3直线和圆中的最值问题

高二数学直线与圆中的范围，最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高二数学是学生学习数学的重要阶段，其中直线与圆的范围、最值问题是一个重要的知识点。

直线与圆是几何学中常见的基本图形，通过研究它们的范围和最值问题，可以帮助我们更好地理解几何学知识和提高数学解题能力。

一、直线与圆的范围问题在高二数学中，直线与圆的范围问题是一个常见的题型。

在这类问题中，我们需要根据给定的条件，求解直线和圆的交点、直线与圆的位置关系等。

通过分析这些问题，可以帮助我们锻炼逻辑思维能力和几何推理能力。

我们常见的一个问题是求解一条直线与一个圆的交点。

在这种情况下，我们可以通过联立直线方程和圆方程，求解得到交点的坐标。

我们也可以通过图形的几何性质，利用角度和面积关系来求解交点的坐标。

这种方法不仅可以帮助我们更直观地理解直线与圆的位置关系，同时也可以提高我们的几何思维能力。

除了交点问题，直线与圆的位置关系问题也是直线与圆范围问题的重要内容。

在这种情况下，我们需要判断一条直线与一个圆的位置关系，例如直线是否相交、相切或相离等。

通过分析直线与圆的几何性质，我们可以利用距离公式或者向量运算等方法，快速求解出直线与圆的位置关系，从而解决相应的问题。

我们常见的一个问题是求解一个圆与一条直线的最大交点数。

在这种情况下，我们可以通过分析直线与圆的几何性质，确定交点的位置关系，进而求解出最大交点数。

我们也可以利用微积分法，对交点函数进行求导，求得最大值或最小值，从而得出最大交点数。

在实际问题中，直线与圆的最值问题也具有广泛的应用。

在工程设计中，我们常常需要通过求解直线与圆的最值问题，确定构建物体的最优位置、最短路径等。

通过研究直线与圆的最值问题，我们可以应用数学原理，解决实际问题，提高实际工作效率。

第二篇示例：高中数学中，直线与圆是一个重要的内容，其中涉及到了许多范围和最值的问题。

在解决这些问题时，我们需要深入理解直线与圆的性质，并灵活运用数学知识来解决这些问题。

xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。

【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。

【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。

直线与圆的最值问题1 最值模型(1)三点共线模型(三角形三边的关系)(i)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则(AP+BP)min=AB′(当点A、P、B′共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点.(ii)点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB(当点A、P、B共线时取到).(iii)点A、B在直线l异侧，点P在直线l上，则|AP−BP|max=AB′(当点A、P、B共线时取到)，点B′是点B关于直线l的对称点.(2)某点M到圆⊙O上点N的距离(i)若点M在圆内，则MN min=MN1=r−OM，MN max=MN2=r+OM；(ii)若点M在圆外，则MN min=MN1=OM−r，MN max=MN2=r+OM；(3)圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PE min=P1F=d−r，PE max=P2F=d+r.2 圆的参数方程圆的标准方程(x −a )2+(y −b )2=r 2，圆心为(a ,b)，半径为r ，它对应的圆的参数方程：{x =rcosθ+a y =rsinθ+b(θ是参数). 理解：如图，易得rcosθ=有向线段HM =x −a ⇒x =rcosθ+a ，rsinθ=有向线段HP =y −b ⇒y =rsinθ+b .Eg 圆(x +1)2+(y −2)2=9的参数方程为{x =3cosθ−1y =3sinθ+2.【题型一】几何法处理最值问题情况1 三点共线模型【例题1】P 是直线L ：3x −y −1=0上一点，求(1)P 到A(4 ,1)和B(0 ,4)的距离之差的最大值；(2)P 到A(4 ,1)和C(3 ,5)的距离之和的最小值．情况2 斜率型最值【例题1】如果实数x ,y 满足条件：(x −2)2+y 2=3，那么y x 的最大值是 .情况3 两点距离型最值【例题1】已知点M(a ,b)在直线l ：3x +4y =25上，则a 2+b 2的最小值为 ．【例题2】已知点P， Q分别在直线l1：x+y+2=0与直线l2：x+y−1=0上，且PQ⊥l1，点A(−3 ,−3)，B(32 ,12)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.情况4 圆外一定点到圆上点距离最值【例题1】已知x、y满足(x−1)2+y2=1，则S=x2+y2+2x−2y+2的最小值是.【例题2】已知点P(7 ,3)，圆M：x2+y2−2x−10y+25=0，点Q为在圆M上一点，点S 在x轴上，则|SP|+|SQ|的最小值为.情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值【例题1】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆(x−1)2+y2=1上的动点，则△ABP面积的最大值和最小值之和为．课堂练习1 已知x2+y2=1，则y−1的取值范围是．x+22 已知点P(x ,y)在圆x2+y2=1上，则√(x−1)2+(y−1)2的最大值为．3 已知圆x2+(y−2)2=1上一动点A，定点B(6 ,1)；x轴上一点W，则|AW|+|BW|的最小值等于．4 已知两个同心圆的半径分别为3和4，圆心为O．点P、Q分别是大圆、小圆上的任意一点，线段PQ的中垂线为l．若光线从点O射出，经直线l(入射光线与直线l的公共点为A)反射后经过点Q，则|OA|−|AQ|的取值范围是．5 已知点A(−2 ,0) ,B(0 ,2)，若点P在圆(x−3)2+(y+1)2=2上运动，则△ABP面积的最小值为．6 过动点P作圆：(x−3)2+(y−4)2=1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|=|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是．7 已知直线l：x−y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为．8 已知圆(x−a)2+(y−b)2=1经过原点，则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为．9如图，设圆C1：(x−5)2+(y+2)2=4，圆C2：(x−7)2+(y+1)2=25，点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，则|PA|+|PB|的最小值为．【题型二】代数法处理最值问题【例题1】 已知圆C 的圆心在直线x −2y =0上，且经过点M(0 ,−1)，N(1 ,6)．(1)求圆C 的方程；(2)已知点A(1 ,1)，B(7 ,4)，若P 为圆C 上的一动点，求|PA |2+|PB |2的取值范围．【例题2】 已知直线l ：y =x ，圆C ：x 2+y 2−4x +3=0，在l 上任意取一点A ，向圆C 作切线，切点分别为M ,N ，则原点O 到直线MN 的距离d 的最大值为 ．【例题3】 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2−4x +1=0．(1)求y −x 的最大值和最小值；(2)求x 2+y 2的最大值和最小值；(3)求y x+1的取值范围．【例题4】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的边长为4，E(0 ,1)，点F 是正方形边OC 上的一个动点，点O 关于直线EF 的对称点为G 点，当|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时，直线GF 的方程为 .课堂练习1 若实数x ,y 满足x 2+y 2+4x －2y －4=0，则√x 2+y 2的最大值是( )A ．√5+3B ．6√5+14C ．−√5+3D ．－6√5+14 2 [多选题]若实数x ,y 满足条件x 2+y 2=1，则下列判断正确的是( )A ．x +y 的范围是[0 ,√2]B ．x 2－4x +y 2的范围是[－3 ,5]C ．xy 的最大值为1D ．y−2x+1的范围是(−∞ ,−34] 3 [多选题]已知点P(2 ,4)，若过点Q(4 ,0)的直线l 交圆C ：(x −6)2+y 2=9于A ,B 两点，R 是圆C 上动点，则( )A ．|AB|的最小值为2√5B ．P 到l 的距离的最大值为2√5C ．PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PR⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为12－2√5 D ．|PR|的最大值为4√2+3 4 已知点A(1 ,1) ,B(2 ,2)，点P 在直线y =12x 上，求|PA |2+|PB |2取得最小值时P 点的坐标．5 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x −2)2+y 2=1，M 为圆C 的圆心，过原点O 的直线l 与圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 两点均不在x 轴上)．求△ABM 面积的最大值．6 已知直线l 过定点P(−2 ,1)，且交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B ，点O 为坐标原点．(1)若△AOB 的面积为4，求直线l 的方程；(2)求|OA|+|OB|的最小值，并求此时直线l 的方程；(3)求|PA|⋅|PB|的最小值，并求此时直线l的方程．7 在平面直角坐标系xOy中．已知圆C经过A(0 ,2)， O(0 ,0) ， D(t ,0)(t>0)三点，M是线段AD上的动点，l1 ,l2是过点B(1 ,0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴于点E，l2交圆C于P ,Q两点．(1)若t=PQ=6，求直线l2的方程；(2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数，求△EPQ的面积的最小值．。

