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第3讲绝对值知识点1 绝对值的非负性绝对值的性质：互为相反数的两数绝对值相等.若|x|=a （a≥0），则x=±a.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.【典例】1.若|a|=3，|b|=2，且a ＜0＜b ，则a 的相反数与b 的和为________．【方法总结】根据绝对值的性质即可求得a ，b 的值，然后代入数据即可求解．本题考查了绝对值的性质，正确确定a ，b 的值是解题的关键. 2.已知|x-2017|+|y ﹣2016|=0，则x+y=____【方法总结】此题主要考查了绝对值的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．由“若几个非负数的和为0，则每一个数都为0”可得x+2017=0，y ﹣2016=0，计算出x 、y 的值，进而可得答案．【随堂练习】1．（2017秋•兴文县校级期中）（1）已知|x ﹣5|=3，求x 的值； （2）已知n=4，且|x ﹣5|+|y ﹣2n|=0，求x ﹣y+8的值．⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩绝对值的非负性比较大小绝对值数轴与绝对值绝对值的几何意义(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩(0)(0)a a a a a ≥⎧⎪=⎨⎪-<⎩(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩2．（2017秋•昌平区校级期中）已知|a+1|与|b﹣2|互为相反数，求a﹣b的值．3．（2017秋•临清市期中）已知|x﹣4|+|y+2|=0，求y﹣x的值．知识点2比较大小两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．【典例】1.有理数﹣2，0，﹣3.2，4中最小的数是（）A. ﹣2B. 0C. ﹣3.2D. 4【方法总结】先将各数两两比较，再按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可．此题考查了有理数比较大小，牢记两个有理数比较大小的方法是解本题的关键．【随堂练习】1．（2018•龙湖区一模）a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则这三个数中绝对值最大的是（）A．a B．b C．c D．无法确定2．（2018•石狮市模拟）如图，下列关于数m、n的说法正确的是（）A．m＞n B．m=n C．m＞﹣n D．m=﹣n3．（2018春•南岗区期末）比较大小：﹣（﹣0.3）____|﹣|（填＜、＞、=）．知识点3数轴与绝对值绝对值：数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.在数轴上，小于0的点在原点左边，大于0的点在原点右边.【典例】1.已知|a|=2，|b|=2，|c|=4，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试求a，b，c的值．【方法总结】先根据绝对值的意义得到a=±2，b=±2，c=±4，然后根据数轴表示数的方法得到a＜0，b＞0，c＞0，从而得a、b、c的值．本题考查了绝对值的性质和数在数轴上的表示，体现了数形结合的思想.【随堂练习】1．（2016秋•句容市校级期末）在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点．求|a+b|++|a+1|的值．2．（2017秋•无锡期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c_____0，a+b_____0，c﹣a______0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．知识点4 绝对值的几何意义式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离.∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和. 【典例】1.有理数a、b、c、d所表示的点在数轴上的位置如图所示，若|a﹣c|=|b﹣d|=4，|a﹣d|=5，则|b﹣c|=______【方法总结】根据绝对值的几何意义，将两个数的差的绝对值看成是这两个点之间的距离，在数轴上由线段的和差关系可求|a﹣b|，|c﹣d|，再根据线段的和差关系即可求解．本题考查了绝对值、数轴，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．2. 同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是___________，（2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为___________．（3）如果|x﹣2|=5，则x=___________．（4）同理|x-（-3）|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是______________________．（5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由．【方法总结】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，体现了数形结合的思想.式子|x﹣a|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a的点之间的距离，式子∣x-a∣+∣x-b∣的几何意义是数轴上表示x的点到表示a的点和表示b的点的距离和.数形结合往往能使问题变得直观、简洁，省去复杂的分析过程.【随堂练习】1．（2016秋•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|=____．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|=7成立的整数是_____（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．2．（2017秋•宝应县月考）已知A、B在数轴上分别表示a、b．