三角形面积公式的另类推导方法

三角形面积公式的另类推导方法
在讲单位换算时时常强调，一平方米即边长为一米的正方形的面积。

转而又想，能否以此定义为基础，导出三角形的面积等于底乘高除以2呢？仔细想想，确实可行。

过三角形A的两个顶点作各自对边的平行线，可得一与之全等的三角形和一由此两全等三角形组成的平行四边形B。

显然，平行四边形B的面积是三角形A的面积的两倍。

过平行四边形B的任一边的两个顶点作其对边的高，可得一矩形C。

由这两条高与各自的邻边所围成的两个直角三角形全等，可推知矩形C与平行四边形B的面积相等。

这样，三角形A的面积就等于矩形C的一半。

因此，问题也就转化为证明矩形的面积等于两邻边边长的乘积。

若矩形C的两邻边的边长分别是单位长一米的m与n倍（注：m、n与下文中的p、q均为自然数），则将此两条邻边分别均分m 与n等份。

过这两条邻边的这些等分点作各自对边的垂线。

显然，这些垂线将矩形C分成mn个边长为一米的正方形。

由一平方米的定义可推知，矩形C的面积等于两邻边边长的乘积。

若矩形C的两相邻边边长分别为一米的m与n分之一，则可将边长为一米的正方形的两邻边分别均分为m与n等份。

过这两条邻边的这些等分点作各自对边的垂线。

显然，这些垂线将此正方形分成mn个小矩形，所有的小矩形都与矩形C全等。

这样，矩形C的面积就等于一平方米的mn分之一，因而也就等于矩形C的两相邻邻边边长的乘积。

将上述两种情形结合起来，不难导出两邻边边长分别为单位长一米的m/p与n/q倍的矩形C的面积计算公式。

具体地讲，先将矩
形C的两邻边各自均分m与n等份，再过各自的等分点作对边的垂线。

这些垂线将矩形C分为mn个邻边边长分别为单位长一米的p 与q分之一小矩形。

由于小矩形的面积等于一平方米的pq分之一，故矩形C的面积为一平方米的mn/pq倍。

这样，矩形C的面积也就等于其两相邻邻边边长的乘积。

若矩形C的两相邻邻边之一或两者的长度均为单位长一米的无理数倍，则由任何一个无理数都可用一组有理数无限逼近可推知，矩形C也可用一组边长为单位长一米的有理数倍的矩形逼近。

这样，矩形C的面积也就也等于其两相邻邻边边长的乘积。

后记：
物理学是建立在测量的基础上的。

测量是将待测量与标准量进行比较的过程，测量结果的含义即为待测量是标准量的多少倍。

与之相类似，数学也应可建立在度量的基础上。

基于这样的一种想法，我就试着以面积的度量单位为基础导出三角形的面积公式。

在导出了三角形的面积公式后，我想依此类推应当可以导出锥体体积的计算公式。

在推导锥体体积的过程中，突然想起了祖暅原理。

运用比例相关的知识与祖暅原理，不难导出锥体体积公式。

进一步将三角形的面积公式与祖暅原理对照起来看，发现在某种意义上讲，前者可视作二维情形下祖暅原理的一个推论。

将任一三角形与一与之等底等高的直角三角形放在一起，使它们的底边处在同一直线上。

过直角三角形斜边上的任一点作底边的平行线，由比例知识可知，此线被上述的两个三角形所切割得的两线段相等。

由祖暅原理可知，上述的两个三角形的面积相等。

这样，就可由直角三角形的面积公式导出一般三角形的面积公式。

由三角形面积公式含系数1/2，三维锥体体积公式含系数1/3，
很容易猜想出n维锥体体积公式应含系数1/n。

后一点由微积分不难得到。

这里非常有意思的一点是，利用上述结论可导出正n体（注：正2体即二维空间上正方形，正3体即三维空间上的正方体，依此类推正n体即n维空间上的“正方体”）有多少个“侧面（注：正2体的侧面即其四边，正3体的侧面即其上下左右前后的六个正2体，依此类推，正4体的各个侧面即其侧的各个正3体）”。