直线和圆中的最值求解方法作者：赵建勋来源：《中学生理科应试》2014年第04期直线和圆是解析几何的重要内容，而最值问题是其重要题型，解这类题不仅要灵活用到直线和圆的有关知识，而且还要用到求最值的各种方法，解法相当灵活，现举例方法说明，供同学们复习时参考.一、建立二次函数用顶点法例1在直线L∶y=2x上求一点P，使P点到两定点A（3，0）、B（0，4）的距离的平方和为最小.解设P（x,2x)，则有|PA|2+|PB|2=(x-3)2+(2x)2+x2+(2x-4)2=10x2-22x+25∵a=10>0,∴抛物线开口向上，∴函数在顶点处取得最小值.∴当x=-b2a=--222×10=1110时，|PA|2+|PB|2取最小值，故P点坐标为（1110，115）.点评二次函数求最值一般用配方法，本题只求x的值，所以用顶点法要简单.二、设角为自变量用三角法例2过点P（2，1）作直线l交x轴、y轴的正向于A、B两点，求|PA|·|PB|最小时的直线l 的方程.分析此直线过已知点，求出斜率即可，若直接设斜率为k，求|PA|·|PB|的最小值很繁.设角为自变量即可转化为三角函数求最值，易求斜率.图1解如图1，过P做PC⊥x轴于C，PD⊥y轴于D，设∠BAO=θ，则∠BPD=θ,则|PA|=1sinθ,|PB|=2cosθ,于是|PA|·|PB|=1sinθ·2cosθ=2sinθcosθ=42sinθcosθ=4sin2θ.要使|PA|·|PB|最小，只需sin2θ最大，即sin2θ=1,2θ=90°,∠BAO=θ=45°，∴kAB=kl=tan135°=-1.故直线l的方程为y-1=-(x-2)，即x+y-3=0.三、建立一元二次方程用判别式法例3已知直线l1∶y=4x，和点P（6，4），在直线l1上求一点Q，使过P、Q的直线与l1以及x轴在第一象限内所围成的三角形面积最小.图2解如图2，设Q（x1,4x1)，则直线PQ的方程y-44x1-4=x-6x1-6.令y=0，得x=5x1x1-1,故点A的坐标为（5x1x1-1,0).∴S=12·4x1·5x1x1-1=10x21x1-1.即10x21-Sx1+S=0(1)∵x1为实数，∴Δ=S2-40S≥0,∵S>0,∴S≥40，将S=40代入（1）得x21-4x1+4=0.解方程得x1=2,y1=4x1=4×2=8.故点Q（2，8）.点评问题转化为函数后为分式函数，可考虑用判别式法求最值.四、注意变元为正，用均值不等式法例4过已知点P（1，4）引一条直线，要使它在两坐标轴上的截距都为正，且它们的和为最小，求这条直线的方程.解设在两个坐标轴上的截距分别为a、b，则所求直线方程为xa+yb=1.(1)将P（1，4）代入方程（1）得1a+4b=1，解得a=bb-4,∵a>0,b>0,∴b>4.设截距之和为L，则L=a+b=bb-4+b=b-4+4b-4+b-4+4=1+4b-4+(b-4)+4=5+(b-4)+4b-4≥5+2(b-4)·4b-4=5+24=5+4=9.当且仅当b-4=4b-4时取等号，即b=6或b=2.此时a=3或a=-1.又a>0,b>0,∴a=-1舍去.故所求直线方程是x3+y6=1，即2x+y-6=0.点评构造变元积为定值，求和的最小值.关键是作b=b-4+4的技巧性的变形.五、注意转化，巧用函数的单调性图3例5如图3，在平面直角坐标系中，在y轴正半轴上（坐标原点除外）给定两点A、B，C点在x轴正半轴上移动，问C点在何处时∠ACB最大，并求最大值.分析要求角的最值，先取一个函数，求函数的最值，关键是用函数的单调性.解设A（0，a)、B（0，b),00.令∠ACB=α，于是tanα=kBC-kAC1+kBCkAC=-bx+ax1+abx2=a-bx+abx=a-bab(xab+abx)记y=xab+abx≥2,当且仅当x=ab时，y取最小值2.因此，当x=ab时，tanα取最大值a-b2ab.∵在(0,π2)内y=tanα是增函数，∴C点在（ab,0)时，α取最大值arctana-b2ab.即C点在（ab,0）时，∠ACB取最大值，这个最大值为arctana-b2ab.点评此题是求角的最大值，形式新颖，解法灵活、技巧性强，值得一学.六、注意数形结合，巧用对称法例6已知圆C：（x-3)2+(y-1)2=4和直线l:x-y-5=0，在C上求两点，使它们和l的距离分别是最近和最远.解已知圆的圆心为C（3，1），过C点作直线l′⊥l于D，且l′交圆C于A1、A2，又圆是中心对称图形，所以A1、A2是与l的距离分别是最近和最远的点.离垂足近者为最近距离点，离垂足远者为最远距离点.∵直线l的方程为y=x-5,∴kl=1,则kl′=-1.故直线l′的方程为y-1=-(x-3),即y=-x+3+1,解方程组y=-x+3+1(x-3)2+(y-1)2=4①②把①代入②后，化简整理，得2（x-3)2=4,即(x-3)2=2,∴x-3=±2,x=3±2，代入①得y1=1-2,y2=1+2.故所求两点是（3+2,1-2),(3-2,1+2).七、注意转化，巧用公式a2+b2≥2ab法例7设满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.解设圆的圆心为P（a,b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧的圆心角为90°，知圆截x轴所得弦长为2r，故r2=2b2.又圆P截y轴所得长为2,所以有r2=a2+1.从而2b2-a2=1.又点P（a,b)到直线x-2y=0的距离为d=|a-2b|5.所以5d2=|a-2b|2=(a-2b)2=a2-4ab+4b2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=a2+4b2-2a2-2b2=2b2-a2=1.当且仅当a=b时，上式等号成立，此时5d2=1，从而d有最小值.此时a=b2b2-a2=1,解方程组得a=1b=1,或a=-1b=-1.由于r2=2b2=2,∴r=2.于是所求圆的方程是（x-1)2+(y-1)2=2,或（x+1)2+(y+1)2=2.八、巧变形，用一次函数的单调性法例8在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分 别为a、b、c，且c=10,cosAcosB=ba=43,P 为△ABC内切圆上的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值.解由cosAcosB=ba，根据正弦定理，有cosAcosB=sinBsinA,sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B.∵A≠B,2A≠2B,∴A+B=π2,故△ABC是直角三角形.由c=10，ba=43,a2+b2=102及a>0,b>0,得a=6,b=8.图4如图4，设△ABC内切圆的圆心为O′，切点为D、E、F，内切圆半径为r，则2r=a+b-c=6+8-10=4,∴r=2.建立如图4的直角坐标系，则内切圆方程为（x-2)2+(y-2)2=4.设圆上动点P的坐标为（x,y),则P点到A、B、C的距离的平方和为W=|PA|2+|PB|2+|PC|2=（x-8)2+y2+x2+(6-y)2+x2+y2=3［(x-2)2+(y-2)2］-4x+76=88-4x∵P点在内切圆上，故必有0≤x≤4.∴W最大值=88；W最小值=72.点评解此题的关键是证明△ABC为直角三角形，写出内切圆方程（x-2)2+(y-2)2=4,在建立函数式中凑出（x-2)2+(y-2)2=4，整体代入4，为用一次函数单调性创造条件，方法灵活、技巧性强，值得一学.(收稿日期：2013-06-15)。

