22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c解析式求法(3)

第二十二章 二次函数22.1.4 二次函数y=a x 2+bx+c 图象和性质精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2019·湖南师大附中博才实验中学初二期末）抛物线y ＝x 2﹣4x +5的顶点坐标是（ ） A.（2，1） B.（﹣2，1） C.（2，5） D.（﹣2，5）【答案】A【分析】先把抛物线的解析式配成顶点式得到y ＝（x ﹣2）2+1，然后根据抛物线的性质即可求解． 【详解】∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（2，1）． 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=a （x -h ）2+k 的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x=h ，本题还考查了利用配方法化二次函数的一般式化为顶点式．2．将抛物线23(2)y x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(3,2)B ．(0,2)C ．(-3,0)D ．(2,1)-【答案】A【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，可得答案．【详解】y=3（x -2）2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得y=3（x -2-1）2+2， 即y=3（x -3）2+2，抛物线的顶点坐标是（3，2）， 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记平移的规律：左加右减，上加下减是解题关键．3．（2019·重庆中考真题）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（ ）A ．直线2x =B ．直线2x =-C ．直线1x =D ．直线1x =-【答案】C【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴． 【详解】解：∵223623(1)5y x x x =-++=--+， ∴抛物线顶点坐标为(1,5)，对称轴为1x =． 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质．抛物线2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ．4．直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限，那么y=ax 2+bx+3的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】首先根据直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限判断出a 、b 的取值范围，再根据a 的取值范围可判断出开口方向，再加上b 的取值范围可判断出对称轴，最后根据c=3判断出与y 轴交点，进而可得答案． 【详解】解：∵直线y=ax+b （ab≠0）不经过第三象限， ∴a ＜0，b ＞0，∴y=ax 2+bx+3的图象开口向下，对称轴y 轴右侧，与y 轴交于（0，3）， ∴D 符合． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数图象，关键是掌握一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．5．（2018·中山大学附属中学初三期中）某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A.-11 B.-2 C.1 D.-5【答案】D【分析】由已知可得函数图象关于y 轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案．【详解】解：由已知中的数据，可得函数图象关于y 轴对称， 则错误应出现在x=-2或x=2时， 故函数的顶点坐标为（0，1）， y=ax 2+1，当x=±1时，y=a+1=-2， 故a=-3， 故y=-3x 2+1，当x=±2时，y=4a+1=-11， 故错误的数值为-5， 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．6．（2019·四川中考真题）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（ ）A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =【答案】D【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.【详解】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0. A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，B 选项错误；观察图象可知x ＝－1时y=a －b ＋c ＞0，所以a －b ＋c ＞0，C 选项错误； 根据图象与x 轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，152x +=， x ＝3即为函数对称轴，D 选项正确； 故选D【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.7．（2017·湖北卓刀泉中学建和分校初三月考）二次函数y ＝x 2﹣2x +2的顶点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（2，2）C ．（1，2）D ．（1，3）【答案】A【分析】根据顶点坐标公式，可得答案．【详解】解：2y x 2x 2=-+的顶点横坐标是212--=，纵坐标是2412(2)141⨯⨯--=⨯， 2y x 2x 2=-+的顶点坐标是()1,1．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是2b 4ac b ,.2a 4a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭8．（2019·山东省五莲县第二中学初三期末）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+8x+b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】令x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a ＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【详解】解：x=0时，两个函数的函数值y=b ，所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误； 由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a ＞0，则一次函数y=ax+b 经过第一三象限， 所以，A 选项错误，C 选项正确， 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9．（2019·山东省五莲县第二中学初三期末）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点,c Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 由图像可知，，则c Q a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第三象限。

22．1.4用待定系数法求二次函数解析式教案一、教学目标1.熟练的掌握二次函数的y=ax+bx+c的性质，并会根据题目要求求出表达式；2.熟练的掌握二次函数的y=a (x-h)+k的性质，并会根据题目条件求出表达式；223.理解二次函数y=a (x-x1)(x-x2)的性质，并会根据题目求表达式.二、教学重难点重点：根据题目条件求二次函数的表达式.难点：理解两根式的表达式的推导过程.三、知识结构课题名称一般式的求解顶点式的求解两根式的求解重点一般式的基本形式顶点式的表达式两根式的理解难点解三元一次方程组根据题目找出顶点坐标找出图象与x轴的两个交点坐标三种表达式的综合应用综合应用根据题目选择合适的表达式四、名师解析知识点一：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的求解例1.已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式.巩固练习：已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式.知识点二：y =a (x -h )2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0）的求解例2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式.巩固练习：已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，求二次函数的解析式.