高等传热学_第二章_稳态导热

2-1 一维稳态导热
通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。 若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导
热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为 W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得
分离变量并积分
ql
dt 2 r dr

x 0, x ,
并整理得到
t 0 t 0
（2-1-20）
代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，

qV t x( x) 2
（2-1-21）
2-1 一维稳态导热
如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即
t t1 x , t t 2 代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数， 并整理得到
2-1 一维稳态导热
图2-1通过大平壁的导热
2-1 一维稳态导热
2-1-1 无内热源的一维导热 求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条
件出发，解得温度场。 对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为 t1和t2。导热微分方程简化为
其通解为
d 2t 0 2 dx

t
qv 2 r C1 ln r C2 4
（2-1-25）
2-1 一维稳态导热
r＝0处温度应该有界，即 t
r 0
，可以作为一个边界条件，
由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件， 即r＝R，t＝t1。代入通解可得

t t1
qv 2 2 (R r ) 4
种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋， 以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。
对各种助片的温度场和传热性能的分析常归结
为扩展表面问题。此外，一些工程部件，如插 入管道的测温元件的套管、透平叶片等，也涉 及突出的细长杆与周围流体的换热，在分析其 温度场时，也可归结为扩展表面问题。
2-2 扩展表面——准一维问题

0 t1


qdx dt
t2

m

t2
t1
dt
t2 t1
t1 t2
（2-1-8）
为t1~ t2温度范围内的平均导热系数，则可得
q m

（2-1-9）
2-1 一维稳态导热
如果导热系数随温度的变化是如式（1-1-11）所描述的线性函数，
则很显然，按式（2-1-8）定义的平均导热系数即是材料在平 均温度 tm (t1 t2 ) 2 下的导热系数，即
其中A是垂直于x轴的肋片截面面积，P＝2(L+δ)≈2L是该截面的周
长。 引进过余温度θ＝t-tf，该肋片的稳态导热微分方程有如下的形式：

d 2 hP 0 2 dx A
（2-2-2）
这是一个二阶线性齐次常微分方程，有如下形式的通解：

C1emx C2e mx
动力工程及工程热物理学科研究生
高等传热学（32课时）
第二章 稳态导热
稳态导热问题，即忽略温度随时间的变化，只考虑温度的空间分
布。严格来说，完全稳定的导热现象是不存在的，但当温度随时 间的变化相对很小时，可以近似地看作稳态导热。在工程实际中， 像稳定运行的热工设备、电缆的散热等计算大多以稳态导热为基 础。研究稳态导热的主要目标是求得物体内部的温度分布，由此 可进一步导出热流密度和热流量。 在一维稳态导热中温度场只是一个空间坐标的函数，同样是一种 物理模型上的简化。如能抓住主要矛盾，突出重点，许多实际问 题是可以简化为一维问题的。这样的模型使问题的数学处理得以 大大简化，常常可以分析求解，而且常可使导热现象的一些主要 特征变得更加突出，一些基本规律体现得更加明显。 在更多的情况下一维导热的近似是不合适的，或不可能的。此时 必须讨论二维或三维导热问题，相应的导热微分方程是偏微分方 程，在常物性条件下也就是拉普拉斯方程或泊松方程。在分析求 解拉普拉斯方程和泊松方程方面已经积累了许多成功的经验，本 章将简要介绍其中的分离变量法和虚拟热源法。但是，迄今为止 各种分析解法的效能仍是有限的，只能求解几何形状比较简单、 具有线性边界条件的问题。求解更为一般的导热问题常常有赖于 数值解。

t1 t2 m 0 (1 b ) 2
（2-1-10）
如果改变式（2-1-7）中的积分上限，写作


x
0
qdx dt
t1
t2
（2-1-11）
则可得大平壁中稳态温度分布的另一种形式
t t1
q

x
（2-1-12）
2-1 一维稳态导热
图2-2 通过圆筒壁的导热
（2-2-6）
由边界条件式(2-2-4)、(2-2-6)确定常数C1和C2，整理后可得
（2-2-7）
则肋端过余温度为：

