微积分的历史发展顺序与理论发展顺序的区别

费马在推导求面积的公式时，发现当 n 为 无穷大时，包含的 1/n 和 1/n2 项可以忽略不计。 卡瓦列里将上面讨论的面积看成无限多个他称 之为不可分量（牛顿称之为终结不可分量）的 总和。这个终结不可分量到底是什么？当时没 有人能将它说清楚。牛顿后来甚至重申他已经 放弃了终结不可分量，而卡瓦列里只是说，把 一块面积分割为越来越小的小矩形时，最终就 会得到终结不可分量，面积就是由这些终结不 可分量组成的。
终结不可分量后来发展为无穷小量。
这里的问题是，当把非均匀变化的问题 看成均匀变化时，能表示为两个量的积的形 式，则此时处理非均匀变化问题，可以采 用 ……？？？
用什么方法？我们以后再慢慢讲。 它是积分学的问题。
牛顿与莱布尼茨
实际上在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之 前，微积分的大量知识已经积累起来了。甚至在巴 罗的一本书里就能看到求切线的方法、两个函数的 积和商的微分定理、x 的幂的微分、求曲线的长度、 定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等。
费马研究的一个问题
假设一个小球正向地面落去，我们想知道下落后 第 4 秒时小球的速度（瞬时速度）。
如果我们考虑用小球下落中时间间隔来代替时 刻，用它在这一段时间间隔内下降的距离除以所用时 间，就得到这一间隔中小球的平均速度。我们可以计 算从第四秒起，间隔为 1/2 秒，1/4 秒，1/8 秒，…… 内的平均速度。显然，时间间隔越短，计算出来的平 均速度就越接近第四秒时的速度。这就是说，我们有 了一个方案：首先计算不同时间间隔内的平均速度， 然后研究当时间间隔越来越小时，它们会趋近于哪一 个数。这个数就是要求的小球在第四秒时第瞬时速 度。
费马推导的问题所在
费马一直没能证明他所做的这些，也 没有把这项工作非常深入地进行下去，但 他坚信最终可以得到一个合理的几何证明。 尽管如此，事实上我们必须承认他是微积 分学的创始人之一。

微积分的历史微积分真正成为一门数学学科，是在十七世纪，然而在此这前微积分已经一步一步地跟随人类历史的脚步缓慢发展着。

着眼于微积分的整个发展历史，在此分为四个时期：1.早期萌芽时期。

2.建立成型时期。

3.成熟完善时期。

4.现代发展时期。

早期萌芽时期：1、古西方萌芽时期：公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想，尽管不是很明显。

公元前三世纪，伟大的全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了抛物线弓形、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的公式，其穷竭法就类似于现在的微积分中的求极限。

此外，他还计算出Π的近似值，阿基米德对于微积分的发展起到了一定的引导作用。

2、古中国萌芽时期：三国后期的刘徽发明了著名的“割圆术”，即把圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆周长及面积的方法。

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

”不断地增加正多边形的边数，进而使多边形更加接近圆的面积，在我国数学史上算是伟大创举。

另外在南朝时期杰出的祖氏父子更将圆周率计算到小数点后七位数，他们的精神值得我们学习。

此外祖暅之提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”，即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。

祖暅之利用牟合方盖（牟合方盖与其内切球的体积比为4：Π）计算出了球的体积，纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。

建立成型时期：1.十七世纪上半叶：在这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决速度、极值、正切、面积等问题，尤其是描述运动和变化的无穷小算法，在较短的时间内取得了很大的进步。

