回归分析的性质和基本概念

计量经济学重点知识整理计量经济学重点知识整理1⼀般性定义计量经济学是以经济理论和经济数据的事实为依据，运⽤数学和统计学的⽅法，通过建⽴数学模型来研究经济数量关系和规律的⼀门经济学科。

研究的主体（出发点、归宿、核⼼）：经济现象及数量变化规律研究的⼯具（⼿段）：模型数学和统计⽅法必须明确：⽅法⼿段要服从研究对象的本质特征（与数学不同）,⽅法是为经济问题服务2注意：计量经济研究的三个⽅⾯理论：即说明所研究对象经济⾏为的经济理论——计量经济研究的基础数据：对所研究对象经济⾏为观测所得到的信息——计量经济研究的原料或依据⽅法：模型的⽅法与估计、检验、分析的⽅法——计量经济研究的⼯具与⼿段三者缺⼀不可3计量经济学的学科类型●理论计量经济学研究经济计量的理论和⽅法●应⽤计量经济学：应⽤计量经济⽅法研究某些领域的具体经济问题4区别：●经济理论重在定性分析,并不对经济关系提供数量上的具体度量●计量经济学对经济关系要作出定量的估计，对经济理论提出经验的内容5计量经济学与经济统计学的关系联系：●经济统计侧重于对社会经济现象的描述性计量●经济统计提供的数据是计量经济学据以估计参数、验证经济理论的基本依据●经济现象不能作实验，只能被动地观测客观经济现象变动的既成事实，只能依赖于经济统计数据6计量经济学与数理统计学的关系联系：●数理统计学是计量经济学的⽅法论基础区别：●数理统计学是在标准假定条件下抽象地研究⼀般的随机变量的统计规律性；●计量经济学是从经济模型出发，研究模型参数的估计和推断，参数有特定的经济意义，标准假定条件经常不能满⾜，需要建⽴⼀些专门的经济计量⽅法3、计量经济学的特点：计量经济学的⼀个重要特点是：它⾃⾝并没有固定的经济理论，⽽是根据其它经济理论，应⽤计量经济⽅法将这些理论数量化。

4、计量经济学为什么是⼀门单独的学科计量经济学是经济理论、数理经济、经济统计与数理统计的混合物。

1、经济理论所作的陈述或假说⼤多数是定性性质的，计量经济学对⼤多数经济理论赋予经验内容。

Y 0 1Z1 2 Z2 3Z3 k Zk
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,

Y ˆ2.99+40.9 39X 73
假设检验
例： 用上例资料检验脐带血TSH水平对母血TSH水 平的直线关系是否成立?
Ho:β＝0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间 无线性关系
H1:β≠0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间有 线性关系
α ＝0.05
方差分析表
已知 υ1＝1， υ2＝8，查F界值表，得P<0.05，按 α＝0.05水准拒绝Ho，接受H1，故可以认为脐带血 TSH水平与母血TSH水平之间有线性关系
残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回
归线上的估计值 Y ˆ 的纵向距离 Y Yˆ。
求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好
地代表数据点分布趋势的直线。
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可 保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小。
最小二乘法
两部分构成，即：
(yy)(y ˆy)+(yy ˆ)
上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有
(yy)2 [(y ˆy)+(yy ˆ)2 ]
离差平方和的分解
（三个平方和的关系）
1. 从图上看有
y y y y ˆ+ y ˆ y
2. 两端平方后求和有
n
求X，Y，l XX，lYY，l XY X 15.79 8 2.00，Y 249.01 8 31.13
lXX 47.0315.972 8 15.15 lYY 8468.78 249.012 8 718.03
lXY 594.4815.97249.01 8 97.39
另一次抽样研究 50岁年龄组舒张压得总体均数估

返回
[类题通法] 求线性回归方程的步骤
(1)列表表示 xi，yi，xiyi；
(2)计算－x
－y ，
n
x2i ，
n
xiyi；
i＝1
i＝1
(3)代入公式计算^a，^b的值； (4)写出回归直线方程．
返回
[活学活用] 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百 万元)之间有如下对应数据：
Hale Waihona Puke yi 100 200 210 185 155 135 170 205 235
36 39 32 22 18 25
47
xiyi 10 400
39 155
000 900 745 785 090 500
940
121 125
15 125
x ＝159.8， y ＝172，
10
10
x2i ＝265 448，xiyi＝287 640
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y关于x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的 好坏．
返回
解： x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18， y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
5
x2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，
i＝1
5
xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
返回
[类题通法] 残差分析应注意的问题
利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据 散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回 归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残 差^e1，^e2，…，^en 来判断原始数据中是否存在可疑数据，用 R2 来刻画模型拟合的效果．

