2017年高考模拟应用题大全数学试卷(四)(附答案与解析)

2017年高考模拟试卷(4)参考答案一、填空题1.}1,0{ .∵A={x|-4<x<4}, B={-5，0，1}.∴{}0,1A B ⋂=.2.若b a ≤，则22b a ≤.3.23.因为()()12112131222i i i z i i +++===-+-，所以复数z 的虚部是32.4.8.5.7 .图中循环结构循环的结果依次是：（1）s=1+0=1,i=2; (2)s=1+1=2,i=3;(3)s=2+2=4,i=4;(4)s=4+3=7,i=5;(5)s=7+4=11,i=6;(6)s=11+5=16,i=7.所以若输出s 的值为16，那么输入的n 值等于7.6.23.总的基本事件是4个球中取2个球，共有6个基本事件，“恰有一个红球”则包含4个基本事件，所以结果为3264=.7.40.由题知10057=a ，7111392)12()8(33a d a d a a a =+-+=-. 8.4π.两函数可化为)]8(2sin[2)(π+=x x f 和)]8(2sin[2)(π-=x x g ，即可得.9.π322.设圆锥的底面半径为r ，圆锥的高为h ，则有11122=+hr ，而母线长22h r l +=， 则4)11)((22222≥++=h r h r l ，即可得母线最小值为2，此时2==h r ，则体积 为πππ322)2(313132==h r . 10.[9,9]-. 将直角三角形放入直角坐标系中，则(0,4),(2,0),(1,2),(1,0)A B E D ,设(,)P x y ，则(1,4)(1,2)47AD EP x y x y ⋅=---=-+u u u r u u rg ，令47z x y =-+，则1744z y x -=+，作直线14y x =， 平移直线14y x =，由图象可知当直线1744zy x -=+经过点A 时，直线的截距最大，但此时z 最小， 当直线 经过点B 时，直线的截距最小，此时z 最大.即z 的最小值为4479z =-⨯+=-，最大值为279z =+=，即99AD EP -≤⋅≤uuu r uu r.AD EP ⋅uuu r uu r 的取值范围是[9,9]-.11.3 .因为(4)()f x f x -=-，所以()()8f x f x +=，即函数的周期为8，因此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出， ①若2221<<<-x x 且021>+x x ， 由奇偶性和单调性可得正确； ②若1204x x <<<且125x x +=，f x （）在(0,2]上是增函数，则11054x x -＜＜＜，即1512x ＜＜，由图可知：12()()f x f x >；故②正确；③当0m ＞时，四个交点中两个交点的横坐标之和为()2612⨯-=-，另两个交点的横坐标之和为224⨯=，所以12348x x x x +++=-．当m ＜0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-2），另两个交点的横坐标之和为2×6，所以12348x x x x +++=．故③正确；④如图可得函数()f x 在[8,8]-内有5个零点，所以不正确 12.16ln 3e a <≤或0=a .当1[,1]3x ∈时，1[1,3]x∈，则11()2()2ln 2ln f x f x x x ===-.在坐标系内画出分段函数图象：由题意可知：6ln3OA a k ≤=.当直线与曲线()ln f x x =相切时，解得1ek =；所以a 的取值范围是16ln 3e a <≤.另外，0=a 显然成立.13.]21062,21062[+-.设P(x ，y)，则Q(18-x ，-y)，S(-y ，x).22222222222)9()9(281811818222363618)()18(||++-∙=+++-+∙=+++-+-++=--++-=∴x x y x y x xy y x xy y x y x x y y x SQ其中22)9()9(++-x x 可以看作是点P 到定点 B(9，-9)的距离，其最大值为|MB|+r=253+1,最小值为|MB|-r=253-1，则 |SQ|的最大值为22106+，|SQ|的最小值为22106-.CBC 1B 1A 1A14.}]2,1[,2|{2中的所有奇数为n n i i x x -=.第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4；第二次操作后，原来的1,3变成4，而2变成0；第三次才做后，与4对应的点应有0与1的中点21，1与2的中点23，2与3的中点25，3与4的中点27；依次类推，第n 次操作后，与4对应的坐标应为中的所有奇数为]2,1[,22nn i i -二、解答题15．（1）∵2A B =，∴B B A 2sin 212cos cos -==. ∵3sin 3B =，∴313121cos =⨯-=A . 由题意可知，)2,0(π∈B .∴36sin 1cos 2=-=B B .∵22sin sin 22sin cos 3A B B B ===. ∴)sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π53sin cos cos sin 9A B A B =+=. （2）∵sin sin b a B A =，2b =，∴232233a=，∴463a =. ∴1202sin 29ABC S ab C ∆==. 16.（1）连接1BC . 在正方形11ABB A 中，1AB BB ^.1BBAB ⊥ 因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，⊂AB 平面11ABB A ， 所以 ⊥AB 平面11BB C C .因为 ⊂C B 1平面11BB C C ，所以 C B AB 1⊥ 在菱形11BB C C 中，.C B BC 11⊥因为 ⊂C B 1平面1ABC ， ⊂AB 平面1ABC ，1BC AB B =， 所以 ⊥C B 1平面1ABC .因为 ⊂1AC 平面1ABC ， 所以 1B C ⊥1AC .（2）EF ∥平面ABC ，理由如下：取BC 的中点G ，连接,GE GA .因为 E 是1BC 的中点，所以 GE ∥1BB ，且GE 112BB =.因为 F 是1AA 的中点，所以 AF 112AA =. 在正方形11ABB A 中，1AA ∥1BB ，1AA 1BB =. 所以 GE ∥AF ，且GE AF =. 所以 四边形GEFA 为平行四边形. 所以 EF ∥GA .因为 ⊄EF 平面ABC ， ⊂GA 平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .17.（1）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P=70+)21(20003.0+⨯⨯=88(元) .（2）（1）当x ≤7时y=360x+10x+236=370x+236, （2）当 x>7时y=360x+236+70+6[(7-x )+(6-x )+……+2+1]=43232132++x x∴⎩⎨⎧>++≤+=7,43232137,2363702x x x x x y∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x)元.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤+=7,43232137236370)(2x x x x x x x x f ， . 当x≤7时x x f 236370)(+= 当且仅当x=7时f(x)有最小值40472826≈（元） 当x ＞7时xx x x f 4323213)(2++==321)144(3++x x ≥393. 当且仅当x=12时取等号.∵393<404,∴当x=12时 f(x)有最小值393元·GFECB C 1B 1A 1A18.(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意32c a =，且a=2， 得3c =,b=1, ∴所求椭圆方程为2214x y +=. （2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为255x =±，原点O 到直线AB 的距离为255, 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2-4=0，△=16（1+4k 2-m 2）＞0，2121222844,1414km m x x x x k k-+=-=++, 由2212122544014m k OA OB x x y y k--∙=+==+ ,得()22415m k =+, ∴原点O 到直线AB 的距离()22241255511k m d k k+===++, 综上所述，原点O 到直线AB 的距离为255;即该定圆方程为5422=+y x ·②当直线AB 的斜率不存在时455AB =, 当直线AB 的斜率存在时，221242491116815k AB k x x k k =+-=+++, 当k≠0时，581169154||22≤+++=kk AB ，当12k =±时等号成立．当k=0时，455AB =．∴|AB|最大值为5 ． 由①知,点0到直线AB 的距离为552, ∴AOB S ∆的最大值为1552521=⋅⋅.19.(1)直线方程为),(),(21111+++-+-=-n n n n n n y x A x x x y y 因为直线过点， 2)(2111)(2111111+=⇒-+-=-⇒-+-=-∴+++++n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x y y ．（2）设,3121+-=n n x a 由（1）得 n n nn n n a x x x x a 2)3121(231221312111-=+--=+-+=+-=++又}3121{,021+-≠-=n x a 故是等比数列； 31)2(12)2(--+=⇒-=n n n n x a .（3）由（2）得31)1(212)1()1(⋅--+⋅-=-∴n n nn nx当n 为偶数时，则11111112222912312222)1()1(-------⋅+<-⋅+⋅+=-+-n n n n n n n n n n nn n x x n n 21211+=-2312321111(1)(1)(1)...(1) (112222)n n n n x x x x ∴-+-+-++-<+++=-<； 当n 为奇数时，则23123(1)(1)(1)...(1)1(1)nnn n x x x x x -+-+-++-<+- 而11)1(1,031212<-=-+>+-=n n n n n x x x 所以1)1(...)1()1()1(33221<-++-+-+-∴n n x x x x综上所述，当*n ∈N 时，23123(1)(1)(1)(1)1n n x x x x -+-+-+-< 成立．20. 解：（1）()f x 的定义域为(0,).+∞ 当0a =时，11()1.x f x x x-'=-= ()0f x '<01x ⇔<<； ()0f x '> 1.x ⇔> 所以，函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).（2）2()(1)ln g x a x x =---，则21221()2(1)ax ax g x a x x x-+'=---=-.令2()221(0)h x ax ax x =-+>，若函数()g x 有两个极值点，则方程()0h x =必有两个不等的正根，设两根为12,.x x 于是2121220480,10,10.2a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=->⎪⎪⎨+=>⎪⎪=>⎪⎩解得2a >.当2a >时， ()0h x =有两个不相等的正实根，设为12,x x ，不妨设12x x <， 则122()()()()a x x x x h x g x x x--'=-=-. 当10x x <<时，()h x >0，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上为减函数； 当12x x x <<时，()h x <0，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上为增函数； 当2x x >时，()h x >0，()0g x '<，函数()g x 在2(,)x +∞上为减函数.由此，1x x =是函数()g x 的极小值点，2x x =是函数()g x 的极大值点.符合题意. 综上，所求实数a 的取值范围是(2,).+∞（3）22(21)1(1)(21)1()12(1)=ax a x x ax f x a x x x x -++--'=---=--① 当0a …时，210ax x-<. 当01x <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上为增函数.所以，当(0,]x b ∈(12)b <<时，min ()(1)0()f x f f b ==<，()f x 的值域是[0,)+∞. 不符合题意.② 当0a >时，12(1)()2()a x x a f x x--'=-.（i ）当112a<，即12a >时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下：x1(0,)2a 12a1(,1)2a1(1,)+∞()f x'-0+0-()f x减函数极小值增函数极大值减函数若满足题意，只需满足1()(2)2f fa>，即21111(1)ln1ln2.222a aa a a---->--整理得1ln2ln210 4aa++->.令11()ln2ln21()42F a a aa=++-…，当12a>时，221141()044aF aa a a-'=-=>，所以()F a在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a>时，111()()ln2ln e0222F a F>=->-=.可见，当12a>时，1()(2)2f fa>恒成立，故当12a>，(0,]x b∈(12)b<<时，函数()f x的值域是[(),)f b+∞；所以12a>满足题意.（ⅱ）当112a=，即12a=时，2(1)()0xf xx-'=-…，当且仅当1x=时取等号.所以()f x在(0,)+∞上为减函数.从而()f x在(0,]b上为减函数.符合题意.………14分（ⅲ）当112a>，即12a<<时，当x变化时，(),()f x f x'的变化情况如下表：x(0,1)11(1,)2a12a1(,)2a+∞()f x'-0+0-()f x减函数极小值0增函数极大值减函数若满足题意，只需满足(2)(1)f f<，且122a<（若122a…，不符合题意），即1ln2a>-，且14 a>.又11ln24->，所以1ln2.a>-此时，11ln22a-<<.综上，1ln2a>-.所以实数a的取值范围是(1ln2,).-+∞第II卷（附加题，共40分）21.A.连接OD，∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE，又∵CE⊥DE于E，∴OD∥CE，∴∠ECD=∠ODC=∠OCD ，∵DE=3，CE=4，∴CD=5，∴tan ∠ECD=tan ∠ODC=tan ∠OCD=34，∴cos ∠OCD=45， 故BC=25cos 4CD OCD =∠，故AB=BC•tan ∠OCD=7516B ．由题意得旋转变换矩阵cos90sin 900110sin 90cos90︒︒︒︒⎡⎤--⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦M ， 设00(,)P x y 为曲线2y x =上任意一点，变换后变为另一点(,)x y ，则000110x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即00,,x y y x =-⎧⎨=⎩所以00,,y x x y =-⎧⎨=⎩又因为点P 在曲线2y x =上，所以200y x =，故2()x y -=，即2x y =为所求的曲线方程． C ．（1）由已知得31sin cos 23022ρθρθ⋅-⋅+=，即3430x y --=. （2）由2C 得221x y +=，所以圆心为2(0,0)C ，半径为1． 又圆心到直线1C 的距离为23d =, 所以PQ 的最大值为231-． D ．(1)不等式()2>x f 可化为22122x x x >⎧⎨+-+>⎩或1222122x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或122122x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩, 解得5x <-或x ＞1,所以所求不等式的解集为{}51x x x <->或.(2)因为()3,212123-1-x 221-x-3,2x x f x x x x x ⎧⎪+>⎪⎪=+--=≤≤⎨⎪⎪<-⎪⎩，，可得f(x)≥52-,若()t t x f R x 211,2-≥∈∀恒成立，则211522t t -≤-，解得1t 52≤≤.22．设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2；B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2.依题意，有P(A 1)＝2×13×23＝49，P(A 2)＝23×23＝49，P(B 0)＝12×12＝14，P(B 1)＝2×12×12＝12.故所求的概率为P ＝P(B 0A 1)＋P(B 0A 2)＋P(B 1A 2)＝14×49＋14×49＋12×49＝49.(2)由题意知X 的可能值为0,1,2,3，故有 P(X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫593＝125729， P(X ＝1)＝C 13×49×⎝⎛⎭⎫592＝100243，[来源:Z,xx,]P(X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫492×59＝80243， P(X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫493＝64729. 从而，X 的分布列为X 0 1 2 3 P1257291002438024364729数学期望EX ＝0×125729＋1×100243＋2×80243＋3×64729＝43.23． ①当2=n 时，22222462<=<⨯C 不等式成立. ②假设当k n =时，kk k k C 422<<成立，则当1+=k n 时 由!)!1()!12(2)!1()!1()1(2)!12()!1()!1()!22(122k k k k k k k k k k C k k ++=+++⨯+=+++=++121222222++=⋅>>=k k k k k k C C ，即12212+++<k k k C .12221212244442211222++++=⋅<=⋅<++⋅<=k k k k k k k k kk k k C C C k k C C , 因此1122142++++<<k k k k C 成立，即当1+=k n 时，不等式成立, 所以，对N n n ∈≥,2，不等式n n n n C 422<<恒成立.。

