第十二章 全等三角形单元教学计划

第十二章全等三角形单元教学计划第一篇：第十二章全等三角形单元教学计划第十二章全等三角形单元教学计划教学内容:第十二章全等三角形教材分析本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。

本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。

第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。

在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质，并利用角的平分线的性质进行证明。

教学目标1、知识与技能：（1）了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。

（2）探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。

（3）了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。

2、过程与方法：（1）在图形变换以及实际操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。

（2）经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

（3）通过学习全等三角形的性质和条件，培养学生综合应用能力，培养学生的几何感觉。

3、情感、态度与价值观：学生通过在综合运用全等三角形性质和全等三角形条件以及角平分线的过程中感受到数学与生活息息相关，从而激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：全等三角形的性质和条件以及所学知识的综合应用教学难点：让学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，并能灵活运用。

教学手段：常规教学为主，多媒体教学为辅。

教学设想解决推理入门难是本章的难点，除了教科书作了一些安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考。

只有学生自己思考了，才能逐步熟悉推理的过程，掌握推理的方法。

课堂上要注意与学生共同活动，不要形成教师讲，学生听的局面。

教师课堂上多提些问题，并注意留给学生足够的思考时间，注重加强直观教学，使教学内容尽量贴近学生的生活实际，减少学生的学习困难。

一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“全等三角形”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题,学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.三角形的全等在初中几何中占有重要地位,是研究四边形、圆的基础模型.本单元的学习内容经历尺规作图的过程,通过所得三角形的唯一性确定全等判定的基本事实,并基于基本事实进行推理,让学生感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观和推理能力.2.本单元教学内容分析人教版教材八年级上册第十二章“全等三角形”,本章包括三个小节:12.1全等三角形;12.2三角形全等的判定;12.3角的平分线的性质.“全等三角形”主题的主要内容是:认识全等三角形——研究全等三角形的判定方法——应用全等三角形得到角平分线的性质和判定.本单元通过对全等三角形概念的理解,基于概念对全等三角形性质的理解,以及在概念的依据下,通过减少条件探索全等三角形判定方法的过程中,培养学生的抽象能力,发展几何直观,体会数学的严谨性,培养推理能力.研究的逻辑主线是对图形形状、大小的直观感悟到用数量关系刻画图形特征.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学八年级上册第十二章全等三角形,学生在前面学习了三角形的基础上,初步积累了关于三角形基本知识的认知经验,因此,在实际教学中应充分引导学生运用几何直观,培养学生的几何思维能力,在几何直观的基础上发展抽象能力和推理能力.四、单元学习目标1.经历全等形、全等三角形概念的形成过程,理解全等三角形的概念,培养初步的抽象能力.2.能识别全等三角形中的对应边与对应角,理解全等三角形的性质,形成几何直观,发展推理能力.3.经历探索三角形全等的判定过程,掌握基本事实SSS,SAS,ASA,并证明定理AAS,形成几何直观,发展抽象能力、推理能力.4.能用尺规作图:作一个角等于已知角;已知三边、两边及夹角、两角及夹边等作三角形;作已知角的平分线.理解尺规作图的基本原理.5.经历探索角平分线性质定理和判定定理的过程,经历用几何直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程,提升几何直观,发展推理能力.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

