几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)

高中数学外接球解题技巧高中数学外接球解题技巧在高中数学中，外接球是一道常见的几何题，其目的是求出几何体 (如正方体、长方体等) 的外接球半径或直径，进而求解几何体的体积或表面积。

下面将介绍一些外接球解题技巧。

1. 熟悉常见几何体的外接球公式对于正方体、长方体等常见几何体的外接球，可以使用以下公式计算其半径或直径:正方体外接球半径 = √3/3 ×正方体边长长方体外接球半径 = √3/3 ×长方体边长×√2球体外接球半径 = 圆周率×球体直径其中，√表示开根号运算，√2 表示圆周率乘以 2。

2. 利用对称性求解外接球半径在某些情况下，几何体的外接球半径可以通过对称性得到求解。

例如，对于正方体，可以利用其对称性求解外接球半径。

正方体有六个等效面，每个面都是一个等边三角形，这些等效面都是正方体的外接球球面的一部分。

因此，可以利用对称性计算出正方体的外接球半径，进而求解其他几何体外接球半径。

3. 利用三角函数求解外接球半径对于一些较为复杂的几何体，可以利用三角函数求解外接球半径。

例如，对于正八面体，其外接球是一个正十二面体，可以利用正弦定理求解外接球半径。

具体而言，正八面体的每个面都是一个等腰三角形，相邻面的夹角为 30 度，正十二面体的每个面都是一个等边三角形，相邻面的夹角为 60 度。

因此，可以利用正弦定理计算正十二面体的外接球半径。

拓展:除了上述技巧外，还有一些其他的技巧可以用来求解外接球半径，例如用极坐标方程求解、用向量法求解等。

此外，外接球问题也与物理学中的牛顿第二定律、圆周运动等问题密切相关。

因此，对于外接球问题，需要从不同角度进行思考，灵活运用各种技巧和方法，以达到求解的目的。

几何体外接球常用结论及方法几何体的外接球是指能够将该几何体完全包围的球。

在三维空间中，我们常见的几何体有球、正方体、长方体、圆锥体、圆柱体、四面体等。

下面将介绍几何体外接球的常用结论及求解方法：1.球的外接球：球本身就是一个外接球，其半径即为球的半径。

2.正方体的外接球：正方体的外接球是一个球心位于正方体空间对角线中点处的球。

对角线在空间中的长度可以通过勾股定理求得，即对角线长度等于正方体一条边的平方根乘以根号3、因此，外接球的半径等于对角线长度的一半。

3.长方体的外接球：长方体的外接球是一个球心位于长方体空间对角线中点处的球。

同样，对角线长度可以通过勾股定理求得，即对角线长度等于长方体的长、宽、高的平方和的开方。

因此，外接球的半径等于对角线长度的一半。

4.圆锥体的外接球：圆锥体的外接球是一个球心位于圆锥体顶点与底面圆心连线的中点处的球。

外接球的半径等于该连线的长度。

5.圆柱体的外接球：圆柱体的外接球是一个球心位于圆柱体两个底面圆心连线的中点处的球。

外接球的半径等于该连线的长度。

6.四面体的外接球：四面体的外接球是一个球心位于四面体四个顶点的外接圆圆心的球。

外接球的半径等于外接圆的半径。

以上是几何体外接球的常用结论。

接下来我们介绍一种求解几何体外接球半径的常用方法，即通过计算几何体的顶点坐标来求解。

首先，根据几何体的类型和已知信息，确定几何体的顶点坐标。

对于球、正方体、长方体等简单的几何体，可以通过已知的半径、边长等信息得到；对于复杂的几何体，可以通过已知的顶点坐标及其它辅助信息求解。

然后，根据顶点坐标计算几何体的外接球的球心坐标。

球心位于几何体顶点的外接圆的圆心处。

对于球、正方体、长方体等几何体，直接取顶点坐标的平均值作为球心坐标；对于其它几何体，可以通过求解外接圆的圆心坐标来得到球心坐标。

最后，根据球心坐标和几何体顶点坐标，计算几何体的外接球半径。

外接球半径就是几何体顶点与球心之间的距离的最大值。

几何体的外接球一、球的性质回顾如右图所示：O 为球心，O’为球O 的一个小圆的圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。