（1）对照数轴填写下表：（2）若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b（a＜b）有何数量关系；（3）写出数轴上到﹣1和1的距离之和为2的所有整数；（4）若点C表示的数为x，代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是_____，此时代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是_____．3．（2017秋•开福区校级月考）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣2）|=____；（2）若|x﹣2|=5，则x=_____；（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1﹣x|+|x+2|=3．综合集训1.在﹣（﹣2），﹣|﹣7|，﹣|+1|，|﹣23|中，负数有_______________.2.若|m|=|﹣7|，则m=__________．3.在数﹣5，﹣13，−25，−16中，大于﹣15的数有___________.4.填空：（1）﹣34的绝对值的相反数是________，﹣0.3的相反数的绝对值是________；（2）在数轴上，到原点的距离是2的点所表示的数是________；（3）互为相反数的两个数在数轴上对应点之间的距离为6，这两个数分别为________和________；（4）相反数等于它本身的数是________，相反数等于它的绝对值的数是_______．5.已知|x﹣2|+|y-3|=0，则x+y=________．6.若|x+1|+|y﹣2|+|z+3|=0，求|x|+|y|+|z|的值．7.如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为p，q，r，s．若|p﹣r|=10，|p ﹣s|=12，|q﹣s|=9，求|q﹣r|的值.8.已知|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣4|=0，求式子a+2b+3c的值．9.如果∣x-3∣+∣x+1∣=4，则x的取值范围是什么？10.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a ﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是__________；（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是__________；应用：（1）当代数式|x﹣1|+|x-（-2）|取最小值时，相应的x的取值范围是_______，最小值为_____；（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x-（-2）|的值_____3（填写“≥、≤或=”）．。
绝对值的提高练习一. 知识点回顾1、绝对值的几何意义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．2、绝对值运算法则：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即：3、绝对值性质：任何一个实数的绝对值是非负数．二 .典型例题分析:例 1、 a ， b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？请写在题后的横线上。
(1) ｜ a+b ｜ =｜ a ｜ +｜b ｜；；(2)｜ab ｜ =｜ a｜｜ b｜；；(3)｜ a-b ｜ =｜ b-a ｜；；(4)若｜ a｜ =b ，则 a=b ；；（5) 若｜ a｜＜｜ b｜，则 a ＜ b；；(6)若 a＞ b ，则｜ a｜＞｜ b｜，。
例 2、设有理数 a ， b， c 在数轴上的对应点如图1-1 所示，化简｜ b-a ｜ +｜a+c ｜ +｜ c-b ｜．例 3 、若x y 3 与 x y 1999 互为相反数，求x 2 y的值。
x y三 .巩固练习 :( 一 ). 填空题 :1.a ＞0 时， |2a|=________ ；(2) 当 a＞1 时， |a-1|=________ ；2.已知a 1 b 3 0，则a ____ b ______3.如果 a>0， b<0，a b ，则a，b，—a，—b这4个数从小到大的顺序是__________( 用大于号连接起来 )4.若 xy 0， z0 ，那么xyz=______0．5. 上山的速度为 a 千米 / 时，下山的速度为 b 千米 / 时，则此人上山下山的整个路程的平均速度是__________千米 / 时( 二 ). 选择题 :6.值大于 3 且小于 5 的所有整数的和是（） A. 7 B.－7 C. 0 D. 57.知字母 a 、b表示有理数，如果 a +b=0，则下列说法正确的是（）A . a、b中一定有一个是负数 B. a 、b都为0 C. a 与b不可能相等 D. a 与b的绝对值相等8.下列说法中不正确的是 ( )Ａ． 0 既不是正数 , 也不是负数 B ． 0 不是自然数C．0的相反数是零 D ． 0 的绝对值是 09.下列说法中正确的是（）A 、a是正数B 、— a 是负数C、 a 是负数D、 a 不是负数10.x =3， y =2，且x>y，则x+y的值为（）A 、5B、 1C、 5 或 1 D 、— 5 或— 111.a<0 时，化简a）A 、 1B、— 1C、 0 D 、1等于（a12.若 ab ab，则必有（） A 、 a>0,b<0 B 、a<0,b<0C、 ab>0D、ab013.已知： x =3， y =2，且x>y，则x+y的值为（） A 、 5 B 、1C、 5 或 1D、— 5 或— 1(三 ).解答题 :14. a＋ b＜ 0，化简｜ a+b-1｜-｜ 3-a-b｜．15.. 若x y + y 3 =0，求2x+y的值.16.当 b 为何值时， 5- 2b 1有最大值，最大值是多少？17. 已知a是最小的正整数，b、 c 是有理数，并且有|2+ b|+(3 a+2c) 2=0.求式子4ab c的值 .a2 c 2418.已知 x＜ -3 ，化简：｜ 3+ ｜ 2- ｜ 1+x ｜｜｜．19.若｜ x｜ =3 ，｜ y｜ =2 ，且｜ x-y ｜ =y-x ，求 x+y 的值．20.化简：｜ 3x+1 ｜ +｜ 2x-1 ｜．21.若 a ， b ， c 为整数，且｜ a-b ｜19+｜ c-a ｜99=1 ，试计算｜ c-a ｜ +｜ a-b ｜ +｜ b-c ｜的值．22 .已知 y= ｜2x+6 ｜ +｜ x-1｜ -4 ｜ x+1 ｜，求 y 的最大．23. a ＜ b ＜ c＜ d，求｜ x-a ｜ +｜ x-b ｜+｜ x-c ｜ +｜ x-d ｜的最小．24. 若 2x+ ｜ 4-5x ｜+ ｜1-3x ｜ +4 的恒常数，求x 足的条件及此常数的．