《21.2.1解一元二次方程-直接开平方法》同步练习(有答案) (1)

21．2解一元二次方程21．2.1配方法第1课时直接开平方法1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝__±a___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝__±p___或mx ＋n＝__±p___．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法1．方程x2－16＝0的根为( C)A．x＝4B．x＝16C．x＝±4 D．x＝±82．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D)A．m＞0 B．m≥0C．m＜0 D．m≤03．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成立，则x的值是__±2___．5．解下列方程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D)A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D)A．k＜1 B．k＜－1C．k≥1 D．k＞18．一元二次方程(x－3)2＝8的解为__x＝3±22___．9．解下列方程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x－2)2－6＝0；解：x1＝2＋3，x2＝2－ 3(3)x2－2x＋1＝2.解：x1＝1＋2，x2＝1－ 210．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1___．11．若x 2－4x ＋2的值为0，则x ＝__2___．12．由x 2＝y 2得x ＝±y ，利用它解方程(3x －4)2＝(4x －3)2，其根为__x ＝±1___．13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b ＝a 2－b 2，根据这个规则，方程(x ＋2)*5＝0的根为__x 1＝3，x 2＝－7___．14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C ) A ．x 2－3＝0 B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2x ＝0D ．(x －1)2＝(2x ＋1)2 15．(2014·枣庄)x 1，x 2是一元二次方程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )A ．x 1小于－1，x 2大于3B ．x 1小于－2，x 2大于3C ．x 1，x 2在－1和3之间D ．x 1，x 2都小于316．若(x 2＋y 2－3)2＝16，则x 2＋y 2的值为( A ) A ．7 B ．7或－1 C ．－1 D ．19 17．解下列方程： (1)3(2x ＋1)2－27＝0； 解：x 1＝1，x 2＝－2(2)(x －2)(x ＋2)＝10； 解：x 1＝23，x 2＝－2 3(3)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2；解：x 1＝1，x 2＝53(4)4(2x －1)2＝9(2x ＋1)2.解：x 1＝－52，x 2＝－11018．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，求x ＋3x2的值．解：由题意得2(x 2＋3)＋3(1－x 2)＝0，∴x ＝±3.当x ＝3时，x ＋3x 2＝23；当x ＝－3时，x ＋3x2＝019．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab－4x2(2)依题意有ab－4x2＝4x2，将a＝6，b＝4代入，得x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3(舍去)，即正方形的边长为 3第2课时配方法1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法．2．配方法的一般步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；(2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．知识点1：配方1．下列二次三项式是完全平方式的是( B)A．x2－8x－16B．x2＋8x＋16C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋162．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( C)A．3 B．－3C．±3 D．以上都不对3．用适当的数填空：x2－4x＋__4___＝(x－__2___)2；m2__±3___m＋94＝(m__±32___)2.知识点2：用配方法解x2＋px＋q＝0型的方程4．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( D) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝95．下列配方有错误的是( D)A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝1246．(2014·宁夏)一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C)A．x1＝x2＝1B．x1＝1＋2，x2＝－1－ 2C．x1＝1＋2，x2＝1－ 2D．x1＝－1＋2，x2＝－1－ 27．解下列方程：(1)x2－4x＋2＝0；解：x1＝2＋2，x2＝2－ 2(2)x2＋6x－5＝0.解：x1＝－3＋14，x2＝－3－14知识点3：用配方法解ax2＋bx＋c＝0(a≠0)型的方程8．解方程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得__x 2－3x ＋13＝0___，配方后得__(x －32)2＝2312___．9．方程3x 2－4x －2＝0配方后正确的是( D ) A ．(3x －2)2＝6 B ．3(x －2)2＝7C ．3(x －6)2＝7D ．3(x －23)2＝10310．解下列方程： (1)3x 2－5x ＝－2；解：x 1＝23，x 2＝1(2)2x 2＋3x ＝－1.解：x 1＝－1，x 2＝－1211．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值一定是( B ) A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．无法确定12．方程3x 2＋2x ＝6，左边配方得到的方程是( B )A ．(x ＋26)2＝－3718B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518D ．(x ＋26)2＝611813．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．15．当x ＝__2___时，式子200－(x －2)2有最大值，最大值为__200___；当y ＝__－1___时，式子y 2＋2y ＋5有最__小___值为__4___．16．用配方法解方程： (1)23x 2＝2－13x ； 解：x 1＝32，x 2＝－2(2)3y 2＋1＝23y.解：y 1＝y 2＝3317．把方程x 2－3x ＋p ＝0配方得到(x ＋m)2＝12，求常数m 与p 的值．解：m ＝－32，p ＝7418．试证明关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，无论a 为何值，该方程都是一元二次方程．解：∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4≠0，∴无论a 取何值，该方程都是一元二次方程19．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值． 解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x－2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，又∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝121．2.2 公式法1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当__b 2－4ac ≥0___时，x ＝－b±b 2－4ac2a，这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的__求根公式___．2．式子__b 2－4ac___叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有__两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__没有实数根___．知识点1：根的判别式1．下列关于x 的方程有实数根的是( C )A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝0 2．(2014·兰州)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项中正确的是( B )A ．b 2－4ac ＝0B ．b 2－4ac ＞0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≥03．一元二次方程x 2－4x ＋5＝0的根的情况是( D ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根4．利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)9x 2－6x ＋1＝0；解：∵a ＝9，b ＝－6，c ＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数根(2)8x 2＋4x ＝－3；解：化为一般形式为8x 2＋4x ＋3＝0，∵a ＝8，b ＝4，c ＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根(3)2(x 2－1)＋5x ＝0.解：化为一般形式为2x 2＋5x －2＝0，∵a ＝2，b ＝5，c ＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根知识点2：用公式法解一元二次方程5．方程5x ＝2x 2－3中，a ＝__2___，b ＝__－5___，c ＝__－3___，b 2－4ac ＝__49___． 