º å 我们常见的线性插值就是一种规范基表示。

（2）部分规范基表示：即满足 0 1,0 ki i k n j = º£< å 如： 01 () p u a a u =+ r r r 0 1j =一、几何不变性：（3）非规范基表示：除规范基表示和部分规范基表示以外的其它基表示。

4、基表示与几何不变性的关系：曲线曲面的规范基表示具有仿射不变性， 其余两种只具有几何不变性。

5、几何不变性的意义： （1）方便局部坐标与整体坐标之间的转换；（2）便于平移和旋转变换；（3）节省了计算量。

2009年8月29日10时35分 5• 1、概述• 曲线的参数域总是有界的。

• 曲线的参数可能有某种几何意义，也可能没有。

• 曲线的参数化：即确定曲线上的点与参数域中的参数值之间的一种对应关系。

• 这种对应关系可以是一一对应的，也可以不是一一对应的，后者称为奇点（Singularpoint），如曲线的自交点。

闭区间上有界可测函数的逼近定理(用多项式逼近)
微积分中，特殊函数曲线是研究各种问题的重要内容，常有这样的需求：给定一个闭区间上有界可测函数 f(x)，需要找出它的逼近函数 g(x)，使得g(x)的误差最小。

通过把这个问题化形，我们就会得到一个多项式逼近定理。

多项式逼近定理是实变函数逼近法的重要一环，其核心思想是用多项式 Pn(x) 最佳逼近在 [a,b] 上一连续函数 f(x)，即|f(x)-Pn(x)| < ε，则称 Pn(x) 为多项式逼近
f(x)，ε 为误差限。

多项式逼近定理的具体内容可以用下面的公式来表示：
Pn(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n
其中x ∈ [a,b], ai 是经验系数，确定 ai 的方法有很多，此处以高斯–拉普拉斯求积法为例：
ai = (1/bi)*[f(x) + ∑ (λj-1 * Pj(x))]
其中 bi 为常数， Pj(x) 为 j 阶多项式，公式中最右边的积分项由如下公式求得：∫(a,b) {f(x)*Pj(x)dx}
公式中的 aj 积分数值可以用下面的矩阵方式表示：
{ P0(x) P1(x) P2(x) P3(x)... Pn(x)}
B(x) = {... ... ... ... ... ...}
其中 B(x) 为系数矩阵，f(x) 为被逼近函数， ai 为一维向量。

多项式逼近定理主要用来估计闭区间上有界可测函数的值，其误差与精度直接相关系数矩阵 B(x) 的范畴，因此针对不同的问题，需要根据情况有不同的求解方案。

此外，多项式逼近定理还具有可行性，能够得到快速准确的解，因此被广泛应用于技术计算中。

Weierstrass定理Weierstrass定理，又称Weierstrass逼近定理，是数学分析中非常重要的一个定理。

它的作用是告诉我们，在实数范围内，我们可以用多项式函数来逼近任何连续函数，而这个多项式可以无限次可微，并且逼近可以任意精确。

本文将对Weierstrass定理进行解释和说明，让读者更好地理解这个定理所涉及的数学概念。

1.什么是Weierstrass定理？Weierstrass定理是指，对于任何实数区间[a, b]和任何连续函数f(x)，都可以用一列多项式函数pn(x)来逼近f(x)，并且这个多项式可以无限次可微。

而且，这个逼近是可以任意精确的，即在[a, b]区间内，pn(x)可以无限接近于f(x)。

简而言之，Weierstrass定理告诉我们，任何连续函数都可以用无限可微的多项式函数来逼近。

2.Weierstrass定理的证明Weierstrass定理非常重要，其证明也比较复杂。

下面给出一些证明思路：•首先，我们将要逼近的函数f(x)进行泰勒级数展开，然后令Tn(x)表示其n阶截断，即Tn(x) = Σ[f(k)(0)/k!]*x^k，其中f(k)(0)表示在x = 0处的k阶导数。

•接着，考虑如何利用Tn(x)来逼近f(x)。

我们可以找到一个连续函数g(x)，使得对于任何x，|f(x) - g(x)| < ε/2，其中ε是一个小的正数。

•然后，我们将g(x)进行泰勒级数展开，令Sn(x)表示其n阶截断。

由于对于任何x，|g(x) - Sn(x)| < ε/2，因此对于任何x，|f(x) -Sn(x)| < |f(x) - g(x)| + |g(x) - Sn(x)| < ε。