三、巩固1． x 是什么数，下列等式成立：(1)｜ (x-2)+(x-4) ｜=｜ x-2 ｜ +｜ x-4 ｜；(2)｜ (7x+6)(3x-5) ｜ =(7x+6)(3x-5) ．2．化下列各式：(2) ｜x+5 ｜ +｜ x-7 ｜ +｜ x+10 ｜．3．已知 y= ｜ x+3 ｜+ ｜x-2 ｜ -｜ 3x-9 ｜，求 y 的最大．4． T= ｜ x-p ｜ +｜x-15 ｜ +｜ x-p-15 ｜，其中0＜ p ＜ 15，于足p≤ x≤ 15 的 x 来， T 的最小是多少？5．不相等的有理数 a ，b，c 在数上的点分 A ，B，C，如果｜ a-b ｜ +｜ b-c ｜ =｜ a-c ｜，那么 B 点 ()．(1) 在 A， C 点的右；(2) 在 A， C 点的左；(3) 在 A ，C 点之；(4) 以上三种情况都有可能．6.若｜ x｜ =3 ，｜ y｜=2 ，且｜ x-y ｜ =y-x ，求 x+y 的．7.化：｜ 3x+1 ｜ +｜ 2x-1 ｜．8.若 2+ ｜4-5x｜ +｜ 1-3x ｜+4的恒常数，求x 足的条件及此常数的．9. a 1b 2 0，求 a b 2001+a b 2000+⋯a b2+ a b．10.已知 ab 2 与 b 1 互相反数，法求代数式1111的值 .ab( a 1)(b1) (a 2)(b2)(a 1999)(b1999)11. 若 a,b, c 为整数，且 a b2001c 2001a ab bc 的值．a 1，计算 c12. 若 a 19, b 97 ，且 a ba b ，那么 ab = ．13. 已知 a 5 ， b 3 且 abab ，求 ab 的值。
初一数学绝对值知识点、考点及例题梳理绝对值是初一上册数学的重难点之一，很多同学绝对值的学习中都存在着一些问题，所有问题的根源大都是对绝对值的概念理解不透彻，没有建立起完整的知识体系，在此梳理下在绝对值学习中需要注意的一些要点。
在绝对值的学习中，首先需要去理解和掌握的就是绝对值的概念，什么是绝对值呢？在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离。
在概念的理解中需要注意，绝对值这个概念是从数轴引出的，它表示的是距离，绝对值本质上是数轴上两点之间的距离，哪两点之间的距离呢？表示某个数的点和原点。
那么由绝对值的定义，我们可以得到有关绝对值的那些性质呢？因为绝对值表示的是距离，从日常经验可知，距离最小为0，不可能为负数，所以就得出了绝对值最重要的一条性质：绝对值具有非负性。
从绝对值的定义出发，结合绝对值的非负性，可以得到绝对值的代数意义，也看成是绝对值性质的推广：正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值等于它的相反数。
以上三条需要牢记。
这是求绝对值和简化绝对值的方法基础。
除过绝对值的定义和性质之外，在绝对值的学习中还需要注意以下细节和要点：任何数都有绝对值，只有一个，而且是非负的。
但是有两个数的绝对值等于正数，而且是相反的。
很多同学容易漏掉其中的一个，比较容易出错。
在有关绝对值的运算，在解含有绝对值的方程中，经常需要运用到分类讨论思路。
绝对值的概念来源于数轴，代表数轴上两点之间的距离。
绝对值与数轴有着密切的关系，在绝对值相关题目的分析和求解中，一定要注意数形结合思想的应用。
特别是在绝对值的几何意义的理解和应用上，需要结合数轴来分析和解决。
绝对值等于它本身的数是正数和0，绝对值等于它的相反数的数是负数和0.1.解决问题的关键是理解绝对值的定义和性质，把握其非负性。
2、求一个数的绝对值，先判定这个数是正数、负数还是0，再根据绝对值的性质确定最终的结果。
3、利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
综合练习题一1、有理数的绝对值一定是( ）A 、正数B 、整数C 、正数或零D 、自然数 2、绝对值等于它本身的数有( ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、无数个 3、下列说法正确的是（ ） A 、—｜a ｜一定是负数B 只有两个数相等时它们的绝对值才相等C 、若|a|=｜b ｜，则a 与b 互为相反数D 、若一个数小于它的绝对值,则这个数为负数 4、比较21、31、41的大小，结果正确的是（ ） A 、21＜31＜41 B 、21＜41＜31 C 、41＜21＜31 D 、31＜21＜415 ）A 、a 〉|b ｜B 、a<bC 、|a ｜〉|b ｜D 、|a|〈｜b ｜ 6、判断。
（1）若｜a|=|b ｜，则a=b 。
（2）若a 为任意有理数，则|a|=a 。
(3）如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么甲数一定大于乙数（ ） （4）|31_|和31_互为相反数。
（ ) 7、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。
8、-4的倒数的相反数是______.9、绝对值小于∏的整数有________。
10、若|-x｜=2,则x=____；若｜x－3|=0,则x=______；若|x－3|=1，则x=_______。
11、实数|b|的大小关系是_______。
12、比较下列各组有理数的大小。
（1）—0。
6○-60 (2）-3.8○—3。
9(3)0○|-2| （4）43-○54-13、已知|a｜+|b|=9,且｜a|=2,求b的值.14、已知｜a|=3,|b|=2，|c|=1,且a〈b〈c，求a、b、c的值.绝对值综合练习题二一、选择题1、 如果m 〉0， n<0， m 〈｜n|，那么m ，n ，-m, -n 的大小关系（ ） A.-n>m>-m 〉n B.m>n>-m 〉-n C 。
—n 〉m 〉n 〉—m D.n>m 〉-n 〉—m2、绝对值等于其相反数的数一定是…………………（ ） A ．负数 B ．正数 C ．负数或零 D ．正数或零3、给出下列说法:①互为相反数的两个数绝对值相等; ②绝对值等于本身的数只有正数； ③不相等的两个数绝对值不相等; ④绝对值相等的两数一定相等．其中正确的有…………………………………………( ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4、如果，则的取值范围是 ………………………（ ）A ．＞OB ．≥OC ．≤OD ．＜O5、绝对值不大于11.1的整数有………………………………( ）A ．11个B ．12个C ．22个D ．23个 6、绝对值最小的有理数的倒数是（ ）A 、1B 、－1C 、0D 、不存在 7、在有理数中,绝对值等于它本身的数有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、无数多个 8、下列各数中，互为相反数的是( )A 、│－32│和－32B 、│－23│和－32C 、│－32│和23D 、│－32│和329、下列说法错误的是（）A、一个正数的绝对值一定是正数B、一个负数的绝对值一定是正数C、任何数的绝对值都不是负数D、任何数的绝对值一定是正数10、│a│= －a，a一定是（）A、正数B、负数C、非正数D、非负数11、下列说法正确的是（）A、两个有理数不相等,那么这两个数的绝对值也一定不相等B、任何一个数的相反数与这个数一定不相等C、两个有理数的绝对值相等，那么这两个有理数不相等D、两个数的绝对值相等，且符号相反，那么这两个数是互为相反数。