6．一元二次方程x 2－x －6＝0中，b 2－4ac ＝__25___，可得x 1＝__3___，x 2＝__－2___． 7．方程x 2－x －1＝0的一个根是( B )A ．1－ 5B .1－52C ．－1＋ 5D .－1＋528．用公式法解下列方程： (1)x 2－3x －2＝0；解：x 1＝3＋172，x 2＝3－172(2)8x 2－8x ＋1＝0；解：x 1＝2＋24，x 2＝2－24(3)2x 2－2x ＝5.解：x 1＝1＋112，x 2＝1－1129．(2014·广东)关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )A ．m ＞94B ．m ＜94C ．m ＝94D ．m ＜－9410．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有实数根，则实数k 的取值范围是( C ) A ．k ＞－1 B ．k ＜1且k ≠0C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠011．已知关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是__2___．12．关于x 的方程(a ＋1)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足的条件是__a ≥－5___． 13．用公式法解下列方程： (1)x(2x －4)＝5－8x ；解：x 1＝－2＋142，x 2＝－2－142(2)(3y －1)(y ＋2)＝11y －4.解：y 1＝3＋33，y 2＝3－3314．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜3x －3，12（x －4）＜13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根． 解：解不等式组得2<x<4，解方程得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，∴x ＝1＋ 515．(2014·梅州)已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)a ＝12，另一个根为x ＝－32(2)∵Δ＝a 2－4(a －2)＝(a －2)2＋4＞0，∴无论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根16．关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实数根． (1)求a 的最大整数值；(2)当a 取最大整数值时，求出该方程的根．解：(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤709且a≠6，∴a的最大整数值为7(2)当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.∵a＝1，b＝－8，c＝9，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，∴x＝－（－8）±282＝4±7，即x1＝4＋7，x2＝4－717．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a －c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－121．2.3 因式分解法1．当一元二次方程的一边为0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程化为__两个一次因式___的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．2．解一元二次方程，首先看能否用__直接开平方法___；再看能否用__因式分解法___；否则就用__公式法___；若二次项系数为1，一次项系数为偶数可先用__配方法___．知识点1：用因式分解法解一元二次方程 1．方程(x ＋2)(x －3)＝0的解是( C ) A ．x ＝2 B ．x ＝－3 C ．x 1＝－2，x 2＝3 D ．x 1＝2，x 2＝－32．一元二次方程x(x －5)＝5－x 的根是( D ) A ．－1 B ．5C ．1和5D ．－1和5 3．(2014·永州)方程x 2－2x ＝0的解为__x 1＝0，x 2＝2___． 4．方程x 2－2x ＋1＝0的根是__x 1＝x 2＝1___． 5．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－4＝0；解：x 1＝2，x 2＝－2(2)x 2－23x ＝0； 解：x 1＝0，x 2＝2 3(3)(3－x)2－9＝0； 解：x 1＝0，x 2＝6(4)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2.解：x 1＝1，x 2＝53知识点2：用适当的方法解一元二次方程6．解方程(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6＝0时，我们可以将x ＋1看成一个整体，设x ＋1＝y ，则原方程可化为y 2－5y ＋6＝0，解得y 1＝2，y 2＝3.当y ＝2时，即x ＋1＝2，解得x ＝1；当y ＝3时，即x ＋1＝3，解得x ＝2，所以原方程的解为x 1＝1，x 2＝2.利用这种方法求方程(2x －1)2－4(2x －1)＋3＝0的解为( C )A ．x 1＝1，x 2＝3B ．x 1＝－1，x 2＝－3C ．x 1＝1，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－1 7．用适当的方法解方程： (1)2(x －1)2＝12.5；解：用直接开平方法解，x 1＝3.5，x 2＝－1.5(2)x 2＋2x －168＝0；解：用配方法解，x 1＝12，x 2＝－14(3)2x 2＝2x ；解：用因式分解法解，x 1＝0，x 2＝ 2(4)4x 2－3x －2＝0.解：用公式法解，x 1＝3＋418，x 2＝3－4188．方程x(x －1)＝－x ＋1的解为( D ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x 1＝0，x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－19．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A ) A ．(2x ＋2)(3x ＋4)＝0化为2x ＋2＝0或3x ＋4＝0 B ．(x －3)(x ＋1)＝1化为x －3＝1或x ＋1＝1 C ．(x －2)(x －3)＝2×3化为x －2＝2或x －3＝3 D ．x(x －2)＝0化为x －2＝010．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程(x －2)(x －4)＝0的根，则这个三角形的周长是( C )A ．11B ．11或13C ．13D ．以上都不对11．(2014·陕西)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2－52ax ＋a 2＝0的一个根，则a 的值是( B )A ．1或4B ．－1或－4C ．－1或4D ．1或－4 12．已知x ＝1是关于x 的方程(1－k)x 2＋k 2x －1＝0的根，则常数k 的值为__0或1___． 13．已知(x 2＋2x －3)0＝x 2－3x ＋3，则x ＝__2___． 14．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x ＝x －4； 解：x 1＝x 2＝2(2)(x －3)2＝3(x －3)． 解：x 1＝3，x 2＝615．用适当的方法解下列方程： (1)4(x －1)2＝2；解：x 1＝2＋22，x 2＝－2＋22(2)x 2－6x ＋4＝0；解：x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5(3)x 2－4＝3x －6； 解：x 1＝1，x 2＝2(4)(x ＋5)2＋x 2＝25. 解：x 1＝－5，x 2＝016．一跳水运动员从10 m 高台上跳下，他离水面的高度h(单位：m )与所用时间t(单位：s)的关系是h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动员从起跳到入水所用的时间为2 s17．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.问题：(1)用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为__－15，－6，0，6，15___；(2)已知实数x满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式x2－x＋1的值为__7___．专题训练(一) 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解方程： (1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程： (1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7. 解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程： (1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程： (1)(x －1)2－2(x －1)＝0； 解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0. 解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程： (1)2(x －3)2＝x 2－9； 解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8. 解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用 (一)最大(小)值6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－p___，x 1x 2＝__q___．2．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝__－ba___，x 1x 2＝__ca___．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax 2＋bx ＋c ＝0___；(2)二次方程，即__a ≠0___；(3)有根，即__b 2－4ac ≥0___．知识点1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( C ) A ．