知识点三：y =a (x -x 1)(x -x 2)（a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标）的求解例3．二次函数的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式.巩固练习：1.已知x =1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式2.抛物线y =2x +bx +c 与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式知识点四：三种表达式的综合应用例4.根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式（1）当x =3时，y最小值=-1，且图象过（0，7）2（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x =（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）32（4）当x =1时，y =0;x =0时,y =-2，x =2时，y =3（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）例5.已知抛物线y =x +kx -交点；234k 2（k 为常数，且k ＞0）．证明：此抛物线与x 轴总有两个例6.已知关于x 的二次函数y =x -(2m -1)x +m +3m +4y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m22＋探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数例7.已知：关于x 的函数y =kx -7x -7的图象与x 轴总有交点，k 的取值范围是（）2A 、k ＞7777B 、k ≥且k ≠0C 、k ≥-D 、k ＞-且k ≠044442例8.抛物线y =-x +bx +c 的部分图象如图所示，则方程-x +bx +c =0的两根2为.巩固练习：21.关于x 的一元二次方程x -x -n =0没有实数根，则抛物线y =x -x -n 的顶点在（）2A ．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知关于x 的二次函数y =2x -(3m +1)x +m (m >1).证明y =0的x 的值有两个.2练习：二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像如图所示，根据图像解答下列问题：2(1)写出方程ax +bx +c =0的两个根；(2)写出不等式ax +bx +c >0的解集；(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值；(4)若方程ax +bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围.22223五、课后练习1.当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=-3,x 2=1时，且与y 轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式22．已知二次函数y =ax +bx +c 的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式（第2课时 ）（作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、填空题1．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）写出一个对称轴为y 轴，且过(0,2)-的二次函数的解析式______．2．（2022·湖北襄阳·九年级期末）已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为()0,5-，那么这个二次函数的解析式可以是________．（只需写一个）．3．（2022·江苏·九年级专题练习）已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则=a ______．4．（2022·福建·福州立志中学九年级开学考试）将一个抛物线沿x 轴的正方向平移1个单位后能与抛物线223y x x =-+重合，则这个抛物线的解析式是_________．二、解答题5．（2022·广东·湛江一中九年级课时练习）已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．6．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0),(3,0)A B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)点()()1122,,,M x y N x y 是抛物线上不同的两点．①若12y y =，求12,x x 之间的数量关系．②若()12122x x x x +=-，求12y y -的最小值．7．（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线25y ax bx =+-图像恰好经过A （2，﹣9），B （4，﹣5）两点，求该抛物线解析式．8．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）根据下列条件分别求二次函数的表达式．(1)已知二次函数的图象经过点(﹣2，﹣1)，且当1x =-时，函数有最大值2．(2)已知二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，与坐标轴交于点(0，﹣1)，(﹣1，0)．9．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）已知抛物线2y x bx c =-++的顶点坐标为（1，3），求b ，c 的值．10．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线()()20=-¹y a x h a 与x 轴的交点为(1，0)，与y 轴交点为(0，-2)．(1)求该抛物线对应的函数关系式；(2)若将该抛物线平移后经过原点，直接写出平移后的抛物线对应的函数关系式（至少写出2个对应的函数关系式）．11．（2022·吉林·安图县第三中学九年级阶段练习）已知关于x 的二次函数的图象与x 轴交于（-1，0），(3，0)两点，且图象过点(0，3)，(1)求这个二次函数的解析式；(2)写出它的开口方向、对称轴12．（2022·吉林·南阳市第十九中学九年级阶段练习）如图，已知二次函数2y ax bx c =++ 图像的顶点为(1,2) ，与y 轴的交点为(0,3)C ．(1)求二次函数的表达式；(2)已知点(1,1)A -，点(3,1)B ．若原二次函数图像向下平移m 个单位，与线段AB 有公共点，结合函数图像，直接写出m 的取值范围．13．（2022·广东惠州·九年级阶段练习）抛物线2y ax c =+与25y x =-的形状、开口方向都相同，且2y ax c=+经过(0，3)．求：(1)该抛物线的解析式；(2)2y ax c =+是由抛物线25y x =-经过怎样的平移得到的？14．（2022·内蒙古·敕勒川实验中学九年级阶段练习）如图，抛物线2y ax ＝与直线y ＝bx +c 的两个交点分别为A （﹣2，4），B （1，1）．(1)求两个函数的解析式；(2)点P 在y 轴上，且△ABP 的面积是△ABO 面积的2倍，求点P 的坐标．15．（2022·湖北·汉川市官备塘中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()240y ax bx a =++¹经过点()2,0A -和点()4,0B .(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；(2)点P 为该抛物线上一点（不与点C 重合），直线CP 将ABC V 的面积分成2:1两部分，求点P 的坐标.16．（2022·吉林省实验中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为()4,3，点D 是抛物线26y x x =-+在x 轴上方的一个动点．(1)菱形的边长为______．(2)求BCD △面积的最大值．17．（2022·河北·育华中学三模）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标是（0，n ），n ≠0．抛物线l 的顶点是（1，0），并且经过点P ，点A 、点B 、点C 的坐标分别为（3，2），（2，﹣1），（3，﹣1）．(1)当抛物线l 过点A 时，求此时抛物线l 的函数关系式及点P 的坐标；(2)若存在一条新抛物线l ¢，它与抛物线l 的形状完全相同，只是开口方向相反，并且经过点A 和第（1）问中的点P ，求新抛物线l ′的函数关系式，并求出新抛物线l ¢的顶点坐标；(3)若抛物线l 经过△ABC 区域（含边界），请求出n 的取值范围．18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，﹣2）．(1)求此抛物线的解析式和对称轴．(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PAC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()30A -,和点()0,3C -．解答下列问题．