回归分析1、回归分析的概念在工农业生产和科学研究中，常常需要研究变量之间的关系。

变量之间的关系可以分为两类：确定性关系、非确定性关系。

确定性关系就是指存在某种函数关系。

然而，更常见的变量之间的关系存在着某种不确定性。

例如：商品的销售量与当地人口有关，人口越多，销售量越大，但它们之间并没有确定性的数值关系，同样的人口，可能有不同的销售量。

这种既有关联，又不存在确定性数值关系的相互关系，就称为相关关系。

回归分析就是研究变量之间相关关系的一种数理统计分析方法。

在回归分析中，主要研究以下几个问题： (1)拟合：建立变量之间有效的经验函数关系； (2)变量选择：在一批变量中确定哪些变量对因变量有显著影响，哪些没有实质影响； (3)估计与检验：估计回归模型中的未知参数，并且对模型提出的各种假设进行推断； (4)预测：给定某个自变量，预测因变量的值或范围。

根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归分析可以分为许多类别。

2、一元线性回归⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 一元线性回归模型给定一组数据点(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，如果通过散点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系，则可以建立如下模型：其中a,b 称为一元线性回归的回归系数；ε表示回归值与测量值之间的误差。

针对该模型，需要解决以下问题： (1)如何估计参数a,b 以及σ2； (2)模型的假设是否正确？(3)如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。

⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 采用最小二乘法（即使观测值与回归值的离差平方和最小）：⎩⎨⎧++=),0(~2σεεN bX a Y 2,~(0,),1,2,...,i i i i y a bx N i n e e s =++=1221111112111(,)2[()]0min (,)[()](,)2[()]011ˆˆˆn i i n n i i i i n i i i i i i n i i n n i i ii i n n n i i i ii i i Q a b y a bx a Q a b y a bx Q a b x y a bx b a y b x y n n na b x y a x b x x y e ==========ì锒ï=--+=ïï¶ï==-+ íï¶ï=--+=ïï¶ïî=-=-ìïï+=ïïï揶íïï+=ïïïîå邋åå邋邋1111221ˆ1n i n n n i i i ixy i i i nn xxbx x y x y L n b L ====ìïïïïïïïïí-ïï==ïïïå邋⏹ 回归系数估计量的性质⏹ 样本相关系数及其显著性检验显然：样本相关系数R 的符号决定于Lxy ，因此与相关系数b 的符号一致。

回归分析RegressionAna1ysis一、课程基本信息课程编号：111093适用专业：统计学专业课程性质：专业必修开课单位：数学与数据科学学院学时：48（理论学时40；实验学时8）学分：3考核方式：考试（平时成绩占30%+考试成绩70%）中文简介：回归分析是应用统计学中一个重要的分支，在自然科学、管理科学和社会经济等领域应用十分广泛。

《回归分析》课程是统计学专业的学科专业必修课是学生掌握统计学的基本思想、理论和方法的主要课程，是培养学生熟练应用计算机软件处理统计数据的能力的基础课程。

通过本课程的学习，使学生掌握应用统计的一些基本理论与方法，初步掌握利用回归分析解决实际问题的能力。

二、教学目的与要求本课程的主要目的是学生在学习后，能够系统掌握回归分析的理论与方法，并在此基础上，掌握回归分析应用的艺术技巧，并利用其分析认识实际问题。

本课程注重回归分析的基本理论与方法，同时通过案例教学与实际应用来剖析回归分析的理论与方法所蕴含的统计思想及其应用艺术。

教学中在回归分析理论与方法的基础上结合社会、经济、自然学科学领域的研究实例，把回归分析方法与实际应用结合起来，注重定性分析与定量分析的紧密结合，强调每种方法的优缺点和实际运用中应注意的问题,研究与实践中应用回归分析的经验和体会融入其中，使学生充分体会到回归分析的应用艺术，并提高解决问题的能力。

