2021-2022学年上海市嘉定区九年级一模数学试卷含答案

2022年上海市嘉定区九上期末数学试卷（一模）1. 下列函数中，是二次函数的是 ( ) A ． y =2x +1 B ． y =(x −1)2−x 2 C ． y =1−x 2D ． y =1x 22. 已知抛物线 y =x 2+3 向左平移 2 个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ( ) A ． y =(x +2)2+3 B ． y =(x −2)2+3 C ． y =x 2+1D ． y =x 2+53. 已知在 Rt △ABC 中，∠C ＝90∘，BC ＝5，那么 AB 的长为 ( ) A ． 5sinAB ． 5cosAC ． 5sinAD ． 5cosA4. 如图，在 △ABC 中，点 D 是在边 BC 上，且 BD =2CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b⃗ B ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a +23b ⃗ C ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −23b⃗ D ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +23b⃗5. 如果点 D ，E 分别在 △ABC 中的边 AB 和 AC 上，那么不能判定 DE ∥BC 的比例式是 ( ) A ． AD:DB =AE:EC B ． DE:BC =AD:AB C ． BD:AB =CE:ACD ． AB:AC =AD:AE6. 已知点 C 在线段 AB 上（点 C 与点 A ，B 不重合），过点 A ，B 的圆记作为圆 O 1，过点 B ，C 的圆记作为圆 O 2，过点 C ，A 的圆记作为圆 O 3，则下列说法中正确的是 ( ) A ．圆 O 1 可以经过点 C B ．点 C 可以在圆 O 1 的内部 C ．点 A 可以在圆 O 2 的内部D ．点 B 可以在圆 O 3 的内部7. 如果抛物线 y =(k −2)x 2+k 的开口向上，那么 k 的取值范围是 ．8. 抛物线 y =x 2+2x 与 y 轴的交点坐标是 ．9. 二次函数 y =x 2+4x +a 图象上的最低点的横坐标为 ．=．10.如果3a=4b（a，b都不等于零），那么a+bb11.已知点P是线段AB的一个黄金分割点，且AB=6cm，AP>BP，那么AP=cm．12.如果向量a，b⃗，x满足关系式2a−(x−3b⃗)=4b⃗，那么x=（用向量a，b⃗表示）．13.如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的最短边长为12，那么△DEF的周长等于．14.在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB的值=．15.小杰在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42度，那么点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于度．16.如图，在圆O中，AB是弦，点C是劣弧AB的中点，连接OC，AB平分OC，连接OA，OB，那么∠AOB=度．17.已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于厘米．18.在△ABC中，∠ACB=90∘，点D，E分别在边BC，AC上，AC=3AE，∠CDE=45∘（如图），△DCE沿直线DE翻折，翻折后的点C落在△ABC内部的点F，直线AF与边BC相交于点G，如果BG=AE，那么tanB=．．19.计算：2∣1−sin60∘∣+tan45∘cot30∘−2cos45∘20.已知抛物线y=x2+bx−3经过点A(1,0)，顶点为点M．(1) 求抛物线的表达式及顶点M的坐标；(2) 求∠OAM的正弦值．21.某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i=1:2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13∘，即∠ADC=13∘（此时点B，C，D在同一直线上）．（参考数据：sin13∘≈0.225，cos13∘≈0.974，tan13∘≈0.231，cot13∘≈4.331）(1) 求这个车库的高度AB；(2) 求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．22.如图，在圆O中，弦AB=8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA，CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D，E．(1) 求线段DE的长；(2) 点O到AB的距离为3，求圆O的半径．23.如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB⋅AD=BC⋅AE．(1) 求证：∠BAC=∠AED；(2) 在边AC取一点F，如果∠AFE=∠D，求证：ADBC =AFAC．24.在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(4,0)，B(2,2)，与y轴的交点为C．(1) 试求这个抛物线的表达式；(2) 如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；(3) 如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE=45∘，求点E的坐标．25.在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．(1) 如图1，求证：∠ANE=∠DCE；(2) 如图2，当点N在线段MB之间，连接AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；(3) 连接AC，如果△AEC与以点E，M，N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．答案1. 【答案】C【解析】A 、该函数是由反比例函数平移得到的，不是二次函数，故本选项错误； B 、由已知函数解析式得到：y =−2x +1，属于一次函数，故本选项错误； C 、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确； D 、该函数不是二次函数，故本选项错误； 故选C ．2. 【答案】A3. 【答案】C【解析】已知在 Rt △ABC 中，∠C ＝90∘，BC ＝5， 故BC AB＝sinA ，故 AB ＝5sinA ．4. 【答案】D【解析】根据题意得 BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +23b⃗ ．5. 【答案】B【解析】A 、 ∵AD:DB =AE:EC ，∴DE ∥BC ，故本选项能判定 DE ∥BC ； B 、由 DE:BC =AD:AB ，不能判定 DE ∥BC ，故本选项不能判定 DE ∥BC ； C 、 ∵BD:AB =CE:AC ，∴DE ∥BC ，故本选项能判定 DE ∥BC ；D 、 ∵AB:AC =AD:AE ，∴AB:AD =AC:AE ，∴DE ∥BC ，故本选项能判定 DE ∥BC ． 所以选B6. 【答案】B【解析】 ∵ 点 C 在线段 AB 上（点 C 与点 A ，B 不重合），过点 A ，B 的圆记作为圆 O 1， ∴ 点 C 可以在圆 O 1 的内部，故A 错误，B 正确； ∵ 过点 B ，C 的圆记作为圆 O 2， ∴ 点 A 可以在圆 O 2 的外部，故C 错误； ∵ 过点 C ，A 的圆记作为圆 O 3，∴ 点 B 可以在圆 O 3 的外部，故D 错误．7. 【答案】k>28. 【答案】(0,0)【解析】令x=0，则y=0，所以，抛物线与y轴的交点坐标为(0,0)．9. 【答案】−2【解析】∵二次函数y=x2+4x+a=(x+2)2−4+a，∴二次函数图象上的最低点的横坐标为：−2．10. 【答案】73【解析】∵3a=4b（a，b都不等于零），∴设a=4x，则b=3x，那么a+bb =3x+4x3x=73．11. 【答案】3√5−3【解析】∵P是线段AB的黄金分割点，AP>BP∴AP=√5−12AB=6×√5−12=3√5−3．12. 【答案】2a−b⃗【解析】2a−(x−3b⃗)=4b⃗，2a−x+3b⃗−4b⃗=0，2a−x−b⃗=0，x=2a−b⃗．13. 【答案】45【解析】设△DEF的周长别为x，△ABC的三边长分别为4，5，6，∴△ABC的周长=4+5+6=15．∵△ABC∽△DEF，∴412=15x，解得，x=45．14. 【答案】34【解析】如图，作AD⊥BC于D点，∵AB=AC=4，BC=6，∴BD=12BC=3，在Rt△ABD中，cosB=BDAB =34．15. 【答案】42【解析】由题意可得，∠BAO=42∘，∵BC∥AD，∴∠BAO=∠ABC，∴∠ABC=42∘，即点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度．16. 【答案】120【解析】连接AC．∵AC⏜=BC⏜，∴OC⊥AB，∠AOC=∠BOC．∵AB平分OC，∴AB是线段OC的垂直平分线，∴AO=AC，∵OA=OC，∴OA=OC=AC，∴∠AOC=60∘，∴∠AOB=120∘．17. 【答案】 3【解析】 ∵ 两圆的半径分别为 2 和 5，两圆内切， ∴d =R −r =5−2=3 cm ．18. 【答案】 37【解析】如图．∵∠ACB =90∘，∠CDE =45∘， ∴∠DEC =45∘． ∵AC =3AE ，∴ 设 AE =k =BG ，AC =3k (k ≠0)， ∴EC =2k ． ∵ 折叠，∴EF =EC =2k ，∠FED =∠DEC =45∘． ∴∠FEC =90∘ 且 ∠ACB =90∘． ∴EF ∥BC ． ∴△AEF ∽△ACG ． ∴AE AC=EF GC=13．∴GC =3EF =6k ． ∴BC =BG +GC =7k ． ∴tanB =AC BC=37．19. 【答案】2∣1−sin60∘∣+tan45∘cot30∘−2cos45∘=2(1−√32)+√3−2×√22=2−√3√3−√2=2−√3+√3+√2=2+√2.20. 【答案】(1) 由题意得 1+b −3=0，解这个方程得 b =2．∴这个抛物线的表达式是y=x2+2x−3．∴y=(x+1)2−4，则顶点M的坐标为(−1,−4)．(2) 由（1）得这个抛物线的对称轴是直线x=−1．设直线x=1与x轴的交点为点B，则点B的坐标为(−1,0)，且∠MBA=90∘．在Rt△ABM中，MB=4，AB=2，由勾股定理得AM2=MB2+AB2=16+4=20，即AM=2√5．∴sin∠OAM=MBAM =2√55．21. 【答案】(1) 由题意得∠ABC=90∘，i=1:2.4，在Rt△ABC中，i=ABBC =512，设AB=5x，则BC=12x，∴AB2+BC2=AC2，∴AC=13x，∵AC=13，∴x=1，∴AB=5．答：这个车库的高度AB为5米．(2) 由（1）得BC=12，在Rt△ABD中，cot∠ADC=DBAB，∵∠ADC=13∘，AB=5，∴DB=5cot13∘≈21.655(m)，∴DC=DB−BC=21.655−12=9.655≈9.7（米）．答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．22. 【答案】(1) ∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD=DC，同理CE=EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AB，∵AB=8，∴DE =4．(2) 过点 O 作 OH ⊥AB ，垂足为点 H ，OH =3，连接 OA ． ∵OH 经过圆心 O ， ∴AH =BH =12AB ，∵AB =8， ∴AH =4，在 Rt △AHO 中，AH 2+OH 2=AO 2， ∴AO =5，即圆 O 的半径为 5．23. 【答案】(1) ∵AD ∥BC ， ∴∠B =∠DAE ， ∵AB ⋅AD =BC ⋅AE ， ∴AB AE=BC AD，∴△CBA ∽△DAE ， ∴∠BAC =∠AED ．(2) 由 (1) 得 △DAE ∽△CBA ， ∴∠D =∠C ，AD BC=DE AC，∵∠AFE =∠D ， ∴∠AFE =∠C ， ∴EF ∥BC ， ∵AD ∥BC ， ∴EF ∥AD ， ∵∠BAC =∠AED ， ∴DE ∥AC ，∴ 四边形 ADEF 是平行四边形， ∴DE =AF ， ∴AD BC=AFAC ．24. 【答案】(1) 将 A (4,0)，B (2,2) 代入 y =ax 2＋bx ＋2，得：{16a +4b +2=0,4a +2b +2=2.解得：{a =−14,b =12∴抛物线的表达式为y=−14x2＋12x＋2．(2) ∵y=−14x2＋12x＋2=−14(x−1)2＋94，∴顶点M的坐标为(1,94)．当x=0时，y=−14x2＋12x＋2=2，∴点C的坐标为(0,2)．过点M作MH⊥y轴，垂足为点H，如图1所示．∴S△AMC＝S梯形AOHM−S△AOC−S△CHM，=12(HM＋AO)⋅OH−12AO⋅OC−12CH⋅MH，=12×(1＋4)×94−12×4×2−12×(94−2)×1，=32．(3) 连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，如图2所示．∵点B的坐标为(2,2)，点A的坐标为(4,0)，∴BG=2，GA=2，∴△BGA是等腰直角三角形，∴∠BAO=45∘．同理，可得：∠BOA=45∘．∵点C的坐标为(2,0)，∴BC=2，OC=2，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠DBO=45∘，BO=2√2，∴∠BAO=∠DBO．∵∠DOE=45∘，∴∠DOB＋∠BOE=45∘．∵∠BOE＋∠EOA=45∘，∴∠EOA=∠DOB，∴△AOE∽△BOD，∴AEBD =AOBO．∵抛物线y=−14x2＋12x＋2的对称轴是直线x=1，∴点D的坐标为(1,2)，∴BD=1，∴AE=√2，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，∴EF=AF=1，∴点E的坐标为(3,1)．25. 【答案】(1) ∵AE是AM和AN的比例中项，∴AMAE =AEAN，∵∠A=∠A，∴△AME∽△AEN，∴∠AEM=∠ANE，∵∠D=90∘，∴∠DCE+∠DEC=90∘，∵EM⊥BC，∴∠AEM+∠DEC=90∘，∴∠AEM=∠DCE，∴∠ANE=∠DCE．(2) ∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC+∠AEN=90∘，∵∠BAC=90∘，∴∠ANE+∠AEN=90∘，∴∠ANE=∠EAC，由（1）得∠ANE=∠DCE，∴∠DCE=∠EAC，∴tan∠DCE=tan∠DAC，∴DEDC =DCAD，∵DC=AB=6，AD=8，∴DE=92，∴AE=8−92=72，由（1）得∠AEM=∠DCE，∴tan∠AEM=tan∠DCE，∴AMAE =DEDC，∴AM=218，∴AN=143，∴MN=4924．(3) ∵∠NME=∠MAE+∠AEM，∠AEC=∠D+∠DCE，又∠MAE=∠D=90∘，由（1）得∠AEM=∠DCE，∴∠AEC=∠NME，当△AEC与以点E，M，N为顶点所组成的三角形相似时，① ∠ENM=∠EAC，如图2，∴∠ANE=∠EAC，由（2）得：DE=92；② ∠ENM=∠ECA，如图3，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，由（1）得∠ANE=∠DCE，∴∠ECA=∠DCE，∴HE=DE，又tan∠HAE=HEAH =DCAD=68，设DE=3x，则HE=3x，AH=4x，AE=5x，又AE+DE=AD，∴5x+3x=8，解得x=1，∴DE=3x=3．综上所述，DE的长分别为92或3．。