绝对值（提高）【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2.法则比较法：要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b ＝0，则a ＝b ；若a -b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b>；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩1．计算：（1）145--（2）|-4|+|3|+|0|（3）-|+(-8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.(1)111444555⎡⎤⎛⎫--=---=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．2．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．【答案与解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4.举一反三：【变式1】(1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，则x、y的值各是多少?【答案】x＝6，y＝±4【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .类型二、比大小3．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】 (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：3344--=-．这是两个负数比较大小，因为44165520-==，33154420-==，且16152020>．所以4354-<--． (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：【变式1】比大小：（1） －0.3 31-（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--． 【答案】＞；＞【变式2】比大小：（1） 1.38-______－1.384；（2） －π___－3.14．【答案】＞；＜【变式3】若m ＞0，n ＜0，且|m |＞|n |，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来．【答案】解法一：∵ m ＞0，n ＜0，∴ m 为正数，-m 为负数，n 为负数，-n 为正数．又∵ 正数大于一切负数，且|m |＞|n |，∴ m ＞-n ＞n ＞-m ．解法二：因为m ＞0，n ＜0且|m |＞|n |，把m ，n ，-m ，-n 表示在数轴上，如图所示．∵ 数轴上的数右边的数总比左边的数大，∴ m ＞-n ＞n ＞-m ． 类型三、含有字母的绝对值的化简4. 把下列各式去掉绝对值的符号．(1)|a -4|(a ≥4)；(2)|5-b |(b ＞5)．【答案与解析】(1)∵ a ≥4，∴a -4≥0，∴ |a -4|＝a -4．(2)∵ b ＞5，∴ 5-b ＜0，∴ |5-b |＝-(5-b )＝b -5．【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.举一反三：【变式1】已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：【答案】由图所示，可得． ∴ 30a c ->，，，∵．∴ 原式． 【变式2】求的最小值． 【答案】法一：当2x <-时，则23(2)[(3)]23215x x x x x x x ++-=-++--=---+=-+> 当时，则23(2)[(3)]235x x x x x x ++-=++--=+-+= 当时，则23(2)(3)23215x x x x x x x ++-=++-=++-=-> 综上：当时，取得最小值为：5.法二：借助数轴分类讨论： ①； ②； ③.的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．由图明显看出时取最小值． 所以，时，取最小值5类型四、绝对值非负性的应用5. 已知a 、b 为有理数，且满足：12，则a =_______，b =________．【答案与解析】由，，，可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．举一反三：【变式1】已知，则x的取值范围是________．【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．【答案】由题意得∴所以，2ba类型五、绝对值的实际应用6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)答：小虫一共可以得到108粒芝麻.。
绝对值经典练习1、判断题：⑴、|-a|=|a|.⑵、-|0|=0.⑶、|-312|=-312.⑷、-(-5)-(-5)››-|-5|.⑸、如果a=4,a=4,那么那么那么|a|=4.|a|=4.⑹、如果、如果|a|=4,|a|=4,|a|=4,那么那么a=4.⑺、任何一个有理数的绝对值都是正数、任何一个有理数的绝对值都是正数..⑻、绝对值小于3的整数有2, 1, 0.⑼、-a 一定小于0.⑽、如果、如果|a|=|b|,|a|=|b|,|a|=|b|,那么那么a=b.⑾、绝对值等于本身的数是正数、绝对值等于本身的数是正数..⑿、只有1的倒数等于它本身的倒数等于它本身..⒀、若、若|-X|=5|-X|=5|-X|=5，则，则X=-5.⒁、数轴上原点两旁的点所表示的两个数是互为相反数、数轴上原点两旁的点所表示的两个数是互为相反数..