天文学家开普勒发现了行星运动三定律，利用无穷小求和的思想，得出曲边面积和旋转体体积。

意大利数学家卡瓦列里利用无分法的幂函数积分公式，同时发现了卡瓦列里原理(祖鲁原理)。

微积分的历史与发展微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化和连续性的数学分支。

微积分的历史可以追溯到古希腊时期，而其发展经历了许多重要的里程碑。

本文将介绍微积分的历史与发展，从古代到现代逐步展开，帮助读者了解该学科的演进过程。

古代的微积分先驱们展示了对变化的基本理解。

在古希腊，数学家Zeno of Elea以悖论而闻名，他提出了无限可分割的运动悖论。

这种思想激发了人们对变化和连续性的思考，并为后来微积分的发展奠定了基础。

进入17世纪，微积分的概念正式开始形成。

众所周知的牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的创始人。

牛顿以其经典力学和引力定律的发现而著名，而莱布尼茨则发明了微积分符号和符号推导法。

他们的贡献为微积分奠定了坚实的数学基础，并将其应用于物理学和其他学科的发展中。

随着时间的推移，微积分得到了持续的发展和改进。

18世纪和19世纪，欧洲的数学家们继续推动微积分领域的研究。

拉格朗日、欧拉、高斯等数学家们为微积分理论提供了许多重要的贡献。

他们的研究使微积分得以从几何学的观点转向更加抽象和符号化的方法，这为后来微积分的发展提供了重要的基础。

20世纪，微积分进入了现代阶段，特别是与数学分析的发展相结合。

数学家们进一步探索了微积分的基础，发展了更加严格和深入的理论和方法。

对于微分学和积分学的理论基础的巩固和完善，使得微积分在数学和应用领域中的地位更加牢固。

在现代应用中，微积分广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学等学科。

例如，在物理学中，微积分被用于描述物体的运动、力学和量子力学等领域。

在工程学中，微积分为电路、信号处理和结构设计等提供了数学工具。

在计算机科学中，微积分为算法和数据分析提供了基础。

在经济学中，微积分被用于经济模型的建立和分析。

总结起来，微积分的历史与发展经历了漫长的过程，从古代的思考和猜测，到牛顿和莱布尼茨的创立，再到现代的深入研究和应用拓展。

微积分不仅是数学领域中的重要学科，也是许多其他学科中的基础和工具。

微积分的产生——划时代的成就.1 微积分思想的萌芽1.1 古希腊罗马——微分、积分思想的发源地原子论朴素的微分和积分思想.古希腊的原子论者具有朴素的微分和积分思想，该学派的创始人是留基伯(Leucippcus of Miletus)，代表人物则是百科全书式的学者德漠克利特(Democritus of Abdera).原子论者把宇宙间的万物看成由不可再分的原子构成，以及原子虽然不能再分但仍有内部结构的思想，表现在数学上就是对于表示有限的长度、面积和体积的量x ，进行了一次微分(dx)和二次微分(dx 2). 德漠克利特曾用原子论思想第一次算出圆锥和棱锥的体积分别等于和它们同底同高的圆柱和棱柱体积的三分之一.极限法的早期形式穷竭法.为了计算曲边形的面积和体积，欧多克斯（Eudoxus of Cnidos ）曾提出了一个计算方法，这个方法在17世纪时被人称为“穷竭法”.用现代的符号表示就是：如果对于任意的正整数n ，等式k b a nn =（常数）成立，且当n →∞时，A a n →，B b n →，则有k BA =.他用这个方法证明了德漠克利特已得出的求圆锥和棱锥体积的公式.阿基米德(Archimedes)对穷竭法也作出了重要贡献，他在《圆的度量》、《论圆柱和球》、《抛物线求积》、《论螺线》等著作中，应用了穷竭法，并引用了近似现代微积分中的“大和”与“小和”概念.并且他用这种方法计算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积以及一些旋转体的体积等数学问题.芝诺的拟难.芝诺(Zero of Elea)是古希腊爱利亚学派的代表人，他虽然不是一个科学家，更谈不上是一位数学家，但他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场，客观上把微积分中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，对微积分发展有一定的影响.其中“二分法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题，比如，收敛的无穷级数，虽有无穷多项，但其和仍为有限的；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一时刻不仅有速度，而且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关.1.2 阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究在整个中世纪，希腊文化遗产在某种程度上是由逐渐缩小的、以君士坦丁堡为中心的拜占庭帝国保存下来的.但是，在黑暗时代的几个世纪中，有效地利用这些遗产，并且最后把它们输送到西欧去的，却是地中海地区的阿拉伯政权.代数和三角学的确立.从7世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到8世纪，它已成为一个地跨亚、欧、非三洲，阿拉伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，政府组织人力进行天文观测，编制星表，集中学者翻译和注释希腊罗马古典名著.正当欧洲处在黑暗时期，“阿拉伯数学”却成了这时期西方科学的代表.希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯人”的工作才得以保存下来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一.不仅如此，阿拉伯也是东西科学文化交流的桥梁，今天通行的“印度—阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明”等，都是通过阿拉伯从东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创造了重要条件.有继承才有发展，阿拉伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造.代数和三角学的确立就是他们对数学所做出的贡献.对无限和运动的研究.这一时期，除了“印度—阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角学已经确立以及数学符号化已有端倪外，对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数学家们注意的中心.例如德国的红衣主教库萨的尼古拉，把圆与三角形分别看成边数最多和边数最少的多边形，把无限大和零分别看成自然数的上界和下界.他还说尽管“世界不是无限的，但毕竟不能认为它是有限的，因为世界没有一条把它包围起来的界限”，这表明了他把无限看作一个过程的潜无限思想.14世纪英国很有声誉的数学家苏依塞斯的重要著作《算术》中，已有变量、极大和极小概念的原始形式，预示了变数和导数即将进入数学领域.他所使用的“流数”、“流量”等概念，被300年后的牛顿所采用.在无限问题上他指出，要解决所有关于无限的诡辩，只要认识到有限和无限不能有它们的比就行了，这是关于对有限和无限应有不同的论证的最早认识.1.3 古代中国——面积、体积与极限思想的丰富简单几何图形面积和体积的计算.在微积分的发展历史上，对任意封闭的平面曲线围成图形面积的计算，和任意封闭的空间曲线包围立体图形体积的计算，是产生积分概念的主要途径之一.计算面积和体积可以追溯到原始农业社会，根据我国甲骨文记载，约在300年以前的殷代，就把耕种的土地分成方形小块以求面积.积分概念就是在初等几何计算面积和体积的基础上逐渐形成的.《庄子》和《墨经》中的极限思想.极限概念是微积分区别于初等数学的特有概念，没有极限概念就没有现代的微积分.战国时代的《庄子·天下篇》中，有不少极限思想，其中最脍炙人口的一句话是：“一尺之椎，日取其半，万世不竭.”可以理解为无穷无尽、永远达不到极限的潜无限思想.无穷或无限概念，是极限概念的特殊情况，是微积分的重要概念.《墨经》也是战国时代的重要著作之一，该书对有穷和无穷作了明确的区分.该书说，“穷，或有前，不容尺也”，意思是有穷就是有边界的区域，用尺沿一个方向去量它一定能量完；“穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”，即有穷就是能量尽这个区域，如果量不尽，就是无穷.与此同时《墨经》也有丰富的微分思想，比如：“端，体之无厚而最前者也”；“端，无间也”；“非半则不动，说在端”.第一句话就是说，“端”就是不可度量且位于物体的最前面的东西.第二和第三句是说，如果没有空隙、也不能再进行分割的就是端.这是对构成物质的最基本的元素相当精确的定义，实际上就是对物体经“化整为零”后的微分概念.极限思想的运用——割圆术.我国三国时的数学家刘徽提出的“割圆术”，他从圆内接正六边形做起，令边数成倍地增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，……，直到正3072边形，用这个正3072边形面积来逼近圆面积，就得到π的较精确的值3.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和”的思想方法.另外，古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬《授时历》中求“月离迟疾”（月亮运行的最快点和最慢点）、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值（郭守敬甚至称之为“极数”）等问题，但东方学者以惯用的数值手段（“招差术”，即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率.总之，在17世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是较少的.2微积分孕育的半个世纪在历史上，积分概念和方法的产生先于微分.积分的原理，溯源于古希腊人所创造的计算面积、体积和弧长相联系的求和方法，在古代的穷竭法中就已萌芽.微分思想虽然可追溯到古希腊，但它的概念和法则几乎是16世纪下半叶后与近代力学同时产生和发展起来的.微分思想和积分思想起初互不相干，基本上是平行而又独立地发展着，都是对具体问题采取具体的方法，尽管在思想上有某些相似之处，但毕竟没有形成统一的方法.这两个统一方法形成后建立起其间联系又晚一些.直至17世纪上半叶，以力学为中心的一系列问题向数学提出了挑战，迫使数学家探索新的数学思想和方法来解决求曲线的长度、曲线围成的面积和体积、物体的重心、变化率和切线、函数的极值、物体在任意时刻的速度和加速度等大量生产、科研实践中提出的数学问题.对上述问题的研究以及对二项式定理和级数的讨论所形成的数学思想和方法的成熟和发展，孕育了微积分的诞生.2.1积分学概念和方法的产生在积分概念和方法的形成过程中，最有代表性的工作主要有：2.1.1 开普勒的同维无穷小方法开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)是德国著名天文学家、力学家和数学家，在大学学习时曾接触到哥白尼学说，他的思想受毕达哥拉斯和柏拉图的影响较大，认为宇宙是上帝安排的和谐的体系，但他不象前人那样盲目相信，而是尊重事实.他寻求宇宙是和谐体系的显著成绩是先后总结出行星运动三定律，其中第一定律认为行星绕日运动并非是匀速运动，其轨道也不是圆而是椭圆.这就从根本上打破了传统的、权威的观念，是对哥白尼的天文学的重大发展. 图5-1 开普勒开普勒的父亲好喝酒，以开酒馆为业，少年时期的开普勒常帮父亲营业.他发现当时酒商求奥地利酒桶容积的方法不精确，经过研究在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》，该书分为三个部分，第一部分是阿基米德式的空间几何，其中大约有90个旋转体的体积是阿基米德没有研究过的；第二部分重点是研究酒桶体积的求法；第三部分是这一方法的应用.在该书中，开普勒对古希腊的原子论方法作了发展——用无数个同维小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积.例如，把圆当作无限多个边的正多边形从而把无限多个以圆心为顶点的等腰三角形面积之和计为圆面积，于是得到圆面积等于周长乘半径之半. []n S S S A ∆++∆+∆=2121 221r rs π== 图 5-2他还认为球的体积是无数个小圆锥的体积之和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；将圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=3142R R V π.开普勒还用类似的方法算出了圆柱、圆环以及苹果形、柠檬形等的体积.开普勒的方法并不严格.比如，当圆分解为其底为一点之等腰三角形时，无异于说这时的三角形是一个线段，圆的面积是无数条线段（即半径）之和.在一些问题中，开普勒也确认面积就是直线之和.用无数个同维无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，虽然还不严格，但确有合理之处，这也是开普勒方法的精华，他化曲为直和微小元求和的思想，对积分学很富有启发性. 2.1.2卡瓦列里和托里拆利的不可分量法“不可分元”并无严格的定义，费尔马、帕斯卡和罗伯瓦尔等都有类似思想，但是以卡瓦列里的思想最典型. 卡瓦列里(BonaventuraCavalieri,1598-1647)是意大利的牧师，也是伽俐略的学生.