此时|2k— 0| :k2+1全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编（附详解）a直线与圆的综合问题考点一与圆有关的最值问题考法（一）斜率型最值问题［典例］已知实数x,y满足方程x2 + y2— 4x+ 1= 0,求#的最大值和最小值.入2 2［解］原方程可化为（x— 2） + y = 3,表示以（2,0）为圆心，，3为半径的圆.$的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设x= k,即y= kx.入当直线y= kx与圆相切时（如图），斜率k取得最大值或最小值,解得k= 土, 3.所以x的最大值为一 3,最小值为—一 3.入［解题技法］形如尸y—b型的最值问题，可转化过定点（a, b）的动直线斜率的最值问题x — a求解.如本题y= y~0表示过坐标原点的直线的斜率.x x— 0全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)考法（二）截距型最值问题［典例］已知实数x, y满足方程x2 + y2— 4x+ 1 = 0,求y— x的最大值和最小值.全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)2)2 + y 2= 3,故可令x — 2= 3cos 0, y= . 3si n 0,X =A /3COS 0+ 2即彳厂y= . 3sin 0,从而 y — 3sin 0—.3cos ［解］y —x 可看作是直线y=x+ b 在y 轴上的截距，如图 所示，当直线y= x+ b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或 最小值，此时|2—0^b| = 解得b= — 2±6.所以y —x 的 最大值为—2+ .6,最小值为—2— 6.［解题技法］形如 尸ax+ by 型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解. 如本 题可令b= y — x ，即y=x+ b ，从而将y — x 的最值转化为求直线y=x+ b 的截距 的最值问题.另外，此类问题也常用三角代换求解.由于圆的方程可整理为 (x —0-2 = (6S in 〔0—寸―2,进而求出y — x 的最大值和最小值.考法(三)距离型最值问题［典例］已知实数x, y 满足方程x 2 + y 2 — 4x+ 1 = 0,求x 2 + y 2的最大值和最 小值. ［解］如图所示，x 2 + y 2表示圆上的一点与原点距离的平 方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点 处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为 -2— 0 2+ 0 — 0 2= 2,所以x 2 + y 2的最大值是(2 + ,3)2= 7 + 4 3, x 2 + y 2 的最小值是(2 — . 3)2 = 7 — 4 3. ［解题技法］形如 尸(x — a)2+ (y — b)2型的最值问题，可转化为动点(x, y)与定点(a, b) 的距离的平方求最值.如本题中x 2 + y 2 = (x — 0)2 + (y — 0)2，从而转化为动点(x,—2k — 0— k+ 2|. ----- =1解得k=3 土;y — 2 x — 1的最大值为3+^・ y)与坐标原点的距离的平方.［专题训练］1.已知圆C: (x+ 2)2 + /= 1, P(x, y)为圆上任意一点，贝U 匕2的最大值为X — 1解析：设匚2 = k,即 kx — y — k+ 2= 0,x- 1圆心 C(—2,0), r = 1.当直线与圆相切时，k 有最值,答案：节2. ____________________ 设点 P(x, y)是圆：x 2+ (y — 3)2= 1 上的动点，定点 A(2,0), B( — 2,0)，则 貳—B 的最大值为 .解析：由题意，知工A = (2 — x, — y), "PB = (— 2—x, — y),所以"PY R 宜= x 2 + y 2 — 4,由于点P(x, y)是圆上的点，故其坐标满足方程x 2 + (y — 3)2= 1,故x 2=— (y — 3)2 + 1,所以"P1? = — (y — 3)2 + 1 + y 2 — 4 = 6y — 12易知 2<y<4,--- A -- A所以，当y= 4时，PA -B 的值最大，最大值为6X 4— 12= 12.答案：12 考点二直线与圆的综合问题［典例］已知直线1: 4x+ ay — 5= 0与直线I': x — 2y= 0相互垂直，圆C 的圆心与点(2,1)关于直线I 对称，且圆C 过点M(— 1,— 1).(1)求直线l 与圆C 的方程.n—•—2 =—1,m= 0,解得］.-0(0,0).n = 0,(2)过点M作两条直线分别与圆C交于P, Q两点，若直线MP，MQ的斜率满足k MP+ k MQ = 0,求证：直线P Q的斜率为1.［解］⑴•••直线1: 4x+ ay— 5 = 0与直线I' : x— 2y= 0相互垂直，•'4X 1 — 2a = 0,解得 a = 2.•••直线I的方程为4x+ 2y— 5 = 0.设圆C的圆心C的坐标为(m, n).•••圆心C(m, n)与点(2,1)关于直线I对称，m+2 n+1.4 X 2~ + 2 X ~2~ — 5 = 0,•••圆C 的半径 r = |CM|= 2.•••圆C的方程为x2 + y2= 2.(2)证明：设过点M的直线MP的斜率为k,则过点M的直线MQ的斜率为—k,直线MP的方程为y+ 1 = k(x+ 1).•••直线MP与圆C相交,y+1 = k(x+1,•联立得方程组(2 2lx2+y2=2,2 2 2消去 y 并整理，得(1 + k )x + 2k(k— 1)x+ k — 2k— 1 = 0.•••圆C 过点 M(— 1,— 1),2 2 k — 2k— 1 2k+ 1 — km—2同理，将k替换成—k,可得X Q =2—k2— 2k+1-xP•— 1)= 2 ，• xP= 21 + k 1+ k所以圆心C到直线x+y+ 2= 0的距离为|2+ 2|2 2,y Q — y p — k(X Q + 1)—1 — k(x p+ 1)+ 1 — k(X Q + X P厂 2k •'k pQ = = = = 1.X Q — X P X Q — X P X Q— X P[解题技法]直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决.(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑.[专题训练]1.(优质试题全国卷川)直线X+ y+ 2 = 0分别与X轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(X — 2)2 + y2 = 2上，则△ ABP 面积的取值范围是( )A. [2,6] B . [4,8]C. L.2, 3 2]D. [2 2, 3 2]解析：选A 设圆(x— 2)2+ y2 = 2的圆心为C,半径为r，点P到直线x + y+ 2= 0的距离为d，则圆心 C(2,0)，r = .2,可得 d max= 2讥+ r = 3灵 ,d min = 2.2 — r = 2.由已知条件可得AB|= 2 2,1所以△ABP面积的最大值为2AB| d max= 6,1△XBP面积的最小值为2AB|d min = 2.综上，MBP面积的取值范围是[2,6].则圆心C到直线I的距离d= |2— 0+ m| |2+ m|2 = 22 2 CM2匸 d2 + 哆2,所以4=“ 2(2+ m)2 + 2,2.(优质试题湖北八校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 C: x2 + y2— 4x= 0及点 A( — 1,0), B(1,2).(1)若直线I平行于AB,与圆C相交于M , N两点，|MN| =AB|，求直线I的方程；2 2(2)在圆C上是否存在点P,使得|FA |+|PB匸12?若存在，求出点P的个数; 若不存在，说明理由.解：⑴因为圆C的标准方程为(x— 2)2+ y2 = 4,所以圆心C(2,0)，半径为2.因为 I /AB, A(— 1,0), B(1,2),2— 0所以直线1的斜率为C=1,设直线I的方程为x — y+ m= 0,因为 |MN匸 |AB|= 22+ 22 = 2 2,解得m= 0或m= — 4,故直线I的方程为x — y= 0或x— y— 4= 0.(2)假设圆 C 上存在点 P,设 P(x, y)，则(x— 2)2 + y2 = 4, |PA|2 + |PB|2= (x+1)2 + (y— 0)2 + (x— 1)2+ (y— 2)2= 12, 即卩 x2 + y2— 2y — 3 = 0, 即卩 x2+ (y — 1)2 =4, 因为 |2- 2|v ] 2— 02+ 0— 1 2< 2+ 2,所以圆(x— 2)2 + y2 = 4 与圆 x2+ (y— 1)2= 4 相交，所以存在点P,使得|PA|2 + |PBf= 12,点P的个数为2.即卫手宰、r.由基本不等式，得 严a 2r 三翕=近，当且仅当a 4= 1，即a =±时取 ［课时跟踪检测］1. 已知圆 C: x 2 + y 2 — 2x — 2my+ m 2— 3= 0 关于直线 I: x — y+ 1 = 0 对称， 则直线x=—1与圆C 的位置关系是()A .相切B .相交 C.相离D .不能确定解析：选A 由已知得C: (x — 1)2+ (y — m)2 = 4,即圆心C(1, m)，半径r =2,因为圆C 关于直线I: x — y+ 1 = 0对称，所以圆心(1, m)在直线I: x — y+ 1= 0上，所以 m= 2.由圆心C(1,2)到直线x= — 1的距离d= 1 + 1 = 2= r 知，直 线x= — 1与圆C 相切.故选A.2. 直线ax+ zy+ 2 = 0与圆x 2 + y 2= r 2相切，则圆的半径最大时，a 的值是a()A. 1 B . — 1C. ±D. a 可为任意非零实数一 1解析：选C 由题意得，圆心(0,0)到直线ax+ -y+ 2 = 0的距离等于半径r ，a等号.故选C.3. 