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选修4－2 矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(对应学生用书(理)189～191页)1. 设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1012，求MN . 解：MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01210. 2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a，求a 、b 的值．解：由题意，知MM－1＝E ，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 273⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b －2－7a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3.3. 求矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12－12的特征多项式． 解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[ 1 6－2－6]的特征值．解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－6－5λ－2＝(λ－8)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得N 的特征值为λ1＝－3，λ2＝8， 当λ1＝－3时⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 故特征值λ1＝－3的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1；当λ2＝8时⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5，故特征值λ2＝8的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤65.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型1 求逆矩阵与逆变换例1 用解方程组的方法求下列矩阵M 的逆矩阵．(1) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101； (2) M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221. 解：(1) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝0，d ＝1，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－10 1. (2) 设M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则由定义知⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝23，d ＝－13，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 23 23－13. 备选变式（教师专享） 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：依题意，由M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，则M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－31－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13－12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴ A 点坐标为(2，－3)．题型2 求特征值与特征向量 例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0， 得2－2a ＝－4a ＝3.(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.变式训练已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤17，计算M 5β. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3.M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2) ＝4(λ51α1)－3(λ52α2) ＝4×35⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤975969. 题型3 根据特征值或特征向量求矩阵 例3矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102有特征向量为e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， (1) 求e 1和e 2对应的特征值； (2) 对向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤41，记作α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接计算M 4α，M 10α.解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为λ1、λ2，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1102⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10， 故λ1＝2，λ2＝1，即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，所以M 4α＝M 4(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4e 2＝λ41e 1＋3λ42e2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1916， M 10α＝M 10(e 1＋3e 2)＝M 10e 1＋3M 10e 2＝λ101e 1＋3λ102e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210＋3210.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1有特征向量e 1→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，求M 100α→.解：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1变换的意义知M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1， 又Me 1→＝λ1e 1→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2→＝λ2e 2→，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤200－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝x e 1→＋y e 2→，所以M 100α→＝M 100(x e 1→＋y·e 2→)＝xM 100e 1→＋yM 100e 2→＝xλ1001e 1→＋yλ2100e 2→＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2100x y .1. 求函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cosx sinx －1的值域．解：f(x)＝－2－sinxcosx ＝－2－12sin2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32.2. 已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，求矩阵A 的特征值．解：∵ A －1A ＝E ，∴ A ＝(A －1)－1.∵ A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，∴ A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321.∴ 矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3. (2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.∴ 矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012，∴ A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 0 3. 4. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1) 求实数a 、b 的值； (2) 求A 2的逆矩阵．解：(1) 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是P′(x′，y ′)，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝[]axbx ＋y，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y.因为P′(x′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上， 所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，化简可得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1， 依题意可得a 2＋b 2＝2，2b ＝2a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1，而由a>0可得a ＝b ＝1.(2) 由(1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1011＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1021|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－21. 1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1，若点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵A 的特征值．解：(1) 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－8，得a ＋1＝－8， 所以a ＝－9. (2) 由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－91，则矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.2. 