第十二章全等三角形12.1全等三角形◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握全等形、全等三角形的概念,能应用符号语言表示两个三角形全等;2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素,理解全等三角形的性质,并解决相关简单的问题.【过程与方法】掌握全等三角形对应边相等,对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.【情感、态度与价值观】联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】全等三角形的性质及其应用.【教学难点】能正确地识别全等三角形的对应元素.◇教学过程◇一、情境导入观察下面这些图形,它们能够完全重合吗?二、合作探究探究点1全等形的概念典例1下列四组图形中,是全等图形的一组是()[解析]观察图形的特点可发现:A,B,C中的两个图形大小不同,D则完全相同.[答案] D变式训练全等形是指()A.形状相同的两个图形B.面积相同的两个图形C.两张中国地形图,两个等腰三角形都是全等形D.能够完全重合的两个平面图形[答案] D【归纳总结】记住能够完全重合的两个图形叫做全等形,完全重合指的是不仅形状相同,大小也相同;面积相等的图形不一定重合.探究点2全等三角形的概念典例2如图,如果△ABC≌△CDA,∠BAC=∠DCA,∠B=∠D,对于以下结论: ①AB与CD是对应边;②AC与CA是对应边;③点A与点A是对应顶点;④点C与点C是对应顶点;⑤∠ACB与∠CAD是对应角.其中正确的是()A.2个B.3个C.4个D.5个[解析]AB与CD是对应边,①正确;AC与CA是对应边,②正确;点A 与点C是对应顶点,③错误;点C与点A是对应顶点,④错误;∠ACB与∠CAD是对应角,⑤正确.[答案] B探究点3全等三角形的性质典例3如图,△ABC≌△A'B'C,∠ACB=90°,∠A'CB=20°,则∠BCB'的度数为()A.20°B.40°C.70°D.90°[解析]∵△ACB≌△A'CB',∴∠ACB=∠A'CB',∴∠BCB'=∠A'CB'-∠A'CB=70°.[答案] C全等三角形的性质:能够重合的边是对应边,重合的角是对应角,对应边所对的角是对应角.对应角所对的边是对应边;两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边;两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角.探究点4利用全等三角形的性质解决问题典例4如图所示,△ABD≌△ACD,∠BAC=90°.(1)求∠B的大小;(2)判断AD与BC的位置关系,并说明理由.[解析](1)∵△ABD≌△ACD,∴∠B=∠C,又∵∠BAC=90°,∴∠B=∠C=45°.(2)AD⊥BC.理由:∵△ABD≌△ACD,∴∠BDA=∠CDA,∵∠BDA+∠CDA=180°,∴∠BDA=∠CDA=90°,∴AD⊥BC.三、板书设计全等三角形全等三角形◇教学反思◇由于学生学习平面几何的时间不长,识图能力还比较薄弱,学生的思维依赖于具体的直观形象,在教学时借助几何画板演示图形的形成与变换,来帮助学生更好地发现理解图形的特征,尤其对于较复杂的几何图形中的对应边、对应角,方便学生迅速地找出,简化难点.12.2三角形全等的判定第1课时利用三边判定三角形全等(SSS)◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握边边边的内容;2.能初步应用边边边条件判定两个三角形全等.【过程与方法】经历探索三角形全等条件的过程,体会用操作、归纳得出数量结论的过程.【情感、态度与价值观】通过探索三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想,乐于探究的良好品质以及发现问题的能力.◇教学重难点◇【教学重点】判定三角形全等的条件.【教学难点】理解边边边条件判定三角形全等.◇教学过程◇一、情境导入在课堂上,老师要求同学们每人画一个三角形,使三角形的三边长分别为3 cm,5 cm,7 cm,老师发现小明和他同桌画的三角形不一样大,肯定地说,你们看看谁画错了,老师是怎么知道的呢?二、合作探究探究点1边边边判定两三角形全等典例1在△ABC与△DEF中,AB=DF,AC=DE,CB=EF,那么()A.△ABC≌△DEFB.△ABC≌△DFEC.△ABC≌△EDFD.△ABC≌△EFD[解析]在△ABC与△DEF中,∴△ABC≌△DFE(SSS). [答案] B探究点2边边边判定两三角形全等的应用典例2已知:如图,A,C,F,D在同一直线上,AF=DC,AB=DE,BC=EF,求证:△ABC≌△DEF.[解析]∵AF=DC,∴AF-CF=DC-CF,即AC=DF,在△ABC和△DEF中,∴△ABC≌△DEF(SSS).把它分成两个全等三角形,并给出证明.[解析]连接AC,则△ABC≌△ADC,证明如下:在△ABC与△ADC中,∴△ABC≌△ADC(SSS).三、板书设计利用三边判定三角形全等三角形全等的判定◇教学反思◇本节课是全等三角形判定的第一节,主要是用SSS判定两个三角形全等,在授课过程中,通过同学们的操作、交流、互动,基本实现了同学们对全等三角形的判定(SSS)的多层面了解.在实际应用时,应强调证明格式的问题,但学生在证的过程中,找全等条件还有一定的难度,今后要多加练习.第2课时利用两边及其夹角判定三角形全等(SAS)◇教学目标◇【知识与技能】掌握边角边条件的内容,能初步应用边角边条件判定两个三角形全等.【过程与方法】经历探索三角形边角边判定定理的过程,在观察中寻求新知,在探索中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法.【情感、态度与价值观】通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生观察分析图形的能力及运算能力,培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.◇教学重难点◇【教学重点】边角边判定两三角形全等.【教学难点】寻求三角形全等的条件.◇教学过程◇一、情境导入在上节课的讨论中,我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.给出三个条件时,有四种可能,能说出是哪四种吗?二、合作探究探究点1用边角边判定两个三角形全等典例1如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:△ABC≌△DEC.