六年级数学上册典型例题系列之第四单元比的应用题基础部分（解析版）编者的话：本专题是第四单元《比》的应用题“基础部分”，该部分内容是在《比的计算题部分》基础上进行总结和编辑的，内容主要是结合分数应用题以及各类型应用题公式来求比，考题多以填空和选择题型为主，共有十三个考点，全部是考试试卷出现过的类型考题，其中不易理解的是分率与比的结合、混合溶液中求比两种类型题目，建议着重讲解，整体题型难度随考点依次提升，欢迎使用。

【考点一】较简单的求比应用题。

【方法点拨】较简单的比的应用题根据问题所求的比找到对应数值，再化简即可，主要注意按照题目的顺序来写比并化简。

【典型例题】五年级一班有男生12人，女生7人，那么：（1）男女人数之比为（ ），比值为（ ）；（2）男生人数与全班总人数之比为（ ）；（3）女生人数与全班总人数之比为（ ）；（4）男女生人数差与全班总人数之比是（ ）。

解析：（1）12:7，712；（2）12:19；（3）7:19；（4）5:19【对应练习1】渡江路小学六年级有240个学生，其中有100个女生，男生与女生的人数的最简整数比是（ ），比值是（ ）。

解析：7:5;57【对应练习2】在150克水中放入15克盐，则水与盐的最简整数比是（），水与盐水的最简整数比是（）。

解析：10:1;10:11【对应练习3】1克糖放49克水中，糖和糖水的比是（）。

解析：1:50【对应练习4】一个长方形的长是20m,宽是13m,这个长方形的长和周长的比是( )。

解析：10:33【对应练习5】建筑工地上有300吨水泥，150吨黄沙和200吨石子，求这个建筑工地上的水泥、黄沙和石子的比，并把它们化成最简整数比解析：6:3:4【考点二】已知一个数是另一个数的几分之几，求比。

