三角形“四心”及其向量形式.docx

第4讲向量与四心四心的概念：外心:三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H 表示)。

重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。

与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有1设()+∞∈,0λ，则向量AC ABλ必平分∠BAC，该向量必通过△ABC 的内心;2设()+∞∈,0λ，则向量AC AB λ必平分∠BAC 的邻补角3设()+∞∈,0λ，则向量AC AB λ必垂直于边BC，该向量必通过△ABC 的垂心4△ABC 中+一定过BC的中点，通过△ABC 的重心5点O 是△ABC 的外心222OC OB OA ==⇔6点O 是△ABC 的重心0=++⇔OC OB OA 7点O 是△ABC 的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅（移项证明）8点O 是△ABC 的内心=⋅+⋅+⋅⇔c b a (其中a、b、c 为△ABC 三边)9△ABC 的外心O 、重心G 、垂心H 共线，即∥10设O 为△ABC 所在平面内任意一点，G 为△ABC 的重心，，I 为△ABC 的内心，则有)(31OC OB OA OG++=cb a OCc OB b OA a OI ++++=并且重心G（X A +X B +X C 3，Y A +Y B +Y C3）内心I（aX A +bX B +cX C a+b+c ，ay A +by B +cy Ca+b+c）推论（结合奔驰定理）ABC 内有一点O ，0xO A yO B zO C ++=1.如果点O 是ABC 的重心：::1:1:1x y z =2.如果点O 是ABC 的内心：::sin :sin :sin x y z A B C =3.如果点O 是ABC 的外心：::sin 2:sin 2:sin 2x y z A B C =4.如果点O 是ABC 的垂心：::tanA :tanB :tanCx y z =典型例题1．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()[0||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC C λλ=++∈，)+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解答】解： ||sin ||sin AB B AC C =设它们等于t ，∴1()OP OA AB AC tλ=++而2AB AC AD+= 1()AB AC tλ+表示与AD 共线的向量AP 而点D 是BC 的中点，所以即P 的轨迹一定通过三角形的重心．故选：C ．2．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++ ，[0λ∈，)+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心【解答】解：设BC 的中点为D ，(2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD AB B AC C λ=++，即(||cos ||cos AB ACDP AB B AC Cλ=+，两端同时点乘BC ， ||||cos()||||cos (()(||||)0||cos ||cos ||cos ||cos AB BC AC BC AB BC B AC BC CDP BC BC BC AB B AC C AB B AC Cπλλλ-=+=+=-+=，DP BC ∴⊥，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过ABC ∆的外心故选：D ．3．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(||||AB ACOP OA AB AC λ=++，(0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【解答】解：||AB AB 、||ACAC分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，||||AB ACAB AC ∴+的方向与BAC ∠的角平分线重合，又()||||AB AC OP OA AB AC λ=++可得到()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+∴向量AP的方向与BAC ∠的角平分线重合，∴一定通过ABC ∆的内心故选：B ．模拟自测1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心2．P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ==，则P 是ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3．已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++（其中P 是ABC 所在平面内任意一点），则O 点是ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边的长依次为a ，b ，c ，M 为该三角形所在平面内的一点，若0aMA bMB cMC ++=，则M 是ABC ∆的()A ．内心B ．重心C ．垂心D ．外心5．已知O 是平面内一点，且222OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的()A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心6．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，则O 点的轨迹一定通过ABC ∆的()A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7已知点O 、N 、P 在ABC ∆所在平面内，且OA OB OC == ，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ==，则点O 、N 、P 依次为ABC ∆的()A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心8．已知点P 是ABC ∆的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足222AP BC AC AB =- ，则点P 一定是ABC ∆的()A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心9．