通过本课程的学习，在理论教学过程中，可以结合国内外回归分析相关学者的研究经历和成果，传播科学研究所需要的实事求是、脚踏实地的精神，培养学生的科学素养。

在实践教学中，利用案例分析、软件仿真等方式培养学生的实践能力和创新思维，激发学生主动研究新问题和设计新方法的兴趣，让学生在实践中深刻体会科学研究的乐趣，也可以鼓励有突出能力的学生通过创新创业或成果转化为社会发展贡献年轻的力量。

三、教学方法与手段1.教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力和创新能力。

都有显著的线性关系？ 不一定。
进行单个自变量的显著性检验.
四、自变量的偏回归效果显著性检验 把在其它自变量对 线性回归基础上 对 的线性回归效果称做 对 的偏回归效果。
检验假设： 定理6.4.2 在m元正态线性模型下， 是 的 最小二乘估计量， 为残差平方和 估计量,则有：
其中
与 独立
是矩阵 主对角线上第
定理6.1.1 在定义6.1.1 的条件下 ，函数
是所有
的函数
中均值方差最小的函数 ,即对任意给定的函数
，总有
成立。
称 y E(Y x1, , xp )为回归函数. (Y,x1,…,xp)服从多元
在
的条件下
正态分布时,回归函数 为线性回归函数
y E(Y x1, , xp ) a0 a1x1 apxp
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 820 780 720 867 690 787 934 679 639 820 Y 165 158 130 180 134 167 186 145 120 158 试问进食量与体重增量间有无相关关系？
实例 SPSS软件实现和结果分析 1. SPSS数据输入格式 10行2列
.940** 1.000
Sig. (2-tailed)
.000
.
N
10
10
**. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).
P=0.000<0.05, 拒绝原假设的证据较充分
结论:进食量与体重增量间有显著线性相关关系.
§4 多元线性回归分析
几何直观理解 数据散点图
4000
3800

相关系数
n
(xi - x)(yi - y)
n
__
xiyi n x y
r=
i=1
i1
n
n
(xi - x)2 (yi - y)2
i=1
i=1
n i1
xi2
n
_
x
2
n i1
yi2
n
_
y
2
相关系数的性质
(1)|r|≤1．
(2)|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0， 相关程度越弱．
问题四：结合例1思考：用回归方程预报体重时应注意什么？
1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。 2.我们建立的回归方程一般都有时间性。 3.样本取值的范围会影响回归方程的适用范围。 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。
涉及到统计的一些思想： 模型适用的总体；模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确 理解。
相关指数 R 2 0.98
因此y关于x的非线性回
^
y e 归方程为
0.272 x3.489
当x=28 C 时，y ≈44 ，指数回归模型中温度解释了98%的产卵数的变化
最好的模型是哪个?
显然，指数函数模型最好！
yˆ (1) e0.272 x3.849 yˆ (2) 0.367 x2 202.543
21 23 25 27 29 32 35 7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵 数目。
（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
解：选取气温为解释变量x，产卵数
选变量
350

数学模型为： y=β0+β1x+ε
上式表明：y的变化可由两部分解释：第一，由解释
变量x的变化引起的y的线性变化部分，即y=β0+β1x； 第二，由其他随机因素引起的y的变化部分，即ε。 β0 、β1 都是模型中的未知参数，β0为回归常数，β1为 y对x回归系数（即x每变动一个单位所引起的y的平
一元二乘估计：
多元二乘估计（略）
第十一页，共52页。
9.3回归方程的统计检验
拟合优度检验 回归方程的显著性检验
回归系数的显著性检验 残差分析
第十二页，共52页。
9.3.1回归方程的拟合优度检验
用于检验样本数据点聚集在回归线周围的密集程度， 从而评价回归线对样本数据的代表程度。 思想：因变量y（儿子身高）取值的变化受两个因素
第二十九页，共52页。
第二、计算残差的自相关系数 自相关系数用于测定序列自相关强弱，其取值范围 -1~+1，接近1表明序列存在正自相关
第三十页，共52页。
第三、DW（durbin-watson）检验
DW检验用于推断小样本序列是否存在自相关的方法。其原 假设为：总体自相关系数ρ与零无显著差异。采用统计量 为：
的影响：自变量x（父亲身高）不同取值的影响，其 他因素（环境、饮食等）的影响。
可表示如下:
因变量总变差 = 自变量引起的 + 其他因素引起的 即因变量总变差= 回归方程可解释的+不可解释的 即，因变量总离差平方和SST =回归平方和 SSA + 剩余平
方和SSE
第十三页，共52页。
图示：
y y i
素对 y 的影响造成的。
第十五页，共52页。
一、一元线性回归方程
拟合优度的检验采用R2统计量，称为判定系数