他的积分思想同古代原子论一脉相承，但比开普勒的方法更普遍，称之为“不可rS i O分元法”.这一思想集中体现在他的《用新方法促进的连续不可分量的几何学》(1635)和《六个几何问题》中两部著作之中.卡瓦列里认为线是由无限多个点组成，就象链条由珠子穿成的一样；面是由无限多条平行线段组成，就象布是由线织成的一样；立体则是由无限多个平行平面组成，就象书是由每一页积累成的一样；不过它们都是对无穷多个组成部分来说的.换句话说，他把几何图形看成是比它低一维的几何元素构成的：线是点的总和，平面是直线的总和， 图5-3 卡瓦列里立体是平面的总和，他分别把这些元素叫做线、面和体的“不可分量”.他建立了一条关于这些不可分量的普遍原理，后以“卡瓦列里原理”著称：两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比.卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，然而他对积分学创立最重要的贡献还在于证明了：如果两线段之比为2:1,则其平方和之比为3:1,立方和之比为4:1,直到九次方和之比为10:1,实际上已相当于今天的积分式⎰++=an n a n dx x 0111 （n 为自然数） 使早期的积分学突破了体积计算的现实原型而向一般算法过渡.卡瓦列里的不可分量方法比他的前人包括开普勒所使用的方法更接近于普遍的积分学算法，开普勒曾向同行们提出一个挑战问题：求抛物线弓形绕弦旋转而成的旋转体体积.卡瓦列里用自己的方法解决了开普勒的问题.人们认为，以卡瓦列里为代表的不可分量法就是17世纪初期的积分法，也是牛顿和莱布尼茨以前积分思想发展的高峰.卡瓦列里虽然克服了开普勒用各自不同的直线图形表示不同的曲边图形对应的不可分量之间的关系，而非每个面积中的不可分量全体，这就避免了无限的概念，自然就造成了理论上的不可克服的矛盾.同时，卡瓦列里求积法还具有不注意代数和算术的纯几何缺点.对卡瓦列里不可分量法作出重要修正的是他的朋友、伽利略的学生、意大利的托里拆利(E.Torricelli,1608-1647).1646年卡瓦列里发表《关于无限抛物线》中批评说：“把不可分元看成是相等的，即把点与点在长度上、线与线在宽度上、面与面在厚度上看成相等的说法纯属空话，它既难以证明，又无直观基础.”他以圆和三角形的不可分元为例说明二者的不可分元并不相同：一个是具有极小中心角的扇形，一个是具 图 5-4有微小宽度的带状体.所以他用开普勒的同维无穷小去代替卡瓦列利的不可分量，同时又保留了不可分量法在求积上的有效性，不但取得了曲线求积问题的许多成果，而且在理论上向近代积分靠近了一步.2.1.2 费马、帕斯卡和沃里斯等人的推进费马于1636年提出了一个相当于近代定积分的积分法，用统一的矩形条分割曲线形；用矩形面积近似地代替曲边形面积；利用曲线方程求出矩形面积，并以其构成的几何级数之和近似地得到曲线面积；对和式取极限使近似值转化为精确值.而帕斯卡则采取等分x 轴上的区间和略去无穷序列之和的高阶差的方法，这对牛顿、莱布尼茨产生了很大的影响.费马还将其积分法用于求弧长，他把曲线长视为微小线段长之和，再把线段长度之和转化为求曲线围成的面积来获得结果.英国数学家沃里斯1656年发表《无穷的算术》，使卡瓦列里、费马的不可分法得到系统的推广.他用数的语言把几何方法算术化，使无限的概念以解析的形式出现，开辟了用级数表示函数的道路，使得无限算术代替了有限算术，这对确立微积分奠定了重要的思想基础.沃里斯还利用微分三角形，给出了近代意义的弧微分概念和计算公式：22dy dx ds +=，但未能给出弧长的计算方法.到17世纪60年代，求积法已取得十分丰富的成果，发展得相当完善了.2.2微分学概念和法则的发展以上介绍的微积分准备阶段的工作，主要采用几何方法并集中于积分问题，解析几何的诞生改变了这一状况.解析几何的两位创始人笛卡儿和费马，都是将坐标方法引入微分学问题研究的前锋.2.2.1费马借助微小增量作切线费马在1637年发表了《求最大值和最小值的方法》，记述了一个求曲线切线的方法，这个方法的大意如下：设PT 是曲线在P 点的切线（如图5-5），TQ 叫次切线，只要知其长，就可确定T 点，再连接PT 就可以了.为了确定TQ ，设QQ 1为TQ 的微小增量，其长为E （即今之△x ）， ∵△TQP ∽△PRT 1 ∴1RT PRQP TQ = 费马认为，当E(=PR)很小时，RT 1同RP 1几乎相等，因此有QPP Q E RP E QP TQ -==111 图 5-5 用现在的符号，把QP 写成)(x f ，于是有)()()(x f E x f E x f TQ -+= 即 )()()(x f E x f x f E TQ -+⋅=这时，费马先用E 除分子和分母，然后再让E=0就得到TQ 的数值（即今之)()(x f x f TQ '=）.费马用这个方法解决了许多难题，应当说，这是微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作.但是，他没有通过割线移动来决定切线，也没有通过计算斜率的极限来求切线.割线移动决定切线的思想，是笛卡儿1638年提出来的.2.2.2笛卡儿“圆法”求曲线)(x f y =过点))(,(x f x P 的切线，笛卡儿的方法是首先确定曲线在点P 处的法线与x 轴的焦点C 的位置，然后作该法线的过点P 的垂线，便可得到所求的切线.如图5-6，过C 点作半径r=CP 的圆，因CP 是曲线)(x f y =在P 点处的法线，那么点P 应是该曲线与圆222)(r v x y =-+的“重交点”（在一般情况下所作圆与曲线还会相交于P 点附近的另一点）.如果[]2)(x f 是多项式，有垂交点就相当于方程 222)()]([r x v x f =-+ P T 1P 1RT Q Q 1将以P 点的横坐标x 为重根.但具有重根e x =的多项式的形式必须是∑⋅-i i x c e x 2)(，笛卡儿把上述方程有重根 的条件写成： ∑-=--+i i x c e x r x v x f 2222)()()]([， 图 5-6然后用比较系数法求得v 与e 的关系.带入x e =，就得到用x 表示的v ，这样过点P 的切线的斜率就是)(x f x v -. 以抛物线kx y =2为例，kx x f y ==)(，方程22)(r x v kx =-+有重根的条件为： 222)()(e x r x v kx -=--+令x 的系数相等，得e v k 22-=-，即k e v 21+=.代入x e =，于是次法距k x v 21=-，求出抛物线过点()kx x ,的切线斜率是xk kx k x f x v 212/)(==-. 笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的.笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，1658年荷兰数学家胡德(J.Hudde)提出了一套构造曲线切线的形式法则，称为“胡德法则”.胡德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，可以完成求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算.2.2.3费马求极值的方法用代数方法求函数的极大值和极小值，是产生微分学的重要途径之一.记载费马求极大值与极小值方法这份手稿，实际上是他写给梅森(M.Mersenne)的一封信，梅森是当时欧洲科学界领头任务伽利略、费马、笛卡儿、帕斯卡等人之间保持书信交往的中心.费马的方法用现在的符号表示大意如下：设)(x f 是x （x 就是费马的A ）的某个多项式，现在讨论)(x f y =的极大值.如果)(x f 在x 点达到极大值，则对充分小的E>0必有：)(E x f +<)(x f 和)(E x f -<)(x f将此二不等式之左边展开则有：+++=+2)()()()()(E x Q x E x P x f E x f <)(x f-+-=-2)()()()()(E x Q x E x P x f E x f <)(x f消去这两个不等式两边的共同项，再用E 除则分别给出下面两个不等式：++E x Q x P )()(<0-+-E x Q x P )()(<0当E 充分小时，此二式左边的符号完全由)(x P 确定.可见，当)(x P 0≠时，此二式不可能有同一的符号，因此必须)(x P =0，从此式解出x 就是所求的极大值.同理可以求出极小值.费马的方法实际上就是，当计算有理整函数)(x f 的极值时，先计算它的导数x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0，再令0)(='x f ，解之就是极值点. 不难看出，费马的方法尚有不足之处：第一，费马没有引入无穷小概念，我们在解释他的E 时设为“充分小”，是为了同今天的思想相一致，但费马并没有如此表述；第二，正如他自己所说，把求极值的方法普遍化问题尚缺乏证明；第三，令0)(=x P ，只是求出极值的必要条件，而不是充分条件.尽管费马求极值方法尚有不足之处，但已接近今天之形式，他已经看到了求切线和求极值有相同的数学结构.可以认为，在微分学的先驱工作中，费马是比较成熟的一个，无论是求切线还是求极值，他的方法在当时的影响都比较大.2.3微积分系统理论探索的前夜这里将要介绍的是帕斯卡、沃里斯和巴罗等人的工作，他们的工作对牛顿和莱布尼茨的微积分的产生有着直接的关系，如过把卡瓦列利和费马等人看作微积分先驱的杰出代表，则这几个人的工作是向牛顿和莱布尼茨微积分的过渡.2.3.1帕斯卡等的无穷小方法布莱斯·帕斯卡(Pascal Blaise,1623-1662)的一生，虽然只有39岁，而他的一段黄金时期(30-35岁)又专门研究神学，但是他在数学上的成就却很大.他是世界上第一架计算机的设计者，是概率论和射影几何的奠基人之一，提出了西方数学史所谓的“帕斯卡三角形”，他也是一位哲学家，并很有写作才能.他同罗伯瓦尔和费马一起，被称为当时法国数学界的三巨头.帕斯卡在积分学方面做的工作，是以他名字命名的三角形有 图5-7 帕斯卡一定关系.因为用这个三角形可以比较容易地求出自然数幂的二项式的展开式，不过帕斯卡是用文字表述的.他凭借这个结果并引入无穷小概念，算出了以曲线n x y =为一边的曲边梯形的面积.他把无穷小概念也应用于微分学，在他的《四分之一圆的正弦论》(1659)这部著作中，有一幅被称之为“微分三角形”的图形（图5-8）.他说，当区间(即图中的RR=EK)很小时，则“弧可以代替切线”.通过“微分三角形”说明可以用直线代替，并进一步作出切线.把无穷小概念引入数学，是微积分发展史上的重要事件.以无穷小作基础才能把曲线看成直线.有人认为，如果帕斯卡能在无穷小的基础上寄兴趣于算术的考虑并致力于切线的求法，那么他就有可能比牛顿和莱布尼茨更早地击中微积 图 5-8分的要害.事实上，帕斯卡的工作对莱布尼茨的微积分产生了直接的影响. 2.3.2沃里斯的算术化英国的沃里斯(J.Wallis,1616-1703)是一位牧师的儿子，受过良好的古典教育.在剑桥大学学习期间专攻神学，以后对数学感兴趣.从1649年B AR I D KR E E C起任牛津大学的“沙维教授”，是17世纪时的英国仅次于牛顿的著名数学家.在微积分的先驱者中，沃斯里的算术化工作很有意义，可以说，没有算术化就没有牛顿的微积分.沃里斯接受了韦达、笛卡儿和费马等前辈们的思想——应用代数研究几何问题，他试图使算术完全脱离几何表示.另外在求积问题上，他 图5-9 沃里斯接受卡瓦列利的不可分元思想和流行的略去无穷小方法，并且应用尚不精确的无穷大和无穷小概念.他在数学史上第一次用符号∞表示无穷大，用∞1表示无穷小或零量，并把它们和有限数同样看待，一起参加运算.沃里斯在他的重要著作《无穷算术》(1655)一书中用算术方法得到如下的定理：“若有一无穷数列，从0开始按任意指数不断增加，那么，这些数之和与各数均等于其最大数的同样数目之和的比值为该指数+11.”用今天的符号表示就是⎰+=1011n dx x n （n 是整数或分数），这表明卡瓦列利和帕斯卡等所确定的关系⎰++=a n n a n dx x 0111 （n 为正整数），当n 为分数时仍然成立. 2.3.3巴罗的求切线和求积的互逆性 英国的伊萨克·巴罗(Isaac Barrow,1630-1677)是微积分发展史上最重要的人物之一，他本人也是神学家，精通希腊文和阿拉伯文，所以对希腊古典著作很有造诣；曾任剑桥大学教授、副校长，是牛顿的老师，1669年即牛顿26岁的那年，他主动宣布牛顿的学识已超过自己，并把“卢卡斯教授”职位让给牛顿，成了数学史上的佳话.他的主要著作是《光学和几何讲义》.巴罗的数学观基本上与希腊人相同，认为只有几何才是数学，而代数他认为不应该看成数学，应包括到逻辑中去.尽管他偏爱几何，但对 图5-10 巴罗 即将临产的微积分也有深刻的理解.巴罗曾设想曲线是由所谓的“线元”构成的，而线则是线元之延长，这是不可分元的不同说法，不过巴罗最有意义的贡献是把“求切线”和“求积”作为互逆问题联系起来.比如，他的《几何讲义》第十讲的命题十一和第十一讲的命题十九，用今天的符号表示分别是：（1）如果⎰=xzdx y 0，则zdx dy = （2）如果zdx dy =，则⎰=xy zdx 0 （设x=0时y=0）巴罗还采用帕斯卡二十年代提出而沃里斯正在使用的“微分三角形”思想来求曲线的切线.微分三角形是指由自变量增量x ∆和函数增量y ∆为直角边所构成的直角三角形.他第一个认识到xy ∆∆对于决定切线有重大意义，于是将微分三角形和费马的方法结合起来，从而得到比费马更优越的方法.实际上，巴罗已经接触到了微分的本质，因为x y ∆∆可以用来决定导数. 微积分的先驱们的工作，以费马和巴罗为标志而结束，由于历史的局限性，上述数学家关注的是具体几何特有的解答方法，而未注意大量成果的优越性、创造性和普遍性能够提炼成新的统一的方法构成一门新的学科，也就是需要创立具有普遍意义的抽象概念、具有一般符号和一整套解析形式与规则的可以应用的微积分学.牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出。