【方法点拨】已知一个数是另一个数的几分之几，先找到一个数和另一个数的份数，然后根据份数求对应的比。

【典型例题】钢琴班有若干男女生，其中男生人数是女生人数的74，那么：（1）男生人数:女生人数=（ ）；（2）男生人数:全班人数=（ ）；（3）女生人数:全班人数=（ ）；（4）女生人数是男生人数的（ ）；（5）男生人数相当于全班数的（ ）。

2024年高考数学模拟试题含答案(一)一、选择题（每题5分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x - 1在区间（0，2）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a > 0B. a ≥ 1C. a ≤ 1D. a < 0【答案】C【解析】由题意知，f'(x) = 2 > 0，所以函数在区间（0，2）上是增函数。

又因为f(0) = -1，f(2) = 3，所以f(x)在区间（0，2）上的取值范围是（-1，3）。

要使得f(x)在区间（0，2）上是增函数，只需保证a ≤ 1。

2. 已知函数g(x) = x² - 2x + 1，则下列结论正确的是（）A. 函数g(x)在区间（-∞，1）上是增函数B. 函数g(x)在区间（1，+∞）上是减函数C. 函数g(x)的对称轴为x = 1D. 函数g(x)的顶点坐标为（1，0）【答案】D【解析】函数g(x) = x² - 2x + 1 = (x - 1)²，所以函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为x = 1。

根据二次函数的性质，当x > 1时，函数g(x)递增；当x < 1时，函数g(x)递减。

3. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn =2an - 1，则数列{an}的通项公式是（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^nC. an = 2^n + 1D. an = 2^(n-1)【答案】D【解析】由Sn = 2an - 1，得an = (Sn + 1) / 2。

当n = 1时，a1 = (S1 + 1) / 2 = 1。

当n ≥ 2时，an = (Sn + 1) / 2 = (2an - 1 + 1) / 2 = 2an-1。

所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为an = 2^(n-1)。

4. 已知函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|，则函数h(x)的图像是（）A. 两条直线B. 两条射线C. 一个三角形D. 一个抛物线【答案】B【解析】函数h(x) = |x - 2| - |x + 1|表示数轴上点x到点2的距离减去点x到点-1的距离。

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四) 数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. (本小题满分10分) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1，若矩阵AB －1对应的变换把直线l 变为直线l′：x ＋y－2＝0，求直线l 的方程．22.(本小题满分10分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎫θ－π4＝3 2.(1) 把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 已知P 为曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上一点，求P 到直线l 的距离的最大值．23. (本小题满分10分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12，a ，a(0＜a ＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.(1) 求ξ的分布列及数学期望；(2) 在概率P(ξ＝i)(i ＝0，1，2，3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a 的取值范围．24.(本小题满分10分)如图，正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝1，D 1D ＝2，点P 为棱CC 1的中点． (1) 设二面角AA 1BP 的大小为θ，求sin θ的值； (2) 设M 为线段A 1B 上的一点，求AMMP的取值范围．(四)21. 解：B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，∴ AB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.(5分)设直线l 上任意一点(x ，y)在矩阵AB－1对应的变换下为点(x′，y ′)，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x －2y ，y ′＝2y. 代入l′，得(x －2y)＋(2y)－2＝0，化简后得l ：x ＝2.(10分) 22. 解：(1) 直线l 的极坐标方程ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝32，则22ρsin θ－22ρcos θ＝32，即ρsin θ－ρcos θ＝6， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.(5分)(2) 因为P 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ上一点，所以P 到直线l 的距离d ＝|4cos θ－3sin θ＋6|2＝|5cos （θ＋φ）＋6|2，所以当cos (θ＋φ)＝1时，d 的最大值为1122.(10分)23. 解：(1) P(ξ)是“ξ个人命中，3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 01⎝⎛⎭⎫1－12C 02(1－a)2＝12(1－a)2， P (ξ＝1)＝C 11·12C 02(1－a)2＋C 01⎝⎛⎭⎫1－12C 12a(1－a) ＝12(1－a 2)， P (ξ＝2)＝C 11·12C 12a(1－a)＋C 01⎝⎛⎭⎫1－12C 22a 2 ＝12(2a －a 2)， P (ξ＝3)＝C 11·12C 22a 2＝a 22.(4分)所以ξ的分布列为(5ξ的数学期望为E (ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12.(6分)(2) P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a)，P (ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a 2.P (ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a 22.由⎩⎨⎧a （1－a ）≥0，1－2a 2≥0，1－2a 22≥0和0＜a ＜1，得0＜a ≤12，即a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.(10分) 24. 解：(1) 如图，以点D 为原点O ，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A(1，0，0)，A 1(1，0，2)，P(0，1，1)，B(1，1，0)， 所以AA 1→＝(0，0，2)，AB →＝(0，1，0)． 设平面AA 1B 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝z 1＝0，n ·AB →＝y 1＝0，得n ＝(1，0，0)，(1分)同理向量PA 1→＝(1，－1，1)，PB →＝(1，0，－1)． 设平面PA 1B 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PA 1→＝x 2－y 2＋z 2＝0，n ·PB →＝x 2－z 2＝0，得m ＝(1，2，1)，(3分)所以cos 〈n ，m 〉＝n·m|n|·|m|＝66，(4分)则sin θ＝306.(5分) (2) 设M(x ，y ，z)，因为BM →＝λBA 1→，即(x －1，y －1，z)＝λ(0，－1，2)，所以M(1，1－λ，2λ)，(6分)MA →＝(0，λ－1，－2λ)，MP →＝(－1，λ，1－2λ)，AMMP ＝（λ－1）2＋4λ21＋λ2＋（1－2λ）2＝5λ2－2λ＋15λ2－4λ＋2＝1＋2λ－15λ2－4λ＋2.(7分) 令2λ－1＝t ∈[－1，1]，则2λ－15λ2－4λ＋2＝4t5t 2＋2t ＋5，当t ∈[－1，0)时，4t 5t 2＋2t ＋5∈⎣⎡⎭⎫－12，0；当t ∈(0，1]时，4t 5t 2＋2t ＋5∈⎝⎛⎦⎤0，13；当t ＝0时，4t5t 2＋2t ＋5＝0，所以4t 5t 2＋2t ＋5∈⎣⎡⎤－12，13，则AM MP ∈⎣⎡⎦⎤22，233.(10分)。

2021年9月湖南省株洲市小升初分班数学思维应用题模拟试卷四含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。

