柯西施瓦茨不等式的应用及推广作者：查敏 指导老师:蔡改香摘要 本文探讨的是柯西施瓦茨不等式在不同数学领域的各种形式和内容及其多种证明方法和应用，并对其进行了一定程度上的推广.通过一系列的例题，反映了柯西施瓦茨不等式在证明相关的数学命题时可以使得解题方法得以简捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特别是在概率统计中的广泛应用.关键词 Cauchy-Schwarz 不等式 Minkowski 不等式 Holder 不等式 Hermite 阵1引言柯西施瓦茨不等式在数学中的应用比较广泛，是异于均值不等式的另一个重要不等式，灵活巧妙的运用它，可以使一些较困难的实际问题得到比较简捷地解决，这个不等式结构和谐，无论代数、几何，都可以应用.本文正是从实数域、微积分.内积空间、概率空间以及矩阵分析这五个方面的内容进行证明并举例说明其应用，对实数域和微积分中的形式进行了一定程度的推广.2 在实数域中的Cauchy 不等式命题1 设,(1,2,,)i i a b R i n ∈=，则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤⋅∑∑∑ （1）其中当且仅当,(1,2,,)i i b ka i n ==（k 为常数）等号成立.证明 由21()()0,,niii f x xa b x R ==+≥∀∈∑则222111)(2)0n n nii i i i i i a x a b x b ===-+≥∑∑∑（由于x R ∀∈,因此上述不等式的判别式大于零，即：2221114()4)()0n n ni i ii i i i a b a b ===-≤∑∑∑（易得（1）式成立.例1 设(1,2,...,),i a R i n +∈=求证21212111()(++n na a a n a a a ++++≥） 证明 由不等式左边的形式，很容易想到柯西不等式解之1212111)(+)n n a a a a a a +++++（22222212222+][(+)]()()()(111)nnnaa a aan=++⋅++≥++⨯=+++=（）柯西施瓦茨不等式在实数域中的应用十分广泛，而且许多著名的不等式就是用柯西施瓦茨不等式直接导出.下面介绍两个著名的不等式.由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowski不等式定理1任意的2n个实数1212,,,,,,,n na a ab b b，有()111222222111n n ni i i ii i ia b a b===⎧⎫⎧⎫⎧⎫+≤+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑∑（2）事实上，由（1）得()22211112n n n ni i i i i ii i i ia b a a b b====+=++∑∑∑∑11111222222222221111112=n n n n n ni i i i i ii i i i i ia ab b a b======⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑∑这就证明了（2）.将柯西施瓦茨不等式中的幂指数扩充，则有赫尔德不等式.定理2 对任意的非负数(),1,2,,i ia b i n=有11111()()n n np qp qi i i ii i ia b a b===≤⋅∑∑∑其中,p q R+∈，满足111p q+=且1p>.证明由杨格不等式p qa pb ab+≥，其中,0a b≥且111p q+=得111111111111111()()(())1111()()1nn n n n n p q p q pq q p i ii i i i i i i i i i i i p q n n n p q p q i i i i i i i a ba b a a b b a a b b p q p q =========⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪≤+=+=⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑赫尔德不等式中，当2,2p q ==时为柯西施瓦茨不等式，若将n →∞则可导出相应的无穷不等式.由定理2可将定理1的幂指数进行扩充 定理3 若对任意的非负实数,i i a b ，111p q+=，,p q R +∈且1p >，则()111111nnnpppp p p i i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎧⎫⎧⎫+≤+⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭∑∑∑ 证明()()()-1=p p i i i i i i a b a b a b ++⋅+()()()()==+pqi i i i p pq q i i i i i i a b a b a a b b a b +⋅+⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由杨格不等式()()()111nnnpp pqqiii i i i i i i i i a b a a b b a b ===+≤⋅++⋅+∑∑∑()111111n n n p p q p p p i i i i i i i a b a b ===⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪≤+⋅+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑∑ 化简即得所要证得的不等式.