10.3.2.旋转的特征

10.3.2 旋转的特征教材分析：本节课的主要内容是通过实例进一步认识旋转变换，探索、理解旋转的特征，并应用旋转的特征作图、解决简单的图形问题。

教材在学生对轴对称、平移这两种简单的全等变换有了很好的认识的基础上，进一步推出了另一较难的全等变换——旋转；并在学生对旋转有了初步了解的基础上，探索其特征。

教材将旋转变换安排至此，目的是力求让学生从动态的角度观察图形、分析问题，为将来掌握“全等”知识奠定基础。

由于旋转与轴对称、平移都是全等变换，在特征上既存在共性又有特性；而学生已经掌握了轴对称、平移的特征，因此，探索、理解旋转区别于轴对称、平移的特征成了本节课的重要任务。

学情分析：在教学过程的设计上，通过一副旋转对称图片创设情景，吸引学生注意力，引出新课课题；进而通过旧知的回顾，为新知的探索作好铺垫。

其中第一题主要是加深学生对旋转基本概念的理解；第二题是为学生用类比的思想方法探索旋转特征作铺垫。

在练习的设计上，遵循由浅入深的原则，循序渐进地让学生逐步熟练应用旋转特征，解决生活与实际问题，从而体现数学的价值；同时，不同难度的习题可以满足不同层次学生的需要，让“不同的人在数学上得到不同的发展”。

课后的延伸——“请结合旋转的知识，用一个基本图形设计一副精美的图片”使整堂课前后呼应、更加完整。

教学目标：1.让学生认识旋转变换与前期所学的两种全等变换的共性与特性，从而掌握旋转变换的特征，并初步学会利用其特征解决简单的图形问题。

2.通过让学生欣赏和感受旋转实例，并亲身经历作图，继而观察、猜想、归纳出旋转的特征。

教学重点：探索旋转的特征教学难点：理解对应点到旋转中心的距离相等；图形中每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

教学过程：一、提纲导学：1.复习回顾：问题：1、如图△OAB 绕O 点旋转到△OA ’B ’,请观察图填空：⑴点B 的对应点是 ⑵线段OB 的对应线段是 ⑶线段AB 的对应线段是 ⑷∠A 的对应角是 ⑸∠B 的对应角是 ⑹旋转中心是 ⑺旋转的角度是 2、平移的特征是什么？ 2.创设情境，导入新课：展示一副美丽的旋转对称图片提问：想不想自己也设计一副呢？学完了旋转的特征后，你就能做到 今天我们来研究旋转的特征。