δ
α
2 回归系数的置信区间 (1) 置信区间 ˆ ˆ − t α se ( βˆ 2 ) , βˆ 2 + tα 2 se ( β 2 ) ） • β 2 的置信区间为（ β 2 2 • β 1 的置信区间（ β 1 − t α 2 se ( βˆ 1 ) , β 1 + t se ( βˆ )） •
α β
ε
季度 1982.1 2 3 4 1983.1 2 3 4 1984.1 2 3 4 1985.1 2 3 4
IBM股票 开始价 58.25 61 60 74.125 93 102.375 121 128.125 121.75 112 105.875 122.625 121 128.125 124.875 126.625
期末价 61 60 74.125 93 102.375 121 18.125 121.75 112 105.875 122.625 121 18.125 14.875 126.625 152
分红 0.86 0.86 0.86 0.86 0.86 0.95 0.95 0.95 0.95 0.95 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1
第三章 单元回归分析及预测
• • • • • • • 回归分析的基本概念 OLS估计问题 估计问题 区间估计与假设检验 回归分析的应用 有条件预测 误差序列相关情形预测 无条件预测
一 回归分析的基本概念
• 1 高尔登的回归定律 高尔登的回归定律：高尔登的兴趣在于发现为什么人口的身高分布有一种 稳定性。从现代的观点看，我们并不关心这种解释。我们关心的是：给定 父辈身高的前提下找出儿辈平均身高的变化。即给出一条数据分布的拟合 曲线或直线。 • ２经济学家也许想研究个人消费支出对税后或可支配实际个人收入的依赖 关系，这种分析会有助于估计边际消费倾向。 • ３一位能设定价格或产出的垄断商，也许想知道产品需求对价格变化的实 际反应，通过定价实验，能估计产品的价格弹性，从而有助于确定最有利 的价格。 • ４一位劳工经济学家也许要研究货币工资变化绿对失业率的关系。能预测 给定失业率下货币工资的平均变化。 • ５货币经济学知，其他条件不变，通货膨胀率越高，人们以持有货币的比 例越低。对这种关系的定量研究有助于货币政策的调控。 • ６公司的销售部主任相知道人们对公司产品的需求与广告开支的关系。这 种研究在很大程度上有助于算出相对广告费支出的需求弹性，从而制定最 优广告费预算。 • ７农业经济学家想研究作物收成对气温，降余量，阳光量，施肥量的依赖 关系，该分析能及早地预测作物的平均产量。

9.1概述
回归分析中的几个常用概念：
✓ 实际值：实际观测到的研究对象特征数据值， 用yi表示
✓ 理论值：根据实际值我们可以得到一条倾向线， 用数学方法拟合这条曲线，可以得到数学模型， 根据这个数学模型计算出来的、与实际值相对 应的值，称为理论值，用 表示。y i
✓ 预测值：实际上也是根据数学模型计算出来的 理示论 。值，但它是与未来对应的理论值，用y0表
r 1
( yi yi )2
( yi y)2
9.2.3 相关性检验
当r越接近于1时，剩余平方和Q(a,b)的 值越接近于0，即回归模型描述y与x的关系 的近似程度越好，对于一元线性回归而言， 表示y与x的关系越接近于线性；当r=1时， Q(a,b)=0，此时即每一个理论值都等于对 应的实际值，回归直线通过每一个数据点， 这种情况称为完全线性相关，r越接近于0， y与x的关系与线性关系相差就越远，甚至 根本不能用所得到的回归方程来描述，当 r=0时，称完全无线性相关。
x
最小二乘法 ( ˆ0和 ˆ1的计算公式)
根据最小二乘法的要求，可得求解 ˆ0 和 ˆ1 的
公式如下
估计方程的求法 (例题分析)
• 【例】求不良贷款对贷款余额的回归方 程
回归方程为：y = -0.8295 + 0.037895 x
回归系数 ˆ1=0.037895 表示，贷款余额每增 加1亿元，不良贷款平均增加0.037895亿元
确定不变的，只要能寻找一个回归方程， 使Q尽可能小（即U尽可能的大），也就是 使回归方程在总体上能尽可能近似地描述 实际变量数据。根据剩余平方和Q最小的原 则来确定回归系数，称为最小二乘原则。
9.2.2 确定回归系数
对于一元线性回归分析，Q是一个二 元(a,b)函数，根据微积分学中的极值原理， 解下列联立方程组

