南平市第二届高中青年教师说课评比活动 2003年9月27日
1 课题：棱锥的概念和性质（说课稿）
光泽一中：童添星
一、说教材
1、教材的地位和作用
“棱锥”这节教材是《立体几何》的第2.2节，它是在学生学习了直线和平面的基础知识，掌握了棱柱的概念和性质的基础上进一步研究多面体的又一常见几何体。它既是线面关系的具体化，又为以后进一步学习棱台的概念和性质奠定了基础。 因此掌握好棱锥的概念和性质尤其是正棱锥的概念和性质意义非常重要，同时，这节课也是进一步培养高一学生的空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容。
2、教学内容
本节课的主要教学内容是棱锥、正棱锥的概念和性质以及运用正棱锥的性质解决有关计算和证明问题。通过观察具体几何体模型引出棱锥的概念；通过棱柱与棱锥类比引入正棱锥的概念；通过对具体问题的研究，逐步探索和发现正棱锥的性质，从而找到解决正棱锥问题的一般数学思想方法，这样做，学生会感到自然，好接受。对教材的内容则有所增减，处理方式也有适当改变。
3、教学目标
根据教学大纲的要求，本节教材的特点和高一学生对空间图形的认知特点，我把本节课的教学目标确定为：
(1)知识目标：使学生理解棱锥以及正棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，领会应用正棱锥的性质解题的一般方法初步学会应用性质解决相关问题。
(2)能力目标：通过对正棱锥中相关元素的相互转化的研究，培养学生知识迁移的能力及数学表达能力，提高学生的空间想象能力以及空间问题向平面转化的能力。
(3)德育、美育目标：通过教学进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。
4、教学重点，难点,关键
对于高一学生来说，空间观念正逐步形成。而实际生活中，遇到的往往是正棱锥，它的性质用处较多。因此，本节课的教学重点是通过对具体问题的分析和探索，自然而然地引出正棱锥的最重要性质及其实质；而如何将空间问题转化为平面问题来解决？本节课则通过抓住正棱锥中的基本图形这一难点实现突破，教学的关键是正确认识正棱锥的线线，线面垂直关系。
正三棱锥的常考性质
正三棱锥：锥体底面为等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体：正四面体的每个面都是全等的等边三角形。
正四面体正三棱锥
正三边形的几点性质
设边长为a
性质：等边三角形四心合一满足𝐴𝑂𝑂𝐹=𝐵𝑂𝑂𝐸=𝐶𝑂𝑂𝐷=2。外接圆半径为BO= 33𝑎，
内接圆半径𝐸O= 36𝑎
推导方法①：
∵E为AC中点
∴𝐶𝐸=12𝐴𝐶=𝑎2，则𝐵𝐸= 3𝐶𝐸= 32𝑎
又∵𝑨𝑶𝑶𝑭=𝑩𝑶𝑶𝑬=𝑪𝑶𝑶𝑫=𝟐
∴R=𝐴𝑂=𝐶𝑂=𝐵𝑂= 𝟑𝟑𝒂; r=𝐷𝑂=𝐸𝑂=𝐹𝑂= 𝟑𝟔𝒂
推导方法②：
有正弦定理可知𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐𝑠𝑖𝑛𝐶=2𝑅
R为三角形外接圆半径𝑅=𝑎2𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏2𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑐2𝑠𝑖𝑛𝐶