二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r ）的求法1、三角形：（1）等边三角形：等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五心合一，即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。

内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点；中心：正多边形特有。

从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：a a r 332332=⋅=（其中a 为等边三角形的边长） （2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。

（3）等腰三角形：结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线上。

由图可得：22)2()(a r h r +-=思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。

（4）非特殊三角形：考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定理。

2、四边形常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。

外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中到几何体各个顶点距离相同的点。

结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等。

转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表面正方形的中心连线均垂直于该正方形。

从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心与底面外心的连线垂直于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心的正上方。

简单几何体的外接球半径求解技巧外接球是指能够完全包围一个几何体的球，它的半径对于很多几何题目的求解都是十分重要的。

在解决几何问题时，如果涉及到外接球的半径，我们可以通过几何关系和一些数学工具来求解。

下面，我将介绍一些简单几何体的外接球半径求解技巧。

1.球的外接圆半径：对于平面上的一个圆，它的外接圆半径等于原圆半径的根号2倍。

这是由勾股定理和三角形内接圆半径的关系推导而来的。

当给定一个平面上的圆时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。

2.三角形的外接圆半径：对于一个三角形，它的外接圆半径可以通过三角形的边长来求解。

三角形的外接圆半径等于三角形的任意一条边的一半除以三角形的外接圆周角的正弦值。

这个公式可以通过三角形的面积公式、三角形的边长和正弦定理推导而来。

当给定一个三角形时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。

3.四边形的外接圆半径：对于一个四边形，它的外接圆半径可以通过四边形的对角线和角度来求解。

四边形的外接圆半径等于四边形两对对角线的交点之间的距离的一半除以四边形内角的正弦值。

这个公式可以通过四边形的面积公式、四边形的对角线、四边形两对对角线的交点之间的距离和正弦定理推导而来。

当给定一个四边形时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。

4.正多边形的外接圆半径：对于一个正n边形，它的外接圆半径可以通过边长来求解。

正n边形的外接圆半径等于边长的一半乘以正n边形的中心角的余弦值的倒数。

这个公式可以通过正多边形的面积公式、正多边形的边长、正n边形的外接圆的半径和正n边形的中心角的三角函数关系推导而来。

当给定一个正n边形时，可以通过这个公式求解它的外接圆半径。

需要注意的是，这些公式都是在已知几何体的一些参数的前提下求解外接球半径的。

因此，在实际解题时，首先需要明确已知条件，并应用相关的几何定理和公式来求解。

此外，还可以通过数学软件、计算机模拟等工具来求解几何体的外接球半径。

这些工具一般会通过几何关系和数值计算的方法来求解。

备考指南若一个几何体的所有顶点都在同一个球面上，则称这个球是这个几何体的外接球，这个球的半径为几何体的外接球的半径.求几何体外接球的半径问题侧重于考查简单几何体的特征以及球的定义，对同学们的空间想象和观察能力有较高的要求.接下来，结合几个例题，详细介绍一下求几何体外接球半径的两种措施.一、利用转化法在求几何体外接球的半径时，我们经常要用到转化法.首先要仔细观察几何体的特征，以确定球心的位置；然后过球心和几何体的一个顶点作几何体底面的垂线；再根据几何体的特征添加辅助线，将问题转化为平面图形中的线段问题，利用平面几何中的勾股定理、正余弦定理、相似三角形的性质、平行四边形的性质、圆的定义等来求得各条线段的长，进而求得球的半径.例1.已知一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面的周长为3，试求这个球的半径.