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴的交点为E ，求线段BD 的长；(3)点F 在抛物线上运动，是否存在点F 使FAB V 的面积等于6？如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，说明理由．【能力提升】一、解答题1．（2022·福建省福州第十九中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c =-+与直线y =x +1交于点A 、C ．且点A 的坐标为（-1，0）．(1)求点C 的坐标；(2)若点P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值；(3)若点E 是抛物线上一点，点F 是抛物线对称轴上一点，是否存在点E 使以A ，C ，E ，F 为项点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标：若不存在，请说明理由．2．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）已知抛物线228y ax ax =--（0a ¹）经过点（2-，0）．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．(2)直线l 交抛物线于点A （4-，m ），B （n ，7），n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），求出点P 纵坐标的取值范围．3．（2022·云南·会泽县以礼中学校九年级阶段练习）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （-2，0）和点B （4，0），与y 轴交于点C （0，4）(1)求抛物线的解析式．(2)点D 在抛物线的对称轴上，求AD +CD 的最小值．(3)点P 是直线BC 上方的点，连接CP ，BP ，若△BCP 的面积等于3，求点P 的坐标．4．（2022·甘肃·武威第九中学九年级阶段练习）如图，已知抛物线2.y ax bx c =++与x 轴的交点坐标A (﹣4，0)，B (2，0)，并过点C (﹣2，﹣2)，与y 轴交于点D ．(1)求出抛物线的解析式；(2)求出△ABD 的面积；(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E ，使BE +DE 的值最小，如果有，写出点E 的坐标；如果没有，说明理由．5．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在抛物对称轴上找一点D，使∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；(3)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．6．（2022·福建·莆田二中九年级阶段练习）如图所示抛物线y＝a2x+bx+c由抛物线y＝2x﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位得到，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C，直线y＝kx+b过B、C两点．(1)写出平移后的新抛物线y＝a2x+bx+c的解析式；并写出a2x+bx+c＞kx+b时x的取值范围．(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形PO P¢C，那么是否存在点P，使四边形PO P¢C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？求此时点P的坐标和△PBC的最大面积．7．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝﹣1（x＋4）2，将此函数的图像2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度．(1)请写出平移后图像所对应的函数解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出平移后的图像；(3)根据所画的函数图像，写出当y＜0时x的取值范围．8．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2=+（a≠0）经y ax bx过原点，并交x轴正半轴于点A.已知OA=6，且方程29+=恰好有两个相等的实数根．ax bx(1)求该抛物线的表达式；(2)若将图象在x 轴及其上方的部分向右平移m 个单位交于点P ，B ，1B 是该图象两个顶点，若1PBB V 恰好为等腰直角三角形，求m 的值．9．（2022·全国·九年级专题练习）抛物线2(2)y a x =-的顶点为A ，与y 轴交于点(0,4)B .(1)求a 的值；(2)若将该抛物线向右平移6个单位，求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标.10．（2022·广东·华南师大附中模拟预测）如图，已知二次函数1L ：y =24x -3x +与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．(1)写出二次函数1L 的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)二次函数2L ：y =243kx kx -+()0k k ¹．①写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②若直线8y k =与抛物线2L 交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化? 如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．11．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级开学考试）抛物线2y ax ax b =-+交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边），交y 轴于C ，直线4y x =-+经过B ，C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，以点A 、C 、M 、N 为顶点，AC 为边的的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N 的坐标．(3)如图2，P 为直线BC 上方的抛物线上一点，PD ∥y 轴交BC 于D 点，过点D 作DE AC ^于E 点．设521m PD DE =+，求m 的最大值；12．（2022·福建·莆田第二十五中学九年级阶段练习）如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O ，且过点A (2，1)．(1)求出二次函数的表达式；(2)我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n 表示这条抛物线上所有的整点坐标．(3)过y 轴的正半轴上一点C (0，c )作AO 的平行线交抛物线于点B ，如果点B 是整点，求证：V OAB 的面积是偶数．13．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线()2211:1(1)12C y m x m x =-+-+-与x 轴有公共点．(1)当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；(2)将抛物线1C先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线2C（如图所示），抛物线2C 与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；(3)D为抛物线2C的顶点，过点C作抛物线2C的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线2C于点E，连接BE 交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．14．（2022·辽宁大连·九年级期末）抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 在抛物线上，且使∠MAP ＝45°，求点M 的坐标；(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y ＝x +4上移动，当平移后的抛物线与线段AP 只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．15．（2022·福建·福州立志中学九年级开学考试）如图，已知抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点，（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（-2，0）且对称轴直线1x =，直线AD 交抛物线于点D（2，m）(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上的一动点（点P和点A，B不重台），过点P作PE∥AD交BD于E，连接DP，当△DPE 的面积最大时，求点P的坐标；(3)在抛物线上对称轴上是否存在一点M，使△MAC的周长最小，若存在，请求出M的坐标．。