1，已知控制系统的开环零极点分布如图所示，试绘制闭环系统根轨迹。
(a) (b)
(c) (d) 图T3.6
(a)解：系统有一个开环极点1p －， 渐近线与负实轴重合，并指向－∞， 故系统根轨迹与渐近线重合， 如图所示。
(b)解：系统有两个开环极点1p －，2p －和 一个开环零点1z －，n -m =1，渐近线 与负实轴重合。实轴上的根轨迹为1p － 到－∞，2p －与1z －之间等两段。
(c)解：系统有两个开环极点1p －，2p －和一个开环零点1z －，n -m =1，渐近线与负实轴重
合。实轴上的根轨迹为1z －到－∞，1p －与2p －之间等两段。在1p －与2p －之间有分离点，1z －左方有会合点，复平面上也有根轨迹，是一个园，如图所示。
(d)解：系统有三个开环极点1p －，2p －，3p －，渐近线如图所示。实轴上的根轨迹与复实轴重合。
2
轴交点。 (1) )
3)(2()(0++=
s s k
s G
解：系统开环极点是，21
＝－－p ，32＝－－p 。实轴上的根轨迹在极点1p -和2p -之间。
渐近线与实轴的交点为，5.223
2-=--=F 渐近线与实轴的夹角为，000270,901801
2=+=k α
(2) )
3)(2)(1()(0+++=
s s s k
s G
解：系统开环极点是，11＝－－p ，22＝－－p ，33＝－－p 。实轴上的根轨迹在极点1p -和2p -之间，以及3p -沿负实轴到无穷远处。
渐近线与实轴的交点为，233
21-=---=
F 渐近线与实轴的夹角为， 0000300,180,601803
1
2=+=k α
求根轨迹的分离点，由系统得特征方程，0)3)(2)(1()(='++++=K s s s s D )6116()3)(2)(1(2
3
+++-=+++-='s s s s s s K
0)11123(2=++-='
s s ds
K d 3322,1±-=s , 42.11-=s 58.22-=s 舍去58.22-=s （它不在根轨迹上），42.11-=s 为分离点
(3))
22)(3()
2()(20++++=
s s s s k s G
解：系统开环极点是，31＝－－p ，112,1j p ±＝－－。开环零点21-=z －。实轴上的根轨迹在极点1p -和1z -之间。
渐近线与实轴的交点为，5.1132
113-=-+---=F
渐近线与实轴的夹角为，000270,901802
1
2=+=k α
(4) )
52)(2()(20+++=
s s s s k
s G
解：系统开环极点是，01＝－p ，22＝－－p ，214,3j p ±＝－－。实轴上的根轨迹在极点1
p -和2p -之间。
渐近线与实轴的交点为，1-=F 渐近线与实轴的夹角为，0
45±=α 求根轨迹的分离点，由系统得特征方程，0)52)(2()(2
='++++=K s s s s s D )52)(2(2
+++-='s s s s K
0)542)(1(2)22)(2()52)(22(222=+++-=++-+++-='
s s s s s s s s s ds
K d
11-=s ，225.11
6
13,2j j s ±-=±-=，这3个解都是根轨迹的分离点。
(5) 2
20)4()1()(++=
s s k
s G
解：系统开环极点是，12,1-＝－p ，44,3＝－－p 。实轴上没有根轨迹段。 渐近线与实轴的交点为， 5.2-=F
渐近线与实轴的夹角为， 045±=α
3，已知控制系统的开环传递函数如下，绘制系统的根轨迹，确定闭环系统的极点位置，并指出系统的响应是欠阻尼，还是过阻尼；求出使系统处于欠阻尼状态的根轨迹增益k ′的范围。
)
3()
5(10)(0++=
s s s s G
解：①绘制根轨迹)
3()
5()(0++'=
s s s K s G
系统开环极点是，01＝－p ，32＝－－p 。开环零点51-=z －。实轴上的根轨迹在极点1p -和2p -之间，1z －到－∞。
求根轨迹会合点，系统特征方程，0)5(3)(2
=+'++=s K s s s D
5
32++-='s s
s K ， 22)5(1510+++-='s s s ds K d 解得，1052,1±-=s ， 84.11-=s ，16.82-=s
②确定10='K 闭环系统极点位置。
根轨迹上的每一个点都对应一个确定的k’ 值。这可以根据传递函数分母方程去求。由分母方程，0)(10=+s G ，得
0)3()5(10=+++s s s ， 050132
=++s s
57.55.62,1j s ±-=
③求欠阻尼状态根轨迹增益k ′范围。
系统特征方程，0)5(3)(2
=+'++=s K s s s D ， 05)3(2
='++'+K s K s
2
54)3()3(22
,1K K K s '
⨯-+'++'-=
， 当系统为欠阻尼状态时，特征方程得根具有虚部，因此必有， K K '⨯<+'54)3(2
由根轨迹图分析可知，当K '从小到大增大过程，从分离点开始到会合点止，特征方程具有复数根，因此，只需求出这两个根，不需解上述不等式。因此，由以下方程求得分离点和会合点得K '，
K K '=+'20)3(2
， 09172=+'-'K K
3246.672
9
414142±=⨯-±=
'K ， 675.01='K ，325.132='K 因此，当675.0325.131
>'>K 时，系统处于欠阻尼状态。
4，已知单位反馈控制系统的开环传递函数为， )
4)(1()
1()(0+-+=
s s s s k s G ， k ≥0
(1)画出该系统的根轨迹；
(2)利用根轨迹图确定增益K 的稳定范围。
解：(1)系统开环极点是，01＝－p ，12＝
－p ，43＝－－p 。开环零点11-=z －。实轴上的根轨迹在极点1p -和2p -之间，1z －和3p －之间。
渐近线与实轴的交点为，
F 渐近线与实轴的夹角为，=α(2)从根轨迹图可以看出，当K 右半平面，这时系统不稳定。当 K 值可以由Routh 系统的特征方程为， 0)1()4)(1(=+++-s K s s s 0)4(32
3
=+-++K s K s s