解：设该六棱柱的高为h ,底面边长为x ，由于六棱柱的底面是正六边形，且周长为3，则6x =3，①因为该六棱柱的体积为98，所以98=62h ，②由①②得：x =12，h =3，由正六边形的性质可得正六棱柱的底面圆的半径r =12,由勾股定理可得球心到底面的距离d =，由勾股定理得外接球的半径R =r 2+d 2=1.解答本题，需运用转化法.将空间几何问题转化为平面几何问题，利用正六边形的性质、勾股定理即可求得六棱柱外接球的半径.例2.正四棱锥P -ABCD 底面的边长和各条侧棱长都为2，点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，求该球的半径.解：设正四棱锥的底面ABCD 的中心为O 1，外接球的球心为O ,如图所示.由正四棱锥的性质可得：OO 1⊥平面ABCD ，PO 1⊥平面ABCD ，所以球心O 必在PO 1所在的直线上，那么∆APC 的外接圆就是正四棱锥外接球的一个轴截面，所以正四棱锥外接球的半径就是∆APC 的外接圆的半径，在∆APC 中，PA =PC =2,AC =2，由勾股定理可得PA 2+PC 2=AC 2,则∆APC 是以AC 为斜边的直角三角形，所以∆APC 的外接圆的半径为AC 2=1，所以外接球的半径是1.解答本题，需先根据正四棱锥和球的性质确定球心的位置；然后添加辅助线，构造∆APC 的外接圆、直角三角形∆APC .这样便可利用转化法，将问题转化为平面几何问题，根据圆的性质以及勾股定理求得外接球的半径.二、补形有时我们很难根据题意和图形确定几何体外接球的球心的位置，就无法快速求出外接球的半径.此时，可将球内几何体进行适当的分割、填补，使其成为规则的简单几何体，如正三棱柱、正四棱锥、正三棱台等，这样就可以根据简单几何体的性质，快速确定外接球球心的位置，进而求得几何体外接球的半径.例3.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，求这个三棱锥的外接球的半径.解：由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，所以可以将这个三棱锥补成一个边长为3的正方体，那么该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，此时长方体的体对角线长就是该三棱锥外接球的直径.设三棱锥的外接球的半径为R ，则(2R )2=(3)2+(3)2+(3)2=9，解得R 2=94，故三棱锥的外接球的半径R =32.一般地，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长度分别为a 、b 、c ，就可以将这个三棱锥补成棱长分别为a 、b 、c 的长方体；若四个面均为直角三角形，则可以将其补为长方体；若棱锥的一条侧棱垂直于底面，则可以将其补为直棱柱.虽然求几何体外接球的半径较为复杂，但是只要仔细研究几何体的结构特征，添加合适的辅助线，进行合理的割补，即可使复杂的问题简单化，快速求得问题的答案.（作者单位：江苏省沭阳如东中学）李金山56。

简单几何体的外接球和内切球半径的求法1、正方体若正方体的棱长为a ，则其外接球半径为 ，内切球半径为 ，棱切球半径为 球心全是正方体的体对角线的交点32a 12a 22a例：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm ，求球的体积．解：该球是正方体的外接球，球心到正方体各顶点的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的体对角线长设球的半径为R ，a R a R 2332==得则)(23)23(34343333cm a a R πππ==∴球的体积为若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

外接球的球心到多面体各顶点的距离均相等。

例：将一个棱长为6cm 的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积。

解：这个最大的球体是正方体的内切球，球心到正方体各个面的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的棱长设球的半径为R ，则2R =6，得R =3)(3633434333cm R πππ=⨯=∴最大零件的体积为若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

内切球的球心到多面体各面的距离均相等。

⑴正方体的内切球直径＝⑵正方体的外接球直径＝⑶与正方体所有棱相切的球直径＝探究 若正方体的棱长为a ，则a3a2a右图，红色球是正方体的棱切球棱切球的球心到正方体各条棱的距离相等，因此球心是正方体的体对角线的交点，球的直径是正方体的面对角线的长2、长方体若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则其外接球半径为球心是长方体的体对角线的交点222 1+2a b c例：有一个球与长方体的面相切，这个球的最大直径是多少？长方体的长、宽、高中的最小者例：一个长方体的各顶点均在同一个球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为____________若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