0 B ．2 C ．－2 D ．4 2．(2014·昆明)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于( C ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．43．已知方程x 2－6x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( D ) A ．－8 B ．－4 C ．8 D ．44．已知x 1，x 2是方程x 2－3x －4＝0的两个实数根，则(x 1－2)(x 2－2)＝__－6___． 5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x 2＋3x ＋1＝0；解：x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝1(2)2x 2－4x －1＝0；解：x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－12(3)2x 2＋3＝5x 2＋x.解：x 1＋x 2＝－13，x 1x 2＝－16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值：(1)x 12＋x 22； (2)1x 1＋1x 2.解：(1)x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝11 (2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－3知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值7．已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根互为相反数，则( B ) A ．b ＞0 B ．b ＝0 C ．b ＜0 D ．c ＝08．已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根和c 分别为( C ) A ．1，2 B ．2，4 C ．4，8 D ．8，169．若关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则b ＋c 的值是( A )A ．－10B ．10C ．－6D ．－1 10．(2014·烟台)关于x 的方程x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( D ) A ．－1或5 B ．1 C ．5 D ．－111．若关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋k －3＝0的两个实数根为x 1，x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．解：由根与系数的关系得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4①，x 1x 2＝k －3②，又∵x 1＝3x 2③，联立①③，解方程组得⎩⎨⎧x 1＝3，x 2＝1，∴k ＝x 1x 2＋3＝3×1＋3＝612．已知一元二次方程x 2－2x ＋2＝0，则下列说法正确的是( D )A ．两根之和为2B ．两根之积为2C ．两根的平方和为0D ．没有实数根13．已知α，β满足α＋β＝6，且αβ＝8，则以α，β为两根的一元二次方程是( B )A ．x 2＋6x ＋8＝0B ．x 2－6x ＋8＝0C ．x 2－6x －8＝0D ．x 2＋6x －8＝014．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( B ) A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－115．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( C )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或216．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n ＝__8___．17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常数项，得出的两个根为8，1，则这个方程为__x 2－9x ＋8＝0___．18．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，求(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)的值．解：由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，∴(x 1＋x 2)2÷(1x 1＋1x 2)＝x 1x 2(x 1＋x 2)＝419．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2＋2＝2(1－x)有两个实数根x 1，x 2.(1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．解：(1)方程整理为x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0，由题意得Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴k ≤12(2)由题意得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∵|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，∴|2(k －1)|＝k 2－1，∵k ≤12，∴－2(k －1)＝k 2－1，整理得k 2＋2k －3＝0，解得k 1＝－3，k 2＝1(舍去)，∴k ＝－320．设x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，求x 13＋2016x 2－2015的值．解：x 2－x －2015＝0，∴x 2＝x ＋2015，x ＝x 2－2015.又∵x 1，x 2是方程x 2－x －2015＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，∴x 13＋2016x 2－2015＝x 1·x 12＋2016x 2－2015＝x 1·(x 1＋2015)＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1＋x2)＋2015－2015＝2016。

21.2解一元二次方程 直接开平方法一、选择题1. 方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，则a 的值是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ． 32．若2530ax ax -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集应是( ).A ．12a > B ．a ＜-2 C ．a ＞-2 D ．a ＞-2且a ≠0 3．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +6=0的一个根为x=﹣2，则代数式6a ﹣3b +6的值为（ ）A ．9B ．3C ．0D ．﹣34．已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是( )．A ．abB ．a bC ．a+bD ．a-b 5．若290x -=，则2563x x x -+-的值为（ ）． A ．1 B ．-5 C ．1或-5 D ．06．对于形如x 的方程2()x m n +=，它的解的正确表达式是（ ）.A ．用直接开平方法解得x =．当0n ≥时，x m =C ．当0n ≥时，x m =D ．当0n ≥时，x =二、填空题7．如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是 .8.若关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0的常数项为0，则m 的值等于 .9．已知x ＝1是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，则222m mn n ++的值为________．10．(1)当k________时，关于x 的方程22(1)(1)10k x k x ---+=是一元二次方程；(2)当k________时，上述方程是一元一次方程． 11．已知a 是方程2104x x +-=的根，则354321a a a a a -+--的值为 ． 12．已知a 是关于x 的一元二次方程2201210x x -+=的一个根，则22201220111a a a -++的值为 ．三、解答题13. 一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，试求a ，b ，c 的值．14．用直接开平方法解下列方程．(1)（x+1）2=4； (2) (2x-3)2=x 2．15．已知△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝6，x 为实数，且6a b +=，29x ab =-．(1)求x 的值；(2)若△ABC 的周长为10，求△ABC 的面积ABC S △．答案与解析一、选择题1．【答案】C ；【解析】∵方程x 2+ax+1=0和x 2﹣x ﹣a=0有一个公共根，∴（a+1）x+a+1=0，解得x=﹣1，当x=﹣1时，a=2，故选C ．2．【答案】D ；【解析】解不等式得a ＞-2，又由于a 为一元二次方程的二次项系数，所以a ≠0．即a ＞-2且a ≠0．3.【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程ax 2+bx +6=0的一个根为x=﹣2，∴a ×（﹣2）2+b ×（﹣2）+6=0，化简，得2a ﹣b +3=0，∴2a ﹣b=﹣3，∴6a ﹣3b=﹣9，∴6a ﹣3b +6=﹣9+6=﹣3，故答案为：D ．4. 【答案】D ；【解析】由方程根的定义知，把x a =-代入方程得20a ab a -+=，即(1)0a a b -+=，而0a ≠，∴ 1a b -=-.5．【答案】B ；【解析】本题主要考查的是利用一元二次方程的解来探索使分式有意义的值．由290x -=，得3x =±， 由分式有意义，可得x ≠3，所以3x =-．当3x =-时，25653x x x -+=--，故选B ． 6．【答案】C ；【解析】因为当n 是负数时，在实数范围内开平方运算没有意义，当n 是非负数时，直接开平方得，解得x n m =，故选C ．二、填空题7．