与圆x 2 + y 2 + 2 2y+ 1 = 0相切，且在两坐标轴上截距相等的直线的条数为()A. 2B. 3C. 4D. 6解析：选B圆的标准方程为x 2 + (y+ ,2)2= 1，设切线方程为y= kx+ m ，B. ,21 "T则詈1,整理得(2+ m)2= k 2+ 1,又因为切线在两坐标轴上的截距相等,；k +1mf(>/2+ m k + 1，0,所以m 二—m ，联立方程得m解得或ki m — m,戶±k =—1, 、 、、 、所以切线方程为y=或y= — x —2 2,切线共有3条.m= — 2 2, 4.已知点P(x, y)是直线kx+ y+4 = 0(k>0)上一动点，PA, PB 是圆C: x 2+ y 2 — 2y= 0的两条切线，A, B 是切点，若四边形FACB 的最小面积是2,则k 的值为()A. 3 C. 2 .2解析：选D 圆C: x 2 + y 2— 2y= 0的圆心为(0,1)，半径r = 1.由圆的性质， 知S 四边形PACB = 2S PBC .T 四边形PACB 的最小面积是2, /S ZPBC 的最小值为1,则1 rd min = 1(d 是切线长)，「d min = 2. v 圆心到直线kx+ y+ 4= 0的距离就是PC 的最小 值，.•.|PC|min = 2= d +1 = 5.・.k>0,.°k = 2故选 D.W + k 25.(优质试题 赣州七校联考)已知圆C: x 2 + y 2— 2ax — 2by+ a 2 + b 2— 1= 0(av 0)的圆心在直线-3x —y+ 3= 0上，且圆C 上的点到直线 3x+ y= 0的距离的最大值为1+ .3,则a 2+ b 2的值为()1解析：直线l 的方程可变形为y=3ax+ 4,所以直线I 过定点 (0,4)，且该点在圆M 上.圆的方程可变形为x 2+ (y — 2)2 = 4,所以A. 1 B . 2C. 3D. 4解析：选C易知圆的标准方程为(x— a)2 + (y— b)2= 1,所以圆心为(a, b),由圆心在直线，3x— y+. 3= 0上，可得• 3a— b+ 3= 0,即b= . 3(a+ 1) ①.厂M3a+ b| 厂圆C上的点到直线3x+ y= 0的距离的最大值 d max= 1 + 2 =』3+ 1,3得|.3a+ b匸2 3 ②.由①②得|2a+ 1|= 2,又av0,所以a=—㊁，a2 +2 2a2 + 3(a+ 1)2= 3.6.已知实数x, y满足(x+ 5)2 + (y — 12)2= 25,那么x2+ y2的最小值为解析：由题意得寸x2+ y2= p(x- 0$+( y-0$表示点P(x, y)到原点的距离，所以-‘X + y的最小值表示圆(x+ 5) + (y — 12) = 25上一点到原点距离的最小值.又圆心(—5,12 )到原点的距离为 J — 5 2+ 122= 13,所以［X2 + y2的最小值为 13 — 5 = 8.答案：82 27.已知P(x, y)为圆(x— 2) + y = 1上的动点，贝U |3x + 4y — 3|的最大值为2 1解析：设 t= 3x + 4y— 3, 即卩 3x+ 4y — 3 — t = 0.由圆心(2,0)到直线 3x+ 4y— 3|6- 3—1|—1= 0 的距离 d= —21,\/32+ 42解得—2 w tw 8所以 |3x+4y— 3| max= 8.答案：88.(优质试题贵阳适应性考试)已知直线I: ax— 3y+ 12= 0与圆M : x2 + y2n圆心为M(0,2),半径为2•如图，因为/AMB = 3,所以△AMB是等边三角形，且边长为2,高为.3,即圆心M至U直线I的距离为•. 3,所以2= .3,解得ayj a + 9=± 3.答案：±_ 39.已知曲线C上任一点M(x, y)到点E - 1, 和直线a： y=—扌的距离相等，圆 D: (x—1)2 + Jy — *)= r2(r>0).(1)求曲线C的方程；(2)过点A( — 2,1)作曲线C的切线b,并与圆D相切，求半径r.解: (1)由题意得、(x+ 1 J + Jy—1J = y+ 4 .两边平方并整理，得y= (x+1)2.•••曲线C的方程为y= (x+ 1)2.2(2)由 y= (x+ 1)，得 y' = 2(x+ 1).•••点A( — 2,1)在抛物线C 上,•••切线b的斜率为y' |x=-2= — 2.•••切线b 的方程为 y— 1 = — 2(x+ 2),即卩 2x+y+ 3= 0.又直线b与圆D相切,•••圆心D 1, 2到直线b的距离等于半径,| 1, n—4y= 0相交于A, B两点，且/ AMB = 3,则实数a = ________________ .Y1+2 + 3I =诬V5 = 10 .10.已知过点A(1,0)且斜率为k的直线I与圆C:(x— 2)2+ (y— 3)2= 1交于M, N两点.(1)求 k的取值范围;2k 2+ 6k+ 129k 2 1 + k 2.(2) 1OM ON = 12,其中0为坐标原点，求|MN|.解：(1)设过点A(1,0)的直线与圆C 相切，显然当直线的斜率不存在时，直 线x= 1与圆C 相切.当直线的斜率存在时，设切线方程为 y= k o (x-1)，即k o x-y — k o = 0. •••圆C 的半径r= 1，|k o — 3|4•••圆心C(2,3)到切线的距离为.2— = 1,解得k o =3.屮0+13 •••过点A 且斜率为k 的直线I 与圆C 有两个交点，44••k >3，即k 的取值范围为3，+.2 2 2(2)将直线I 的方程y= k(x — 1)代入圆C 的方程，得(1 + k)x — (2k + 6k+ 4)x2+ k + 6k+ 12 = o.设 M(X 1，y 1)，N(X 2，y 2)，则22k 2 + 6k+ 4X 1 + x 2 =2 —，1 + k2 2•°y 1y 2= k (X 1 — 1)(x 2 — 1) = k (X 1X 2 — X 1 — X 2 + 1)=2—>—>1ok 2 + 6k+ 12•OM ON = X 1X 2 + y 1y 2=2= 12，解得 k= 3 或 k= o(舍去).1 + k•直线I 的方程为3x — y — 3= o.故圆心(2,3)在直线I上，•|MN|= 2r = 2.B级1.已知圆 M: (x—2)2 + (y — 2)2 = 2，圆 N: x2+ (y— 8)2 = 4o,经过原点的两直线l1，I2满足11丄12,且l1交圆M于不同两点A，B，I2交圆N于不同两点C，所以k的取值范围为2- 3,于D,记l i的斜率为k.(1)求 k的取值范围;(2)若四边形ABCD为梯形，求k的值.1 解：(1)显然 20,所以可设11的方程为y= kx,则12的方程为y=—只.|2k- 2| 厂依题意得点M到直线l1的距离d1= ------------------ 产 2.A/1 + k3 42整理，得 k — 4k + iv0,解得 2- .3v kv 2+ ,3.①同理，点N到直线12的距离d2= r8k^=2v 2屮0,■\/1 + k2解得-乎kv于②由①②可得2- 3v kv^5.3 2X1 X2 X4 X3 X1 + X2X3 + X4X2 X1 X3 X4 ' X1X2 X3X4 '全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)所以X3 + X4=-抚，24k 2X 3X 4=2.将直线12的方程代入圆(2)设 A(x i , y i ), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3), D(X 4, y 4).将直线l i 的方程代入圆M 的方程，得(1 + k 2)x 2-4(1 + k)x+ 6= 0,~ .4(1+ k)6所以 x 1 + X 2=2 , X 1X 2=2.1 + k1 + kN 的方程，得(1 + k 2)x 2 + 16kx+ 24k 2 = 0,由四边形ABCD 为梯形可得X = X 6,X 2 X 3所以—+ + 2 = —+ + 2,所以 =全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)2 , 「2— 2 ,x— 2)+( y+4)y E — y F k X E— 1 — 3 + k X F— 1 + 3 X E—X F X E — X F —2k+ k X E + X FX E — X F13,故直线EF的斜率所以(1 + k)2= 4,解得k= 1或k= — 3(舍去).故k的值为1.2.(优质试题成都双流中学模拟)已知曲线C上任意一点到点A(1,— 2)的距离与到点B(2,— 4)的距离之比均为*.(1)求曲线C的方程;(2)设点P(1,— 3),过点P作两条相异的直线分别与曲线 C相交于E, F两点，且直线PE和直线PF的倾斜角互补，求线段 EF的最大值.■- i x— 1 + y + 2 2解：⑴设曲线C上的任意一点为Q(x,y),由题意得2整理得x2 + y2= 10,故曲线C(2)由题意知，直线PE和直线PF的斜率存在，且互为相反数，因为P(1,—3),故可设直线PE的方程为y+ 3— k(x— 1),联立方程得节3；" 7 ' 消[x2 + y2— 10,去 y 得(1 + k2)x2— 2k(k+ 3)x+ k2 + 6k— 1— 0,因为 P(1,— 3)在圆上，所以 x— 12 2k + 6k— 1 k — 6k— 1一定是该方程的解，故可得 x E— 2 —，同理可得 X F —厂，所以 k EF1 + k 1 + k7 1为定值一3设直线EF的方程为y——§x+ b,则圆C的圆心(0,0)到直线EF的全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)所以当b — 0时，线段EF 取得最大值，最大值为2.10. 、基础知识距离d —平生，所以|EF 寸1 + 9 2 10-9b 2 辿 3 v b <10 3，1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i, r2, d= |O i O2|)二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2 = r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为x o x+ y o y= r2.②过圆(x-a)2 + (y- b)2 = r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o — a)(x- a)2+ (y o-b)(y- b) = r .③过圆x2 + y2 =r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+y o y= r2.