已知非零向量AB ，AC 满足()0||||AB AC BC AB AC += ，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC∆的形状是()A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形10．已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠角的平分线，I为PC 上一点，满足(0)||||AC APBI BA AC AP λλ=++>，||||4PA PB -= ，||10PA PB -= ，则||BI BABA的值为()A ．2B ．3C ．4D ．5参考答案1）解：令D 为BC 的中点，则()2OP OA AB AC OA AD λλ=++=+ ，于是有2AP AD λ= ，∴点A 、D 、P 共线，即点P 的轨迹通过三角形ABC 的重心．故选：D ．2）解：PA PB PB PC PC PA ==，则由PA PB PB PC =得：()0,0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=即，PB AC∴⊥同理PA BC ⊥，PC AB ⊥，即P 是垂心故选：D ．3）解：由aPA bPB cPCPO a b c ++=++得aPO bPO cPO aPA bPB cPC ++=++ ，即()()()0a PA PO b PA PO c PC PO -+-+-=．即0aOA bOB cOC ++= ．即()()0aOA b OA AB c OA AC ++++=．再设1e 为AB 的单位向量，2e 为AC 的单位向量，所以12()()a b c OA bc e e ++=-+ ，所以12()bcOA e e a b c=-+++ ．则说明O 在A ∠的角平分线上，同理可得O 也在B ∠，C ∠的平分线上，故O 为ABC ∆的内心．故选：B ．4）解：M 是三角形ABC 的内心．理由如下：已知0aMA bMB cMC ++=，延长CM 交AB 于D ，根据向量加法得：MA MD DA =+ ，MB MD DB =+ ，代入已知得：()()0a MD DA b MD DB cMC ++++=，因为MD 与MC共线，所以可设MD kMC = ，上式可化为()(ka kb c MC +++ )0aDA bDB +=，由于DA 与DB 共线，MC 与DA 、DB不共线，所以只能有：0ka kb c ++=，0aDA bDB +=，由0aDA bDB += 可知：DA 与DB 的长度之比为b a，所以由内角平分线定理的逆定理可得CD 为ACB ∠的平分线，同理可证AM ，BM 的延长线也是角平分线．故M 为内心．故选：A ．5）解：O 是平面内一点，且222OA OB OC == ，可得：||||||OA OB OC ==，所以O 是ABC ∆的外心．故选：B ．6）解：BC OC OB =- ，CA OA OC =- 、AB OB OA =-，∴由222222OA BC OB CA OC AB +=+=+ ，得222222()()()OA OC OB OB OA OC OC OB OA +-=+-=+- ，OB OC OA OC OA OB ∴== ，即()()()OC OB OA OA OC OB OB OC OA -=-=- ，OC AB OA BC OB AC ∴== ，则OC AB ⊥，OA BC ⊥，OB AC ⊥．O ∴是ABC ∆的垂心．故选：D ．7）证明： OA OB OC ==，O ∴到三角形三个顶点的距离相等，O ∴是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，PA PB PB PC PC PA == ，∴()0PB PA PC -=，∴0PB CA =，∴PB CA ⊥ ，同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，得到P 是三角形的垂心，故选：C ．8）解：设D 为BC 的中点，可得2AC AB AD +=22()()AC AB AC AB AC AB -=+- ，∴点P 满足2222()AP BC AC AB AD AC AB =-=-，向量BC AC AB =- ，∴22AP BC AD BC = ，移项得2()0BC AD AP -=即0BC PD = ，得BC PD ⊥．结合D 为BC 的中点，可得P 在BC 的垂直平分线上又 点P 是ABC ∆的内心、外心、重心和垂心之一∴结合三角形外接圆的性质，得点P 是ABC ∆的外心故选：B ．9）解：()0||||AB AC BC AB AC += ，||AB AB ，||ACAC分别为单位向量，A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=，1cos ||||2AB AC A AB AC == ，3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ．10）解： ||||10PA PB AB -==，PC 是APB ∠角的平分线，又满足(0)||||AC AP BI BA AC AP λλ=++>，即(||||AC APAI AC AP λ=+，所以I 在BAP ∠的角平分线上，由此得I 是ABP ∆的内心，过I 作IH AB ⊥于H ，I 为圆心，IH 为半径，作PAB ∆的内切圆，如图，分别切PA ，PB 于E 、F ，||||4PA PB -= ，||10PA PB -=，11||||(||||||)[||(||||)]322BH BF PB AB PA AB PA PB ==+-=--=，在直角三角形BIH 中，||cos ||BH IBH BI ∠= ，所以||cos ||3||BI BA BI IBH BH BA =∠==．故选：B ．。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下：一． 知识点总结 1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++4）O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA OB ACAC |AB |AB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成：0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；二． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心BCHA图6解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和，又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