•最后，我们将Sn(x)转换成多项式函数格式。

我们可以选取一个合适的多项式基函数，如Chebyshev多项式，将其进行线性组合，即Sn(x) = ΣajTj(x)，其中aj为待定系数，通过逐步减小ε，可以逐步求得这些系数的值，使得逼近精度可以任意地提高。

定理魏尔斯特拉斯定理设是上的连续函数那么对任意给定的总
设 f ( x) 是 [a, b] 上的连续函数,一般来说,虽然它不一 定能够展开成一个幂函数,然而,总可以找到一个多项 式 p( x ) ,使得对一切 x ∈ [a, b] , f ( x ) 与 p( x ) 之差比预先 给定的任意正数都小.换句话说,可以用一个多项式 p( x ) 来逼近连续函数 f ( x ) ,其逼近程度(即误差)可以比预先 给定的任意正数小. 定理(魏尔斯特拉斯定理 定理 魏尔斯特拉斯定理) 设 f ( x ) 是 [a, b] 上的连续 魏尔斯特拉斯定理 函数,那么对任意给定的 ε > 0 ,总存在多项式 p( x ) , 使得 max f ( x ) − p( x ) < ε 这个多项式 p( x )就是由伯恩斯坦构造的多项式.它的表 示如下 不妨设 [a, b] = [0,1] .
n → ∞ 时多项式序列 {Bn ( x )} 在 [a, b] 上一致收敛于 f ( x ) .
k C k x k (1 − x )n−k f n n
x∈[ a ,b ]
(u + v ) = ∑ Cnk u k v n−k 中,令 u = x v,= 1 − x 在二项式展开 n k =0 n−k k k 得 ∑ Cn x (1 − x ) = 1 ,作多项式
n k =0
n
Bn ( x ) = ∑
k =0
n
称 Bn ( x ) 是 f ( x ) 的 n 阶伯恩斯坦多项式 阶伯恩斯坦多项式.可以证明,当

讲解：设 sinθ = x ∈[−1,1]，则 ax − 4x3 ≤ 1恒成立.代入公式有1 = I ≥ 21−2×3 × 4× 23 = 1，
2
恰好取得等号.于是 ax − 4x3 = −T3 (x) ，所以 a = 3.
2、设 f (x) = x + a x + b ， f (x) 在[0, 4] 上的最大值为 M ，求 M 的最小值.
f
(x)
的最大值为
1 2
，则
4a
+
3b
=
_____.
【例 2】设 f (x) = x3 + ax2 + bx + c， f (x) 在 [−1,1]上的最大值为 M ，求 M 的最小值.
【例
3】
f (x) = ax2 + bx + c,当 0 ≤ x ≤
1
时，
f (x) ∈[2, 4]，则 a 的最大值为
高妙热点透析—— 多项式函数最佳逼近
一．内容介绍 1 第一类 Chebyshev 多项式简介
第一类 Chebyshev 多项式定义为：Tn(x) = cos(narccos x) (其中 n ∈N ，x ∈R
且 | x |≤ 1 ).特别地，前 5 个 Chebyshev 多项式分别为：T0 (x) = 1， T1(x) = x ，
f (x) = −x3 − 3x2 + (1+ a)x + b (a < 0, b ∈R) .若 g(x) =| f (x) | ，设 M (a,b) 为 g(x) 在 [−2, 0] 上的最大值，求 M (a,b) 的最小值.
解析：令 t = x + 1 (t ∈[−1,1]) ，则有 h(t) =| −(t − 1)3 − 3(t − 1)2 + (1+ a)(t − 1) + b |，

魏尔施特拉斯逼近定理
[from wiki]
基本定理
魏尔斯特拉斯逼近定理有两个：
闭区间上的连续函数可⽤多项式级数⼀致逼近。

闭区间上周期为2π的连续函数可⽤三⾓函数级数⼀致逼近。

证明
第⼀逼近定理可以从第⼆逼近定理直接推出。

第⼆逼近定理的证明；
⾸先证明，为⼀个正交函数系： (因为)。

故令，于是可以求出。

将c n代⼊f a(t) 的定义式中，有：
下⾯对积分号中的和式S求和，令w = e in(t - s)，那么就有：，分成正负两部分求和，可知: 代回原积分，有，这就是f(s)泊松核。