(2)直线被圆截得的弦长1 2 2“、弦心距d、弦长I的一半2及圆的半径r构成一直角三角形，且有r = d + ?1 2考点一直线与圆的位置关系全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1 — m= 0与圆C:x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A •相交B •相切C •相离D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由2 2［x +(y-1)= 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5 = 0,因为△= 16m2 + 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=<1< , 5，故直线I与寸m2+ 1圆相交.2 2 法三：直线I: mx— y+ 1 — m= 0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x + (y— 1)=5的内部，所以直线I与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2= 1的切线，则切线方程为()A.3x+ 4y — 4 = 0B.4x— 3y+ 4 = 0C.x= 2 或 4x— 3y+ 4= 0全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)D. y=4 或 3x + 4y— 4= 0(2)(优质试题成都摸底)已知圆C: x2 + y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1 = 0对称，经过点M(m, m)作圆C的切线，切点为P,则|MP|=［解析］(1)当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为|k — 1 + 4 — 2k| 4y— 4= k(x—2),即 kx— y+4 — 2k= 0,则 ---------------- =1,解得 k= 3，则切线方彳k2+ 1 3程为4x— 3y+ 4= 0,故切线方程为x = 2或4x— 3y + 4 = 0.2 2⑵圆C: x + y — 2x— 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线I: x+ my+ 1 = 0对称，所以直线l: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1+ 2m+ 1= 0,解得 m=— 1,所以 |MCf= 13, |MP|= ：13-4 = 3.［答案］(1)C (2)3考法(三)弦长问题ax+ by+ c= 0 被圆 x2 + y2 = 1 所截［典例］⑴若a2+ b2 = 2C2(CM0)，则直线得的弦长为A*D. 2(2)(优质试题海口一中模拟)设直线y=x+ 2a与圆C: x2 + y2— 2ay— 2= 0相交于A，B两点，若AB| = 2 .3,则圆C的面积为( )B. 2nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C= 0的距离d= / |C|=刁乩=寸a2 + b2伽誓j=¥，所以-2，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 1—全国名校高考数学复习优质学案考点专题汇编(附详解)弦长为2.(2)易知圆C: x8 9 + y2— 2ay-2= 0的圆心为(0, a)，半径为-''a2+ 2.圆心(0,lai 2 2a)到直线y= x+ 2a的距离d = ，由直线y= x+ 2a与圆C: x + y — 2ay— 2 = 02相交于A, B两点，|AB|= 2 .3,可得+ 3= a2 + 2,解得a2= 2,故圆C的半径为2,所以圆C的面积为4n故选A.［答案］⑴D (2)A［专题训练］1 •已知圆的方程是x2 + y2= 1,则经过圆上一点皿于，于的切线方程是解析：因为M于，2是圆x2 + y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x+ y+ a= 0,所以今+今+ a = 0,得a=—.2,故切线方程为x+ y— 2 = 0.答案：x+ y—. 2= 09 若直线kx— y+ 2= 0与圆x2 + y2— 2x — 3= 0没有公共点，则实数k的取值范围是 __________ .解析：由题知，圆x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2 = 4,圆心(1,0)到直|k+ 2| 4线 kx— y+ 2 = 0 的距离 d>2,即，>2,解得 0vkv$.V k2+1 3答案：0，3解析：因为点A, B关于直线I: x+y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k =1,即y=x+ 1.又圆心i— 1, m在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(—1,1),半径r = 2,所以圆心到直线y=x+ 1的距离d=¥，所以|AB|= 2 ；r2— d2= .6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(优质试题山东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a>0)截直线x+y 二0所得线段的长度是2.2,则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是()A •内切B •相交C •外切D •相离x2 + y2— 2ay= 0,［解析］法一：由 x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为2 2,•'：；：.、：■：a + — a j = 2\:.2.2 2又 a>0,「a= 2. A圆M 的方程为 x + y — 4y= 0,即 x2+ (y — 2)2 = 4,圆心 M(0,2)，半径 r1 = 2.又圆 N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1,圆心 N(1,1),半径匕=1,JMN匸'0— 1 2 + 2— 1 2= 2.•.“一「2= 1, r1 + r2= 3,1<|MN|<3,A两圆相交.法二：由题知圆M : x2+ (y— a)2 = a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+y= 0的距离d=；，所以2 a2—；二2 .2,解得a= 2•圆M，圆N的圆心距|MN|=・2, 两圆半径之差为1两圆半径之和为3,故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (优质试题太原模拟)若圆C i: x2 + 1与圆C2: x2 + y— 6x — 8y+ m= 0 外切，则m=()A. 21B. 19C. 9 D . — 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径「1 = 1,因为圆C2的方程可化为 (x— 3)2 + (y—4)2= 25— m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径「2= 25— m(mv 25).从而 C1C2|=」32 + 42= 5•由两圆外切得 |C1C2|=「1 +「2,即卩 1+ 25— m= 5, 解得m= 9,故选C.2.(变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ______________ .…一“、,、一fx2 + y2— 4y= 0,解析：联立两圆方程 2 2两式相减得，2x— 2y — 1 = 0,［(x—1) + ( y—1) = 1,I—1| y［2因为N(1,1), r = 1,则点N到直线2x — 2y— 1 = 0的距离d= 2一2=広，故公共弦长为2寸1 -乎f =学答案：―4［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的 3步骤C. 3 解析：选B(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长；(2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求n +匕，『1 —匕|； ⑶比较d, r 1+ r 2,『1 —呵的大小，写出结论.［课时跟踪检测］1.若直线2x+ y+ a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ± 5D. ±3圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5,因为直线与圆相切，所以有曇=75，即 a= ±5.故选 B.2.与圆C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12= 0, C 2： x 2 + y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有 C. 3条 解析：选A两圆分别化为标准形式为 C 1： (x — 3)2 + (y+ 2)2= 1, C 2： (x — 7)2+ (y — 1)2 = 36,则两圆圆心距|C 1C 2|=「7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半 径差，故两圆内切.所以它们只有一条公切线.故选 A. 3.(优质试题 南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2 + (y — 3)2 = 4截得 的弦长为2 3，则直线的倾斜角为()n. 5 nA ・6或石n-nB . — 3或 33. 设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B 关于直线I: x+ y= 0对称，则AB| = ______________ .。

