2014鼓楼区初三数学期中考试试卷(含答案)

2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2＝3C．4x﹣3y＝3D．x2﹣y2＝32．（2分）已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为√5，则点P与⊙O的位置关系（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）4．（2分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列出方程（）A．（40﹣x）（22﹣x）＝760B．（40+x）（22+x）＝760C．40×22﹣40x﹣22x＝760D．40×22﹣40x﹣22x﹣x2＝7605．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．下列说法中，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象经过点（4，0）C．图象与x轴只有一个公共点D．点（2，3）右边的图象呈下降趋势6．（2分）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED＝45°，则AE2+BE2的值（）A．随着OE的增大而增大B．随着OE的增大而减小C．随着OE的增大先增大后减小D．保持不变二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、﹣2．8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为．9．（2分）若点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是．10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．11．（2分）若一元二次方程x2+mx﹣3＝0（m为常数）的一个根是x＝1，则另一个根是．12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是．13．（2分）已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为4√2cm，则弦AB所对的圆周角的度数为．14．（2分）五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB＝AE，∠A＝100°，则∠B+∠D＝°．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，若∠E＝25°，∠CAD＝45°，则∠CDA的度数为°．16．（2分）等边△ABC的边长是4√3，直线l经过等边△ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程．（1）（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+1的图象经过点（2，3）．（1）求m的值；（2）该二次函数的图象是否经过点（﹣2，6）？判断并说明理由．19．（7分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．（1）求证AP＝BP；（2）已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm，面积是12cm2，求斜边的长．21．（7分）二次函数图象的顶点为（﹣1，2），图象经过（0，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）结合图象，直接写出当﹣2≤x≤3时y的取值范围．22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+4﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．24．（8分）如图是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象．（1）求该图象顶点的坐标；（2）该图象经过怎样的平移可以得到函数y＝x2的图象？（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式．25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，BC与⊙O相交于点E，D是AC的中点，直线DE 与直线AB相交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）已知AB＝4，当AC长度变化时，AF的长也随之变化．①当AC＝时，AF＝6；②在整个变化过程中，AF的长是否存在最大值？判断并说明理由．27．（9分）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．从特殊验证已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S何时最大？易得S＝⋯Ⅱ．∠B为钝角易证当∠ABC为钝角时，∠ADCⅢ．∠B为锐角同理可得Ⅱ中结论综上所述，S的最大值为…．（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为．（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．向一般进发（3）已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2＝3C．4x﹣3y＝3D．x2﹣y2＝3【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A．方程x﹣1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B．方程x2＝3是一元二次方程，故本选项符合题意；C．方程4x﹣3y＝3是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D．方程x2﹣y2＝3是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．故选：B．2．（2分）已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为√5，则点P与⊙O的位置关系（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r，点P在圆上⇔d＝r，点P在圆内⇔d＜r，由此即可判断．【解答】解：∵圆的半径r＝3，点P到O的距离d=√5，∴d＜r，∴点P在圆内，故选：C．3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）【分析】由于二次函数y＝a（x﹣b）2+c的顶点坐标为（b，c），由此即可求出抛物线的顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝2（x﹣3）2+2，∴其图象的顶点坐标为（3，2）．故选：A．4．（2分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列出方程（）A．（40﹣x）（22﹣x）＝760B．（40+x）（22+x）＝760C．40×22﹣40x﹣22x＝760D．40×22﹣40x﹣22x﹣x2＝760【分析】把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（40﹣x）和（22﹣x），根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程．【解答】解：设道路的宽应为x米．依题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝760，故选：A．5．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．下列说法中，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象经过点（4，0）C．图象与x轴只有一个公共点D．点（2，3）右边的图象呈下降趋势【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（1，4），则设顶点式y＝a（x﹣1）2+4，再把（0，3）代入求出a得到抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，于是根据二次函数的性质可对选项进行判断；通过解方程﹣（x﹣1）2+4＝0得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），则可对B选项和C 选项进行判断；根据二次函数的性质，当x＞1时，y随x的增大而减小，从而可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线经过点（0，3）、（2，3），∴抛物线的顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把（0，3）代入得3＝a×（0﹣1）2+4，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，∵a＜0，∴抛物线开口向下，所以A选项不符合题意；当y＝0时，﹣（x﹣1）2+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），所以B选项不符合题意，C选项不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∴点（2，3）右边的图象呈下降趋势，所以D选项符合题意．故选：D．6．（2分）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED＝45°，则AE2+BE2的值（）A．随着OE的增大而增大B．随着OE的增大而减小C．随着OE的增大先增大后减小D．保持不变【分析】作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设半径为R，在直角三角形OAH和OBH中，利用勾股定理整理化简即可．【解答】解：作OH⊥AB于点H，连接OA，OB．设半径为R，∵∠BED＝45°，∴OH＝HE，∴AE2+BE2＝（AH+HE）2+（BH﹣HE）2＝AH2+HE2+2AH•HE+BH2+HE2﹣2BH•HE＝R2+R2+2HE（AH﹣BH）＝2R2∴AE2+BE2的值保持不变．故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）写出一个一元二次方程答案不唯一，正确即可，如：x2﹣x﹣6＝0，使它的两个根分别是3、﹣2．【分析】以3、﹣2为根分方程为（x﹣3）（x+2）＝0，即x2﹣x﹣6＝0．【解答】解：由题意可知方程为（x﹣3）（x+2）＝0，即x2﹣x﹣6＝0．故答案为x2﹣x﹣6＝0．8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为60π．【分析】利用圆锥的底面半径为6，母线长为10，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意知母线长＝10，底面半径r＝6，则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×10×6＝60π．故答案为：60π．9．（2分）若点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是y1＞y2．【分析】首先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+3的开口向下，对称轴是y轴，∴在y轴的右面y随x的增大而减小，∵点点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，且0＜1＜2，∴y1＞y2．故选：y1＞y2．10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是2π．【分析】根据弧长的公式l=nπr180进行计算即可．【解答】解：∵扇形的半径为3，圆心角为120°，∴此扇形的弧长=120π×3180=2π．故答案为：2π11．（2分）若一元二次方程x2+mx﹣3＝0（m为常数）的一个根是x＝1，则另一个根是﹣3．【分析】法一：利用方程的根，求出m的值，再解方程即可；法二：利用一元二次方程的根与系数的关系，进行求解即可．【解答】解：法一：由题意得：12+m﹣3＝0，解得：m＝2，∴方程为：x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3；法二：设方程的根为：x1＝1，x2，由根与系数的关系得：x1x2＝﹣3，∴1×x2＝﹣3，∴x2＝﹣3．故答案为：﹣3．12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是（﹣1，0）．【分析】根据二次函数的性质，抛物线的对称轴为直线x＝2，然后写出点（5，0）关于直线x＝2的对称点即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．13．（2分）已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为4√2cm，则弦AB所对的圆周角的度数为45°或135°．【分析】连接OA、OB，∠ACB与∠ADB为弦所对的圆周角作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=12 AB＝2√2，在Rt△OAH中利用勾股定理计算出OH＝2√2，于是可判断△OAH为等腰直角三角形，得到∠AOH＝45°，则∠AOB＝90°，根据圆周角定理得∠ACB=12∠AOB＝45°，根据圆内接四边形性质得∠ADB＝135°．【解答】解：连接OA、OB，∠ACB与∠ADB为弦所对的圆周角，作OH⊥AB于H，则AH＝BH=12AB＝2√2，在Rt△OAH中，∵OA＝4，AH＝2√2，∴OH=√OA2−AH2=2√2，∴△OAH为等腰直角三角形，∴∠AOH＝45°，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB=12∠AOB＝45°，∴∠ADB＝180°﹣∠ACB＝135°，即弦AB所对的圆周角的度数为45°或135°．故答案为45°或135°．14．（2分）五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB＝AE，∠A＝100°，则∠B+∠D＝220°．【分析】连接BE、BD、AD，先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠ABE＝40°，再由圆周角定理得∠ADE＝40°，然后由圆内接四边形的性质得出∠ABC+∠ADC＝180°，即可解决问题．【解答】解：如图，连接BE、BD、AD，∵AB ＝AE ，∠BAE ＝100°，∴∠ABE ＝∠AEB =12（180°﹣100°）＝40°，∴∠ADE ＝∠ABE ＝40°，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∴∠ABC +∠CDE ＝∠ABC +∠ADC +∠ADE ＝180°+40°＝220°，故答案为：220．15．（2分）如图，AB 是⊙O 的直径，若∠E ＝25°，∠CAD ＝45°，则∠CDA 的度数为 35 °．【分析】连接BC ，由圆周角定理得∠ACB ＝90°，∠BAD ＝∠BCD ，再证∠CAB +∠ABC ＝70°+2∠BAD ＝90°，解得∠BAD ＝10°，即可得出结论．【解答】解：如图，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB +∠ABC ＝90°，∵∠CAB ＝∠CAD +∠BAD ，∠ABC ＝∠BCD +∠E ，∠BAD ＝∠BCD ，∴∠CAB +∠ABC ＝∠CAD +∠BAD +∠BAD +∠E ＝45°+2∠BAD +25°＝70°+2∠BAD ＝90°，解得：∠BAD＝10°，∴∠CDA＝∠BAD+∠E＝10°+25°＝35°，故答案为：35．16．（2分）等边△ABC的边长是4√3，直线l经过等边△ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是2√7−2．【分析】当直线l过点A时，CD的值最小，即点D为BC的中点，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵BD⊥l，垂足为D，连接CD，∵BD+CD≥BC，∴当BD+CD＝BC时，点D在以BO为直径的圆上运动，设BO的中点为M，当D在MC上时，CD取最小值＝2√7−2，故答案为：2√7−2．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程．（1）（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣16＝0，（x﹣1）2＝16，开方，得x﹣1＝±4，解得：x1＝5，x2＝﹣3；（2）x2﹣3x+1＝0，这里a＝1，b＝﹣3，c＝1，∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴x=−b±√b2−4ac2a=3±√52×1，∴x1=3+√52，x2=3−√52．18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+1的图象经过点（2，3）．（1）求m的值；（2）该二次函数的图象是否经过点（﹣2，6）？判断并说明理由．【分析】（1）将（2，3）代入二次函数即可求解；（2）把x＝﹣2代入二次函数计算，若y＝7，则点P（﹣2，6）不在二次函数图象上．【解答】解：（1）将（2，3）代入二次函数y＝x2﹣mx+1得，4﹣2m+1＝3，解得m＝1，∴m的值是1．（2）由（1）得二次函数的解析式为y＝x2﹣x+1，当x＝﹣2时，y＝4﹣（﹣2）+1＝7≠6，∴点P（﹣2，6）不在这个二次函数图象上．19．（7分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．（1）求证AP＝BP；（2）已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．【分析】（1）连接OP，利用圆的切线的性质定理和垂径定理解答即可；（2）连接OA，利用圆的面积公式和垂径定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OP ，如图，∵大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，∴OP ⊥AB ，∴P A ＝PB =12AB ，∴AP ＝BP ；（2）连接OA ，∵图中阴影部分面积为10π，∴π•OA 2﹣π•OP 2＝10π，∴OA 2﹣OP 2＝10．∵OP ⊥AB ，∴AP 2＝OA 2﹣OP 2＝10，∴AP =√10，∴AB ＝2AP ＝2√10．20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm ，面积是12cm 2，求斜边的长．【分析】设这个直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，根据题意得a +b ＝14，12ab ＝12，由c 2＝a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ，代值开平方求斜边长．【解答】解：设这个直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，根据题意得a +b ＝14，12ab ＝12，即ab ＝24， ∴c 2＝a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝102﹣2×24＝52，开平方，得c =2√13，即斜边长为2√13cm ．21．（7分）二次函数图象的顶点为（﹣1，2），图象经过（0，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）结合图象，直接写出当﹣2≤x ≤3时y 的取值范围．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2+2，然后把已知点的坐标代入求出a即可；（2）先利用（1）中的解析式计算出自变量为﹣2和3所对应的自变量的范围，再根据二次函数的性质得到x＝﹣1时，y有最大值2，然后结合图象求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+2，把（0，1）代入得1＝a×（0+1）2+2，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+2；（2）当x＝﹣2，y＝﹣（﹣2+1）2+2＝1，当x＝3，y＝﹣（3+1）2+2＝﹣14，而x＝﹣1时，y有最大值2，∴﹣2≤x≤3时，﹣14≤y≤2．22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．【分析】方法1：在圆上任取弦AB，作线段AB的垂直平分线，与圆分别交于点C，D，连接CD，根据垂径定理可知CD为已知圆的一条直径；方法2：在圆上任取弦EF，过点F作EF的垂线，交圆于点G，连接EG，由圆周角定理可知EG为已知圆的一条直径．【解答】解：方法1：如图，在圆上任取弦AB，作线段AB的垂直平分线，与圆分别交于点C，D，连接CD，则CD即为已知圆的一条直径．方法2：如图，在圆上任取弦EF，过点F作EF的垂线，交圆于点G，连接EG，则EG即为已知圆的一条直径．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+4﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．【分析】（1）证明判别式大于等于0即可；（2）根据两根之和是正数，判断即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4）2﹣4（4﹣k2）＝4k2≥0，∴方程总有实数根；（2）解：不可能．理由：∵两根之和＝4＞0，∴两个根不可能都是负数．24．（8分）如图是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象．（1）求该图象顶点的坐标；（2）该图象经过怎样的平移可以得到函数y＝x2的图象？（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式．【分析】（1）把解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；（2）按照平移的规律：左加右减，上加下减即可；（3）根据旋转180°关于原点对称，可得答案．【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴该图象顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）将该图象向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得函数y＝x2的图象；（3）该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式为﹣y＝（﹣x）2﹣2（﹣x）﹣3，即y＝﹣x2﹣2x+3．25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．【分析】设九月份销售额的下降率为x，则十月份销售额的增长率为1.5x，根据某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，十月份的销售额恢复到30万元，列出一元二次方程，解之取其正值，即可解决问题．【解答】解：设九月份销售额的下降率为x，则十月份销售额的增长率为1.5x，由题意得：30（1﹣x）（1+1.5x）＝30，整理得：3x2﹣x＝0，解得：x1=13，x2＝0（不符合题意，舍去），∴30（1﹣x ）＝30×（1−13）＝30×23=20， 答：九月份的销售额为20万元． 26．（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝90°，BC 与⊙O 相交于点E ，D 是AC 的中点，直线DE 与直线AB 相交于点F ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）已知AB ＝4，当AC 长度变化时，AF 的长也随之变化．①当AC ＝ 4√3 时，AF ＝6；②在整个变化过程中，AF 的长是否存在最大值？判断并说明理由．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠EDA ＝∠EAD ，可得∠ODA ＝∠OAD ，由余角的性质可求∠OED ＝90°，可得结论；（2）①通过证明△ABE ∽△CBA ，可得AB AC =BE AE ，通过证明△FEB ∽△FAE ，可得BE AE =BF EF 即可求解；②利用①中结论得出AC 和AF 的关系，可判断AF 的长度的变化．【解答】（1）证明：如图1，连接OE ，AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴∠AEC ＝90°，∵D 是AC 的中点，∴AD ＝DE ＝CD ，∴∠EAD ＝∠AED ，∵OE ＝OA ，∴∠OAE ＝∠OEA ，∵∠BAC ＝∠OAE +∠EAD ＝90°，∴∠OED ＝∠OEA +∠AED ＝90°，∵OE 是⊙O 的半径，∴DF 是⊙O 的切线．（2）解：①∵∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠C ＝∠BAE ，又∵∠ABE ＝∠CBA ，∴△ABE ∽△CBA ，∴AB AC =BE AE ，∵∠FEB +∠BEO ＝∠BEO +∠AEO ＝90°，∴∠FEB ＝∠AEO ＝∠OAE ，∵∠F ＝∠F ，∴△FEB ∽△F AE ，∴BE AE =BF EF =EF AF ， ∴AB AC =BF EF ，EF 2＝AF •BF ，∴AB •EF ＝AC •BF ，如图1，∵AB ＝4，AF ＝6，∴BF ＝2，EF ＝2√3，∴4×2√3=2AC ，即AC ＝4√3；如图2，∵AB ＝4，AF ＝6，∴BF ＝10，EF ＝2√15，∴4×2√15=10AC ，即AC =4√155； 故答案为：4√3或4√155；②AF 不存在最大值，理由如下：如图1，设AC ＝x ，AF ＝y ，∴EF 2＝y （y ﹣4），∴4EF ＝x （y ﹣4），整理得，y＝4+64x2−16，当x无限接近4时，y的值无限大，即当DE和AB接近平行时，此时AF无限大．27．（9分）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．从特殊验证已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S何时最大？易得S＝⋯Ⅱ．∠B为钝角易证当∠ABC为钝角时，∠ADCⅢ．∠B为锐角同理可得Ⅱ中结论综上所述，S的最大值为…．（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为234．（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．向一般进发（3）已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．【分析】（1）①连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD，证出∠ADC＝90°，由直角三角形的性质及圆的定义可得出结论；②由三角形面积公式可得出答案；（2）由三角形面积公式可得出答案；（3）设AB＝6，BC＝8，CD＝8，AD＝12，连接AC，过点C分别作CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，证明Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），△AEC≌△AFC，得出AE＝AF，BE＝FD，求出BE＝3，则可得出答案．【解答】（1）①证明：连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD，∵∠ABC＝90°，∴AC2＝BC2+AB2＝625，又∵AD2+CD2＝225+400＝625，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∵O为AC的中点，∴AO＝OB＝OC＝OD，∴点A，B，C，D在同一个圆上；②解：∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴S＝S△ADC+S△ABC=12AD⋅DC+12AB⋅BC=12×15×20+12×7×24＝150+84＝234．故答案为：234；（2）解：∵AE＝x，AF＝y，∴S =12×20⋅x +12×24⋅y =10x +12y ， 在Rt △AED 中，x ＜15，在Rt △AFB 中，y ＜7，∴S ＝10x +12y ＜10×15+12×7，即S ＜234；（3）解：由题意可知，当四边形ABCD 四顶点共圆时，它的面积最大，设AB ＝6，BC ＝8，CD ＝8，AD ＝12，连接AC ，过点C 分别作CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ， ∵BC ＝CD ，∴BĈ=CD ̂， ∴∠BAC ＝∠DAC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ，∵BC ＝CD ，∴Rt △BCE ≌Rt △DCF （HL ），同理可证△AEC ≌△AFC ，∴AE ＝AF ，BE ＝FD ，∴AD ﹣BE ＝AB +BE ，∴BE ＝3，∵∠BEC ＝90°，∴CE =√BC 2−BE 2=√82−32=55，∴CF =√55，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD =12AB ⋅EC +12AD ⋅CF =9√55，即四边形ABCD 面积S 的最大值为9√55．。

