2016届湖北省孝感高级中学高三4月调考数学(文)试题 word版
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孝感高中2016届高三4月调考数学（文）试题命题人： 考试时间：120分钟 分值：150分第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．设集合{|12},{|}A x x B x x a =≤≤=≥，若A B ⊆，则a 的取值范围是A ．1a <B ．1a ≤C ．2a <D ．2a ≤2．已知向量(1,cos ),(2cos ,1),//a b a b θθ==，则cos 2θ等于A ．-1B ．0C ．12D 3．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若129m a a a a =+++ ，则m 的值为 A ．37 B ．36C ．20D ．194. 已知110,a b<< 则下列结论不正确．．．的是 A ．22a b <B ．2ab b <C ．2a bb a+> D ．||||||a b a b +>+ 5．设0.61.50.60.6,0.6, 1.5a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a << 6．已知函数()sin(),()cos()22f x xg x x ππ=+=-，则下列结论中正确的是 A ．函数()()y f x g x =⋅的最小正周期为2π B ．函数()()y f x g x =⋅的最大值为1 C ．将函数()y f x =的图像向右平移2π个单位后得到()y g x =的图像 D ．将函数()y f x =的图像向左平移2π个单位后得到()y g x =的图像7．等比数列{}n a 中，562,5a a ==，则数列{lg }n a 的前10项的和为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．已知0,0,lg 2lg8lg 2xyx y >>+=，则113x y+的最小值是A ．4B ．3C ．2D ．19．已知函数22sin ,()cos(),x x f x x x α⎧+⎪=⎨-++⎪⎩00x x ≥<([0,2)απ∈）是奇函数，则α= A ．0 B ．2πC ．πD ．32π10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且2n a n λ=+，若数列{}n S 在7n ≥时为递增数列，则实数λ的取值范围为 A ．(15,)-+∞ B ．[15,)-+∞C ．[16,)-+∞D ．(16,)-+∞11．设9()93x x f x =+，若122014()()()201520152015S f f f =+++ ，则S =A ．1005B ．1006C ．1007D ．100812．定义在(0,)2π上的函数()f x ，'()f x 是它的导函数，且恒有()'()tan f x f x x <成 立，则A()()63f ππ<B ．(1)2()sin16f f π<C ．()()64f ππ> D()()43ππ>第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．函数222, x 1()32,1x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点的个数是 .14．若不等式1|2|||a x x-≤+对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的最大值是 . 15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0．6180339887．人们称该数列{}n a 为“斐波那契数列”，若把该数列{}n a 的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{}n b ，在数列{}n b 中第2015项的值是 .16．如右图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，则OB OC⋅的最大值是 .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos CA =. （I ）求角A 的值；（II ）若角,6B BC π=边上的中线AM =b .18．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,21n n a a S +==+，数列{}n b 为等差数列，且353,7b b ==. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）若对任意的*1,()2n n n N S k b ∈+⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本小题满分12分）某社区有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时. （I ）设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g(x )元(15≤x ≤40).试求f(x)和g(x ). （II ）问：小张选择哪家比较合算？为什么？20．（本小题满分12分）已知0a >,函数()ln 1af x x x=+-,()()ln 1x g x x e x =-+(其中e 为自然对数的底数).（I ）判断函数f(x)在],0(e 上的单调性;（II ）是否存在实数),0(0+∞∈x ,使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在,求出0x 的值;若不存在,请说明理由.21．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为(1,0)F ，点P 是点F 关于y 轴的对称点，过点P 的直线交抛物线于,A B 两点．（I ）试问在x 轴上是否存在不同于点P 的一点T ，使得,TA TB x 与轴所在的直线所成的锐角相等？若存在，求出定点T 的坐标；若不存在，请说明理由；（II ）若AOB ∆的面积为52，求向量,OA OB 的夹角．22．（本小题满分10分）已知函数()|||3|,f x x a x a R =+-+∈. （I ）当1a =时，解不等式()1f x ≤；（II ）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.数学（文科）答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D2.D3.A4.B5.D6.D7.A8.D9.A 10.C 11. D 12.A 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分. 13．