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AC=BC，
2021年上海市浦东新区初三一模数学试卷。

2021-2022学年上海市静安区九年级（上）期末数学试卷（一模）1.（单选题，4分）下列实数中，有理数是（）A. √3B.πC. √43D. √92.（单选题，4分）计算x÷2x2的结果是（）A. 2xB. 12xC. x2D.2x3.（单选题，4分）已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED || BC，如果AD：DB=1：4，ED=2，那么边BC的长是（）A.8B.10C.6D.44.（单选题，4分）将抛物线y=x2-2x向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（）A.（1，-1）B.（-1，1）C.（1，0）D.（0，0）5.（单选题，4分）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（）A.0＜sinA＜12B.0＜cosA＜√32＜tanA＜1C. √33D.1＜cotA＜√36.（单选题，4分）下列说法错误的是（）A.任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B.任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C.任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D.任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形7.（填空题，4分）-5的绝对值是___ ．8.（填空题，4分）如果 √3−x 在实数范围内有意义，那么实数x 的取值范围是 ___ ．9.（填空题，4分）已知 a 2 = b 3 ，那么 b−ab+a 的值是 ___ ．10.（填空题，4分）已知线段AB=2cm ，点P 是AB 的黄金分割点，且AP ＞PB ，那么AP 的长度是 ___ cm ．（结果保留根号）11.（填空题，4分）如果某抛物线开口方向与抛物线y= 12 x 2的开口方向相同，那么该抛物线有最 ___ 点．（填“高”或“低”）12.（填空题，4分）已知反比例函数y= 1x 的图象上的三点（-2，y 1）、（-1，y 2）、（1，y 3），判断y 1，y 2，y 3的大小关系：___ ．（用“＜”连接） 13.（填空题，4分）如果抛物线y=x 2+mx+4的顶点在x 轴上，那么常数m 的值是 ___ ．14.（填空题，4分）如果在A 点处观察B 点的仰角为α，那么在B 点处观察A 点的俯角为 ___ ．（用含α的式子表示）15.（填空题，4分）如图，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，点D 在边AC 上，BD=BC ，那么AD 的长是 ___ ． 16.（填空题，4分）在△ABC 中，DE || BC ，DE 交边AB 、AC 分别于点D 、E ，如果△ADE 与四边形BCED 的面积相等，那么AD ：DB 的值为 ___ ．17.（填空题，4分）如图，在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点G ，如果 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = b⃗ ，那么 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．（用含向量 a 、 b⃗ 的式子表示） 18.（填空题，4分）如图，正方形ABCD 中，将边BC 绕着点C 旋转，当点B 落在边AD 的垂直平分线上的点E 处时，∠AEC 的度数为 ___ ．19.（问答题，10分）计算： tan45°sin60°•cot30° - √(sin30°−1)2 +2cos 245°．20.（问答题，10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CH分别是AB边上的中线和，求AB、CH的长．高，BC= √14，cos∠ACD= 3421.（问答题，10分）我们将平面直角坐标系xOy中的图形D和点P给出如下定义：如果将图形D绕点P顺时针旋转90°得到图形D′，那么图形D′称为图形D关于点P的“垂直图形”．已知点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（0，1），△ABO关于原点O的“垂直图形”记为△A'B'O，点A、B的对应点分别为点A′、B′，（1）请写出：点A′的坐标为 ___ ；点B′的坐标为 ___ ；（2）请求出经过点A、B、B′的二次函数解析式；（3）请直接写出经过点A、B、A′的抛物线的表达式为 ___ ．22.（问答题，10分）据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处．金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K．与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE．射向地面的太阳光线可看作平行线（AC || DE）．此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米．求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度（结果均保留四个有效数字）．23.（问答题，12分）如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，QP⊥BP，QP交BD于点E．（1）求证：△APQ∽△DBR；的值．（2）当∠QED等于60°时，求AQDR24.（问答题，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx经过点A（2，0）和点B（-1，m），顶点为点D．（1）求直线AB的表达式；（2）求tan∠ABD的值；（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．25.（问答题，14分）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB=9，AE=6，AE2=AB•AD，且DC || AE．（1）求证：DE2=AE•DC；（2）如果BE=9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE=x，EF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．。

2021-2022学年上海市静安区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列实数中，有理数是()A. √3B. πC. √4D. √932.计算x÷2x2的结果是()A. 2x B. 12xC. x2D. 2x3.已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED//BC，如果AD：DB=1：4，ED=2，那么边BC的长是()A. 8B. 10C. 6D. 44.将抛物线y=x2−2x向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标是()A. (1,−1)B. (−1,1)C. (1,0)D. (0,0)5.如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是()A. 0<sin A<12B. 0<cosA<√32C. √33<tanA<1 D. 1<cotA<√36.下列说法错误的是()A. 任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B. 任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C. 任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D. 任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.−5的绝对值是______．8.如果√3−x在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是______．9.已知a2=b3，那么b−ab+a的值是______．10.已知线段AB=2cm，点P是AB的黄金分割点，且AP>PB，那么AP的长度是______cm.(结果保留根号)11. 如果某抛物线开口方向与抛物线y =12x 2的开口方向相同，那么该抛物线有最______点．(填“高”或“低”)12. 已知反比例函数y =1x 的图象上的三点(−2,y 1)、(−1,y 2)、(1,y 3)，判断y 1，y 2，y 3的大小关系：______.(用“<”连接)13. 如果抛物线y =x 2+mx +4的顶点在x 轴上，那么常数m 的值是______．14. 如果在A 点处观察B 点的仰角为α，那么在B 点处观察A 点的俯角为______.(用含α的式子表示)15. 如图，在△ABC 中，AB =AC =6，BC =4，点D 在边AC 上，BD =BC ，那么AD 的长是______．16. 在△ABC 中，DE//BC ，DE 交边AB 、AC 分别于点D 、E ，如果△ADE 与四边形BCED的面积相等，那么AD ：DB 的值为______．17. 如图，在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点G ，如果AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______.(用含向量a ⃗ 、b ⃗ 的式子表示) 18. 如图，正方形ABCD 中，将边BC 绕着点C 旋转，当点B 落在边AD 的垂直平分线上的点E 处时，∠AEC 的度数为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：tan45°sin60∘⋅cot30∘−√(sin30°−1)2+2cos 245°．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高，BC=√14，cos∠ACD=3，4求AB、CH的长．21.我们将平面直角坐标系xOy中的图形D和点P给出如下定义：如果将图形D绕点P顺时针旋转90°得到图形D′，那么图形D′称为图形D关于点P的“垂直图形”．已知点A的坐标为(−2,1)，点B的坐标为(0,1)，△ABO关于原点O的“垂直图形”记为△A′B′O，点A、B的对应点分别为点A′、B′，(1)请写出：点A′的坐标为______；点B′的坐标为______；(2)请求出经过点A、B、B′的二次函数解析式；(3)请直接写出经过点A、B、A′的抛物线的表达式为______．22.据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在地面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处．金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K.与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE.射向地面的太阳光线可看作平行线(AC//DE).此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米．求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度(结果均保留四个有效数字)．23.如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P，QP⊥BP，QP交BD于点E．(1)求证：△APQ∽△DBR；(2)当∠QED等于60°时，求AQ的值．DR24.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx经过点A(2,0)和点B(−1,m)，顶点为点D．(1)求直线AB的表达式；(2)求tan∠ABD的值；(3)设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．25.如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB=9，AE=6，AE2=AB⋅AD，且DC//AE．