【答案】p=-3,q=2；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩ 解之得：3,2.p q =-⎧⎨=⎩8．【答案】m=-2；【解析】由题意得：m 2﹣4=0，解得：m=±2，∵m ﹣2≠0，∴m≠2，∴m=﹣29．【答案】1；【解析】将x ＝1代入方程得m+n ＝-1，两边平方得m 2+2mn+n 2＝1.10．【答案】(1)≠±1 ； (2)＝-1.【解析】(1)k 2-1≠0，∴ k ≠±1． (2)由k 2-1＝0，且k-1≠0，可得k ＝-1．11．【答案】20； 【解析】由题意可知2104a a +-=，从而得214a a +=，214a a =-． 于是23543232232111111444411()()()(1)44a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===+--+-+-- 255555544201111144444a a a a a a a a a ---====⎛⎫----- ⎪⎝⎭． 12.【答案】2011. 【解析】因为a 是方程的根，所以2201210a a -+=，所以212012a a +=，220121a a =-，所以22201220111a a a -++2012120121201112012a a a a a =--+=+-20122011a a a -==．三、解答题13.【答案与解析】解：一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为ax 2﹣（2a ﹣b ）x ﹣（b ﹣a ﹣c ）=0， 一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0化为一般形式后为2x 2﹣3x ﹣1=0，得， 解得．14.【答案与解析】解：(1)两边直接开平方得：x+1=±2，得x+1=2,x+1=-2,解得：x 1=1,x 2=-3．(2) 两边直接开平方得，得2x-3=±x ，∴x 1=3,x 2=1．15.【答案与解析】解：（1）6a b =-代入29x ab =-中得22(3)0x b +-=， ∵ 20x ≥，2(3)0b -≥， ∴ 0x =，3b =．（2）由（1）知3a b ==，∴ 1064c =-=，221432252ABC S =⨯⨯-=△。

21．2.1 第1课时 直接开平方法01 基础题知识点1 用直接开平方法解形如x 2＝p(p ≥0)的一元二次方程1．下列方程可用直接开平方法求解的是(A)A ．x 2＝4B ．4x 2－4x －3＝0C ．x 2－3x ＝0D ．x 2－2x －1＝92．(阳泉市平定县月考)一元二次方程x 2－9＝0的根为(C)A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x 1＝3，x 2＝－3D ．x 1＝0，x 2＝33．若代数式3x 2－6的值是21，则x 的值是(B)A ．3B ．±3C ．－3D ．±34．若一个圆的面积是100π cm 2，则它的半径r ＝10cm.5．关于x 的一元二次方程x 2＋a ＝0没有实数根，则实数a 的取值范围是a ＞0．6．用直接开平方法解下列方程：(1)x 2－25＝0;解：x 2＝25，x 1＝5，x 2＝－5.(2)4x 2＝1；解：x 2＝14， x 1＝12，x 2＝－12.(3)0.8x 2－4＝0;解：0.8x 2＝4，x 2＝5，x 1＝5，x 2＝－ 5.(4)4.3－6x 2＝2.8.解：6x 2＝1.5，x 2＝14， x 1＝12，x 2＝－12.知识点2 用直接开平方法解形如(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程7．(丽水中考)一元二次方程(x ＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是(D)A ．x －6＝4B ．x －6＝－4C ．x ＋6＝4D ．x ＋6＝－48．(鞍山中考)已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝b 的根的情况是(C)A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根9．对形如(x ＋m)2＝n 的方程，下列说法正确的是(C)A ．直接开平方得x ＝－m±nB ．直接开平方得x ＝－n±mC ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－m±nD ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－n±m10．用直接开平方法解下列方程：(1)3(x ＋1)2＝13； 解：(x ＋1)2＝19，x ＋1＝±13， x 1＝－23，x 2＝－43.(2)(3x ＋2)2＝25；解：3x ＋2＝5或3x ＋2＝－5，x 1＝1，x 2＝－73.(3)(x ＋1)2－4＝0;解：（x ＋1）2＝4，x ＋1＝2或x ＋1＝－2，x 1＝1，x 2＝－3.(4)(2－x)2－9＝0.解：（2－x ）2＝9，2－x ＝3或2－x ＝－3，x 1＝－1，x 2＝5.易错点 概念不清11．用直接开平方法解一元二次方程4(2x －1)2－25(x ＋1)2＝0.小明的解答如下：移项，得4(2x －1)2＝25(x ＋1)2.①直接开平方，得2(2x －1)＝5(x ＋1)．② 小明的解答有无错误？若有，错在第②步，原因是 解：正确的解答过程为：移项，得4(2x －1)2＝25(x ＋1)2.直接开平方，得2(2x －1)＝±5(x ＋1)．所以x 1＝－7，x 2＝－13.02 中档题12．若a 为方程(x －17)2＝100的一根，b 为方程(y －4)2＝17的一根，且a ，b 都是正数，则a －b 的值为(B)A ．5B ．6 C.83 D ．10－1713．若(a 2＋b 2－2)2＝25，则a 2＋b 2＝7．14．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，则代数式3＋x x 2的值为23或0． 15．若关于x 的一元二次方程(a ＋12)x 2－(4a 2－1)x ＋1＝0的一次项系数为0，则a 的值为12． 16．若一元二次方程ax 2＝b(ab ＞0)的两个根分别是m ＋2与2m －5，则b a＝9． 17．用直接开平方法解下列方程：(1)(2x －3)2－14＝0； 解：移项，得(2x －3)2＝14. ∴2x －3＝±12. ∴x 1＝74，x 2＝54.(2)4(x －2)2－36＝0；解：移项，得4(x －2)2＝36.∴(x －2)2＝9.∴x －2＝±3.∴x 1＝5，x 2＝－1.(3)x 2＋6x ＋9＝7；解：方程整理，得(x ＋3)2＝7.∴x ＋3＝±7.∴x 1＝－3＋7，x 2＝－3－7.(4)4(3x －1)2－9(3x ＋1)2＝0.解：移项，得4(3x －1)2＝9(3x ＋1)2，即[2(3x －1)]2＝[3(3x ＋1)]2.∴2(3x －1)＝±3(3x ＋1)，即2(3x －1)＝3(3x ＋1)或2(3x －1)＝－3(3x ＋1)．∴3x ＋5＝0或15x ＋1＝0.∴x 1＝－53，x 2＝－115.18．已知方程(x －1)2＝k 2＋2的一个根是3，求k 的值和另一个根．解：把x ＝3代入方程，得(3－1)2＝k 2＋2.∴k 2＝2.∴k ＝±2.再将k 2＝2代入方程，得(x －1)2＝4.∴x 1＝3，x 2＝－1.∴方程的另一个根为－1.19．在实数范围内定义运算“”，其法则为＝a 2－b 2，求方程＝24的解． 解：∵＝a 2－b 2， ∴＝(42－32＝＝72－x 2.∴72－x 2＝24.∴x 2＝25.∴x ＝±5.03 综合题20．(整体思想)若关于x的方程m(x＋h)2＋k＝0(m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，则方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解是(B)A．x1＝－6，x2＝－1B．x1＝0，x2＝5C．x1＝－3，x2＝5D．x1＝－6，x2＝2。

2018年秋人教版数学九年级上册同步练习21.2.1解一元二次方程-直接开平方法一．选择题（共12小题）1．方程ax2=c有实数根的条件是（）A．a≠0 B．ac≠O C．ac≥O D．≥O2．对于形如（x+m）2=n的方程，它的解的正确表达式为（）A．都可以用直接开平方法求解，且x=±B．当n≥0时，x=m±C．当n≥O时，x=±﹣mD．当n≥0时，x=±3．方程（x﹣3）2=m2的解是（）A．x1=m，x2=﹣m B．x1=3+m，x2=3﹣mC．x1=3+m，x2=﹣3﹣m D．x1=3+m，x2=﹣3+m4．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（）①x2=1；②（x﹣2）2=5；③（x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x2+1；⑥y2﹣2y ﹣3=0A．1 B．2 C．3 D．45．方程（x+2）2=9的适当的解法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法6．方程（x﹣1）2=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=x2=1 C．x1=x2=﹣1 D．x1=1，x2=﹣27．若3（x+1）2﹣48=0，则x的值等于（）A．±4 B．3或﹣5 C．﹣3或5 D．3或58．用直接开方法解方程（x﹣1）2=4，得到方程的根为（）A．x=3 B．x1=3，x2=﹣1 C．x1=1，x2=﹣3 D．x1=x2=39．方程（x﹣3）2=0的根是（）A．x=3 B．x=0 C．x1=x2=3 D．x1=3，x2=﹣310．下列方程中，不能用直接开平方法的是（）A．x2﹣3=0 B．（x﹣1）2﹣4=0 C．x2+2x=0 D．（x﹣1）2=（2x+1）211．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根12．若方程（x﹣1）2=m有解，则m的取值范围是（）A．m≤0 B．m≥0 C．m＜0 D．m＞0二．填空题（共6小题）13．将方程﹣2（y﹣1）2+5=0化成（mx+n）2=p（p≥0）的形式为．14．代数式（x+2）2的值为4，则x的值为．15．关于x的一元二次方程（x﹣2）2=k+2有解，则k的取值范围是．16．方程x2=16的根是x1=，x2=；若（x﹣2）2=0，则x1=，x2=．17．方程3（4x﹣1）2=48的解是．18．（探究过程题）用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2=0．解：移项得4（2x﹣1）2=25（x+1）2，①直接开平方得2（2x﹣1）=5（x+1），②∴x=﹣7．③上述解题过程，有无错误如有，错在第步，原因是，请写出正确的解答过程．三．解答题（共3小题）19．