④ 14.1 15.10[2,]3 16.),34(+∞ 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解: (Ⅰ)2122cos 12sin 2321cos 2sin 23)(2---=--=x x x x x f 1)62sin(--=πx 由]125,12[ππ-∈x ，∴26x π-∈2[,]33ππ-,()12x f x π∴=-的最小值为13x π-=,()f x 的最大值是0.(2)由0)(=C f 即得()sin(2)106f C C π=--=，而又(0,)C π∈，则112(,),266662C C πππππ-∈-∴-=，∴3C π=，由22222222cos 3b ab ac a b ab C a b ab ==⎧⎧⎨⎨=+-=+-⎩⎩即 解得1,2a b ==. 18.【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由37a =，5726a a +=，得：112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：13,2a d ==，∴32(1)n a n =+-，即21n a n =+， ∴21()(321)222n n n a a n n S n n +++===+，即22n S n n =+. （2）22441111(21)1(1)1n n b a n n n n n ====--+-++， ∴11111111223111n nT n n n n =-+-++-=-=+++ . 19.【答案】(1)证明：正方形ABEF 中，AF⊥AB，∵平面ABEF⊥平面ABCD ，又AF ⊂平面ABEF ， 平面ABEF ⋂平面ABCD=AB ， ∴AF⊥平面ABCD ． 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴AF⊥BD．又AD BD ⊥，AF ⋂AD=A ，AF 、AD ⊂平面ADF,∴⊥BD 平面ADF ． (2)解：当N 为线段EF 中点时，MN∥平面ADF ． 证明如下：正方形ABEF 中，NF //21BA ，平行四边形形ABCD 中，MD //21BA ， ∴NF //MD ，∴四边形NFDM 为平行四边形，∴MN//DF ．又DF ⊂平面ADF ，MN ⊄平面ADF ，∴MN//平面ADF ， 过D 作DH ⊥AB 于H ， ∵平面ABEF⊥平面ABCD ，又DH ⊂平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD=AB ， ∴DH⊥平面ABEF ．在Rt ∆ABD 中，AB=2，BD=AD ，∴DH=1， 所以11111123323N ADF D ANF ANF V V DH S --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=． 20【答案】(1)函数x x a ax x f ln )()(++-=22的定义域是），（∞+0.当0>a 时,)0(1)2(21)2(2)('2>++-=++-=x xx a ax x a ax x f令0)('=x f ,即0)1)(12(1)2(2)('2=--=++-=x ax x x x a ax x f , 所以21=x 或a x 1=. 当110≤<a ,即1≥a 时,)(x f 在上单调递增,所以)(x f 在上的最小值是2)1(-=f ; 当e a <<11时,)(x f 在上的最小值是2)1()1(-=<f af ,不合题意; 当e a≥1时,)(x f 在(1,e)上单调递减, 所以)(x f 在上的最小值是2)1()(-=<f e f ,不合题意，综上：1≥a()()()()()222222()()+2,()ln .()0+121()=210()=0,()0+0()00+0+,2101210,14=（）设则只要在，上单调递增即可，而当时，此时在，上单调递增，当时，只要在，上恒成立，，只要恒成立，又函数过定点，对称轴只需g x f x x g x ax ax x g x ax ax g x ax a x x a g x g x xa g x x ax ax y ax ax x a ==-+∞-+'-+='=>∞'≠≥∞∈∞-+≥=-+=∴∆- 80,08.08.即综上得：a a a ≤<≤≤≤ 21.【解析】222101;011,2, 1.2（）在直线中令得令得椭圆的方程为：x -y +1=0x y y x x c b a y ====-∴===∴+=(2)①()()1,0,1-2由M 得中点坐标为，，N k ⎛⎫-∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ②：将直线PA 方程y kx =代入2212x y +=，解得x =m =，则(,)P m mk ，(,)A m mk --，于是(,0)C m ，故直线AB 方程为0()()2mk ky x m x m m m +=-=-+，代入椭圆方程得22222(2)240k x k mx k m +-+-=，由2222B A k m x x k +=+，因此2322(32)(,)22m k mk B k k +++(2,2)AP m mk ∴= ，2322222(32)22(,)(,)2222m k mk mk mkPB m mk k k k k +-=--=++++ 2222222022mk mkAP PB m mk k k -∴=⨯+⨯=++ PA PB ∴⊥21题0000110010110010222200101110010010(,),(-,-),(,),(,0),,21,121212()12()另解：设则三点共线，又，相减得：PB PA PB P x y A x y B x y C x y y y y A B C x x x x x x y x x x y k y y y x x k k x y y +∴==-+++=+==-+⎡⎤+=-=-⎢⎥+⎣⎦ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 【答案】(1)证明:如图,设F 为AD 延长线上一点,∵A ､B ､C ､D 四点共圆.∴∠CDF=∠ABC, 又AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF,即AD 的延长线平分∠CDE, (2)设O 为外接圆圆心,连接AO 交BC 于H, ∵△ABO ≅△ACO, ∴∠BAO =∠CAO,即AO 为等腰三角形△ABC 中∠BAC 的角平分线，则AH⊥BC, 连接OC,由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°, ∴∠OCH=60°,设半径为r,则1=+得r=1, ∴外接圆面积为π 23.24.当421<≤-x 时，()214330f x x x x =++-=->,得1x >，所以14x <<成立. 当21-<x 时, ()50f x x =-->,得5x <-,所以5x <-成立. 综上，原不等式的解集为{}1,5x x x ><-或（2）()342124f x x x x +-=++-9|)82(12|=--+≥x x 当时等号成立421≤≤-x 所以9m ≤。