还可将上述赫尔德不等式推广到无限和不等式： 推论1 若对任意非负实数,i i a b ，有11,nnii i i ab ==<∞<∞∑∑，则11111n nnpqp q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑下面将上命题1进行推广：引理1 （算术-几何平均值不等式）设12,,,n a a a 为个n 正数，则11ni i a n =≥∑等号成立的充要条件为12n a a a ===.引理2 设{}{}1212,,,,,,,,nnx x x y y y V k R αβ∀==∈∈,作定义：{}{}(){}1122121122,,,,,,,,,,,,n nnn nx y x y x y k kx kx kx x y x y x y αβααβ+=+++==，则在V 中定义了的加法、数乘、内积作成R 上的线性空间一定构成欧几里得空间，简称欧氏空间 (在介绍柯西施瓦茨不等式在内积空间中的应用时会用到此定义).推论2 设,,,,(1,2,)i i i x y z i n =是m 组实数，则有1111()()()()nn nnmm m m i ii iii i i i i x y z x y z ====⋅⋅≤∑∑∑∑ （2）等号成立的充要条件为111222::::=::n n n x y z x y z x y z ==.证明 为方便起见，不妨设1,nm mxi i S x ==∑ 1,,nm myi i S y ==∑1,nm m zi i S z ==∑,ii xx a S =,,i i y y b S =,(1,2,)ii zz c i n S ==从而由引理1有i i i x y z i i i x y z S S S a b c ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅m m mi i i x y z a b c S S S m+++≤⋅⋅⋅对上式进行n 的累次求和，可得11()mnm m m i ii x y z i i i ii x y z S S S a b c m =⋅⋅≤⋅⋅+++∑∑即1111()mn nnmmm i ii x y z i i i ii i i x y z S S S a b c m===⋅⋅≤⋅⋅+++∑∑∑∑ （4）由于111()1nminnmm i i im i i x xxx aS S ======∑∑∑ 同理11nmii b==∑，11n m i i c ==∑这样（4）式为mi ii x y z ix y z S S S ⋅⋅≤⋅⋅∑再两边m 同时次幂，得()mm m m m i i i x y z ix y z S S S ⋅⋅≤⋅⋅∑故证得（3）式成立.注1 在命题1中，除,,(1,2,,)i i i i x a y b i n ===，其余均为1，且2m =，则不等式（3）就是不等式（1）的推广.推论3 （将命题1推广为无限和不等式）设,,,,i i i x y z R i N ∈∈且1m ii x∞=<∞∑，1m i i y ∞=<∞∑，1,m i i z ∞=<∞∑，则1111()()()()mm m m i i i iii i i i i x y z x y z ∞∞∞∞====⋅⋅≤∑∑∑∑（证明过程可仿推论2的证法并结合引理2）.3 微积分中的Cauchy-Schwarz 不等式命题2 设(),()f x g x 在[],a b 可积，则222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ （5）证明 类似命题1可以利用判别式证明之.下面给出另一种证法:因为(),()f x g x 在[],a b 上可积，则由定积分的性质22,,f g fg 均在上[],a b 上可积，对区间[],a b 进行n 等分，分点为+,0,1,2,,i b ax a i i n n-==.由定积分的定义，有1()()lim ()()bni i n i a b af xg x dx f x g x n→∞=-=∑⎰221()lim ()bni n i a b af x dx f x n →∞=-=∑⎰221()lim ()bni n i ab ag x dx g x n→∞=-=∑⎰ 由（1）式知222()()()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 再由极限的保号性易知（5）式成立.注2 若对[],,()0x a b f x ∀∈=，或(),()f x g x 成正比，则（5）式等号成立，但其逆不真.例如，除有限点外，[]()(),,f x g x x a b =∈，有()()b baaf x dxg x dx =⎰⎰，但(),()f x g x 并不成比例.例2 利用柯西施瓦茨不等式求极限：设(),()f x g x 在[],a b 上连续，()0,()f x g x ≠有正下界，记()()(),1,2,bnn ad f x g x dx n ==⎰，求证：1limmax ()n n a x bnd f x d +→∞≤≤= .证明 为了分析1n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的变化趋势，研究n d 邻项之间的关系. n d =()()bna f x g x dx ⎰()()1122112211112211()()()()bn n a bbn n a a n n f x f x dxg x f x dx g x f x dx d d -+-+-+=⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅⎰⎰⎰ 因为0n d >，平方得211n n n d d d +-≤，即11n n n n d dd d +-≥. 