⒂、一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是负数、一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是负数..2、填空题：⑴、当a_____0时，时，-a -a -a››0;⑵、当a_____0时，1a ‹0;⑶、当a_____0时，时，--1a ›0;⑷、当a_____0时，时，|a||a||a|››0;⑸ 、当a_____0时，时，-a -a -a››a; ⑹ 、当a_____0时，时，-a=a;-a=a; ⑺ 、当a ‹0时，时，|a|=______;|a|=______;⑻ 、绝对值小于4的整数有的整数有_______________________________________________________________________________________；； ⑼ 、如果m ‹n ‹0,0,那么那么那么|m|____|n|;|m|____|n|; ⑽ 、当k+3=0时，时，|k|=_____;|k|=_____;⑾ 、若a 、b 都是负数，且都是负数，且|a||a||a|››|b|,|b|,则则a____b; ⑿ 、|m-2|=1,|m-2|=1,则则m=_________; ⒀ 、若、若|x|=x,|x|=x,|x|=x,则则x=________;⒁ 、倒数和绝对值都等于它本身的数是、倒数和绝对值都等于它本身的数是__________;__________;⒂ 、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则在数轴上的位置如图所示，则|a|=___;|b|=____;|a|=___;|b|=____; ⒃ 、-223的相反数是的相反数是_____________________，倒数是，倒数是，倒数是__________________，绝对值是，绝对值是，绝对值是_____________________；；⒄ 、绝对值小于10的整数有的整数有_______________个，其中最小的一个是个，其中最小的一个是个，其中最小的一个是_______________；； ⒅ 、一个数的绝对值的相反数是、一个数的绝对值的相反数是-0.04-0.04-0.04，这个数是，这个数是，这个数是_____________________；； ⒆ 、若a 、b 互为相反数，则互为相反数，则|a|____|b|;|a|____|b|; ⒇ 、若、若|a|=|b|,|a|=|b|,|a|=|b|,则则a 和b 的关系为的关系为__________.__________.3、 选择题：⑴ 、下列说法中，错误的是、下列说法中，错误的是__________A ．+5的绝对值等于5 B.B.绝对值等于绝对值等于5 的数是5 C ．-5的绝对值是5 D.+5D.+5、、-5的绝对值相等 ⑵、如果⑵、如果|a|=||a|=| 1b|,|,那么那么a 与b 之间的关系是 A.a 与b 互为倒数 Ｂ．ａ与ｂ互为相反数Ｃ．ａ〮ｂ＝－１ Ｄ．ａ〮ｂ＝１或ａ〮ｂ＝－１ ⑶、绝对值最小的有理数是⑶、绝对值最小的有理数是_______ _______A ．1 B.0 C.-1 D.D.不存在不存在 ⑷、如果a+b=0,a+b=0,下列格式不一定成立的是下列格式不一定成立的是下列格式不一定成立的是_______ _______A ．a=1bB.|a|=|b|C.a=-bD.a ≤0时，b ≤0⑸、如果a <0,那么那么_______ _______A ．|a||a|‹‹0 B.-(-a)B.-(-a)››0 C.|a|C.|a|››0 D.-a D.-a‹‹0⑹、有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置，分别在原点的两旁，那么在数轴上的对应点的位置，分别在原点的两旁，那么|a||a||a|与与|b|之间的大小关系是之间的大小关系是_______ _______A ．|a||a|››|b| B.|a|B.|a|‹‹|b| C.|a|=|b| D.D.无法确定无法确定 ⑺、下列说法正确的是⑺、下列说法正确的是________ ________A ．一个数的相反数一定是负数 B.B.两个符号不同的数叫互为相反数两个符号不同的数叫互为相反数 C ．|-(+x)|=x D.-|-2|=-2 ⑻、绝对值最小的整数是⑻、绝对值最小的整数是_______ _______A ．-1 B.1 C.0 D.D.不存在不存在⑼、下列比较大小正确的是⑼、下列比较大小正确的是_______ _______ A ．−56<−45 B.-(-21)B.-(-21)‹‹+(-21) C.-|-1012|›823 D.-|-723|=-(-723) ⑽、绝对值小于3的负数的个数有的负数的个数有______ ______A.2B.3C.4D.D.无数无数⑾、若a 、b 为有理数，那么下列结论中一定正确的是为有理数，那么下列结论中一定正确的是_____ _____A ．若a ‹b,b,则则|a||a|‹‹|b| B.B.若若a ›b,b,则则|a||a|››|b| C.C.若若a=b,a=b,则则|a|=|b| D.D.若若a ≠b,b,则则|a||a|≠≠|b|4、计算下列各题：⑴ 、|-8|-|-5| ⑵、（-3-3））+|-3| ⑶、⑶、|-9||-9|×（+5+5）） D 、15÷|-3|5、填表a13−1212 -a -5 7 +14 -(0.1) |a|126、比较下列各组数的大小：⑴ 、-3与-12； ⑵、-0.5与|-2.5|； ⑶、0与-|-9|; ⑷、|-3.5|与-3.57、把下列各数用“‹”连接起来：⑴、 5， 0， |-3|， -3， |- 13|， -（-8）， -[−（−8)]; ⑵ 、 123， -512， 0， -614；⑶ 、|-5|， -6， -（-5）， -（-10）， -|-10|⑷ （|∆|+|∆|）×（-Ｏ）=-10，求Ｏ、∆，其中O 和∆表示整数.8、比较下列各组数的大小：⑴、-（-912）与-（-812）； ⑵、|-572|与50% ⑶、-π与-3.14 ⑷、- 311与-0.273绝对值经典练习答案：1.⑴、√ ⑵、√ ⑶、× ⑷、√ ⑸、√ ⑹、× ⑺、× ⑻、× ⑼、× ⑽、× ⑾、× ⑿、× ⒀、× ⒁、× ⒂、×2.2.⑴‹⑴‹ ⑵‹ ⑶‹ ⑷≠ ⑸‹ ⑹= ⑺-a ⑻±⑻±11，±2，±3，0⑼、＞⑽＞⑽3 3 ⑾‹ ⑿3或1 ⒀≧⒀≧0 0 ⒁1 ⒂-a -a、、b ⒃223 −38 223 ⒄19 -9 ⒅±⒅±0.04 0.04 ⒆= ⒇相等或互为相反数3.3.⑴⑴B ⑵D ⑶B ⑷A ⑸C ⑹D ⑺D ⑻C ⑼A ⑽D ⑾C4.4.⑴⑴3 ⑵0 ⑶45 ⑷5 5 a 5 0 -7- 14 0.1 -a-130 12 -12 |a| 13 5712140.16.⑴‹ ⑵‹ ⑶› ⑷›7.7.⑴⑴[−（−8）]‹-3-3‹‹0‹|- 13|‹|-3||-3|‹‹5‹-（-8-8））； ⑵-614‹-512‹0‹123；⑶-|-10|-|-10|‹‹-6-6‹‹-|-5|-|-5|‹‹|-5||-5|‹‹-（-10-10））； ⑷5， 5， 1或1， 1， 5或-1-1，， -1-1，， 5或-5-5，， -5-5，， 1 8.⑴› ⑵‹ ⑶‹ ⑷›。