已知M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，求二阶方阵X ，使MX ＝N .解：(解法1)设X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ，据题意有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－43⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31，根据矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，2y －w ＝－1，－4x ＋3z ＝－3，－4y ＋3w ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝－1，z ＝5，w ＝－1，所以X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. (解法2)因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221.所以X ＝M－1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. 3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a 的值；并求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－40，∴ 2－2a ＝－4a ＝3.∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4. 当λ＝－1时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1；当λ＝4时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32.4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b (其中a>0，b>0)．(1) 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2) 若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解：(1) 设矩阵M 的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2，则MN －1＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2003⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120013.(2) 设曲线C 上任意一点P(x ，y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，by ＝y′.又点P′(x′，y ′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1，则a 2x 24＋b 2y2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .(2) 对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d (ad －bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x 、y的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc. 若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD，y ＝DyD .请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。
第二章 几何变换与矩阵 同步练习(一)1、矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2cos 2sin 2sin -2cos ππππ对应的变换是（ ） A 、切变变换 B 、反射变换 C 、垂直压缩变换 D 、旋转变换2、平面上任意一点在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10051的作用下（ ）A 、纵坐标不变，横坐标伸长5倍B 、纵坐标不变，横坐标缩短到51倍 C 、纵坐标、横坐标均伸长5倍 D 、纵坐标、横坐标均缩短到51倍3、可将点（2，1）变换成点（4，7）的矩阵是（ ）A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4102B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5012C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1502D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛51024、对平面上的任何一点实施某一变换，将它自己变为自己，这种特殊的变换叫做恒等变换，则此变换对应的矩阵为（ ）A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01105、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101将过点)1,1(),3,1(B A -的直线变成（ ）A 、直线2=xB 、直线2=yC 、直线y x =D 、直线y x -=6、过点（1，1），且平行于向量)2,3(-=v 的直线坐标形式为______________。
7、在变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=61005M 作用下，平面上任意一点（x ，y ）的横坐标_______________，纵坐标______________。
8、矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-1-3-2对应的变换将点),(54-变换成了___________。
9、变换⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3cos 3sin 3sin -3cos ππππ将平面内的图形进行了怎样的变换？它把点（-2，5）变换成什么？10、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310031M 将下列曲线变换成什么图形？ （1）1+=x y ； （2）1=+22y x11、已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001M ，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32,01βα，试验证等式： （1）M M M +=+)(； （2）M M 81)81(= 。
初等变换与逆矩阵 同步练习一,选择题1, 下列说法错误的是( )A.任何一可逆矩阵一定可以分解为一系列初等变换矩阵的乘积B.矩阵一定存在逆矩阵C.若矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x NM NM NM 则1010,0101D.任一可逆矩阵可分解为反射变换,伸压变换,切变等合成2, 下列矩阵不存在逆矩阵的是( )A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10113, 关于可逆矩阵M 表示的变换,下列说法错误的是( ) A.任一向量(点)有唯一的像 B.不同的向量(点)像可相同 C.任一向量(点)都有原像D.可逆矩阵表示的变换是一一对应的二,填空题4,一般地,任一可逆矩阵的逆矩阵总可以由一系列 表示. 5,从几何上来说,任一可逆矩阵表示的变换总可以 .6,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1032131000111011003 .7,当满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010,0101NM NM 时, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x NM . 三,解答题8,用初等变换求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321的逆矩阵，并用矩阵定义进行验证.9,根据下列条件求X,根根据据两题的结果,指出你认为正确的一个结论.(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12011211X(2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111201X10,根据本节思想方法,试说明矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011不存在逆矩阵参考答案1,B 2,A 3,B4，初等变换矩阵的乘积来 5，分解为一系列初等变换的合成6，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4123 7，⎪⎪⎭⎫⎝⎛y x8,解:9,解:(1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=141112011211X(2) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141112111201X结论:矩阵乘法不满足交换律.10，解:矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011把点A(1,0),B(0,1)分别变成同一点A(1,0)不存在一个变换,把点A(1,0)变成两个不同的点A(1,0),B(0,1).因此矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011不存在逆矩阵.。
第四章 逆变换与逆矩阵 同步练习(二)1、下列矩阵中，不存在逆矩阵的是（ ）A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2032B 、⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-221431 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23231 D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011302、=-2410152（ ）A 、198B 、-198C 、-270D 、2703、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13913214M ，则=M （ ）A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1102 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-227357 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0142814 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛11204、对于任意的矩阵A 、M 、N ，下列结论正确的是（ ）A 、NM MN =B 、11--=NM M NC 、N NM M =-1D 、N MN M =-15、（1）若⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21041110211M ，则_______=M ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210y x5312所表示的二元一次方程组为___________。