第二章回归分析中的几个基本概念第一节回归的含义“回归”(Regression)一词最初是由英国生物学家兼统计学家F.Galton(F·高尔顿)在一篇著名的遗传学论文中引入的(1877年)。

他在研究中发现，具有较高身躯的双亲，或具有较矮身躯的双亲尔，其子女的身高表现为退回(即回归)到人的平均身高趋势。

这一回归定律后来被统计学家K·Pearson通过上千个家庭成员身高的实际调查数据进一步得到证实，从而产生了“回归”这一名称。

然而，现代意义上的“回归”比其原始含义要广得多。

一般来说，现代意义上的回归分析是研究一个变量（也称为explained variable或因变量dependent variable）对另一个或多个变量（也称为解释变量explanatory variable或自变量independent variable ）的依赖关系，其目的在于通过解释变量的给定值来预测被解释变量的平均值或某个特定值。

具体而言，回归分析所要解决的问题主要有：（1）确定因变量与自变量之间的回归模型，并依据样本观测值对回归模型中的参数进行估计，给出回归方程。

（2）对回归方程中的参数和方程本身进行显著性检验。

（3）评价自变量对因变量的贡献并对其重要性进行判别。

（4）利用所求得的回归方程，并根据自变量的给定值对因变量进行预测，对自变量进行控制。

第二节统计关系与回归分析一、变量之间的统计关系现象之间的相互联系一般可以分为两种不同的类型：一类为变量间的关系是确定的，称为函数关系；而另一类变量之间的关系是不确定的，称为统计关系。

变量之间的函数关系表达的是变量之间在数量上的确定性关系，即一个或几个变量在数量上的变动就会引起另一个变量在数量上的确定性变动，它们之间的关系可以用函数关系y f x=准确地加以描述，这里x可以是一个向量。

当知道了变量x的值，就可以计算出一()个确切的y值来。

变量之间统计关系，是指一个或几个变量在数量上的变动会引起另一个变量数量上发生变动，但变动的结果不是惟一确定的，亦即变量之间的关系不是一一对应的，因而不能用函数关系进行表达。

第四章 回归分析
•反映客观现象之间的联系的数量关系有两种,确定性关系和不 确定性关系. •确定性关系常用函数描述,不确定性关系也称为相关关系,常 用回归分析处理. •确定性关系和不确定性关系在一定条件下互相转换.
4.1 概述 •不确定性关系中作为影响因素的称自变量,用X 表示,是可以控 制的,受X 影响的响应变量称为因变量,用Y 表示,是可以观测的.
n
lxx
14
结束
于是有: 2 (x) ˆ u1 / 2 ,
Y0的1置信区间为yˆ0 ˆ u1 / 2 , yˆ0 ˆ u1 / 2
取 0.05时 : u1 / 2 1.96, Y0的1 置信区间为:
yˆ0 1.96ˆ , yˆ0 1.96ˆ yˆ0 2ˆ , yˆ0 2ˆ
yˆ0 y0
ˆ s1 ( x0 )
~
t (n 2),
其中: s1 ( x0 )
1 ( x0 x )2 ,
n
lxx
ˆ 2
S
2 E
/(n
2),
S
2 E
lyy
S
2 R
,
S
2 R
ˆ12lxx.
12
结束
P T1 t1 / 2 (n 2), 1 ,
P yˆ0 1( x0 ) y0 yˆ0 1( x0 ) 1 ,
r 2
S R2 ST2
n
ˆ12 l xx
( yi y)2
l xy l xx
2
l xx l yy
l
2 xy
,取R
l xx l yy
i 1
Lxy . Lxx Lyy
据性质4.2.5,
0
r
1,
r

