信号的频谱
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信号的频谱
9.1信号的频谱要求：重点掌握频谱分析的基本内容、频谱分析仪的分类方法和分类；了解各种信号的付氏变换及信号频谱的特性。
9.1.1信号分析和信号频谱的概念1）信号的定义及种类信号一般可表示为一个或多个变量的函数。
根据信号随时间变化的特点可分为：A.确定信号与随机信号B.连续时间信号与离散时间信号C.周期信号与非周期信号除了上述信号种类之外，还有很多分类方法，如奇信号、偶信号，调制信号、载波信号，能量有限信号、功率有限信号等。
2）频谱分析的基本概念广义上，信号频谱是指组成信号的全部频率分量的总集，频谱测量就是在频域内测量信号的各频率分量，以获得信号的多种参数。
狭义上，在一般的频谱测量中常将随频率变化的幅度谱称为频谱。
频谱测量的基础是付里叶变换，它以复指数函数t j e 为基本信号来构造其他各种信号，其实部和虚部分别是正弦函数和余弦函数。
任意一个时域信号都可以被分解为一系列不同频率、不同相位、不同幅度的正弦波的组合。
在已知信号幅度谱的条件下，可以通过计算获得频域内的其他参量。
对信号进行频域分析就是通过研究频谱来研究信号本身的特性。
从图形来看，信号的频谱有两种基本类型：①离散频谱，又称线状谱线；②连续频谱。
实际的信号频谱往往是上述两种频谱的混合。
9.1.2周期信号的频谱1）周期信号的付氏变换大多数周期信号都可以用正弦和余弦级数展开表示。
付氏级数明确地表现了信号的频域特性。
周期信号的付氏变换或频谱密度由无穷多个冲激函数组成，位于谐波频率nω0处冲激函数的强度是第n个付氏级数系数的2π倍。
2）周期信号的频谱特性●离散性：频谱是离散的，由无穷多个冲激函数组成；●谐波性：谱线只在基波频率的整数倍上出现，谱线代表的是基波及其高次谐波分量的幅度或相位信息；●收敛性：各次谐波的幅度随着谐波次数的增大而逐渐减小。
3）脉冲宽度和频带宽度脉冲宽度是时域中的概念，指在一个周期内脉冲波形的两个零点之间的时间间隔；频带宽度或带宽是频域概念，通常规定在周期信号频谱中，从零频率到需要考虑的最高次谐波频率之间的频段即为该信号的有效占有带宽，亦称频带宽度。
功率谱和频谱的区别、联系
功率谱和频谱的区别、联系功率谱：信号先⾃相关再作FFT。
频谱：信号直接作FFT。
区别：1、⼀个信号的频谱,只是这个信号从时域表⽰转变为频域表⽰,只是同⼀种信号的不同的表⽰⽅式⽽已, ⽽功率谱是从能量的观点对信号进⾏的研究,其实频谱和功率谱的关系归根揭底还是信号和功率,能量等之间的关系。
2、频谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是⼀个时间平均（time average）概念；功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可⽤能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
3、功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是⼀个确定函数；⽽频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于⼀个随机过程⽽⾔，频谱也是⼀个“随机过程”。
（随机的频域序列）4、功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的⼆阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于⼆阶局是否存在并且⼆阶矩的Fourier变换收敛；⽽频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
联系：1、功率谱可以从两⽅⾯来定义，⼀个是⾃相关函数的傅⽴叶变换，另⼀个是时域信号傅⽒变换模平⽅然后除以时间长度。
第⼀种定义就是常说的维纳⾟钦定理，⽽第⼆种其实从能量谱密度来的。
根据parseval定理，信号傅⽒变换模平⽅被定义为能量谱，能量谱密度在时间上平均就得到了功率谱。
2、在频域分析信号分两种：（1）.对确定性信号进⾏傅⾥叶变换，分析频谱信息。
（2）.随机信号的傅⾥叶信号不存在，转向研究它的功率谱。
随机信号的功率谱和⾃相关函数是傅⾥叶变换对（即维纳⾟钦定理）。
功率谱估计有很多种⽅法以下转⾃⼩⽊⾍。
有些概念还不太明⽩，留作以后研究⽤。
最近听⽼师讲课，提到功率谱是把信号的⾃相关作FFT,我才发现⾃⼰概念上的⼀个误区：我⼀直以为功率谱和频谱是同⼀个概念，以为都是直接作FFT就可以了。
第三章连续信号的频谱介绍
第三章连续信号的频谱介绍连续信号的频谱是指将连续信号在频域上的表示，它能够展示信号在不同频率上的能量分布情况。
频谱分析是信号处理中的重要内容，能够帮助我们理解信号的特性，并进行信号的分析与处理。