(1)求证：DE2=AE⋅DC；(2)如果BE=9，求四边形ABCD的面积；(3)如图2，延长AD、BC交于点F，设BE=x，EF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、√3是无理数，不符合题意；B、π是无理数，不符合题意；C、√4=2，是有理数，符合题意；D、√93是无理数，不符合题意．故选：C．利用有理数的定义判断即可．此题考查了实数，以及有理数，整数和分数统称为有理数．2.【答案】B【解析】解：原式=(1÷2)(x÷x2)=12⋅1 x=12x，故选：B．根据整式的除法法则计算即可得出答案．本题考查了整式的除法，掌握单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：如图，∵DE//BC，∴△EAD∽△CAB，∴EDBC =ADAB，∵ADDB =14，DE=2，∴ADAB =13，∴2BC =13，∴BC=6．故选：C．根据相似三角形的判定定理得出△EAD∽△CAB，根据相似三角形的性质求出即可．本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出△EAD∽△CAB是解此题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵y=x2−2x=(x−1)2−1，∴抛物线y=x2−2x的顶点坐标是(1,−1)，则其向左平移1个单位，再向上平移1个单位后的顶点坐标是(0,0)．故选：D．根据二次函数图象的平移规律(左加右减，上加下减)进行解答即可．本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．5.【答案】A【解析】解：A.∵sin30°=12，∴0<sin25°<12，故A符合题意；B.∵cos30°=√32，∴cos25°>√32，故B不符合题意；C.∵tan30°=√33，∴tan25°<√33，故C不符合题意；D.∵cot30°=√3，∴cot25°>√3，故D不符合题意；故选：A．根据30°的三角函数值，以及锐角三角函数的增减性判断即可．本题考查了特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：A、任意一个直角三角形被斜边的中线分割成两个等腰三角形，说法正确；B、有的等腰三角形不能分割成两个等腰三角形，说法错误；C、任意一个直角三角形可以被斜边的高分割成两个直角三角形，说法正确；D、任意一个等腰三角形可以被底边上的高分割成两个直角三角形，说法正确；故选：B．根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质判断即可．此题考查三角形，关键是根据等腰三角形的判定和直角三角形的性质解答．7.【答案】5【解析】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|−5|=5．绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．解题的关键是掌握绝对值的性质．8.【答案】x≤3【解析】解：由题意得：3−x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．9.【答案】15【解析】解：设a2=b3=k，∴a=2k，b=3k，∴b−ab+a =3k−2k3k+2k=k5k=15，故答案为：15．利用设k法即可解答．本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．10.【答案】(√5−1)【解析】解：由于P为线段AB=2cm的黄金分割点，且AP是较长线段，则AP=2×√5−12=(√5−1)cm．故答案为：√5−1．根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=√5−12AB，代入数据即可得出AP的长度．本题主要考查了理解黄金分割点的概念，熟记黄金比的值进行计算，难度适中．11.【答案】低【解析】解：∵y=12x2中12>0，∴抛物线开口向上，∴抛物线有最低点．故答案为：低．由12>0可得抛物线开口向上，有最低点．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12.【答案】y2<y1<y3【解析】解：∵点(−2,y1)、(−1,y2)、(1,y3)是反比例函数y=1的图象上的三点，x∴y1=−1，y2=−1，y3=1，2∴y1、y2、y3的大小关系是y2<y1<y3，故答案为：y2<y1<y3．的图象上的三点(−2,y1)、(−1,y2)、(1,y3)，求得三个点的纵坐先根据反比例函数y=1x标，再比较大小．本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．13.【答案】±4【解析】解：由题意可得Δ=b2−4ac=0，即m2−16=0，解得m=±4．故答案为：±4．由抛物线顶点在x轴上可得判别式Δ=0，进而求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与x轴交点个数与Δ之间的关系．14.【答案】α【解析】解：如图：A、B两点的水平线分别为AM、BN，由题意得：AM//BN，∠BAM=α，∴∠ABN=∠BAM=α，∴如果在A点处观察B点的仰角为α，那么在B点处观察A点的俯角为α，故答案为：α．根据题目的已知条件画出图形即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件画出图形去分析是解题的关键．15.【答案】103【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC，∴∠ABC=∠BDC，∵∠ACB=∠BCD，∴△ABC∽△BDC，∴ABBC =BCDC，即64=4DC，∴DC=83，∴AD=AC−AD=6−83=103．故答案为：103．利用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，∠C=∠BDC，则∠ABC=∠BDC，于是可判断△ABC∽△BDC，然后利用相似比计算出CD的长，最后计算AC−AD即可．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，灵活利用相似比进行几何计算．也考查了等腰三角形的性质．16.【答案】√2+1【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2，∵△ADE与四边形BCED的面积相等，∴(AD AB )2=12， ∴AD AB =√22， ∴AD DB=√22−√2=√2+1．故答案为：√2+1．先证明△ADE∽△ABC ，利用相似三角形的性质得到S △ADES △ABC=(AD AB )2=12，则AD AB=√22，然后利用比例的性质得到ADDB 的值．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，灵活利用相似比进行几何计算．17.【答案】23a ⃗ +43b ⃗【解析】解：在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点G ， ∴点G 为△ABC 的重心，∴GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ ，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ +13a ⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ +43b ⃗ ． 故答案为：23a ⃗ +43b ⃗ ． 由重心的性质可得GD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用三角形法则，即可求得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的长，又由中线的性质，即可求得答案．此题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．18.【答案】45°或135°【解析】解：如图，当点E在BC的上方时，连接BE∵MN是AD的垂直平分线，四边形ABCD是正方形，∴MN垂直平分BC，∴BE=EC，∵将边BC绕着点C旋转，∴BC=CE，∴△BEC是等边三角形，∴∠EBC=∠BEC=60°，∴∠ABE=30°，∵AB=BC=BE，∴∠AEB=75°，∴∠AEC=75°+60°=135°；当点E′在BC的下方时，同理可得△BE′C是等边三角形，∴BC=BE′，∠BE′C=60°=∠CBE′，∴∠ABE′=150°，∵AB=BC=BE′，∴∠AE′B=15°，∴∠AE′C=45°，故答案为：45°或135°．分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得△BEC是等边三角形，由等腰三角形的性质可求解．本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．19.【答案】解：tan45°sin60∘⋅cot30∘−√(sin30°−1)2+2cos 245°=1√32×√3−|12−1|+2×(√22)2=23−12+1 =76．【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20.【答案】解：过D 作DE ⊥AC 于E ，则∠AED =∠CED =90°，∵∠ACB =90°， ∴∠AED =∠ACB ， ∵DE//BC ，∵CD 是△ABC 的中线， ∴AD =BD ， ∴CE =AE ， ∵BC =√14， ∴DE =12BC =√142， ∵cos∠ACD =CECD =34， ∴设CE =3x ，CD =4x ，由勾股定理得：DE =√CD 2−CE 2=√(4x)2−(3x)2=√7x ， 即√7x =√142， 解得：x =√22，∴AE =CE =3x =3√22， 即AC =AE +CE =3√2，由勾股定理得：AB =√AC 2+BC 2=√(3√2)2+(√14)2=4√2， ∵S △ABC =12×AC ×BC =12×AB ×CH ，∴12×3√2×√14=12×4√2×CH ， 解得：CH =3√144， 即AB =4√2，CH =3√144．【解析】过D 作DE ⊥AC 于E ，求出AE =CE ，求出DE 解直角三角形求出CE ，求出AC ，再根据勾股定理求出AB ，再根据三角形的面积公式求出CH 即可．本题考查了解直角三角形，三角形的面积，勾股定理等知识点，能求出AC 的长是解此题的关键．21.【答案】(1,2) (1,0) y =13x 2+23x +1【解析】解：(1)如图，由旋转可得A′B′=AB =2，OB′=OB =1， ∴点A′坐标为(1,2)，点B′坐标为(1,0)． 故答案为：(1,2)，(1,0)．(2)设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ，将(−2,1)，(0,1)，(1,0)代入y =ax 2+bx +c 得{1=4a −2b +c1=c 0=a +b +c，解得{a =−13b =−23c =1，∴y =−13x 2−23x +1．(3)设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ，将(−2,1)，(0,1)，(1,2)代入y =ax 2+bx +c 得{1=4a −2b +c1=c 2=a +b +c，解得{a =13b =23c =1，∴y =13x 2+23x +1．故答案为：y =13x 2+23x +1．(1)由旋转可得A′B′=AB =2，OB′=OB =1，进而求解． (2)通过待定系数法求解． (3)通过待定系数法求解．本题考查待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握图形旋转的性质，掌握待定系数法求函数解析式．22.【答案】解：由题意得：BK =12FG =12×160=80(米)，∴BC =BK +KC =80+250=330(米)， ∵射向地面的太阳光线看作平行线， ∴AB BC=DOOE，即AB 330=1.22.7， 解得：AB =4403≈146.7，∴斜坡AK 的坡度=AB BK=440380≈1.833，答：高度AB 约为146.7米，斜坡AK 的坡度约为1.833．【解析】根据题意求出BK ，进而求出BC ，根据平行投影列出比例式计算求出AB ，根据坡度的概念求出斜坡AK 的坡度．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题、平行投影，掌握坡度的概念是解题的关键．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA =OC =12AC ，OB =OD =12BD ，AC =BD ，∠QAP =∠BDR =45°， ∴∠BOC =∠DOC =90°，OA =OB ，∴∠OBP+∠OPB=90°，∵QP⊥BP，∴∠QPB=90°，∴∠OPB+∠QPA=90°，∴∠APQ=∠DBR，∴△APQ∽△DBR；(2)解：由(1)可得△APQ∽△DBR，∴AQDR =APDB，∵∠QED=60°，∴∠BEP=∠QED=60°，∴∠OPE=90°−∠BEP=30°，∴PE=2OE，OP=√3OE，设OE为a，则EP=2a，OP=√3a，在Rt△BEP中，BE=PEcos60∘=2a12=4a，∴OB=BE−OE=4a−a=3a，∴BD=2OB=6a，∵OA=3a，OP=√3a，∴AP=OA+OP=3a+√3a，∴APBD =3a+√3a6a=3+√36，∴AQDR =3+√36．【解析】(1)利用正方形的性质可得∠QAP=∠BDR=45°，AC⊥BD，根据已知QP⊥BP，利用同角的余角相等可得∠APQ=∠DBR，即可解答；(2)由(1)可得△APQ∽△DBR，从而可得AQDR =APDB，根据已知可得∠BEP=60°，设OE为a，然后在Rt△OEP中，表示出OP=√3a，EP=2a，从而在Rt△BEP中求出BE=4a，进而求出OB，然后进行计算即可解答．本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．24.