空间几何体的外接球本文介绍了几种利用几何体的特殊性质来求解外接球半径的方法。

其中第一种方法是针对长方体模型一的，只需要找到三条两两垂直的线段，就可以直接使用公式2R=a+b+c或2R=a²+b²+c²来求解半径R。

接着，文章给出了几个例题，让读者更好地理解和应用这种方法。

第二种方法是针对长方体模型二的，题设为一条直线垂直于一个平面，解题步骤包括将三角形画在小圆面上，连接直线与圆心，最后利用勾股定理求解外接球半径R。

同样，文章给出了几个例题供读者练。

最后，文章介绍了对棱相等模型的长方体模型三，这种方法需要求出补形为长方体的几何体的体积，并将其除以4π/3，就可以得到外接球的半径R。

文章提供了一个例题，让读者更好地掌握这种方法。

总的来说，本文通过多种方法介绍了如何求解几何体的外接球半径，对于需要进行相关计算的读者来说，是一份不错的参考资料。

三棱锥（即四面体）中已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）的方法如下：第一步，画出一个长方体，并标出三组互为异面直线的对棱。

第二步，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列出方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2然后，根据墙角模型，2R=a+b+c=√(x^2+y^2+z^2)，求出外接球半径R。

补充：V(A-BCD)=abc/3，V(ABCD)=abc/3×4=4abc/3例如，正四面体的外接球半径也可以用此法求解。

题例3：1.在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

2.如图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

3.正四面体的各条棱长都为2，则该正四面体外接球的体积为。

类型二：圆锥模型题设：如图6、7、8，P的射影是△ABC的外心，当且仅当三棱锥P-ABC的三条侧棱相等，或者三棱锥P-ABC的底面△ABC在圆锥的底面上，且顶点P点也是圆锥的顶点。

几何体外接球和内接球半径几种求法教程文件几何体是指具有三维形状的图形，而几何体的外接球和内接球是指可以完全包围几何体的最小球体和最大球体。

下面将介绍几种求解几何体外接球和内接球半径的方法。

一、求解几何体外接球半径的方法：1.立体几何体求解：对于简单的几何体，我们可以采用直观的方法来求解其外接球半径。

例如，对于正方体，我们可以通过连接正方体的对角线来构成直角三角形，并利用勾股定理来求解外接球半径。

同理，对于圆柱体、圆锥体等简单几何体，我们可以根据其特点来求解外接球半径。

2.公式求解：对于一些特定的几何体，我们可以利用已知的公式来求解外接球半径。

例如，对于正六面体，其外接球半径等于正六面体边长的一半。

对于正四面体，其外接球半径等于等边四面体边长的一半乘以根号23.数学模型求解：对于复杂的几何体或无法直接求解的几何体，我们可以利用数学模型来进行求解。

例如，对于一个任意形状的几何体，可以通过将其进行离散化处理，将其划分为许多小球体，然后求取这些小球体的最远距离得到外接球半径。

二、求解几何体内接球半径的方法：1.几何体特性求解：对于一些简单的几何体，我们可以利用其特性来求解内接球半径。

例如，对于正八面体，其内接球半径等于其顶点到底面中心的距离。

2.近似值求解：对于一些难以直接求解的几何体，我们可以利用数值方法来进行近似求解。

例如，可以通过不断迭代计算来逼近内接球半径的值，直至满足一定的精度要求。

3.数学模型求解：对于一些复杂的几何体，我们可以利用数学建模的方法来求解内接球半径。

例如，可以将几何体进行离散化处理，划分为许多小球体，然后求解这些小球体的最近距离得到内接球半径。

总结起来，求解几何体外接球和内接球半径的方法有很多种，可以根据具体几何体的形状和特性选择合适的方法。

在实际应用中，根据几何体的特点来选择合适的求解方法，可以更加高效地求解几何体外接球和内接球半径。

几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)几何体的外接球是一个常见的问题，其中有一些常用的结论和方法：1.对于三棱锥P-ABC，如果PA垂直于PB和PC，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=PA²+PB²+PC²求得。

2.对于等边三角形，其外接圆的半径等于连长的1/3倍。

3.直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半。

4.对于一般的三角形ABC，可以用正弦定理求得外接圆半径R，而内切圆的半径r可以用海龙公式S=Cr求得。

5.如果已知三棱锥P-ABC中PA=a，且△ABC的外接圆半径为r，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=2r+a²求得。