用直接开平方法解下列方程：（1）（x﹣2）2=3；（2）2（x﹣3）2=72；（3）9（y+4）2﹣49=0；（4）4（2y﹣5）2=9（3y﹣1）2．20．已知一元二次方程（x﹣3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．21．我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．如x2=9，（3x﹣2）2=25，（）2=4…都是完全平方方程．那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3．解决问题：（1）解方程：（3x﹣2）2=25．解题思路：我们只要把3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．解：根据乘方运算，得3x﹣2=5 或3x﹣2=．分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1．（2）解方程．参考答案一．选择题（共12小题）1．D．2．C．3．B．4．D．5．A．6．B．7．B．8．B．9．C．10．C．11．D．12．B．二．填空题（共6小题）13．（y﹣1）2=．14．0，﹣4．15．k≥﹣2．16．（1）x1=4，x2=﹣4；（2）x1=x2=2．17．x=或﹣．18．x1=﹣7，x2=﹣．三．解答题（共3小题）19．（1）x﹣2=±，∴x1=2+，x2=2﹣；（2）（x﹣3）2=36，x﹣3=±6，∴x1=9，x2=﹣3；（3）9（y+4）2=49，∴（y+4）2=，∴y+4=±，∴y1=﹣，y2=﹣；（4）∵2（2y﹣5）=±3（3y﹣1），∴y1=﹣，y2=1．20．解：∵（x﹣3）2=1，∴x﹣3=±1，解得，x1=4，x2=2，∵一元二次方程（x﹣3）2=1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4=2+2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，∴△ABC的周长为：2+4+4=10．21．解：（1）3x﹣2=﹣5，（2）根据乘方运算，得或解这两个一元一次方程，得x1=，x2=．故答案为：﹣5。

21.2.1解一元二次方程-直接开平方法一．选择题（共15小题）1．方程：x2﹣25=0的解是（）A．x=5 B．x=﹣5 C．x1=﹣5，x2=5 D．x=±252．关于x的方程x2=m的解为（）A．B．﹣C．±D．当m≥0时，x=±；当m＜0时，无实根3．2x2﹣98=0的根是（）A．x1=7，x2=﹣7B．x=7C．x1=7，x2=﹣7 D．x=74．若关于x的一元二次方程（x﹣2）2=m有实数解，则m的取值范围是（）A．m≤0 B．m＞0 C．m≥0 D．无法确定5．方程4x2﹣12x+9=0的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x= D．无法确定6．如果（x﹣4）2=25，那么x的值是（）A．±1 B．1 C．±9 D．9或﹣17．方程3x2=1的解为（）A．± B．±C．D．±8．（1﹣2x）2﹣4=0的解是（）A．x1=2，x2=﹣2 B．x1=﹣，x2=C．x=﹣D．x1=，x2=﹣39．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+3）2+b=0的解是（）A．﹣1或﹣4 B．﹣2或1 C．1或3 D．﹣5或﹣210．方程=3的根是（）A．﹣1，﹣3 B．﹣1，1 C．1，﹣5 D．﹣2+，﹣2﹣11．一元二次方程ax2﹣b=0（a≠0）有解，则必须满足（）A．a、b同号B．b是a的整数倍C．b=0 D．a、b同号或b=012．方程x2﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1，x2=﹣1 C．x1=x2=﹣1 D．x1=1，x2=013．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．无实数根14．一元二次方程x2+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定15．规定运算：对于函数y=x n（n为正整数），规定y′=nx n﹣1．例如：对于函数y=x4，有y′=4x3．已知函数y=x3，满足y′=18的x的值为（）A．x1=3，x2=﹣3 B．x1=x2=0 C．x1=，x2=﹣D．x1=3，x2=﹣3二．填空题（共6小题）16．方程3x2﹣3x﹣25=﹣3x的根有个，其中的正数根是．17．方程（x﹣5）2=0的根是．18．完成下面的解题过程：（1）解方程：2x2﹣6=0；解：原方程化成．开平方，得，x1= ，x2= ．（2）解方程：9（x﹣2）2=1．解：原方程化成．开平方，得，x1= ，x2= ．19．方程（x﹣5）2=5的解为．20．一元二次方程x2﹣a=0的一个根是2，则a的值是．21．方程x2=4的解为．三．解答题（共4小题）22．解方程：．23．已知等腰三角形的两边的长是方程（x﹣2）2﹣1=0的两根，求这个等腰三角形的周长．24．解方程（x﹣1）2﹣4=0．25．用直接开平方法解方程．（1）（2x﹣）2=8（2）4x2﹣256=0；（3）（x﹣1）2=．参考答案一．选择题（共15小题）1．C．2．D．3．C．4．C．5．C．6．D．7．D．8．B．9．D．10．C．11．D．12．B．13．D．14．C．15．C．二．填空题（共6小题）16．．17．x1=x2=5．18．解：（1）解方程：2x2﹣6=0；原方程化成x2=3．开平方，得x=±，x1=，x2=﹣．（2）解方程：9（x﹣2）2=1．原方程化成（x﹣2）2=．开平方，得x﹣2=，x1=，x2=．19．．20．4．21．x1=2，x2=﹣2．三．解答题（共4小题）22．解：由原方程移项，得（5﹣3x）2=，直接开平方，得5﹣3x=±，解得x1= x2=．23．解：∵（x﹣2）2﹣1=0，∴（x﹣2）2=1，∴x﹣2=±1，∴x1=3，x2=1，∵1+1＜3，∴腰为3、3，底边为1时，∴这个等腰三角形的周长为3+3+1=7．24．解：（x﹣1）2﹣4=0，（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）=0，x﹣1+2=0，x﹣1﹣2=0，x1=﹣1，x2=3．25．解：（1）开方得：2x﹣=±2，解得：x1=，x2=﹣；（2）方程变形得：x2=64，解得：x1=8，x2=﹣8；（3）方程变形得：（x﹣1）2=3，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x1=1﹣．。

一元二次方程直接开平方法练习题及答案测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题．2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x2－1=6x化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．3．若x2－3x－2=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是______．4．把－x=15化成一般形式为______，a=______，b=______，c=______．5．若xm2?2?x－3=0是关于x的一元二次方程，则m 的值是______．6．方程y2－12=0的根是______．二、选择题7．下列方程中，一元二次方程的个数为．2x2－3=0A．1个2x2＋y2=B．2个x2?4?C．3个x2?1?2xD．4个x2?1?x?5,7x2－6xy＋y2=0，8．在方程：3x－5x=0 ax2?2x?x2??0,2x2??3=0，3x3x2－3x=3x2－1中必是一元二次方程的有．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个9．x2－16=0的根是．A．只有B．只有－C．±D．±810．3x2＋27=0的根是．A．x1=3，x2=－3C．无实数根B．x=D．以上均不正确三、解答题11．2y2=8．12．22－4=0．113．2?25.14．2=2．综合、运用、诊断一、填空题15．把方程?2x2?2x?x化为一元二次方程的一般形式是__________，一次项系数是______．16．把关于x的一元二次方程x2－n＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．17．若方程2kx2＋x－k=0有一个根是－1，则k的值为______．二、选择题18．下列方程：=3，x2＋y＋4=0，2－x=x，x?1?0, x 1x2?1?2x?4,?5,其中是一元二次方程的有．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个19．形如ax2＋bx＋c=0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是．A．a是任意实数 B．与b，c的值有关C．与a的值有关20．如果x? D．与a的符号有关 1是关于x的方程2x2＋3ax－2a=0的根，那么关于y的方程y2－3=a的解是2 ．A．? B．±1 C．±D．?21．关于x的一元二次方程2＋k=0，当k＞0时的解为． A．k?k B．k?k三、解答题22．=8．24．22?6?0.C．k??k D．无实数解3．2=92．5．2=n．拓广、探究、思考26．若关于x的方程x2－x－5＋k=0只有唯一的一个解，则k=______，此方程的解为______．27．如果x|m＋mx－1=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为．｜A．2或－B．C．－D．以上都不正确28．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m2－1=0有一个根是0，求m的值．29．三角形的三边长分别是整数值2cm，5cm，kcm，且k满足一元二次方程2k2－9k－5=0，求此三角形的周长．测试1答案1．1，最高，ax2＋bx＋c＝0 ．2．2x2－6x－1＝0，2，－6，－1．．k≠－4．4．x2－12x＝0，1，－12，0．或－x2＋12x＝0，－1，12，0 ．－2．．y??23. ．A．．A．．C． 10．C．11．y1＝2，y2＝－2． 12．x1??3?2,x2??3?2. 13．x1＝－11，x2＝9．14．x1＝0，x2＝－2． 15．2x2?x??0,2?1.16．x2＋nx＋1－3n＝0，2－n，n，1－3n.x2－nx＋3n－1＝0，n－2,－n，3n－1.)17．1． 18．A． 19．C． 0．C． 1．D．22．x1.2??423? 3．x1??,x2??14. 4．x1＝1，x2＝7． 25．x1?n?m,x2??n?m.．k＝－1，x＝2. 7．C．28．m＝1不合题意，舍去，m＝－1．29．∵3 ∴三角形边长为2cm，5cm，5cm，则周长为12cm．23.2一元二次方程的解法练习题授课班级____ 上课时间：______ 第____ 节典例分析用直接开平方法解下列一元二次方程：492?162解：开平方得，7??4由7?4得x1?15. 由7??4得x2??311.点评：直接开平方法解一元二次方程的要点是：通过等式变形变出x2?n或2?n的形式，再直接开平方；另外注意方程解得书写格式x1、x2. 课下作业一、选择题：1.下列方程中，不能用直接开平方法的是 A. x2?3?0 B. 2?4?0 C. x2?2x?0D. 2?2. 下列说法中正确的是A. 方程x2?4两边开平方，得原方程的解为x?2B. x?3是方程x2?9的根，所以得根是x?3C. 方程x2?25?0的根是x??D. 方程x2?32x?64?0有两个相等的根.已知a?0，方程9a2x2?16b2 ?0的解是_____ A. x?16b9a B.x?4b3a4b2C.x??3aD.x??4b3a24. 方程2x2?m?0的根为_____A.?m2B.?2C.?2D.?25. 若2?1?0，则x得值等于_____ A. ?1 B. ? C. 0或 D. 0或-二、填空题：21.当x?________时，分式x?9无意义；当x?32x?________时，分式x?9的值为零。

