小学四年级奥数容斥问题

第十九讲容斥原理这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次（如图所示），计算人数的时候要把这一部分减去才行．比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是710314+-=人．这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图（如喝茶与喝咖啡的图），这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．№1. 简单容斥原理（两个对象）如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A +B 就会算多了，而多算的正好是③部分，只要把多算的减掉就可以了．上述分析总结成公式就是：这个公式就是两个对象．．．．的容斥原理． 既喝茶又喝咖啡的A例题1（1）一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么两者都喜欢吃的有多少人？（2）暑假里，小高和墨莫一起讨论金陵十八景．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小高去过其中的十二景，那么墨莫去过其中的几景？（3）在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．已知每个小朋友至少都看过其中的一部，那么有几个小朋友只看过这两部中的一部动画片？「分析」试着画一下文氏图分析一下吧！注意图中每一部分所代表的含义！练习1四年级同学参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀．其中语文成绩优秀的有42人，数学优秀的有56人，语文、数学都优秀的有15人，请问四年级共多少名同学？例题2渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了．请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？「分析」题目中既有参加长跑的，又有参加游泳的，作图时可以画两个圆，分别表示“游泳”和“长跑”．但条件中还有男生、女生，那男生、女生该怎么表示呢？练习2某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生．已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，请问只参加一科竞赛的女生有多少人？№2. 复杂容斥原理（三个对象）例题3三位基金经理投资若干支股票．张经理买过其中66支，王经理买过其中40支，李经理买过其中23支．张经理和王经理都买过的有17支，王经理和李经理都买过的有13支，李经理和张经理都买过的有9支，三个人都买过的有6支．请问：这三位经理一共买过多少支股票？ 「分析」我们还是画出文氏图来分析，题中的已知条件分别对应图中的哪个部分？怎样来求各个部分的数量呢？一定要记得将求出来的数及时填入图中适当的位置．怎么理解这个公式呢？我们还是利用文氏图来说明． 如图，我们在计算A B C++时，有一些部分被重复计算了：④、⑤、⑥被计算了两次，而⑦被计算了三次．因此我们需要把重复计算的去掉．需要注意的是，去掉A 、B 重叠，B 、C 重叠和A 、C 重叠的部分后，④、⑤、⑥重复计算的一次去掉了，但⑦被去掉了三次，还需要补上一次，这就得到了上面的公式．即把所有圆圈相加，减去两个圆圈重叠部分，再加上三个圆圈重叠的部分得到的就是总数．在使用这个公式时，请同学们一定要清楚公式中每一部分的含义，不能有丝毫的偏差．只有所有条件都和公式完全吻合时我们才能使用这个公式． 练习3卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖．已知三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米和27平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7平方分米，而第一块和第三块则重叠了4平方分米．如果三块重叠的部分等于2平方分米，那么这张桌子的面积是多少？B文氏图才是体现条件的最基本最直观的方法，但是我们要灵活选择，不能随便套用公式．我们要先理解图中各部分的含义，再来看相加时每个部分“包含”了几次，然后把算重的部分减去．例题4课间，王老师出了三道脑筋急转弯让学生做，其中只答对第1道题的人有10人，只答对第2道题的人有6人，只答对第3道题的人有4人．至少答对两道题的学生有8人，还有5名同学一道题也没答对．（1）请问王老师的班上有多少名学生？（2）若既答对第1道又答对第2道题的同学有4人，三道题都答对的有1人，那么答对第3道题的同学有多少人？「分析」画出三个对象文氏图，仔细找找题中所描述的条件分别对应图中的哪些部分？这里需要指出的是，我们要留意题中的一些说法，比如“至少答对一道题”对应的是图中的什么区域？“至少答对两道题”对应的是图中的什么区域？“只答对一道题”呢？练习4高思学校有学生1000人，现有《中国少年报》、《少年文艺》和《数学报》三种报刊，其中只订阅一种报刊的有600人，只订阅两种报刊的有200人，三种报刊都订阅的有50人，请问：这个学校有多少人没有订报？例题5四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的4倍，又是3项活动都参加人数的8倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的3倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．请问参加文艺小组的人数是多少？「分析」图中每一部分分别代表什么呢？题目给了几个倍数关系，我们不妨设份数计算一下．№3. 容斥原理中的最值问题例题6某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？「分析」题目要我们求至少有多少人三项都会，那么也就是要会只两项的尽量多，此时文氏图很难进行分析，不妨画一下线段图试试吧！课堂内外文氏图文氏图，也叫“维恩图”，是由英国著名数学家Venn发明的．维恩（John Venn，公元1834年8月4日─公元1923年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他1883年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”（Venn Diagram）．另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作——《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19世纪末20世纪初曾享有很高的声誉．