因为()f x 在[],a b 连续，所以存在0M >，使得()f x M ≤,故()()()()()()()()110bbbbn nnnn n aaaad g x f x dxg x f x dx M g x f x dxg x f x dx Md ++≤=≤=⎰⎰⎰⎰因为1n n d d +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调有上界，所以有极限. 即1limmax ()n n a x bnd M f x d +→∞≤≤==在微积分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比较著名的不等式，如下面介绍的Minkowski 不等式：定理4 设(),()f x g x 在[],a b 可积，则Minkowski 不等式()111222222()()()()bbba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 证明 由（5）式()()222()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()2b a f x g x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰()()()()222b b b a a af x dx f xg x dx g x dx =++⎰⎰⎰ ()()()()1222222b b bb a a a af x dx f x dxg x dx g x dx ⎛⎫≤+⋅+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰2112222()()b b aa f x dx g x dx ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎰⎰因为两边都大于等于零，且右边大括号也大于等于零，所以有()111222222()()()()bbba a a f x g x dx f x g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 将柯西施瓦茨不等式的幂指数进行扩充，有Holder 不等式 定理5 (),()0f x g x >，111p q+=，,p q R +∈且1p >，则11()()()()bbbpqp q aa a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤⎡⎤≤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰证明11()()()()bbbpqp qaa a f x g x dxf x dxg x dx ⎡⎤⎡⎤⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰11=()()()()()()()()111b b b p q p q a a a bpqbbp q aaaf x f x dxg x g x dx dx f x g x dxp f x dxq g x dxp q⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤+⋅⋅=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰得证.利用定理5，将定理4的幂指数进行扩充，有()111()()()()bbbppppp p aa a f x g x dx f x g x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+≤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ 证明可参考定理3 的证明，且p=2即为定理4中的不等式. 同样将上命题2进行推广. 推论4 设()(1,2,,)i f x i n =是闭区间[],a b 上为正的n 个可积函数，则111()((()))bbn nnniii i a af x dx f x dx ==≤∏∏⎰⎰ （6）证明 不妨设(())(1,2,,),bni i af x dx k i n ==⎰则11111()(())()bnibn ni a i n ni ia n ii f x dxf x dx k k====∏⎰∏⎰∏由引理1可得111(())(())1()()1b bn nnn i i ni i i i a a f x f x dx dx k n k ==≤=∑∏⎰⎰ 这样就证得不等式（6）成立.注3 在推论4中，取2n =，则得到柯西施瓦茨不等式，即不等式（5）. 注4 不等式（5）可写成()()()()()()()()22b ba ab baaf x dxf xg x dx f x g x dxg x dx≥⎰⎰⎰⎰受此启发，易于得到柯西施瓦茨不等式更为一般的推广形式： 设(),()(,1,2,,)i j f x f x i j n =是闭区间[],a b 上的可积函数，则有det(()())0bi j af x f x dx ≥⎰即为()()()()()()()()()()()()()()()21121221222120bbbnaaabbbna a abbbn n n aaaf x dxf x f x dxf x f x dxf x f x dxf x dxf x f x dx f x f x dxf x f x dxf x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰并且等号成立的充要条件为：存在不全为零的常数12,,,m ααα使得1()0i i i f x α∞=≡∑.