新人教版九年级上册《21.2.1.1 直接开平方》同步练习卷一、题型1解形如x2=p（p≥0）的方程1. 若关于x的方程3x2＝a−5有解，则a的取值范围是（）A.a＝5B.a>5C.a≥5D.a≠52. 张老师出示方程x2−4＝0，四位同学给出了以下答案：小丽：x＝2；子航：x＝−2；一帆：x1＝2，x2＝−2；萱萱：x＝±4．你认为谁的答案正确？你的选择是（）A.小丽B.子航C.一帆D.萱萱3. 如果x＝−3是一元二次方程ax2＝c的一个根，那么该方程的另一个根是（）A.3B.−3C.0D.14. 方程x2−√64=0的两根为x1＝________．5. 方程x2＝(x−1)0的解为________．6. 解方程：（1）12x2−198=0；（2）2x2+3＝−2x2+4．二、解形如（mx+n）2=p(m≠0，p≥0）的方程形如(ax+b)2＝p(a≠0)的方程，下列说法错误的是（）A.p>0时，原方程有两个不相等的实数根B.p＝0时，原方程有两个相等的实数根C.p<0时，原方程无实数根D.原方程的根为x=−b±√pa一元二次方程(x−2017)2＝1的解为（）A.2016、2018B.2016C.2018D.2017方程4(2x−1)2−25(x+1)2＝0的解为（）A.x 1＝x 2＝−7B.x 1=−7,x 2=−13C.x 1=13,x 2=7D.x 1=−7,x 2=13若关于x 的方程(ax −1)2−16＝0的一个根是2，则a 的值为（ ）A.52B.−32C.−52或32D.52或−32已知一元二次方程(x −3)2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长，则△ABC 的周长为（ ）A.10B.10或8C.9D.8如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为________．如果(2a +2b +1)(2a +2b −1)＝63，那么a +b 的值为________．解方程：12(y +2)2−6＝0； (2)(x −4)2＝(5−2x)2．三、易错点忽略非负性而导致出错李老师在课上布置了一个如下的练习题：若(x 2+y 2−3)2＝16，求x 2+y 2的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程：解：∵ (x 2+y 2−3)2＝16，①∴ x 2+y 2−3＝±4，②∴ x 2+y 2＝7，x 2+y 2＝−1．③晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．参考答案与试题解析新人教版九年级上册《21.2.1.1 直接开平方》同步练习卷一、题型1解形如x2=p（p≥0）的方程1.【答案】C【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】根据直接开平方法解一元二次方程的条件求解可得．【解答】∵关于x的方程3x2＝a−5有解，∴a−5≥0，解得a≥5，2.【答案】C【考点】一元二次方程的解【解析】利用一元二次方程解的定义进行判断．【解答】当x＝2时，x2−4＝0；当x＝−2时，x2−4＝0，所以方程的解为x1＝2，x2＝−2．3.【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】求出方程的解，根据已知x＝−3是一元二次方程ax2＝c的一个根得出方程的另一个根即可．【解答】ax2＝c，x2=c，ax＝±√c，a∵x＝−3是一元二次方程ax2＝c的一个根，∴该方程的另一个根是x＝3，4.【答案】2√2，x2＝−2√2【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】先移项，再开方，即可得出答案．【解答】移项得：x2＝8，开方得：x＝±2√2，即x1＝2√2，x2＝−2√2，5.【答案】x＝−1【考点】解一元二次方程-直接开平方法零指数幂【解析】变成x2＝1，从而把问题转化为求1的平方根．注意x−1≠0．【解答】由原方程得：x2＝1，且x−1≠0．解得x＝−1．6.【答案】∵12x2−198=0，∴x2=149，∴x＝±17．∵2x2+3＝−2x2+4，∴4x2＝1，∴x=±12．【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】∵12x2−198=0，∴x2=149，∴x＝±17．∵2x2+3＝−2x2+4，∴4x2＝1，∴x=±12．二、解形如（mx+n ）2=p(m≠0，p≥0）的方程【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】当p <0时，该方程无实数根，当p >0时，该方程有两个不相等的实数根，当p ＝0时，该方程有两个相等的实数根，【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】利用直接开平方法求解可得．【解答】∵ (x −2017)2＝1，∴ x −2017＝1或x −2017＝−1，解得x ＝2018或x ＝2016，【答案】B【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】首先移项可得4(2x −1)2＝25(x +1)2，再两边直接开平方得：2(2x −1)＝±5(x +1)，然后解一元一次方程即可．【解答】4(2x −1)2−25(x +1)2＝0，移项得：4(2x −1)2＝25(x +1)2，两边直接开平方得：2(2x −1)＝±5(x +1)，2(2x −1)＝5(x +1)，2(2x −1)＝−5(x +1)，解两个方程得：x 1＝−7，x 2=−13．【答案】D【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】将x ＝2代入原方程即可求出答案．【解答】将x ＝2代入原方程即可求出答案．∴ (2a −1)2＝16，∴ 2a −1＝±4，∴ a =52或a =−32．【答案】A【考点】解一元二次方程-直接开平方法等腰三角形的性质三角形三边关系【解析】由一元二次方程(x−3)2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，利用直接开平方法求解即可求得等腰△ABC的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为3和5时与当底边长和腰长分别为5和3时去分析，即可求得答案．【解答】∵(x−3)2＝1，∴x−3＝±1，解得，x1＝4，x2＝2，∵一元二次方程(x−3)2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，∴ ①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2+2，此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，∴△ABC的周长为：2+4+4＝10；【答案】4或−2【考点】列代数式求值有理数的混合运算【解析】根据题意，可得：(x−1)2×(−3)＝−27，据此求出(x−1)2的值是多少，即可求出输入x的值为多少．【解答】根据题意，可得：(x−1)2×(−3)＝−27，∴(x−1)2＝9，∴x−1＝±3，解得x＝4或−2．【答案】±4【考点】平方差公式【解析】将2a+2b看做整体，用平方差公式解答，求出2a+2b的值，进一步求出(a+b)的值．【解答】∵(2a+2b+1)(2a+2b−1)＝63，∴(2a+2b)2−12＝63，∴(2a+2b)2＝64，2a+2b＝±8，两边同时除以2得，a+b＝±4．【答案】(y+2)2＝6，（1）∵12∴(y+2)2＝12，则y+2＝±2√3，∴y＝−2±2√3，即y1＝−2+2√3，y2＝−2−2√3；（2）∵(x−4)2＝(5−2x)2，∴x−4＝5−2x或x−4＝2x−5，解得x1＝3，x2＝1．【考点】解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-直接开平方法【解析】利用直接开平方法求解可得．【解答】(y+2)2＝6，（1）∵12∴(y+2)2＝12，则y+2＝±2√3，∴y＝−2±2√3，即y1＝−2+2√3，y2＝−2−2√3；（2）∵(x−4)2＝(5−2x)2，∴x−4＝5−2x或x−4＝2x−5，解得x1＝3，x2＝1．三、易错点忽略非负性而导致出错【答案】解；第③步出错了，正确步骤如下，∵(x2+y2−3)2＝16，∴x2+y2−3＝±4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝7．【考点】解一元二次方程-直接开平方法【解析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解；第③步出错了，正确步骤如下，∵(x2+y2−3)2＝16，∴x2+y2−3＝±4，∵x2+y2≥0，∴x2+y2＝7．。