一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。

)1.一家体育用品商店，汤老师如果买2个篮球和3个足球共要付310元；如果买6个篮球和10个足球共要付1000元。

这家体育用品商店，1个足球卖多少元？2.甲乙两地相距290千米，一辆汽车从甲地开往乙地，行了6小时后，离乙地还有50千米．汽车平均每小时行多少千米？3.一辆货车与一辆汽车同时从相距297.6千米的甲城和乙城相对开出，货车每小时行41.5千米，汽车每小时行57.7千米，几小时后两车相遇？相遇地点距甲城多少千米？（用方程解．）4.小明看一本280页的故事书，第一天看了全书的1/7，第二天看了全书的1/8，第三天小明要从第几页开始看？5.小明看一本故事书，如果每天看36页，25天看完，如果每天看45页，需几天看完呢？6.光明小学有学生840人，五年级占学校学生的2/7，五年级的女生占本年级的5/12，五年级有女生多少人？7.一块地40公顷，一台拖拉机每小时耕地1/2公顷，照这样计算，5台这样的拖拉机3/5小时耕地多少公顷？8.六年级学生参加数学竞赛的有18人，参加作文竞赛的有22人，有14人两项竞赛都参加了．六年级参加作文和数学竞赛的一共有多少人．9.A、B两地相距352千米．甲、乙两车分别从A、B两地相向而行，乙车因有事，在甲车出发32千米后才出发．已知甲车每小时行36千米，乙车每小时行44千米．两车各自从出发到相遇，哪辆车走的路程多？多多少千米？10.植树节五（1）班同学植树的成活率是95%，没有成活的有10棵．他们共植树多少棵？11.一辆小汽车每小时行98千米，这辆小汽车往返甲地到乙地一次要6小时，甲、乙两地之间的距离是多少千米？12.一辆汽车从甲地开往乙地，行驶了12小时后，离乙地还有432千米，已知甲、乙两地之间的距离是1368千米，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？13.学校五年级的3名老师带领234名学生去划船，每条船最多可坐8个人，问一共需要多少船？14.客车从甲到乙要5小时，货车行完全程7小时，两车分别从甲乙出发，同时对行，2小时后两车相距198千米，货车每小时行几千米？15.一辆汽车以每小时50千米的速度，从相距80千米的甲地开往乙地．所带的汽油最多可以行3小时，在途中不加油的情况下，为保证返回出发地，最多开出多少千米，就应往回行驶了．16.光明小学组织1200名学生看电影，电影院每排座位有28个座位，共有53排，够坐吗？17.小明3/5小时行进14/15千米，小华1/10小时行进1/4千米，你能知道他们谁的速度快吗？18.一个三角形的底是10分米，高是6分米，如果底和高都减少到原来的一半，面积应是多少平方分米．19.某学校六年级学生有300人，参加拓展课学习的学生有210人，要使参加拓展课学习的人数达到88%，还需要多少学生参加？20.一个工厂计划安装270台新机器，头5天安装了45台，照这样的速度，完成计划要几天？21.小丽的妈妈买回6箱葡萄，共重33千克，共花148.5元，平均每箱葡萄多少元？平均每箱葡萄重多少千克？平均每千克葡萄多少元？22.一块长方形的麦田，长400米，宽75米，共收小麦21吨．平均每公顷收小麦多少吨？23.某车间7月份生产零件10000个，比6月份多生产25%，这个车间6月份生产零件多少个？24.同学们做操，每行7人或第行11人，都正好多出1人，而每行5人，则正好无剩余，至少多少人做操？25.两辆汽车上午8时从A、B两城出发，相向而行．一辆汽车每小时行55千米，另一辆汽车每小时行60千米，上午11时辆车相遇．A、B两城相距多少千米？26.一个长方体底面积是25平方厘米，体积是200立方厘米，高是多少厘米．27.A、B两地相距250千米，一辆车100千米耗油9.5升，从A地行驶到B地耗油多少升？28.小学探险队一共有80人，为联络方便，设计了这样一种联络方式：一旦有事，先由领队刘磊老师通知2名路队长，这2名路队长同时通知2名未被通知的同学，以此类推…假定同时通知2人需要1分钟，5分钟能通知到全部同学吗？29.粮食仓库第一天运走了原有粮食总数的1/5，第二天又运进了48吨，这时仓库里的粮食是原有粮食的22/25．仓库原有粮食多少吨？30.建筑工地运来水泥6吨，用去2吨500千克，还剩多少吨多少千克？31.“世奥”小学组织四、五、六年级各80名学生去夏令营，这些学生分成两列纵队行进，四、五、六年级前后两名学生之间的距离分别是0.5米、1米、1.5米，年级之间的距离是3米，整个队伍通过一座木桥用了5分钟，已知他们每分钟行走100米．那么，这座木桥的长度是多少米？32.一辆客车和一辆货车从相距558千米的甲乙两地同时相向开出，客车每小时行驶64千米，经4.5小时两车相遇，货车每小时行驶多少千米？（列方程解）33.红星化工厂运来一批原料，用去203吨，剩下的比用去的4倍少119吨，还剩下原料多少吨？34.养鸡场有东、西两院，西院鸡的只数是东院的3倍．一天有10只鸡从西院跑到东院，这时西院鸡的数是东院的2倍，那么现在东、西两个院子各有多少只鸡？35.一个长方体铁皮桶，内底面积是75平方厘米，高22厘米．如果1升油漆重0.86千克，这个桶可以装油漆多少千克？36.帆船每分钟行驶0.18千米，摩托艇每分钟行驶0.62千米，两种船都行驶8.5分钟，一共行驶了多少千米？37.一项工程，单独完成，甲队要50天，乙队要75天，两队合做途中，乙队休息几天，这样共用40天完成．乙队休息了多少天？38.有一个油桶里的油，第一次倒出1/3后加入20千克，第二次倒出这时油的1/6多5千克，这时桶里剩下油95千克．问原来桶里有油多少千克？39.小华要买一套134元的《故事套餐》，决定自己每个月积攒32元，至少需要几个月才能买到一套《故事套餐》？40.一件商品，现价42元，比原来降价12.5%，原来的售价是多少元？41.某体育用品商店进行“迎五一”促销活动，所有篮球“买五送一”，每个篮球85.5元。