江苏南京鼓楼区九年级上期中数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣1【答案】C【解析】试题分析：移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，所以由x2=x，得x2﹣x=0，即x（x﹣1）=0，所以可得x=0，x﹣1=0，解得x1=0，x2=1，故选C．考点：解一元二次方程-因式分解法【题文】一元二次方程的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【答案】B【解析】试题分析：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，因此该方程有两个相等的实数根．故选B．考点：根的判别式【题文】如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2【答案】C【解析】试题分析：由h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，评卷人得分圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．考点：圆锥的计算【题文】某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写张明90808382若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A．82 B．83 C．84 D．85【答案】C【解析】试题分析：根据加权平均数的计算公式进行计算：张明的平均成绩为：（90×3+80×3+83×2+82×2）÷10=84；故选C．考点：加权平均数【题文】如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8 B．8 C．16 D．16【答案】B【解析】试题分析：由三角形的内角和公式求出∠A=45°，即可求得圆心角∠BOC=90°，由弧长公式，求得半径OB=8，再由勾股定理求得BC=，故选B．考点：弧长的计算【题文】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【答案】A【解析】试题分析：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．考点：垂径定理的应用【题文】用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．【答案】4【解析】试题分析：要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．可由x2﹣4x=5，得x2﹣4x+4=5+4，用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．考点：解一元二次方程-配方法【题文】若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ．【答案】外【解析】试题分析：由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P到圆心的距离OP=2＞1，可判定点P在圆外．考点：点与圆的位置关系【题文】若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是．【答案】-2【解析】试题分析：根据根与系数的关系即可由一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，得到x1+x2=﹣=﹣2．考点：根与系数的关系【题文】一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．【答案】【解析】试题分析：先求出总球的个数2+3=5个球，再根据概率公式进行计算即可得出摸到红球的概率是．考点：概率公式【题文】如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．【答案】【解析】试题分析：先根据OD=OF得出∠DOF=60°，同理可得出∠AOE=60°，进而得出∠EOF=60°，根据扇形的面积公式即可得出：图中阴影部分的面积=．考点：扇形面积的计算【题文】如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH=．【答案】8【解析】试题分析：取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，再根据勾股定理得OH2+DH2=OD2，即（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，进而可得出AH=AB﹣BH=10﹣2=8．考点：1、垂径定理；2、勾股定理【题文】如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA=°．【答案】20【解析】试题分析：根据三角形的内角和得到∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据圆周角定理即可得到∠CDA=∠B=20°．考点：1、圆周角定理，2、三角形的内角和【题文】如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．【答案】x2﹣35x+34=0【解析】试题分析：设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．考点：由实际问题抽象出一元二次方程【题文】将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为°．【答案】22.5【解析】试题分析：设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB=86°﹣30°=56°，根据圆周角定理得∠ACB=∠AOB，即可得到∠ACB =∠AOB=22.5°．考点：圆周角定理【题文】如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．【答案】①②③【解析】试题分析：首先连接OD，OE，∵⊙O的半径为5且与AB、BC相切，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=5，∵∠B=90°，∴四边形ODBE是正方形，∴BE=BD=OE=OD=5，∴点O在∠B的平分线上，CE=BC﹣BE=5，AD=AB﹣BD=11﹣5=6，∴OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，∵OA=，OC=，∴OA≠OC，即O不在AC的垂直平分线上；∵AC=，∴点O不在AC上．∴①②③错误，④正确．故答案为：①②③．考点：1、切线的性质；2、线段垂直平分线的性质【题文】解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．【答案】（1）x=﹣1或x=﹣5（2）x1=，x2=【解析】试题分析：（1）因式分解法求解可得；（2）公式法求解可得．试题解析：（1）（x+1）（x+5）=0，∴x+1=0或x+5=0，解得：x=﹣1或x=﹣5；（2）∵a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=1+4=5，∴x=，∴x1=，x2=．考点：解一元二次方程-因式分解法【题文】甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【答案】（1）7，7.5，4.2（2）乙【解析】试题分析：（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．试题解析：（1）甲的平均成绩a==7（环），∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击成绩的中位数b==7.5（环），其方差c=×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=×（16+9+1+3+4+9）=4.2（环）；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．考点：1、方差；2、条形统计图；3、折线统计图；4、中位数；5、众数【题文】已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析（2）1，1【解析】试题分析：（1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m﹣2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=，2t=，然后解关于t与m的方程组即可．试题解析：（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=，2t=，则2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一个根为1．考点：1、根与系数的关系；2、根的判别式【题文】甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是 ___ ；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．试题解析：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，所以有乙同学的概率=．考点：1、列表法与树状图法；2、概率公式【题文】在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．【答案】（Ⅰ）36°（Ⅱ）30°【解析】试题分析：（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．试题解析：（Ⅰ）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；（Ⅱ）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．考点：切线的性质【题文】我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．【答案】（1）x=2（2）x1=4，x2=12【解析】试题分析：（1）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；（2）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．试题解析：（1）两边平方，得16﹣6x=x2，整理得：x2+6x﹣16=0，解得x1=﹣8，x1=2；经检验x=﹣8是增根，所以原方程的根为x=2；（2）移项得：2=6﹣x两边平方，得4x﹣12=x2﹣12x+36，解得x1=4，x2=12（不符合题意，舍）．考点：1、无理方程；2、分式方程的增根【题文】圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为 ____ ．【答案】（1）证明见解析（2）πa2（3）7π【解析】试题分析：（1）根据切线的性质以及垂径定理即可证明．（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．（3）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=7，则可求得圆环的面积试题解析：（1）证明：如图1中，连接OP．∵AB是小圆的切线，P是切点，∴OP⊥AB，∴PA=PB．（2）解：如图1中，连接OB．∵大圆的弦AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，AP=PB，∴OB2﹣OP2=（2a÷2）2=a2，∵S圆环=S大﹣S小=πOB2﹣πOP2=π（OB2﹣OP2），∴S圆环=πa2．（3）解：如图2中，连接OA，OC，作OE⊥AB于点E．在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2，∵AB=8，CD=6，∴AE=EB=4，CE=DE=3，∴OA2﹣OC2=7，∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=7π．考点：1、垂径定理，2、勾股定理，3、圆的面积，4、切线的性质【题文】某农场去年种植南瓜10亩，亩产量为2000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．【答案】50%【解析】试题分析：根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．试题解析：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10（1+2x）2000（1+x）=60000．解得：x1=0.5，x2=﹣2（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为50%．考点：一元二次方程的应用【题文】如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析【解析】试题分析：（1）作出BD、BC的垂直平分线，两线的交点就是⊙O的圆心O的位置，然后以O为圆心AO长为半径画圆即可；（2）以B为圆心，BC长为半径化弧，交⊙O于点D，再连接BD，CD即可．试题解析：（1）如图l 20060×20提价后____________（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20（2）300元【解析】试题分析：（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．试题解析：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，整理，得x2﹣420x+32000=0，解得x1=320，x2=100．当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．答：每间客房的定价应为300元．考点：一元二次方程的应用【题文】问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE是⊙O 的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB ____ BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB ___ DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB=∠BAD，因为OB=OC，所以 __ ，因为BD=BA，所以 ______ ，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到 ____ ，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．【答案】问题分析：⊥，∥（1）∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO（2）BF⊥AD（3）证明见解析【解析】试题分析：问题分析：直接得出结论即可；解法探究：（1）根据证明方法直接写出结论；（2）先判断出OD=OA，再用垂径定理即可得出结论；（3）方法1，先判断出AC是⊙O的直径，进而判断出四边形BEDH是矩形即可；方法2，先判断出AH=DH，再判断出AC是⊙O的直径，进而判断出OH是△ACD的中位线，即可得出DE∥OB ，即可得出结论；试题解析：问题分析：故答案为：⊥，∥；解法探究：（1）故答案为：∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO；（2）如图3，连接OD，∴OD=OA，∵BD=BA，∴BF垂直平分AD，即：BF⊥AD（垂径定理），（3）方法1，∵BF⊥AD，∴∠BHD=90°，∵∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵∠E=90°，∴四边形BEDH是矩形，∴∠EBO=90°，∴BE是⊙O的切线；方法2，∵BF⊥AD，∴AH=DH（垂径定理），∵∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴AO=CO，∴OH是△ACD的中位线，∴OH∥DC，即：DE∥OB，∵∠E=90°，∴∠EBO=90°，∴BE是⊙O的切线．考点：1、圆的性质，2、垂径定理，3、切线的判定，4、矩形的判定和性质，5、三角形的中位线。

