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课时作业 ( 二十七 )A[第27讲正弦定理和余弦定理 ][ 时间： 35分钟分值： 80 分]基础热身1．在△ ABC 中， A＝ 45°，B＝ 60°， a＝10，则 b＝()106A．5 2 B．10 2 C. 3D．5 6222) 2．在△ ABC 中，若 sin A＝ sin B＋sin C，则△ ABC 的形状是 (A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不可以确立3．在△ ABC 中， a＝ 6， B＝ 30°， C＝ 120 °，则△ ABC 的面积是 ()A．9 B．18 C．9 3 D． 18 35， sinB＝3，则 cosC 的值为 ()4．在△ ABC 中，已知 cosA＝13516165656A. 65B．－65 C.65D．－65能力提高5．判断以下说法，此中正确的选项是()A． a＝ 7， b＝ 14， A＝ 30°有两解B．a＝ 30， b＝ 25， A＝ 150 °只有一解C．a＝ 6， b＝9， A＝45°有两解D． b＝ 9， c＝10， B＝ 60°无解6．在△ ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为a， b， c.若 acosA＝bsinB，则 sinAcosA ＋cos2B＝ ()11A．－2 B.2C．－ 1 D．17．若△ ABC 的内角 A、 B、C 所对的边 a、 b、 c 知足 (a＋ b)2－ c2＝ 4，且 C＝60°，则ab 的值为 ()4A. 3B．8－432C．1 D.3sinA cosB cosC8．若a＝b＝c，则△ ABC 是 ()A．等边三角形B．直角三角形，且有一个角是30°C．等腰直角三角形D．等腰三角形，且有一个角是30°x2 9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC 的极点 A(－ 4,0)和 C(4,0) ，极点 B 在椭圆＋25 2y＝ 1 上，则sinA＋sinC＝ ________.9sinB1(a2＋ b2－ c2)，那么角 C＝________.10．在△ ABC 中，若 S△ABC＝411．在△ ABC 中， A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 A∶ B＝ 1∶ 2，且 a∶b＝ 1∶3，则 cos2B 的值是 ________．12． (13 分 ) 在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是a， b，c，已知 3acosA＝ccosB＋bcosC.(1)求 cosA 的值；23，求边 c 的值．(2)若 a＝ 1， cosB＋ cosC＝3难点打破13．(12 分 ) 在△ ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知cosA－ 2cosC 2c－ a cosB＝b.sinC的值；(1)求sinA1(2)若 cosB＝4，△ ABC 的周长为5，求 b 的长．课时作业 (二十七 )A【基础热身】a＝ b得， b ＝asinB 10sin60 °1． D[ 分析 ] 由sinA＝sin45 ＝5 6.sinB sinA°2． B [ 分析 ] 用正弦定理能够将条件： sin 2A ＝ sin 2B ＋ sin 2C 化为 a 2＝ b 2＋ c 2.3．C1 1 3[分析 ] 由条件易得 A ＝ B ＝30°，所以 b ＝ a ＝ 6，S ＝ absinC ＝ ×6× 6×＝9 3.2 2 24．A12，sinA>sin B ，因为在△ ABC 中，由 sinA>sinB? A>B[ 分析 ] 由已知可得 sinA ＝ 13知角 B 为锐角， 故 cosB ＝4，所以 cos(A ＋ B)＝ cosAcosB － sinAsinB ＝20－36＝－16，故 cosC5 65 65 6516＝ 65.【能力提高】114×5．B [分析 ] A 中，由正弦定理得sinB ＝ bsinA＝2＝ 1，所以 B ＝90°，故只有一解，a725× 1bsinA 2A 错误；B 中，由正弦定理得sinB ＝ a＝30<1，又 A 为钝角，故只有一解， B 正确；2 C 中，由正弦定理得9× 2>1，所以角 B 不存在，故无解， C 错误； D 中，由 sinB ＝bsinA＝6 a310× 2<1，因为 b<c ，B ＝ 60°，且 0°<C<180 °，所以角 C 有两解，正弦定理得 sinC ＝csinB＝9bD 错误．应选 B.∵acosA ＝ bsinB ，∴ sinAcosA ＝ sin 2B ， 6．D [分析 ]∴ sinAcosA ＋cos 2B ＝ sin 2B ＋ cos 2B ＝ 1.7． A [ 分析 ] 由 (a ＋ b)2－c 2 ＝4，得 a 2＋ b 2－ c 2＋ 2ab ＝ 4.① 由余弦定理得 a 2＋ b 2 －c 2＝2abcosC ＝ 2abcos60°＝ ab ，②将②代入①得 ab ＋ 2ab ＝4，即 ab ＝ 4.应选 A.38． C [ 分析 ] 在△ ABC 中，由正弦定理：sinA cosB cosC sinA cosB cosCa ＝ 2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，代入 a ＝ b ＝ c 得：2RsinA ＝ 2RsinB ＝2RsinC ，∴ cosBsinB＝cosC sinC＝ 1.∴ tanB ＝ tanC ＝ 1，∴ B ＝ C ＝ 45°.∴△ ABC 是等腰直角三角形．5 [ 分析 ] 由正弦定理知，原式＝BC ＋ BA，又由椭圆定义知 BC ＋ BA ＝ 10，AC ＝ 8， 9.4 AC5∴原式＝ .4π[ 分析 ] 依据三角形面积公式得，11 22 210.S ＝ absinC ＝ ( a＋ b － c )，42 4a 2＋ b 2－ c2∴ sinC ＝.又由余弦定理：2abπ∴ sinC ＝ cosC ，∴ C ＝4 .a 2＋b 2－c 2cosC ＝，2ab11．－ 1[ 分析 ] 因为 a ∶ b ＝1∶ 3，所以 sinA ∶ sinB ＝1∶ 3，又 A ∶ B ＝ 1∶ 2，则 B23＝2A ，所以 sinA ∶ sinB ＝ sinA ∶sin2A ＝ 1∶3，即 cosA ＝2 ，∴ A ＝ 30°，∴ B ＝ 60°.cos2B ＝1cos120 °－＝ 2.12． [解答 ] (1) 由余弦定理 b 2＝ a 2＋ c 2－2accosB ， c 2＝ a 2 ＋ b 2－ 2abcosC ，有 ccosB ＋ bcosC ＝a ，代入已知条件得 3acosA ＝a ，即 cosA ＝ 1.3 (2)由 cosA ＝1得 sinA ＝22，3 312 2则 cosB ＝－ cos(A ＋ C)＝－ 3cosC ＋ 3 sinC ， 代入 cosB ＋ cosC ＝23，3得 cosC ＋ 2sinC ＝3，进而得 sin(C ＋ φ)＝ 1，此中 sin φ＝3 ， cos φ＝ 6 ， 0< π 3 3 φ< .2π 6，则 C ＋ φ＝ ，于是 sinC ＝23由正弦定理得 c ＝asinC＝ 3sinA2 . 【难点打破】13． [解答 ] (1) 由正弦定理，设 a ＝ b ＝c＝ k.sinA sinBsinC则 2c － a ＝ 2ksinC － ksinA ＝2sinC － sinA .bksinB sinBcosA － 2cosC 2sinC － sinA.所以原等式可化为＝cosB sinB即 (cosA － 2cosC)sinB ＝ (2sinC － sinA)cosB ，化简可得 sin(A ＋ B)＝ 2sin(B ＋C)， 又因为 A ＋ B ＋ C ＝π，所以原等式可化为 sinC ＝ 2sinA ，所以 sinC sinA ＝ 2.sinC(2)由正弦定理及 sinA ＝ 2 得 c ＝ 2a ，1由余弦定理及 cosB ＝ 得 b 2＝ a 2＋ c 2－ 2accosB＝ a 2＋ 4a 2－ 4a 2× 1＝4a 2. 4所以 b ＝ 2a.又 a ＋b ＋ c ＝ 5.进而 a ＝ 1，所以 b ＝ 2.。