OA OB OC AB AC AB cos BAC cos C→ AB sin B → AC sin C ⎪⎪⎭ 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍 （1） 重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2：1； （2） 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3） 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4） 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合（1） OA + OB + OC = 0 ⇔ O 是 ∆ABC 的重心.（2） OA ⋅ OB = OB ⋅ OC = OC ⋅ OA ⇔ O 为 ∆ABC 的垂心. （3） 设 a , b , c 是三角形的三条边长，O 是 ∆ ABC 的内心aOA + bOB + cOC = 0 ⇔ O 为 ∆ABC 的内心.（4） = = ⇔ O 为 ∆ABC 的外心。

典型例题：例 1： O 是 平 面 上 一 定 点 ， A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足OP = OA + ( A B + AC ) ，∈[0,+∞) ，则点 P 的轨迹一定通过∆ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例 2： O 是平面上一定点， A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足OP = OA + ( +) ，∈[0,+∞) ，则点P 的轨迹一定通过∆ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心例 3： O 是 平 面 上 一 定 点 ， A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足OP = OA + (+) ， ∈[0,+∞) ，则点 P 的轨迹一定通过 ∆ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心⎛ ⎫→ → → → ⎪ 例 4：若存在常数,满足 M G = MA + AB + ⎝AC ⎪(≠ 0) ,则点 G 可能通过∆ABC 的.举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若 P 点为∆ABC 内任意一点，若 P 点满足:⎪DP PB = DP PC ⇒ P 为 ABC 的外心; ⎪ AP BC = 0 ⇒ P 为 ABC 的垂心. 1 + = ⎪ ⎧AP = ( AB + AC ),> 0⎪⎪ 1． ⎨AB AC ⇒ P 为 ABC 的内心;⎪BP = t ( BA + BC )，t > 0 ⎩⎪ BABC 2. D 、E 两点分别是∆ABC 的边 BC 、CA 上的中点,且 ⎧ ⎨ ⎪⎩EP PC = EP PA ⎧ 1 ⎪ AP = 3 ( AB + AC ), 3. ⎨ 1⇒ P 为 ABC 的重心; ⎪BP = ⎩ (BA + BC )， 3 ⎧ 4. ⎨ ⎪⎩BP AC = 0练习：1. 已知∆ABC 三个顶点 A 、B 、C 及平面内一点 P ，满足 PA + PB + PC = 0 ，若实数满足： AB + AC = AP ，则的值为（） 3 A ．2B ．C ．3D ．622. 若∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，半径为 1， OA + OB + OC = 0 ，则OA ⋅ OB = ()A ．B ．0C ．1D ． - 1223. 点O 在∆ABC 内部且满足OA + 2OB + 2OC = 0 ，则∆ABC 面积与凹四边形 ABOC 面积之比是（ ）3 54 A ．0B ．C ．D ．2434.∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，若OH = OA + OB + OC ，则 H 是∆ABC 的（ ）A. 外心B ．内心C ．重心D ．垂心5.O 是平面上一定点， A 、 B 、 222C 是平面上不共线的三个点，若OA BC OB+ CA 2= OC 2+ AB 2，则O 是∆ABC 的（ ）A. 外心B ．内心C ．重心D ．垂心6.∆ABC 的外接圆的圆心为 O ，两条边上的高的交点为 H ， OH = m (OA + OB + OC ) ，22 2=++则实数m =→→→→AB AC→→AB→AC17.已知非零向量AB与AC满足( → + → )·BC=0 且→·= , 则△ABC 为( )|AB| |AC| |AB|→ 2|AC|A.三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8.已知∆ABC 三个顶点A、B、（）C ，若AB =AB ⋅AC +AB ⋅CB +BC ⋅CA ，则∆ABC 为A.等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形9.已知A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =1(1OA +1OB +2 OC ),则点P 一定为三角形ABC 的（）3 2 2A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点10.在三角形ABC 中，动点P 满足：CA =CB - 2 A B •CP ，则P 点轨迹一定通过△ABC的：（）Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心11.若O 点是∆ABC 的外心, H 点是∆ABC 的垂心,且OH m(OA OB OC) ,求实数m 的值.12、已知向量OP1, OP2 , OP3 满足条件OP1+OP2 +OP3 = 0 ，| OP1|=| OP2 |=| OP3 |= 1 ，求证：△P1P2P3是正三角形．PA13.在△ABC 内求一点 P ，使 AP 2+ BP 2+ CP 2最小．B图２。