江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x﹣1=3 B．x2+x﹣1=0 C．x2+y=5 D．ax2+bx+c=02．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）一元二次方程x2﹣6x+9=0的根的情况（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不等的实数根D．有两个相等的实数根3．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜04．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列命题正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．三角形的外心到三边距离相等C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线5．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，⊙O中的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠OBC等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（）A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）二、填空题（每小题2分，共20分）7．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为．8．（2分）（1997•陕西）设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，则（x1+x2）2﹣x1x2=．9．（2分）（2017秋•句容市期中）已知圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，则这条弧的长为．10．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的函数图象对应的二次函数表达式为．11．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程．12．（2分）（2016秋•淮安期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD=°．13．（2分）（2014秋•玄武区期末）圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥的侧面积是．14．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠P=50°，则∠ACB=°．15．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，则弦CD的长为．16．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a ≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示：x﹣2﹣10123y70﹣5﹣8﹣9﹣8则下列结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③当x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有．三、解答题（本题10个小题，满分88分）17．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）解下列方程：（1）x2﹣3x+2=0（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0．18．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．19．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．20．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，如图所示，生物园的一面靠墙（墙有足够长），面积为30m2．（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的一边为m（用含x的代数式表示）；（2）求（1）中x的值．21．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．22．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．求证：DB=DC．23．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双盈利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要盈利1600元，那么每双应降价多少元？24．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=1，∠A=45°，求阴影部分的面积．25．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知△ABC，∠C=90°．（1）用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）．（2）若AC=4，BC=3，求（1）中半圆的半径．26．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y1=ax2﹣2x﹣3（a≠0）的图象与一次函数y2=﹣x﹣1的图象有一个交点在x轴上．（1）求出该二次函数的表达式和图象的顶点坐标；（2）填写下面的表格，并利用表格中的数据在方格纸上画出该二次函数的图象；（3）当x在什么范围内时，y1＞y2？当x在什么范围内时，y1•y2＜0？请直接写出答案．x﹣2﹣1 01234 y12017-2018学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x﹣1=3 B．x2+x﹣1=0 C．x2+y=5 D．ax2+bx+c=0【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；B、是一元二次方程，故此选项正确；C、不是一元二次方程，故此选项错误；D、不是一元二次方程，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）一元二次方程x2﹣6x+9=0的根的情况（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不等的实数根D．有两个相等的实数根【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：△=36﹣4×9=0，∴该方程有两个相等的实数根，故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．3．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0【分析】A、由抛物线的开口向下，可得出a＜0，结论A错误；B、由抛物线与y轴的交点位置，可得出c＞0，结论B错误；C、由当x=1时y＞0，可得出a+b+c＞0，结论C正确；D、由a＜0及﹣＞0，可得出b＜0，结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵抛物线开口向下，∴a＜0，结论A错误；B、∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，结论B错误；C、∵当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，结论C正确；D、∵抛物线的对称轴在y轴右侧，且a＜0，∴﹣＞0，∴b＜0，结论D错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列命题正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．三角形的外心到三边距离相等C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、平面上不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以A选项错误；B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以B选项错误；C、矩形的四个顶点一定在同一个圆上，所以C选项正确；D、经过半径的外端并且与这条半径垂直的直线为该圆的切线，所以D选项错误．故选：C．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，⊙O中的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠OBC等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，根据等腰三角形的性质求解即可．【解答】解：∵弧AB的度数为60°，∴∠AOB=60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠BOC=180°﹣∠AOB=180°﹣60°=120°．∵OB=OC，∴∠OBC=∠C=30°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，利用了弧的度数等于圆心角的度数和邻补角定义求解．6．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（）A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可．【解答】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1）或（1，3），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）或（1，3）．故选：B．【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．二、填空题（每小题2分，共20分）7．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为x2+x ﹣2=0．【分析】把2移到等号左边即可．【解答】解：x2+x=2，x2+x﹣2=0，故答案为：x2+x﹣2=0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．8．（2分）（1997•陕西）设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，则（x1+x2）2﹣x1x2=73．【分析】由根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．【解答】解：∵方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣72，则（x1+x2）2﹣x1x2=1+72=73．故答案为：73【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．9．（2分）（2017秋•句容市期中）已知圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，则这条弧的长为2π．【分析】利用弧长的计算公式计算即可．【解答】解：l==2π，故答案为2π．【点评】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．熟记公式是解题的关键．10．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的函数图象对应的二次函数表达式为y=3（x+2）2﹣1．【分析】利用二次函数平移规律进而求出即可．【解答】解：y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y=3（x+2）2﹣1．故答案为：y=3（x+2）2﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．11．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程400（1+x）2=484．【分析】利用增长率模型即可列出方程．【解答】解：∵2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，∴设年平均增长率为x，则可列出方程为400（1+x）2=484，故答案为：400（1+x）2=484．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握增长率模型是解题的关键，即a（1±x）2=b．12．（2分）（2016秋•淮安期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD=130°．【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠A=50°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣50°=130°．故答案为：130．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．13．（2分）（2014秋•玄武区期末）圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥的侧面积是60πcm2．【分析】根据底面半径OB=6cm，高OC=8cm，由勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．∴BC==10cm，∴这个圆锥的侧面积是：×2πrl=π×6×10=60πcm2故答案为：60πcm2．【点评】本题考查了圆锥的侧面积的求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．14．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠P=50°，则∠ACB=65°．【分析】由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴∠AOB=180°﹣∠P=130°，由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=65°，故答案为：65．【点评】本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是连接BC、OB，利用直径对的圆周角是直角，切线的性质，圆周角定理解答．15．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，则弦CD的长为8．【分析】如图，连接OC；首先证明CE=DE；其次运用勾股定理求出CE的长，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC；∵直径AB=10，BE=2，∴OE=5﹣2=3，OC=5；∵弦CD⊥AB，∴CE=DE；由勾股定理得：CE==4，∴CD=2CE=8．故答案为8．【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理、垂径定理等几何知识点来分析、判断、求解．16．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a ≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示：x﹣2﹣10123y70﹣5﹣8﹣9﹣8则下列结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③当x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有①③．【分析】根据表格中的数据确定出抛物线的顶点坐标公式，开口方向，以及增减性，判断即可．【解答】解：由表格中的数据可得：顶点坐标为（2，﹣9），与x轴一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线开口向上，与x轴另一个交点为（5，0）；x=﹣2或6时，y=7；当x＜2，y随x的最大而减小，由x=1时，y=﹣8，得到x＜1时，y＞﹣8；正确的有：①③故答案为：①③【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．三、解答题（本题10个小题，满分88分）17．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）解下列方程：（1）x2﹣3x+2=0（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0．【分析】（1）根据十字相乘法解方程即可求解；（2）先提取公因式（x+1），根据因式分解法解方程即可求解．【解答】解：（1）x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2；（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0，（x﹣2）（x+1）=0，解得x1=2，x2=﹣1．【点评】本题考查了解方程的方法﹣配方法、公式法、因式分解法，熟练掌握解方程的三种方法是解题的关键．18．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可证出：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）代入x=1可得出m2+2m=0，将其代入m2+2m+2017中即可求出结论．【解答】（1）证明：∵△=（2m）2﹣4（m2﹣1）=4＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当x=1时，m2+2m=0，∴m2+2m+2017=0+2017=2017．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=1找出m2+2m=0．19．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．【分析】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE=BE，再由垂径定理可知CE=DE，故可得出结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AB，∵OA=OB，∴AE=BE，又∵在⊙O中，∴CE=DE，∴AC=BD．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．20．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，如图所示，生物园的一面靠墙（墙有足够长），面积为30m2．（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的一边为16﹣2x m（用含x的代数式表示）；（2）求（1）中x的值．【分析】（1）由篱笆的长度结合垂直于墙的边长为xm，即可求出平行于墙的一边的长度；（2）根据长方形的面积公式结合生物园的面积为30m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵垂直于墙的边长为xm，∴平行于墙的一边为（16﹣2x）m．故答案为：16﹣2x．（2）根据题意得：x（16﹣2x）=30，整理，得：x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．答：x的值为3或5．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据篱笆的长度用含x的代数式表示出平行于墙的一边的长度；（2）根据长方形的面积公式列出一元二次方程．21．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．【分析】把已知两点坐标代入二次函数解析式求出a与b的值，代入方程计算即可求出解．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），∴，解得：，所求方程为2x2﹣3x﹣2=0，即（2x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣，x2=2．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．22．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．求证：DB=DC．【分析】由同弧所对的圆周角相等可得出∠DAC=∠DBC，结合角平分线的性质可得出∠EAD=∠DBC，根据圆内接四边形的性质可得出∠EAD=∠BCD，进而可得出∠DBC=∠DCB，再根据“等角对等边”即可证出DB=DC．【解答】证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，∴∠DAC=∠DBC．∵AD平分∠CAE，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EAD=∠DBC．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及角平分线的性质，根据圆内接四边形的性质结合角平分线的性质，找出∠DBC=∠DCB是解题的关键．23．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双盈利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要盈利1600元，那么每双应降价多少元？【分析】等量关系为：（44﹣降价的价钱）×（20+降价后增加的双数）=1600，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设每双应降价x元．（44﹣x）×（20+5x）=1600，解得x1=4，x2=36．答：每双应降价4元或36元．【点评】找到利润的等量关系是解决本题的关键；难点是得到降价后一共卖出的量．24．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=1，∠A=45°，求阴影部分的面积．【分析】（1）欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；（2）先得出△OAD是等腰直角三角形，再利用阴影部分的面积等于△OAD的面积减去扇形ODE的面积解答即可．【解答】（1）证明：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；（2）∵AC⊥OD，∠A=45°，∴△OAD是等腰直角三角形，∵AD=1，∴△OAD的面积=．∵∠DOE=45°，∴扇形ODE的面积=，∴阴影部分的面积=．【点评】本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知△ABC，∠C=90°．（1）用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）．（2）若AC=4，BC=3，求（1）中半圆的半径．【分析】（1）先作∠B的角平分线与AC的交点为O，以O为圆心，OC为半径画半圆即可；由∠ACB=90°得到OC⊥CB且OC=r，BC与半圆O相切，再过点O作OD垂直于AB交AB于点D，因为OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，所以OD=OC=r且OD ⊥AB，从而证得AB与半圆O相切；（2）先设半圆的半径为r，已知半圆O与AB相切于点D，得到OD⊥AB，∠ADO=90°，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，利用勾股定理求出AB的长，再在△ADO 和△ACB中，∠ADO=∠ACB∠A=∠A，证得△ADO∽△ACB，利用相似三角形的性质：两个三角形相似对应边的比相等直接求解．【解答】解：（1）作∠B的角平分线与AC的交点O，以O为圆心，OC为半径画半圆；∵∠ACB=90°∴OC⊥CB且OC=r，∴BC与半圆O相切过点O作OD垂直于AB交AB于点D∵OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，∴OD=OC=r且OD⊥AB∴AB与半圆O相切；（2）设半圆的半径为r，∵半圆O与AB相切于点D∴OD⊥AB∴∠ADO=90°在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴AB===5，在△ADO和△ACB中∠ADO=∠ACB∠A=∠A∴△ADO∽△ACB∴=，∴r=．答：半圆的半径为．【点评】本题考查了切线的判断与性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，此题综合性较强，比较复杂，一定要细心去做．26．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y1=ax2﹣2x﹣3（a≠0）的图象与一次函数y2=﹣x﹣1的图象有一个交点在x轴上．（1）求出该二次函数的表达式和图象的顶点坐标；（2）填写下面的表格，并利用表格中的数据在方格纸上画出该二次函数的图象；（3）当x在什么范围内时，y1＞y2？当x在什么范围内时，y1•y2＜0？请直接写出答案．x﹣2﹣1 01234 y1【分析】（1）先利用一次解析式确定一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），再把（﹣1，0）代入y1=ax2﹣2x﹣3得a=1，从而得到抛物线解析式，然后把抛物线配成顶点式得到顶点坐标；（2）利用抛物线解析式计算自变量为﹣2、﹣1、0、1、2、3、4时对应的函数值，然后利用描点法画出二次函数解析式；（3）先通过解方程组得抛物线与一次函数的交点坐标，再写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围可满足y1＞y2；然后找出满足函数值异号的自变量的范围确定y1•y2＜0．【解答】解：（1）当y=0时，﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，则一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）；把（﹣1，0）代入y1=ax2﹣2x﹣3得a+2﹣3=0，解得a=1，所以抛物线解析式为y1=x2﹣2x﹣3，因为y1=（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）如图，（3）解方程组得或，所以抛物线与一次函数的交点坐标为（﹣1，0）、（2，﹣3），当﹣1＜x＜2时，y1＞y2；当x＞3时，y1•y2＜0．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与一次函数的函数值的大小，可利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，。