2017高考仿真卷·理科数学(四)(考试时刻:120分钟试卷总分值:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的)1.设P={x|2x<16},Q={x|x2<4},那么()⊆Q⊆P⊆∁R Q⊆∁R P2.以下命题中,真命题的个数是()①通过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;②通过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③通过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行;④通过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直..23.执行如下图的程序框图,假设输入x=9,那么输出的y的值为()B.1C.4.已知f(x)=2sin,假设将它的图象向右平移个单位,取得函数g(x)的图象,那么函数g(x)的图象的一个对称中心为()A.(0,0)B.C.D.5.从5名男教师和3名女教师当选出3名教师,派往郊区3所学校支教,每校1人.要求这3名教师中男、女教师都要有,那么不同的选派方案共有()种种种种6.已知直线x+y=a与圆O:x2+y2=8交于A,B两点,且=0,那么实数a的值为().2 或-2 或-47.已知数列{a n}是公差为的等差数列,S n为{a n}的前n项和,假设S8=4S4,那么a8=()B. D.8.已知实数x,y知足的最大值为()A. B. C. D.9.(x+1)2的展开式中常数项为().1910.已知抛物线y2=8x上的点P到双曲线y2-4x2=4b2的上核心的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,那么该双曲线的方程为()A.=1 =1 =1 D.=111.三棱锥S-ABC及其三视图的正视图和侧视图如下图,那么该三棱锥的外接球的表面积是()A.πB.πππ12.设函数f(x)=x ln x-(k-3)x+k-2,当x>1时,f(x)>0,那么整数k的最大值是().4第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.复数等于.14.已知向量a,b,|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,那么(a+2b)·(a-3b)=.15.已知函数f(x)=假设方程f(x)=kx+1有三个不同的实数根,那么实数k的取值范围是.16.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线别离交于A,B两点,O为坐标原点,假设双曲线C的离心率为2,且△AOB的面积为,那么△AOB的内切圆的半径为.三、解答题(本大题共6小题,总分值70分,解答须写出文字说明、证明进程或演算步骤)17.(本小题总分值12分)在△ABC中,角A,B,C的对边别离为a,b,c,知足b2-(a-c)2=(2-)ac.(1)求角B的大小;(2)假设BC边上的中线AD的长为3,cos∠ADC=-,求a的值.18.(本小题总分值12分)如图,在三棱锥P-ABC中,平面P AC⊥平面ABC,△P AC是等边三角形,已知BC=2AC=4,AB=2.(1)求证:平面P AC⊥平面CBP;(2)求二面角A-PB-C的余弦值.19.(本小题总分值12分)某公司生产一种产品,有一项质量指标为“长度”(单位:cm),该质量指标X服从正态散布N,.该公司已生产了10万件产品,为查验这批产品的质量,先从中随机抽取50件,:(1)估量该公司已生产的10万件产品中在[182,187]的件数;(2)从检测的产品在[177,187]中任意取2件,这2件产品在所有已生产的10万件产品“长度”排列中(从长到短),排列在前135的件数记为ξ.求ξ的散布列和均值.参考数据:假设X~N(μ,σ2),那么P(μ-σ<X≤μ+σ)= 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 5,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 3.20.(本小题总分值12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆上的点到右核心F的最大距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点F的直线l交椭圆C于A,B两点,定点G(4,0),求△ABG面积的最大值.21.(本小题总分值12分)函数f(x)=(x2-a)e1-x,a∈R,(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2)时,总有x2f(x1)≤λ[f'(x1)-a(+1)](其中f'(x)为f(x)的导函数),求实数λ的值.请考生在第22、23两题中任选一题做答,若是多做,那么按所做的第一题评分.22.(本小题总分值10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴,成立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=,(1)求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)设点M(0,2),曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求|MA|·|MB|的值.23.(本小题总分值10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-3|+|x+4|,(1)求f(x)≥11的解集;(2)设函数g(x)=k(x-3),假设f(x)>g(x)对任意的x∈R都成立,求实数k的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·理科数学(四)解析∵P={x|2x<16}={x|x<4},Q={x|x2<4}={x|-2<x<2},∴Q⊆P.应选B.解析在①中,由平行公理,得通过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故①是真命题;在②中,通过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直,故②是假命题;在③中,由面面平行的判定定理得通过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行,故③是真命题;在④中,通过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直,故④是假命题.应选B.解析第一次执行循环体后,y=1,不知足退出循环的条件,x=1;第二次执行循环体后,y=-,不知足退出循环的条件,x=-;第三次执行循环体后,y=-,知足退出循环的条件,故输出的y值为-,应选A.解析将函数f(x)=2sin的图象向右平移个单位,取得函数y=2sin=2sin的图象,即g(x)=2sin,令2x-=kπ,k∈Z,解得x=,k∈Z,当k=0时,函数g(x)的图象的对称中心坐标为,应选C.解析(方式一)“这3名教师中男、女教师都要有”,分为两类,有1名女教师,有2名女教师.有1名女教师的选法种数为=30,有2名女教师的选法种数为=15,共有30+15=45种不同的选法,再分派到三个学校,故有45=270种.(方式二)从5名男教师和3名女教师当选出3名教师的不同选法有=56,3名教师满是男教师的选法有=10种,3名教师满是女教师的选法有=1种,因此“这3名教师中男、女教师都要有”,不同的选派方案有56-10-1=45种,再分派到三个学校,故有45=270种,应选C.解析由=0,得,则△OAB为等腰直角三角形,因此圆心到直线的距离d=2.因此由点到直线距离公式,得=2,即a=±2应选C.解析∵数列{a n}是公差为的等差数列,S n为{a n}的前n项和,S8=4S4,∴8a1+d=4又d=,∴a1=∴a8=a1+7d=+7应选D.解析由题意作出其平面区域如图中阴影部份所示,由题意可得,A,B(1,3),则3,则2,由f(t)=t+的单调性可得,故的最大值为,应选A.解析∵(x+1)2=(x2+2x+1),依照二项式定理可知,展开式的通项为(-1)r·x r-5,∴(x+1)2的展开式中常数项由三部份组成,别离是(x2+2x+1)与展开式中各项相乘取得,令r=3,则(-1)3·x-2·x2=1×(-)=-10;令r=4,则(-1)4·x-1·2x=2=10;令r=5,则(-1)5·x0·1=1×(-1)=-1;因此原式展开式中常数项为-10+10-1=-1.应选D.解析抛物线y2=8x的核心F(2,0),∵点P到双曲线=1的上核心F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3, ∴FF1=3,∴c2+4=9,c=∵4b2+b2=c2,∴b2=1.∴双曲线的方程为-x2=1.应选C.解析由题意,可得SC⊥平面ABC,且底面△ABC为等腰三角形.如图,取AC中点F,连接BF,则在Rt△BCF中,BF=2,CF=2,BC=4.在Rt△BCS中,CS=4,因此BS=4设球心到平面ABC的距离为d,则因为△ABC的外接圆的半径为,设三棱锥S-ABC的外接球半径为R,因此由勾股定理可得R2=d2+=(4-d)2+,因此d=2,该三棱锥外接球的半径R=,因此三棱锥外接球的表面积是4πR2=,应选A.解析由已知得,x ln x>(k-3)x-k+2在x>1时恒成立,即k<,令F(x)=,则F'(x)=,令m(x)=x-ln x-2,则m'(x)=1->0在x>1时恒成立.因此m(x)在(1,+∞)上单调递增,且m(3)=1-ln 3<0,m(4)=2-ln 4>0,因此在(1,+∞)上存在唯一实数x0∈(3,4)使m(x)=0,因此F(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.故F(x)min=F(x0)==x0+2∈(5,6).故k<x0+2(k∈Z),因此k的最大值为5.应选C.+i解析=i(1-i)=1+i.解析由题意,得a2=36,b2=16,a·b=12;∴(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=36-12-96=-72.15解析作出f(x)与y=kx+1的图象如下,由题意,可知点A(7,0),点B(4,3),点C(0,1);故k AC==-,k BC=,结合图象可知,方程f(x)=kx+1有三个不同的实数根时,实数k的取值范围是解析由e==2,得,即双曲线渐近线为y=±x.联立x=-,解得不妨令点A,点B,因此S△AOB=p,解得p=2,因此A(-1,),B(-1,-),因此△AOB三边长为2, 2,2,设△AOB内切圆半径为r,由(2+2+2)r=,解得r=2-3.17.解(1)在△ABC中,∵b2-(a-c)2=(2-)ac,∴a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cos B=,又B为△ABC的内角,∴B=(2)∵cos∠ADC=-,∴sin∠ADC=∴sin∠BAD=sin△ABD中,由正弦定理,得,即,解得BD=,故a=18.(1)证明在△ABC中,由于BC=4,AC=2,AB=2,∴AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC.又平面P AC⊥平面ABC,平面P AC∩平面ABC=AC,BC⊂平面PBC,∴BC⊥平面P AC.∵BC⊂平面PBC,∴平面P AC⊥平面CBP.(2)解(方式一)由(1)知BC⊥平面P AC,因此平面PBC⊥平面P AC,过点A作AE⊥PC交PC于点E,则AE⊥平面PBC,再过点E作EF⊥PB交PB于点F,连接AF,则∠AFE确实是二面角A-PB-C的平面角.由题设得AE=,EF=,由勾股定理得AF=,∴cos∠AFE=∴二面角A-PB-C的余弦值为(方式二)以AC的中点O为原点,以OA所在直线为x轴,以过点O与BC平行的直线为y 轴,以OP所在直线为z轴,成立空间直角坐标系O-xyz,如下图.由题意可得P(0,0,),B(-1,4,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),则=(1,0,-),=(-1,4,-),=(-1,0,-).设平面P AB的法向量n1=(x1,y1,z1),那么令x1=3,可得y1=,z1=,因此n1=同理可得平面PBC的法向量n2=(-,0,1).因此cos<n1,n2>==-因此二面角A-PB-C的余弦值为19.解(1)由题意100 000=10 000.因此估量该公司已生产的10万件产品中在[182,187]的有1万件.(2)由题意可知P(X≥182)== 35,而35×100 000=135,因此,已生产的前135件的产品长度在182 cm以上,这50件中182 cm以上的有5件.随机变量ξ可取0,1,2,于是P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=因此ξ的散布列如下:ξ 0 1 2P因此E(ξ)=0+1+220.解(1)∵椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆上的点到右核心F的最大距离为3,∴由题意得解得c=1,a=2,b=∴椭圆的方程为=1.(2)设直线l的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(3m2+4)y2+6my-9=0,∴y1+y2=,y1y2=S△ABG=3|y2-y1|==18令μ=m2+1(μ≥1),则∵9μ+在[1,+∞)上是增函数,∴9μ+的最小值为10.∴S△ABG∴△ABG面积的最大值为21.解(1)f'(x)=(-x2+2x+a)e1-x,令h(x)=-x2+2x+a,则Δ=4+4a,当Δ=4+4a≤0,即a≤-1时,-x2+2x+a≤0恒成立,即函数f(x)是R上的减函数.当Δ=4+4a>0,即a>-1时,那么方程-x2+2x+a=0的两根为x1=1-,x2=1+, 可得函数f(x)是(-∞,1-),(1+,+∞)上的减函数,是(1-,1+)上的增函数.(2)依照题意,方程-x2+2x+a=0有两个不同的实根x1,x2(x1<x2),∴Δ=4+4a>0,即a>-1,且x1+x2=2,∵x1<x2,∴x1<1,由x2f(x1)≤λ[f'(x1)-a(+1)],得(2-x1)(-a)[(2x1--a],其中-+2x1+a=0,∴上式化为(2-x1)(2x1)[(2x1-+(2x1-)],整理得x1(2-x1)[2-λ(+1)]≤0,其中2-x1>1,即不等式x1[2-λ(+1)]≤0对任意的x1∈(-∞,1]恒成立.①当x1=0时,不等式x1[2-λ(+1)]≤0恒成立,λ∈R;②当x1∈(0,1)时,2-λ(+1)≤0恒成立,即,令函数g(x)==2-,显然,函数g(x)是R上的减函数,∴当x∈(0,1)时,g(x)<g(0)=,即;③当x1∈(-∞,0)时,2-λ(+1)≥0恒成立,即,由②可知,当x∈(-∞,0)时,g(x)>g(0)=,即综上所述,λ=22.解(1)曲线C1的参数方程为(t为参数),由代入法消去参数t,可得曲线C1的一般方程为y=-x+2;曲线C2的极坐标方程为ρ=,得ρ2=,即为ρ2+3ρ2sin2θ=4,整理可得曲线C2的直角坐标方程为+y2=1;(2)将(t为参数),代入曲线C2的直角坐标方程+y2=1,得13t2+32t+48=0,利用根与系数的关系,可得t1·t2=,因此|MA|·|MB|=23.解(1)∵f(x)=|x-3|+|x+4|=∴f(x)≥11可化为解得{x|x≤-6}或⌀或{x|x≥5}.∴f(x)≥11的解集为{x|x≤-6或x≥5}.(2)作出f(x)=的图象,而g(x)=k(x-3)图象为恒过定点P(3,0)的一条直线.如图,由题意,可得点A(-4,7),k P A==-1,k PB=2.∴实数k的取值范围应该为(-1,2].。