故有：我们要检验的的是在时的情况，可以证明：
的泊松积分。

其中称为泊松核
由f(t)的⼀致连续性，可以证明，上式在时，满⾜⼀致收敛的条件，故可以⽤f r(t)来⼀致逼近f(t)。

参阅
傅⾥叶级数。

,
1 f xk
max f x f x
k 1, 2,..., n;
2 f xk f xk 1 , k 1, 2,..., n 1;
则称点集 xk , k 1, 2,..., n, 为函数 f x 在区间 点 xk a, b 上的一个交错点组， 称为交错点。
找 Pn * ( x ) H n ,
pn H n
|| f ( x ) Pn * ( x ) || min || f ( x ) Pn ( x ) || max | f ( x ) Pn * ( x ) | min max | f ( x ) Pn ( x ) |
a xb pn H n a x b
P( xk ) f ( xk ) (1)k P( x) f ( x)
1, k 1,2,, n 2,
这样的点组称为 Chebyshev 交错点组。
© 2009, Henan Polytechnic University §2 最佳一致逼近多项式
9 9
第三章 函数逼近与计算
1313
第三章 函数逼近与计算
几何意义
y
N
yP 1 x
M
D
Q
O
a
x2
b
x
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1414
第三章 函数逼近与计算
例3.1
求函数 f ( x ) 1 x 2 在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。 f (b) f (a ) 解 a1 2 1 0.414 ba x2 由 f ' ( x2 ) 2 1 0.2 x ( 2 1) 2 即 得 2 2 1 x2

通用逼近定理的数学证明
用简便的话来说，泰勒通用逼近定理是一种用于精确地估计复杂函数值的技术。

根据
此定理，给定复杂函数f(x)，可以构建一个函数s(x)，使得在x处的f(x)和s(x)之间的误差
最小。

它是数学家泰勒在1815年发现的，也叫作多项式函数微分，全称为泰勒通用展开。

它在函数分析和近似科学中有很广泛地应用，给数学家们解决复杂函数估算的需求带来了
新的可能性。

这里要证明的是泰勒通用逼近定理。

为了达到这个目的，首先要提出一个假设：存在
复变函数f（x），其除根处以外的所有对x的导数在任意点x处有界。

其次，构建一个多
项式函数：s(x)=α_0 + α_1x + α_2x^2 + … + α_nx^n。

然后，我们可以证明：多项式s(x)
在根处可以有n+1项式满足，其和为s(x)，并该多项式关于f(x)的展开式。

也就是说，在
根处展开后，多项式s(x)的系数与f(x)的各阶导数之和相等。

最后，以上证明的结果表明，s(x)是一个多项式函数，其展开在根处可以逼近f(x)，这就是泰勒通用逼近定理。

泰勒通用逼近定理是一种在一般情况下最接近函数f(x)值的方法，它能够比较精确地
估算复杂函数值，从而解决了函数分析和近似科学中复杂函数估算的需求。

它是完全基于
数学上的证明，并且有充分的理论依据。

由此可见，它对我们理解数学上的函数以及解决
工程问题具有重要的意义。

stone-weierstrass逼近定理Stone-Weierstrass逼近定理是数学中的一个重要定理，它的重要性不仅在于它提供了一种用一组简单函数逼近任意实函数的方法，而且在其证明过程中应用了许多有趣的数学技巧，在学习数学的过程中也可以通过这个定理来领略其中的美妙。

这个定理首先在20世纪初由Karl Weierstrass提出，后来由Johann Heinrich Lambert和Georg Cantor的工作进行了完善。

定理表述如下：设E是一个紧集合，令A为E上所有实函数之集合，对于任意的f∈A和任意的ϵ>0，都存在多项式P(x)使得|f(x)−P(x)|<ϵ(x∈E)换句话说，任意一个连续函数f都可以在紧集合E上被用一组多项式函数严密地逼近，而且这组多项式函数非常简单，就是所有的单项式和恒等函数。