【答案】解：(1)将A(2,0)代入y =x 2+bx ，∴4+2b =0， ∴b =−2， ∴y =x 2−2x ，将B(−1,m)代入y =x 2−2x ， ∴m =3， ∴B(−1,3)，设直线AB 的解析式为y =kx +b ， ∴{−k +b =32k +b =0，∴{k =−1b =2，∴y =−x +2；(2)∵y =x 2−2x =(x −1)2−1， ∴D(1,−1)，∴AD =√2，AB =2√5，BC =3√2，∵AB 2=AD 2+BC 2， ∴△ABD 是直角三角形， ∴tan∠ABD =ADAB =13；(3)设直线BD 的解析式为y =k 1x +b 1， ∴{k 1+b 1=−1−k 1+b 1=3， ∴{k 1=−2b 1=1， ∴y =−2x +1， 令y =0，则x =12， ∴P(12,0)， 设C(t,0)，如图1，当∠ABC =∠APB 时，△ABC∽△APB ， ∴∠ACB =∠ABP过B 点作BQ ⊥x 轴交于点Q ， ∴tan∠BCQ =13=3CQ ，∴CQ=9，∴CO=10，∴C(−10,0)；当C点与P点重合时，△ABC≌△ABP，此时C(12,0)；综上所述：C点坐标为(−10,0)或(12,0)．【解析】(1)将A(2,0)代入y=x2+bx，求出抛物线解析式，再将B(−1,m)代入y=x2−2x，求出m的值，然后用待定系数法求直线AB的解析式即可；(2)利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；(3)求出P点坐标(12,0)，设C(t,0)，当∠ABC=∠APB时，△ABP∽△APC，过B点作BQ⊥x轴交于点Q，则tan∠BCQ=13=3CQ，求出CQ=9，即可求C(−10,0)；当P点与C点重合时，△ABC≌△ABP，即可求C点坐标．本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，利用分类讨论，数形结合思想是解题的关键．25.【答案】(1)证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∵AE2=AB⋅AD，∴ABAE =AEAD，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB=∠ADE，∵DC//AE，∴∠AEB=∠DCE，∠AED=∠CDE，∴∠ADE=∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴AEDE =DEDC，∴DE2=AE⋅DC；(2)解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE=9=AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由(1)可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2=AB⋅AD，AB=BE=9，AE=6，∴AD=4，DE=6，CE=4，AG=3，∴△ADE≌△ECD(SAS)，在Rt△ABG中，BG=√AB2−AG2=√92−32=6√2，∴S△ABE=12×AE×BG=12×6×6√2=18√2，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED=9：4，∴S△AED=S△CDE=8√2，∴S四边形ABCD=S△ABE+S△AED+S△CDE=18√2+8√2+8√2=34√2；(3)解：如图3，由(1)知：△ABE∽△AED，∴ABBE =AEDE，∵BE=x，AB=9，AE=6，AE2=AB⋅AD，AD=4，∴9x =6DE，∴DE=23x，由(1)知：DE2=AE⋅DC，∴DC=227x2，∵△ADE∽△ECD，∴ADAE =CEDE=23，∴CE=49x，∵DC//AE，∴△AEF∽△DCF，∴CFEF =DCAE=x281，∴CF=x281EF，∴CEEF =EF−CFEF=EF−x281EFEF=81−x281，∴y=EF=8181−x2CE=8181−x2×49x=36x81−x2，∵{x>0y>0x+AE>AB即{x>0y>0x+6>9，∴3<x<9，∴y关于x的函数解析式为y=36x81−x2，定义域为3<x<9．【解析】(1)先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB=∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE=∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；(2)如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD(SAS)，再求得S△ABE=12×AE×BG=18√2，根据△ABE∽△AED且相似比为3：2，可求得S△AED=S△CDE=8√2，由S四边形ABCD=S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；(3)由△ABE∽△AED，可求得：DE=23x，进而得出DC=227x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE=49x，再利用DC//AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF=x281EF，再结合题意得出答案．本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．。

2021年上海市嘉定区中考一模数学试卷一、选择题（共6小题；共18分）1. 如果实数a，b，c，d满足ab =cd，下列四个选项中，正确的是( )A. a+bb =c+ddB. aa+b=cc+dC. a+cb+d=cdD. a2b=c2d2. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(1,3)，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0∘<α<90∘），那么tanα的值是( )A. √1010B. 13C. 3√1010D. 33. 抛物线y=2x2−3的顶点坐标是( )A. (2,−3)B. (2,3)C. (0,−3)D. (0,3)4. 已知单位向量e⃗与非零向量a⃗，b⃗⃗，下列四个选项中，正确的是( )A. ∣a⃗∣e⃗=a⃗B. ∣e⃗∣b⃗⃗=b⃗⃗C. 1∣a⃗⃗∣a⃗=e⃗ D. 1∣a⃗⃗∣a⃗=1∣b⃗⃗∣b⃗⃗5. 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，CD⊥AB，垂足为D．下列四个选项中，不正确的是( )A. ACAB =√32B. BCCD=√32C. BDCD=√33D. BCAC=√336. 二次函数y=a(x+m)2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是( )A. m<0，k<0B. m<0，k>0C. m>0，k<0D. m>0，k>0二、填空题（共12小题；共48分）7. 正方形的边长与它的对角线的长度的比值为．8. 如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，那么BPAP的比值是．9. 如图，点D在△ABC的AB边上，当ADAC=时，△ACD与△ABC相似．10. 已知向量关系式2a⃗+6(b⃗⃗−x⃗)=0⃗⃗，那么向量x⃗=．（用向量a⃗与向量b⃗⃗表示）11. 如图，飞机P在目标A的正上方，飞行员测得目标B的俯角为30∘，那么∠APB的度数为∘．12. 如果一个斜坡的坡度i=1:√3，那么该斜坡的坡角α的度数为∘．13. 如果抛物线y=(2a−1)x2的开口向下，那么实数a的取值范围是．14. 二次函数y=(x+1)2−3的图象与y轴的交点坐标为．15. 如果抛物线y=(x+m)2+k−2的顶点在x轴上，那么常数k为．16. 如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1，那么2a+b0．（从<，=，>中选择）17. 如图，正方形ABEF和正方形BCDE的边长相等，点A，B，C三个点在同一条直线上联结AD，BD，那么cot∠ADB的值为．（如图），把△ABC绕着点C按顺时针18. 已知在△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，sinB=√55方向旋转a∘(0<a<360)，将点A，B的对应点分别记为点Aʹ，Bʹ，如果△AAʹC为直角三角形，那么点A与点Bʹ的距离为．三、解答题（共7小题；共84分）19. 计算：2sin45∘+2sin60∘−tan60∘⋅tan45∘．20. 我们已经知道二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线．研究二次函数的图象与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点）的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）．已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示．（1）你可以获得该二次函数的哪些信息?（写出四条信息即可）（2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗?如果可以，请求出这个二次函数的解析式；如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式．21. 如图，已知AC与BD相交于点O，连接AB．（1）如果AD∥BC，S△AOD=4，S△BOC=9，求：S△ABO．（2）分别将△AOD，△AOB，△BOC的面积记为S1，S2，S3，如果S2是S1与S3的比例中项，求证：AD∥BC．22. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinB=45．（1）求边BC的长度；（2）求cosA的值．23. 如图，已知矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．△ABC的高AH交GF于点I．（1）求证：BD⋅EH=DH⋅CE；（2）设DE=n⋅EF（n为正实数），求证：nBC +1AH=1EF．24. 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A(−1,2)，点B(1,6)，点C(1,4)．如果抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)恰好经过这三个点之中的两个点．（1）试推断抛物线y=ax2+bx+3经过点A，B，C之中的哪两个点?简述理由；（2）求常数a与b的值；（3）将抛物线y=ax2+bx+3先沿与y轴平行的方向向下平移2个单位长度，再沿与x轴平行的方向，向右平移t(t>0)个单位长度，如果所得到的新抛物线经过点C(1,4)．设这个新抛物线的顶点是D，试探究△ABD的形状（写出简要的计算与推理过程）．25. 在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E在CD边上，tan∠DAE=12．点F是线段AE上一点，连接BF，CF．（1）如图1，如果tan∠CBF=34，求线段AF的长．BC，（2）如图2，如果CF=12①求证：∠CFE=∠DAE；②求线段EF的长．答案第一部分1. A2. D3. C4. B5. B6. A第二部分7. √22；8. √5−129. ACAB10. x⃗=13a⃗+b⃗⃗11. 60；12. 3013. a<1214. (0,−2)15. 216. =17. 318. 2√5或6√5．第三部分19.2sin45∘+2sin60∘−tan60∘⋅tan45∘=2×√22+2×√32−√3×1=√2+√3−√3=√2.20. （1）①抛物线的开口向下（或者a<0），②抛物线的顶点坐标为(2,7)，③抛物线的对称轴为直线x=2，④沿x轴的正方向看：直线x=2的左侧，图象是上升的（或y的值随着x的值的增大而增大）；在直线x=2的右侧，图象是下降的（或y的值随着x的值的增大而减小），⑤b>0，⑥c>0，⑦a+b+c>0，⑧a−b+c>0，⑨4a+b=0等信息．（2）补充条件：C(0,3)，由题意得，该抛物线的顶点坐标为D(2,7)，故而可设该抛物线的表达式为y=a(x−2)2+7因为C(0,3)在该抛物线上，所以3=a(0−2)2+7，解得a=−1故所求的二次函数的解析式为y=−(x−2)2+7或y=−x2+4x+3．21. （1）∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB．∴S△AODS△COB =(ODOB)2．又∵S AOD=4，S△BOC=9，∴49=(ODOB)2．∴ODOB =23．（负值已舍）设点A到直线BD的距离为ℎ，易得S△AOD=12OD⋅ℎ，S△AOB=12OB⋅ℎ，∴S△AODS△AOB =ODOB．将ODOB =23，S△AOD=4代入，得4S△AOB=23，解得S△AOB=6．（2）设点A到直线BD的距离为ℎ，易得S△AOD=12OD⋅ℎ，S△AOB=12OB⋅ℎ，∴S1S2=ODOB．同理，S2S3=OAOC，又∵S2是S1与S3的比例中项，∴S1S2=S2S3．∴ODOB =OAOC．∴AD∥BC．22. （1）过点A作AD⊥BC，垂足为D（如图所示），在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12BC．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90∘，AB=10，sinB=45，∴∴AD=AB⋅sinB=10×45=8．∴BD=√AB2−AD2=√102−82=6．∴BC=2BD=12．（2）∴cos∠BAC=AHAC =145÷10=725．23. （1）∵四边形DEFG是矩形，∴∠EDG=90∘．又∵∠AHC=90∘，∴∠AHC=∠EDG．∴GD∥AH．∴BDDH =BGAG．同理可得EF∥AH，CEEH =CFAF．∵矩形DEFG的边DE在△ABC的边BC上，∴GF∥BC .∴BGAG =CFAF．∴BDDH =CEEH，即BD⋅EH=DH⋅CE．（2） 在 △ABC 中，∵GF ∥BC ，∴GF BC =AFAC , ⋯⋯① 在 △ACH 中，∵EF ∥AH ，∴EFAH =FCAC , ⋯⋯② ① + ②，GFBC +EFAH =AFAC +FC AC ． 又 ∵AFAC +FCAC =AF+FC AC=ACAC =1，∴GFBC +EFAH =1．∵GF =DE =n ⋅EF ，∴n⋅EF BC+EFAH =1．∴n BC+1AH=1EF．24. （1） 抛物线 y =ax 2+bx +3 经过点 A 与点 B ． 