三角形“四心”的向量特征及应用1、 三角形重心的向量特征,,,0==G ABC GA GB GC ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++= AGB BGC CGA AGB BGC CGA 定理一已知为的重心，记AGB,BGC,CGA 的面积S S S 则，且S S S 。

2、 三角形垂心的向量特征()cos cos .,,H ABC AH b C AB c B AC b ABC B C λλ∆=+∆∠∠引理已知为的垂心，则存在实数，使得其中为中所对的边。

,,,,,AHB BHC CHA H ABC AH B BH C C H A S S S ∆∆∆∆∆∆定理已知为非直角三角形的垂心，记的面积为tan tan tan 0=tan tan tan AHB BHC CHA A HA B HB C HC S S S C A B ∆∆∆⋅+⋅+⋅=则，且：：：：。

(),0,,cos cos O A B C P O P O A AB ACP ABC AB B AC C λλ=+⎛⎫⎪+∈+∞∆ ⎪⎝⎭例：已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足则动点的轨迹一定通过的垂心3、 三角形内心的向量特征3,,,,0.=::.AIB BIC CIA AIB BIC CIA I ABC AIB BIC CIA S S S a IA b IB c IC S S S c a b ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++= 定理：已知为的内心，记的面积为，则且：： 4、 三角形的外心的向量特征,,,,,sin 2sin 2sin 20=sin 2sin 2sin 2.AO B BO C C O A AO B BO C C O A O ABC AO B BO C C O A S S S AO A B O B C O C S S S C A B ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++=定理：已知为的外心，记的面积为则且：：：：。

三角形四心的向量性质2三角形“四心”的向量性质及其应用一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若GA GB GC ++=0．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0，所以 ()GA GB GC =-+．以GB ，GC 为邻边作平行四边形BGCD ， 则有GD GB GC =+， 所以GD GA =-．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =，GE ED =．所以AE 是ABC △的边BC 的中线． 故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =a ，=OB b ，=OC c ，试用a b c ，，表示OG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a GCGB GA OG c b a ++=-++∴而03=-++∴OG c b a图33cb a OG ++=∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC ACAB ，，的中点．则AD BE CF ++=0．证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GCCF GBBE GA AD 232323 )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA AD BE CF ∴++=0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点， 则1()4PO PA PB PC PD =+++．证明：1()2PO PA PC =+，1()2PO PB PD =+， 1()4PO PA PB PC PD ∴=+++．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P 与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=0．二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △内一点，满足MC MB MA ==，则点M 为△ABC 的外心。

三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。

三角形“四心”及其向量形式.docx三角形“四心”及其向量形式在高考屮，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。

这就需要我们在熟悉三角形的“四心”定理及向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。

下面从六个方面加以阐述：1.三角形的“四心”定理的平面儿何证明；2.三角形“四心”定理向量形式的充要条件及其证明；3.与三角形的“四心”有关的一些常见的其它向量关系式；4.与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用；5.练习题.1?三角形的“四心”定理的平面几何证明①三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。

证明：设AB、BC的中垂线交于点0,则有0A=0B=0C, 故0也在AC的中垂线上，I大I为0到三顶点的距离相等, 故点0是△ ABC外接圆的圆心.因而称为外心.②三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。

证明：AD、BE、CF为AABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线，相交成AA'B‘ C' , AD为C'的中垂线；同理BE、CF也分别为N C‘、￡的中垂线，由外心定理，它们交于一点,命题得证.③三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。

证明：（同?法）设中线BE,CF交于点G,连结EF,则EF//BC,且EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2.同理中线AD, BE交于G；连结DE,则:DE//AB,且EG':GE二DG':G'A二DE:AB二1:2,故G, G'重合.④三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。

证明：设ZA、ZC的平分线和交于I,过 1 作1D±BC, 1E±AC, 1F±AB,则有IE二IF二ID?因此I也在ZC的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点.2.三角形的“四心”定理的平面向量表达式及其证明①0是4P\PK的重心O 州+亟+死=6 （其中a,b,c是NP\PK三边）P证明：充分性两+西+西= 6 = 0是A片巴人的重心若两+西+西=6,则两+西二-西，以两，西为邻边作平行四边形OPR'P"设。