这个定理在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

它的证明过程中需要用到复分析、逼近论、代数学、实变函数论等多个领域的知识。

在这篇文章中，我们将以复分析为主线，简要介绍这个定理的证明过程。

我们首先需要定义向量空间V，它是所有在E上连续的实函数的集合。

V中的函数满足以下条件：f, g ∈ V ⇒ f+g ∈ V；我们可以在V上定义一个内积，在一个区间[a, b]内实值的函数f(x)和g(x)的内积定义为:< f,g > = 定积分 f(x) g(x) dx内积的定义满足以下性质：< f,f > >=0，等号在f(x)为零的时候成立。

< a f + b g,h > = a< f,h > + b< g,h >我们可以用内积来描述一些有趣的性质。

例如：在区间[a, b]中，具有正弦(f(x)=sin(nx))和余弦(g(x)=cos(nx))的函数构成的集合是费贝尼乌斯空间。

对于任意2个不同的整数m, n，内积< sin(mx), sin(nx) > 和< cos(mx), cos(nx) > 都等于零，并且< sin(mx), cos(nx) > =0。

【毕业设计】区间上连续函数用多项式逼近的性态区间上连续函数用多项式逼近的性态摘要在实际的应用中，经常遇到这样的问题：为解析式子比较复杂的函数寻找一个多项式来近似代替它，并要求其误差在某种度量下意义下最小．这就是用多项式来逼近函数问题的研究本文主要讨论了区间上连续函数用多项式逼近的性态．首先给出了在闭区间上连续函数用多项式逼近的相关结论——Weierstrass逼近定理，是Weierstrass于1885年提出的，这条定理保证了闭区间上的任何连续函数都能用多项式以任意给定的精度去逼近．通过引用Bernstein多项式和切比雪夫多项式给出了相应的证明．其次列出了Bernstein多项式以及由Bernstein算子推广得到的Kantorovich算子它们的概念、一些具体的性质以及推广和应用．最后，引进推广到无穷区间上的S．Bernstein 多项式，进一步研究了无穷区间上连续函数用多项式逼近的性态，并得到了相关结论．关键词：Weierstrass逼近定理；Bernstein多项式；Kantorovich算子；S．Bernstein 多项式；无穷区间Polynomial approximation of continuousfunctions on the interval propertyAbstract：In practical applications，often encounter this problem: to find a polynomial to approximate the more complex function of the analytical formula，and requested the minimum of the error is some kind of metric significance．This is the polynomial approximation function problems．This article focuses on the behavior of interval polynomial approximation of continuous functions．Firstly，the conclusions continuous function on a closed interval with a polynomial approximation - Weierstrass approximation theorem，is weierstrass 1885，which Article theorem guarantees of any continuous function on the closed interval can use polynomials to approximate any given accuracy．Through quoted the Bernstein multinomial and the Chebyshev multinomial has given the corresponding proof．Next has listed the Bernstein multinomial as well as the Kantorovich operator which obtains by the Bernstein operator promotion their concept，some concrete nature as well as the promotion and the application．Finally，the introduction promotes to the infinite sector in the S．Bernstein multinomial，further has studied in the infinite sector the continuous function the condition which approaches with the multinomial，and obtained the related conclusion．Key words：Weierstrass approximation theorem，Bernstein polynomials; Kantorovich operator; S．Bernstein polynomial; infinite interval目录第1章绪论 (1)1．1区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的背景 (1)1．2区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的意义 (2)第2章WEIERSTRASS逼近定理的证明及应用 (3)2．1W EIERSTRASS逼近定理的第一种证明 (3)2．1．1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 (3)2．1．2 闭区间[]b a,上的weierstrass逼近定理 (6)2．2W EIERSTRASS逼近定理的第二种证明 (7)2．3W EIERSTRASS逼近定理的推广 (9)2．3．1 Weierstrass第二定理 (9)2．3．2 Weierstrass-Stone定理 (10)2．3．3 Weierstrass逼近定理的逆定理 (11)第3章BERNSTEIN多项式和KANTOROVICH算子 (13)3．1B ERNSTEIN多项式 (13)3．1．1 Bernstein多项式的定义 (13)3．1．2 Bernstein算子的一些性质 (15)3．2K ANTOROVICH算子 (20)3．2．1 Kantorovich算子的定义 (20)3．2．2 Kantorovich算子的性质 (21)3．2．3 Lebesgue可积函数的Kantorovich算子逼近 (22)3．2．4 加权的Kantorovich算子 (23)第4章S．BERNSTEIN多项式在无穷区间上的推广 (25)4．1无穷区间上S．B ERNSTEIN多项式的定义 (25)4．2无穷区间上S．B ERNSTEIN多项式逼近定理 (26)第5章结论 (34)参考文献 (36)致谢............................................................................................... 错误!未定义书签。