华师大新版七年级下学期《10.3.2 旋转的特征》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．（1）一个角的平分线这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）深入研究：如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．2．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．3．已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．4．在△ABC中，∠B+∠ACB=30°，AB=4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合，且点C恰好成为AD中点，如图（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．5．如图，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE=BC，在BC上取一点F，使BF=AB，连接EF，△ABC旋转后能与△FBE重合，请回答：（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AC与EF的关系如何？6．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．7．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？8．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM 在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度为°；（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM 在∠BOC的内部，则∠BON﹣∠COM=°；（3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰为∠BOC的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为秒，简要说明理由．9．如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．（1）如图1，求∠EFB的度数；（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为°；②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由．10．取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α≤45°），得到△ABC′．①当α为多少度时，AB∥DC？②当旋转到图③所示位置时，α为多少度？③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．11．如图，△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，且∠ABD=90°，（1）△ABD和△EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角．（2）若AB=3cm，BC=5cm，你能求出DE的长吗？（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由．12．如图，△ABC中，∠B=10°，∠ACB=20°，AB=4cm，三角形ABC按逆时针方向旋转一定角度后与三角形ADE重合，且点C恰好成为AD的中点．（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；（2）求出∠BAE的度数和AE的长．13．如图所示，点P是等边△ABC内一点，PB=2，PC=1，∠BPC=150°，求PA的长．14．（1）解不等式：5x﹣13≥2（x﹣2）（2）如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得到△DEC，若AC⊥DE，求∠BAC的度数．15．证明题在等腰△ABC与等腰△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE．（1）如图1，当点E，D，B三点在同一直线上时，且BE⊥AC，∠BAC=50°，求∠EBC的度数；（2）如图2，将△ADE绕A点旋转，当ED延长线交于BC的中点M时，连接BD，CE，求证：∠BDM=∠MEC．16．（1）如图①所示，△ACB和△ECD都是等腰三角形，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长AE交BD于F，试判断AE与BD的数量和位置关系，并证明你的结论．（2）若△ECD绕顶点C顺时针旋转任意角度后得到图②，图①中的结论是否仍然成立？请说明理由．17．如图，点P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为一边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．试观察并猜想AP与CQ的大小关系；并说明理由．18．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．（1）求证：DA∥BC；（2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想．19．在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD （1）如图，当α=60°时，△ABD是等边三角形吗？请说明理由；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE．当∠DAG=∠ACB，∠C＜90°，且线段DG与线段AE无公共点时，判断CE与AB的关系，并说明理（请在备用图中将图形补充完整）20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，点D在AB边绕点C逆时针旋转角α到达△ECF的位置，点E在AC边上．（1）直接填空：α的最小度数是；（2）若EF∥CD，试判断△BCD的形状，并说明理由．21．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA=OB=4，OC=OD=2，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）（1）当OC∥AB时，旋转角α=度，OC⊥AB时旋转角α=度．发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明．应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值．22．（1）如图1，E为等边△ABC内一点，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE=CD，连接BE，取BE中点P，连接AP，PD，AD，直接写出AP与PD的位置关系，并直接用等式表示AP与PD的数量关系；（2）如图2，把图1中的△CDE绕点C顺时针旋转α（60°＜α＜90°），其它条件不变，连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．23．已知，在等边△ABC中，点E在BA的延长线上，点D在BC上，且ED=EC （1）如图1，求证：AE=DB；（2）如图2，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之差等于AB的长．24．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．25．如图，在△ABC中，∠B=90°，BC=6，AC=10，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，并连接AE，求AE的长．26．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，求则∠ACB′的度数．27．如图所示，△ABD旋转后与△ACE重合，△ABC是直角三角形，BC是斜边，如果AD=4，求DE的长度．28．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．（1）直接写出线段DC=；（2）求线段DB的长度；（3）直接写出点B到直线AD的距离为．