庖丁巧解牛知识·巧学 一、回归分析回归分析是根据变量观测数据分析变量间关系的常用统计分析方法.通常把变量观测数据称为样本.1.散点图与回归方程(1)设对y 及x 做n 次观测得数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n).以(x i ,y i )为坐标在平面直角坐标系中描点,所得到的这张图便称之为散点图.其中x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量，y 为随机变量，常称其为因变量.知识拓展 散点图是直观判断变量x 与y 是否相关的有效手段. (2)a 与回归系数b 的计算方法若散点呈直线趋势,则认为y 与x 的关系可以用一元回归模型来描述.设线性回归方程为y=a+bx+ε.其中a 、b 为未知参数，ε为随机误差，它是一个分布与x 无关的随机变量.最小二乘估计aˆ和b ˆ是未知参数a 和b 的最好估计. x b y aˆˆ-=,b ˆ=∑∑==---ni ini i ix xy y x x121)())((.深化升华 bˆ的计算还可以用公式b ˆ=∑∑==--ni ini ii x n xyx n yx 1221来计算，这时只需列表求出相关的量代入即可. 2.相关性检验如下图中的两个散点图，很难判断这些点是不是分布在某条直线附近.假如不考虑散点图，按照最小二乘估计计算a 与b ，我们可以根据一组成对数据，求出一个回归直线方程.但它不能反映这组成对数据的变化规律.为了解决上述问题，我们有必要对x 与y 作线性相关性的检验，简称相关性检验.对于变量x 与y 随机抽取到的n 对数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，…，(x n ,y n )，检验统计量是样本相关系数r.r=∑∑∑∑∑∑======---=----ni i ni i ni ii ni i n i i ni i iy n y x n x yx n yx y y x x y y x x122122112121)()()()())((.r 具有以下性质:当r 大于0时，表明两个变量正相关，当r 小于0时，表明两个变量负相关；|r|≤1；|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱.通常当|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.相关性检验临界值如下表所示.相关性检验的临界值表深化升华 相关性检验的步骤也可如下: (1)作统计假设:X 与Y 不具有线性相关关系.(2)根据小概率0.05与n-2在相关性检验的临界值表中查出r 的一个临界值r 0.05. (3)根据样本相关系数计算公式算出r 的值.(4)作出统计推断.如果|r|＞r 0.05，表明有95％的把握认为X 与Y 之间具有线性相关关系.如果|r|≤r 0.05，我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻找回归直线方程是没有意义的. 3.回归分析的基本概念(1)在数学上，把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方和加起来，即用∑=-ni iy y12)(表示总的效应，称为总偏差平方和.(2)数据点和它在回归直线上相应位置的差异(y i －i yˆ)是随机误差的效应，称i e ˆ=(y i -i y ˆ)为残差.(3)分别将残差的值平方后回来，用数学符号表示为∑=-ni i iy y12)(称为残差平方和.它代表了随机误差的效应.(4)总偏差平方和与残差平方和的差称为回归平方和.(5)回归效果的刻画我们可以用相关指数R 2反映.R 2=1-∑∑==--n i ini i iy y yy1212)()ˆ(.显然，R 2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.4.非线性回归问题 在实际问题中，当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，不能用线性回归方程描述它们之间的相关关系，需要进行非线性回归分析，然而非线性回归方程一般很难求，因此把非线性回归化为线性回归应该说是解决问题的好方法.首先，所研究对象的物理背景或散点图可帮助我们选择适当的非线性回归方程yˆ=μ(x；a，b).其中a及b为未知参数，为求参数a及b的估计值，往往可以先通过变量置换，把非线性回归化为线性回归，再利用线性回归的方法确定参数a及b的估计值.问题·探究问题函数关系是一种确定性关系，而对一种非确定性关系——相关关系，我们如何研究？导思:由于相关关系不是一种确定性关系，我们经常运用统计分析的方法，即回归分析，按照画散点图，求回归方程，用回归方程预报等步骤进行.探究:我们可以知道，相关关系中，由部分观测值得到的回归直线，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性问题转化成确定性问题来研究.由于回归直线将部分观测值所反映的规律性进行了延伸，它在情况预报、资料补充等方面有着广泛的应用，从某种意义上看，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况.因此研究相关关系，不仅可使我们处理更为广泛的数学应用问题，还要使我们对函数关系的认识上升到一种新的高度.典题·热题思路解析：散点图是表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形.解：散点图如下:例2每立方米混凝土的水泥用量x(单位:kg)与2８天后混凝土的抗压强度(单位:kg/cm2)之间的关系有如下数据:(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程.思路解析：求回归直线方程和相关系数，可以用计算器来完成.在有的较专门的计算器中，可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数，而如果要用一般的科学计算器进行计算，则要先列出相应的表格，有了表格中的那些相关数据，回归方程中的系数和相关系数就都容易求出了.解：(1)r=)6.721294.64572)(20512518600(6.722051218294322⨯-⨯-⨯⨯-≈0.999>0.75.说明变量y 与x 之间具有显著的线性正相关关系.bˆ=143004347205125186006.72205121829432=⨯-⨯⨯-≈0.304, x b y aˆˆ-==72.6－0.304×205=10.28. 于是所求的线性回归方程为yˆ=0.304x+10.28. 深化升华 为了进行相关性检验，通常将有关数据列成表格，然后借助于计算器算出各个量，为求回归直线方程扫清障碍.若由资料知y 对x 有线性相关关系.试求:(1)线性回归方程yˆ=b ˆx+a ˆ的回归系数a ˆ,b ˆ. (2)使用年限为10年时，估计维修费用是多少？思路解析：因为y 对x 有线性相关关系，所以可以用一元线性相关的方法解决问题.利用公式bˆ=∑∑==--ni i ni ii x n x yx n yx 1221,aˆ=y -b ˆx 来计算回归系数.有时为了方便常列表对应写出x i y i ，x i 2,以利于求和.解：(1)x =4，y =5，∑=ni ix12=90，∑=ni ii yx 1=112.3，于是bˆ=245905453.112⨯-⨯⨯-=1.23，aˆ=y -b ˆx =5-1.23×4=0.08. (2)回归直线方程为yˆ=1.23x+0.08.当x=10年时，y ˆ=1.23×10+0.08=12.38(万元)，即估计使用10年的维修费用是12.38万元.方法归纳 知道y 与x 呈线性相关关系，就无需进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具有相关关系，或者说，它们之间相关关系不显著，即使求出了回归方程也是毫无意义的，而且估计和预测的量也是不可信的.例4一只红铃虫的产卵数y与x有关，现收集了7组观测数据列于表中，试建立y与x之间思路解析：首先要作出散点图，根据散点图判定y与x之间是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，再求线性回归方程.在散点图中，样本点并没有分布在某个带状区域内，因此两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一指数函数曲线的周围.解：散点图如下所示:由散点图可以看出:这些点分布在某一条指数函数y=pe qx(p,q为待定的参数)的周围.现在，问题变为如何估计待定的参数p和q，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系.令z=lny,则变换后样本点应该分布在直线z=bx+a(a=lnp,b=q)周围.这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了.由下图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.经过计算得到线性回归方程为zˆ=0.272x－3.843.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为yˆ=e0.272x－3.843.方法归纳线性回归问题在解决前可以先画散点图，通过散点图判断是否为线性回归，如果不是线性回归,要先转换为线性回归问题.。

