质点运动学和动力学习题课

质点运动学公式
1.质点的运动方程：
r r t x t i y t j z t k
2.位移公式： rrBrA
3.速度公式：
v dr dt
4.速率（速度的大小）公式：
v ds v dt
5.加速度公式：
a
dv dt
d2r dt2
6.自然坐标系中加速度公式：
切向：a
dv
dt
d2s
解：（1）因a 3ms2 为常量，故由任一时刻的速率v at，得
an
v2 R
a2t 2 R
当总加速度a与径向成450时，an a，即
a2t 2 R
a
t R 1s a
（2）在上述0到1s内，质点经过的路程为
s
1 2
a t 2
1.50 m
3-3 一个质量为m的人站在质量为M的小船的船头上。
2.质 量 m =4kg的 质 点 在 外 力 作 用 下 ， 其 运 动 方 程 为 x=3+4t+t（ 2 SI） ， 求 该 外 力 在 最 初 3s内 对 质 点 所 做 的 功 W 为 多 少 ？
3.一 质 点 的 势 能 函 数 可 近 似 表 示 为 U （ x） =-3x25x， 求 该 质 点 所 受 的 保 守 力 为 多 少 ？
小 相船对以于速 小度 船的v 0速在度静u向水船中尾向跑前去行，驶问。小若船此人的突速然度以变
为多少？如果人到达船尾后停止跑动，此时小船的
速度又变为多少？
解：研究系统（m M），因系统所受合外力为零， 故系统动量守恒：（选择静水作为参考系，
并选择船的速度方向为正方向）
（m M）v0 Mv1 m（ u v1）
mgsRin1kR22
2
功能原理
AF E Ep
mgsRin1kR 22
2
mgcos
kR
mg
一、选择题
1.一小球在竖直平面内作匀速圆周运动，则小球在运
动过程中：
（A）
（A）机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒
（B）机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒
（C）机械能守恒、动量守恒、角动量不守恒
（D）机械能守恒、动量守恒、角动量守恒
解：设质点在任一位置 x 处的速度为 v ，则
advdvdxvdv43x2 dt dxdt dx
由初始条件 0vvdv0x43x2dx得 v 8x2x3
2-6 如图所示，手球运动员以初速度与水平方向成角抛出一球。 当球运动到点处，它的速度与水平方向成角，若忽略空气阻力， 求：球在点处速度的大小； 球在点处切向加速度和法向加速度的大小；
位置A，OA间距离D=0.5m，绳子处于松弛状态,现在使物
体以初速度vA=4m·s-1垂直于OA向右滑动,如图所示。设 以后的运动中物体到达位置B,此时物体速度的方向与绳
垂直,则此时刻物体角动量的大小为 1kg·m2/s 。速
率为 1m/s
。
分析： 在A点角动量为：
L A D A 0 m .5 0 .5 v 4 1 k m g 2 /s
v
dv
t 2 sin t dt
dt
2
v0
0
2
பைடு நூலகம்
v 2 cos t
2
（2） v dx 2 cos t，
x
dx
t 2 cos t dt
dt
2
0
0
2
x 4sin t
2
2-11 一质点由静止沿半径R=3m的圆周运动，切向加速度为
a 3ms2 ，问：
（1）经过多少时间它的总加速度与径向成450？ （2）在上述时间内，质点所经过的路程为多少？
0
2
42
1
解得
：
A
2 mv k
2
4
5.如图，一弹簧劲度系数为k，一端固定在A点，另一 端连接一质量为m的物体，靠在光滑的半径为R的圆柱表 面，弹簧原长为AB，在切向变力F的作用下，物体极缓 慢地沿表面从位置B移到C，试分别用积分方法和功能原 理求力F作的功。
解：积分法 Fmcgo skR
A F0 (mcgo skR )d(R )
v2
，故有
v2 an
v02 cos2 g cos3
2-7 一滑块以加速度 a2sin（ t SI）沿直线运动。设滑块初速度
2
v0 2 ，且以滑块中心与坐标原点重合时为起始位置，求：
（1）滑块任意时刻的速度； （2）滑块的运动方程。 解：滑块作匀速直线运动。
（1）
a dv 2 sin t，
可知质点作半径 R3m
的圆周运动，故切向加速度a 和 法 向 加 速 度 a n 分 别 为 a d d v t 0 a nv R 2 （ 1 2 3 ） 24 （ 8m s 2）
2-5 一质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关系为
a43x（ 2 SI） 。若质点在原点处的速度为零，试求其在任意位 置处的速度。
练习
1、若一运动质点在某一瞬时的运动矢径为
r(x，y)，则其速度大小为： ( D )
dr
(A) （B)
dr
(C)
dt dt
dr
(D)
dt
(dx)2 (dy)2 dt dt
2．质点做曲线运动， r 表示位置矢量，s 表示路程，v
表示速度， a 表示加速度，a 表示切向加速度，下列表
达式：( D )
R
R 2R
分析：
向心力：
Fn
m2RGMm R2
（A）
可得
1 R
GM R
角动量：LmR2 mGMR
谢谢聆 听
共同学习相互提高
两边积分：
v dv v2
v0
1v 1 1 t
v v0
v v0
0
Atdt
1 At 2 2
1 1 1 At2 v v0 2
4. 质点沿XOY平面作曲线运动,其运动 方程为:x=2t, y=19-2t2. 则质点位置矢 量与速度矢量恰好垂直的时刻为( D )
(A)0秒和3.16秒. (B) 1.78秒. (C)1.78秒和3秒. (D)0秒和3秒.