29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，F分别在AB，AC上，CF=CB，连接CD，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．求证：△BCD≌△FCE．30．已知，点P是等边△ABC内一点，PA=4，PB=3，PC=5，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ．（1）求PQ的长．（2）求∠APB的度数．31．Rt△ABC中，∠ABC=30°，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A'B'C，使得点A'恰好落在AB上，A'B'交BC于点D，连接BB'．（1）求证：△A'B'C≌△A'B'B．（2）直接写出图中以点B为顶点的所有直角三角形．32．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′B′C′，若AC⊥A′B′，求∠BAC 的度数．33．已知，如图，点C是AB上一点，分别以AC，BC为边，在AB的同侧作等边三角形△ACD和△BCE．（1）指出△ACE以点C为旋转中心，顺时针方向旋转60°后得到的三角形；（2）若AE与BD交于点O，求∠AOD的度数．34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°（即∠DCE=90°）后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．35．在学习了第四章《基本的平面图形》的知识后，小明将自己手中的一副三角板的两个直角顶点叠放在一起拼成如下的图形1和图形2．（1）在图1中，当AD平分∠BAC时，小明认为此时AB也应该平分∠FAD，请你通过计算判断小明的结论是否正确．（2）小明还发现：只要AD在∠BAC的内部，当△ABC绕直角顶点A旋转时，总有∠FAB=∠DAC（见图2），请你判断小明的发现是否正确，并简述理由．（3）在图2中，当∠FAC=x，∠BAD=y，请你探究x与y的关系．36．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°得到，且AB⊥BC，连接DE．（1）∠DBE的度数．（2）求证：△BDE≌△BCE．37．如图1，点O为直线AB上的一点，过O点作直线OC，使∠BOC=120°，将一块含30°、60°的直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB 上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时三角板旋转的角度为°．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度逆时针方向旋转．①若旋转一周，在旋转过程中，直线ON恰好平分∠AOC时，求旋转的时间t值．②若旋转过程中，直线MN∥直线OC，求旋转的时间t的值．38．（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB，CD外部，若∠B=50°，∠D=25°，则∠BPD=°（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB，CD内部，则∠B，∠D，∠BPD之间有何数量关系？证明你的结论．（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图 （3），若∠BPD=90°，∠BMD=40°，求∠B+∠D的度数．39．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并证明．40．△ABC是等边三角形，P为其内的一点，并且满足PA=25，PB=7，PC=24，试求∠CPB的度数？41．如图：点P为等边△ABC内一点，且PA=2，PB=1，PC=，求∠APB的度数．42．如图，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1，求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．43．如图所示，P为等边△ABC的中心，请用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分，设计出分割方案，并画出示意图．（至少三种）44．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，将△ABC绕点C顺时针旋转60°至△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB上，求BB′的长．45．如图，△ABC为等边三角形，P为三角形内一点，将△ABP绕A点逆时针旋转60°，得到△ACP′．（1）求证：△APP′为等边三角形．（2）连接PC，若PP′=2，∠P′CP=90°，∠P′PC=30°，求△ABC的面积．46．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC 绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．47．在△ABC中，AB=AC，点D在直线BC上（不与点B、C重合），线段AD绕A 点逆时针方向旋转∠BAC的大小，得线段AE，连接DE、CE．探索∠BCE与∠BAC的大小关系，并加以证明．48．已知，P为等边三角形内一点，且BP=3，PC=4，将BP绕点B顺时针旋转60°至BP′的位置．（1）试判断△BPP′的形状，并说明理由；（2）若∠BPC=150°，求PA的长度．49．在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE，如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BF⊥AD，AF=DF．50．如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB．（1）求线段CD的长；（2）求线段DB的长度．华师大新版七年级下学期《10.3.2 旋转的特征》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）（2）如图2，若∠MPN=α，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ=α或α或α；（用含α的代数式表示出所有可能的结果）深入研究：如图2，若∠MPN=60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒．（3）当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止，请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值．【分析】（1）根据巧分线定义即可求解；（2）分3种情况，根据巧分线定义即可求解；（3）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可；（4）分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）故答案为：是（2）∵∠MPN=α，∴∠MPQ=α或α或α；故答案为α或α或α；深入研究：（3）依题意有①10t=60+×60，解得t=9；②10t=2×60，解得t=12；③10t=60+2×60，解得t=18．故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；（4）依题意有①10t=（5t+60），解得t=2.4；②10t=（5t+60），解得t=4；③10t=（5t+60），解得t=6．故当t为2.4或4或6时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．【点评】本题考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“巧分线”．的定义是解题的关键．2．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；②线段OD的长；③∠BDC的度数．