6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110,1001B A ，则_________)(1=-AB 。
7、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002022002110M ，则___________=M 。
8、（1）______=-818781-83；（2）_______=3cos 3sin 3sin -3cos ππππ。
9、计算下列矩阵的逆矩阵：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3523M ； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1143M 。
10、判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，则求出逆矩阵，若不存在，说明理由。
（1）⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21212323M ； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1021M11、利用逆矩阵解二元一次方程组：⎩⎨⎧=+=-7y 3x 42y 3x12、已知)(,cos sin sin cos R x ∈=ααααα，求62+-=x x y 的最大值与最小值。
矩阵变换的性质 同步练习一,选择题 1, 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛1002将曲线422=+y x 变换为( )A.圆B.椭圆C.直线D.点 2,以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量3,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201对基向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01i 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10j 的 变换结果可把向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛87变为( )A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛822B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛227C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛228二,填空题4,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ,向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12α向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31β,则=-)2(βαM .5,一般地,对平面上任意直线l ,若l 经过点A,且平行于向量0v ,那么l 的向量方程为 .6,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001M ，则该矩阵把坐标系中的图形都变成 . 三,解答题7,试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001方程为22+=x y （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （2，5） （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （3，7） （4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110点A （2，7） （5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110点A （a,b ）8,给定图形,如图,在变换下变成什么样的图形,请画出变换后的图形,并指出这是什么变换O xyB(1,1) C(0,1)A(1,0)参考答案1,B 2,C 3,B4,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-125,)(:Rtv tOAOXl∈+=6,一条在x轴上的直线,射线或线段7,(1)变换后的方程仍为直线,该变换是恒等变换(2)经过变化后变为(-2,5),它们关于y轴对称,该变换为关于y轴的反射变换.(3)A(3,7)经过变化后变为(3,-7),它们关于x轴对称,该变换是关于x轴的反射变换.(4)即A(2,7)经过变化后变为(7,2),它们关于直线y=x成轴对称,该变换为关于直线y=x的反射变换.(5)A(a,b)经过变化后变为(-b,-a),该变换为关于直线y=-x的反射变换.8,变成一条端点为原点和A点的x轴上的线段,作图略.这是一个在x轴上的投影变换.。
第一章平面向量与二阶方阵同步练习(一)1.方程组55322y x x y 用矩阵与向量的乘法形式表示为（）A. 525321y xB. 525312y x C. 525231y x D. 525132y x 2. 604085609080..（）A. 51243632B. 85609080C. 7586D. 87563. 矩阵32中：用行、列数表示元素3,22111a a ，若二阶矩阵A 中的元素为2,1,,j i j i a ij ，则A=（）A. 2211B. 2221 C. 4221 D. 12214. 过点A （-2，1），平行于向量23的直线向量是_____________。
5. 飞机从A 地向东北飞行200千米到B 地，又继续向西飞行2100千米到C 地，再向南偏西60飞行250千米到D 地，则A 、D 两地的空中距离为________。
6. 香港与纽约的空间距离为8060英里，香港与莫斯科的空间距离为4437英里，纽约与莫斯科的空间距离为4683英里，试用矩阵__________________表示香港、纽约与莫斯科三个城市间的空间距离。
7. 已知点A （-1，1）、B （1，3）、C （x ，5）三点共线，求实数x 。
8. 用方程组表示下列矩阵与向量的乘法：（1）50y x 4225（2）14y x 21-209. 已知向量a=(cos ,sin )（R ）,b=(3,3)，当为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底？10. 已知向量：,34的起点为A （3，5 ），终点为B （7，3），求：（1）213（2）52。
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作几种特殊的矩阵变换 同步练习 一,选择题1,平面上任意一点在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1001的作用下( ) A.横坐标不变,纵坐标不变B.横坐标变为相反数,纵坐标不变C.横坐标不变,纵坐标变为相反数D.横坐标变为相反数,纵坐标变为相反数2, 图像在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110的作用下( ) A.变成关于x 轴对称点B.关于原点对称点C.绕原点逆时针旋转90度D.绕原点顺时针旋转90度3, 变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--q p q p 1001的几何意义为( ) A.关于y 轴反射变换B. 关于x 轴反射变换C. 关于原点反射变换D.以上都不对二,填空题4,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2001表示的变换是 . 5,表示顺时针旋转60°的矩阵是 .6,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002对三角形ABC 的作用结果是 . 三,解答题7,当k>0时,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k 001表示什么变换?试用语言描绘你的猜想8,试利用下图,研究矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos M 表示什么变换9,对任意矩阵M,平面中四点A,B,C,D 在该矩阵作用下变成D C B A '''',,,,试证明,若AB//CD,则D C B A ''''//参考答案1,C 2,D 3,C1 2 312344,x 轴的垂直拉伸变换 5, ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21232321 6,与原三角形保持相似比为2的相似变换7, )0(001>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k y x y x k 表示平面上任意点(x,y)在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k 001的作用下,横坐标不变,纵坐标变为原来的k 倍,即每个点都关于x 轴垂直压(或伸)为原来的k 倍 8,证明:平面上任一点),(y x P 在M 作用下像点为P ',当点不是原点P 时,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='='θθθθθθθθcos sin sin cos cos sin sin cos y x y x y x P MO P O 可知像点 )cos sin ,sin cos (θθθθy x y x P +-',利用两点间距离公式可以证得OP P O =',利用向量内积可求得θ='∠P PO ,由此说明M 表示的是绕原点逆时针旋转θ角的变换 9,提示:由AB//CD, 不妨设CD AB λ= 则D C CD M AB M B A ''===''λλ)(可得D C B A ''''//。
高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．已知X 是二阶矩阵，且满足满足23321211X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则X =＿＿＿＿＿。
4511-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
132233223451112111211X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2．（理）写出系数矩阵为()1221，且解为()()11x y =的一个线性方程组是 ． （文）系数矩阵为
()1221的线性方程组{112233a x b y a x b y +=+=的解是{___,___.x y == 评卷人
得分
二、解答题
3．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3．
(1)求a ，b 的值；
(2)求属于2λ的一个特征向量α．
4．选修4—2：矩阵与变换。