《 运用无穷多项方程的分析学》
给出了求瞬时变化率的普遍方法 阐明了求变化率和求面积是两个互逆问题，从而揭 示了微分和积分的联系，即沿用至今的所谓微积分 的基本定理。。
《流数法和无穷级数》
1
他改变了过去静止的观点，认为变量是由点. 线.面连续运动而产生的。
2
他用更清晰准确的语言阐明了微积分的基本 问题：一是，已知流量间的关系，求流数关 系；二是，已知表示量的流数间的关系的方 程，求流量间的关系。并指出这是两个互逆 问题。 该书中，牛顿还把数流法用于隐函数的微分 ，求函数的极值，求曲线的切线、长度、曲 率和拐点，并给出了直角坐标和极坐标下的 曲率半径公式，附了一张积分简表。
特征三角形
与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼茨创立微 积分首先是从出于几何问题的思考，尤其是特征三 角形的研究。
创立微积分后的影响
在牛顿和莱布尼茨各自独立创建微积分之后， 发生了历史上有名的“微积分发明优先权之争”， 致使欧洲大陆数学家与英国数学家分成两派。
欧洲大陆派以雅克布·伯努利与 约翰·伯努利兄弟为代表支持莱布尼茨； 而英国数学家捍卫牛顿。 两派激烈争吵甚至达到互相敌对的程度。
祖冲之
沈括
欧洲古代萌发的微积分思想
安提芬的“穷竭法”
阿基米德”平衡法”
刺激微分学发展的主要科学问题是 求曲线的切线、求瞬时变化率以及 求函数的极大值极小值等问题。
半个世纪的酝酿
已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式， 求物体在任意时刻的速度和加速度
望远镜的光程设计使得求曲线的切线
科学问题
确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的 最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值
求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过 的面积以及物体重心与引力等