解：由mgR12mvB2
得 vB2gR 7(m /s)
法一： f vmdvmdvv 2 dt dx
x dx
0
vB vB
2
2md,v
x2m(v2BvB)1(4m)
法二：冲量定理
mCvmBv
fdt
v 2
dt
x
0
dx 2
x 2
x 2 (m B v m C )v 1(m 4 )
法三： f v mdv
2-4 一质点在X-Y平面内运动，其运动方程分别为
x 3 c o s 4 t， y 3 s in 4 （ tS I ） ，
试求：
1.质点任一时刻的速度和加速度的表达式；
2.质点的切向加速度和法向加速度的大小。
解：（1）
vx
ddxt 12sin4t，vy
dy12cos4t dt
ax
dvx dt
48cos4t，ay
a
a
a
7、质点的动能定理：W1 2mvb 21 2mva 2EkbEka
8、已知一维势能函数，求保守力：
FdU（x） dx
质点相对某一参考点
9、角动量：
质点系相对某一参考点
Lrmv
L rimivi i
质点 M rF
10、力矩：
质点系 MM 外 riF i外
i
11、角动量定理：
dL M外 dt
2 dt
v dv t dt
, v vB 0 2m
v
t
vBe 2m
dx dt
vvB t0, vvB/2t2 m ln 2
x
2mln2
t
dx vBe 2mdt
0 x20mBe v2tm2mln22mB(v1 21)mBv14(m) 0
1.一 物 体 在 外 力 F=2+6（ xN） 作 用 下 沿 X轴 正 方 向 运 动 ， 当 物 体 从 x=0处 移 到 x=3m处 的 过 程 中 ， 外 力 F对 物 体 作 功 多 少 ？
1.解 ： W =（ 32+6x） dx33J 0
2.解：v=ddxt 42t
t0，v0 4 t3，v 10
W1m （v2 2
v0） 168J
3 . F = -d U （ x ） （ 6 x 5 ） 6 x 5 dx
4.一特殊弹簧，其弹性力F=－kx3, k为倔强系数，x为
形变量。现将弹簧水平放置于光滑的平面上，一端固
定，一端与质量为m的滑块相连而处于自然状态。今
沿弹簧长度方向给滑块一个冲量，使其获得一速度v ,
则弹簧被压缩的最大长度为：
（D）
(A ) m v,(B ) kv,(C )(4 m )14 v ,(D )(2 m 2)1 v 4
k
m
k
k
分析：根据动能定理：
Akx3dx01m2v, kA4 1 mv2
在B点角动量为：LB LmBv
根据角动量守恒定律，有：L BL A1 kg m 2/s
由 L B LB m 1 kvg m /s得：vB 1m/s
2.地球的质量为m，太阳的质量为M，地心与日心的 距离为R，引力常数为G，则地球绕太阳作圆周运动 的轨道角动量为：
(A )mGM ,(B )RGM ,(C )m MG m ,(D ) GM
dt
3、某质点沿直线运动的加速度a = －Av2t(A为大于零
的常数)。当t＝0时，初速度为vo，则其速度v与时间t
的函数关系是： （ C ）
(A)