推论5 （将命题2再推广）设()()0()0,(1,2,,),0ni i f x i n f x dx ∞≥=≤<∞⎰则11100()((()))n nnniii i f x dx f x dx ∞∞==≤∏∏⎰⎰ （7）（可仿推论4并结合反常积分理论即证）.4 n 维欧氏空间中Cauchy-Schwarz 不等式在n 维欧氏空间中，对任意的向量()()1212,,,,,,,,n n a a a b b b αβ==定义内积()()1122,,,,;n n a b a b a b αβ=定义的长度或范数为()12,ααα=.命题3 对任意的向量,αβ有(),αβαβ≤⋅ （8）当且仅当,αβ线性相关时等号才成立.证明 若0α=，则()0,0β=，（8）式显然成立.若0α≠，则令()2,βαγβαα=-⋅，则(),0γα=，且()()2222,,0,βαβαγβαβααα⎛⎫≤= -⋅-⋅⎪ ⎪⎝⎭()()()2,,,βαββαβα=-⋅()222,αββα=-当,αβ线性相关时等号显然成立.反之，如果等号成立，由以上证明过程可以看出，或0α=或0γ=，即()2,βαβαα=⋅也就是说,αβ线性相关.根据上述在n 维欧氏空间中的柯西施瓦茨不等式，我们有三角不等式αβαβ+≤+ （9）因为()()()()()2222,,2,,2=+αβαβαβαααβββααββαβ+=++=++≤++所以（9）式成立.用柯西施瓦茨不等式不等式有时可很巧妙地解决相关数学命题，如下例3 求证2221212++++nn a a a a a a nn++≤.证明 这里可取()()12,,,,1,1,,1,n a a a αβ==由柯西施瓦茨不等式()()()()22222221212+++,=1+1++1+++n n a a a a a a αβαβ=≤⋅整理即得2221212++++nn a a a a a a nn++≤5 概率空间(),,F ΩP 中的Cauchy-Schwarz 不等式命题4 设(),X Y 为任意随机变量，若()()22,X Y E E 存在，则()XY E 也存在，且()()()222XY XY E ≤E E ⎡⎤⎣⎦ （10）式中等号成立当且仅当存在常数0t ，使得{}01Y t X P == （11）证明 定义实变量t 的二次函数为()()()()()22222u t tX Y X t XY t Y =E -=E -E +E因为对一切t ，必然有()20tX Y -≥,从而有()0u t ≥，于是方程()0u t =要么无实根，要么就有一个实根，亦即重根，即判别式非正，从而 ()()()2220XY XY E -E E ≤⎡⎤⎣⎦即 ()()()222XY XY E ≤E E ⎡⎤⎣⎦当等号成立时，方程()0u t =有一个重根0t ，使()200t X Y E -= 从而 ()()()()22000D t X Y t X Y t X Y -=E --E -()200t X Y ≤E -=即 ()00D t X Y -= 且 ()00t X Y E -= 于是 {}001t X Y P -== 即 {}01Y t X P ==反之，若存在常数0t ，使得（11）式成立，即{}001t X Y P -==从而 {}222001t X Y P -==，(){}001t X Y X P -==于是 {}22200Y t X E -=，{}200YX t X E -=即 ()()2220Yt X E =E ，且()()2XY t X E =E故 ()()()()222222200XY t X t X X ⎡⎤E =E =E E ⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22Y X =E E 即在（10）式中等号成立.例4 设随机变量i X 与j X 的相关系数i j ρ存在，则1i j ρ≤且1i j ρ=的充要条件为i X 与j X 以概率1线性相关.即存在常数(),0a b a ≠，使{}1j i X aX b P =+=，其中当1i j ρ=时，0a >；当1i j ρ=-时0a <.证明X X -EX X -E 应用柯西施瓦茨不等式，有()()()()()()222i i i j j j i i i j X X X X X X X X D X D X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤-E -E -E ⎡⎤-E ⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎣⎦E ≤E E ⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭即21i j ρ≤，所以1i j ρ≤，此时等式成立当且仅当存在0t ，使得1X X X X t ⎡⎤-E -E P == 其中0t 是方程2210i j t t ρ-+=当1i j ρ=时的解.显然，当1i j ρ=时，01t =，即1X X X X ⎡⎤-E -E P ==当1i j ρ=-时，01t =-，即1X X X X ⎡⎤-E -E P == 该定理表明：当1i j ρ=时，i X 与j X 之间存在线性关系，从而相关系数i j ρ作为“标准尺度下的协方差”是随机变量i X 与j X 之间的线性强弱程度的度量，更确切地说应该是线性相关系数.在统计教学中，求直线趋势方程的两个待定系数时，用到最小二乘法.柯西施瓦茨不等式在求方程系数和判断极值中起到了补充说明的作用，增强了预测模型的准确性、科学性、严密性.例 5 （求方程系数中的应用）当函数(),1,2,,i i y f t i n ==（），是由实验或观察得到的，建立直线趋势方程e y a bt =+的模型时，要求实际观察值i y 与趋势值e y 离差的平方和必须为最小.