21.2.1 一元二次方程的解法（一）配方法瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进直接开方法解一元二次方程原理：题型一：直接开方法解一元二次方程原理：【例题1】下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A ．240x -= B ．2(1)90x --= C ．230x x += D ．22(1)(21)x x -=+【答案】C【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．【详解】能用直接开平方法求解的是：240x -=、2(1)90x --=和22(1)(21)x x -=+； 故选C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）． 变式训练【变式1-1】关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ） A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤知识点管理 归类探究 1 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. 特别说明：用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数，可得0b ≥． 【详解】∵()20x a +≥，∵0b ≥，a 为任意数，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：2x a =（a≥0）．形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解题型二：形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解【例题2】一元二次方程290x 的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．123,3x x ==-D ．12=3,3x x =-【答案】C【分析】先变形得到x 2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x 2=9，x =±3，所以x 1=3，x 2=-3． 故选：C ．【点睛】本题考查了直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 变式训练【变式2-1】方程280x -=的解为（ ） A ．14x =，24x =-B ．122x =，222x =-2 若0a则x a =±；表示为1,2x a x a ==- 方程有两个不等实数根 若=0a 则x=O 表示为120x x == 方程有两个相等的实数根 若0a则方程无实数根特别说明：(1)先移项，再开方；(2)形如2x a =的方程不一定有解，需要分情况讨论.C ．10x =，222x =D ．22x =【答案】B【分析】移项得x 2=8，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：移项得28x =，两边开方的：22x =±，即1222,22x x ==-，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【变式2-2】方程x 2＝0的解为（ ） A ．0x = B ．120x x ==C ．无解D ．以上都不对【答案】B【分析】直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x 2＝0，∵x 1=x 2=0．故选：B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握直接开平方的方法是解本题的关键． 【变式2-3】一元二次方程224x =-的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．无解D ．12x =，22x =-【答案】C形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解题型三：形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解 【例题5】方程2(1)4x +=的解为（ ）A ．121,1x x ==-B ．121,3x x =-=C ．122,2x x ==-D ．121,3x x ==-【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解．3 形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解，两根是12,n m n mx x a a-+--==． 特别说明：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【详解】解2(1)4x +=x+1=±2∵x+1=2或x+1=-2 解得121,3x x ==- 故选D ．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用． 变式训练【变式5-1】2(31)9x -= 【答案】（1）x 1=43，x 2=23-；【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】解：（1）2(31)9x -=， 两边开方得：313x -=±， 解得：x 1=43，x 2=23-；【变式5-2】解方程：（1）22(2)180x +-= （2）229(2)4(25)x x -=+ （1）解：22(2)180x +-=， ∵22(2)18x +=， ∵2(2)9x +=， ∵23x +=或23x，解得：x 1=1，x 2=-5；（2）解：∵9（x -2）2=4 （2x +5）2．∵3（x -2）=2（2x +5）或3（x -2）=-2（2x +5）， 解得x 1=-16，x 2=47-配方法解一元二次方程题型四：用配方法给方程变形【例题3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）用配方法解方程241x x -=时，原方程应变形为（ ） A ．2(2)1x -= B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x +=D ．2(2)5x -=【答案】D【分析】移项，配方，变形后即可得出选项． 【详解】解：x 2-4x =1， x 2-4x +4=1+4， ∵（x -2）2=5，4 1．配方法的定义通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤①通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，把原方程化为20(0)ax bx c a ++=≠的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，形如；⑤一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当p =0时，原方程有两个相等的实数根；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以原方程无实数根. . 特别说明：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．2()x n p +=2()x n p +=12x n p x n p =--=-+，12x x n ==-2()0x n +≥故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·浙江杭州市·八年级期中）方程26100x x --=变形时，下列变形正确的为（ ） A ．2(3)1x += B ．2(3)1x -=C ．2(3)19x +=D ．2(3)19x -=【答案】D【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程移项得：x 2-6x =10，配方得：x 2-6x +9=19，即（x -3）2=19，故选：D ．【变式4-2】（2021·浙江杭州市·八年级期中）一元二次方程2660x x --=经配方可变形为（ ） A ．2(3)10x -= B ．()2642x -=C ．2(6)6x -=D ．2(3)15x -=【答案】D【分析】把方程左边化为完全平方式的形式即可．【详解】解：原方程可化为x 2-6x +32-32=6，即（x -3）2=15．故选：D ．【变式4-3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）若方程280x x m -+=可通过配方写成2() =6x n -的形式，则285++=x x m 可配方成（ ） A ．2(5)1x n -+= B ．2()1x n +=C ．2(5)11x n -+=D ．2()11x n +=【答案】D【分析】已知方程x 2-8x +m =0可以配方成（x -n ）2=6的形式，把x 2-8x +m =0配方即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值，再利用配方法即可确定x 2+8x +m =5配方后的形式． 【详解】解：∵x 2-8x +m =0， ∵x 2-8x =-m ， ∵x 2-8x +16=-m +16，∵（x -4）2=-m +16， 依题意有n =4，-m +16=6， ∵n =4，m =10，∵x 2+8x +m =5是x 2+8x +5=0， ∵x 2+8x +16=-5+16， ∵（x +4）2=11， 即（x +n ）2=11． 故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 题型五：配方法解一元二次方程【例题5】（2019·湖北黄冈市·九年级期中）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0．【答案】x 1x 2 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1=0， ∵2x 2﹣4x=1，则x 2﹣2x=12， ∵x 2﹣2x+1=32，即（x ﹣1）2=32，则x ﹣∵x 1=22+x 2=22． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数.变式训练【变式5-1】（2018·芜湖市繁昌区第三中学）解方程： 22310x x --=（用配方法）【答案】14x =，24x =；【分析】先两边同时除以2，再将原方程配方即可得出答案.【详解】解：231x 022x --= 2223331x 02442x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317x 416⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵1x =2x = 【变式5-2】（2018·全国九年级单元测试）x 2－4x ＋2＝0(配方法);【答案】x 1＝2x 2＝2【分析】方程的常数项移到方程右边,两边都加上4,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;【详解】解方程变形得: x 2－4x=-2 配方得: x 2-4x+4=2,即(x -2) 2=2,开方得:x -2=±解得:12x =22x =【变式5-3】（2019·江苏期中）解方程：x 2+6x ﹣2=0.【答案】x=﹣.【分析】利用配方法可求出一元二次方程的解. 【详解】∵x 2+6x ﹣2=0，∵x 2+6x=2，则x 2+6x+9=2+9，即（x+3）2=11， ∵x+3=±11， ∵x=﹣3±11.配方法的应用题型六：配方法用于比较大小【例题6】（2020·福建省永春第五中学九年级期中）已知7115P m =-,2815Q m m =-,（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．P ＞Q B ．P=QC ．P ＜QD ．