[解析]∵∠1=∠2,∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA,即∠ACB=∠DCE,在△ABC和△DEC中,∴△ABC≌△DEC(SAS).探究点2边角边判定的应用典例2如图,点E,F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF,求证:△ABF≌△CDE.[解析]∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,∵AB∥CD,∴∠A=∠C,在△ABF与△CDE中,∴△ABF≌△CDE(SAS).探究点3边边角不能判定两三角形全等典例3如图,∠ABC=∠DEF,AB=DE,要证明△ABC≌△DEF,需要添加一个条件为:.(只添加一个条件即可)[解析]∵BC=EF,∠ABC=∠DEF,AB=DE,∴△ABC≌△DEF(SAS). [答案]BC=EF全等三角形我们已经学过2种判定方法,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边,利用两边及其夹角判定三角形全等三角形全等的判定◇教学反思◇本节课的内容是运用“边角边”方法证明两个三角形全等,仍然通过画图验证引入边角边的判定方法,所设计的例题、练习都是运用“边角边”方法进行证明,学生会用“边角边”判定方法解决实际问题.第3课时利用两角一边判定三角形全等(ASA,AAS)◇教学目标◇【知识与技能】掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件,能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究全等三角形条件的过程,掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,使学生获得一些研究问题的经验和方法,发展实践能力和创新精神.◇教学重难点◇【教学重点】已知两角一边的三角形全等探究.【教学难点】灵活运用三角形全等条件证明.◇教学过程◇一、情境导入学完“三角形全等判定”后,小明把一块三角形纸片分为如图四块,分别给了编号为1、2、3、4的四名同学,要求他们画出与原三角形全等的三角形,则编号为几的同学能完成任务?你的根据是什么?二、合作探究探究点1用角边角判定两三角形全等典例1根据已知条件,能画出唯一△ABC的是()A.AC=4,AB=5,BC=10B.AC=4,AB=5,∠B=60°C.∠A=50°,∠B=60°,AB=2D.∠C=90°,AB=5[解析]AC+AB=4+5=9<10=BC,三边不能组成三角形,A不正确;∵AC=4,AB=5,∠B=60°,SSA不能证出两三角形全等,∴不能确定唯一的三角形,B不正确;∵∠A=50°,∠B=60°,AB=2,ASA能证出两三角形全等,∴能确定唯一的三角形,C正确;∠C=90°,AB=5不能确定唯一的三角形,D不正确.[答案] C探究点2用角角边判定两三角形全等典例2如图,AC=AE,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:△ABC≌△ADE.[解析]∵∠1=∠2,∴∠1+∠EAC=∠EAC+∠2,即∠BAC=∠DAE.在△ABC和△ADE中,∴△ABC≌△ADE(AAS).探究点3判定三角形全等的综合应用典例3如图所示,在下列条件中,不能判断△ABD≌△BAC的条件是()A.∠D=∠C,∠BAD=∠ABCB.∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BACC.BD=AC,∠BAD=∠ABCD.AD=BC,BD=AC[解析]A符合AAS,能判断△ABD≌△BAC;B符合ASA,能判断△ABD≌△BAC;C符合SSA,不能判断△ABD≌△BAC;D符合SSS,能判断△ABD≌△BAC.[答案] C三、板书设计利用两角一边判定三角形全等三角形全等的判定◇教学反思◇本节是全等三角形的ASA,AAS两种判定方法,三角形全等是证明线段相等、角相等的重要方法之一,对今后的学习是至关重要的,要求学生学好全等三角形,也为后面相似三角形的学习打下了良好的基础.第4课时直角三角形全等的判定◇教学目标◇【知识与技能】掌握直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,发展学生的实践能力和创新精神.◇教学重难点◇【教学重点】运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题.【教学难点】解决简单的推理证明问题.◇教学过程◇一、情境导入小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗?二、合作探究探究点1直角三角形全等的判定典例1如图,用三角尺可按下面的方法画角平分线:在∠AOB 的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,通过证明△OMP≌△ONP,可以说明OP是∠AOB的角平分线,那么△OMP≌△ONP的依据是()A.SSSB.SASC.AASD.HL[解析]∵两三角尺为直角三角形,∴∠OMP=∠ONP=90°,∵OM=ON,OP=OP,∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL).[答案] D【归纳总结】直角三角形的特殊判定方法HL,是指两个直角三角形具有斜边和一条直角边分别相等时,两个直角三角形全等.应注意用HL 证明全等的格式.探究点2HL的应用典例2如图,A,F,E,B四点共线,AC⊥CE,BD⊥DF,AE=BF,AC=BD.求证:△ACF≌△BDE.[解析]∵AC⊥CE,BD⊥DF,∴∠ACE=∠BDF=90°,在Rt△ACE和Rt△BDF中,∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL),∴∠A=∠B,∵AE=BF,∴AE-EF=BF-EF,即AF=BE,在△ACF和△BDE中,∴△ACF≌△BDE(SAS).探究点3三角形全等判定的综合应用典例3如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性.[解析]BF⊥AE.理由:∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°.又BC=AC,BD=AE,∴△BDC≌△AEC(HL).∴∠CBD=∠CAE.又∵∠CAE+∠E=90°.∴∠EBF+∠E=90°.∴∠BFE=90°,即BF⊥AE.全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.