（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=60°，再根据旋转的性质得∠OBD=∠ABC=60°，于是可确定旋转角的度数为60°；②由旋转的性质得BO=BD，加上∠OBD=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD=OB=4；③由△BOD为等边三角形得到∠BDO=60°，再利用旋转的性质得CD=AO=3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，所以∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，则可判断△OBD 为等腰直角三角形，则OD=OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2=OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC=90°．【解答】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA=BC，∠ABC=60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD=∠ABC=60°，∴旋转角的度数为60°；②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO=BD，而∠OBD=60°，∴△OBD为等边三角形；∴OD=OB=4；③∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO=60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD=AO=3，在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，∵32+42=52，∴CD2+OD2=OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°；（2）OA2+2OB2=OC2时，∠ODC=90°．理由如下：∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，∴△OBD为等腰直角三角形，∴OD=OB，∵当CD2+OD2=OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，∴OA2+2OB2=OC2，∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2=OC2时，∠ODC=90°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．3．已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等∠ABC=∠ACB，再根据平行线的性质得出，∠AFE=∠ABC，∠AEF=∠ACB，得出∠AFE=∠AEF，进一步得出结论；（2）求出AE=AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（3）把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ABC，∠AEF=∠ACB，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，在△CAE′和△BAF′中，，∴△CAE′≌△BAF′（SAS），∴CE′=BF′=6；②由（1）可知AE=AF，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，所以，∠BAM=∠ABC=72°，又∵∠BAC=36°，∴α=∠CAM=36°；②当点E的像E′与点N重合时，∵CE′∥AB，∴∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，综上所述，当旋转角α为36°或72°．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．4．在△ABC中，∠B+∠ACB=30°，AB=4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合，且点C恰好成为AD中点，如图（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．（2）求出∠BAE的度数和AE的长．【分析】（1）先根据三角形内角和计算出∠BAC=150°，然后利用旋转的定义可判断旋转中心为点A，旋转角为150°；（2）根据旋转的性质得到∠DAE=∠BAC=150°，AB=AD=4，AC=AE，利用周角定义可得到∠BAE=60°，然后利用点C为AD中点得到AC=AD=2，于是得到AE=2．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠B+∠ACB=30°，∴∠BAC=150°，当△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，∴旋转中心为点A，∠BAD等于旋转角，即旋转角为150°；（2）∵△ABC绕点A逆时针旋转150°后与△ADE重合，∴∠DAE=∠BAC=150°，AB=AD=4，AC=AE，∴∠BAE=360°﹣150°﹣150°=60°，∵点C为AD中点，∴AC=AD=2，∴AE=2．【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5．如图，△ABC是直角三角形，延长AB到点E，使BE=BC，在BC上取一点F，使BF=AB，连接EF，△ABC旋转后能与△FBE重合，请回答：（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AC与EF的关系如何？【分析】（1）由条件易得BC和BE，BA和BF为对应边，而△ABC旋转后能与△FBE重合，于是可判断旋转中心为点B；（2）根据旋转的性质得∠ABF等于旋转角，从而得到旋转角度；（3）根据旋转的性质即可判断AC=EF，AC⊥EF．【解答】解：（1）∵BC=BE，BA=BF，∴BC和BE，BA和BF为对应边，∵△ABC旋转后能与△FBE重合，∴旋转中心为点B；（2）∵∠ABC=90°，而△ABC旋转后能与△FBE重合，∴∠ABF等于旋转角，∴旋转了90度；（3）AC=EF，AC⊥EF．理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°后能与△FBE重合，∴EF=AC，EF与AC成90°的角，即AC⊥EF．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．6．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=150°；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题已知如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，从而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得证．（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB，由题意知旋转角∠PA P′=60°，∴△AP P′为等边三角形，P P′=AP=3，∠A P′P=60°，易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C=90°，∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°；故答案为：150°；（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，∵∠EAF=45°，∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，∴∠EAF=∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F=EF，∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E′CF=45°+45°=90°，由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，即EF2=BE2+FC2．（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，∴BC=，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C=，∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．7．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？