第四章 三角函数与解三角形 一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若sin 2a =，则cos a =（ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．23[答案]C[解析]221cos 12sin 12..23C αα=-=-⨯=∴选 [考点定位]此题主要考查三角恒等变换里面的二倍角余弦公式、三角函数求值问题. 2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知a 是第二象限角，5sin ,13a =则cos a =（ ）（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213【答案】A【解析】∵a 是第二象限角，∴12cos 13α===-.故选A. 【考点定位】三角求值3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】已知51sin()25πα+=，那么cos α=（ ）A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C 【解析】51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 【考点定位】三角函数诱导公式.4.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图像如图，则=ω（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】∵由题中图像可知0042T x x π+-=.∴2T π=.∴22ππω=.∴4ω=.故选B. 【考点定位】三角函数的图像与解析式.5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】函数()2s i n ()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π- （B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π【答案】A【解析】由图知，周期T 满足111521212T ππ=-，∴T π=，又0ω>，∴2ω=，故()2sin(2)f x x ϕ=+，图象的最高点为5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，于是由“五点法”作图，知52122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=-，选A.【易错点】注意求初相ϕ的值时，图象的最高点坐标与五个关键点坐标的对应关系最容易代错！【考点定位】本题考查正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，难点是确定初相ϕ的值，关键是理解“五点法”作图.6.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 已知sin2α=错误！未找到引用源。
2013年三角函数各类型试题以及答案详解课标文数14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.－8【解析】 r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，∵sin θ＝－255，∴sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45 B ．－35 C.35 D.45B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 大纲文数14.C2[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. －55【解析】 ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55.课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] 若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6D 【解析】 因为sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D.课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增A 【解析】 原式可化简为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4，又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ，所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又因为||φ<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减．课标文理数12.C3[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图1－7，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( )A ．2＋ 3 B.3 C.33D ．2－ 3 B 【解析】 由图象知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝3，故选B. 大纲文理数7.C4[2011·全国卷] 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 C 【解析】 将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ，k∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.课标理数16.D3，C4[2011·福建卷] 已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．【解答】 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1.又0<φ<π，故φ＝π6. 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 课标文数6.C4[2011·湖北卷] 已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z A 【解析】 因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin x －π6，由f (x )≥1，得2sin x －π6≥1，即sin x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .课标17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0.从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 D 【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称． 课标文理数6.C4[2011·山东卷] 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )A.23 B.32C ．2D ．3 B 【解析】 本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )为增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.课标数学9.C4[2011·江苏卷] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f (0)的值是________．图1－162【解析】 由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2k π＋32π，即φ＝2k π＋π3，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝62.课标文数7.C4[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数A 【解析】 ∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π3，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－52π，π2上递增． 大纲理数17. C5，C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .【解答】 由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2cos2C .故22cos C ＋22sin C ＝cos2C ，cos(45°－C )＝cos2C .因为0°<C <90°，所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 27 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527)所以AB ＋2BC 的最大值为27.课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sinC ＝cos A ＝13.课标理数6.C5[2011·浙江卷] 若0<α<π2，－π2<β<0，cos π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos α＋β2＝( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69C 【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝233.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.