三、板书设计直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定◇教学反思◇本节的内容是直角三角形全等的判定方法,主要让学生在回顾全等三角形判定的基础上,进一步研究直角三角形全等的判定的方法,让学生充分认识特殊与一般的关系,加深他们对公理的多层次的理解.12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质◇教学目标◇【知识与技能】会作一个角的平分线,探索并证明角平分线的性质定理.【过程与方法】经历探索角的平分线的性质,提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.【情感、态度与价值观】培养学生探究问题的兴趣,增强解决问题的信心,获得解决问题成功体验,逐步培养学生的理性精神.◇教学重难点◇【教学重点】角的平分线的性质的证明及运用.【教学难点】角平分线的性质的探究.◇教学过程◇一、情境导入在纸上任意画一个角,用剪刀剪下,用折纸的方法,如何确定角的平分线?有一个简易平分角的仪器(如图),其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点,沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线,为什么?二、合作探究探究点1角平分线的尺规作图典例1如图,以点B为圆心,任意长为半径画弧,与角的两边分别相交于点A,C,分别以点A,C为圆心,相同的半径画弧,相交于点D,则BD是角的平分线的依据是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS[解析]由作图可知,△ABD和△CBD中,BA=BC,AD=CD,再加上BD 为公共边,可有SSS判定两个三角形全等.[答案] A探究点2角平分线的性质典例2如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC,若BC=16,BD=10,则点D到AB的距离是()A.9B.8C.7D.6[解析]∵BC=16,BD=10,∴CD=6.由角平分线的性质,得点D到AB的距离等于CD=6.[答案] D探究点3角平分线的性质的应用典例3直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址共有()A.一处B.两处C.三处D.四处[解析]如图,可选择的地址有四处.[答案] D【技巧点拨】本题考查的是角平分线的性质,熟记性质及其基本图形是解题的关键,注意分类讨论,不要漏掉所围成区域外面的三个点.变式训练在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到两边距离相等的点应是()A.C点B.D点C.E点D.F点[答案] C三、板书设计角平分线的性质角平分线的性质◇教学反思◇本节课的内容为角平分线的性质,注重用数学语言给出条件和结论,让学生熟悉这定理的条件和结论后,再拿一些具体题目让学生在情境当中运用这两个定理.第2课时角的平分线的判定◇教学目标◇【知识与技能】掌握角平分线性质的逆定理,并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.【过程与方法】经历探究角平分线性质逆定理的过程,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.【情感、态度与价值观】结合实际,创造丰富的情境,提高学生的学习兴趣,让他们在活动中获得成功的体验,培养学生的探索精神,树立学习的信心.◇教学重难点◇【教学重点】角平分线性质和判定的应用.【教学难点】运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.◇教学过程◇一、情境导入小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是什么?二、合作探究探究点1角平分线的判定典例1如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,下列说法:①点P在∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平分线上;④点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上.其中正确的是()A.①②③④B.①②③C.④D.②③[解析]∵点P到AE,AD,BC的距离相等,∴点P在∠BAC的平分线上,故①正确;点P在∠CBE的平分线上,故②正确;点P在∠BCD的平分线上,故③正确;点P在∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点上,故④正确,综上所述,正确的是①②③④.[答案] A探究点2角平分线判定的应用典例2如图,BE⊥AC,CF⊥AB,BE与CF交于点D,DE=DF,连接AD.求证:(1)∠FAD=∠EAD;(2)BD=CD.[解析](1)∵BE⊥AC,CF⊥AB,DE=DF,∴AD是∠BAC的平分线,∴∠FAD=∠EAD.(2)∵△ADF与△ADE是直角三角形,DE=DF,AD=AD,∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴∠ADF=∠ADE,∵∠BDF=∠CDE,∴∠ADF+∠BDF=∠ADE+∠CDE,即∠ADB=∠ADC,在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(AAS),∴BD=CD.【技巧点拨】本题考查的是角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键.探究点3角平分线性质与判定的综合应用典例3如图,AP,CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线,它们交于点P.求证:BP为∠MBN的平分线.[解析]过P作三边AB,BC,AC的垂线段PD,PE,PF,∵AP是△ABC的外角平分线,PD⊥AD,PF⊥AC,∴PD=PF,∵CP是△ABC的外角平分线,PF⊥AC,PE⊥BC,∴PE=PF,∴PD=PE,PD⊥AD,PE⊥BC,∴BP为∠MBN的平分线.三、板书设计角平分线的判定角平分线的判定◇教学反思◇本节课的内容是角平分线的判定,有前面线段的垂直平分线的性质以及判定,这里的教学过程重点应通过学生作图理解判定中“角的内部”四个字的必要性,在角的外部有没有满足条件的点,引导学生从垂线的角度,点到线段、射线的距离方面加以理解.。