∵𝐴=𝐵=𝐶=π3 FDOECBA ∴R=𝑎2𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑎2𝑠𝑖𝑛𝜋3= 𝟑𝟑𝒂
正三棱锥的几点性质
设正三棱柱底边边长为a，侧棱长为b。
性质1：顶点在底面的投影在底面的中心
性质1：正三棱锥的高为 𝑏2−13𝑎2；斜高为 𝑏2−14𝑎2。
推导过程：
PO= PB2−BO2= 𝑏2− 33a 2= 𝑏2−13𝑎2；
𝑃𝐷= 𝐷𝑂2+𝑃𝑂2= ( 36𝑎)2+𝑏2−13𝑎2= 𝑏2−14𝑎2
性质2：正棱锥的外接球半径为𝑅=𝑏22 𝑏2−13𝑎2
正四面体的性质
设正四面体的棱长为a
性质1：正四面体的高 63𝑎；斜高 32a
𝐵𝑂= 𝐶′B2−𝐶′O2= a2−
33a 2= 63𝑎 ODABCpDCC'D'BAB'A'OHIJDC'BA'𝑃𝐻=𝐶′𝐻= 32a 性质2：表面积为 3𝑎2，体积为 2𝑎312
正方体和它的性质
很少有人不知道正方体，因为方块图案积木，乃是小孩喜爱的玩具．似乎有关正方体的性质我们都知道了．那么这是真的吗？你能对它讲些什么？你知道它的哪些性质？
正方体是很大一族多面体的代表．多面体中有些你们已经碰到过，这就是棱锥、长方体．对其他，譬如说，八面体、十二面体将会在以后章节出现．
所有各种各样的多面体有一系列共同的性质．例如，它们的表面都是由平面多边形组成，这些多边形称作多面体的面．两个相邻的多边形有一条公共边，称为多面体的棱．棱的端点是多面体的顶点．观察一下图中的正方体，把它画在练习本上，并且记上正方体的主要成份．记住并且在将来利用这些术语！解答下面的习题并且通过做作业使你们发现正方体的某些性质．
1．你用手拿一个任何材料做成的小正方体，最好不要太小．你的目的是研究它，也就是用测量、观察和计算的方法尽可能多地发现正方体的性质．把发现的性质记在练习本上．在班上讨论所得结果．如果有必要，把你们同班同学发现的那些性质补充进自己的性质表中．（怎样粘成一个正方体，在习题2中讲．）
2．把下图的图形画在格子纸上，并且把它剪下来（每个正方形的边长为4cm）．用它折成正方体，粘好它．剪下的图形称作正方体的展开图．想一下，为什么它这样称呼．它用什么组成？再想出正方体的几个展开图，并且把它们画在练习本上．
3．从下图所画图形中选出是正方体展开图的图形，并且把它们画到练习本中．请说明你们这样选的理由．
4．约定用字母S表示正方体的侧面，用T表示上面，B表示底面．把相应的字母配置在已经加上某些面的记号的正方体展开图中．
5．已给正方体展开图（如图）．
图a～c的正方体中哪些能用这个正方体展开图粘成？选出这些正方体并说明根据．
6．在正方体展开图上把它的面编号（如图）．记下相对面（相对面没有公共棱）的号码：1，_____；2，_____；3，_____．记下与面6相邻的面．把展开图转画在纸上，将各面标号并且把展开图剪下，验证自己的结论．