【分析】（1）利用△A1CB1≌△ACB得到CA1=CA，再根据旋转的性质得∠B1CB=∠A1CA=45°，则∠BCA1=45°，于是根据“ASA”判断△CQA1≌△CP1A，所以CP1=CQ；（2）过点P1作P1P⊥AC于点P，如图②，先在Rt△AP1P中根据含30度的直角三角形三边的关系得到P1P=AP1=×2=1，然后在Rt△CP1P中利用等腰直角三角形的性质得CP=P1P=1，CP1=PP1=，由（1）得CQ=CP1=．【解答】（1）证明：∵△A1CB1≌△ACB，∴CA1=CA，∵图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，∴∠B1CB=∠A1CA=45°，∴∠BCA1=45°在△CQA1和△CP1A中，，∴△CQA1≌△CP1A，∴CP1=CQ；（2）解：过点P1作P1P⊥AC于点P，如图②，在Rt△AP1P中，∵∠A=30°，∴P1P=AP1=×2=1，在Rt△CP1P中，∵∠P1CP=45°，∴CP=P1P=1，∴CP1=PP1=，∴CQ=CP1=．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．旋转有三要素：旋转中心；旋转方向；旋转角度．也考查了等腰直角三角形的性质．8．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM 在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图2的位置，使得OM落在射线OA上，此时ON旋转的角度为90°；（2）继续将图2中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图3的位置，使得OM 在∠BOC的内部，则∠BON﹣∠COM=30°；（3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰为∠BOC的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为16秒，简要说明理由．【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角∠MON=90°；（2）分别求出∠BON=90°﹣∠BOM，∠COM=60°﹣∠BOM，则∠BON﹣∠COM=90°﹣∠BOM﹣60°+∠BOM=30°；（3）易求∠AOM+∠AOC+∠COM′=240°，则三角板绕点O的运动时间为=16（秒）．【解答】解：（1）如图2，依题意知，旋转角是∠MON，且∠MON=90°．故填：90；（2）如图3，∠AOC：∠BOC=2：1，∴∠AOC=120°，∠BOC=60°，∵∠BON=90°﹣∠BOM，∠COM=60°﹣∠BOM，∴∠BON﹣∠COM=90°﹣∠BOM﹣60°+∠BOM=30°，故填：30；（3）16秒．理由如下：如图4．∵点O为直线AB上一点，∠AOC：∠BOC=2：1，∴∠AOC=120°，∠BOC=60°．∵OM恰为∠BOC的平分线，∴∠COM′=30°．∴∠AOM+∠AOC+∠COM′=240°．∵三角板绕点O按每秒钟15°的速度旋转，∴三角板绕点O的运动时间为=16（秒）．故填：16．【点评】本题考查了旋转的性质，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，并求出角的度数是解题的关键．9．如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．（1）如图1，求∠EFB的度数；（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为30°；②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；（2）①根据两直线平行，内错角相等可得∠ACD=∠A，再根据同角的余角相等可得∠ECB=∠ACD；②分CE、DE、CD与AB平行分别作出图形，再根据平行线的性质求解即可．【解答】解：（1）∵∠A=30°，∠CDE=45°，∴∠ABC=90°﹣30°=60°，∠E=90°﹣45°=45°，∴∠EFB=∠ABC﹣∠E=60°﹣45°=15°；（2）①∵CD∥AB，∴∠ACD=∠A=30°，∵∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°，∠ECB+∠ACE=∠ACB=90°，∴∠ECB=∠ACD=30°；②如图1，CE∥AB，∠ACE=∠A=30°，∠ECB=∠ACB+∠ACE=90°+30°=120°；如图2，DE∥AB时，延长CD交AB于F，则∠BFC=∠D=45°，在△BCF中，∠BCF=180°﹣∠B﹣∠BFC，=180°﹣60°﹣45°=75°，∴ECB=∠BCF+∠ECF=75°+90°=165°；如图3，CD∥AB时，∠BCD=∠B=60°，∠ECB=∠BCD+∠EDC=60°+90°=150°；如图4，CE∥AB时，∠ECB=∠B=60°，如图5，DE∥AB时，∠ECB=60°﹣45°=15°．【点评】本题考查了旋转的性质，三角板的知识，平行线的判定与性质，难点在于（2）根据旋转角的逐渐增大分别作出图形．10．取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α≤45°），得到△ABC′．①当α为多少度时，AB∥DC？②当旋转到图③所示位置时，α为多少度？③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．【分析】（1）若AB∥DC，则∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′﹣∠BAC=45°﹣30°=15°；（2）当旋转到图③所示位置时，α=45°，（3）连接CC′，CD与BC′相交于O点，在△BDO和△OCC′中，利用三角形内角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．【解答】解：（1）如图②，∵AB∥DC，∴∠BAC=∠C=30°，∴α=∠BAC′﹣∠BAC=45°﹣30°=15°，所以当α=15°时，AB∥DC；（2）当旋转到图③所示位置时，α=45°，（3）当0°＜α≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．证明：连接CC′，CD与BC′相交于O点，在△BDO和△OCC′中，∠BOD=∠COC′，∴∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠BDO+∠α+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C+∠α=180°﹣∠ACD﹣∠AC′B，=180°﹣45°﹣30°=105°，∴当0°＜α≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了三角形的内角和定理．11．如图，△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，且∠ABD=90°，（1）△ABD和△EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角．（2）若AB=3cm，BC=5cm，你能求出DE的长吗？（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由．【分析】（1）由△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°得到△EBC，根据旋转的性质得到△ABD≌△EBC，再根据三角形全等的性质即可得到对应边与对应角．（2）由旋转的性质得到BD=BC，AB=EB，而AB=3cm，BC=5cm，得到BD=5cm，BE=3cm，即可求出DE．（3）由△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，根据旋转的性质即可得到直线AD和直线CE成90度的角，即它们垂直．【解答】解：（1）∵△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°得到△EBC，∴△ABD≌△EBC，∴∠BAD的对应角为∠BEC，∠D的对应角为∠C，∠ABD的对应角为∠EBC；AB 的对应边为EB，BD的对应边为BC，AD的对应边为EC．（2）可求出DE=2cm．过程如下：∵△ABD≌△EBC，∴BD=BC，AB=EB，而AB=3cm，BC=5cm，∴BD=5cm，BE=3cm，∴DE=BD﹣BE=5﹣3=2（cm）．（3）∵△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，∴AD也绕着点B沿顺时针方向旋转90°得到CE，即直线AD和直线CE垂直．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心。