回归知识点总结一、回归分析的基本概念1. 回归分析的定义回归分析是指通过对自变量和因变量之间的关系进行建模，来研究自变量对因变量的影响程度和趋势的一种统计分析方法。

在回归分析中，通常假设自变量和因变量之间具有一定的数学表达关系，通常用回归方程来表示这种关系。

2. 回归方程回归方程是描述自变量和因变量之间关系的数学公式，通常写成：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + ε其中，Y表示因变量，X1、X2等表示自变量，β0、β1、β2等表示回归系数，ε表示误差项。

回归系数表示自变量对因变量的影响程度和趋势，而误差项则表示模型无法解释的部分。

3. 回归类型根据因变量和自变量的性质，回归分析可分为线性回归和非线性回归。

线性回归是指因变量和自变量之间存在线性关系的回归分析方法，常用于连续型因变量和连续型自变量之间的关系研究；而非线性回归则是指因变量和自变量之间存在非线性关系的回归分析方法，适用于非线性的数据关系。

二、回归分析的方法1. 普通最小二乘法（OLS）普通最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于估计回归方程中的回归系数。

其基本思想是通过最小化因变量的观测值和回归方程预测值之间的差异，来求解回归系数，使得误差的平方和最小。

2. 变量选择方法变量选择方法是用来确定回归模型中应该包含哪些自变量的方法，常用的变量选择方法包括前向逐步回归、后向逐步回归和逐步回归等。

这些方法可以帮助排除无关变量，选择对因变量影响显著的自变量，从而建立更为准确的回归模型。

3. 模型诊断方法模型诊断是用来检验回归模型的假设和前提条件的方法，常用的模型诊断方法包括残差分析、异方差性检验、多重共线性检验、解释变量选择与模型优化等。

这些方法可以帮助检验回归模型的合理性和准确性，从而对模型进行修正和优化。

三、回归分析的应用1. 预测分析回归分析常用于预测因变量的取值，例如通过消费者的收入、年龄、教育程度等自变量来预测其购买行为、消费偏好等因变量的取值。

计量经济学复习要点参考教材：伍德里奇 《计量经济学导论》 第1章 绪论数据类型：截面、时间序列、面板用数据度量因果效应，其他条件不变的概念习题：C1、C2 第2章 简单线性回归回归分析的基本概念，常用术语现代意义的回归是一个被解释变量对若干个解释变量依存关系的研究，回归的实质是由固定的解释变量去估计被解释变量的平均值。