绝对值1、绝对值的意义：数轴上表示数a 的点与原点的距离，就是数a 的绝对值，记为：a 。
如：10和-10的绝对值都是10，即 ,1010,1010=-=显然00=。
例1 求541,312,32,31--的绝对值。
例2 一个数的绝对值是7， 求这个数。
2、有理数的绝对值的求法：（1） 一个正数的绝对值是它本身（2） 一个负数的绝对值是它的相反数（3） 0的绝对值是0即 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 也就是任何有理数的绝对值都是非负数在求用字母表示的数的绝对值时，首先应判断这个数是正数、是零还是负数，再根据定义分类求绝对值。
3、绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
借助数轴，使学生看到两个负数，绝对值大的反而小，从而引出4、 有理数大小的比较（1） 正数大于0， 0大于负数，正数大于负数；（2） 两个负数，绝对值大的反而小例3 比较下列各对数的大小：-（-1）和-（+2） 218-和73- -（-0.3）和31-例4 判断下列结论是否正确，并说明为什么：（1） 若b a =， 则a=b（2） 若b a >， 则a>b例5 把下列各数用“> ”连接起来：43,0,2.4,7.0,32,215--例6 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简c b a ++.思考：1、若01=-+b a ,求a, b.2、填空： (1) 若a a =，则a 0. (2) 若,a a -=则a 0.(3) 若,0=+a a 则a 0. (4) 若1-=a a，则a 0. 提高训练1、 在数轴上表示数 a 的点到原点的距离为5，则 3-a =2、 数轴上有两点A 、B ，如果点 A 对应的数是 -5，且A 、B 两点的距离为4，则点B 对应的数是3、 有理数a 、b 、c在数轴上的位置如图所示，化简=----+-+c c a b b a 11?4、 如图：在工作流水线上，A 、B 、C 、D 处各有1名工人，且AB=BC=CD=2 ，现在工作流水线上放一个工具箱，使4个工人到工具箱的距离之和最短，判断工具箱应放的位置？并说明理由5、 如图：数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ， 且d -2a = 10 ，那么数轴的原点应是哪个点？并说明理由第5题第4题第3题D C B A 10c b a A B6、 如图：数轴上有6个点 ，且AB=BC=CD=DE=EF ，则点E 表示的数最接近的整数是多少？第6题13- 4AB C D E F7、 在数轴上，点 A 、B 分别表示21-和61 ，则线段AB 的中点所表示的数是多少？8、 数轴上有两点A 、B ，如果点 A 与原点的距离为3，且A 、B 两点的距离为4，则满足条件的点B 与原点的距离的和多少？9、b a --9 有最 值，其值为10、 3++b a 有最 值，其值为11、若033=-+-x x ， 则 x 的取值范围为12、若()()01=+-x x x ， 则 x 的取值范围为 13、若a a -= ，则=---a a 2114、若2-<x ，则=+-x 11 15、若3-<x ，则=+-+x 12316、若b a b a -=+ ，则=ab17、若 b a b a +=-，则a 、b 应满足的关系是18、若0>abc ，0=++c b a ，则=+++++cb a b ac a c b19、若0≠abc ，则c c b b a a ++= ；=+++abcabc c c b b a a20、若5=x ，3=y ，且x y y x -=- ，则()=++y x y x。
1．2.4 绝对值情境导入从一栋房子里，跑出有两只狗(一灰一黄)，有人在房子的西边3米处以及房子的东边3米处各放了一根骨头，两狗发现后，灰狗跑向西3米处，黄狗跑向东3米处分别衔起了骨头．问题：1.在数轴上表示这一情景．2．两只小狗它们所跑的路线相同吗？3．两只小狗它们所跑的路程一样吗？在实际生活中，有时存在这样的情况，有些问题我们只需要考虑数的大小而不考虑方向．在我们的数学中，就是不需要考虑数的正负性，比如：在计算小狗所跑的路程时，与狗跑的方向无关，这时所走的路程只需要用正数来表示，这样就必需引进一个新的概念——绝对值．一：知识点梳理：1．绝对值的几何定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫作数a 的绝对值，记作|a |.2．绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.用符号表示为：|a |＝⎩⎨⎧a （a >0）0（a ＝0）－a （a <0）或|a |＝⎩⎨⎧a （a ≥0）－a （a <0） 二：考点分类考点一：求一个数的绝对值【例1】－3的绝对值是( )A．3 B．－3 C．－13D.13解析：根据一个负数的绝对值是它的相反数，所以－3的绝对值是 3.故选A.方法总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.考点二：利用绝对值求有理数【例2】如果一个数的绝对值等于23，则这个数是__________．解析：∵23或－23的绝对值都等于23，∴绝对值等于23的数是23或－23.方法总结：解答此类问题容易漏解、考虑问题不全面，所以一定要记住：绝对值等于某一个数的值有两个，它们互为相反数，0除外．考点三：化简绝对值【例3】化简：|－35|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______．解析：|－35|＝35；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2.方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a.考点四：绝对值的非负性及应用【例4】若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．解析：由绝对值的性质可知|a－3|≥0，|b－2015|≥0，则有|a－3|＝|b－2015|＝0.解：由绝对值的性质得|a－3|≥0，|b－2015|≥0，又因为|a－3|＋|b－2015|＝0，所以|a－3|＝0，|b－2015|＝0，所以a＝3，b＝2015.方法总结：如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都等于0.