大纲理数14.C6[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan2α＝________. －43 【解析】 ∵sin α＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－255，则tan α＝－12，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－122＝－43.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 D 【解析】 因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D.课标理数7.C6[2011·辽宁卷] 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79A 【解析】 sin2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ.由于sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，代入得sin2θ＝－79，故选A.课标理数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 课标理数16.C7[2011·广东卷] 【解答】 (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫13×54π－π6 ＝2sin π4＝ 2.(2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π6＝2sin α，65＝f (3β＋2π)＝2sin ⎣⎡⎦⎤13×(3β＋2π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cos β， ∴sin α＝513，cos β＝35，又∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×1213－513×45＝1665. 课标文数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f (0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值． 【解答】 (1)f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－2sin π6＝－1. (2)∵1013＝f 3α＋π2＝2sin 13×3α＋π2－π6＝2sin α，65＝f (3β＋2π)＝2sin 13×(3β＋2π)－π6＝2sin β＋π2＝2cos β，∴sin α＝513，cos β＝35，又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45， 故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝6365.课标理数15.C7[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小． 课标理数15.C7[2011·天津卷] 【解答】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0，因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12. 课标文数16.C8[2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．课标文数16.C8[2011·安徽卷] 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求解能力．【解答】 由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，cos A ＝12，sin A＝32.再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22.由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而 cos B ＝1－sin 2B ＝22.由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎭⎫32＋12.设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12.课标理数14.C8[2011·安徽卷] 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 153【解析】 不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以c ＝6.所以S ＝12bc sin120°＝15 3.课标理数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.【解析】 因为tan A ＝2，所以sin A ＝255；再由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a255＝522，可得a ＝210.课标文数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.课标文数9.C8[2011·北京卷] 523 【解析】 由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 13＝522，得a＝523.大纲文数18.C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .【解答】 由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6.课标理数14.C8图1－5[2011·福建卷] 如图1－5，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________． 2【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝(23)22×2×23＝32，则∠ACB ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有AD sin C ＝AC sin ∠ADC ，∴AD ＝AC ·sin30°sin45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2. 课标文数14.C8[2011·福建卷] 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．课标文数14.C8[2011·福建卷] 2 【解析】 方法一：由S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，得12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2.由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°＝22＋22－2×2×2×12＝4，∴ AB ＝2，即边AB 的长度等于2.方法二：由S △AB C ＝12AC ·BC sin C ，得12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2.∴AC ＝BC ＝2, 又∠ACB ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB ＝2，即边AB 的长度等于2.课标文理数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长；(2)求cos(A －C )的值．课标理数16.C8[2011·湖北卷] 【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154，∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158. ∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78.∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.课标理数17.C8[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．课标理数17.C8[2011·江西卷] 【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sinC2⎝⎛⎭⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C 2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1. 课标理数4.