直线与圆的最值专题一、动点的最值问题1.若动点P 在直线l 1：2x －y －2＝0上，动点Q 在直线圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，线段PQ 的最小值是________．2.若动点P 在直线l 1：x －y －2＝0上，动点Q 在直线l 2：x －y －6＝0上，设线段PQ 的中点为M(x 0，y 0)，且(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8，则x 20＋y 20的取值范围是________．3.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为________．4.在平面直角坐标系xOy 中,设点P 为圆C :22(1)4x y -+=上的任意一点,点Q (2a ,3a -)(a ∈R ),则线段PQ 长度的最小值为______.5.直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P(a ，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．6.直线l 过点(0，－4)，从直线l 上的一点P 作圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的切线PA ，PB (A ，B 为切点)，若四边形PACB 面积的最小值为2，则直线l 的斜率k 为________．7.C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________二、定直线与定圆的最值问题8.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________．9.已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点．(1)求点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值；(2)求y －2x －1的最大值和最小值． 10.若曲线x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0上的任意一点关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R ＋)的对称点仍在该曲线上，则1a ＋1b的最小值是________． 三、动直线与的动圆的最值问题11.过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________．12.过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________．13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．14.若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________15.若对于给定的正实数k ,函数()k f x x=的图像上总存在点C ,使得以C 为圆心,1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2,则k 的取值范围是_________.四、弦长的最值问题16.已知圆:C 22(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a .（Ⅰ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程；（Ⅱ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程.17.1y kx =+与圆C ()2214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？18.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R).(1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程. 五、切线的最值问题19.与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆C 的方程是20.由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？21.点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，PA ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形PAOB 面积的最小值为________．六、面积的最值问题22.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y)|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为23.已知圆M 过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．24.设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________． 七、与向量有关的最值问题25.已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．26.已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA→＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是________．27.圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R)．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________．28.已知⊙C 过点P(1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求⊙C 的方程；(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．29.在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N 两点,点P 为圆C 上任意一点,则PM PN ⋅的最大值为______.30.圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R)．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________．31已知圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得DE ，DO ，DF 成等比数列，求DE →·DF →的取值范围．。