考点五：绝对值在实际问题中的应用【例5】第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数).(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．(2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．解析：由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克．(2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球|－0.15|＝0.15，合格品．方法总结：判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．【课堂作业】1.在括号里填写适当的数：-|+3|=( )； |( )|=1， |( )|=0；-|( )|=-2．2. 求+7，-2，31，-8.3，0，+0.01，-52，121的绝对值。
人教版七年级上册数学绝对值专项训练一、绝对值的概念1. 定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
2. 性质：-绝对值具有非负性，即|a|≥0。
-互为相反数的两个数的绝对值相等，即若a 与b 互为相反数，则|a| = |b|。
二、典型例题1. 求一个数的绝对值-例1：求|-5|的值。
解：|-5| = 5。
-例2：求|0|的值。
解：|0| = 0。
-例3：求|3.5|的值。
解：|3.5| = 3.5。
2. 已知一个数的绝对值求这个数-例4：已知|a| = 4，求a 的值。
解：因为|a| = 4，所以 a = 4 或 a = -4。
-例5：已知|b| = -2，求b 的值。
解：因为绝对值具有非负性，所以不存在一个数的绝对值为负数，此题无解。
3. 绝对值的化简-例6：化简|2 - 5|。
解：|2 - 5| = |-3| = 3。
-例7：化简|x - 3|（x＜3）。
解：因为x＜3，所以x - 3＜0，那么|x - 3| = 3 - x。
4. 绝对值的运算-例8：计算|3| + |-2|。
解：|3| + |-2| = 3 + 2 = 5。
-例9：计算|5 - 3| - |2 - 4|。
解：|5 - 3| - |2 - 4| = |2| - |-2| = 2 - 2 = 0。
三、专项练习1. 填空题- |-8| = ____。
-若|x| = 6，则x = ____。
-绝对值等于3 的数是____。
- |0 - 5| = ____。
2. 选择题-下列说法正确的是（）。
A. 绝对值等于它本身的数只有0B. 绝对值等于它本身的数是正数C. 绝对值等于它本身的数是非负数D. 绝对值等于它本身的数是负数-若|a| = -a，则a 一定是（）。
A. 正数B. 负数C. 非正数D. 非负数3. 解答题-已知|a - 2| + |b + 3| = 0，求a、b 的值。
-化简|x - 1| + |x - 3|（1＜x＜3）。
绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。
【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A ）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B ）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。
【绝对值必考题型】例1：已知|x －2|＋|y －3|＝0，求x+y 的值。
【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例题】若3150x y z +++++=，则x y z --= 。
总结：若干非负数之和为0， 。
【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a 2)23(223222+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---．其中a 、b 满足0)42(132=-+++a b a .（二）绝对值的性质【例1】若a ＜0，则4a+7|a|等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy ＞0，则x-y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例4】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例5】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例6】已知a ．b 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例7】a ＜0，ab ＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a+2b+6D ．2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x=0，y≥0或y=0，x≤0【例9】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【例10】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m|＞m ，则m ＜0；（4）若|a|＞|b|，则a ＞b ，其中正确的有（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【例12】若x ＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________【例15】已知数,,a b c则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++cc b b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc+++的值c a 0b（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．【例题】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点 值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥（1）求出2x +和4x -的零点值 （2）化简代数式24x x ++-解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．（2）当x ＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；当-2≤x ＜4时，|x+2|+|x-4|=6；当x ≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．【巩固】化简1. 12x x +++2. 12m m m +-+-的值3. 523x x ++-．4. (1)12-x ；变式5.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。