为简明起见，考虑边长为1的正n体。

显然，其中心点到其各个侧面的距离为1/2。

这样，由其中心点与其任一侧面所连接而成的n维锥体的体积为1/2n。

因为所有的这样的n维锥体的总体积为1，所以这样的n维锥体的总数为2n。

这样，一个正n体所拥有的侧面的总数为2n。

换句话讲，一个正n体是由2n个正n-1体围成的。

一个正n体有2n个“侧面”其实是很“显然”的事。

因为每一维都有“前后”或“左右”或“上下”两个侧面，所以正n体就有2n个“侧面”。

由此结论再结合“伸缩版”的祖暅原理，也可以导出一般n维锥体的体积计算公式。

设待求体积的n维锥体“底面”上的高为h，“底面”的“面积”为S。

为求其体积，可先取一边长为2h的正n体。

显然，所取的正n体的体积为(2h)n，各个侧面的“面积”为(2h)n-1。

由正n体有2n个“侧面”可知，若将此正n体的中心与其各个侧面连接起来，即可将此正n体均分为2n个全等的n维锥体，每个锥体的高均为h，体积均为(2h)n／2n。

这样，这些分割来的n维锥体的体积就都等于它们的“底面积”与高的乘积的1／n。

现将这样分割而来的一个n 维锥体与待求体积的n维锥体一起“平”放在同一“平面”。

因二者的高相等，所以若沿二者之中的一条高上的任一点作“底面”的
“平行面”，则此“平行面”在上述的二锥体上所截得的两部分的“面积”之比就等于二者的“底面积”之比。

因为所有的“等高面”上的“截面面积”之比都等于“底面积”之比，所以由“伸缩版”的祖暅原理即推知此二锥体的体积之比就等于二者的“底面积”之比（旁白：在微积分中有这样的一个定理，若一个被积项始终等于另一个被积项的c倍，则其累积后的值也等于后者累积后的值的c倍，此即笔者所谓的“伸缩版”的祖暅原理。

在刚才的论述中是利用高相等，通过“水平伸缩”导出一般n维锥体的体积。

其实，也可利用“底面积”相等，通过“竖直伸缩”导出一般n维锥体的体积。

这两种方法之所以等效，是因为多重积分的求和顺序是可换的。

将二者结合起来，即在“水平”与“竖直”两个方向同时伸缩，那从单位边长的正n体的体积出发也可导出一般n维锥体的体积计算公式。

）。

这样，一般的n维锥体体积也就等于其“底面积”与高的乘积的n分之一。

下面再来看看一个正n体有多少个顶点有多少条边。

正2体有4个顶点，正3体比正2体多一个与之相垂直的维度。

与这一维度相对应的“前后”两个“侧面”各有4个顶点，故正3体共有2×4个顶点。

依此类推，由数学归纳法即可导出正n体共有2n个顶点。

将顶点坐标化也可导出正n体的顶点个数。

建立一个平面直角坐标系。

显然点（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）为一单位边长的正2体的4个顶点。

增加一个与之垂直的维度，此4点（第3个分坐标均为0）与它们沿所添加的维度正向平移一个单位长所得的4点（第3个分坐标为1）显然为一单位边长的正3体的8个顶点。

再增加一个与此三维空间相垂直的第四个维度，此8点
（第4个分坐标均为0）与它们沿第四个维度正向平移一个单位长所得的8个点（第4个分坐标为1）显然为一单位边长的正4体的16个顶点。

依此类推，由于n维空间共有n个分坐标，而利用上述方法所构造出的正n体的顶点的分坐标显然都有且只有两种可能性，即要么为0要么为1，故而顶点的总数为2n。

再看边数。

因为正n体的每个顶点都是n条边的公共顶点（因为是n维，所以每个顶点都是n条边的交点），且每条边都有且仅有两个顶点，所以正n体的总边数为n2n-1。

这一结论也可利用递推关系得到。

正n体有a n条边。

由正n体共有2n个顶点，结合前述的由正n 体构造正n+1体的过程不难得到下述的关系式：
由n＝1、2、3、4时的a n值很容易猜测出a n＝n2n-1，再利用数学归纳法证明即可。

事实上，笔者最开始就是利用这种方法得到此式的。

回头再仔细审视所得到的正n体的顶点、“侧面”与边的计算公式，特别令人感到惊奇的是，所有的这些公式不仅对1维空间成立，而且也适用于0维世界。

事实上，结合正n体的构造过程不难看出，n维空间确实可以由0维空间一步一步地拓展出来。