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2课标理数4.C8[2011·辽宁卷] D 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B得a sin B ＝b sin A ，所以a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，故选D.课标文数17.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B＋b cos 2A ＝2a .(1)求ba；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【解答】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.课标文数15.C8[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．1534 【解析】 解法1：由正弦定理，有AC sin B ＝AB sin C ，即7sin120°＝5sin C， 所以sin C ＝5sin120°7＝5314，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝1114，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°， 所以sin A ＝sin(60°－C )＝sin60°cos C －cos60°sin C ＝32×1114－12×5314＝3314，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×5×7×3314＝1534.解法2：设BC ＝x (x >0)，由余弦定理，有cos120°＝52＋x 2－7210x，整理得x 2＋5x －24＝0，解得x ＝3，或x ＝－8(舍去)，即BC ＝3所以S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×sin120°＝12×5×3×32＝1534.课标文数17.C8[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin C sin A 的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．【解答】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k .则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B.所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )，又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A ＝2.(2)由正弦定理及sin C sin A ＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5.从而a ＝1，因此b ＝2.课标理数18.C8[2011·浙江卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．【解答】 (1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎨⎧a ＋c ＝54，ac ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，c ＝14，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B ，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2，由题设知p ＞0，所以62＜p ＜ 2.课标文数17.C9[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．【解答】 (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入已知条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13.(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，则cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2.则C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32.课标文数16.C9[2011·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B＝C,2b ＝3a .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4的值． 课标文数16.C9[2011·天津卷] 【解答】 (1)由B ＝C ，2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，故cos2A ＝2cos 2A －1＝－79.sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π4＝cos2A cos π4－sin2A sin π4＝⎝⎛⎭⎫－79×22－429×22＝－8＋7218. 大纲理数16.C9[2011·重庆卷] 设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)．求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．大纲理数16.C9[2011·重庆卷] 【解答】 f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin2x －cos2x .由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3.因此f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f (x )为增函数，当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时 ,2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f (x )为减函数．所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2.又因f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2. 大纲文数18.C9[2011·重庆卷] 设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值．大纲文数18.C9[2011·重庆卷]【解答】 (1)f (x )＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32.故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)依题意g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π4＋32＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π3＋32＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋ 3. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，g (x )为增函数， 所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为g ⎝⎛⎭⎫π4＝332.[2011·济南三模] 函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为( ) A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，1[2011·东城模拟] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，||φ＜π2的部分图象如图所示． (1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos 2x ，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．[2011·东北三校一模] 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若∠A ∶∠B ＝1∶2，且a ∶b ＝1∶3，则cos2B 的值是( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32[2011·北京西城一模] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则∠B ＝( ) A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°。