圆的问题探究安阳市龙安高级中学 段可贺高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。

在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。

希望对读者有些启发。

类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。

1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。

所以max min 2; 2.CH BH AH d d d d d =====-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。

涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。

1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。

２０２３年６月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀在圆中利用三点共线求最值◉甘肃省白银市景泰县第四中学㊀周振华㊀㊀摘要:最近几年,在圆中讨论线段长的最大值或最小值问题越来越常见,而学生解决这类问题的能力依然不足．在这一矛盾前提下,探索求与圆有关的线段最值的方法显得尤为重要．本文中以圆的有关知识为基础,尝试利用三点共线的方法解决与圆有关的线段最值问题．关键词:圆;三点共线;最值㊀㊀圆是中考重点考查的内容,其涉及的知识点非常多,极易综合起来形成压轴题．本文中选择求线段最值这一压轴题的常考形式,尝试利用三点共线加以解决．之所以如此,一方面是为了不断拓展与圆的综合,另一方面是为了呈现更丰富的解决问题策略,尤其是在探究解决策略的过程中帮助学生逐渐形成动态观念．１三点共线理论模型解析三点共线是数学几何部分非常重要的内容,也是本文中讨论求线段长最值的方法．但是,很多学生仍然存在 为什么三点共线的情况下线段才最短 等疑问．鉴于本文是讨论如何利用三点共线求与圆有关的线段最值,三点共线是理论基础,所以有必要在此对三点共线的理论模型进行解析．１．１非圆中的点形成三点共线如图１(１),直线L 外有A ,B 两点,现需在直线L 上找一点O ,使得A O ＋B O 的值最小．如果在L 上任意取一点O 并连接A O ,B O ,如图１(２)所示,那么此时A O ＋B O 的值是否最小如图１(３),作点A 关于直线L 的对称点A ᶄ并连接A ᶄB ,此时A ᶄ,O ,B 在同一直线上,那么A O ＋B O 的值是否最小?图１现将图１(２)(３)综合得到图１(４)并连接O A ᶄ,A B ,可得到әA ᶄO B ．在该三角形中,由 三角形的两边之和大于第三边 ,可知O A ᶄ＋O B ＞A ᶄB ．换言之,只有当A ᶄ,O ,B 三点共线时,A O ＋B O 才会有最小值．１．２平面内的点与圆上一点形成三点共线此时,应存在三种不同的情况:(１)如图２(１),当点P 在☉O 的内部,过点P 和点O 的直线交☉O 于点A ,B ,则P A 为点P 到☉O 上一点的最小值,P B 为点P 到☉O 上一点的最大值;(１)㊀㊀㊀(２)图２(２)如图２(２),当点P 在☉O 的外部,过点P 和点O 的直线交☉O 于点A ,B ,则P A 为点P 到☉O 上一点的最小值,P B 为点P 到☉O 上一点的最大值;(３)如果点P 在☉O 上,那么点P 与☉O 上一点的距离的最大值就是☉O 的直径的长,最小值为０．２三点共线求最值的类型２．１利用三点共线求最大值图３例１㊀(２０２０ 山东泰安)如图３,A ,B 两点的坐标分别是(２,０),(０,２),C 为平面直角坐标系中的一点,且B C ＝１,M 是线段A C 的中点,连接O M ,则O M 的最大值为(㊀㊀)．A．２＋１㊀㊀㊀㊀B ．２＋１２C ．２２＋１D．２２－１２解析:如图４,由于C 为平面直角坐标系中的一５８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年６月下半月㊀㊀㊀点,且B C ＝１,因此点C 在☉B 上,且☉B 的半径为１．在x 轴负半轴上取点D ,使得O D ＝O A ＝２,并连接C D ．由AM ＝C M ,O A ＝O D ,可得O M 是әA C D 的中位线,则O M ＝１２C D ．所以,当C D 的长为最大值时,O M 的长最大．图４当D ,B ,C 三点共线,即点C 在线段D B 的延长线上时,线段C D 的长最大,此时由O B ＝O D ＝２,且øB O D ＝９０ʎ,可得B D ＝２２,则C D ＝２２＋１,于是O M ＝１２(２２＋１)＝２＋１２．故O M 的最大值是２＋１２．故答案为:B ．点评:本题首先根据题意确定点C 的运动轨迹,然后将D 视为☉B 外的一点,根据图２(２)即可分析出当D ,B ,C 三点共线时C D 的长最大,进而根据中位线定理得到此时O M 的长最大．２．２利用三点共线求最小值图５例２㊀(２０２０ 广东)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最近时扑捉．把墙面㊁梯子㊁猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图５所示,øA B C ＝９０ʎ,点M ,N 分别在射线B A ,B C 上,MN 长度始终保持不变,MN ＝４,E 为MN 的中点,点D 到B A ,B C 的距离分别为４和２．在此滑动过程中,猫与老鼠的距离D E 的最小值为．图６解析:如图６所示,连接B D ,B E ．根据题意,易得㊀B D ＝２２＋４２＝２５．由E 是MN 的中点,可得㊀㊀㊀E M ＝N E ．由øA B C ＝９０ʎ,且MN ＝４,可得B E ＝１２MN ＝１２ˑ４＝２．所以,点E 在以B 为圆心,２为半径的圆上．因此,当E ,B ,D 三点共线时,D E 的值最小,此时D E ＝２５－２．故答案为:２５－２．点评:本题主要考查了在圆中借助三点共线讨论线段长的最小值．解决这类问题,关键就是灵活运用所学知识分析点E 的运动轨迹,尤其是利用三点共线找准点E 的最佳位置．３总结与启示通过上述两道中考题的解析发现,在圆中利用三点共线求最值需经过以下步骤:首先,根据点的不确定性分析出 隐形圆 ．如图４㊁图６中都利用了 隐形圆 分析问题,这是因为点C 或点E 的位置在变化的过程中B C 或B E 的长保持不变,这完全符合圆的定义,所以这类问题中往往包含着一个 隐形圆 ．其次,分析另一个点是在 隐形圆 内或外,还是在 隐形圆 上[１]．然后根据上文 平面内的点与圆上一点形成三点共线 中的三种情况对号入座,即可分析出线段长最小值或最大值的情况．当然,解决这类问题还需要空间想象能力及动态观念,毕竟像C ,E 这样的点的位置是在不断变化的,需根据它们的动态变化特点想象出具体情况㊁分析出符合题意的点的位置[２]．所以,也启示教师在日常教学中要注意学生这方面素养的培养．处于初中阶段的学生,具备了一定的空间想象能力,对他们分析以上类型的动态问题提供了一定的帮助．但是,这个阶段的空间想象能力也存在一定的局限性,这主要是因为动态观念对其产生了束缚,使得很多学生在对图形的运动情况进行想象之后,无法画出与之匹配的图形．此时,教师可借助几何画板等软件将学生原本想象的内容直观地呈现出来,如几道例题中三点共线为什么可求得最小值 等,让学生在呈现的过程中逐步产生动态观念,帮助学生产生解题思路．总而言之,圆的问题在考查时形式多样,在圆中利用三点共线求最值只是其中一类．要想学生的综合素养不断提升,教师在教学时不能只停留在知识传授与巩固方面,要始终不断地培养学生的素养．参考文献:[１]李玉荣．三点共线破解最值[J ]．中学数学,２０１３(１０):１３Ｇ１６．[２]徐洪金,丁冬．例谈圆中的最值问题求解策略[J ]．理科考试研究,２０２１(１０):１６Ｇ１８．Z ６８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