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2017年高考模拟数学试题（全国新课标卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。

共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 为虚数单位,复数ii++13= A ．i +2 B ．i -2 C ．2-i D ．2--i 2．等边三角形ABC 的边长为1，如果,,,BC a CA b AB c ===那么a b b c c a ⋅-⋅+⋅等于A ．32B ．32-C ．12D ．12-3．已知集合}4|4||{2<-∈=x x Z x A ，}8121|{≥⎪⎭⎫⎝⎛∈=+yN y B ，记A card 为集合A 的元素个数，则下列说法不正确．．．的是 A ．5card =A B ．3card =B C ．2)card(=B A D ．5)card(=B A 4．一个体积为12错误!的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为A ．6，3B ．8C ．8错误!D ．125．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点,若126x x +=，则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为A ．5B ．4C ．3D ．2 6．下列说法正确的是A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大D ．事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为A ．1030020(())a x a x a a x +++的值B ．3020100(())a x a x a a x +++的值C ．0010230(())a x a x a a x +++的值D ．2000310(())a x a x a a x +++的值8．若（9x －错误!）n(n ∈N ＊)的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为 A ．252 B ．－252 C ．84 D ．－84 9．若S 1＝错误!错误!d x ,S 2＝错误!（ln x ＋1)d x ，S 3＝错误!x d x ,则S 1,S 2，S 3的大小关系为 A ．S 1＜S 2＜S 3 B ．S 2＜S 1＜S 3 C ．S 1＜S 3＜S 2 D ．S 3＜S 1＜S 210．在平面直角坐标系中,双曲线221124x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点。

2017年4月广东省高考模拟考试数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集合{}{}21,3,5,7,|40A B x x x ==-≤，则A B =（ ）（A ）()1,3（B ）{}1,3（C ）()5,7（D ）{}5,7（2）已知13i3iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部为（ ） （A ）i -（B ）i （C ）1- （D ）1（3）已知函数()()2log (),1()10,1||3x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪+⎩，若(0)2f =，则(2)a f +-=（ ）（A ）2-（B ）0（C ）2 （D ）4（4）甲、乙等4人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个1元，一个5元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（ ） （A ）14（B ）12（C ）13（D ）34（5）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆()()22311x y -+-=相切，则此双曲线的离心率为（ ）（A ）2 （B ）5 （C ）3 （D ）2（6）若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(bmod )N n m ≡，例如104(bmod6)≡，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入2a =，3b =，5c =，则输出的N =（ ） （A ）6 （B ）9 （C ）12（D ）21（7）在△ABC 中，3AB AC AB AC +=-，3AB AC ==，则CB CA ⋅的值为（ ）（A ）3（B ）3- （C ）92-（D ）92（8）设{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则{}n a 的前10项和10S =（ ） （A ）10- （B ）5- （C ）0（D ）5（9）函数2()(1)cos 1xf x x e =-+图象的大致形状是（ ）（10）已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ） （A ）2（B ）12开始a,b,c输入0N =1N N =+0(mod )N a ≡0(mod )N b ≡1(mod )N c ≡N 输出结束否否否是是是（C（D（11）某个几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积是（ ） （A ）4π（B ）28π3（C ）44π3（D ）20π（12）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）（A ）0（B ）1（C ）94（D ）3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知等比数列{}n a 中，132455,24a a a a +=+=，则6a =______．（14）已知πsin()6θ-=，则πcos(2)3θ-=______．（15）设实数,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为10，则22a b +的最小值为______．（16）已知函数()||x f x xe m =-（m R ∈）有三个零点，则m 的取值范围为____________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）已知ABC △的内角为A B C ，，的对边分别为,,a b c ，2220a ab b --=．（Ⅰ）若π6B =，求C ． （Ⅱ）若2π,143C c ==，求ABC S △．（18）某市春节期间7家超市广告费支出i x （万元）和销售额i y （万元）数据如表：（Ⅰ）若用线性回归模型拟合与x 的关系，求与x 的线性回归方程．（Ⅱ）若用二次函数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程：2ˆ0.17520yx x =-++，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的2R 分别约为0.93和0.75，请用2R 说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型正视图俯视图侧视图预测A 超市广告费支出3万元时的销售额． 参考数据：772118,42,2794,708i i i i i x y x y x ======∑∑．参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x ynx y bay bx xnx==-==--∑∑． （19）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥面ABC ，=90ACB ∠，M 是AB 的中点，12AC CB CC ===．（Ⅰ）求证：平面1ACM ⊥平面11ABB A ． （Ⅱ）求点M 到平面11A CB 的距离．（20）设1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（Ⅰ）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且1254PF PF ⋅=-，求点P 的坐标； （Ⅱ）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．（21）已知函数()(,)x f x e ax b a b R =++∈在ln 2x =处的切线方程为2ln 2.y x =- （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若k 为整数，当0x >时，()()1k x f x x '-<+恒成立，求k 的最大值（其中()f x '为()f x 的导函数）．请考生在第22题和第23题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号．并用2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑。