课时作业(十九)B [第19讲 三角函数的图象与性质][时间：45分钟 分值：100分]基础热身 1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos(－x )C ．y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－xD ．y ＝|tan x |3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( )A ．－1 B.12 C ．－12D ．－5 4．若函数f (x )＝3cos(ωx ＋φ)对任意的x 都满足f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值是( ) A ．3或0 B ．－3或0C ．0D ．－3或3能力提升 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫k π2－π8，k π2＋3π8，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，k π2＋5π8，k ∈ZC.⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z 6．已知函数F (x )＝sin x ＋f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上单调递增，则f (x )可以是( ) A ．1 B ．cos x C ．sin x D ．－cos x7．函数y ＝lncos x ⎛⎭⎫－π<x <π的图象是( )8． 函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (－x )－f (x )＝0，f (π＋x )＝f (x )恒成立，则该函数可以是( )A ．f (x )＝sin2xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝cos 2x －sin 2xD ．f (x )＝sin2x ＋cos2x9．如图K19－3是函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)一个周期的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于( )A. 2B.22C ．2＋ 2D ．2 2 10．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．11．函数y ＝log cos1cos x 的定义域是________；值域是________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫12x (x ≤0)，2cos x (0<x <π)，若f [f (x 0)]＝2，则x 0＝________. 13．已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和y ＝1的图象围成一个封闭图形，该图形面积是________．14．(10分)若f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－sin x ，求当x <0时，f (x )的解析式．15．(13分)已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |. (1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．难点突破 16．(12分)已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a 和b 的值．课时作业(十九)B【基础热身】1．B [解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos2x ， f (－x )＝－cos2(－x )＝－cos2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，T ＝2π2＝π， 最小正周期为π.2．C [解析] A 为奇函数；B 在(0，π)上单调递减；D 在(0，π)上不具有单调性，选C.3．C [解析] y ＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝⎛⎭⎫cos x －122－12，∵－1≤cos x ≤1， ∴y max ＝－12. 4．D [解析] f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，故f ⎝⎛⎭⎫π3为最大值或最小值． 【能力提升】5．C [解析] ∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴2k π－π4≤2x ≤2k π＋3π4，k ∈Z ， ∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z . 6．D [解析] 当f (x )＝1时，F (x )＝sin x ＋1；当f (x )＝sin x 时，F (x )＝2sin x .此两种情形下F (x )的一个增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，π2，在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上不单调；对B 选项，当f (x )＝cos x 时，F (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的一个增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上不单调． 7．A [解析] ∵－π2<x <π2，∴0＜cos x ≤1，且函数y ＝lncos x 是偶函数，排除B ，D ， ∵lncos x ≤0，故选A.8．C [解析] 由f (－x )－f (x )＝0，可知f (x )为偶函数，由f (π＋x )＝f (x )可知f (x )是周期函数，且π为其一个周期，故可知C 对．9．A [解析] 由图知：T ＝8＝2πω，∴ω＝π4， 又A ＝2，∴f (x )＝2sin π4x ，观察图象可知f (x )的图象关于点(4,0)中心对称，故f (3)＋f (5)＝0，f (2)＋f (6)＝0，又f (4)＝0，故原式＝f (1)＝ 2.10．(－π，0] [解析] y ＝cos x 在区间[－π，0]上为增函数，故由题意知：－π＜a ≤0.11.⎝⎛⎭⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z ) [0，＋∞) 12.2π3[解析] 如图象所示：∵⎝⎛⎭⎫12x ＝2，x ＝－1，∴f (x 0)＝2cos x 0＝－1，∴x 0＝2π3. 13．2π [解析] 根据函数图象的对称性，采用割补法，所求的面积等于一个边长分别为2π，1的矩形的面积．14．[解答] 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－sin(－x )＝x 2＋sin x .又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2－sin x (x <0)．15．[解答] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z ). 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.【难点突破】16．[解答] ∵0≤x ≤π2， ∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 当a >0时，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.当a <0时，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1， 解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.。