微积分的理论展开顺序与历史展开顺序的联系与区别在本学期，我们学习了数学史，这门课让我对我们所学的数学知识有了更深度认识。

尤其在微分学的知识上，我知道了微积分的理论展开顺序与历史展开顺序是有联系与区别的。

对此，我将浅谈一下我的认识。

一、微积分的历史展开顺序1.微积分的创立解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台。

微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追溯到古代。

我们已经知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题，在古希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。

在古代，刘徽撰写的《九章算术·商功》中提到：“斜解立方，得两壍堵。

斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。

阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣。

”他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。

祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出"幂势既同则积不容异"，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理(或刘祖原理)。

祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。

卡瓦列利运用祖暅原理求得了许多平面图形的面积和立体图形的体积，是现行中学立体几何教材求几何体积的基本雏形。

在现代，1638年伽利略《关于两门新科学的对话》中，他建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45°时达到，等待。

伽利略本人竭力倡导自然科学的数学化，他的著作激起了人们对他所确立的动力学概念与定律作精确的数学表述的巨大热情。

德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表《测量酒桶的新立体几何》论述了圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法。

3.141024 3.142704 ，
并深刻地指出：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。” 我国南北朝时期的数学家祖暅（中国古代数学家祖冲之之子）发 展了刘徽的思想， 在求出球的体积的同时， 得到了一个重要的结论 （后 人称之为“祖暅原理”)：“夫叠基成立积，缘幂势既同，则积不容异。” 用现在的话来讲，一个几何体(“立积”)是由一系列很薄的小片(“基”) 叠成的；若两个几何体相应的小片的截面积(“幂势”)都相同，那它们 的体积(“积”)必然相等。 利用祖暅原理求球体的体积：取一个几何体为上半球体 { x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0 }；将圆柱体 { x 2 y 2 R 2 , 0 z R }减去（即挖 去） 倒立的圆锥{ x 2 y 2 z 2 , 0 z R }视为另一个几何体。 则对任意的
函数的极大、极小问题。法国数学家费尔马（P. Fermat, 1744-1825） 在这两个问题上作出了主要贡献。费尔马在处理这两个问题时，都是 先对自变量取增量，再让增量趋于零，这就是微分学的本质所在。费 尔马也在积分学方面做了许多工作，如求面积、体积、重心等问题。 但可惜的是他没有发现微分学与积分学这两类问题之间的基本联系。 另一位已经走到了微积分基本定理的门口的是英国数学家巴罗 （I. Barrow, 1630-1677） ， 他是牛顿的老师， 是剑桥大学卢卡斯讲座教授， 后来他认为牛顿已经超过了他， 就把这一讲座教授的位置让给了牛顿。 他在《光学和几何学讲义》一书中，已经把求曲线的切线与求曲线下 区域的面积问题联系了起来，也就是说，他把微分学和积分学的两个 基本问题联系了起来。 但可惜的是巴罗没有从一般概念的意义下进一 步深入地研究它们。 三．牛顿和莱布尼兹对微积分学科的功绩 微积分学科的建立，归功于两位伟大的科学先驱：牛顿和莱布尼 兹。关键在于他们认识到，过去一直分别研究的微分和积分这两个运 算，是彼此互逆的两个过程，它们是由牛顿—莱布尼兹公式联系起来 的。 1669年英国大数学家牛顿（I. Newton, 1643-1727）提出微积分学 说存在正反两个方面的运算， 例如面积计算和切线斜率计算就是互逆 的两种运算，即微分和积分互为逆运算，从而完成了微积分运算的决 定性步骤。但由于种种原因，他决定不向外界公开他的数学成果，他 的成果只是以手稿的形式在少数几个同事中传阅， 而这一决定在以后

微积分的发展也引发了 许多哲学思考
例如，微积分中的极限 概念体现了量变到质变 的哲学思想，即通过无 限逼近的过程达到某一 特定的结果
此外，微积分中的连续 性和可微性概念也与哲 学中的连续性和离散性 概念有关，引发了对现 实世界本质的深入探讨
微积分的未来展望
随着科学技术的发展和数学 自身的发展，微积分也在不 断发展和完善。未来，随着 计算机技术的进步，微积分 的应用将更加广泛和深入， 例如在大数据分析、人工智 能等领域中的应用。同时， 随着数学理论的发展，微积 分的理论体系也将更加严谨 和完善，例如在实数理论、
微积分的起源
微积分的起源可以追溯到古代数学，如希腊数学家欧 几里德、阿基米德等人对几何学和物理学的研究
x
然而，真正意义上的微积分学是在17世纪和18世纪建 立的
牛顿与莱布尼茨的贡献
英国数学家牛顿在17世纪末期提出了微积分的基本定理，即现在所说的" 牛顿-莱布尼茨公式"，该公式将定积分与不定积分联系起来，成为微积分 学的基础。同时，牛顿还发展出了"流数法"，将数学分析的方法引入微积 分，为后来的微积分发展奠定了基础
与此同时，德国数学家莱布尼茨也独立发展出了微积分的基本定理和相应 的方法。莱布尼茨的贡献在于他提出了"微分学"的概念，将微分学与积分 学相结合，形成了现代意义上的微积分
微积分的发展
1
微积分的
发展
2
3
在牛顿和莱布尼茨之后，微积分学得到了进一步的发 展
18世纪，许多数学家如欧拉、拉格朗日等人在微积分 的理论和应用方面做出了重要的贡献
无穷小分析等领域的研究
总之，微积分作为数学和科 学的重要组成部分，其成立 和发展是人类智慧的结晶， 也是推动科学和技术发展的 重要动力。在未来，微积分 将继续在各个领域中发挥重 要的作用，为人类认识自然 和改造自然提供有力的工具