九年级（下）期中试卷数 学注意事项：本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．4的算术平方根是A ．±2B ．2C ．±16D ．162．计算(－a 3)2的结果是A ．－a 6B ．－a 5C ．a6D ．a53．如图是某几何体的三种视图，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．球D ．四棱锥4B ．－12C5．对于代数式x 2－10x ＋24，下列说法中错误的是 A ．次数为2、项数为3 B ．因式分解的结果是(x －4)(x －6)C ．该代数式的值可能等于0D ．该代数式的值可能小于－16．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A ＝30°，BC ＝2，把△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到△BED ，则对应点C 、D 之间的距离为A ．1B ． 2C ． 3D ．2 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卡相应位置．．．．．上） 7．－3的相反数是 ▲ ，－3的倒数是 ▲ ．8．截止于2017年3月1日，南京市鼓楼区团区委官方微博的粉丝数量为25 000，将25 000 用科学记数法表示为 ▲ ．9．计算18a ·2a 的结果是 ▲ ．10．不等式x －12＜x3的解集是 ▲ ．11．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天的数据如下：106，60，74，100，92，67，75，67，87，119．该组数据的中位数是 ▲ ．12．已知圆锥的底面半径为4 cm ，圆锥的母线长为5 cm ，则圆锥的侧面积为 ▲ cm 2． 13．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE 的3个外角，若∠A ＋∠B ＝220°，则∠1＋∠2＋∠3＝ ▲ °．14．以菱形ABCD 的对角线交点O 为原点，对角线AC AD 的中点E 的坐标为(－1，2)，则BC 的中点F 15．在直角坐标系中，把四边形ABCD 以原点O A ˊB ˊC ˊD ˊ．若点A 和它的对应点A ˊ的坐标分别为（2，3），（6，9），则四边形ABCD 的面积四边形A ˊB ˊC ˊD ˊ的面积＝ ▲ ．左视图（第4题） （第6题）(第14题) 1 2 3 A BCD E (第13题)16．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 图像与一次函数y 2＝kx 的图像交于点M 、N ，点M 、N 的横坐标分别为m 、n （m ＜n ）．下列结论：①若a ＞0，则当m ＜x ＜n 时，y 1＜y 2；②若a ＜0，则当x ＜m 或x ＞n 时，y 1＞y 2；③b －k ＝am ＋an ；④c ＝amn ． 其中所以正确结论的序号是 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算：2－1×4＋(－2)4÷4＋cos60°．18．（7分）解方程组⎩⎨⎧x －3y ＝－1，3x ＋y ＝7．19．（9分）已知代数式1x －1＋x 2－3xx 2－1，回答下列问题．（1）化简这个代数式； （2）“当x ＝1时，该代数式的值为0”，这个说法正确吗？请说明理由． 20．（7分）某中学九年级男生共450人，现随机抽取了部分九年级男生进行引体向上测试，相关数据的统计图如下．（1）设学生引体向上测试成绩为x （单位：个）．学校规定：当0≤x ＜2时成绩等级为不及格，当2≤x＜4时成绩等级为及格，当5≤x ＜6时成绩等级为良好，当x ≥6时成绩等级为优秀．用适当的统计图表示“不及格”、“及格”、“良好”、“优秀”四个等级学生人数所占百分比； （2）估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数． 21．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是边BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，△AEF∽△ABC ．（1）求证：△AED ≌△AFD ；（2）若BC ＝2AD ，求证：四边形AEDF 是正方形．22．（8分）甲、乙两人用两颗骰子玩游戏．这两颗骰子的一些面标记字母A ，而其余的面则标记字母B ．两个人轮流掷骰子，游戏规则如下：两颗骰子的顶面字母相同时，甲赢；两颗骰子的顶面字母不同时，乙赢．已知第一颗骰子各面的标记为4A2B ，回答下列问题：（1）若第二颗骰子各面的标记为2A4B ，求甲、乙两人获胜的概率各是多少？ （2）若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有 ▲ 个面标记字母A ．x /个C D E B A F（第21题）23．（8分）按要求完成下列尺规作图（不写作图，保留作图痕迹）．（1）如图①，点A、B、C是平行四边形ABCD的三个顶点，求作平行四边形ABCD；（2）如图②，点O、P、Q分别是平行四边形EFGH三边EH、EF、FG的中点，求作平行四边形EFGH．24．（8分）甲、乙两人骑车分别从A、B两地同时出发，沿同一路线匀速骑行，两人先相向而行，甲到达B地后停留20min再以原速返回A地，当两人到达A地后停止骑行．设甲出发x min后距离A地的路程为y km．图中的折线表示甲在整个骑行过程中y与x的函数关系．（1）A、B两地之间的路程是▲ km；（2）求甲从B地返回A地时，y与x的函数表达式；（3）在整个骑行过程中，两人只相遇了1次，乙的骑行速度可能是（▲）．A．0.1B．0.15C．0.2D．0.2525．（8分）某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同35° ECFH 17°45°AB C图①OP Q图②（第23题）y（第24题）（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因；（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为▲ m．26．（8分）某水果店出售一种水果，每只定价20元时，每周可卖出300只．试销发现以下两种情况：情况1：如果每只水果每降价1元，那么每周可多卖出25只；情况2：如果每只水果每涨价1元，那么每周将少卖出10只．（1）根据情况1，如何定价，才能使一周销售收入最多？（2）如果物价局规定该种水果每只价格只能在22元～24元之间（包括22元与24元）那么根据以上两种情况，你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？并说明理由．27．（10分）在正方形ABCD中，有一直径为CD的半圆，圆心为点O，CD＝2，现有两点E、F，分别从点A、点C同时出发，点E沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，点F沿线段CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点F运动到点B时，点E也随之停止运动．设点E离开点A的时间为t(s)，回答下列问题：（1）如图①，根据下列条件，分别求出t的值．①EF与半圆相切；②△EOF是等腰三角形．（2）如图②，点P是EF的中点，Q是半圆上一点，请直接写出PQ＋OQ的最小值与最大值．A D九年级（下）期中考试 数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．3，－138．2.5×1049．6a 10．x ＜3 11．8112．20π 13．220° 14．(1，－2) 15．1916．①②④． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（7分）解：2－1×6－(－2)4÷4＋cos60°＝12×6－16÷4＋12………………………………………………………………………3分 ＝3－4＋12…………………………………………………………………………………5分＝－12．……………………………………………………………………………………7分18．（7分）解方程组⎩⎨⎧x －3y ＝－1，①3x ＋y ＝7． ②解：由①＋②×3，得x ＝2，……………………………………………………………3分 把x ＝2代入①，得y ＝1， ……………………………………………………………5分∴方程组⎩⎨⎧x －3y ＝－1，3x ＋y ＝7的解为⎩⎨⎧x ＝2y ＝1．…………………………………………………7分19．（9分）解：（1）1x －1＋x 2－3xx 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＋x 2－3x (x ＋1)(x －1)……………………………………………………………2分 ＝(x －1)2(x ＋1)(x －1) ……………………………………………………………………………4分 ＝x －1x ＋1． …………………………………………………………………………………6分 （2）不正确． …………………………………………………………………………7分因为当x ＝1时，代数式1x －1＋x 2－3x x 2－1中的分母x －1，x 2－1都等于0，该代数式在实数范围内无意义，所以这个说法不正确．………………………………………………………9分 20．（7分）（1）解：如图所示： ……………………………………………………………5分（2）450×30%＝135（人）答：估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数为135人．…………………………………………………………………………………………………2分 21．（8分）（1）证明：∵△AEF ∽△ABC ，∴AE AB ＝AFAC，∵AB ＝AC ，∴AE ＝AF ，………………………………………1分 ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，∴∠AED ＝∠AFD ＝90°，……………………………………………………2分 在Rt △AED 和Rt △AFD 中，∠AED ＝∠AFD ＝90°， ⎩⎨⎧AE ＝AF ，AD ＝AD ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．………………………………………………………4分（2）证明：∵Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴∠EAD ＝∠FAD ， ∵AB ＝AC ， 不及格 10% 及格 20% 良好40% 优秀30%某中学抽样九年级男生引体向上 等级人数分布扇形统计图∴AD ⊥BC ，BC ＝2BD ，………………………………………………………5分 ∵BC ＝2AD ， ∴BD ＝AD ， ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝45°，…………………………………………………………6分 ∴∠BAC ＝2∠BAD ＝90°， ∵∠AED ＝∠AFD ＝90°，∴四边形AEDF 是矩形，………………………………………………………7分 ∵AE ＝AF ，∴矩形AEDF 是正方形．………………………………………………………8分22．（8分）记为事件M ，它的发生有16种可能，P (M )＝49，“两颗骰子的顶面字母不同”记为事件N ，它的发生有20种可能，P (N )＝59，∴甲、乙两人获胜的概率各是49、59．…………………………………………………………………………………………………6分（2）3．………………………………………………………………………………………8分 23．（8分）解：（1）如图①，四边形ABCD 即为所求．…………………………………4分（2）如图②，四边形EFGH 即为所求．……………………………………………………8分24．（8分）解：（1）25km ．…………………………………………………………………2分（2）∵甲从A 地到B 地的速度为25÷50＝0.5km/min ，∴甲从B 地返回A 地的速度也为0.5km/min ，图① A B C D 图②P Q O EH F G∵甲到达B 地后停留20min 再以原速返回A 地，∴甲从B 地返回A 地时以出发70分钟，且距离A 地25km ，∴y ＝25－0.5(x －70)＝60－0.5x ．………………………………………………6分 （3）D ．…………………………………………………………………………………8分 25．（8分）解：（1）设CH ＝x ， 在Rt△CHF 中，∵∠CFH ＝∠FCH ＝45°，∴CH ＝FH ＝x ，在Rt△CHE 中，∴tan∠CEH ＝CH EH，∴xx+58.8＝tan17°＝0.30， ∴x ＝25.2，即CH ＝25.2（m ），∴CD ＝CH ＋DH ＝25.2＋1.6＝26.8（m ），答：这棵树AB 的高度为26.8m ．………………………………………………………4分（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．………………………………………………………6分（3）12． …………………………………………………………………………………8分 26．（8分）解：（1）根据情况1，设当每只定价为x 元时，一周销售收入为y 1元．…………………………………………………………………………………………………1分y 1＝x [300＋25(20－x )]＝－25x 2＋800x ，当x ＝16时，y 1有最大值，最大值为6500元．…………………………………3分 答：当定价为16元时，一周销售收入最多，最多为6500元．（2）根据情况2，设当每只定价为x 元时，一周销售收入为y 2元． y 2＝x [300－25(x －20)]＝－10x 2＋500x ，当x ＝25时，y 2有最大值，最大值为6250元， …………………………………5分 当22≤x ≤24时，y 1随x 的增大而减小，而y 2随x 的增大而增大，……………6分 当x ＝22时，y 1最大，最大值为5500，当x ＝24时，y 2最大，最大值为6000＞5500．答：当定价为24元时，一周销售收入最多，最多为6000元．…………………8分27．（10分）（1）①解：如图，设EF 与半圆相切于点G ，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2，∠A ＝∠B ＝∠ADC ＝∠BCD ＝90°， ∴OD ⊥AD ，且AD 经过半径OD 的外端点D ， ∴AD 与半圆相切于点D ，同理可证：BC 与半圆相切于点C ， ∴ED ＝EG ＝2－t ，CF ＝FG ＝2t ， ∴EF ＝2＋t ，∵EH ⊥BC ，垂足为点H ，∴∠BHE ＝90°，∵∠A ＝∠B ＝90°，∴四边形ABHE 是矩形，∴EH ＝AB ＝2，BH ＝AE ＝t ，∴HF ＝2－3t ，在△EHF 中，∠EHF ＝90°，∴EH 2＋HF 2＝EF 2，∴22＋(2－3t )2＝(2＋t )2，解这个方程，得t 1＝1－22＜1，t 2＝1＋22＞1（不合题意，舍去），E CA FB D H 17° 45° A D E∴当EF 与半圆相切时，t 的值为1－22．………………………………………………4分②解：在△EDO 中，∵∠EDO ＝90°，∴OE 2＝t 2－4t ＋5，同理可证：OF 2＝1＋4t 2， EF 2＝9t 2－12t ＋8，第一种情况：当OE ＝OF 时，则OE 2＝OF 2，∴t 2－4t ＋5＝1＋4t 2，解这个方程，得t 1＝23＜1，t 2＝－2＜0（不合题意，舍去）， 第二种情况：当OE ＝EF 时，则OE 2＝EF 2，∴t 2－4t ＋5＝9t 2－12t ＋8，此方程无解，第三种情况：当OF ＝EF 时，则OF 2＝EF 2，∴1＋4t 2＝9t 2－12t ＋8，解这个方程，得t 1＝1，t 2＝1.4＞1（不合题意，舍去），综上所述：当△EOF 是等腰三角形时，t 的值为23或1．………………………………8分 （3）1、32．………………………………………………………………………………10分。