三角形“四心”向量形式的结论及证明三角形的“四心”是指三角形的重心、外心、内心和垂心。

它们的位置可以用向量的形式来描述。

本文将分别介绍三角形“四心”的向量形式以及其证明。

1.重心:重心是指三角形三个顶点的中线交点所在的点，用G表示。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则重心G的坐标可以通过以下公式得到：G=(A+B+C)/3其向量形式为：OG=(OA+OB+OC)/3其中O为坐标原点。

证明：由定义可知，重心是三角形三个顶点的中线交点所在的点。

而中线的坐标可以通过两个顶点的坐标的平均值得到。

因此，重心的坐标是三个顶点坐标的平均值。

根据向量加法的性质，可以得到上述结论。

2.外心:外心是指可以通过三角形的三个顶点作为圆心，找到一个圆使得三条边都是这个圆的切线。

用O表示外心。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则外心O的坐标可以通过以下公式得到：O=(a^2*A+b^2*B+c^2*C)/(a^2+b^2+c^2)其中a、b、c分别表示三角形的边长BC、AC和AB的长度。

其向量形式为：OO=(a^2*OA+b^2*OB+c^2*OC)/(a^2+b^2+c^2)其中O为坐标原点。

证明：设外心为O，连接OA、OB、OC，并设AO的长度为R，BO的长度为R'，CO的长度为R''。

根据定义可知，OA，OB，OC都是截圆半径，可以得到以下关系：OA⊥BC，OB⊥AC，OC⊥AB由于OA、OB、OC是向量，因此上述关系可以写为：OA·BC=0，OB·AC=0，OC·AB=0其中“·”表示点乘。

根据向量的点乘性质可知：OA·(B-C)=0，OB·(C-A)=0，OC·(A-B)=0将向量差展开得：OA·B-OA·C=0，OB·C-OB·A=0，OC·A-OC·B=0进一步展开可得：R^2-R'^2=0，R'^2-R''^2=0，R''^2-R^2=0整理得：R^2-R'^2=R''^2-R^2移项得：2R^2=R'^2+R''^2根据圆的定义可知，外心到三角形的每个顶点的距离都相等，因此R=R'=R''。

向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系一、四心的概念介绍、（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四线与向量的结合121212,PA =1=,=.ABOA OB PB AB l l l l l l =++1.1.定理：如图，设定理：如图，设定理：如图，设OP OP 则则，且 (记忆:交叉分配系数) =()OA OBAP BP l +2.2.若若M 是OP OP上的任意一点，则上的任意一点，则上的任意一点，则OM OM (记忆:分母对应分配系数) 应用1: （1）中线: （2）高线: （3）角平分线: （4）中垂线: 应用2.四线上的动点表示: (1)中线上的动点: ()AB AC l +或()||sin ||sin AB AC AB B AC Cl +(2)高线上的动点:()cos cos AB AC AB BAC C l +, (3)角平分线上的动点:()AB ACABACl +(4)中垂线上的动点: ()2||cos ||cos OB OCAB AC OP AB B AC Cl +=++,O ABC OA S OB S OC D 定理：设是内任意一点，b a SAOBAOC：：：=D =1:1:1Û0OA OB OC ++=B tan A tan S AOB AOC ：：：=D 0OC OB OA 0aOA bOB cOC 1()3PO PA PB PC =++OA OB OB OC OC OA ×=×=× )))AB AC BC BA CA OC OB OA 已知O 是平面上一定点，||||AB AC AB AC l æö=++ç÷, l 题2：已知O 是平面上一定点，()OP OA AB AC l =++, l ÎO 是平面上的一定点，A ()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC Cl =++是平面上的一定点，A 、B ()||cos ||cos AB AC AB B AC Cl +题5：已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点()OB OCABAC++D. 内心,,OA OB OC 满足()||||AB CA OA AB CA ×+=(||BA OB BA ×+||CB CB ) ()||||BC CAOC BC CA ×+= 0内心 D. 外心OA OB OC ++= 0, 1()PO PA PB PC D. 垂心OA OB OB OC OC OA ×=×=×，则 D. 垂心 2222|||||||OA BC OB CA +=+=22|||OC AB +，则 D. 外心题11：已知O 是△ABC )OA OB AB +×()OB OC BC +×()OC OA CA +×= 0，则 D. 垂心aOA bOB cOC ++= = 00，则D. 垂心aPA bPB cPC =题14：△ABC 的外OH =()m OA OB OC ++，则实数二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知||||ABACAB AC 12||||AB AC AB AC ×=，则△等边三角形|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则等边三角形||BA tBC -≥||AC ，则△题18：已知a , b, c 分别为△GA b GB c GC ×+×+×= = 00, 则△内一点，23OA OB OC ++= 0, 则：题20：如图，已知点是△ABC 的重心，若PQ 过△ABC 的重心，记CA = a ,则11m n +=_____.|(sin AB OP OA C ABl =++sin )AC B ACG C P Q 。

