回归分析的性质和基本概念
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计量经济学重点知识整理
计量经济学重点知识整理计量经济学重点知识整理1⼀般性定义计量经济学是以经济理论和经济数据的事实为依据，运⽤数学和统计学的⽅法，通过建⽴数学模型来研究经济数量关系和规律的⼀门经济学科。
研究的主体（出发点、归宿、核⼼）：经济现象及数量变化规律研究的⼯具（⼿段）：模型数学和统计⽅法必须明确：⽅法⼿段要服从研究对象的本质特征（与数学不同）,⽅法是为经济问题服务2注意：计量经济研究的三个⽅⾯理论：即说明所研究对象经济⾏为的经济理论——计量经济研究的基础数据：对所研究对象经济⾏为观测所得到的信息——计量经济研究的原料或依据⽅法：模型的⽅法与估计、检验、分析的⽅法——计量经济研究的⼯具与⼿段三者缺⼀不可3计量经济学的学科类型●理论计量经济学研究经济计量的理论和⽅法●应⽤计量经济学：应⽤计量经济⽅法研究某些领域的具体经济问题4区别：●经济理论重在定性分析,并不对经济关系提供数量上的具体度量●计量经济学对经济关系要作出定量的估计，对经济理论提出经验的内容5计量经济学与经济统计学的关系联系：●经济统计侧重于对社会经济现象的描述性计量●经济统计提供的数据是计量经济学据以估计参数、验证经济理论的基本依据●经济现象不能作实验，只能被动地观测客观经济现象变动的既成事实，只能依赖于经济统计数据6计量经济学与数理统计学的关系联系：●数理统计学是计量经济学的⽅法论基础区别：●数理统计学是在标准假定条件下抽象地研究⼀般的随机变量的统计规律性；●计量经济学是从经济模型出发，研究模型参数的估计和推断，参数有特定的经济意义，标准假定条件经常不能满⾜，需要建⽴⼀些专门的经济计量⽅法3、计量经济学的特点：计量经济学的⼀个重要特点是：它⾃⾝并没有固定的经济理论，⽽是根据其它经济理论，应⽤计量经济⽅法将这些理论数量化。
4、计量经济学为什么是⼀门单独的学科计量经济学是经济理论、数理经济、经济统计与数理统计的混合物。
1、经济理论所作的陈述或假说⼤多数是定性性质的，计量经济学对⼤多数经济理论赋予经验内容。
第四章 线性回归分析
Y 0 1Z1 2 Z2 3Z3 k Zk
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,
第12章简单回归分析2
Y ˆ2.99+40.9 39X 73
假设检验
例： 用上例资料检验脐带血TSH水平对母血TSH水 平的直线关系是否成立?
Ho:β＝0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间 无线性关系
H1:β≠0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间有 线性关系
α ＝0.05
方差分析表
已知 υ1＝1， υ2＝8，查F界值表，得P<0.05，按 α＝0.05水准拒绝Ho，接受H1，故可以认为脐带血 TSH水平与母血TSH水平之间有线性关系
残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回
归线上的估计值 Y ˆ 的纵向距离 Y Yˆ。
求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好
地代表数据点分布趋势的直线。
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可 保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小。
最小二乘法
两部分构成，即：
(yy)(y ˆy)+(yy ˆ)
上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有
(yy)2 [(y ˆy)+(yy ˆ)2 ]
离差平方和的分解
（三个平方和的关系）
1. 从图上看有
y y y y ˆ+ y ˆ y
2. 两端平方后求和有
n
求X，Y，l XX，lYY，l XY X 15.79 8 2.00，Y 249.01 8 31.13
lXX 47.0315.972 8 15.15 lYY 8468.78 249.012 8 718.03
lXY 594.4815.97249.01 8 97.39
另一次抽样研究 50岁年龄组舒张压得总体均数估
假设检验
例： 用上例资料检验脐带血TSH水平对母血TSH水 平的直线关系是否成立?