福州第十九中学2013—2014学年第一学期期中测试 九年级数学试卷参考答案及评分标准（部分）评分标准说明：1. 标准答案只列出试题的一种或几种解法. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要步骤即可. 如果考生的解法与标准答案中的解法不同，可参照标准答案中的评分标准相应评分.2. 第一、二大题若无特别说明，每小题评分只有满分或零分.3. 评阅试卷,要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅. 如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半.4. 标准答案中的解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.5. 评分过程中，只给整数分数.6.第三大题若用未学过的知识定理求解一律在该题总分上扣2分，不重复扣分。

一.选择题（每小题4分，共40分） 本大题略。

二.填空题（每小题4分，共20分） 11——14略。

15.（分析：顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C 与D 点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（﹣1，0），则它与x 轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a ；当顶点C 与F 点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（﹣2，0），则它与x 轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a ，然后由此可判断a 的取值范围．）解答：∵顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，∴当顶点C 与D 点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y=a （x ﹣1）2+3，第15题图∴解得﹣≤a≤﹣；当顶点C 与F 点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y=a （x ﹣3）2+2， ∴解得﹣≤a≤﹣；∵顶点可以在矩形内部， ∴﹣≤a≤﹣．故答案为：﹣≤a≤﹣．三.解答题（本题满分90分） 16.（每小题7分，共14分）本题略。