三角形 【2 】四心的向量问题三角形重心.垂心.外心.心坎向量情势的充要前提的向量情势 一．常识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++; 若O 是ABC ∆的重心,则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心,则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是心坎ABC ∆的充要前提是|CB ||CA |OC |BC ||BA |OB AC|AB |OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量,使前提变得更简练.假如记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ,则适才O是ABC∆心坎的充要前提可以写成0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆心坎的充要前提也可所以0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的心坎,则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的心坎;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠地点直线过ABC ∆的心坎(是BAC ∠的角等分线地点直线); 二．典范(一)．将平面向量与三角形心坎联合考核 例1．O 是平面上的必定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 知足OA OP ++=λ,[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹必定经由过程ABC ∆的（）（A ）外心（B ）心坎（C ）重心（D ）垂心解析：因为是向量AB 的单位向量设AB 与AC 偏向上的单位向量分离为21e e 和, 又AP OA OP =-,则原式可化为)(21e e AP +=λ,由菱形的根本性质知AP 等分BAC ∠,那么在ABC ∆中,AP 等分BAC ∠,则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新鲜.生疏”,起首AB是什么？没见过！想想,一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简略的根本常识,如向量的加减法.向量的根本定理.菱形的根本性质.角等分线的性质等,若十分熟习,又能敏捷地将它们迁徙到一路,解这道题一点问题也没有.(二)将平面向量与三角形垂心联合考核“垂心定理”例2．H 是△ABC 地点平面内任一点,HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥,BC HA ⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略））例3.(湖南)P 是△ABC 地点平面上一点,若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的（D ） A ．外心B ．心坎C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得. 即0,0)(=⋅=-⋅CA PB PC PA PB 即 则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.点评：本题考核平面向量有关运算,及“数目积为零,则两向量地点直线垂直”.三角形垂心界说等相干常识.将三角形垂心的界说与平面向量有关运算及“数目积为零,则两向量地点直线垂直” 等相干常识奇妙联合.(三)将平面向量与三角形重心联合考核“重心定理” 例4．G 是△ABC 地点平面内一点,GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证实 作图如右,图中GE GC GB =+贯穿连接BE 和CE ,则CE=GB ,BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点,AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0, 得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=,故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略））例5．P 是△ABC 地点平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证实CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CGBG AG ++=0,即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））例6若O 为ABC ∆内一点,0OA OB OC ++= ,则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．心坎B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=得OB OC OA +=-,如图以OB.OC 为相邻双方构作平行四边形,则OB OC OD +=,由平行四边形性质知12OE OD =,2OA OE=,同理可证其它双方上的这共性质,所所以重心,选D.点评：本题须要扎实的平面几何常识,平行四边形的对角线互相等分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点,所分这比为21λ=.本题在解题的进程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相等分及三角形重心性质等相干常识奇妙联合.(四)．将平面向量与三角形外心联合考核 例7若O 为ABC ∆内一点,OA OB OC==,则O 是ABC ∆ 的（ ）CA ．心坎B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的界说知O 到ABC ∆的三极点距离相等.故O 是ABC ∆ 的外心 ,选B. 点评：本题将平面向量模的界说与三角形外心的界说及性质等相干常识奇妙联合. (五)将平面向量与三角形四心联合考核例8．已知向量1OP ,2OP ,3OP 知足前提1OP +2OP +3OP =0,|1OP |=|2OP |=|3OP |=1,求证△P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下）,温习参考题五B 组第6题） 证实 由已知1OP +2OP =-3OP ,双方平方得1OP ·2OP =21-,同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-,∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3,从而△P1P 2P 3是正三角形.