2017年江苏省南通市高考数学四模试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x≤1}，B={x|0＜x≤2}，则A∪B=．2．设复数z=（2+i）2（i为虚数单位），则z的共轭复数为．3．根据如图所示的伪代码，当输入x的值为e（e为自然对数的底数）时，则输出的y的值为．4．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为．（选填“甲”或“乙”）5．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=75°，B=45°，c=3，则b=．6．口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球．先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，则该双曲线的方程为．8．已知y=f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=1﹣2x，则当x∈（0，+∞）时，f（x）的解析式为f（x）=．9．一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为．10．如图，△ABC中，M是中线AD的中点．若||=2，||=3，∠BAC=60°，则•的值为．11．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10．若{a n﹣a n}是等比数列，则+1=．12．已知a，b∈R，a＞b，若2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，则2a﹣b的最小值为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）在圆C：x2+y2+2mx﹣2y+m2﹣4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC 的面积的2倍，则实数m的取值范围为．14．设函数f（x）=（x﹣a）|x﹣a|﹣x|x|+2a+1（a＜0，）若存在x0∈[﹣1，1]，使f（x0）≤0，则a的取值范围为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知向量m（sin，1），=（1，cos），函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（α﹣）=，求f（2α+）的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．17．为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分），以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界线符合函数y=x+（x＞0）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，PO=百米．（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM 的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e，D为右准线上一点．（1）若e=，点D的横坐标为4，求椭圆的方程；（2）设斜率存在的直线l经过点P（，0），且与椭圆交于A，B两点．若+=，DP⊥l，求椭圆离心率e．19．设区间D=[﹣3，3]，定义在D上的函数f（x）=ax3+bx+1（a＞0，b∈R），集合A={a|∀x∈D，f（x）≥0}．（1）若b=，求集合A；（2）设常数b＜①讨论f（x）的单调性；②若b＜﹣1，求证：A=∅．20．已知数列{a n}的各项均为正数，a1=1，前n项和为S n，且a n+12﹣nλ2﹣1=2λSn，λ为正常数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，C n=+（k，n∈N*，k≥2n+2）．求证：①b n＜b n+1；②C n＞C n+1．2017年江苏省南通市高考数学四模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合A={x|﹣1＜x≤1}，B={x|0＜x≤2}，则A∪B={x|﹣1＜x≤2} ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x≤1}，B={x|0＜x≤2}，∴A∪B={x|﹣1＜x≤2}．故答案为：{x|﹣1＜x≤2}．2．设复数z=（2+i）2（i为虚数单位），则z的共轭复数为3﹣4i．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A2：复数的基本概念．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=（2+i）2=4+4i+i2=3+4i，∴．故答案为：3﹣4i．3．根据如图所示的伪代码，当输入x的值为e（e为自然对数的底数）时，则输出的y的值为1．【考点】EA：伪代码．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=e，满足条件x＞0，即可求得y的值．【解答】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x=e，满足条件x＞0，可得：y=lne=1．故答案为：1．4．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数为甲．（选填“甲”或“乙”）【考点】BA：茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，分别计算出甲乙的平均数进行比较即可．【解答】解：甲的平均数为（18+21+29+35+32）=27，乙的平均数为（19+23+27+33+35）=＞27，则平均数比较少的是甲，故答案为：甲5．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，A=75°，B=45°，c=3，则b=2．【考点】HP：正弦定理．【分析】由三角形内角和定理可求角C，利用正弦定理即可求b的值．【解答】解：∵A=75°，B=45°，c=3，∴C=180°﹣A﹣B=60°，∴由正弦定理可得：b===2．故答案为：2．6．口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球．先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则出现“1只白球，1只黑球”的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数和出现“1只白球，1只黑球”包含的基本事件个数，由此能求出出现“1只白球，1只黑球”的概率．【解答】解：口袋中有形状大小都相同的2只白球和1只黑球．先从口袋中摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，基本事件总数n=3×3=9，出现“1只白球，1只黑球”包含的基本事件个数m=2×1+1×2=4，∴出现“1只白球，1只黑球”的概率为p=．故答案为：．7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，则该双曲线的方程为．【考点】K8：抛物线的简单性质；KC：双曲线的简单性质．【分析】清楚抛物线的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程求解双曲线方程即可．【解答】解：抛物线x2=8y的焦点坐标（0，2），双曲线的渐近线方程为y=±x，且它的一个焦点与抛物线x2=8y的焦点重合，所以双曲线的实轴在y轴，双曲线设为y2﹣x2=m，m＞0，，解得m=2，所求的双曲线方程为：．故答案为：．8．已知y=f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=1﹣2x，则当x∈（0，+∞）时，f（x）的解析式为f（x）=﹣1．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用奇函数的性质f（x）=﹣f（﹣x）得出．【解答】解：若x∈（0，+∞），则﹣x∈（﹣∞，0），∴f（﹣x）=1﹣2﹣x=1﹣，∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣1，故答案为：﹣1．9．一个封闭的正三棱柱容器，高为8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态）．将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为6．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设正三棱柱的底面积为S，可得其体积为8S，利用相似三角形面积的关系求得乙图中四棱柱的底面积，得其体积，可得图甲中的有水部分的高．【解答】解：设正三棱柱的底面积为S，则．∵E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，∴，即，∴．∴．则图甲中水面的高度为6．故答案为：6．10．如图，△ABC中，M是中线AD的中点．若||=2，||=3，∠BAC=60°，则•的值为﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，，再计算•．【解答】解：∵D是BC的中点，∴=（+），==﹣，又M是AD的中点，∴==+，=（）=﹣，∴=（+）•（﹣）=﹣+2﹣，∵||=2，||=3，∠BAC=60°，∴=4，=9，=2×3×cos60°=3，∴=﹣+﹣=﹣．故答案为：﹣．11．已知数列{a n}中，a1=1，a2=4，a3=10．若{a n﹣a n}是等比数列，则=+13×2n﹣2n﹣3．【考点】8E：数列的求和．【分析】a2﹣a1=4﹣1=3，a3﹣a2=10﹣4=6，可得{a n+1﹣a n}是等比数列，a n+1﹣a n=3×2n﹣1．再利用a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）可得a n，利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：a2﹣a1=4﹣1=3，a3﹣a2=10﹣4=6，∴{a n﹣a n}是等比数列，首项为3，公比为2．+1﹣a n=3×2n﹣1．∴a n+1∴a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+3+3×2+…+3×2n﹣2=1+3×=3×2n﹣1﹣2．则=﹣2n=3×2n﹣2n﹣3．故答案为：3×2n﹣2n﹣3．12．已知a，b∈R，a＞b，若2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，则2a﹣b的最小值为．【考点】7F：基本不等式．【分析】a＞b，2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，可得（2a+b）（a﹣b）=4.2a﹣b=，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞b，2a2﹣ab﹣b2﹣4=0，∴（2a+b）（a﹣b）=4．则2a﹣b=≥=，当且仅当2a+b=4（a﹣b）=4，即a=，b=时取等号．∴2a﹣b的最小值为．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）在圆C：x2+y2+2mx﹣2y+m2﹣4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为[，4）．【考点】J5：点与圆的位置关系．【分析】由点P（0，1）在圆C内，得0＜m＜4，推导出圆心C（﹣m，1）PB=2PA，设直线l的方程为：y=kx+1．求出圆心C到直线l的距离，从而得到9m2﹣4m=10d2=10×，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：点P（0，1）在圆C：x2+y2+2mx﹣2y+m2﹣4m+1=0内，∴1﹣2+m2﹣4m+1＜0，解得0＜m＜4；又圆C化为标准方程是（x+m）2+（y﹣1）2=4m，圆心C（﹣m，1）；∵△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，∴PB=2PA，设直线l的方程为：y=kx+1．圆心C到直线l的距离d==．∴=3，可得：9m2﹣4m=10d2=10×，∴9﹣=∈[0，10），解得：．则实数m的取值范围为[，4）．故答案为：[，4）．14．设函数f（x）=（x﹣a）|x﹣a|﹣x|x|+2a+1（a＜0，）若存在x0∈[﹣1，1]，使f（x0）≤0，则a的取值范围为[﹣3，﹣2+] ．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】化简f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，讨论f（x）的单调区间与区间[﹣1，1]的关系，求出f（x）在[﹣1，1]上的最小值，令最小值小于或等于零解出a．【解答】解：∵存在x0∈[﹣1，1]，使f（x0）≤0，∴f min（x）≤0，x∈[﹣1，1]．当x≤a时，f（x）=（x﹣a）（a﹣x）+x2+2a+1=2ax﹣a2+2a+1，∴f（x）在（﹣∞，a]上单调递减；当a＜x＜0时，f（x）=（x﹣a）2+x2+2a+1=2x2﹣2ax+a2+2a+1，∴f（x）在（a，）上单调递减，在（，0）上单调递增；当x≥0时，f（x）=（x﹣a）2﹣x2+2a+1=﹣2ax+a2+2a+1，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增．