在本章中，我们将详细介绍连续信号的频谱分析方法和相关概念。
1.连续信号的频谱连续信号是指在时间上是连续变化的信号，可以通过连续时间的函数来表示。
在频域上，连续信号可以通过傅里叶变换来表示。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，给出了信号在不同频率上的能量分布情况。
连续信号的频谱是傅里叶变换结果的模值，它反映了信号在不同频率上的能量大小。
2.连续傅里叶变换连续傅里叶变换(CFT)是一种将连续信号从时域转换到频域的方法。
通过对连续信号进行积分运算，可以得到信号的频谱表示。
连续傅里叶变换的公式如下：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示频率为ω的频谱，f(t)表示时域信号，e^(-jωt)是复指数函数。
通过计算不同频率ω下的复指数函数与信号的积分，可以得到连续信号的频谱。
3.连续信号的频谱性质连续信号的频谱具有以下几个重要性质：-零频率分量：频谱中的零频率分量表示了信号的直流分量，即信号在频域上的平均能量。
它在频谱中通常位于中心位置。
-频谱对称性：如果原始信号是实数信号，则频谱具有共轭对称性，即F(ω)=F*(-ω)，其中F*(-ω)表示F(ω)的共轭复数。
-线性性质：信号的线性组合的频谱等于各个信号频谱的线性组合。
-平移性质：将信号在时域上平移，会导致频谱在频域上平移同样的量。
- 抽样定理：如果信号的最高频率为f_max，则抽样频率f_s至少应为2f_max才能完整地恢复信号。
4.频谱分析方法为了获取连续信号的频谱信息，需要进行频谱分析。
-傅里叶变换：利用积分运算将信号从时域转换到频域。
-快速傅里叶变换(FFT)：快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，能够快速计算信号的频谱。
-功率谱密度(PSD)：功率谱密度是对信号能量在频域上进行定量描述的方法，可以用于分析信号的频率成分。
调制信号的频谱
调制信号的频谱取决于所采用的调制方式和基带信号的频率分布，一般可以通过傅里
叶变换求出。
以下是几种常见调制方式的频谱特性：
1. 调幅（AM）：频谱包含原始信号的两个副本，分别在载波频率的上下方，并且幅度相等。
2. 调频（FM）：频谱在载波频率处有一个主要的峰，其宽度与基带信号的频率变化成
正比。
3. 调相（PM）：频谱也在载波频率处有一个主要的峰，但其宽度与调制信号的幅度变
化成正比。
4. 正交振幅调制（QAM）：频谱由多个窄带信号组成，每个子载波都是一个AM信号。
需要注意的是，以上只是一些简单的情况，实际应用中可能会涉及到更加复杂的调制
方式和信号处理技术，因此频谱特性也会更加复杂。
信号的平方根、 频谱
信号的平方根、频谱1.引言1.1 概述信号的平方根和频谱是信号处理领域中重要的概念和工具。
信号的平方根代表了信号包含的能量和振幅信息，而频谱则描述了信号在不同频率上的能量分布。
在信号处理中，我们常常需要对信号进行各种操作和分析。
而了解信号的平方根和频谱可以帮助我们更好地理解信号的特性和进行有效的信号处理。
信号的平方根是指将信号的每个采样点的幅度值取平方后再开方。
这个操作能够反映出信号的能量大小，即幅度的平方根表示了信号在特定时刻的能量水平。
通过计算信号的平方根，我们可以了解信号的能量分布情况，判断信号的强弱和稳定性。
频谱则是描述信号在不同频率上的能量分布情况。
通过对信号进行频谱分析，我们可以了解信号所包含的不同频率分量的能量大小。
频谱分析在信号处理中有广泛的应用，例如音频信号的频谱分析能够帮助我们识别音乐的音调和谐波关系，图像信号的频谱分析能够帮助我们提取图像的边缘和纹理信息。
本文将首先介绍信号的平方根的定义和特点，包括平方根的计算方法和在信号处理中的应用领域。
接着，我们将研究频谱的定义和解释，包括频谱的计算方法和常见的频谱分析技术。
最后，我们将对信号的平方根和频谱进行总结，并讨论频谱分析在信号处理中的重要性。
通过深入理解信号的平方根和频谱，我们可以更好地分析和处理信号，为实际应用中的信号处理问题提供有效的解决方案。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以参考以下内容：文章结构：本文将分为三个主要部分进行讨论。
首先，引言部分将对本文的主题进行概述，并介绍文章的结构和目的。
其次，正文部分将重点讨论信号的平方根和频谱两个主题。
在信号的平方根部分，我们将介绍其定义和特点，并探讨其在不同应用领域中的应用。
在频谱部分，我们将解释频谱的定义，并介绍一些常用的频谱分析方法。
最后，结论部分将对信号的平方根的意义和作用进行总结，并强调频谱分析在信号处理中的重要性。
通过以上的文章结构设置，本文将全面介绍信号的平方根和频谱两个主题，并探讨它们在不同领域中的应用。
信号与系统 §4.3 周期信号的频谱