数学是门奇妙的的科学, 每一个数学的成就, 都伴随着 一个个动人的故事, 以及 几代人的不懈努力。
数学史上的丰碑 ——微积分
微积分的创立
人类数学最伟大的发明
近代始于对古典时代的复兴，但 人们很快看到，它远不是一场复兴， 而是一个崭新的时代。
——牛顿时代
微积分的创立
世界进入一个崭新阶段
韦斯特福尔(美, 1924-1996)《近代科学的建构》
• Maclaurin之后，英国数学陷入了长期停滞 的状态。微积分发明权的争论滋长了不列 颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆 脱牛顿微积分学说中的束缚，在海峡的另 一边，新微积分却在莱不尼茨的后继者们 的推动下蓬勃发展起来。
• 18世纪微积分重大的进步是由欧拉作出的， 欧拉在1748年出版的《无限小分析引论》 以及他随后发表的《微积学》和《积分学》 是微积分史上里程碑的著作，同时引进了 一批标准的符号，也就是现在常常用到的 数学分析符号。
从17世纪起科学就开始将原来以基督教 为中心的文化变革成为现在这样以科学为 中心的文化。
人类历史上的最伟大创举
• 变量数学时期，17世纪后期由牛顿莱布尼 兹创立的微积分是最主要的成就 • 微积分的诞生是全部数学史上，也是人类 历史上最伟大最有影响的创举 • 微积分导致后来一切科学和技术领域的革 命 • 离开微积分，人类将停顿前进的步伐
• Euler著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任 何不良的环境中工作，即使他在双目失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间， 他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟 大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说： “研究Euler的著作永远是了解数学的最好方法．”
a
(p q)/q

微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。

大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。

这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。

第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。

微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。

开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。

1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。

这个比较接近于微积分基本定理。

牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。

可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。

微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。

牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。

微积分的发展史简述作者：周锐来源：《当代人（下半月）》2018年第04期摘要：微积分是数学的一个分支，在数学史上占有重要地位。

本文根据时间进程阐述了微积分的发展史及其简要应用。

关键词：微积分;发展史;牛顿;莱布尼兹微积分是数学中的基础学科，也是近现代数学中的重要基石和起点。

它在物理、化学、生物等自然学科中被普遍利用，在社会、经济、人文等范畴也是重要的研究工具之一。

本文将沿着微积分学的发展时间历程，简要论述微积分的发展史。

一、微积分的萌芽之初微积分学发展得最早的是积分学的思想，可以追溯到古希腊时期[1]。

其中做出重要贡献的有古希腊数学家芝诺提出的四大悖论。

古希腊哲学家德谟克利特斯的原子论则充分体现了近代积分的思想，他认为任意事物都是由原子构成。

古希腊诡辩家安提丰提出的“穷竭法”是极限理论最早的表现形式。

古希腊数学家欧多克斯进一步研究原子论和穷竭法，使这两个理论得以稳健前进。

古希腊著名数学家阿基米德所提出的“平衡法”实质上是一种较原始的“积分法”。

他在著作《抛物线求积法》一书中运用穷竭法求出了抛物线构成的弓形的面积。

二、微积分创立之前的酝酿由于种种影响，微积分的概念在15世纪之前一直处于萌芽阶段[2]。

推动欧洲崛起的新航路开辟和文艺复兴是15世纪的大事件。

从14世纪到16世纪的文艺复兴在意大利各城市兴起，之后推广到西欧各国，带来了一场关于科学与艺术的革命。

随着文艺复兴的兴起，生产的发展带动了科学的发展。

与此同时希腊的著作大量进入欧洲，随着活板印刷的发明，知识的传播更加迅速，自然学科开始活跃，自然学科中的数学得以有进一步发展的机会。

在时代背景下，数学成为唯一被公认的真理得以推广。

天文学、光学、力学等自然学科的发展被生产力的发展所推动，为数学带来了大量的研究问题[3]，许多学者开始考虑研究微积分的思想[4]。

开普勒是德国杰出的天文学家、物理学家、数学家和哲学家。

他在《测量酒桶的新立体几何》一书中主要对如何求解旋转体体积的方法进行研究。

文艺复兴时期的数学与微积分思想的突破
文艺复兴时期，欧洲的数学家们开始系统地研究微积分，如意大利数学家卡瓦列里等人对极限、连续 等概念进行了系统化的研究。
英国物理学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立地发展出了微积分的基本理论，从而宣告了微积分 的诞生。
02
微积分的创立
牛顿的贡献
牛顿对微积分的贡献主要体现在他的 著作《自然哲学的数学原理》中。他 提出了流数术，也就是微积分的基本 理论和方法。
05
微积分的未来发展
微积分的理论发展
01
数学建模与仿真
微积分理论在未来的发展将更加深入 地与数学建模和仿真技术相结合，研 究更加复杂、精细的数学模型，提高 微积分的应用范围和效果。
02
机器学习和大数据分 析
随着机器学习和大数据分析技术的不 断发展，微积分理论将与这些技术相 结合，实现更高效、准确的微积分计 算和应用。
高等教育普及
微积分作为一门重要的数学课程将在高等教 育中得到更加广泛的普及和教育，提高大学 生的数学素养和思维能力。
中小学教育改革
微积分教育将进一步渗透到中小学教育中， 促进中小学教育改革和数学教育的创新发展 。
06
参考文献
参考文献
01
02
03
1. 罗伯特·卡尼格尔. 《微积分的 历程》. 人民邮电出版社.
2. 李大潜. 《微积分发展史》. 北 京高等教育出版社.
3. 张顺燕. 《微积分的思想和方 法》. 北京大学出版社.
THANKS
感谢观看
投资组合优化
微积分被广泛应用于投资组 合优化中，通过求解最优化 问题来获得最大收益或最小
化风险。
期权定价
微积分在期权定价模型中也 有着重要的应用，例如Black-

微积分的发展历程数学学院201235010113 王春雨一、中国古代数学对微积分创立的贡献微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。