10.3.2旋转的特征与旋转对称图形 一、自主预习阅读课本121——124页，完成下列问题 二、质疑问难1、旋转的特征是：图形中的每一个点都绕着按同一方向旋转了的角度，对应点到的距离相等，对应线段，对应角，图形的与不变。

2、电扇风叶绕旋转中心旋转120°能与自身重合，旋转240°也能与自身重合，可以看出旋转的最小角度是。

3、旋转一定角度后，的图形就成为旋转对称图形。

4、①课本123页，图10.3.10（是或不是）旋转对称图形，至少需要旋转度能与自身重合，它是不是轴对称图形？。

②图10.3.11（是或不是）旋转对称图形，至少旋转度能与自身重合，它是不是轴对称图形？。

三、合作探究 四、强化练习5、如图，是一个圆心角为60°的扇形。

①分别画出绕点O 逆时针旋转60°、120°后的图形。

②把这个扇形绕点O 每次逆时针旋转60°，旋转次就可以得到一个圆。

6、下列图形是旋转对称图形的是。

①圆②等腰直角三角形③线段④等边三角形⑤角⑥正五边形⑦正n 边形 7、国旗上的五角星是旋转对称图形，它的最小旋转角度是。

8、下列说法错误的有。

①轴对称图形一定是旋转对称图形②旋转对称图形可能是轴对称图形③旋转对称图形是轴对称图形④圆是旋转对称图形，它的旋转角有无数个。

9、下列图形都是旋转对称图形，其中旋转角最大的是（ ）A. B. C. D.五、归纳总结O学到了什么？ 六、目标检测反馈与补偿10、如图，边长为2cm 的正方形ABCD 绕点D 旋转28°得到四边形DEFH ，则四边形DEFH 是形，面积为。

∠EDC=。

11、如图，在平行四边形ABCD 中，①图中有哪些线段可以通过其它线段的平移得到？ ②图中哪些三角形可以通过其它三角形的旋转得到？14、如图，在方格纸中，△ABC 经过变换得到△DEF ，正确的变换过程是（ ）A.把△ABC 绕点C 逆时针方向旋转90°，再向下平移2格。