理意义。为什么引入负频率？ f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnΩt和
e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
▲
■
第3页
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
(3)离散谱（谐波性）
（4)第一个零点坐标：2π T
当ω nΩ时取值 （5）Fn是复函数（此
处
令 n n＝ 2π
为实函2数），幅度/相位
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
■
第5页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
sin(
n
2
)
T n
T
sin n
2
n
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
T
t
▲
■
第4页
Fn
Sa( n ) Sa( n )
T 2TT
, n = 0 ,±1，±2，…
图中T 5
Fn
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n 0处，为 。
§4.3 周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点
e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。
▲
■
第3页
二、周期信号频谱的特点
举例：有一幅度为1，脉冲宽
f(t) 1
度为的周期矩形脉冲，其周
0
期为T，如图所示。求频谱。
-T
Fn
1 T
T
2 T
2
f (t) e d jnt t
(3)离散谱（谐波性）
（4)第一个零点坐标：2π T
当ω nΩ时取值 （5）Fn是复函数（此
处
令 n n＝ 2π
为实函2数），幅度/相位
Fn 0，相位为 0，Fn 0, 相位为π 。 ▲
■
第5页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
1 T
2
e
jnt
dt
2
2
2
1 e jnt T jn
2
2
2
sin(
n
2
)
T n
T
sin n
2
n
2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
…
T
t
▲
■
第4页
Fn
Sa( n ) Sa( n )
T 2TT
, n = 0 ,±1，±2，…
图中T 5
Fn
T
2π
O 2
(1)包络线形状：抽样函数 (2)其最大值在 n 0处，为 。
§4.3 周期信号的频谱
• 信号频谱的概念 • 周期信号频谱的特点
常见连续时间信号的频谱
19
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
2020/2/29
20
3
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
1
F( j)
(π)
(π)
t -0
0
0
余弦信号及其频谱函数
2020/2/29
12
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
1 (e j0t 2j
- e-j0t ) F - jπ[d (
- 0 ) - d (
0 )]
sin 0t 1
2020/2/29
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (
n-
-
n0 )
dT (t)
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )
2020/2/29 - T 0 T
t
-0 0 0
16
4.3、功率谱密度的性质
● 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
信号频谱介绍及分析方法
H ( sk ) 或 H ( z k ) 相乘求得。
频域分析法将信号和系统模型的时间变量函数（或序列）变换为频域的某个 变量函数，并研究他们的特性，由于时域中的微分（或差分）方程和卷积运算在 频域都变成了代数运算，这就简化了运算。同时，频域分析将时间变量变换成频 率变量,揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切 关系,从而导出了信号的频谱,带宽以及滤波,调制和频分复用等重要概念。 信号的频谱，从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，所画 出的图形称为信号的频谱图。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的,这方面的 问题也称为傅里叶分析(频域分析).将信号进行正交分解(分解为三角函数或复数 函数的组合)。