2014年江苏南京鼓楼区初三一模数学试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 下列方程组中，解是x=−5,y=1的是 A. x+y=6,x−y=4 B.x+y=6,x−y=−6 C.x+y=−4,x−y=−6 D.x+y=−4,x−y=−42. 计算2×−9−18×16−12的结果是 A. −24B. −12C. −9D. 63. 利用表格中的数据，可求出 3.24+4.1232−190的近似值是（结果保留整数） a a2a10a 17289 4.12313.038 18324 4.24313.416 19361 4.35913.784A. 3B. 4C. 5D. 64. 把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为 A. 90∘B. 84∘C. 72∘D. 88∘5. 反比例函数y=kx 和正比例函数y=mx的部分图象如图所示．由此可以得到方程kx=mx的实数根为 A. x=1B. x=2C. x1=1，x2=−1D. x1=1，x2=−26. 如图，QQ软件里的“礼盒”图标是一个表面印有黑色实线，顶端有图示箭头的正方体．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是 A. B.C. D.二、填空题（共10小题；共50分）7. −3的绝对值等于______．+8×2= ______．8. 12有意义的x的取值范围是______．9. 使1x+210. 2×1032×3×10−3= ______．（结果用科学记数法表示）11. 已知⊙O1，⊙O2没有公共点．若⊙O1的半径为4，两圆圆心距为5，则⊙O2的半径可以是______．（写出一个符合条件的值即可）12. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90∘，连接AC，∠DAC=∠BAC．若BC=4 cm，AD=5 cm，则梯形ABCD的周长为 ______ cm．13. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70∘，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形A1BC1D1，当C1D1首次经过顶点C时，旋转角∠ABA1= ______ ∘．14. 某科研机构对我区 400 户有两个孩子的家庭进行了调查，得到了表格中的数据，其中（男，女）代表第一个孩子是男孩，第二个孩子是女孩，其余类推．由数据，请估计我区两个孩子家庭中男孩与女孩的人数比为______．类别数量 户 男,男101 男,女99 女,男116 女,女84合计40015. 如图，⊙O 的半径是 5，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，过圆心 O 分别作 AB ，BC ，AC 的垂线，垂足为 E ，F ，G ，连接 EF ．若 OG =2，则 EF 为______．16. 将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：①翻折纸片，使 A 与 DC 边的中点 M 重合，折痕为 EF ；②翻折纸片，使 C 落在 ME 上，点 C 的对应点为 H ，折痕为 MG ；③翻折纸片，使 B 落在 ME 上，点 B 的对应点恰与 H 重合，折痕为 GE ．AB BC= ______．三、解答题（共6小题；共78分） 17. （6分）计算：2x 2−4−12x−4．18. 解不等式组 5+3x >18,x3≤4−x−22. 并写出不等式组的整数解．19. 已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E ，F 在对角线 BD 上，且 BF =DE ．（1）求证：四边形 AECF 是菱形；（2）若 AB =2，BF =1，求四边形 AECF 的面积．20. 甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”的冠、亚、季军的决赛，他们通过抽签来决定演唱顺序．（1）求甲第一位出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率．21. 为了解南京市2012年市城镇非私营单位员工每月的收入状况，统计局对市城镇非私营单位随机抽取了1000人进行抽样调查．整理样本数据，得到下列图表：月工资x 元频数人x<2000602000≤x<40006104000≤x<60001806000≤x<800050x≥8000100合计1000（1）如果1000人全部在金融行业抽取，这样的抽样是否合理?请说明理由；（2）根据这样的调查结果，绘制条形统计图；（3）2012年南京市城镇非私营单位月平均工资为5034元，请你结合上述统计的数据，谈一谈用平均数反映月收入情况是否合理?22. （1）如图①，若BC=6，AC=4，∠C=60∘，求△ABC的面积S△ABC；（2）如图②，若BC=a，AC=b，∠C=α，求△ABC的面积S△ABC；（3）如图③，四边形ABCD，若AC=m，BD=n，对角线AC，BD交于O点，它们所成的锐角为β．求四边形ABCD的面积S四边形ABCD ．答案第一部分 1. C 2. B 3. C 4. B 5. C6. A第二部分7. 3 8. 5 9. x ≠−2 10. 1.2×10411. 0.5（答案不唯一，满足 0<r <1 或 r >9 即可） 12. 22 13. 40 14. 417:383 15. 16. 2 第三部分17.原式=2x +2 x−2 −12 x−2 =2−x 2 x +2 x−2 =−12x +4.18. 5+3x >18, ⋯⋯①x 3≤4−x−22. ⋯⋯②解不等式 ①，得x >133,解不等式 ②，得x ≤6.所以原不等式组的解集为133<x ≤6.它的整数解为 5，6．19. （1） 连接 AC ，AC 交 BD 于点 O ． ABCD 中，OB =OD ，OA =OC ，AC ⊥BD ． ∵BF =DE ，∴OB −BF =OD −DE ，即 OF =OE ． ∴ 四边形 AECF 是平行四边形． 又 ∵AC ⊥EF ，∴ 平行四边形 AECF 是菱形． （2） ∵AB =2，∴AC =BD = AB 2+AD 2=2 2． ∴OA =OB =BD 2= 2．∵BF =1，∴OF =OB −BF = 2−1．∴S 四边形AECF =12AC ⋅EF =12×2 2×2 2−1 =4−2 2．20. （1） 所有可能出现的结果如下：第一位出场第二位出场第三位出场结果甲乙丙 甲,乙,丙 甲丙乙 甲,丙,乙乙甲丙 乙,甲,丙 乙丙甲 乙,丙,甲 丙甲乙 丙,甲,乙 丙乙甲丙,乙,甲以上共有 6 种等可能的结果．其中甲第一位出场的结果有 2 种，甲比乙先出场的结果有 3 种．所以 P 甲第一位出场 =26=13． （2） P 甲比乙先出场 =36=12．21. （1） 不合理．因为如果 1000 人全部在金融行业抽取，那么全市城镇非私营单位员工被抽到的机会不相等，样本不具有代表性和广泛性．（2）（3） 用平均数反映月收入情况不合理．由数据可以看出 1000 名被调查者中有 670 人的月收入不超过 4000 元，月收入的平均数受高收入者和低收入者收入变化的影响较大，月收入的中位数几乎不受高低两端收入变化的影响，因此，用月收入的中位数反映月收入水平更合理． 22. （1） 如图①，过点 A 作 AH ⊥BC ，垂足为 H ． Rt △AHC 中，AHAC =sin60∘， ∴AH =AC ⋅sin60∘=4×32=2 3．∴S △ABC =12×BC ×AH =12×6×2 3=6 3． （2） 如图②，过点 A 作 AH ⊥BC ，垂足为 H ． Rt △AHC 中，AHAC =sin α， ∴AH =AC ⋅sin α=b sin α． ∴S △ABC =12×BC ×AH =12ab sin α．（3） 如图③，分别过点 A ，C 作 AH ⊥BD ，CG ⊥BD ，垂足为 H ，G ． Rt △AHO 与 Rt △CGO 中，AH =OA sin β，CG =OC sin β； 于是，S △ABD =12×BD ×AH =12n ×OA sin β； S △BCD =12×BD ×CG =12n ×OC sin β；∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=1n×OA sinβ+1n×OC sinβ=12n×OA+OC sinβ=12mn sinβ.。