因此连续函数可用折线函数一致逼近。 从上面讨论可知，连续函数可用折线函数一致逼近，而折线函数可用我项式一 致逼近，因而，连续函数可用多项式一致逼近。 证毕
定理 2：（Weierstrass 第二逼近定理） 设： f ( x ) ∈ C2π （以 2π 为周期的连续函数） 则 ∀ε > 0 ，存在三角多项式 T ( x ) ，使得： f ( x ) − T ( x ) < ε 。
n−k
k k = ∑ k 2 Cn x (1 − x ) k =0 n
n
n−k
k k −2nx ∑ kCn x (1 − x ) k =0
n−k
k k + n 2 x 2 ∑ Cn x (1 − x ) k =0
n
n−k
= nx (1 − x + nx ) − 2nxin + n 2 x 2 = nx (1 − x ) ≤
,m ，
11.4
高等微积分讲义
若令： α k ( x ) =
xk +1 − x x − xk ， βk ( x ) = ，则有： α k ( x ) + β k ( x ) = 1 ， xk +1 − xk xk +1 − xk ,m ，
从而 Λ ( x ) = f ( xk ) α k ( x ) + f ( xk +1 ) β k ( x ) ， x ∈ [ xk , xk +1 ] ， k = 0,1,
对于 σ 1 ，有： σ 1 <
k − x <δ n
∑
ε
2
k k Cn x (1 − x )
n−k
≤
ε
2
；
对于 σ 2 ，由于： f ( x ) ≤ M （连续函数有界）， 因而：σ 2 ≤ 2 M

( f , p n ) E n，
*
( 3 .3 ) 或
则称 p n ( x ) 是 f ( x ) 在 [ a , b ]上的 n 次 最佳一致逼近多项式 最小偏差逼近多项式 ，简称 最佳逼近多项式
*
*
.
定理 2 若 f ( x ) C [ a , b ],
*
则总存在 p n ( x ) H n , 使得 。
证明：令 ( x ) | P ( x ) f ( x ) |, 则 ( x ) 连续，因而可以达到最 即存在 x 0 , 使得 ( x 0 ) max ( x ) || P ( x ) f ( x ) || 。
a xb
大值，
这说明 x 0 是 P ( x ) 的一个偏差点，不妨设 由于 P ( x ) 是最佳逼近多项式，则
三、最佳一致逼近多项式
1.零次最佳一致逼近多项式 对于n=0的P0(x)有： P0(x) =(M+m)/2 其中M、m分别为f (x) 的最大值和最小值。 ∵f(x)C[a,b]，由闭区间上连续函数性质；在[a,b]上存在两点x1,x2 使f (x1)=M, f (x2)=m， 即：x1,x2为偏差点（负,正）使：
axb
f (x)
n
(x)
即在H中 (x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的，H中 任一ψ (x)与f(x)之差的绝对值都比它大，这样的 (x)为 f(x)在H中的最佳一致逼近函数。
定义1
设 f ( x ) C [ a , b ],
pn ( x ) H n , 称
a xb
逼近多项式
推论2 设f(x)C[a,b]，则f(x)在Hn中的最佳一致逼近多项 式Pn(x)，就是f (x)在[a,b]上的某个n次Lagrange插 值多项式。 证明∵Pn(x)有n+2个偏差点，亦即使f (x) －Pn (x)在[a,b]上至少 有n+2个点交替换正负号，亦就是说f(x) Pn(x)=0在[a,b]上有n+1 个根存在n+1个点：a x0<…< xn b使f (xi) Pn (xi)=0 即：f (xi)=Pn(xi) (i =0,1,2,…,n) , 所以，以此作为插值条件可得 到Pn(x)，因此，Pn(x)就是以x0,x1,…,xn为插值节点的n次值多项 式。 切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征， 并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法：