除了数学以外，维恩还有一较特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在1909年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次．作业1. 一个班有50个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书．借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人．请问：语文、数学两种课外书都借的有多少人？2. 六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，请问两样都不会的有多少人？3. 许、王、原三位老师走进一家蛋糕店，发现这里的每一种糕点至少被她们中的一个人吃过．她们分别数了一下，许老师吃过其中的15种，王老师吃过其中的10种，原老师吃过其中的6种，有8种糕点许、王两老师都吃过，有5种糕点许、原两老师都吃过，有3种糕点王、原两老师都吃过，有2种糕点这三位老师都吃过．那么这个面包店有多少种糕点？4. 五年级共有110人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，58人参加了数学小组，至少参加2个小组的有80人，参加了三个小组的有20人．那么五年级有多少人没有参加小组？5．五年级共有150人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，30人只．参加了数学小组，既参加语文也参加英语小组的人有35人．那么五年级有多少人没有参加小组？第十九讲 容斥原理1. 例题1答案：6；11；17 详解：画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域． （1）3620506+-=人．（2）小高去过其中的12景，那么只有墨莫一个去过的景有18126-=景，墨莫共去过6511+=景．（3）这里要把重复的区域去掉两次才是只看过一部的，共有12218217+-⨯=人．2. 例题2答案：55详解：画出文氏图，游泳和长跑这两项比赛会有重叠，要区别游泳的男生和游泳女生，且这两部分不会重叠，这时我们用一条直线把一个区域分成两部分，这两部分没有重叠．如果不考虑性别，参加长跑比赛的人有15090240+=人，参加游泳比赛的人有12070190+=人．总人数是305人，那么游泳和长跑都参加的人有240190305125+-=人，其中男生有110人，那么两样都参加的女生有12511015-=人．那么只参加游泳的女生有701555-=人．此题的方法不唯一，也可以看图算出男生有120150110160+-=人，那么女生有305160145-=人．只参加游泳的人有1459055-=人．3. 例题3答案：96详解：首先画出文氏图，找到相应的数字所表示的区域．计算股票之和把张、王、李股票数相加664023129++=，其中129支股票中G 、E 、F 算了两次，H 算了三次．去掉这些重复计算的区域（G 、E 、F 去掉一次，H 去掉两次），1291713990---=，发现G 、E 、F 去掉了一次，但H 去掉了三次，最后还要把H 加上一次．90696+=90+6=96支．游泳长跑男生 女生 15090120 70110 305张66王40李231713 9 6 A B C E FGH4. 例题4答案：33人；9人详解：（1）难点是至少答对二道题的学生指的是哪个区域．至少答对二道题的区域是指这些重叠的区域A 、B 、C 、D ，那么王老师班上有10648533++++=人．（2）通过画文氏图，D =1，A =3， 835++=-=B D C ，答对第3道题的同学有549+=人．5. 例题5答案：24人详解：遇到倍数关系时，一般情况下设最小的为“1”，有倍数关系的就好办了．这里面设3项活动都参加的人数为“1”，那么文艺小组人数为“8”，既参加数学也参加文艺的人数为“2”，既参加文艺又参加语文小组人数为“3”．方法一：根据文氏图可求出总人数为2420"8""2""3"10"1"34"4"46++---+=+=，那么"1"3=人，文艺小组有"8"24=人．方法二：数学有24人参加，语文有20人参加，既参加数学又参加语文的有10人，所以参加语文和数学至少一门的人有24201034+-=人，那么只参加文艺的人有463412-=人，这部分人有"4"12=，"1"3=人，文艺小组有"8"24=人．6. 例题6答案：6根详解：要想三项都会的人尽量少，那么要让会游泳、骑自行车、乒乓球的人尽量分散开来．画图如下，最后可得至少有4名学生三项都会．第3道 第2道 10 64 BCA D第1道 数24语20文“8”“3”“2” “1”10 2748用直线长度表示会游泳的人数 ①7. 练习1答案：83简答：画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域．42561583+-=人．8. 练习2答案：70简答：如果不考虑性别，参加数学竞赛的人有12080200+=人，参加语文竞赛的人有80120200+=人．总人数是260人，那么数学和语文都参加的人有200200260140+-=人，其中男生有75人，那么两样都参加的女生有1407565-=人．那么只参加一科竞赛的女生有()()80651206570-+-=人．数学语文男生 女生80120120 8075 260 48272112②骑自行车的人数尽量不和游泳的人重复，故接着游泳的后面画2721481236 4 同理，会乒乓球的人可再接着骑自行车的人后面画 ③9. 练习3答案：89平方分米简答：三个对象容斥原理：403627574289++---+=平方分米．10. 练习4答案：150人简答：如图，只订阅一种报刊的是E 、F 、G 三部分，共600人；只订阅两种报刊的是A 、B 、C 三部分，共200分，三种报刊都订阅的是D ，有50人，所以订报刊的人一共有60020050850++=人，学校有一共有1000人，所以没有订报的人有1000850150-=人．11. 作业1答案：21简答：利用容斥原理，32395021+-=人．12. 作业2答案：19简答：先求出至少会一样的人数，再求两样都不会的人数．()461417419-+-=人．13. 作业3答案：17简答：利用三个对象之间的容斥原理，共()151********++-+++=种糕点．14. 作业4答案：9简答：根据容斥原理，共有()11092515880209-++--=人．15. 作业5答案：12人简答：画出文氏图，先求出至少参加一个小组的人数．至少参加一个小组的人有92513035138++-=人．一个小组都没参加的有15013812-=人．数学报 文艺 E F G B C A D 少年报。