九年级（下）期中试卷数 学注意事项：本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．4的算术平方根是A ．±2B ．2C ．±16D ．162．计算(－a 3)2的结果是A ．－a 6B ．－a 5C ．a6D ．a53．如图是某几何体的三种视图，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．球D ．四棱锥4B ．－12C 5．对于代数式x 2－10x ＋24，下列说法中错误的是 A ．次数为2、项数为3 B ．因式分解的结果是(x －4)(x －6)C ．该代数式的值可能等于0D ．该代数式的值可能小于－16．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A ＝30°，BC ＝2，把△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到△BED ，则对应点C 、D 之间的距离为A ．1B ． 2C ． 3D ．2 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上） 7．－3的相反数是 ▲ ，－3的倒数是 ▲ ．8．截止于2017年3月1日，南京市鼓楼区团区委官方微博的粉丝数量为25 000，将25 000 用科9．计算18a 的结果是 ▲ ．10．不等式x －2＜3的解集是 ▲ ．11．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天的数据如下：106，60，74，100，92，67，75，67，87，119．该组数据的中位数是 ▲ ．12．已知圆锥的底面半径为4 cm ，圆锥的母线长为5 cm ，则圆锥的侧面积为 ▲ cm 2． 13．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE 的3个外角，若∠A ＋∠B ＝220°，则∠1＋∠2＋∠3＝ ▲ °．14．以菱形ABCD 的对角线交点O 为原点，对角线AC AD 的中点E 的坐标为(－1，2)，则BC 的中点F 15．在直角坐标系中，把四边形ABCD 以原点O ˊB ˊC ˊD ˊ．若点A 和它的对应点A ˊ的坐标分别为（2，3），（6，9），则四边形ABCD 的面积四边形A ˊB ˊC ˊD ˊ的面积＝ ▲ ．左视图（第4题） （第6题）(第14题)1 2 3 A B C D E(第13题)16．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 图像与一次函数y 2＝kx 的图像交于点M 、N ，点M 、N 的横坐标分别为m 、n （m ＜n ）．下列结论：①若a ＞0，则当m ＜x ＜n 时，y 1＜y 2；②若a ＜0，则当x ＜m 或x ＞n 时，y 1＞y 2；③b －k ＝am ＋an ；④c ＝amn ．其中所以正确结论的序号是 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算：2－1×4＋(－2)4÷4＋cos60°．18．（7分）解方程组⎩⎨⎧x －3y ＝－1，3x ＋y ＝7．19．（9分）已知代数式1x －1＋x 2－3xx 2－1，回答下列问题．（1）化简这个代数式； （2）“当x ＝1时，该代数式的值为0”，这个说法正确吗？请说明理由． 20．（7分）某中学九年级男生共450人，现随机抽取了部分九年级男生进行引体向上测试，相关数据的统计图如下．（1）设学生引体向上测试成绩为x （单位：个）．学校规定：当0≤x ＜2时成绩等级为不及格，当2≤x ＜4时成绩等级为及格，当5≤x ＜6时成绩等级为良好，当x ≥6时成绩等级为优秀．用适当的统计图表示“不及格”、“及格”、“良好”、“优秀”四个等级学生人数所占百分比； （2）估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数． 21．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是边BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，△AEF ∽△ABC ．（1）求证：△AED ≌△AFD ；（2）若BC ＝2AD ，求证：四边形AEDF 是正方形．22．（8分）甲、乙两人用两颗骰子玩游戏．这两颗骰子的一些面标记字母A ，而其余的面则标记字母B ．两个人轮流掷骰子，游戏规则如下：两颗骰子的顶面字母相同时，甲赢；两颗骰子的顶面字母不同时，乙赢．已知第一颗骰子各面的标记为4A2B ，回答下列问题：（1）若第二颗骰子各面的标记为2A4B ，求甲、乙两人获胜的概率各是多少？ （2）若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有 ▲ 个面标记字母A ．x /个C D E B A F（第21题）23．（8分）按要求完成下列尺规作图（不写作图，保留作图痕迹）．（1）如图①，点A、B、C是平行四边形ABCD的三个顶点，求作平行四边形ABCD；（2）如图②，点O、P、Q分别是平行四边形EFGH三边EH、EF、FG的中点，求作平行四边形EFGH．24．（8分）甲、乙两人骑车分别从A、B两地同时出发，沿同一路线匀速骑行，两人先相向而行，甲到达B 地后停留20min再以原速返回A地，当两人到达A地后停止骑行．设甲出发x min后距离A地的路程为y km．图中的折线表示甲在整个骑行过程中y与x的函数关系．（1）A、B两地之间的路程是▲ km；（2）求甲从B地返回A地时，y与x的函数表达式；（3）在整个骑行过程中，两人只相遇了1次，乙的骑行速度可能是（▲）．A．0.1B．0.15C．0.2D．0.2525．（8分）某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的35° ECFH 17°45°AB C图①OP Q图②（第23题）y（第24题）（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因；（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为▲ m．26．（8分）某水果店出售一种水果，每只定价20元时，每周可卖出300只．试销发现以下两种情况：情况1：如果每只水果每降价1元，那么每周可多卖出25只；情况2：如果每只水果每涨价1元，那么每周将少卖出10只．（1）根据情况1，如何定价，才能使一周销售收入最多？（2）如果物价局规定该种水果每只价格只能在22元～24元之间（包括22元与24元）那么根据以上两种情况，你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？并说明理由．27．（10分）在正方形ABCD中，有一直径为CD的半圆，圆心为点O，CD＝2，现有两点E、F，分别从点A、点C同时出发，点E沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，点F沿线段CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点F运动到点B时，点E也随之停止运动．设点E离开点A的时间为t(s)，回答下列问题：（1）如图①，根据下列条件，分别求出t的值．①EF与半圆相切；②△EOF是等腰三角形．（2）如图②，点P是EF的中点，Q是半圆上一点，请直接写出PQ＋OQ的最小值与最大值．EA DEA DA D九年级（下）期中考试 数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．3，－138．2.5×1049．6a 10．x ＜3 11．8112．20π 13．220° 14．(1，－2) 15．1916．①②④． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（7分）解：2－1×6－(－2)4÷4＋cos60°＝12×6－16÷4＋12………………………………………………………………………3分 ＝3－4＋12…………………………………………………………………………………5分 ＝－12．……………………………………………………………………………………7分18．（7分）解方程组⎩⎨⎧x －3y ＝－1，①3x ＋y ＝7． ②解：由①＋②×3，得x ＝2，……………………………………………………………3分把x ＝2代入①，得y ＝1， ……………………………………………………………5分∴方程组⎩⎨⎧x －3y ＝－1，3x ＋y ＝7的解为⎩⎨⎧x ＝2y ＝1．…………………………………………………7分19．（9分）解：（1）1x －1＋x 2－3xx 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＋x 2－3x (x ＋1)(x －1)……………………………………………………………2分 ＝(x －1)2(x ＋1)(x －1) ……………………………………………………………………………4分 ＝x －1x ＋1． …………………………………………………………………………………6分 （2）不正确． …………………………………………………………………………7分因为当x ＝1时，代数式1x －1＋x 2－3x x 2－1中的分母x －1，x 2－1都等于0，该代数式在实数范围内无意义，所以这个说法不正确．………………………………………………………9分 20．（7分）（1）解：如图所示： ……………………………………………………………5分（2）450×30%＝135（人）答：估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数为135人．…………………………………………………………………………………………………2分 21．（8分）（1）证明：∵△AEF ∽△ABC ，∴AE AB ＝AFAC，∵AB ＝AC ，∴AE ＝AF ，………………………………………1分 ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，∴∠AED ＝∠AFD ＝90°，……………………………………………………2分 在Rt △AED 和Rt △AFD 中，∠AED ＝∠AFD ＝90°， ⎩⎨⎧AE ＝AF ，AD ＝AD ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．………………………………………………………4分（2）证明：∵Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴∠EAD ＝∠FAD ， ∵AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，BC ＝2BD ，………………………………………………………5分 ∵BC ＝2AD ，不及格 10% 及格 20% 良好40% 优秀30%某中学抽样九年级男生引体向上 等级人数分布扇形统计图∴BD ＝AD ， ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝45°，…………………………………………………………6分 ∴∠BAC ＝2∠BAD ＝90°， ∵∠AED ＝∠AFD ＝90°，∴四边形AEDF 是矩形，………………………………………………………7分 ∵AE ＝AF ，∴矩形AEDF 是正方形．………………………………………………………8分22．（8分）M ，它的发生有16种可能，P (M )＝49，“两颗骰子的顶面字母不同”记为事件N ，它的发生有20种可能，P (N )＝59，∴甲、乙两人获胜的概率各是49、59．…………………………………………………………………………………………………6分 （2）3．………………………………………………………………………………………8分 23．（8分）解：（1）如图①，四边形ABCD 即为所求．…………………………………4分（2）如图②，四边形EFGH 即为所求．……………………………………………………8分24．（8分）解：（1）25km ．…………………………………………………………………2分（2）∵甲从A 地到B 地的速度为25÷50＝0.5km/min ，∴甲从B 地返回A 地的速度也为0.5km/min ，∵甲到达B 地后停留20min 再以原速返回A 地，∴甲从B 地返回A 地时以出发70分钟，且距离A 地25km ，图① A B C D 图②P Q O EH F G∴y ＝25－0.5(x －70)＝60－0.5x ．………………………………………………6分 （3）D ．…………………………………………………………………………………8分 25．（8分）解：（1）设CH ＝x ， 在Rt△CHF 中，∵∠CFH ＝∠FCH ＝45°，∴CH ＝FH ＝x ，在Rt△CHE 中，∴tan∠CEH ＝CH EH，∴xx+58.8＝tan17°＝0.30， ∴x ＝25.2，即CH ＝25.2（m ），∴CD ＝CH ＋DH ＝25.2＋1.6＝26.8（m ），答：这棵树AB 的高度为26.8m ．………………………………………………………4分（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．………………………………………………………6分（3）12． …………………………………………………………………………………8分 26．（8分）解：（1）根据情况1，设当每只定价为x 元时，一周销售收入为y 1元．…………………………………………………………………………………………………1分y 1＝x [300＋25(20－x )]＝－25x 2＋800x ，当x ＝16时，y 1有最大值，最大值为6500元．…………………………………3分 答：当定价为16元时，一周销售收入最多，最多为6500元．（2）根据情况2，设当每只定价为x 元时，一周销售收入为y 2元． y 2＝x [300－25(x －20)]＝－10x 2＋500x ，当x ＝25时，y 2有最大值，最大值为6250元， …………………………………5分 当22≤x ≤24时，y 1随x 的增大而减小，而y 2随x 的增大而增大，……………6分 当x ＝22时，y 1最大，最大值为5500，当x ＝24时，y 2最大，最大值为6000＞5500．答：当定价为24元时，一周销售收入最多，最多为6000元．…………………8分27．（10分）（1）①解：如图，设EF 与半圆相切于点G ，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2，∠A ＝∠B ＝∠ADC ＝∠BCD ＝90°， ∴OD ⊥AD ，且AD 经过半径OD 的外端点D ， ∴AD 与半圆相切于点D ，同理可证：BC 与半圆相切于点C ， ∴ED ＝EG ＝2－t ，CF ＝FG ＝2t ， ∴EF ＝2＋t ，∵EH ⊥BC ，垂足为点H ，∴∠BHE ＝90°，∵∠A ＝∠B ＝90°，∴四边形ABHE 是矩形，∴EH ＝AB ＝2，BH ＝AE ＝t ，∴HF ＝2－3t ，在△EHF 中，∠EHF ＝90°，∴EH 2＋HF 2＝EF 2，∴22＋(2－3t )2＝(2＋t )2，解这个方程，得t 1＝1－22＜1，t 2＝1＋22＞1（不合题意，舍去），∴当EF 与半圆相切时，t 的值为1－22．………………………………………………4分②解：在△EDO 中，∵∠EDO ＝90°，∴OE 2＝t 2－4t ＋5，E CA FB D H 17° 45° A D E同理可证：OF 2＝1＋4t 2， EF 2＝9t 2－12t ＋8，第一种情况：当OE ＝OF 时，则OE 2＝OF 2，∴t 2－4t ＋5＝1＋4t 2，解这个方程，得t 1＝23＜1，t 2＝－2＜0（不合题意，舍去）， 第二种情况：当OE ＝EF 时，则OE 2＝EF 2，∴t 2－4t ＋5＝9t 2－12t ＋8，此方程无解，第三种情况：当OF ＝EF 时，则OF 2＝EF 2，∴1＋4t 2＝9t 2－12t ＋8，解这个方程，得t 1＝1，t 2＝1.4＞1（不合题意，舍去），综上所述：当△EOF 是等腰三角形时，t 的值为23或1．………………………………8分 （3）1、32．………………………………………………………………………………10分。

鼓楼区9年级试卷数学【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个正方形的边长为a，则它的对角线长为（）。

A. a/2B. a√2C. 2aD. a√32. 已知一组数据的平均数为10，标准差为2，则这组数据中（）。

A. 所有数都等于10B. 至少有一个数等于10C. 至少有一个数不等于10D. 无法确定3. 下列函数中，奇函数是（）。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = sin(x)D. y = cos(x)4. 若两个角互为补角，则它们的和为（）。

A. 90度B. 180度C. 360度D. 无法确定5. 在直角坐标系中，点P(2, -3)关于原点的对称点是（）。

A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (-2, -3)D. (2, -3)二、判断题（每题1分，共5分）1. 平行四边形的对角线互相平分。

（）2. 一元二次方程的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，方程有两个不同的实数根。

（）3. 函数y=2x+3的图像是一条直线。

（）4. 若a、b、c是等差数列，则2a、2b、2c也是等差数列。

（）5. 在同一平面内，两条平行线的斜率相等。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为______。

2. 函数f(x)=x^3-3x的最小值是______。

3. 若sin(α)=1/2，则α的取值集合为______。

4. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S10=______。

5. 在直角坐标系中，点A(1, 2)到原点的距离是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述勾股定理的内容。

2. 什么是函数的单调性？3. 请写出等差数列的通项公式。

4. 简述圆的标准方程。

5. 什么是三角形的内角和？五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知正方形的边长为a，求其对角线长。