Ho:β＝0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间 无线性关系
H1:β≠0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间有 线性关系
α ＝0.05
方差分析表
已知 υ1＝1， υ2＝8，查F界值表，得P<0.05，按 α＝0.05水准拒绝Ho，接受H1，故可以认为脐带血 TSH水平与母血TSH水平之间有线性关系
残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回
归线上的估计值 Y ˆ 的纵向距离 Y Yˆ。
求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好
地代表数据点分布趋势的直线。
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可 保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小。
最小二乘法
两部分构成，即：
(yy)(y ˆy)+(yy ˆ)
上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有
(yy)2 [(y ˆy)+(yy ˆ)2 ]
离差平方和的分解
（三个平方和的关系）
1. 从图上看有
y y y y ˆ+ y ˆ y
2. 两端平方后求和有
n
求X，Y，l XX，lYY，l XY X 15.79 8 2.00，Y 249.01 8 31.13
lXX 47.0315.972 8 15.15 lYY 8468.78 249.012 8 718.03
lXY 594.4815.97249.01 8 97.39
另一次抽样研究 50岁年龄组舒张压得总体均数估
1.1回归分析的基本思想及初步应用
返回
[类题通法] 求线性回归方程的步骤
(1)列表表示 xi，yi，xiyi；
(2)计算－x
－y ，
n
x2i ，
n
xiyi；
i＝1
i＝1
(3)代入公式计算^a，^b的值； (4)写出回归直线方程．
返回
[活学活用] 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百 万元)之间有如下对应数据：
Hale Waihona Puke yi 100 200 210 185 155 135 170 205 235
36 39 32 22 18 25
47
xiyi 10 400
39 155
000 900 745 785 090 500
940
121 125
15 125
x ＝159.8， y ＝172，
10
10
x2i ＝265 448，xiyi＝287 640
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y关于x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的 好坏．
返回
解： x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18， y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
5
x2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
i＝1
5
xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
返回
[类题通法] 残差分析应注意的问题
利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据 散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回 归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残 差^e1，^e2，…，^en 来判断原始数据中是否存在可疑数据，用 R2 来刻画模型拟合的效果．
回归分析
回归分析1、回归分析的概念在工农业生产和科学研究中，常常需要研究变量之间的关系。
变量之间的关系可以分为两类：确定性关系、非确定性关系。
确定性关系就是指存在某种函数关系。
然而，更常见的变量之间的关系存在着某种不确定性。
例如：商品的销售量与当地人口有关，人口越多，销售量越大，但它们之间并没有确定性的数值关系，同样的人口，可能有不同的销售量。
这种既有关联，又不存在确定性数值关系的相互关系，就称为相关关系。
回归分析就是研究变量之间相关关系的一种数理统计分析方法。
在回归分析中，主要研究以下几个问题： (1)拟合：建立变量之间有效的经验函数关系； (2)变量选择：在一批变量中确定哪些变量对因变量有显著影响，哪些没有实质影响； (3)估计与检验：估计回归模型中的未知参数，并且对模型提出的各种假设进行推断； (4)预测：给定某个自变量，预测因变量的值或范围。
根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归分析可以分为许多类别。
2、一元线性回归⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 一元线性回归模型给定一组数据点(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，如果通过散点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系，则可以建立如下模型：其中a,b 称为一元线性回归的回归系数；ε表示回归值与测量值之间的误差。
针对该模型，需要解决以下问题： (1)如何估计参数a,b 以及σ2； (2)模型的假设是否正确？(3)如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。
⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 采用最小二乘法（即使观测值与回归值的离差平方和最小）：⎩⎨⎧++=),0(~2σεεN bX a Y 2,~(0,),1,2,...,i i i i y a bx N i n e e s =++=1221111112111(,)2[()]0min (,)[()](,)2[()]011ˆˆˆn i i n n i i i i n i i i i i i n i i n n i i ii i n n n i i i ii i i Q a b y a bx a Q a b y a bx Q a b x y a bx b a y b x y n n na b x y a x b x x y e ==========ì锒ï=--+=ïï¶ï==-+ íï¶ï=--+=ïï¶ïî=-=-ìïï+=ïïï揶íïï+=ïïïîå邋åå邋邋1111221ˆ1n i n n n i i i ixy i i i nn xxbx x y x y L n b L ====ìïïïïïïïïí-ïï==ïïïå邋⏹ 回归系数估计量的性质⏹ 样本相关系数及其显著性检验显然：样本相关系数R 的符号决定于Lxy ，因此与相关系数b 的符号一致。
《回归分析》教学大纲
回归分析RegressionAna1ysis一、课程基本信息课程编号：111093适用专业：统计学专业课程性质：专业必修开课单位：数学与数据科学学院学时：48（理论学时40；实验学时8）学分：3考核方式：考试（平时成绩占30%+考试成绩70%）中文简介：回归分析是应用统计学中一个重要的分支，在自然科学、管理科学和社会经济等领域应用十分广泛。
《回归分析》课程是统计学专业的学科专业必修课是学生掌握统计学的基本思想、理论和方法的主要课程，是培养学生熟练应用计算机软件处理统计数据的能力的基础课程。
通过本课程的学习，使学生掌握应用统计的一些基本理论与方法，初步掌握利用回归分析解决实际问题的能力。
二、教学目的与要求本课程的主要目的是学生在学习后，能够系统掌握回归分析的理论与方法，并在此基础上，掌握回归分析应用的艺术技巧，并利用其分析认识实际问题。
本课程注重回归分析的基本理论与方法，同时通过案例教学与实际应用来剖析回归分析的理论与方法所蕴含的统计思想及其应用艺术。
教学中在回归分析理论与方法的基础上结合社会、经济、自然学科学领域的研究实例，把回归分析方法与实际应用结合起来，注重定性分析与定量分析的紧密结合，强调每种方法的优缺点和实际运用中应注意的问题,研究与实践中应用回归分析的经验和体会融入其中，使学生充分体会到回归分析的应用艺术，并提高解决问题的能力。
通过本课程的学习，在理论教学过程中，可以结合国内外回归分析相关学者的研究经历和成果，传播科学研究所需要的实事求是、脚踏实地的精神，培养学生的科学素养。
在实践教学中，利用案例分析、软件仿真等方式培养学生的实践能力和创新思维，激发学生主动研究新问题和设计新方法的兴趣，让学生在实践中深刻体会科学研究的乐趣，也可以鼓励有突出能力的学生通过创新创业或成果转化为社会发展贡献年轻的力量。
三、教学方法与手段1.教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力和创新能力。
回归分析概念、相关、多元回归分析
都有显著的线性关系？ 不一定。
进行单个自变量的显著性检验.