四年级奥数专题第26讲容斥问题例1一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。

这个班语文、数学作业都完成的有多少人？例2某班有36个同学，在一次测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

有多少个同学两题都没有答对？例3某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？例4在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？例5光明小学举办学生书法展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？习题1.五年级有122名学生参加语文、数学考试，没人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？2.四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？3.学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。

这个文艺组一共有多少人？4.五年一班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加？5.一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两中报纸都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人？6.某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有多少人？7.一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？8.一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。

容斥问题（一）容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理，也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。

这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分类与性质b分类（如图1），那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。

例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人，订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人。

（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人？例2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有4人，两样都会的有多少人？例3．在1到100的全部自然数中，既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例4．艺术节那天，学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的，有21幅画不是六年级的，五、六年级参展的画共有8幅。

其他年级参展的画共有多少幅？练习与思考1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图6），已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？2．二（2）班有50名学生，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4名，两样都会的有多少名？4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖的，两项比赛都没获奖的有多少人？5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组，23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了，那么，有多少人两个小组都没有参加？6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都答错。

小学四年级奥数题：容斥问题
容斥原理是四年级奥数中的难题之一，那么这类型的题目应该如何解决呢下面就是小编为大家整理的容斥的四年级奥数题目，希望对大家有所帮助!
习题一
有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。

问绳子共被剪成了多少段。

解答：1-180中，3的倍数有60个，4的倍数有45个，而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数，这样的数有180÷12=15个。

注意到180厘米处无法标上记号，所以标记记号有：(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，绳子被剪成90段。

习题二
有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。

问绳子共被剪成了多少段。

解答：1-180中，3的倍数有60个，4的倍数有45个，而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数，这样的数有180÷12=15个。

注意到180厘米处无法标上记号，所以标记记号有：(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，绳子被剪成90段。

四年级容斥原理奥数题练习四年级容斥原理奥数题练习练习一1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人?2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人?3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。

这个文艺组一共有多少人?例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对?分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25-15=10人。

又已知答对第二题的有23人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10+23=33人。

所以，两题都答得不对的有36-33=3人。

练习二1，五(1)班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加?2，一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人?3，某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果3人两项比赛都获奖了，有27人两项比赛都没有获奖。

已知作文比赛获奖的有14人，问数学比赛获奖的有多少人?例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?分析与解答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56-25=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：28+27-31=24人。