理由如下：∵ 点 B (1,6) 与点 C (1,4) 的横坐标相同、纵坐标不同，∴ 点 B 与点 C 不可能同时出现在函数 y =ax 2+bx +3 的图象上． ∵ 当 x =0 时，y =ax 2+bx +3=3， ∴ 点 (0,3) 在抛物线 y =ax 2+bx +3 上．设经过点 M (0,3) 与点 A (−1,2) 的直线表达式为 y =kx +b ， 将 A (−1,2)，M (0,3) 代入 y =kx +b ， 易得 b =3，k =1，进而得到 y =x +3． ∵ 当 x =1 时，y =x +3=4， ∴ 点 C (1,4) 在直线 y =x +3 上．∴ 点 A (−1,2)，M (0,3)，C (1,4) 不可能同时出现在函数 y =ax 2+bx +3 的图象上． （2） 由抛物线 y =ax 2+bx +3 经过点 A (−1,2) 与点 B (1,6)， 易得 {a −b +3=2,a +b +3=6,解这个方程组，得 {a =1,b =2.（3） 由第（2）小题可知，抛物线的表达式为 y =x 2+2x +3． 即 y =(x +1)2+2，顶点坐标为 (−1,2)．将该抛物线向下平移 2 个单位长度，再向右平移 t 个单位长度，所得表达式为 y =(x +1−t )2． ∵ 点 C (1,4) 在抛物线 y =(x +1−t )2 上， ∴4=(1+1−t )2．解得 t 1=0（不合题意，舍去），t 2=4． 得 y =(x −3)2， ∴ 顶点 D 的坐标为 (3,0)．易得 AD =2√5，AB =2√5，BD =2√10，AD 2+AB 2=BD 2， 由 AD 2+AB 2=BD 2 可得 ∠BAD =90∘，△ABD 是直角三角形； 由 AD =2√5=AB ，可得 △ABD 是等腰三角形． 综上，△ABD 是等腰直角三角形． 25. （1） 过点 F 作 FH ⊥AB ，垂足为 H ．得 FH ∥BC ∥AD ，∠BFH =∠CBF ，∠AFH =∠DAE ． ∵tan∠EAD =12，tan∠CBF =34， ∴tan∠AFH =12，tan∠BFH =34．在 Rt △BFH 中，设 BH =3k ，由 tan∠BFH =34 易得 FH =4k ．在 Rt △AFH 中，由 FH =4k ，tan∠AFH =12 易得 AH =2k ，AF =√5k ．又 ∵AB =6，∴2k +3k =6，解得 k =65． ∴AH =125，AF =125√5．（2） ①如图 2，延长 AE 交 BC 的延长线于 G ．易得 AD ∥BG ，∠DAE =∠G ，AD CG =DE CE，在 Rt △ADE 中，∵∠D =90∘，tan∠EAD =12，AD =8，∴DE =AD ⋅tan∠EAD =4，CE =CD −DE =6−4=2． ∴8CG =42．解得 CG =4． 又 ∵CF =12BC =4，∴CG =CF ， ∴∠CFG =∠G ． ∴∠CFE =∠DAE ．②如图 3，连接 BD 交 AE 于 P ，类似（1）可求 AP =125√5．∵AB∥CD，∴DPBP =ABDE．将AB=6，DE=4代入，得DPBP =32．又∵BD=10，∴DP=DE=4．∴∠DPE=∠DEP．又∵∠APD=180∘−∠DPE，∠CEF=180∘−∠DEP，∴∠APD=∠CEF．又∵∠CFE=∠DAE，∴△CEF∽△APD．∴APEF =DPCE．将AP=125√5，DP=4，CE=CD−DE=2代入，得EF=65√5．。

2021学年第一学期期末考试九年级数学试卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 如果32=b a ，且b 是a 和c 的比例中项，那么cb 等于（ ） （A ）43； （B ）34； （C ）23； （D ）32.2. 在比例尺为1:5000的地图上，如果A 、B 两地间的距离是10厘米，那么这两地的实际 距离是（ ）（A ）50000米； （B ）5000米； （C ）500米； （D ）50米.3. 已知c 为非零向量，c a 2=，c b3−=，那么下列结论中，不．正确的是（ ） （A ）|b ||a |32=；（B ）32a b =−；（C ）023=+b a ； （D ）b a ∥.4. 如图，已知Rt △ABC ，CD 是斜边AB 边上的高，那么下列 结论正确的是（ ）（A ）B AB CD tan ⋅=； （B ）A AD CD cot ⋅=； （C ）B AC CD sin ⋅=； （D ）A BC CD cos ⋅=.5. 把抛物线()312+−=x y 向左平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式为（ ） （A ）()512+−=x y ； （B ）()112+−=x y ； （C ）()312++=x y ； （D ）()332+−=x y . 6. 下列格点三角形中，与右侧已知格点△ABC 相似的是 （ ）.（A ） （B ） （C ） （D ）（第4题）二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7. 已知点B 在线段AC 上，AB =2BC ，那么AC ∶AB 的比值是 . 8. 如果y y x −的值是黄金分割数，那么yx的值为 . 9. 计算：°+°45cos 30sin 22= .10. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果43=BCAC ，那么A sin 的值是 .11. 已知二次函数1312−+=x x y ，当3−=x 时，函数y 的值是 . 12. 据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y 万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为x （x >0），那么y 关于x 的函数解析式为 .13. 如果抛物线122−++=m x x y 的顶点在x 轴上，那么m 的值是 .14. 已知△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点F . 如果AF =10，那么AD 的长为 . 15. 如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽AD 为3米，路基高为1米，斜坡AB 的坡度i =1:1.5，那么路基的下底宽BC 是 米.16. 如图，已知一张三角形纸片ABC ，AB =5，BC =2，AC =4，点M 在AC 边上. 如果过点M剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸片，可以有四种不同的剪法，设AM=x ，那么x 的取值范围是 .17. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 在CD 边上，联结AP . 如果将△ADP 沿 直线AP 翻折，点D 恰好落在线段BC 上，那么ABCPADPS S 四边形△的值为 .18. 如果一条抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征三角形”. 已知()02>+=b bx x y 的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么b 的值为 .（第16题）（第15题）（第17题）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6.（1）求tan B 的值；（2）延长BC 至点D ，联结AD ，如果∠ADB =30°，求CD 的长.20. （本题满分10分）如图，已知在四边形ABCD 中，F 是边AD 上一点，AF =2DF ，BF 交AC 于点E ， 又14AF BC = ．（1）设AB a = ，AD b =，用向量a 、b 表示向量BF = ，AC =；（2）如果∠ABC =90°，AD =3，AB =4，求BE 的长.21. （本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图像的顶点为A ()21,−，且经过B ()03,−. （1）求二次函数的解析式；（2）将该二次函数图像向右平移几个单位，可使平移后所得图像经过坐标原点？并直接写出平移后所得图像与x 轴的另一个交点的坐标.如图，小杰在湖边高出水面MN 约10米的平台A 处发现一架无人机停留在湖面上空的点P 处，该无人机在湖中的倒影为点'P .小杰测得点P 的仰角为45°，点'P 的俯角为60°，试求该无人机离开湖面的高度.（结果保留根号）23.（本题满分12分）如图，已知△ABC 和△DCE 都是等边三角形，点B 、C 、E 在同一直线上，联结BD 交AC 边于点F .（1）如果∠ABD =∠CAD ，求证：DB DF BF ⋅=2； （2）如果FC AF 2=，18=ABCD S 四边形，求DCE S △的值.24.（本题满分12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02≠++=a c bx ax y 经过点A （1−，0）、B （3，0）、C （0，3），顶点为点D . （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结BD 、CD ，试判断△BCD 与△AOC 是否相似，并证明你的结论；（3）抛物线上是否存在点P ，使得∠P AC =45°.如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由.MN P如图，已知正方形ABCD ，将边AD 绕点A 逆时针方向旋转°n （900<<n ）到AP 的位置，分别过点C 、D 作CE ⊥BP ，DF ⊥BP ，垂足分别为点E 、F . （1）求证：CE =EF ；（2）联结CF ，如果31=CF DP ，求∠ABP 的正切值；（3）联结AF ，如果AB AF 22=，求n 的值.DABECPF参考答案一、选择题：（大题共6题，每题4分，满分24分）1．D ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6. A ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.23； 8. 215+； 9. 43 ； 10. 54； 11. ﹣1 ； 12. 2)1(100x y +=； 13. 2； 14. 15； 15. 6； 16. 43＜x ≤； 17. 135； 18. 2. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分） 解：（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ……………………………………1分∵AB=AC ，∴BH=21BC=3 ……………………………………1分 Rt △ABH 中，由勾股定理得AH=4 ……………………………1分 ∴tan B=34=BH AH …………………………………………………2分 （2）Rt △AHD 中，∵∠D =30°，∴tan D=33=HD AH . …………………1分 ∴HD=34…………………………………………………………2分∴CD=HD －HC=334−……………………………………………2分20. （本题满分10分） 解：（1）b a32+−；b a38+. …………………………………………………4分（2）∵AD=3，AF=2DF ，∴AF=2. …………………………………………1分∵AF =，∴AD //BC ，41=BC AF ……………………………………2分∴41==BC AF BE EF ,∠DAB=∠ABC=90° ………………………………………1分 Rt △ABF 中，由勾股定理得52=BF ………………………………………1分 ∴558525454=×==BF BE………………………………………………1分 21.（本题满分10分，每小题满分各5分）解：（1）由顶点A （﹣1,2）设二次函数的解析式为2)1(2++=x a y…………2分∵二次函数图形经过点B （﹣3,0），∴02)13(2=++−a ，∴21−=a…………2分 ∴二次函数解析式为2)1(212++−=x y . ………………………………………1分 （2）∵B （﹣3,0）向右平移3个单位到达坐标原点，∴二次函数的图像向右平移3个单位后所得到的函数图像经过原点. ………………………………………………3分 平移后所得图像与x 的轴另一个交点坐标是（4,0）. ……………………………………2分 22.（本题满分10分）解：联结'PP ，与MN 交于点H ，过点A 作AG //MN ，交'PP 于点G …………1分 由题意得，'PP ⊥MN ，∠AGP =90°，∠AMN=90°，PH=H P '. AG=MH ，AM=GH=10m ，∠P AG=45°，∠AG P '=60°…………2分 设PG=x ，Rt △APG 中，∠P AG=45°，∴AG=PG=x .…………………2分 Rt △G AP '中，∠AG P '=60°，∴G P '=x 3.……………2分 ∵GH PH GH G P +=−'，∴10103+=−x x ，∴10310+=x .……………………………………………………2分 ∴PH=203101010310+=++.………………………………1分23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）（1）证：∵△ABC 和△CDE 为等边三角形，∴AB=AC ，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BAC=60°.∵∠ABD =∠CAD ，∴△ABF ≌△CAD ，∴DA=BF .……………………………2分 ∵∠ADF =∠BDA ，∴△DAF ∽△DBA ，………………………………………2分 ∴DADB DF DA =，∴DB DF DA ⋅=2，…………………………………………1分 ∴DB DF BF ⋅=2 (1)分（2）∵∠BAC =∠ACD =60°，∴DC //AB ，∴21==AF FC AB CD ， ∴21==AB CD S S BAC DAC △△…………………………………………………………………………2分∵18=ABCD S 四边形，∴121832=×=ABC S △.……………………………………………1分易证△ABC ∽△DCE ，∴41)(2==AB DC S S ABCDCE △△…………………………………………2分 31241=×=DCE S △.………………………………………………………………………1分24.