最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。

前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。

对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。

公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。

刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。

微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。

南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。

特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。

中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。

可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。

微积分发展简史微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论作怎样的估计都不会过分.- 冯·诺依曼287 年: 阿基米德的"逼近法""给我一个支点，我可以撬动地球."对数学和物理学的影响极为深远，被视为古希腊最杰出的科学家. 他与牛顿和高斯被西方世界评价为有史以来最伟大的三位数学家.他利用“逼近法”算出球表面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家依据这种方法加以发展成近代的“微积分”.1620年费地的布面油画《沉思的阿基米德》263 年: 刘徽注释《九章算术》东方古代数学泰斗用割圆术计算圆周率, "割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣".求得圆周率的近似值为3.14, 这种极限思想和无穷可分甚至是古希腊数学不能比拟的.1088 年: 沈括著《梦溪笔谈》中国科学史上的重要文献北宋的沈括所著百科全书式的著作, 因为写于润州（今镇江）梦溪园而得名，收录了沈括一生的所见所闻和见解. 内容涉及天文、数学、物理、化学、生物、地质、地理、气象、医学、工程技术、文学、史事、美术及音乐等学科. 书中开创了“垛积术”(高阶等差级数求和), “会圆术”(求出弧长的方法). "棋局都数"的研究则暗用了组合方法和指数定律.1629 年: 费马“我发现了一个美妙的证明，但由于空白太小而没有写下来.”皮埃尔·德·费马法国律师和业余数学家(不过在数学上的成就不比职业数学家差). 费马引理给出了一个求出. 可微函数的最大值和最小值的方法。

因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题.费马及费马最后定理1637 年: 笛卡尔"我思故我在. "勒内·笛卡尔, 法国著名哲学家、数学家、物理学家. 对数学最重要的贡献是创立了解析几何. 笛卡尔成功地将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起, 他向世人证明，几何问题可以归结成代数问题，也可以通过代数转换来发现、证明几何性质, 为后人在微积分上的工作提供了坚实的基础.约 1150 : 婆什迦罗印度数学的最高成就婆什迦罗, 印度古代和中世纪最伟大的数学家, 天文学家. 对数学主要贡献: 比牛顿和莱布尼茨早五个世纪就构想了微积分; 采用缩写文字和符号来表示未知数和运算; 他广泛使用了无理数, 并在运算时和有理数不加区别.婆什迦罗及他设计的永动机1665 年: 牛顿与《广义二项式定义》"如果我比别人看得更远，那是因为我站在巨人的肩上. "艾萨克·牛顿, 英格兰物理学家, 数学家, 天文学家, 在老师巴罗的指导下, 1665年发表广义二项式定理，并开始发展一套新的数学理论，也就是后来为世人所熟知的微积分学, 牛顿称之为"流数术".1670 年: 伊萨克·巴罗《几何学讲义》"一个爱书的人，他必定不致缺少一个忠实的朋友，一个良好的老师，一个可爱的伴侣，一个优婉的安慰者."英国著名数学家, 1670 年发布的《几何学讲义》包含了他对无穷小分析的卓越贡献，特别是其中“通过计算求切线的方法”，十分接近微积分基本定理，微积分的最终制定后来由其学生艾萨克·牛顿完成.伊萨克·巴罗（1630年－1677年）1684 年: 莱布尼茨关于微分学的第一篇论文"世界上没有两片完全相同的树叶."戈特弗里德·威廉·莱布尼茨, 德意志哲学家、数学家, 获誉为十七世纪的亚里士多德.在数学上，他从几何角度和牛顿先后独立发明了微积分，1684年发表了第一篇微分学论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法, 它也适用于有理量与无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算》 , 他所发明了微积分的数学符号 dx, dy 和∫ 被更广泛的使用.莱布尼茨 1646~17161691 年: 约翰.伯努利著世界上第一本关于微积分的教科书瑞士的伯努利家族是世界颇负盛名的数学世家雅各布和弟弟约翰·伯努利是莱布尼茨的朋友，他们不但迅速掌握了莱布尼茨的微积分并加以发扬光大, 而且是最先应用微积分于各种问题的数学家.洛必达法则纠纷有一段时间，伯努利被洛必达聘请为私人数学老师。