6.正方体的外接球、内切球和棱切球的直径分别为正方体的体对角线长2R=3a、棱长2R=a和面对角线长2R=2√2a。

7.对于四面体P-ABC，如果∠APC=90°且∠ABC=90°，则该四面体的外接球直径为AC。

8.对于正三棱锥V-ABC，可以用射影定理求得其外接球半径，即VA²=h(2R-h)。

9.对于正四面体，其高h=2/3√2a，外接球半径和内切球半径均为a。

10.对于有内切球的多面体，其内切球半径可以用公式V=Sr/3求得。

11.如果三棱锥A-BCD中的面ABD和面BCD互相垂直且其外接圆半径分别为r1和r2，公共棱BD的长度为a，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=2r1+2r2-a²/2√(r1²+r2²)求得。

的公共弦AD和BC的垂线，分别交于点E和F。

连接OE和OF，则OE=OF=R，且OE和OF分别是三棱锥P-ABC 和A-BCD的外接球的直径。

由于三棱锥P-ABC和A-BCD的外接球是重合的，因此它们的直径相等，即2R=2r1+2r2-a。

对于三棱锥P-ABC，已知面PAC与ABC所形成的二面角为θ（θ<θ≤90°），且已知ΔPAC和ΔABC的外接圆的半径分别为r1，r2，AC=a，则该棱锥的外接球半径R满足：left(2R+2\cos\theta\right)\left(R-r_1\right)\left(R-r_2\right)=2\left(r_1+r_2\right)^2-4\left(r_1-r_2\right)^2\cos^2\frac{\theta}{2}$这个公式可以通过对三棱锥P-ABC和A-BCD的共面直角投影，推导出它们的公共弦长等于$\sqrt{a^2+\left(r_1+r_2\right)^2-2r_1r_2\cos\theta}$。

几何体外接球常用结论及方法在讨论几何体外接球的常用结论和方法之前，我们需要先了解一些几何体的基本概念。

1.点：没有尺寸的几何体，只有位置。

2.线段：两个端点间的直线部分，有长度。

3.多边形：由多个线段边界的封闭几何体，如三角形、四边形、五边形等。

4.圆：由一个固定点到平面内所有点的距离都相等的几何体。

5.球体：由一个固定点到空间内所有点的距离都相等的几何体。

现在我们来讨论一些几何体外接球的常用结论和方法。

1.三角形外接球的性质：-三角形外接球的圆心是三角形三边中垂直平分线的交点。

-三角形外接球的半径等于三角形三边的中垂线之间的距离的一半。

2.四边形外接球的性质：-平面四边形只有当它是一个正方形或是一个菱形时，才存在外接球。

-正方形的外接球的圆心是正方形对角线的交点。

-菱形的外接球的圆心是菱形的对角线的交点。

3.圆柱体外接球的性质：-圆柱体的外接球与它的底面圆和侧面矩形的外接圆相切。

-圆柱体外接球的半径等于底面圆的半径加上圆柱体的高。

4.立方体外接球的性质：-立方体外接球的半径等于立方体对角线的一半。

以上是一些常见几何体外接球的性质和方法，但不限于这些。

根据具体的几何体形状和条件，还可以使用其他方法来确定其外接球的半径和圆心。

确定几何体外接球的常用方法包括：1.基于几何体的性质和定义，使用相关定理和公式来计算外接球的半径和圆心。

2.使用向量和解析几何的方法，通过计算几何体的边界点的坐标来确定外接球的参数。

3.使用计算机辅助设计和计算几何软件来自动化计算几何体外接球的参数。

需要注意的是，有些几何体可能不存在外接球，如非正方形的平面四边形和非菱形的平面四边形等。

此外，有时外接球可能无法唯一确定，需要根据具体的条件和定义来确定合适的参数。

综上所述，讨论几何体外接球的常用结论和方法需要基于几何体的性质和定义，使用定理和公式来计算外接球的参数，或使用向量和解析几何的方法来确定其位置和尺寸。