反之,若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中间,则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 地点平面内一点,1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中间.例9．在△ABC 中,已知Q.G.H 分离是三角形的外心.重心.垂心.求证：Q.G.H 三点共线,且QG:GH=1:2.【证实】：以A 为原点,AB 地点的直线为x 轴,树立如图所示的直角坐标系.设A(0,0).B （x 1,0）.C(x 2,y 2),D.E.F 分离为AB.BC.AC 的中点,则有：212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--，212(,)BC x x y =- 2212422142()0()AH BCAH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-212223221232()()0222()22QF ACx x yQF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+121221224323()(,),)22x x x x x x y QH x y y --∴=--=--2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321=3x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y即=3QH QG ,故Q.G.H 三点共线,且QG ：GH =1：2【注】：本例假如用平面几何常识.向量的代数运算和几何运算处理,都相当麻烦,而借用向量的坐标情势,将向量的运算完整化为代数运算,如许就将“形”和“数”慎密地联合在一路,从而,许多对称.共线.共点.垂直等问题的证实,都可转化为闇练的代数运算的论证.例10．若O.H 分离是△ABC 的外心和垂心. 求证 OC OB OA OH ++=.证实 若△ABC 的垂心为H ,外心为O ,如图. 连BO 并延伸交外接圆于D ,贯穿连接AD ,CD .∴AB AD ⊥,BC CD ⊥.又垂心为H ,BC AH ⊥,AB CH ⊥, ∴AH ∥CD ,CH ∥AD ,∴四边形AHCD 为平行四边形,∴OC DO DC AH +==,故OC OB OA AH OA OH ++=+=.有名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心.重心.垂心的地位关系：（1）三角形的外心.重心.垂心三点共线——“欧拉线”;（2）三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍.“欧拉定理”的向量情势显得特殊简略,可简化成如下的向量问题. 例11．设O .G .H 分离是锐角△ABC 的外心.重心.垂心.求证 OHOG 31=证实 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(31OC OB OA OG ++=按垂心定理 OC OB OA OH ++=由此可得 OHOG 31=.补充演习1．已知A.B.C 是平面上不共线的三点,O 是三角形ABC 的重心,动点P 知足OP =31 (21OA +OB21+2OC ),则点P 必定为三角形ABC 的（B ）A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点 1. B 取AB 边的中点M,则OM OB OA 2=+,由OP =31 (21OA+OB 21+2OC )可得3MC OM OP 23+=,∴MC MP 32=,即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点,且点P 不过重心,故选B.2．在统一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ知足关系式： 2O A ＋2BC ＝2OB ＋2CA ＝2OC＋2AB ,则Ｏ为ABC ∆的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心2．已知△ABC 的三个极点A.B.C 及平面内一点P 知足：0PA PB PC ++=,则P 为ABC ∆的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心3．已知O 是平面上一 定点,A.B.C 是平面上不共线的三个点,动点P 知足：)(AC AB OA OP ++=λ,则P 的轨迹必定经由过程△ABC 的 （ C ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心4．已知△ABC,P 为三角形地点平面上的动点,且动点P 知足：0PA PC PA PB PB PC •+•+•=,则P 点为三角形的 （ D ）Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心5．已知△ABC,P 为三角形地点平面上的一点,且点P 知足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=,则P 点为三角形的 （ B ） Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心G A BCMN G图16．在三角形ABC 中,动点P 知足：CP AB CB CA •-=222,则P 点轨迹必定经由过程△ABC 的： （ B ） Ａ 外心 Ｂ 心坎 C 重心 D 垂心7.已知非零向量AB →与AC →知足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC→|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：非零向量与知足(||||AB AC AB AC +)·=0,即角A 的等分线垂直于BC,∴ AB=AC,又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12,∠A=3π,所以△ABC 为等边三角形,选D ．8.ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=,则实数m = 19.点O 是三角形ABC 地点平面内的一点,知足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,则点O 是ABC ∆的（B）（A ）三个内角的角等分线的交点（B ）三条边的垂直等分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点10. 如图1,已知点G 是ABC ∆的重心,过G 作直 线与AB,AC 双方分离交于M,N 两点,且AM xAB =,AN y AC =,则113x y +=.证 点G 是ABC ∆的重心,知GA GB GC ++=O ,得()()AG AB AG AC AG -+-+-=O ,有1()3AG AB AC =+.又M,N,G 三点共线（A 不在直线MN 上）, 于是消失,λμ,使得(1)AG AM AN λμλμ=++=且,有AG x AB y AC λμ=+=1()3AB AC +,得113x y λμλμ+=⎧⎪⎨==⎪⎩,于是得113x y +=。