微积分发展简史微积分发展简史微积分是17世纪发现的最具威力的数学工具，是人类思维最珍贵的成果. 正如美国当代数学家柯朗所说：“这是一门撼人心灵的智力奋斗结晶，这种奋斗已经历了两千五百年之久，它深深地扎根于人类活动的许多领域，并且只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已.” 恩格斯也对微积分的发现予以高度评价，认为这是“人类精神的最高胜利.”一、微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代. 在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏有朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子. 在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，是我国较早出现的极限思想. 但把极限思想运用于实践解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽. 他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元. 刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次边数加倍，则正多边形面积愈来愈接近圆面积. 正如他说的：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣.”按照这种思想，计算到圆内接正192边形面积，则得圆周率的近似值为3.14. 大约两个世纪后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于“与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一. 其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异.”我们称之为“祖氏原理”，在西方称为“卡瓦利原理”，应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题.欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题. 较为重要的当数安提芬的“穷竭法”. 他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积. 但他的方法却没有被数学家接受. 后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯那里得到补充和完善. 之后，阿基米德借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题. 他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法. 他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较. 但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的. 平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形.与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了. 刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题. 阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点. 古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分）来处理，从而回避了连续变化率.二、微积分的起源与孕育微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后. 1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒. 一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提供了大量的素材. 这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段.微积分的创立，首先是为了处理17世纪的一系列主要的科学问题. 有四种主要类型的科学问题：（1）已知物体移动的距离和时间的函数式，求物体在任意时刻的速度和加速度，使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；（2）望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；（3）确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极值问题也亟待解决；（4）问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究.在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具.下面我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作.德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法. 他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积之和.意大利数学家卡瓦利里在他的著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法. 他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量. 他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦利里原理，即我国的祖氏原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积. 利用这个原理解决了开普勒的旋转体的体积问题.英国的数学家巴罗在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用微分三角形求出了曲线的斜率. 他的方法实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无穷小来取极限. 他是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员. 当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生——当时才27岁的牛顿来担任，巴罗让贤已成为科学史上的佳话.笛卡尔和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋. 笛卡尔在《几何学》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法. 代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡尔的圆法为起点而踏上微积分的研究道路.沃利斯是在牛顿和莱布尼兹之前，将分析方法引入微积分贡献突出的数学家. 他在著作《无穷算术》中，利用算术不可分量法获得了一系列重要结果. 其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形，以及计算四分之一圆的面积等.17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生. 前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性. 虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视. 因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务.三、微积分的创立1．牛顿的“流数术”牛顿1642年生于英格兰乌尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书. 17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校. 史托克斯的劝说词中的一句话：“在繁杂的务农中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”，可以说这是科学史上最幸运的预言. 1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗. 对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路.1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡. 在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的.牛顿于1664年开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性的进展. 1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文——《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献. 在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）：从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”：将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”. 该定理也称为牛顿——莱布尼兹定理，牛顿和莱布尼兹各自独立地发现了这一定理. 它是微积分中最重要的定理，建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算.这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来. 正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分.《流数简论》标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方．1667年，牛顿回到剑桥，并未发表他的《流数简论》. 在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：《运用无穷多项方程的分析学》，《流数法与无穷级数》，《曲线求积术》，它们反映了牛顿微积分学说的发展过程. 在《运用无穷多项方程的分析学》中牛顿回避了《流数简论》中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做该变量的“瞬”，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩. 在论文《流数法与无穷级数》中，牛顿又恢复了运动学观点. 他把变量叫做“流”，变量的变化率叫做“流数”，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的，他更清楚地表述了微积分的基本问题：“已知两个流之间的关系，求他们流数之间的关系”；以及反过来“已知表示量的流数间的关系方程，求流之间的关系”. 在《流数法与无穷级数》和《运用无穷多项方程的分析学》中，牛顿所使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：《流数法与无穷级数》以动力学连续变化的观点代替了《运用无穷多项方程的分析学》的静力学不可分量法.牛顿最成熟的微积分著述《曲线求积术》，对于微积分的基础在观念上发生了新的变革，它提出了“首末比方法”. 牛顿批评自己过去随意扔掉无限小瞬的做法，他说“在数学中，最微小的误差也不能忽略…在这里，我认为数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”. 在此基础上牛顿定义了流数概念，继而认为：“流数之比非常接近于尽可能小的等时间间隔内产生的流量的增量比，确切地说，它们构成增量的最初比”，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比. 可以看出，牛顿的所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，它成为极限方法的先导.牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度. 1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作. 而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表.2.莱布尼兹的微积分工作莱布尼兹出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育. 1672年至1676年，莱布尼兹作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作. 这四年成为他科学生涯最宝贵的时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础. 继而，这位博学多才的时代巨人，由于官场的失意、与牛顿关于微积分优先权争论的困扰以及多种病痛的折磨，晚年生活颇为凄凉，据说莱布尼兹的葬礼只有他忠实的秘书参加.在巴黎期间，莱布尼兹结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯，在惠更斯的影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡尔和帕斯卡等人的著作. 与牛顿的切入点不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究. 特征三角形在帕斯卡和巴罗等人的著作中都曾出现过. 1684年，莱布尼兹整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》，它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用. 1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号，并给出了摆线方程.牛顿和莱布尼兹都是他们时代的巨人，两位学者也从未怀疑过对方的科学才能. 就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的. 然而一个局外人的一本小册子却引起了“科学史上最不幸的一章”：微积分发明优先权的争论. 瑞士数学家德丢勒在这本小册子中认为，莱布尼兹的微积分工作从牛顿那里有所借鉴，进一步莱布尼兹又被英国数学家指责为剽窃者. 这样就造成了支持莱布尼兹的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派的不和，甚至互相尖锐地攻击对方. 这件事的结果，使得两派数学家在数学的发展上分道扬镳，停止了思想交换.在牛顿和莱布尼兹二人死后很久，事情终于得到澄清，调查证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼兹；就发表时间而言，莱布尼兹先于牛顿. 虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的发展，但这场发明优先权的争论却极大地影响了英国数学的发展，由于英国数学家固守牛顿的传统近一个世纪，从而使自己逐渐远离分析的主流，落在欧陆数学家的后面.3. 18世纪微积分的发展在牛顿和莱布尼兹之后，从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在他的论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们高等数学教材中的“罗尔中值定理”. 微积分的两个重要奠基者是伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容. 其中约翰给出了求不等式0 型极限的一个定理，现称为洛必达法则，这个定理由约翰的学生洛必达编入其微积分著作《无穷小分析》.18世纪，微积分得到进一步的深入发展，1715年数学家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陈述了他获得的著名定理——泰勒定理（以他名字命名的）. 雅各布、法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在考虑无理函数的积分时，发现一些积分既不能用初等函数，也不能用初等超越函数表示出来，这就是我们现在所说的“椭圆积分”，他们还就特殊类型的椭圆积分积累了大量的结果.18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论.这方面的贡献主要归功于尼古拉伯努利、欧拉和拉格朗日等数学家.另外，函数概念在18世纪进一步深化，微积分被看作是建立在微积分基础上的函数理论，将函数放在中心地位，是18世纪微积分发展的一个历史性转折. 在这方面，贡献最突出的当数欧拉，他明确区分了代数函数与超越函数、显函数与隐函数、但值函数与多值函数等，并在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”.而18世纪微积分最重大的进步也是由欧拉作出的，他的《无限小分析引论》、《微分学原理》与《积分学原理》都是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间内被都当作标准教材而广泛使用.综上，微积分并非是没有其前身而突然产生的，它的发明是通过许多学者长期的辛勤探索发展起来的一连串数学思想的结晶. 它的出现给数学领域开辟了一个新纪元，很少有其他发明能如此硕果累累.。

简述微积分发展史
微积分历史可以追溯到古希腊时期，从那时起，一些哲学家和数学家就开始探索问题的解决方案以及计算数值，当时主要使用的是推论和近似的方法。

17世纪初，英国数学家约翰·斯托克瑞（John Wallis）利用三角函数发展出来微积分，并且第一次使用求和运算符（∑），使用这种重要的符号，准确的计算数值。

18世纪，两位英国数学家——理查德·拓菲斯（Richard Topham）和狄金森（James Stirling），使用积分形式来表达不定积分，这成为后来微积分的基础。

紧接着，法国数学家拉格朗日在1797年发表了其的作品《初等数学报告》，并且建立了积分变换的基本理论。

19世纪早期，德国数学家海伦·伊瑙（Karl Weierstrass）完善了积分变换理论，他在研究中提出了一种新的数学工具，即解析函数，它使得微积分的逆向变换得以实现。

也正是在他的研究中，微积分的方法得以更加固有的形式化——快速进入了现代微积分学的普及时期。

微积分思想的产生与发展历史
陈纪修 在微积分产生之前，数学发展处于初等数学时期。人类只能研究 常量，而对于变量则束手无策。在几何上只能讨论三角形和圆，而对 于一般曲线则无能为力。 到了17世纪中叶， 由于科学技术发展的需要， 人们开始关注变量与一般曲线的研究。在力学上，人们关心如何根据 路程函数去确定质点的瞬时速度， 或者根据瞬时速度去求质点走过的 路程。在几何上，人们希望找到求一般曲线的切线的方法，并计算一 般曲线所围图形的面积。令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相 同模式的数学问题：求因变量在某一时刻对自变量的变化率；因变量 在一定时间过程中所积累的变化。前者导致了微分的概念；后者导致 了积分的概念。两者都包含了极限与无穷小的思想。 一．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前4世纪， 中国古代思想家和哲学家庄子在 《天下篇》 中论述： “至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一就是 无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”更是 道出了无限分割的极限思想。 公元3世纪，中国古代数学家刘徽首创的割圆术，即用无穷小分割 求面积的方法，就是古代极限思想的深刻表现。他用圆内接正多边形 的边长来逼近圆周，得到了
18世纪被称为数学史上的英雄世纪。 数学家们把微积分应用于天文学、 力学、光学、热学等各个领域，获得了丰硕的成果。在数学本身，他 们把微积分作为工具，又发展出微分方程、微分几何、无穷级数等理 论分支，大大扩展了数学研究的范围。 四．微积分严格理论体系的完善 微积分建立之后，出现了两个极不协调的情景；一方面是微积分 广泛应用于各个领域，取得了辉煌的成就；另一方面是人们对于微积 分的基本概念的合理性提出了强烈的质疑。19世纪以前，无穷小量概 念始终缺少一个严格的数学定义，因此导致了相当严重的混乱。1734 年英国哲学家红衣主教贝克莱（G. Berkeley, 1685-1753）对微积分基 础的可靠性提出强烈质疑，从而引发了第二次数学危机。他认为微积 分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。例如对 y x 3 求导数（当时称 为求流数），要先假设自变量有一个无穷小增量“0”，它不能为零， 但在计算后半部，又要把这增量取为零：