解 设()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑，这里()()()2211,n ni i i i Q a b a bt y a bt y ===+-=+-∑∑令2112()10,2()0n ni i Q Qa bt y a bt y t ab ==∂∂=+-⋅==+-⋅=∂∂∑∑整理得到：112111nni i n n n i i i y na b t ty a t b t =====⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∑∑∑∑∑消去a ,2211111n n n n n i i i i i n t t b n ty t y =====⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑.由柯西施瓦茨不等式2222111111n n nn i i i i n t t t ====⎛⎫=⋅≥⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑∑知22110nn i i n t t ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑，当且仅当12111nt t t ===时取等号. 由于t 是时间变量，故12n t t t ≠≠≠，所以22110nn i i n t t ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑所以111221111()n n ni i i n ni i n n i i n ty t y b t t y t a b n n =======⎧-⎪⎪=⎪-⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑. 在直线回归方程e y a bx =+中，,a b 均为回归系数.在求回归系数时，同样用Cauchy 不等式证明22110n ni i n x x ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑得到111221111()n n ni i i n ni i n ni i n xy x y b x x y x a b n n =======⎧-⎪⎪=⎪-⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑. 事实上，如果，22110nn i i n x x ==⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭∑∑，由柯西施瓦茨不等式我们得到12,n x x x x ====这时，总体回归直线就是一条平行于y 轴的直线了，这时x 与y 之间没有线性关系，从统计学的角度讲总体中没有变异，就没有必要进行统计了.例 6 （在判断极值存在中的应用）证明()()21,ni Q a b a bt y ==+-∑存在极小值.证明 因为2112()1,2()n ni i Q Qa bt y a bt y t ab ==∂∂=+-⋅=+-⋅∂∂∑∑ 求二阶偏导得222222111212,2,2n n ni i i Q Q Q n t t a b a b ===∂∂∂====∂∂∂∂∑∑∑ 因为222222222211112224n n n n i i i i Q Q Q t n t t n t a b a b ====⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-⨯=-⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑由柯西施瓦茨不等式我们得到22110nn i i n t t ==⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑∑ 所以222222221140n n i i Q Q Q t n t a b a b ==⎡⎤⎛⎫∂∂∂⎛⎫∆=-⨯=-<⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑又因为2212120n i Q n a =∂==>∂∑，所以()()21,n i Q a b a bt y ==+-∑存在极小值，可以证明也就是最小值.由以上几个例子可以发现，柯西施瓦茨不等式不等式在概率论与数理统计中有着广泛的实际应用.6 矩阵分析中的Cauchy-Schwarz 不等式定义1 设i j A a =为n 阶方阵，记'A A *=,即同时取共轭又转置.若A A *=,则称A 是一个Hermite 阵.当A 为实矩阵时，Hermite 阵就是实对称阵.命题5 设,nx y C ∈，则 (a) 2x y x x y y ***≤⋅ 等号成立当且仅当x 与y 线性相关.证明 当x 与y 至少一个为零向量时，结论显然不成立.不妨设0x ≠，定义x y z y x x*=-，则0x z *=.于是20z ≤22x y z y y x y x***==-222x y y x*=-此即222x y x y *≤⋅等号成立0z y ⇔=⇔与x 成比例.（b ）设A 为n n ⨯Hermite 阵且0A ≥,则2x Ay x Ax y Ay ***≤⋅等号成立当且仅当x 与y 线性相关.证明 因为0A ≥，则由Hermite 阵的性质，存在矩阵B,使得A B B *=.命,u Bx v By ==，对u 和v 应用(a),便得到(b).(c)设A 为n n ⨯的Hermite 阵且0A >,则 ‘ 21x y x Ax y A y ***-≤⋅, 等号成立当且仅当x 与1A y -线性相关.证明 因为0A >,所以12A -存在,对12u A x =和12v A y -=应用(a),即得欲证的(c).