投稿螂箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ １６３ ＣＯｒｎ……………………数学教学通讯（教师版）… ＇～ 试题研究》知识延伸 直角三棱锥的性质综述 苏进文 广西岑溪第二中学５４３２００ 圈摘要：本文定义三个侧面两两互相垂直的三棱锥称为直角三棱锥，笔者通过深入探究，给出直角三棱锥的 圈 若干・Ｆ＇－．－￣４，并证明这些性质结论的正确性，供同行教学参考． 豳关键词：直角三棱锥；定义；，Ｆ＇－－￣４；证明 定义：三个侧面两两互相垂直的三 棱锥．称为直角三棱锥 直角三棱锥在高三复习立体几何 时经常遇到．学生非常熟悉它的一些基 本性质：三条侧棱两两互相垂直．相对 棱互相垂直：其中一条侧棱垂直于另外 两条侧棱所在侧面：顶点在底面上的射 影是底面三角形的垂心：底面三角形为 锐角三角形：体积等于侧棱长乘积的 １ ：外接球半径的平方等三条侧棱长的 ６ １ 平方和的 ．除此之外．本文再介绍一 ４ 些棱长与高．侧面积与底面积。侧面或 侧棱与底面所成的角．内切球半径等之 间的关系． 如图１．记直角三棱锥Ｐ－ＡＢＣ的侧棱 ＰＡ＝ｎ，ＰＢ＝ｂ．ＰＣ－－－ｃ。顶点尸在底面△ＡＢＣ 内的射影为０，高ＰＯ＝ｈ，内切球半径为 ， ＡＰＡＢ，ＡＰＢＣ。△ＰＡＣ。ＡＡＢＣ的面积分 别是 １， ， 和ｓ． Ｃ 豳１ 性质１： １＝ １ １＋ １． 证明：如图１，易证 ｌＡＢ。加Ｊ＿ ＤＣ，ＰＣＺＰＤ．ｆｆ－￣ｔ＇Ｏ＝＿＿ ，ＰＤ＝－ 、／尸Ｉ ，从而÷：坚： ￣／ ａ２ｂ ２＋ｂ ２ｃ２＋ｃ２ａ２，因此 ＝ １＋西１＋了１０ Ｃ． ∞Ｃ ｎ。 一 一 性质２：Ｓｊ＋Ｓｉ＋ｓ；＝ 证明：如图ｌ，ｓ＝÷Ａ曰・ＣＤ＝１，・ 、／ ．、／ ＝＼／｛（ （ｃｚ＋斋） ＝、／｛ ｚ＋｛ ｚｃｚ＋｛ｃ ＝ 璃， 于是Ｓ２＝ｓ｛＋ ＋ ． 性质３： ： ＋ ＋ ＋一１． ａ ｂ Ｃ ｈ 证明：如图１， 吉ｎ６ｃ＝÷．ｓ，ｙ＋ ÷．ｓ ＋Ｓｗ＋ ｉ ｓｒ，整理得专＝ 盟．又 ＝（譬） ＋ ∞Ｃ 、 （争）ｚ＋（等）ｚ，故２Ｓ＝ Ｎ／—（ａｂ）２＋（ｂｃ—）２＋（ｃａ）２．于是 ： ±垒！ 亘 巫： ａｂｃ ａ ÷＋ １＋＼／吉＋吉＋吉＝ １＋ １＋ １＋ １． 性质４：．ｓ｝：ｓ・Ｓ△＾ Ｓ；＝．ｓ・．ｓ饿，Ｓ；＝ Ｓ・．ｓ ∞ 证明：如图ｌ，ｓ ÷ＡＢ ｐＤ２，ｓ ∞＝ ｌＡＢ．Ｄ０．Ｓ：ｌＡＢ．Ｄｃ． ２ ２ Ｙ－ＰＤ上 ，ＰＤ上ＤＣ，所以ＰＬＦ＝ＤＯ・ ＤＣ．于是ｓ｝＝ ・ｓ△＾ 同理可证， ＝ｓ・ｓ ，．ｓ；＝｜ｓ－．ｓ ∞ 性质５：直角三棱锥的侧面与底面 所成角的余弦的平方和等于１． 证明：如图１，不妨设侧面ＰＡＢ， ＰＢＣ，ＰＡＣ与底面ＡＢＣ所成角分剐为 ， ，￣ｔ］ＣＯＳＯｔ＝ ，ｃｏｓ￣＝ ，ｃｏｓ，／＝ ．于是ｃ。ｓ ＋ｃｏｓ 。ｓ ＝警＋ 警＋等＝ ＋ Ｓ￣Ｂｏｃ＋ ： ：１． Ｓ・．ｓ ∞ Ｓ 一 推论：如果直角三棱锥的侧棱长相 等．则侧面与底面所成角的余弦值均为 、／丁 了‘ 性质６：直角三棱锥的底面与其中 一侧面所成角的正切的平方等于底面 每一条边与该侧面所成角的正切的平 方和． 证明：如图１．不妨设底面ＡＢＣ与侧 面 日所成的角为 ，边 ，ＣＢ，Ａ曰与侧 面 曰所成的角分别为 。， ， ，易证 ／－ＰＤＣ＝Ｏ， ＣＡＰ＝－ＯＩ， ＣＢＰ＝－０２，０３－－０．因 为ＰＤ・ＡＢ＝ＰＡ・ＰＢ，