T1 nπτ 2 kπ = kπ ，或 nω1 = T1 τ
(8)
， k ∈ Z,k ≠ 0
即当 ω = nω1 = 2kπ / τ 时， an = cn = Fn = 0 。 (iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。 (iv) 带宽 βω = 2π / τ 或 β f
= 1 / τ 只与矩形脉冲的脉宽 τ
F (ω) =
∫−∞ f (t )e
∞
− jωt
dt = F[ f (t )]
∆
是信号 f (t ) 的频谱密度函数或 FT 频谱，简称为频谱(函数)。
(2)
频谱密度函数 F (ω) 的逆傅里叶变换为： f (t ) =
1 2π
∫−∞ F (ω)e
∞
jωt
ˆ F −1 F (ω) dω =
[
]
(3) 称 e− jωt 为 FT 的变换核函数， e jωt 为 IFT 的变换核函数。 (4) FT 与 IFT 具有唯一性。如果两个函数的 FT 或 IFT 相等，则这两个函数 必然相等。 (5) FT 具有可逆性。如果 F [ f (t )] = F (ω) ，则必有 F −1[ F (ω)] = 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成 称
频域分析法将信号和系统模型的时间变量函数（或序列）变换为频域的某个 变量函数，并研究他们的特性，由于时域中的微分（或差分）方程和卷积运算在 频域都变成了代数运算，这就简化了运算。同时，频域分析将时间变量变换成频 率变量,揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切 关系,从而导出了信号的频谱,带宽以及滤波,调制和频分复用等重要概念。 信号的频谱，从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，所画 出的图形称为信号的频谱图。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的,这方面的 问题也称为傅里叶分析(频域分析).将信号进行正交分解(分解为三角函数或复数 函数的组合)。
T1 nπτ 2 kπ = kπ ，或 nω1 = T1 τ
(8)
， k ∈ Z,k ≠ 0
即当 ω = nω1 = 2kπ / τ 时， an = cn = Fn = 0 。 (iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。 (iv) 带宽 βω = 2π / τ 或 β f
= 1 / τ 只与矩形脉冲的脉宽 τ
F (ω) =
∫−∞ f (t )e
∞
− jωt
dt = F[ f (t )]
∆
是信号 f (t ) 的频谱密度函数或 FT 频谱，简称为频谱(函数)。
(2)
频谱密度函数 F (ω) 的逆傅里叶变换为： f (t ) =
1 2π
∫−∞ F (ω)e
∞
jωt
ˆ F −1 F (ω) dω =
[
]
(3) 称 e− jωt 为 FT 的变换核函数， e jωt 为 IFT 的变换核函数。 (4) FT 与 IFT 具有唯一性。如果两个函数的 FT 或 IFT 相等，则这两个函数 必然相等。 (5) FT 具有可逆性。如果 F [ f (t )] = F (ω) ，则必有 F −1[ F (ω)] = 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成 称
§4.3 周期信号的频谱
n
Fn
2
2
P5n
F02
F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4
1 P T
T
2
2222来自 0.181而总功率 二者比值
0
f 2 (t )dt 0.2
P5 n 90.5% P
▲ ■ 第 13 页
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 2π 1 B 或B f ，带宽与脉宽成反比。 对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率 区间定义为频带宽度。
2
2
T
t
1 Fn T
T 2 T 2
f (t ) e
2
jnt
1 e jnt T jn
2
n n sin( ) sin 2 2 2 T n T n
2
1 2 jnt dt e dt T 2
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
第 10 页
周期信号频谱的特点
