2004数学建模试题及答案
1．设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,
43)(+-=+=kp p f p p ϕ
其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。 解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知： )()(1n n p f p =-ϕ 9431+-=+-n n kp p
即： k
p k p n n 5
31+-
=-经递推有：
k
k p k
k k k p k p n n
n n
n n 5
)3
()3
(5)53(31
1
02⋅-+
⋅-=++-⋅-=-=-∑
p 表示初始时的市场价格:∞→
时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13
n p k 即k
<<<-。某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？
依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手)
由遗传学原理有： ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
++⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n c
b a
c c b a b c b a a
设向量T
n n n n c b a x )..(= 1-⋅=n n X M x 式中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12100211000M
递推可得：0X M X n n ⋅=
对M 矩阵进行相似对角化后可得： ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡=Λ100
021
000
其相似对角阵
1111012001-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=p p 从而
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅Λ=-111012001)21(111012001101
n n n p p M ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=----1)21(1)21(10)21()21(0001111n n n n n
M
10101010))2
1
(1())21(1(0
)2
1
()21(0
b a
c c b a b a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=++==---- 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。
试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什么？
解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M ，当前人口数量为N （t ），r 为比例系数。建立模型：
)())
(1()(t N M
t N r dt t dN ⋅-⋅= 00|N N t == 4分
求解得到
rt
m m
e N N
N t N --+=
)1(1)(0
6分
注意到当M t N →)(时，r M
t N r →-
⋅))
(1(并说明r 即为自然增长率。 10分 2．1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。
解：依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：
（1）⎪⎩⎪⎨⎧⨯+-=-=y f cy dt dy
bxy ax dt dx
式中a b c f 均大于零。 4分
解方程组（1）
y
f cy bxy ax dy dx ⨯+--=
得：
dx x
c
fx y dy by a -=-)( k by fx x c y a ++=+ln ln
k e x y by fx c a '⨯=⋅+
（3） k e
e x y by fc c
a '=⋅⋅
式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值 则有 dt c y
y f T x T )(110+'
=
⎰ dt x
x a b T y T ⎰'
-⋅=
0)(11 6分 b
a T
b a y f
c
y T y f c x =××+=
=+=(0)])([(0)])([ln ln ln ln
当使用杀虫剂DDT 后，设杀死介壳虫，)(t x ⋅ε，澳洲瓢虫)(t y ⋅ε
则有模型为：⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=--=--=fxy y c fxy y cy dt dy
bxy
x a bxy x ax dt dx
)()(εεεε
显然此时有： b
a y f
c x ε
ε-=
+=
即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。 10分 3．根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.9, 出现高水水情的概 率为0.05，出现洪水水情的概率为0.05。位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：
（1） 运走，需支付运费15万元。
（2） 修堤坝保护，需支付修坝费5万元。 （3） 不作任何防范，不需任何支出。 若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失400万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失200万元，发生洪水时损失设备400万元。根据上述条件，选择最佳决策方案。 解：我们利用数学期望来评判方案的优劣：