简单线性回归模型是只有一个解释变量的线性回归模型。

回归中的四个重要概念1. 总体回归模型（Population Regression Model ，PRM)t t t u x y ++=10ββ--代表了总体变量间的真实关系。

2. 总体回归函数（Population Regression Function ，PRF ）t t x y E 10)(ββ+=--代表了总体变量间的依存规律。

3. 样本回归函数（Sample Regression Function ，SRF ）tt t e x y ++=10ˆˆββ--代表了样本显示的变量关系。

4. 样本回归模型（Sample Regression Model ，SRM ）tt x y 10ˆˆˆββ+=---代表了样本显示的变量依存规律。

总体回归模型与样本回归模型的主要区别是：①描述的对象不同。

总体回归模型描述总体中变量y 与x 的相互关系，而样本回归模型描述所关的样本中变量y 与x 的相互关系。

②建立模型的依据不同。

总体回归模型是依据总体全部观测资料建立的，样本回归模型是依据样本观测资料建立的。

③模型性质不同。

总体回归模型不是随机模型，而样本回归模型是一个随机模型，它随样本的改变而改变。

总体回归模型与样本回归模型的联系是：样本回归模型是总体回归模型的一个估计式，之所以建立样本回归模型，目的是用来估计总体回归模型。

线性回归的含义线性：被解释变量是关于参数的线性函数（可以不是解释变量的线性函数）线性回归模型的基本假设简单线性回归的基本假定：对模型和变量的假定、对随机扰动项u 的假定（零均值假定、同方差假定、无自相关假定、随机扰动与解释变量不相关假定、正态性假定）普通最小二乘法（原理、推导）最小二乘法估计参数的原则是以“残差平方和最小”。

一、回归分析的基本方法和原理1、计量经济学的建模分析步骤和要点 （1） 确定模型所包含的变量 （2） 确定模型的数学模式（3） 拟定理论模型中待估参数的理论期望值 二、二、回归分析的含义？回归分析的含义？ 回归分析基本概念回归分析基本概念• 变量间的相互关系变量间的相互关系（1）函数关系）函数关系 （2）相关关系）相关关系• 相关分析与回归分析相关分析与回归分析相关分析：主要研究随机变量间的相关形式及相关程度。

相关分析：主要研究随机变量间的相关形式及相关程度。

回归分析：研究存在因果关系的变量间的依存关系。

回归分析：研究存在因果关系的变量间的依存关系。

回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的依赖关系的计算方法和理论。

其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值前一个变量称为被解释变量或因变量，后一个变量成为解释变量或自变量。

三、总体回归函数三、总体回归函数• 在给定解释变量X 的条件下，被解释变量Y 的期望轨迹，称为总体回归线，或总体回归曲线。

其相应的函数则称为总体回归函数回归曲线。

其相应的函数则称为总体回归函数 • 函数一般式：函数一般式： E(Y/X)=f （X ）• 总体回归函数表明被解释变量Y 的平均状态随解释变量X 变化的规律。

变化的规律。

• 线性总体回归函数：线性总体回归函数： E(Y/X)=β0+β1x • 总体回归函数引入随机干扰项，总体回归函数引入随机干扰项，则变成计量经济学模型，则变成计量经济学模型，则变成计量经济学模型，也称为总体回归模型。

也称为总体回归模型。

也称为总体回归模型。

即：即：• Y=β0+β1x +μ 四、样本回归函数四、样本回归函数• 由于总体回归函数未知，通过从抽样，得到总体的样本，再以样本的信息来估计总体回归函数。

体回归函数。

• 以样本的资料反映总体的情况，所形成的散点连线，称为样本回归线，其函数形式则称为样本回归函数则称为样本回归函数样本回归函数的随机形式：样本回归函数的随机形式：也称样本回归函数也称样本回归函数 e 的含义的含义• e 为随机干扰项μ的估计值，称为残差项。