（本题满分12分,每小题满分各4分）解：（1）∵)0(2≠++=a c bx ax y 经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0,3） 由题意得a=-1，b=2，c=3∴抛物线的表达式是322++−=x x y ………………………………………………………3分 ∴顶点D （1,4）………………………………………………………………………………1分 （2）过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H . 由D （1，4），得DH =1，HO=4.由A （﹣1，0）、C （0，3）得，AO =1，CO =3.∴HC=HO -CO=4-3=1，∴HC=HD=1，∴CD=2，∠HCD =45°.由B （3,0），得CO=BO=2，BC=23，∠OCB =45°.……………………………………1分 ∴∠DCB=180°-∠HCD -∠BCO =90°，∴∠AOC=∠DCB .………………………………1分 tan ∠CAO =AO CO =3，tan ∠BDC=DCBC=3，∴∠CAO =∠BDC .……………………………1分 ∴△BCD ∽△COA .……………………………………………………………………………1分 （3）过C 和B 分别作y 轴和x 轴的垂线，交于点M ，在BM 上取点Q ，使得MQ=AO ，∴Q （3，2），BQ=2.…………………………………1分 易证△CQM ≌△CAO ，∴∠ACO=∠QCM ，CA=CQ ，∴∠ACQ=90°.…………………1分 ∴∠CAQ=45°，∴AQ 与抛物线在第一象限内的交点即为点P . 设点P 的坐标是（m ，322++−m m ），且m ＞0. 过点P 作PG ⊥x 轴，垂足为G ，∴G （m ，0）， ∴AG=1+m ，322++−=m m PG ，tan ∠QAB=2142==AB QB ，∴tan ∠P AG=211322=+++−=m m m AG PG ，…………………1分 ∴05322=−−m m ，解得1−=m （不合题意，舍去），25=m ，∴点P 的坐标是)4725(，…………………1分25.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题满分各5分）解：（1）如图1，过点D 作DH ⊥EC ，垂足为H .…………………………………………1分 ∵DF ⊥BP ，CE ⊥BP ，∴∠DFE=∠FEC=∠DHE=90°，∴DH=EF .…………………1分 易证△BEC ≌△CHD ，∴DH=CE ，…………………………………………………………1分 ∴CE=EF . …………………………………………………………………………………1分 （2）如图2，易证∠ABP=∠CDH . ∵AB=AP ，∴∠ABP=∠APB=245°−°n ， 同理，∠APD=∠ADP=290°−°n ， ∴∠FPD=45°，∴FD=FP .…………………………………………………………………1分 ∵EF=EC ，∴1==EFECPF FD ，∴EF PF EC FD =.……………………………………………1分 ∵∠PFD=∠FEC=90°，∴△PFD ∽△FEC ，∴31==CF DP EF PF .……………………1分 设PF=x ，则EF=3x ，∴HC=2x ，tan ∠CDH=3232==x x DH HC .………………………… 1分（3）如图3，过点A 作AG ⊥BP ，垂足为G .……………………………………………… 1分 易证△P AF ≌△DAF ，∴∠P AF =2°n . ∵∠BAP=（90＋n ）°，∴∠GAP=45°＋2°n ，∴∠F AG=45°.……………………1分 设AG=a ，则AF=a 2.∵AB AF 22=，∴AB=2a .………………………………………………………… 1分 Rt △ABG 中，AB=2AG ，∴∠ABP=30°.………………………………………………… 1分图1图2图3。

2022学年九年级学业水平调研数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D ；2．B ；3．C ；4．A ；5．B ；6．C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．71；8．1<a ；9．9)1(2--=x y （或822--=x x y ）；10．>；11．）（0,1-；12．9；13．6；14．332000；15．b a --32；16．61；17．25；18．26103．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=2223112123313⨯+--⨯+⨯⨯．…………………………（6分）=)23(13--+．……………………………………………（3分）=21+．……………………………………………………………（1分）20．解：（1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==++335c b a c c b a …………………………………………（3分）可求得⎪⎩⎪⎨⎧==-=342c b a ………………………………………………………（2分）∴3422++-=x x y ……………………………………………………（1分）（2）由配方法可知：5122+--=）（x y ．…………………………………（2分）∴顶点坐标是）（5,1．……………………………………………………（2分）图921．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC AB BC AD BC AD ∥∥,,=．…………………………………（1分）∵点G 在BA 延长线上，∴DC GA ∥．∴ECGEED AE =．…………………（1分）∵AE DE 3=，12=CE ，∴1231GE =，…………………（1分）即4=GE ．…………………（1分）∵BC AD ∥，∴FCEFBC ED =．…………………………………………（1分）∵AE DE 3=，AD AE DE =+，∴43=AD ED ．………………………（1分）∵BC AD =，∴43==FC EF BC ED ．……………………………………（1分）∵EC FC EF =+，∴74=CE FC ．………………………………………（1分）∵12=CE ，∴7412=FC ，………………………………………………（1分）即748=FC ．………………………………………………………………（1分）22．解：（1）Rt △ABC 中，︒=∠45BFC ，2=BC ，BFBCBFC =∠tan ，…（1分）∴12=BF，即2=BF ．………………………………………………（1分）∵6=BD ，∴4=-=BF BD FD ．…………………………………（1分）Rt △DEG 中，︒=∠30G ，2=DE ，DGEDG =tan ，∴DG233=，即32=DG ．…（1分）∵DG FD FG +=，∴324+=FG （米）．（1分）（2）设x AH =，根据题意得x HF =，则2-=x BH ．…………………（1分）Rt △GHA 中，︒=∠30G ，∵324++=+=x FG HF GH ，∴324tan ++==x xGH AH G ，∴32433++=x x ，…………………………………………………（1分）∴2.10533≈+=x （米）．…………………………………………（2分）答：山峰高度AH 的长约为2.10米．………………………………………（1分）图8图1023．证明：（1）∵AC AB =，∴ACB ABC ∠=∠．…………………………………………………………（1分）∵ABC ∠、ACB ∠分别是△ADB 和△BCE 的外角，∴D DAB ABC ∠+∠=∠，E EBC ACB ∠+∠=∠…………………………（2分）∵EBC DAB ∠=∠，∴E D ∠=∠．………………………（1分）又EBC DBF ∠=∠，…………………（1分）∴△DBF ∽△EBC ．………………（1分）（2）∵EBC DBF ∠=∠，EBCDAB ∠=∠∴DAB DBF ∠=∠．…………………………………………………………（1分）∵D D ∠=∠，∴△DBF ∽△DAB ，………………………………………………………（1分）∴DBDFDA DB =，即DF DA DB ⋅=2．……………………………………（1分）在△ADB 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AB EBC DAB E D ∴△ADB ≌△BEC （S A A ..），…………………………………………（1分）∴EC BD =，……………………………………………………………（1分）∴DA DF EC ⋅=2．………………………………………………………（1分）24．解：（1）根据题意：⎩⎨⎧-=++=+-43941c b c b ，可求得⎩⎨⎧-=-=14c b ．……………（2分）∴抛物线表达式为142--=x x y ．………………………………………（1分）对称轴：直线2=x ．……………………………………………………（1分）（2）∵抛物线142--=x x y 与y 轴相交于点C ，∴C 点坐标是)1,0(-．（1分）作y BM ⊥轴，垂足为M ．作BC OH ⊥，交BC 的延长线于点H ．∵)4,3(-B ，∴3==BM CM ，23=BC ，∴︒=∠=∠45HCO MCB ．∵1=OC ，∴22==OH CH ，………（1分）∴2272223=+=+=CH BC BH ．……（1分）∴722227cot ===∠OH BH OBC ．……………（1分）（3）∵BC 为直角边，∴只可能有两种情况：︒=∠90PCB 或︒=∠90PBC ．设点P 坐标为)14,(2--x x x ①当︒=∠90PCB ，作y PQ ⊥轴，垂足为Q ．易得x PQ =，x x QC 42-=．∵︒=∠45MCB ，︒=∠90PCB ，∴︒=∠45QCP ，∴QC PQ =．……………（1分）∴x x x 42-=，可求得01=x （舍），52=x ．∴），（451P ……………（1分）②当︒=∠90PBC ，同理作BN PT ⊥，垂足为T ，作BN CK ⊥，垂足为K ．易得x PT -=3，342--=x x BT ．∵︒=∠45CBK ，︒=∠90PCB ，∴︒=∠45BPT ，∴BT PT =．…………（1分）∴3432--=-x x x ，可求得21=x ，32=x （舍）．∴），（522-P ……………（1分）∴综上所述，点P 的坐标是），（45或），（52-．25．解：（1）Rt △ABC 中，∵︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，4=AB ，∴︒=∠60A ，32=BC ，2=AC ．…………（1分）∵AB DM ⊥，∴︒=∠90ADM ．∵2=AC ，︒=∠60A ，∴3=MD ．…（1分）由题意易得：121===CA ED CE ．…………（1分）∴3=EDMD．…………………………………（1分）（2）由题意可知：DE CE =，DF CF =，︒=∠=∠90C EDF ，∴y DEDFCE CF ==．（1分）∵︒=∠+∠90FDB MDF ，︒=∠+∠90MDF EDM ，∴EDM FDB ∠=∠．Rt △ADM 中，∵︒=∠90ADM ，︒=∠60A ，x AD =，∴︒=∠30AMD ，DM 3=，∴AMD B ∠=∠，∴△FDB ∽△EDM ．……（1分）∴DMDBDE DF =．…………………………………………………………………………（1分）∵x AD =，4=AB ，∴x DB -=4．∴xxy 3334-=（1324≤<-x ）……（2分）（3）①当点M 在线段AC 上时，∵21=CE CM ，∴21==DE EM CE EM ．由(2)得△FDB ∽△EDM ，∴ED FD EM FB =，即21==ED EM FD FB ，∴21=FC FB ．…（1分）∵32=BC ，∴334==DF CF ，332=BF ．过点F 作AB FH ⊥，垂足为点H ．易得1=BH ，33=FH ，5=DH ．∴53-=AD ．…………………………（1分）②当点M 在AC 的延长线上时，∵21=CE CM ，∴32==ME DE ME CE ．由题意易证B M ∠=∠，FDB EDM ∠=∠，∴△EDM ∽△FDB ．…………（1分）∴FB EM FD ED =，即23==ED EM FD FB ，∴23=FC FB ．………………………………（1分）∵32=BC ，∴534==DF CF ，536=BF ．过点F 作AB FG ⊥，垂足为点G ．易得59=BG ，533=FG ，521=DG ．∴52111-=AD ．……………………（1分）综上，53-=AD 或52111-．。