闭区间上连续函数的Weierstrass 三角多项式逼近与多项式逼近一、按下面的步骤探索闭区间上连续函数的Weierstrass 三角多项式逼近1、三角多项式函数形如()01()cos sin 2n n k k k A T x A kx B kx ==++∑, 的函数称为以2π为周期的三角多项式函数；形如01()cos ()sin ()2n n k k k A k k T x a A x a B x a b a b a b a πππ=⎛⎫⎛⎫-=+-+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑, 的函数称为以2()b a -为周期的三角多项式函数。

2、傅里叶级数的一致收敛性设()f x 是以2π为周期的连续函数(或()f x 是[,]ππ-上的连续函数，且()()f f ππ-=)，且在[,]ππ-上按段光滑，则()f x 的傅里叶级数()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑, 在(,)-∞+∞（或[,]ππ-）上一致收敛于()f x ，其中，01()d a f x x πππ-=⎰，1()cos d n a f x nx x πππ-=⎰，1()sin d n b f x nx x πππ-=⎰， (1,2,n =)。

提示：首先，导出()f x 与()f x '的傅里叶系数的如下关系：记0A ，n A ，n B （1,2,n =)为()f x '的傅里叶系数，则注意到()()f f ππ-=可得，[]0111()d ()()()0A f x x f x f f πππππππππ--'===--=⎰， ()11()cos d ()cos ()sin d n n A f x nx x f x nx n f x nx x nb ππππππππ---⎡⎤'==+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰, ()11()sin d ()sin ()cos d n n B f x nx x f x nx n f x nx x na ππππππππ---⎡⎤'==-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 其次，注意到，22111()2n n n b A A n n =≤+,22111()2n n n a B B n n=-≤+， 以及贝塞尔不等式 ()2222011()d 2n n n A A B f x x πππ∞-=⎡⎤'++≤⎢⎥⎣⎦∑⎰, 推出()1n n n ab ∞=+∑收敛。

泰勒斯定理证明过程泰勒斯定理是微积分中一个重要的定理，它提供了一种将一个函数在某个点的附近近似表示为多项式的方法。

这个定理在实际应用中非常有用，可以用来求解函数的近似值、优化问题等。

在本文中，我们将介绍泰勒斯定理的证明过程。

首先，我们需要理解什么是多项式的n阶展开式。

对于一个函数f(x)，它的n阶展开式是指将函数在某个点x=a的附近用一个n次多项式来逼近。

这个多项式的一般形式可以表示为：P(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... +f^(n)(a)(x-a)^n/n!其中，f(a)表示函数f在点x=a处的值，f'(a)表示函数f在点x=a处的一阶导数，依此类推，f^(n)(a)表示函数f在点x=a处的n阶导数。

n!表示n的阶乘。

现在，我们开始证明泰勒斯定理。

首先，我们假设函数f在点x=a 处的n阶导数连续。

然后，我们将函数f(x)在点x=a处展开成n阶多项式。

我们需要证明这个多项式在点x=a处的值与函数f在点x=a处的值及其前n阶导数的值都相等。

首先，我们考虑多项式的0阶导数，即多项式本身。

根据多项式展开式的定义，我们可以得到：P(a) = f(a) + f'(a)(a-a) + f''(a)(a-a)^2/2! + ... +f^(n)(a)(a-a)^n/n!= f(a)因此，多项式在点x=a处的值与函数f在点x=a处的值相等。

接下来，我们考虑多项式的1阶导数。

根据多项式展开式的定义，我们可以得到：P'(x) = 0 + f'(a) + f''(a)(x-a) + ... + f^(n)(a)(x-a)^(n-1)/(n-1)!= f'(a) + f''(a)(x-a) + ... + f^(n)(a)(x-a)^(n-1)/(n-1)!将x=a代入上式，我们得到：P'(a) = f'(a) + f''(a)(a-a) + ... + f^(n)(a)(a-a)^(n-1)/(n-1)!= f'(a)因此，多项式在点x=a处的1阶导数与函数f在点x=a处的1阶导数相等。