直线与圆相关的最值问题常用的处理方法圆的轨迹问题在江苏高考中是常考的内容之一，常常与向量、直线相结合考查，有一定的难度，题型从填空题到解答题不固定。

【母题】（2018年苏州市第一中学高二上期中考试）平面直角坐标系xOy 中，若直线032:=+--k y kx l 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1:22=+y x O 依次交于B A 、，满足AB PA =，则k 的取值范围为 .一、与圆相关的最值问题的联系点1.1 与距离有关的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有：（1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -； （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例1】 已知圆C 的方程为：)0()2()3(222>=-+-r r y x ，若直线33=+y x 上存在一点P ，在圆C 上总存在不同的两点N M ,，使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径r 的取值范围为 .【变式1】（2015届淮安高三三模第14题）在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是_______.【变式2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ．【变式3】（2015江苏高考第10题）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

直线与圆中最值问题全梳理教师专用模块一、题型梳理题型一 直线与圆与平面向量相结合的最值问题例题1： 已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ）AB ．1CD ．2【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-，计算得到答案.【解析】如图所示建立直角坐标系，则1,0A ，12⎛- ⎝⎭B ，1,2C ⎛- ⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立.故选：D .【小结】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.例题2： 已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，2220OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =，则PO 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4【分析】设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =可得262m x n y=-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.【解析】设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--，(),2PA x y =--.由3PB PA =可得363m x xn y y-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y=-⎧⎨=-⎩，因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，整理得到()2234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2，故PO 的最大值为325+=，故选：C.【小结】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.题型二 直线与圆与基本不等式相结合的最值问题例题3： 直线240ax by ++=与圆224210x y x y ++++=截得的弦长为4，则22a b +的最小值是（ ）A ．3B ．2CD ．1【分析】根据题意知直线过圆心得到2a b +=，再利用均值不等式计算得到答案.【解析】224210x y x y ++++=，即()()22214x y +++=，圆心为()2,1--，半径为2.弦长为4，则直线过圆心，即2240a b --+=，即2a b +=.()()()22222222a b a b ab a a b b +=+-≥+-=+，当1a b ==时等号成立.故选：B .例题4： 点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．3D ．1【分析】首先可确定曲线C 表示圆心为2,0，半径为5的圆；令d =2222t d a =--；d 的最大值为半径与圆心到点()6,6-的距离之和，利用两点间距离公式求得max d ，代入t 中利用最大值为b 可求得14a b ++=，将所求的式子变为()111111141a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭，利用基本不等式求得结果.【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+=，则曲线C 表示圆心为2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---，设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离，则max 515d ==，2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=，()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b++的最小值为1，本题正确结果：1 题型三 直线与圆与抛物线相结合的最值问题例题5： 已知以圆()22:14C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线：2:C 28x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为( )A ．1B ．2C ．1-D ．8【解析】因为()22:14C x y -+=的圆心()1,0，所以，可得以()1,0为焦点的抛物线方程为24y x =，由()222414y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得()1,2A ，抛物线22:8C x y =的焦点为()0,2F ，准线方程为2y =-， 即有1BM AB BF AB AF -=-≤=，当且仅当,,(A B F A 在,B F 之间）三点共线，可得最大值1。

圆的半径最值问题问题描述给定一个圆心O和一条直线L，圆的半径通过圆心到直线的距离来确定。

我们的目标是找到使得圆的半径最大或最小的直线位置。

解法圆的半径最值问题可以通过求解数学方程来解决。

以下是问题的一般解决步骤：1. 确定直线L的方程。

2. 计算直线L与圆心O之间的距离，用d表示。

3. 使用数学推导和优化技术来确定使得d最大或最小的直线位置。

求解最大半径问题如果我们希望找到使得圆的半径最大的直线位置，可以按照以下步骤进行：1. 确定直线L的方程。

2. 将直线L的方程代入圆心到直线的距离公式，得到d的表达式。

3. 对d进行微分，找到d的最大值的临界点。

4. 在临界点处验证d的最大值，并确定对应的直线位置。

求解最小半径问题如果我们希望找到使得圆的半径最小的直线位置，可以按照以下步骤进行：1. 确定直线L的方程。

2. 将直线L的方程代入圆心到直线的距离公式，得到d的表达式。

3. 对d进行微分，找到d的最小值的临界点。

4. 在临界点处验证d的最小值，并确定对应的直线位置。

示例和应用圆的半径最值问题可以应用于许多实际情境中，例如：1. 设计工程：在设计机械装置时，通过确定最大半径的直线位置，可以确保装置能容纳最大半径的零件。

2. 照明设计：在照明设计中，通过确定最小半径的直线位置，可以确保灯光能在最小的圆内均匀分布。

注意事项在解决圆的半径最值问题时，需要注意以下事项：1. 理解问题的约束条件和限制，以确保求解结果符合实际需求。

2. 使用适当的数学工具和优化技术，以提高求解效率。

我们希望这份文档能够帮助您理解圆的半径最值问题，并为您在实际应用中提供指导。

如果您有任何问题，请随时与我们联系。

参考文献：。

题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于 解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.所以圆心为(2，－3)，半径长为5.因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以点(－1,0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10.当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小.弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32，所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27.变式训练1：1y kx =+与圆C ()2214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？ 解：直线1y kx =+过定点()1,0M ，当MC AB ⊥时，AB取最小值，由 2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知，222d R l -=，2==MC d ，故22222=-=d R l变式训练2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R).(1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1).因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0. 方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦.题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．例2：求点A ）（0,2到圆C 122=+y x 的距离的最大值和最小值？解：==AC d 2，故距离的最大值为3=+r d ，最小值为1=-r d变式训练1：圆122=+y x 上的点到直线2x y -=的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222==d ， 则圆上的点到直线2x y -=的最大值为12+=+r d 则圆上的点到直线2x y -=的最小值为1-2-=r d方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r d +，最小值为r d -直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为r d +，最小值为r d -题型三：切线问题例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)． 变式训练1：点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，P A ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA △AP ，所以S 四边形P AOB ＝2×12|OA |·|P A | ＝2|OP |2－|OA |2＝2|OP |2－4.为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：|OP |min ＝1022＋12＝2 5.故所求最小值为2252－4＝8.题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值。