2021学年初三第一学期期末嘉定区答案2021学年嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一、1.C；2.D；3.A；4.C；5.B；6.A.二、7.3； 8.y?(x?1)2； 9.1； 10.y??x2等； 11.2； 12.26；13.32； 14.?1； 15.a?3112b； 16.6； 17.12； 18.12或43.三、19.设该二次函数的解析式为y?ax2?bx?c(a?0) ………………………………1分由这个二次函数过(0,?4)，可知：c??4 ………………………………………1分再由二次函数的图像经过(1,1)、(2,4)，得：??a?b?c?1?4a?2b?c?4……………………………………………………………………1分?a??1 解这个方程，得? (2)分b?6? 所以，所求的二次函数的解析式为y??x2?6x?4.……………………………1分该图像的对称轴是：直线x?3 ……………………………………………………2分该图像的顶点坐标是：(3,5) ………………………………………………………2分20.解：过点D作DE?BC，垂足为E………………1分由题意，得：AB?DE?4……………………1分AD?BE?3……………………1分在Rt△DEC中，CE2?DE2?CD2.........1分∵DC?5 ∴CE?3 (1)分∵BC?BE?EC ∴BC?6……………2分∵tan?C?∴tan?C?DEEC43A D …………………1分BEC ……………………2分ADAC?DEBC21.解：∵DE//BC ∴……………………1分5AC?46A 又DE?4，BC?6，AD?5∴ ∴AC?152………1分E BCD……………………………1分5 ∴DC?AC?AD? ∵DE//BC∴AE?2DE………………1分ABBC∵BD平分?ABC ∴?EBD??DBC………………1分∴?EBD??EDB………………1分∴DE?BE?4…………………1分AE4?……………………1分∴AE?46∴AE?8…………………………1分∴?DBC??EDB………1分122. 解：过点D作DH?AB，垂足为H…………1分由题意，得：EH?DC，HD?EC?30……1分 ?BCE?10?，?ADH?30?……1分在Rt△BEC中，tan?BCE? ∴tan10??BE30BECEA30?H B E 10?D………………1分∴BE?30?tan10?∴BE?5.4……………………1分∵AB?30C ∴AE?35.4……………………………………………1分在Rt△AHD中，tan?ADH?∴tan30??AH30AHHD……………………………………………1分∴AH?17.3………………………………………………1分∴EH?DC?35.4?17.3?18.1?18（米）…………2分答：多层楼CD的高度约18米.23.（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EF?FG?GH?HE，?AEH??GFB?90?……1分∵EF2?AE?FB ∴HEBF?AEGF………1分C H G ∴△AEH∽△GFB…………1分∴?A??FGB………………1分∵?B??FGB?90?∴?B??A?90?……………1分∵?C??B??A?180?∴?C?90?……………………1分（2）证明：∵GH//AB∴?CHG??A…………………1分又（1）可得：?C??AEH?90?…………1分∴△AEH∽△HCG……………1分∴AHGHCG∵EF?GH?HE?HEA EF B ……………………1分∴EF又EF2?AH?CG………………1分2?AE?FB∴AH?CG?AE?FB…………1分224.解（1）过点B作BH?AO，垂足为H在Rt△BHO中，cot?AOB? 设HB?x，则OH?3x ∵OB?10，OH2y OHHB?3 C ?HB22?OB∴(3x)2?x2?(10)2∴x?1……………………………1分∴HB?1，OH?3……………2分∵点B在第二象限∴点B的坐标是(?3,1)………1分B H ? A -1 O E ?G D 1 x 1 -1 图11（2）由二次函数y?ax2?b的图像经过点A、B，点A的坐标为(?10,0)2??(?10)?a?b?0 ∴?……………………1分2??(?3)?a?b?1?a??1 解此方程，得：?………………2分b?10? ∴这个二次函数的解析式是y??x2?10………………1分（3）根据题意，得：?AOB??EOC，点E在第二象限，过点E作EG?CO，垂足为G 与（1）的解法一样可得：点E的坐标是(?1,3)∴EG?1，OG?3……………………………………………………1分由（2），得：这个二次函数y??x?10的图像的顶点是C(0,10)，∴OC?10 ∴CG?OC?OG?7………………………………1分在Rt△CGE中，CG sin?ECD?322?EG2?CE，∴EC?52 ……………1分22EGEC?152?10………………………………………1分25.（1）证明：∵AB//DC∴?CPB??PCD………………1分∵?ADP??PCD∴?ADP??CPB………………1分∵A D?2PD，PC?2PB ∴PDPB?ADPCD C………………1分A∴△ADP∽△CPB………1分∴?APD??B∴PD//BC…………………1分（2）解：∵AB//DC，PD//BC∴四边形PBCD是平行四边形∴PD?BC ∵PD?PC?4 ∴BC∵PC∴PB∵ODPO∴BC∵PQ?4……………………1分 ?2PB ?2PBD CAP Q B O //BC PQ………………………1分 ?QB?x，DO?yx2?x∴PO?y?4，QB?2?x ∴y?44?82?x……………………1分∴y?…………………………1分D N MPB C定义域是：0?x?2………………1分（3）解：①当PM?PN时，∵PM//DC ∴DCPM?DNPN A∴DC?DN由（2）知：PD?4，DC?2∴PM?PN?PD?DN?2………………2分②当MP?MN时，∵△ADP∽△CPB，PC?BC?4 易得：AP?AD?2PD?8 易证：MN//AD即：四边形AMCD是平行四边形D N C∴DC?AM?2∴PM?AP?AM?6…………………………2分（注：当NM?NP时不存在）4A M PB感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021-2022学年上海市嘉定区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列函数中是二次函数的是（）A．y＝x﹣1B．C．y＝（x﹣2）2﹣x2D．y＝x（x﹣1）2．（4分）已知抛物线y＝（a﹣1）x2+2的顶点是此抛物线的最低点，那么a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠1C．a＞1D．a＜13．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，那么下列各式中正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝10，，那么BC的长是（）A．4B．8C．D．5．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，AC：AE＝3：5，那么下列结论正确的是（）A．BD：DF＝2：3B．AB：CD＝2：3C．CD：EF＝3：5D．DF：BF＝2：5二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．（4分）抛物线y＝ax2+2经过点（﹣2，6），那么a＝．8．（4分）抛物线y＝﹣x2﹣2x+1的对称轴是．9．（4分）抛物线y＝（m+3）x2+x﹣1在对称轴右侧的部分是上升的，那么m的取值范围是．10．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位，得到一条新抛物线，这条新抛物线的表达式是．11．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，，BC＝4，那么AB＝．12．（4分）在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3：4，那么sin∠BAC＝．13．（4分）如图，飞机在目标B的正上方A处，飞行员测得地面目标C的俯角α＝30°，如果地面目标B、C之间的距离为6千米，那么飞机离地面的高度AB等于千米．（结果保留根号）14．（4分）已知x：y＝2：3，那么（x+y）：y＝．15．（4分）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么＝．16．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD＝3，BD＝2，那么BF：DE的值是．17．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果△AOD、△BOC 的面积分别是1cm2、4cm2，那么梯形ABCD的面积等于cm2．18．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在线段AD上，CE与BD相交于点H，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE：AE＝2：3，BC＝4DE，CE＝10．求EH、GE的长．21．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（3，﹣2）、B（2，﹣3）、C（0，1）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．22．（10分）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC ＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）23．（12分）如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，点E在边BC上，点G在边AB的延长线上，联结AE，并延长AE交CG于点K．（1）求证：△ABE∽△CKE；（2）如果CG与EF交于点H，求证：BE2＝FH•AB．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线y＝x上，如图．二次函数y ＝ax2+bx﹣2的图象也经过点A、B两点，并与y轴相交于点C，如果BC∥x轴，点A的横坐标是2．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设这个二次函数图象的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B所组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标；（3）设这个二次函数图象的顶点是M，求tan∠AMC的值．25．（14分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值；（2）如图2，点F在边AB上的一点．设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面积．2021-2022学年上海市嘉定区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【解答】解：A．函数y＝x﹣1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B．y＝不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；C．y＝（x﹣2）2﹣x2是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D．函数y＝x（x﹣1）是二次函数，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．2．【分析】由于抛物线有最低点，所以抛物线开口向上．【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2+2的顶点是此抛物线的最低点，∴抛物线的开口向上，∴a﹣1＞0，∴a＞1，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．3．【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，∴AB＝＝＝2，∴tan A＝＝＝，cot A＝＝3，sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切是解题的关键．4．【分析】根据等腰三角形的三线合一，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，然后放在Rt △ABD中，进行计算即可．【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，AB＝10，，∴BD＝AB cos B＝10×＝4，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD＝8，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握利用等腰三角形的三线合一添加辅助线是解题的关键．5．【分析】根据单位向量的性质逐一判断即可．【解答】解：∵是单位向量，∴||＝1，∴||＝，∴A正确；∵||与的大小相同，但方向不一定相同，∴B错误；∵与大小相同，但方向不一定相同，∴C错误；∵与方向不一定相同，∴不一定等于，∴D错误，故选：A．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的性质是解题的关键．6．【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BD：DF＝AC：CE＝3：2，A选项错误，不符合题意；AB：CD的值无法确定，B选项错误，不符合题意；CD：EF的值无法确定，C选项错误，不符合题意；DF：BF＝CE：AE＝2：5，D选项正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．【分析】根据待定系数法即可求得．【解答】解：把点（2，6）代入y＝ax2+2得：6＝4a+2，解得a＝1，故答案为1．【点评】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．8．【分析】根据抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+1，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，故答案为：直线x＝﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．9．【分析】抛物线开口向上时，抛物线在对称轴右侧的部分是上升的．【解答】解：当抛物线对称轴右侧的部分是上升时，抛物线开口向上，∴m+3＞0，∴m＞﹣3，故答案为：m＞﹣3．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．10．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴将抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+2）2﹣1，即y＝x2+2x．故答案为：y＝x2+2x．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．11．【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，，BC＝4，∴AB＝＝＝16，故答案为：16．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．12．【分析】先根据题意画出图形，设AC＝6x，BD＝8x，然后根据菱形的对角线互相垂直且平分可得出菱形的边长，进而在RT△BAO中可求出sin∠BAC＝的值．