由上可知,nx y C ∈为任意的一对列向量，我们要讨论的是当它们为正交向量时柯西施瓦茨不等式，是柯西施瓦茨不等式的另一种形式的推广.推论6 C 表示复数域，x *表示x 的共轭转置向量，n n ⨯ 阶正定矩阵的全体记为(),C n >.设(),A C n ∈>，A 的特征值为12,,,n λλλ，且都大于零，那么对于任意一对正交向量,nx y C ∈，有 2112n x Ay x Ax y Ay λλ***⎛⎫≤-⋅ ⎪⎝⎭证明 不失一般性，令1x y ==，显然只需要证明当正交向量对1x y ==时，推论6成立.令()(),,B x y A x y *=那么，B 是一个22⨯Hermite 阵，令其特征值为12u u ≥，由Poincare 定理，有 1120n λμμλ≥≥≥> 所以(),B C n ∈>.同时21x Ayx Ax y Ay***-⋅()()()()()()212222222121244det 42x Ax y Ay x AyBx Ax y Ay x Ax y Ay TrB x Ax y Ay y Ay μμμμμμ**********⋅-===+----+-+- ()()()1212121211212y Ay y Ay y Ay μμμμμμμμλμμμμ***=≥≥+++-所以()2121121x Axx Ax y Ayμμλμμ***≤-⋅+ 1121111λμμ=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭又因为()()10f x x x =>是单调递减的函数，所以21112nx Axx Ax y Ayλλ***≤-⋅112n λλ=- 这样定理得证.例7 设(),A C n ∈>，A 的特征值为12,,,n λλλ，且都大于零，那么对于任意非零向量nx C ∈，有()()1142nx A x x Ax xλλ*-*≤证明 令()()211y xA x x A x x -*-=-，这样0x y *=同时()21Ay xx x A x Ax *-=-()()41x Ay x x A x x Ax **-*=-()()1y Ay x A x y Ax **-*=- （12）由（12）式，我们可以得到10y A x x Ay *-*=≤，将（11）式带入推论6，有 ()21112n x Ay x Ax x A x y Ax λλ***-*⎛⎫≤-⋅⋅- ⎪⎝⎭因为0x Ay y Ax **=≤，所以1112n x Ay x Ax x A x λλ***-⎛⎫≥--⋅ ⎪⎝⎭将上式用于()41x Ay x x A x x Ax **-*=-，我们得到()()4112n x x A x x Ax λλ*-*≥即()()1142nx A x x Ax xλλ*-*≤这样定理得证.注5 由柯西施瓦茨不等式的形式（b ）2x Ay x Ax y Ay ***≤⋅，我们可得到21x Ayx Ax y Ay***≤⋅由推论621112nx Ayx Ax y Ayλλ***≤-≤⋅ （13） 因此（13）式的结论较柯西施瓦茨不等式精确，所得结果更强.结束语本文从五个方面分别介绍了柯西施瓦茨不等式的五个等价形式，并进行了简洁的证明.并分别介绍了柯西施瓦茨不等式的简单应用，特别是在概率统计中的实际应用，而且在实数域和微积分中进行了一定的推广.由于知识所限，在对其他方面的柯西施瓦茨不等式没有进入深入的分析，也没有进行推广.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2003. [2]吴传生.数学分析（上册）习题精解[M].合肥:中国科技大学出版社，2004. [3]邓天炎，叶留青.概率统计[M].北京:中国矿业大学出版社，2004. [4] 王松佳,吴密霞,贾忠贞[M].北京:科学出版社,2005.[5] 黄廷祝,杨传胜.特殊矩阵分析及应用[M].北京: 科学出版社, 2007. [6]K.G.宾莫尔.数学分析基础浅导[M].北京：北京大学出版社，2006.[7]孙永生,王昆扬.泛函分析讲义[M].北京：北京师范大学数学科学学院，2007.[8] 罗俊丽,朱白. Cauchy-Schwarz不等式的几中推广形式[J].商洛学院学报,23:4(2009),28-29.[9]常广平，李林衫，刘大莲.利用Cauchy-Schwarz不等式估计回归系数[J].北京联合大学学报，22:4(2008),77-78.Application and promotion of the Cauchy-Schwartz inequality Author:Zha Min Superviser: Cai GaixiangAbstract This paper explores all kinds of forms and content and a variety of ways of proof and applications of the Cauchy inequality in diffirent fields ofmathematics,and makes some degrees of promotion of it. Through a series ofexamples,we can see that the Cauchy inequality makes the proof of relatedmathematical propositions more simple and even can reach onestop effect,especially in the field of probability and statistics.Keywords Cauchy-Schwartz inequality Minkowski inequality Holder inequality Hermite matrix。