H
0
ch(mH )
（2-2-8）
2-2 扩展表面——准一维问题
单位宽度肋片的散热量可根据傅里叶定律由肋基处的温度梯度求
得，或根据牛顿冷却定律由表面过余温度的积分求得：

H d A( ) x 0 hP dx AhP0th(mH ) （2-2-9） 0 dx
双曲函数的值可在数学函数表中查得，或根据其定义计算得到：
e x e x e x e x shx chx , shx , thx 2 2 chx 如果由边界条件式(2-2-4)、(2-2-5)确定常数C1和C2，即考虑肋端 的散热损失，可得
（2-1-13）
l r 1 对于常物性问题，整理后可得
q

r2
t2 dr 2 dt t1 r
（2-1-14）
（2-1-15） 对于变物性问题，同样可用式（2-l-8）定义的平均导热系数代替
ql
2 (t1 t2 ) 2 (t1 t2 ) ln(r2 r1 ) ln(d 2 d1 )
（2-1-1）
问题的边界条件为
t C1 x C2
x 0, x , t t1 t t2
（2-1-2）
（2-1-3）
2-1 一维稳态导热
由此可确定通解中的两个任意常数，得到该问题的温度分布

t t1
t1 t2

x
（2-1-4）
根据傅里叶定律可进一步确定平壁中的热流密度
上式中的常物性导热系数来计算圆筒壁的热流量。
2-1 一维稳态导热
对于空心圆球壁，稳态径向总热流量Q为常量。同理，由傅里叶
定律可写出

dt 4 r 2 dr
推导得到
（2-1-16）
当己知两个壁面的温度时，可同样用分离变量并积分的方法自行


4 r1r2 (t1 t2 ) r2 r1
（2-1-6）
2-1 一维稳态导热
由于是稳态导热且无内热源，q应该是不随x变化的常量，因为如
果任意两个平行平面上的热流密度不等，则根据能量守恒原理， 这两个平面间的温度一定会发生变化。对上式分离变量并积分：
（2-1-7） 对于常物性问题，可直接得到式（2-1-5）。对于变物性问题，如 果已知导热系数随温度变化的函数关系 (t ) ，定义
q
t t dt 1 2 dx
（2-1-5）
注意到热流密度与坐标x无关，是一个常量。 从导热微分方程出发求解温度分布是解决导热问题的一般方法，
但对于无内热源的一维稳态导热问题这样的特例，则可以从傅里 叶定律直接积分确定热流。对于一维导热，傅里叶定律可写作

dt q dx

qV d 2t 2 dx
（2-1-18）
2-1 一维稳态导热
图2-3 有均匀内热源的 平壁中的温度分布
2-1 一维稳态导热
对以上方程积分两次，可得该常微分方程的通解

t
零，即
qV 2 x C1 x C2 2
（2-1-19）
如果首先考虑第一类齐次边界条件，即给定两个表面的温度均为

x
qV x( x) 2
q
t t q dt 1 2 V (2 x ) dx 2
（2-1-23）
2-1 一维稳态导热
上式同样可以看作是两个简单问题的热流密度的叠加。由于有内

热源的作用，q已不再是常量，且各点处热流的方向取决于上式中 两项的相对大小。 由此可看到解决非齐次问题时常用的“线性叠加原理”方法，即 把复杂的线性非齐次问题分解为几个较简单的问题再把结果相加。 实心长圆柱体有均匀的体积发热率qv，试求圆柱体中的稳态温度 分布。导热微分方程简化为柱坐标系中的一维稳态导热方程 qv 1 d dt (r ) （2-1-24） r dr dr 积分两次可得以上微分方程的通解
（2-2-5）
其中肋端表面传热系数h2通常不等于肋表面的对流换热表面传热
系数。
2-2 扩展表面——准一维问题
如果肋的高度足够大，肋端过余温度很小，因而常常可把肋端的
热损失忽略不计，则以上上边界条件可简化为

d x H, 0 dx
ch[m( H x)] 0 ch(mH )
（2-2-3）
2-2 扩展表面——准一维问题
其中
hP m A
常数C1和C2需借助于合适的边界条件求得。一个条件是已知助基
温度，即

x 0, 0
可写作
（2-2-4）
如果另一端以对流换热的方式把热量传给周围环境，则边界条件