【解答】解：如图，设AC＝6x，BD＝8x，则AO＝3x，OB＝4x，∴AB＝＝5x，在RT△BAO中，sin∠BAC＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质及锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题需要用到的知识点为：菱形的对角线互相垂直且平分．13．【分析】根据平行线的性质可求出∠C的度数，再由特殊角的直角三角形的性质即可解答．【解答】解：如图所示：∵AD∥BC，∴∠C＝∠DAC＝30°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴AB＝BC＝×6＝2（米），即飞机离地面的高度AB等于2米，故答案为：2．．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解答此题的关键．14．【分析】利用设k法进行计算即可．【解答】解：∵x：y＝2：3，∴设x＝2k，y＝3k，∴＝＝＝，故答案为：5：3．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．15．【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：∵，∴2﹣2＝3﹣3，∴＝3﹣2，故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．16．【分析】先根据DE∥BC，DF∥AC证明∠B＝∠ADE，∠BDF＝∠A，再根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”证明△DBF∽△ADE，得＝＝，即BF：DE的值是．【解答】解：如图，∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠A，∴△DBF∽△ADE，∴＝，∵BD＝2，AD＝3，∴＝，∴BF：DE的值是，故答案为：．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”证明△DBF∽△ADE是解题的关键．17．【分析】设点B到AC的距离为h，将S△BOA和S△BOC用含h的式子表示，推导出＝，同理得＝，再由AD∥BC证明△AOC∽△BOC，根据“相似三角形面、S△DOC的值，由S梯积的比等于相似比的平方”求出＝＝，再分别求出S△BOA＝S△AOD+S△BOC+S△BOA+S△DOC求出梯形ABCD的面积即可．形ABCD【解答】解：如图，设点B到AC的距离为h，则＝＝，同理＝，∵AD∥BC，∴△AOC∽△BOC，∴＝＝，∴＝，∴＝＝，∴＝，＝，＝×4＝2（cm2），S△DOC＝×4＝2（cm2），∴S△BOA＝S△AOD+S△BOC+S△BOA+S△DOC＝1+4+2+2＝9（cm2），∴S梯形ABCD故答案为：9．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求出OA与OC、OD与OB的比值是解题的关键．18．【分析】根据已知∠BCE＝∠A，想到构造这两个角所在的三角形相似，所以过点E作EF⊥BC，垂足为F，可得△ABC∽△CEF，进而可得CF＝2EF，然后设EF为a，则CF 为2a，BF为2﹣2a，最后再证明A字模型相似△BFE∽△BCD，从而解答即可．【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠ACB＝90°，BC＝2，，∴AC＝＝＝4，∵CD：AD＝1：3，∴CD＝1，∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，∴△ABC∽△CEF，∴＝＝＝2，∴设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝，∴a＝，∴EF＝，CF＝1，∴CE＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握A字模型相似是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：＝＝＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．【分析】根据题目的已知并结合图形分析8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DEC＝∠ECB，∴△DEH∽△BCH，∴，∵BC＝4DE，∴，∵CE＝10，∴HC＝10﹣EH，∴，∴EH＝2，∵BC＝4DE，DE：AE＝2：3，∴，∵AD∥BC，∴∠GAE＝∠GBC，∠GEA＝∠GCB，∴△GAE∽△GBC，∴，∵CE＝10，∴GC＝10+GE，∴GE＝6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，梯形，熟练掌握8字型模型相似三角形和A字型模型相似三角形是解题的关键．21．【分析】（1）把A（3，﹣2）、B（2，﹣3）、C（0，1）代入二次函数关系式，列出三元一次方程组进行计算即可；（2）利用配方法进行计算即可解答．【解答】解：（1）把A（3，﹣2）、B（2，﹣3）、C（0，1）代入y＝ax2+bx+c中得：解得：，所以，这个二次函数的解析式是y＝x2﹣4x+1；（2）y＝x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣4+1＝（x﹣2）2﹣3，所以，这个二次函数图像的顶点坐标为（2，﹣3）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．22．【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM ＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴，∴，∴，在Rt△BDN中，，由题意，得∠DBN＝53°∴，∴DN＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V千米/小时，由题意，得，∴V≈40.7（千米/小时），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．23．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBG，可得∠BAE＝∠ECK，可得结论；（2）通过证明△ABE∽△GFH，可得，可得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∵四边形BEFG是正方形，∴FG＝BG＝BE，∠CBG＝90°，∴∠ABE＝∠CBG＝90°，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠ECK，又∵∠AEB＝∠CEK，∴△ABE∽△CKE；（2）由题意，得∠CEF＝∠F＝∠ABE＝90°，∴FG∥BC，∴∠ECK＝∠FGH，∵∠BAE＝∠ECK，∴∠BAE＝∠FGH，∴△ABE∽△GFH，∴，∵FG＝BE，∴，∴BE2＝FH•AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24．【分析】（1）求出C，A，B三点的坐标，由待定系数法得出方程组，解方程组可得出答案；（2）根据相似三角形的判定分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得出答案；（3）过点C作CH⊥AM，垂足为H，求出直线AM的解析式，设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q，则点P的坐标为（1，0），点Q的坐标为（0，﹣1），由等腰直角三角形的性质求出CH和MH的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图像与y轴相交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣2），∵BC//x轴，∴点B的纵坐标是﹣2，∵点A、B两点在直线y＝x上，点A的横坐标是2，∴点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（﹣4，﹣2），∵这个二次函数的图像也经过点A（2，1）、B（﹣4，﹣2），∴，解这个方程组，得a＝，b＝1，∴二次函数的解析式是y＝+x﹣2；（2）根据（1）得，二次函数y＝+x﹣2图像的对称轴是直线x＝﹣2，∴点D的坐标为（﹣2，﹣2），∴OB＝2，BD＝2，∵BC//x轴，∴∠OBD＝∠BOE，∴以点E、O、B组成的三角形与△OBD相似有可能以下两种：①当时，△BOD∽△OBE，显然这两相似三角形的相似比为1，与已知相似比不为1矛盾，这种情况应舍去，②当时，△BOD∽△OEB，∴，∴OE＝10，又点E在x轴的负半轴上，∴点E的坐标为（﹣10，0）；（3）过点C作CH⊥AM，垂足为H，根据（1）得，二次函数的解析式是y＝+x﹣2的顶点坐标为M（﹣2，﹣3），设直线AM的解析式为y＝kx+m，，解得k＝1，m＝﹣1，∴直线AM的解析式为y＝x﹣1，设直线AM与x轴、y轴的交点分别为点P、Q，则点P的坐标为（1，0），点Q的坐标为（0，﹣1），∴△OPQ是等腰直角三角形，∠OQP＝45°，∵∠OQP＝∠HOC，∴∠HOC＝45°，∵点C的坐标为（0，﹣2），∴CQ＝1，∴HC＝HQ＝，又MQ＝2，∴MH＝MQ﹣HQ＝，∴tan∠AMC＝．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线、直线的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，综合性较强，难度适中．利用方程思想、数形结合与分类讨论是解题的关键．25．【分析】（1）设AB＝3k，则AC＝4k，由勾股定理求出BC＝＝5k，由四边形ABCD的周长求出k＝1，求出AM的长，则可得出答案；（2）证明△CDE∽△DAF，由相似三角形的性质得出，得出AD＝BC＝5，DE ＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y，由比例线段可得出答案；（3）分两种情况：①当点F在边AB上，②当点F在AB的延长线上，求出AF的长，由相似三角形的性质及三角形面积公式可得出答案．【解答】解：（1）如果点F与点B重合，设DF与AC交于点M，∵AC⊥CD，∴∠DCA＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCA＝90°，在Rt△CAB中，设AB＝3k，∵，∴AC＝4k，∴BC＝＝5k，∵四边形ABCD的周长是16，∴2（AB+BC）＝16，即2（3k+5k）＝16，∴k＝1，∴AB＝3，BC＝5，AC＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM＝CM＝AC＝2，∴cot∠AFD＝；（2）解：∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠FAD，∠CDF＝∠AFD，∵∠CED＝∠CDF，∴∠CED＝∠AFD，∴△CDE∽△DAF，∴，由题意，得AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y，∴，∴y＝﹣，定义域是：5＜x≤．（3）解：点F在射线AB上都能得到：△CDE∽△DAF，∴，①当点F在边AB上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝2，＝AF•AC，由题意，得S△DAF∵AC＝4，＝×2×4＝4，∴S△DAF∴，＝，∴S△CDE②当点F在AB的延长线上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝6，＝AF•AC，由题意，得S△DAF＝AF•AC＝12，∴S△DAF∴，＝．∴S△CDE综上所述，△CDE的面积是或．【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．。

2021-2022学年上海市虹口区九年级上学期期末数学试卷(一模)一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.如图(1)所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分)则下列结论正确的是()A. AB：AD=3：4B. 当△BPQ是等边三角形时，t=5秒C. 当△ABE∽△QBP时，t=7秒D. 当△BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或47秒52.已知非零向量a⃗、b⃗ 和c⃗，下列条件中，不能判定a⃗//b⃗ 的是()A. a⃗=−2b⃗B. a⃗=c⃗，b⃗ =3c⃗C. a⃗+2b⃗ =c⃗，a⃗−b⃗ =−c⃗D. |a⃗|=2|b⃗ |3.若y=(3+m)x m2−9是开口向下的抛物线，则m的值为()A. 3B. −3C. √11D. −√114.把抛物线y=(x−2)2向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得到的抛物线是()A. y=x2+2B. y=x2−2C. y=(x+2)2−2D. y=(x+2)2+25.如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=25米，则此时AB的长约为()(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)A. 10.4米B. 12.4米C. 27.4米D. 22.4米6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD，过点D作DE⊥AB于点E.连接AC交DE于点F.若cos∠CBA=35，EF=3.则AB的长为()A. 10B. 12C. 16D. 20二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.如果3x−5y=0，且y≠0，那么xy=______．8.计算：2(2a⃗+3b⃗ )−13a⃗+12b⃗ =______ ．9.如图，是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分．已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是(−1,0).有下列结论：①abc>0；②4a−2b+c<0；③4a+b=0；④抛物线与x轴的另一个交点是(5,0)；⑤点(−3,y1)，(6,y2)都在抛物线上，则有y1<y2.其中正确的是。