2. 已知等差数列的前3项分别为1、3、5，求第10项。

九年级（下）期中试卷数 学注意事项：本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．4的算术平方根是A ．±2B ．2C ．±16D ．162．计算(－a 3)2的结果是A ．－a 6B ．－a 5C ．a6D ．a53．如图是某几何体的三种视图，则这个几何体是A ．圆锥B ．圆柱C ．球D ．四棱锥4B ．－12C5．对于代数式x 2－10x ＋24，下列说法中错误的是 A ．次数为2、项数为3 B ．因式分解的结果是(x －4)(x －6)C ．该代数式的值可能等于0D ．该代数式的值可能小于－16．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A ＝30°，BC ＝2，把△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到△BED ，则对应点C 、D 之间的距离为A ．1B ． 2C ． 3D ．2 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上） 7．－3的相反数是 ▲ ，－3的倒数是 ▲ ．8．截止于2017年3月1日，南京市鼓楼区团区委官方微博的粉丝数量为25 000，将25 000 用科9．计算18a10．不等式x －2＜3的解集是 ▲ ．11．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到10天的数据如下：106，60，74，100，92，67，75，67，87，119．该组数据的中位数是 ▲ ．12．已知圆锥的底面半径为4 cm ，圆锥的母线长为5 cm ，则圆锥的侧面积为 ▲ cm 2． 13．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE 的3个外角，若∠A ＋∠B ＝220°，则∠1＋∠2＋∠3＝ ▲ °．14．以菱形ABCD 的对角线交点O 为原点，对角线AC AD 的中点E 的坐标为(－1，2)，则BC 的中点F 15．在直角坐标系中，把四边形ABCD 以原点O ˊB ˊC ˊD ˊ．若点A 和它的左视图（第4题） （第6题）(第14题)1 2 3A BCD E(第13题)对应点A ˊ的坐标分别为（2，3），（6，9），则四边形ABCD 的面积四边形A ˊB ˊC ˊD ˊ的面积＝ ▲ ．16．已知二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 图像与一次函数y 2＝kx 的图像交于点M 、N ，点M 、N 的横坐标分别为m 、n （m ＜n ）．下列结论：①若a ＞0，则当m ＜x ＜n 时，y 1＜y 2；②若a ＜0，则当x ＜m 或x ＞n 时，y 1＞y 2；③b －k ＝am ＋an ；④c ＝amn ．其中所以正确结论的序号是 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算：2－1×4＋(－2)4÷4＋cos60°．18．（7分）解方程组⎩⎨⎧x －3y ＝－1，3x ＋y ＝7．19．（9分）已知代数式1x －1＋x 2－3xx 2－1，回答下列问题．（1）化简这个代数式； （2）“当x ＝1时，该代数式的值为0”，这个说法正确吗？请说明理由． 20．（7分）某中学九年级男生共450人，现随机抽取了部分九年级男生进行引体向上测试，相关数据的统计图如下．（1）设学生引体向上测试成绩为x （单位：个）．学校规定：当0≤x ＜2时成绩等级为不及格，当2≤x ＜4时成绩等级为及格，当5≤x ＜6时成绩等级为良好，当x ≥6时成绩等级为优秀．用适当的统计图表示“不及格”、“及格”、“良好”、“优秀”四个等级学生人数所占百分比； （2）估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数． 21．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是边BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，△AEF ∽△ABC ．（1）求证：△AED ≌△AFD ；（2）若BC ＝2AD ，求证：四边形AEDF 是正方形．22．（8分）甲、乙两人用两颗骰子玩游戏．这两颗骰子的一些面标记字母A ，而其余的面则标记字母B ．两个人轮流掷骰子，游戏规则如下：两颗骰子的顶面字母相同时，甲赢；两颗骰子的顶面字母不同时，乙赢．已知第一颗骰子各面的标记为4A2B ，回答下列问题：（1）若第二颗骰子各面的标记为2A4B ，求甲、乙两人获胜的概率各是多少？x /个C D E B A F（第21题）（2）若要使两人获胜概率相等，则第二颗骰子要有 ▲ 个面标记字母A ．23．（8分）按要求完成下列尺规作图（不写作图，保留作图痕迹）．（1）如图①，点A 、B 、C 是平行四边形ABCD 的三个顶点，求作平行四边形ABCD ；（2）如图②，点O 、P 、Q 分别是平行四边形EFGH 三边EH 、EF 、FG 的中点，求作平行四边形EFGH ．24．（8分）甲、乙两人骑车分别从A 、B 两地同时出发，沿同一路线匀速骑行，两人先相向而行，甲到达B地后停留20 min 再以原速返回A 地，当两人到达A 地后停止骑行．设甲出发xmin 后距离A 地的路程为ykm ．图中的折线表示甲在整个骑行过程中y 与x 的函数关系． （1）A 、B 两地之间的路程是 ▲ km ；（2）求甲从B 地返回A 地时，y 与x 的函数表达式；（3）在整个骑行过程中，两人只相遇了1次，乙的骑行速度可能是（ ▲ ）．A ．0.1B ．0.15C ．0.2D ．0.2525．（8分）某校九年级数学兴趣小组的活动课题是“测量物体高度”．小组成员小明与小红分别采用不同的CA B C 图①OP Q图② （第23题） y （第24题）（2）数学老师说小红的结果较准确，而小明的结果与古塔的实际高度偏差较大．针对小明的测量方案分析测量发生偏差的原因；（3）利用小明与小红的测量数据，估算该古塔底面圆直径的长度为▲ m．26．（8分）某水果店出售一种水果，每只定价20元时，每周可卖出300只．试销发现以下两种情况：情况1：如果每只水果每降价1元，那么每周可多卖出25只；情况2：如果每只水果每涨价1元，那么每周将少卖出10只．（1）根据情况1，如何定价，才能使一周销售收入最多？（2）如果物价局规定该种水果每只价格只能在22元～24元之间（包括22元与24元）那么根据以上两种情况，你认为应当如何定价才能使一周销售收入最多？并说明理由．27．（10分）在正方形ABCD中，有一直径为CD的半圆，圆心为点O，CD＝2，现有两点E、F，分别从点A、点C同时出发，点E沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，点F沿线段CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点F运动到点B时，点E也随之停止运动．设点E离开点A的时间为t(s)，回答下列问题：（1）如图①，根据下列条件，分别求出t的值．①EF与半圆相切；②△EOF是等腰三角形．（2）如图②，点P是EF的中点，Q是半圆上一点，请直接写出PQ＋OQ的最小值与最大值．EA DEA DA D九年级（下）期中考试 数学试题参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．3，－138．2.5×1049．6a 10．x ＜3 11．8112．20π 13．220° 14．(1，－2) 15．1916．①②④． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（7分）解：2－1×6－(－2)4÷4＋cos60°＝12×6－16÷4＋12………………………………………………………………………3分 ＝3－4＋12…………………………………………………………………………………5分＝－12．……………………………………………………………………………………7分18．（7分）解方程组⎩⎨⎧x －3y ＝－1，①3x ＋y ＝7． ②解：由①＋②×3，得x ＝2，……………………………………………………………3分 把x ＝2代入①，得y ＝1， ……………………………………………………………5分∴方程组⎩⎨⎧x －3y ＝－1，3x ＋y ＝7的解为⎩⎨⎧x ＝2y ＝1．…………………………………………………7分19．（9分）解：（1）1x －1＋x 2－3xx 2－1＝x ＋1(x ＋1)(x －1)＋x 2－3x (x ＋1)(x －1)……………………………………………………………2分 ＝(x －1)2(x ＋1)(x －1) ……………………………………………………………………………4分 ＝x －1x ＋1． …………………………………………………………………………………6分 （2）不正确． …………………………………………………………………………7分因为当x ＝1时，代数式1x －1＋x 2－3x x 2－1中的分母x －1，x 2－1都等于0，该代数式在实数范围内无意义，所以这个说法不正确．………………………………………………………9分 20．（7分）（1）解：如图所示： ……………………………………………………………5分（2）450×30%＝135（人）答：估计全校九年级男生引体向上测试优秀的人数为135人．…………………………………………………………………………………………………2分 21．（8分）（1）证明：∵△AEF ∽△ABC ，∴AE AB ＝AFAC，∵AB ＝AC ，∴AE ＝AF ，………………………………………1分 ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，∴∠AED ＝∠AFD ＝90°，……………………………………………………2分 在Rt △AED 和Rt △AFD 中，∠AED ＝∠AFD ＝90°， ⎩⎨⎧AE ＝AF ，AD ＝AD ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ．………………………………………………………4分（2）证明：∵Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴∠EAD ＝∠FAD ， ∵AB ＝AC ，不及格10% 及格 20%良好 40% 优秀30%某中学抽样九年级男生引体向上等级人数分布扇形统计图∴AD ⊥BC ，BC ＝2BD ，………………………………………………………5分 ∵BC ＝2AD ， ∴BD ＝AD ， ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝45°，…………………………………………………………6分 ∴∠BAC ＝2∠BAD ＝90°， ∵∠AED ＝∠AFD ＝90°，∴四边形AEDF 是矩形，………………………………………………………7分 ∵AE ＝AF ，∴矩形AEDF 是正方形．………………………………………………………8分22．（8分）M ，它的发生有16种可能，P (M )＝49，“两颗骰子的顶面字母不同”记为事件N ，它的发生有20种可能，P (N )＝59，∴甲、乙两人获胜的概率各是49、59．…………………………………………………………………………………………………6分 （2）3．………………………………………………………………………………………8分 23．（8分）解：（1）如图①，四边形ABCD 即为所求．…………………………………4分（2）如图②，四边形EFGH 即为所求．……………………………………………………8分24．（8分）解：（1）25km ．…………………………………………………………………2分（2）∵甲从A 地到B 地的速度为25÷50＝0.5km/min ，∴甲从B 地返回A 地的速度也为0.5km/min ，图① A B C D 图② P Q O EH F G∵甲到达B 地后停留20min 再以原速返回A 地，∴甲从B 地返回A 地时以出发70分钟，且距离A 地25km ，∴y ＝25－0.5(x －70)＝60－0.5x ．………………………………………………6分 （3）D ．…………………………………………………………………………………8分 25．（8分）解：（1）设CH ＝x ， 在Rt△CHF 中，∵∠CFH ＝∠FCH ＝45°，∴CH ＝FH ＝x ，在Rt△CHE 中，∴tan∠CEH ＝CH EH，∴xx +58.8＝tan17°＝0.30， ∴x ＝25.2，即CH ＝25.2（m ），∴CD ＝CH ＋DH ＝25.2＋1.6＝26.8（m ）， 答：这棵树AB 的高度为26.8m ．………………………………………………………4分（2）原因：小明测量的只是测角器所在位置与古塔底部边缘的最短距离，不是测量测角器所在位置与底面圆心的最短距离．………………………………………………………6分（3）12． …………………………………………………………………………………8分 26．（8分）解：（1）根据情况1，设当每只定价为x 元时，一周销售收入为y 1元．…………………………………………………………………………………………………1分y 1＝x [300＋25(20－x )]＝－25x 2＋800x ，当x ＝16时，y 1有最大值，最大值为6500元．…………………………………3分 答：当定价为16元时，一周销售收入最多，最多为6500元．（2）根据情况2，设当每只定价为x 元时，一周销售收入为y 2元． y 2＝x [300－25(x －20)]＝－10x 2＋500x ，当x ＝25时，y 2有最大值，最大值为6250元， …………………………………5分 当22≤x ≤24时，y 1随x 的增大而减小，而y 2随x 的增大而增大，……………6分 当x ＝22时，y 1最大，最大值为5500，当x ＝24时，y 2最大，最大值为6000＞5500．答：当定价为24元时，一周销售收入最多，最多为6000元．…………………8分27．（10分）（1）①解：如图，设EF 与半圆相切于点G ，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2，∠A ＝∠B ＝∠ADC ＝∠BCD ＝90°， ∴OD ⊥AD ，且AD 经过半径OD 的外端点D ， ∴AD 与半圆相切于点D ，同理可证：BC 与半圆相切于点C ， ∴ED ＝EG ＝2－t ，CF ＝FG ＝2t ， ∴EF ＝2＋t ，∵EH ⊥BC ，垂足为点H ，∴∠BHE ＝90°，∵∠A ＝∠B ＝90°，∴四边形ABHE 是矩形， ∴EH ＝AB ＝2，BH ＝AE ＝t ，∴HF ＝2－3t ，在△EHF 中，∠EHF ＝90°，∴EH 2＋HF 2＝EF 2，∴22＋(2－3t )2＝(2＋t )2，解这个方程，得t 1＝1－22＜1，t 2＝1＋22＞1（不合题意，舍去），E CA F D H 17° 45° A D E∴当EF 与半圆相切时，t 的值为1－22．………………………………………………4分②解：在△EDO 中，∵∠EDO ＝90°，∴OE 2＝t 2－4t ＋5，同理可证：OF 2＝1＋4t 2， EF 2＝9t 2－12t ＋8，第一种情况：当OE ＝OF 时，则OE 2＝OF 2，∴t 2－4t ＋5＝1＋4t 2，解这个方程，得t 1＝23＜1，t 2＝－2＜0（不合题意，舍去）， 第二种情况：当OE ＝EF 时，则OE 2＝EF 2，∴t 2－4t ＋5＝9t 2－12t ＋8，此方程无解，第三种情况：当OF ＝EF 时，则OF 2＝EF 2，∴1＋4t 2＝9t 2－12t ＋8，解这个方程，得t 1＝1，t 2＝1.4＞1（不合题意，舍去），综上所述：当△EOF 是等腰三角形时，t 的值为23或1．………………………………8分 （3）1、32．………………………………………………………………………………10分。