(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。
谱线的结构与波形参数的关系 T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之 间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。
一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号）， 那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过 渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近 于无穷小。
常用信号的频谱
1
END
(t)e jtdt
1
δ(t)及其频谱如下图所示。由图可知，单位冲激信号
在时域中的持续时间为无限小，而其频带度为无限宽。
这与信号持续时间与信号频宽之间成反比关系的一般结
论相符。
δ(t)
F [δ(t)]
(1)
1
0
t
0
ωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、 直流信号E f (t) E t
直流信号不满足绝对可积条件，不能直接用定义 式求F(ω)，在此用反变换的定义式来求。
傅立叶变换
几种常用信号的频谱
1、 单位冲激信号δ(t)
2、 直流信号E
3、 单边指数信号
4、 矩形脉冲
傅立叶正变换 傅立叶反变换
F () f (t)e jtdt
f (t) 1 F()e jtd 2
1、 单位冲激信号δ(t)
利用δ(t)的筛选特性可得δ(t)的付氏变换为
F
[
(t )]
2
E
j
e jt
2
2
j
j
E
e
2
e 2j
2
2
sin
E
2
2
ESa
2
因为矩形脉冲是偶函数，它的频谱是 实函数,可以将幅度频谱和相位频谱画在一 幅图中，如下图所示。
F() E
4
2
0 2
4
幅度频谱： F ( ) E Sa
2
F( ) E
4 2 0 2 4
频宽： B
2
或Bf
f (t) 1 F()e jtd 2 设： F() 2E () 代入上式
f (t) 1 2E ()e jtd E 2
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信号的频谱
任意周期函数只要满足狄利克雷条件都可以展开成傅里叶级数。
上一知识点介绍的方波信号[如图1(a)]亦可展开为傅里叶级数表达式：
（1）
<?XML:NAMESPACE PREFIX = V /><?XML:NAMESPACE PREFIX = O />
(a)
(b) 图1
(a)
(b)
图2
式中，，是方波信号的直流分量，称为该方波信号的基波，它的周期与方波本身的周期相同。
式（1）中
其余各项都是高次谐波分量，它们的角频率是基波角频率的整数倍。
由于正弦函数的单纯性，在作信号分析时，可以只考虑其幅值电压与角频率的函数关系，于是式（1）的正弦级数可以表达为图1(b)所示的图解形式，其中包括直流项（ω=0）和每一正弦分量在相应角频率处的幅值。
像这样把一个信号分解为正弦信号的集合，得到其正弦信号幅值随角频率变化的分布，称为该信号的频谱。
图1(b)称为方波信号的频谱图，是方波在频域的表达方式。
从傅里叶级数特性可知，许多周期信号的频谱都由直流分量、基波分量以及无穷多项高次谐波分量所组成，频谱表现为一系列离散频率上的幅值。
上述正弦信号和方波信号都是周期信号。
客观物理世界的信号远没有这样简单，如果从时间函数来看，往往很难直接用一个简单的表达式来描述，如图2(a)所示炉温变化曲线就是一非周期性时间函数波形。
对于非周期信号，运用傅里叶变换可将其表达为一连续频率函数形式的频谱，它包含了所有可能的频率（0≤ω<∞）成分。
图2(b)示意出图2(a)的频谱函数。
实际物理世界的各种非周期信号，随角频率上升到一定程度，其频谱函数总趋势是衰减的。
当选择适当的ωc （截止角频率）点把频率高端截断时，并不过多地影响信号的特性。
通常把保留的部分称为信号的带宽。
由上分析可知，信号的频域表达方式可以得到某些比时域表达方式更有意义的参数。
信号的频谱特性是电子系统有关频率特性的主要设计依据。
确定一个任意非周期信号的频谱在计算机普及应用之前并非易事。
自从快速傅里叶变换（FFT）算法出现以后，人们可以用计算机将非周期时间函数信号的频谱函数迅速求出。
在PSPICE程序中就包含有FFT 软件，供读者分析信号和电路的频率特性。
在某些现代电子设备中，甚至把FFT软件装入其中，可在程序控制下向实际电路输入端注入已知波形的非周期信号，如矩形单脉冲，然后通过比较电路输出端和输入端的频谱函数，直接计算出电路的频率响应特性。
这种快速测试电路频率响应的方法经常用于电子装置的自动生产线上，也可以安装在所谓智能仪器中，用于对仪器本身的自校正和故障自诊断。