不能确定【答案】C【分析】由题意表示出，再根据化简后的代数式的特征即可作出判断.【详解】解：∵∵P Q <故选C.【点睛】用不等式比较代数式的大小是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 变式训练【变式6-1】（2020·四川遂宁市·八年级期中）已知22862M x y x =-+-，29413N x y =++，则M N-5 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．的值 （ ） A ．为正数 B ．为负数C ．为非正数D ．不能确定【答案】B【分析】将M -N 整理成-（x -3）2-（y+2）2-2，从而说明M -N 的值为负数． 【详解】∵M -N=8x 2-y 2+6x -2-（9x 2+4y+13） =-x 2+6x -y 2-4y -15=-[（x 2-6x+9）+（y 2+4y+4）+2]=-（x -3）2-（y+2）2-2， ∵M -N 的值为负数，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式6-2】（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N ≥ B ．M N ≤C ．M N >D ．M N <【答案】C【解析】∵223824M x N x x =+=+，，∵222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>， ∵M N >.故选C.【变式6-3】（2021·河北九年级专题练习）已知M=29a ﹣1，N=a 2﹣79a （a 为任意实数），则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＜N B ．M=NC ．M ＞ND ．不能确定【答案】A【详解】∵M =219a -，N =279a a -（a 为任意实数），∵N -M =21a a -+=21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵N ＞M ，即M ＜N ，故选A ． 题型七：配方法用于求待定字母的值【例题7】（2018·全国九年级单元测试）已知2a 4b 18-=-，2b 10c 7+=，2c 6a 27-=-．则a b c ++的值是（ ） A ．5-B ．10C ．0D ．5【答案】C【分析】将已知三个式子相加后，配方即可得到a 、b 、c 的值，从而得出结论． 【详解】由a 2﹣4b =﹣18，b 2+10c =7，c 2﹣6a =﹣27得：a 2﹣4b +b 2+10c +c 2﹣6a +38=0，∵（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c +5）2=0，∵a =3，b =2，c =﹣5，∵a +b +c =0． 故选C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 变式训练【变式7-1】（2020·江苏南通市·八年级期中）若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，则式子x ﹣y 的值等于（ ） A ．﹣1 B ．1C ．﹣5D ．5【答案】C【分析】把给出的式子进行配方，根据非负数的性质求出x ，y 的值，再代入要求的式子即可得出答案． 【详解】∵x 2＋y 2＋4x−6y ＋13＝0， ∵x 2＋4x ＋4＋y 2−6y ＋9＝0， ∵（x ＋2）2＋（y−3）2＝0，∵x ＝−2，y ＝3， ∵x−y ＝−2−3＝−5； 故选C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是非负数的性质，通过配方求出x ，y 的值是解题的关键． 【变式7-2】（2021·黑龙江大庆市·八年级期末）已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=，246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【解析】∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∵a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∵a =3，b =2，c =2，∵此三角形为等腰三角形． 故选A ．【变式7-3】若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，4,4n m ∴==.题型八：配方法用于求最值【例题8】（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）阅读下面的解题过程，求21030y y -+的最小值．解：∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+，而()250y -≥，即()25y -最小值是0； ∵21030y y -+的最小值是5 依照上面解答过程，（1）求222020m m ++的最小值； （2）求242x x -+的最大值． 【答案】（1）2019；（2）5．【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可； 【详解】（1）2222020212019m m m m ++=+++ ()212019m =++∵()210m +≥，∵()2120192019m ++≥，∵222020m m ++的最小值为2019；（2）()2242215x x x x -+=--++()215x =--+，∵()210x -≥， ∵()210x --≤， ∵()2155x --+≤， ∵242x x -+的最大值是5.变式训练【变式8-1】（2019·辽宁大连市·八年级期末）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】利用配方法将24x mx -++进行配方，即可得出答案.【详解】解：22244,24m m x mx x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭故245,4m += 解得： 2.m =± 故选B.【变式8-2】（2020·全国八年级课时练习）不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ） A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．非正数【答案】B【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案． 【详解】2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>， ∵a 2＋b 2−6a ＋10b ＋35的值恒为正数．故选：B ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键． 【变式8-3】（2020·山东威海市·八年级期中）若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∵不论a 取何值，x ≤﹣3． 故选D ．【真题1】（2016·湖北荆州市·中考真题）将二次三项式x 2＋4x ＋5化成(x ＋p)2＋q 的形式应为____. 【答案】(x ＋2)2＋1 【详解】试题分析：原式=2x +4x+4+1=()221x ++ 故答案为：()221x ++【真题2】（2010·河北中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++1链接中考2(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【真题3】（2010·江苏镇江市·中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4 【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++12(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【拓展1】（2020·全国九年级课时练习）解方程：2232mx x -=+()1m ≠【答案】当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.【详解】解：移项得：2223mx x -=+， 化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-， 满分冲刺1x ∴==2x ==∴当1m 时，原方程的解是x ==当1m <时，原方程无实数解．【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.【拓展2】（2020·渠县崇德实验学校七年级期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∵（x +2）2+1≥1，∵x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x 、y 的值，再求x ＋y 的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1； （2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0， （x ﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x ﹣2＝0，y+1＝0， 解得x ＝2，y ＝﹣1， 则x+y ＝2﹣1＝1； （3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3） ＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0，∵（x﹣1）2+1＞0，∵x2﹣1＞2x﹣3．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【拓展3】（2019·全国九年级单元测试）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4，∵（y+2）2≥0，∵（y+2）2+4≥4，∵y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．【答案】154；7.【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．【详解】解：（1）x2-x+4=（x-12）2+154，∵（x-12）2≥0，∵（x-12）2+154≥154．则x2-x+4的最小值是154；（2）6-2x-x2=-（x+1）2+7，∵-（x+1）2≤0，∵-（x+1）2+7≤7，则6-2x-x2的最大值为7．【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。