（1）若﹣1，即a≤﹣2时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴f min（x）=f（﹣1）=a2+4a+3≤0，解得﹣3≤a≤﹣1，∴﹣3≤a≤﹣2；（2）若，即﹣2＜a＜0时，f（x）在[﹣1，]上单调递减，在（，1]上单调递增，∴f min（x）=f（）=+2a+1≤0，解得﹣2﹣≤a≤﹣2+，∴﹣2＜a≤﹣2+．综上，a的取值范围是[﹣3，﹣2+]．故答案为：[﹣3，﹣2+]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知向量m（sin，1），=（1，cos），函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若f（α﹣）=，求f（2α+）的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）根据平面向量的数量积公式得出f（x）的解析式并化简，利用三角函数的周期公式得出；（2）由条件可得sin=，利用二倍角公式得出cosα，根据诱导公式化简f（2α+）即可得出．【解答】解：（1）f（x）=sin+cos=2sin（+），∴f（x）的最小正周期T==4π．（2）∵f（α﹣）=2sin（）=，∴sin=，∴cosα=1﹣2sin2=，∴f（2α）=2sin（α+）=2cosα=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点．求证：（1）PC∥平面DEF；（2）平面PBC⊥平面PBD．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由中位线定理可得PC∥EF，故而PC∥平面DEF；（2）由直角梯形可得BC⊥BD，结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBC ⊥平面PBD．【解答】证明：（1）∵E，F分别是PB，BC的中点，∴PC∥EF，又PC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴PC∥平面DEF．（2）取CD的中点M，连结BM，则AB DM，又AD⊥AB，AB=AD，∴四边形ABMD是正方形，∴BM⊥CD，BM=CM=DM=1，BD=，∴BC=，∴BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD，又BC⊥PD，BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．17．为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分），以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界线符合函数y=x+（x＞0）模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，PO=百米．（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM 的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短．【考点】KE：曲线与方程．【分析】（1）设M（x，x+），利用距离公式得出|OM|2关于x的函数，利用基本不等式求出最小值即可；（2）当直线PQ与湖边界相切时，通道最短，设出切线方程，与边界函数联立，令△=0即可得出切线方程，从而确定Q点的位置．【解答】解：（1）设M（x，x+），则|OM|2=x2+（x+）2=2x2++2≥2+2，当且仅当2x2=即x2=时取等号，∴|OM|的最短距离为．（2）过P作函数y=x+的切线l，设切线l的方程为y=k（x﹣）（k＜0），联立方程组，得（1﹣k）x2+x+1=0，令△=k2﹣4（1﹣k）=0得k=﹣3或k=（舍），∴直线l的方程为y=﹣3（x﹣），令y=5得x=﹣，∴DQ=6﹣=．∴当|DQ|=时，通道PQ最短．18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为e，D为右准线上一点．（1）若e=，点D的横坐标为4，求椭圆的方程；（2）设斜率存在的直线l经过点P（，0），且与椭圆交于A，B两点．若+=，DP⊥l，求椭圆离心率e．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e==，a=2c，准线=4，即可求得a和c，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）方法一：设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得D点坐标，由D的横坐标为，即可表示出D点坐标，即可求得直线PD的斜率，由k PD•k AB=﹣1，即可求得a和c的关系，即可求得椭圆离心率e；方法二：设D点坐标，求得直线PD的方程，利用点差法及向量的数量积，即可求得直线AB的斜率，由k PD•k AB=﹣1，即可求得a和c的关系，即可求得椭圆离心率e．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的右准线方程x=，由=4，则a2=4c，②，解得：a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设直线AB的方程：x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（a2+b2m2）y2+ab2my﹣a2b2=0，y1+y2=﹣，则x1+x2=m（y1+y2）+=，由+=，则=（x1+x2，y1+y2）=（，﹣），则D（，﹣），由D在椭圆的右准线上，则=，整理得3ac=2（a2+b2m2），∴D（，﹣），则直线PD的斜率=﹣，由DP⊥l，则﹣=﹣m，整理得4b2=4a2﹣3ac，即3ac=4（a2﹣b2）=4c2，则3a=4c，∴椭圆的离心率e==，椭圆离心率e的值为．方法二：设D（，y），P（，0），则直线DP的斜率k PD==，设A（x1，y1），B（x2，y2），由+=，则，则，两式相减，整理得：=﹣×=﹣×=﹣，∴直线l的斜率k AB=﹣，∴DP⊥l，则k PD•k AB=﹣1，×（﹣）=﹣1，整理得4b2=4a2﹣3ac，即3ac=4（a2﹣b2）=4c2，则3a=4c，∴椭圆的离心率e==，椭圆离心率e的值为．19．设区间D=[﹣3，3]，定义在D上的函数f（x）=ax3+bx+1（a＞0，b∈R），集合A={a|∀x∈D，f（x）≥0}．（1）若b=，求集合A；（2）设常数b＜①讨论f（x）的单调性；②若b＜﹣1，求证：A=∅．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）把b=代入函数解析式，求出导函数，由f′（x）=＞0，可知f（x）在[﹣3，3]上为增函数，求出函数的最小值，由最小值大于0求得a 的取值范围；（2）①求出函数的导函数，解得导函数的零点，然后根据与3的关系分类求得函数的单调区间；②当b＜﹣1时，由①可知，当0＜a≤时，f（x）在[﹣3，3]上单调递减，求得函数的最小值小于0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a 不存在；当a＞﹣时，由①可得f（x）min={f（﹣3），f（）}，若f（﹣3）=﹣27a ﹣3b+1＜0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；若f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1＞0，证明f（）＜0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在．【解答】（1）解：当b=时，f（x）=，f′（x）=＞0，∴f（x）在[﹣3，3]上为增函数，则=．由，解得a．∴A={a|∀x∈D，f（x）≥0}=（0，]；（2）①解：f（x）=ax3+bx+1，f′（x）=3ax2+b，∵a＞0，b＜0，∴由f′（x）=3ax2+b=0，得＞0，则x=．若27a+b≤0，则，则f′（x）≤0在[﹣3，3]上恒成立，f（x）在[﹣3，3]上为减函数；若27a+b＞0，则当x∈[﹣3，）∪（，3]时，f′（x）＞0，当x∈（）时，f′（x）＜0．∴函数的增区间为[﹣3，），（，3]，减区间为（）；②证明：当b＜﹣1时，由①可知，当0＜a≤时，f（x）在[﹣3，3]上单调递减，∴f（x）min=f（3）=27a+3b+1≤﹣b+3b+1=2b+1＜﹣1＜0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；当a＞﹣时，f（x）在[﹣3，），（，3]上递增，在（）上递减，∴f（x）min={f（﹣3），f（）}，若f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1＜0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在；若f（﹣3）=﹣27a﹣3b+1＞0，令，此时f（x1）=．又f′（x1）=，则．f（x1）==．下面证明，也即证﹣4b3＞27a，∵a＞﹣，且﹣27a﹣3b+1＞0，即27a＜﹣3b+1．再证﹣4b3＞﹣3b+1，令g（b）=4b3﹣3b+1，则g′（b）=12b2﹣3＞0（b＜﹣1），∴g（b）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，则g（b）＜g（﹣1）=0．即f（x1）＜0，这与∀x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此时实数a不存在．综上所述，A=∅．20．已知数列{a n}的各项均为正数，a1=1，前n项和为S n，且a n+12﹣nλ2﹣1=2λSn，λ为正常数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，C n=+（k，n∈N*，k≥2n+2）．求证：①b n＜b n+1；②C n＞C n+1．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）a2n+1﹣nλ2﹣1=2λS n，λ为正常数．可得：n≥2时，﹣（n﹣1）λ2﹣1=2λS n﹣1．相减化为：a n+1﹣a n=λ．n=1时，﹣1=2λ，解得a2=λ+1，因此a2﹣a1=λ．利用等差数列的通项公式可得：a n=1+λ（n﹣1）．（2）①由（1）可得：S n=．可得b n==，作差b n+1﹣b n，化简即可得出．②C n=+，（k，n∈N*，k≥2n+2）．作差C n+1﹣C n=﹣﹣=﹣．利用其单调性即可得出．【解答】（1）解：∵a2n+1﹣nλ2﹣1=2λS n，λ为正常数．∴n≥2时，﹣（n﹣1）λ2﹣1=2λS n﹣1．∴a2n+1﹣nλ2﹣+（n﹣1）λ2=2λa n．化为：a n+1﹣a n=λ．n=1时，﹣1=2λ，解得a2=λ+1，因此a2﹣a1=λ．∴数列{a n}是等差数列，公差为λ．∴a n=1+λ（n﹣1）．（2）证明：①由（1）可得：S n=．∴b n===．b n+1﹣b n==＞0．∴b n+1＞b n．②∵C n=+，（k，n∈N*，k≥2n+2）．∴C n+1﹣C n=﹣﹣=+=﹣．∵k ≥2n +2，∴n +1＜k ﹣n ，n ＜k ﹣n ﹣1．由a n ＞0，∴0＜S n ＜S k ﹣n ﹣1，∴ ．又0＜b n +1＜b k ﹣n ，∴＜， ∴C n +1﹣C n ＜0．∴C n ＞C n +1．2017年6月24日。

《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3 B 。

4 C 。

5 D 。

62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A 。

a ∥bB 。

a ⊥b C.3,π=b a D 。

4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A 。

(){}21,22≤+≤y x y x B 。

(){}21,22<+<y x y xC 。

(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4。

两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A 。

0=⋅b a B.0 =⨯b a C 。

0 =-b a D.0 =+b a5。

函数xy y x z 333-+=的极小值是（ )。

A.2 B.2- C 。

1 D.1- 6。

设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝( ).A 。

22B.22-C.2 D 。

2-7。

若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A 。

p 1< B 。

1≤p C 。

1>p D.1≥p8。

幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）。

A 。

[]1,1-B ()1,1- C.[)1,1- D 。

(]1,1-9。

幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是( ）.A.x -11 B 。

x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）。

A 。

xce y = B 。

xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5)1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2。

函数()xy z sin =的全微分是______________________________。