四、自变量的偏回归效果显著性检验 把在其它自变量对 线性回归基础上 对 的线性回归效果称做 对 的偏回归效果。
检验假设： 定理6.4.2 在m元正态线性模型下， 是 的 最小二乘估计量， 为残差平方和 估计量,则有：
其中
与 独立
是矩阵 主对角线上第
定理6.1.1 在定义6.1.1 的条件下 ，函数
是所有
的函数
中均值方差最小的函数 ,即对任意给定的函数
，总有
成立。
称 y E(Y x1, , xp )为回归函数. (Y,x1,…,xp)服从多元
在
的条件下
正态分布时,回归函数 为线性回归函数
y E(Y x1, , xp ) a0 a1x1 apxp
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 820 780 720 867 690 787 934 679 639 820 Y 165 158 130 180 134 167 186 145 120 158 试问进食量与体重增量间有无相关关系？
实例 SPSS软件实现和结果分析 1. SPSS数据输入格式 10行2列
.940** 1.000
Sig. (2-tailed)
.000
.
N
10
10
**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).
P=0.000<0.05, 拒绝原假设的证据较充分
结论:进食量与体重增量间有显著线性相关关系.
§4 多元线性回归分析
几何直观理解 数据散点图
4000
3800
回归分析的基本思想及其初步应用
相关系数
n
(xi - x)(yi - y)
n
__
xiyi n x y
r=
i=1
i1
n
n
(xi - x)2 (yi - y)2
i=1
i=1
n i1
xi2
n
_
x
2
n i1
yi2
n
_
y
2
相关系数的性质
(1)|r|≤1．
(2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0， 相关程度越弱．
问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？
1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。 2.我们建立的回归方程一般都有时间性。 3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。
涉及到统计的一些思想： 模型适用的总体；模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确 理解。
相关指数 R 2 0.98
因此y关于x的非线性回
^
y e 归方程为
0.272 x3.489
当x=28 C 时，y ≈44 ，指数回归模型中温度解释了98%的产卵数的变化
最好的模型是哪个?
显然，指数函数模型最好！
yˆ (1) e0.272 x3.849 yˆ (2) 0.367 x2 202.543
21 23 25 27 29 32 35 7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵 数目。
（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
解：选取气温为解释变量x，产卵数
选变量
350
第章线性回归分析详解演示文稿
数学模型为： y=β0+β1x+ε
上式表明：y的变化可由两部分解释：第一，由解释
变量x的变化引起的y的线性变化部分，即y=β0+β1x； 第二，由其他随机因素引起的y的变化部分，即ε。 β0 、β1 都是模型中的未知参数，β0为回归常数，β1为 y对x回归系数（即x每变动一个单位所引起的y的平
一元二乘估计：
多元二乘估计（略）
第十一页，共52页。
9.3回归方程的统计检验
拟合优度检验 回归方程的显著性检验
回归系数的显著性检验 残差分析
第十二页，共52页。
9.3.1回归方程的拟合优度检验
用于检验样本数据点聚集在回归线周围的密集程度， 从而评价回归线对样本数据的代表程度。 思想：因变量y（儿子身高）取值的变化受两个因素
第二十九页，共52页。
第二、计算残差的自相关系数 自相关系数用于测定序列自相关强弱，其取值范围 -1~+1，接近1表明序列存在正自相关
第三十页，共52页。
第三、DW（durbin-watson）检验
DW检验用于推断小样本序列是否存在自相关的方法。其原 假设为：总体自相关系数ρ与零无显著差异。采用统计量 为：
的影响：自变量x（父亲身高）不同取值的影响，其 他因素（环境、饮食等）的影响。