（四）b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .(2) 若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 .(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 .(4) 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 .(5) 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．（五）、绝对值的最值问题例题1: 1）当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？2) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？3) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？4）当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题2：1）当x 取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2)当x 取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？3)当x 取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？4）当x 取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、1）非负数：0和正数，有最小值是02）非正数：0和负数，有最大值是03）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤04）x 是任意有理数，m 是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，-|x+m|≤0有最大值是0（可以理解为x 是任意有理数，则x+a 依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）5）x 是任意有理数，m 和n 是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n-|x+m|+n≤n，有最大值是n(可以理解为|x+m|+n 是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值例题1：1 ) 当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？2 ) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？3 ) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？4） 当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？解： 1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是02）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是33）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-34）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值归档总结：若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？【例题6】|x-1|的最小值|x-1|+|x-2|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值（2）已知|x|≤3，求x的取值范围（3）已知|x|＜3，求x的取值范围（4）已知|x|≥3，求x的取值范围（5）已知|x|＞3，求x的取值范围【例题8】（1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？（2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？【乘方最值问题】（1）当a取何值时，代数式（a-3)²有最小值，最小值是多少？（2）当a取何值时，代数式 (a-3)²+4有最小值，最小值是多少？（3）当a取何值时，代数式(a-3)²-4有最小值，最小值是多少？（4）当a取何值时，代数式-（a-3)²有最大值，最大值是多少？（5）当a取何值时，代数式- (a-3)²+4有最大值，最大值是多少？（6）当a取何值时，代数式-(a-3)²-4有最大值，最大值是多少？（7）当a取何值时，代数式4- (a-3)²有最大值，最大值是多少？【探究1】某公共汽车运营线路AB 段上有A 、D 、C 、B 四个汽车站，如图现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A 、B 、C 、D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？【探究2】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3 A4，A5五个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？【探究3】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An 共n 个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617| 的最小值。