四年级奥数第29讲容斥问题(wèntí)（教师版）教学目标λ了解容斥原理二量重叠(chóngdié)和三量重叠的内容λ掌握容斥原理(yuánlǐ)在组合计数等各个方面的应用知识梳理一、两量重叠(chóngdié)问题在一些(yīxiē)计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：,则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理．图示如下:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为：,即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B,即阴影面积．1．先包含——重叠部分A B计算了次,多加了次；包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合的并集的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B、的元素个数,然后加起来,即先求A B+(意思是把、的一切元素都“包含”进来,加在一起)；A B第二步：从上面(shàng miɑn)的和中减去交集的元素个数,即减去(意思是“排除”了重复(chóngfù)计算的元素个数)．二、三量重叠(chóngdié)问题A类、B类与C类元素(yuán sù)个数的总和类元素(yuán sù)的个数类元素个数类元素个数既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：．图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．1．先包含：重叠部分A B、、重叠了2次,多加了1次．2．再排除：在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．典例分析考点一：两量重叠问题、1实验小学四年级二班例参加语文兴趣小组的有参加数学兴趣小组的有,人,人,人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组有?【解析(jiě xī)】如图所示,A圆表示(biǎoshì)参加语文兴趣小组的人,B圆表示参加(cānjiā)数学兴趣小组的人,A与B重合(chónghé)的部分C(阴影(yīnyǐng)部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人,有(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人,有(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：(人)．方法二：根据包含排除法,直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人,即：(人)．例2、对全班同学调查发现,会游泳的有人,会打篮球的有人．两项都会的有人,两项都不会的有人．这个班一共有多少人?【解析】如图,用长方形表示全班人数,A圆表示会游泳的人数,B圆表示会打篮球的人数,长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出,全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数,至少会一项的人数为：(人),全班人数为： (人)．例3、在人参加的采摘活动中,只采了樱桃的有人,既采了樱桃又采了杏的有人,既没采樱桃又没采杏的有人,问：只采了杏的有多少人?【解析(jiě xī)】如图,用长方形表示全体(quántǐ)采摘人员46人,A圆表示采了樱桃(yīng táo)的人数,B圆表示(biǎoshì)采了杏的人数．长方形中阴影(yīnyǐng)部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出,全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和,则至少采了一种的人数为：(人),而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数,所以,只采了杏的人数为：(人)．例4、育才小学画展上展出了许多幅画,其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级的,五、六年级共展出25幅画,其他年级的画共有多少幅?【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道,五年级和其他年级的画作数量之和是16,通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的画比六年级多1幅,我们还知道五、六年级共展出25幅画, 进而可以求出五年级画作有13幅,六年级画作有12幅,那么就可以求出其他年级的画作共有3幅．考点二：三量重叠问题例1、全班有25个学生(xuésheng),其中(qízhōng)人会骑自行车,人会游泳(yóuyǒng),人会滑冰(huá bīng),这三个运动(yùndòng)项目没有人全会,至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了,但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格,那么, （1）数学成绩优秀的有几个学生?（2）有几个人既会游泳,又会滑冰?【解析】（1）有6个数学不及格,那么及格的有：(人),即最多不会超过人会这三项运动之一．而又因为没人全会这三项运动,那么,最少也会有：(人)至少会这三项运动之一．于是,至少会三项运动之一的只能是19人,而这19人又不是优秀,说明全班25人中除了19人外,剩下的6名不及格,所以没有数学成绩优秀的．（2）上面分析可知,及格的19人中,每人都会两项运动；会骑车的一定有一部分会游泳,一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰,而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳,但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以,全班有(人)既会游泳又会滑冰．考点三：图形中的重叠问题例1、把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长厘米,焊接后这根铁条有多长?【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后这根铁条长(厘米)．例2、两张长4厘米,宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?【解析(jiě xī)】两个长方形如图摆放(bǎi fànɡ)时出现了重叠(见图中的阴影部分), 重叠部分(bù fen)恰好是边长为2厘米(lí mǐ)的正方形,如果(rúguǒ)利用两个的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以,被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是,被覆盖面积(平方厘米)．例3、三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图),三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少?【解析】将图中的三个圆标上A、B、C．根据包含排除法,三个纸片盖住桌面的总面积=(A圆面积B+圆面积A与B重合部分+圆面积C面积与C重合部分面积B+与C重合部分面积三个纸片共同重叠的面积, 得：与B重合部分面积A+与C重合部+与C重合部分面积B分面积,得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：平方厘米,而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和,即：阴影部分面积,则阴影(yīnyǐng)部分面积为：(平方厘米)．考点(kǎo diǎn)四：容斥原理在数论(shùlùn)问题中的应用例1、在的全部(quánbù)自然数中,不是(bùshi)3的倍数也不是的倍数的数有多少个?【解析】如图,用长方形表示1~100的全部自然数,圆表示1~100中3的倍数,B圆表示1~100中5的倍数,长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由可知,1~100中3的倍数有个；由可知,1~100中5的倍数有20个；由可知,1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法,3或5的倍数有：(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有(个)．考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中,然后把每个圆内的7个数相加,最后把四个圆的和相加,问：和最大?是多少最中心的区域被重复计算四次,将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中,最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.实战演练➢课堂(kètáng)狙击1、一个班有48人,班主任在班会上(huìshànɡ)问：“谁做完语文(yǔwén)作业?请举手！”有37人举手。

小学奥数趣味学习《容斥问题》典型例题及解答容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。

数量关系:A∪B = A+B - A∩BA∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C解题思路和方法:先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

可画文氏（韦恩）图来解题。

例题1：有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。

钉成的木板长 _____ 厘米。

解：1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。

解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。

2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。

例题2：有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（）厘米。

A、2B、4C、8D、16解：1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。

孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考，没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。

2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。

选择B。

例题3：某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？解：根据题意画图2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。