可表示如下:
因变量总变差 = 自变量引起的 + 其他因素引起的 即因变量总变差= 回归方程可解释的+不可解释的 即，因变量总离差平方和SST =回归平方和 SSA + 剩余平
方和SSE
第十三页，共52页。
图示：
y y i
素对 y 的影响造成的。
第十五页，共52页。
一、一元线性回归方程
拟合优度的检验采用R2统计量，称为判定系数
上式表明：y的变化可由两部分解释：第一，由解释
变量x的变化引起的y的线性变化部分，即y=β0+β1x； 第二，由其他随机因素引起的y的变化部分，即ε。 β0 、β1 都是模型中的未知参数，β0为回归常数，β1为 y对x回归系数（即x每变动一个单位所引起的y的平
一元二乘估计：
多元二乘估计（略）
第十一页，共52页。
9.3回归方程的统计检验
拟合优度检验 回归方程的显著性检验
回归系数的显著性检验 残差分析
第十二页，共52页。
9.3.1回归方程的拟合优度检验
用于检验样本数据点聚集在回归线周围的密集程度， 从而评价回归线对样本数据的代表程度。 思想：因变量y（儿子身高）取值的变化受两个因素
第二十九页，共52页。
第二、计算残差的自相关系数 自相关系数用于测定序列自相关强弱，其取值范围 -1~+1，接近1表明序列存在正自相关
第三十页，共52页。
第三、DW（durbin-watson）检验
DW检验用于推断小样本序列是否存在自相关的方法。其原 假设为：总体自相关系数ρ与零无显著差异。采用统计量 为：
的影响：自变量x（父亲身高）不同取值的影响，其 他因素（环境、饮食等）的影响。
可表示如下:
因变量总变差 = 自变量引起的 + 其他因素引起的 即因变量总变差= 回归方程可解释的+不可解释的 即，因变量总离差平方和SST =回归平方和 SSA + 剩余平
方和SSE
第十三页，共52页。
图示：
y y i
素对 y 的影响造成的。
第十五页，共52页。
一、一元线性回归方程
拟合优度的检验采用R2统计量，称为判定系数
第5章 单元回归分析及预测
δ
α
2 回归系数的置信区间 (1) 置信区间 ˆ ˆ − t α se ( βˆ 2 ) , βˆ 2 + tα 2 se ( β 2 ) ） • β 2 的置信区间为（ β 2 2 • β 1 的置信区间（ β 1 − t α 2 se ( βˆ 1 ) , β 1 + t se ( βˆ )） •
α β
ε
季度 1982.1 2 3 4 1983.1 2 3 4 1984.1 2 3 4 1985.1 2 3 4
IBM股票 开始价 58.25 61 60 74.125 93 102.375 121 128.125 121.75 112 105.875 122.625 121 128.125 124.875 126.625
期末价 61 60 74.125 93 102.375 121 18.125 121.75 112 105.875 122.625 121 18.125 14.875 126.625 152
分红 0.86 0.86 0.86 0.86 0.86 0.95 0.95 0.95 0.95 0.95 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1
第三章 单元回归分析及预测
• • • • • • • 回归分析的基本概念 OLS估计问题 估计问题 区间估计与假设检验 回归分析的应用 有条件预测 误差序列相关情形预测 无条件预测
一 回归分析的基本概念
• 1 高尔登的回归定律 高尔登的回归定律：高尔登的兴趣在于发现为什么人口的身高分布有一种 稳定性。从现代的观点看，我们并不关心这种解释。我们关心的是：给定 父辈身高的前提下找出儿辈平均身高的变化。即给出一条数据分布的拟合 曲线或直线。 • ２经济学家也许想研究个人消费支出对税后或可支配实际个人收入的依赖 关系，这种分析会有助于估计边际消费倾向。 • ３一位能设定价格或产出的垄断商，也许想知道产品需求对价格变化的实 际反应，通过定价实验，能估计产品的价格弹性，从而有助于确定最有利 的价格。 • ４一位劳工经济学家也许要研究货币工资变化绿对失业率的关系。能预测 给定失业率下货币工资的平均变化。 • ５货币经济学知，其他条件不变，通货膨胀率越高，人们以持有货币的比 例越低。对这种关系的定量研究有助于货币政策的调控。 • ６公司的销售部主任相知道人们对公司产品的需求与广告开支的关系。这 种研究在很大程度上有助于算出相对广告费支出的需求弹性，从而制定最 优广告费预算。 • ７农业经济学家想研究作物收成对气温，降余量，阳光量，施肥量的依赖 关系，该分析能及早地预测作物的平均产量。