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期性及奇偶性．1．函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个______________，使得当x 取定义域内的____________时，都有____________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__________________．2．正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x ＋2k π)＝________，cos(x ＋2k π)＝________知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是______函数，____________________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________．3．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y ＝sin x 与余弦函数y ＝cos x 的定义域都是______，定义域关于________对称．(2)由sin(－x )＝________知正弦函数y ＝sin x 是R 上的______函数，它的图象关于______对称．(3)由cos(－x )＝________知余弦函数y ＝cos x 是R 上的______函数，它的图象关于______对称．一、选择题1．函数f (x )＝3sin(x 2－π4)，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．203．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 4．下列函数中，不是周期函数的是( )A ．y ＝|cos x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin|x |5．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.326．函数y ＝cos(sin x )的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题 7．函数f (x )＝sin(2πx ＋π4)的最小正周期是________． 8．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝______. 9．若f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝sin x ，则f (x )的解析式是______________．10．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中的假命题的序号是________．三、解答题11．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )；(2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin xe sin x －e－sin x .12．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈[52π，3π]时f (x )的解析式．能力提升13．欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．14．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．1．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)答案知识梳理1．(1)非零常数T 每一个值 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小正周期2．sin x cos x 周期 2k π (k ∈Z 且k ≠0) 2π3．(1)R 原点 (2)－sin x 奇 原点 (3)cos x 偶 y 轴作业设计1．D 2.B3．B [∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )的最小正周期为π的偶函数．]4．D [画出y ＝sin|x |的图象，易知．]5．D [f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32.] 6．B [cos[sin(x ＋π)]＝cos(－sin x )＝cos(sin x )．∴T ＝π.]7．18．±3解析 2π|ω|＝2π3，∴|ω|＝3，∴ω＝±3. 9．f (x )＝sin|x |解析 当x <0时，－x >0，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ，∵f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝－sin x .∴f (x )＝sin|x |，x ∈R .10．①④解析 易知②③成立，令φ＝π2，f (x )＝cos x 是偶函数，①④都不成立． 11．解 (1)x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x ＝－f (x )．∴y ＝f (x )是奇函数．(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0.∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 定义域为R .∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )＝1＋sin x ＋1－sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数．(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x )e sin (－x )－e －sin (－x )＝e －sin x ＋e sin xe －sin x －esin x ＝－f (x )， ∴该函数是奇函数． 12．解 x ∈[52π，3π]时，3π－x ∈[0，π2]， ∵x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈[52π，3π]． 13.1992π 解析 要使y 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y 在[0,1]上至少含49 34个周期， 即⎩⎨⎧(49 34)T ≤1T ＝2πω，解得ω≥1992π. 14．解 ∵sin x ＋1＋sin 2x ≥sin x ＋1≥0，若两处等号同时取到，则sin x ＝0且sin x ＝－1矛盾， ∴对x ∈R 都有sin x ＋1＋sin 2x >0.∵f (－x )＝ln(－sin x ＋1＋sin 2x )＝ln(1＋sin 2x －sin x )＝ln(1＋sin 2x ＋sin x )－1＝－ln(sin x ＋1＋sin 2 x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
课时作业 (十七 ) [第 17讲 角的概念及任意角的三角函数 ][ 时间： 35 分钟分值： 80 分 ]基础热身1．设 θ是第二象限角，则点P(sin θ， cos θ)在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若 α是第四象限角，则 π－α是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角3．用弧度制表示终边落在 x 轴上方的角的集合为 ________________ ． 4． 已知角 θ的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 P(4，y)是角 θ终边上一点，且 sin θ＝－2 5，则 y ＝________.5能力提升|sinx|＋ cosx ＋ |tanx|的值域为 () 5．函数y ＝sinx |cosx| tanxA ． {1 ，－ 1}C ．{ － 1,3}B ． { － 1,1,3}D ． {1,3}6．若点 P(3， y)是角 α终边上的一点，且满足y<0 ，cos α＝ 3，则 tan α＝ ()33445A ．－ 4 B.4 C.3 D ．－ 37．经过一刻钟，长为10 cm 的分针所扫过的面积是 () A ． 20πcm 2 B ．10πcm 2C ．46πcm 2D ．25πcm 28． 已知角 α的终边过 P(－ 6a ，－ 8a)(a ≠ 0)，则 sin α－ cos α的值为 ()11A. 5 B ．－ 5C ．－1或－7D ．－ 1或 155 5 52π2π，则角 α的最小正值为 ________．9．已知角 α的终边上一点的坐标为， cos sin 33210． 已知 θ为第二象限角，且 P(x ， 5)为其终边上一点，若cos θ＝ 4 x ，则 x 的值为 ________．11．若角 α和 β的终边关于直线π x ＋ y ＝0 对称，且 α＝－ ，则 β角的集合是 ________．312． (13 分)已知扇形 AOB 的圆心角∠ AOB 为 120 °，半径长为 6，求： (1) AB 的长； (2)弓形 AOB 的面积．难点突破第 1页共3页13． (12 分)利用三角函数线证明：|sin α|＋ |cos α|≥ 1.课时作业 (十七 )【基础热身】1． D [ 解析 ] θ是第二象限角，则 sin θ>0， cos θ<0.2．C [ 解析 ] π－ α＝－ α＋ π，若 α是第四象限角，则－ α是第一象限角，再逆时针旋转180 °，得 π－ α是第三象限角．3． { α|2k π<α<2k π＋ π， k ∈Z } [解析 ] 若角 α的终边落在 x 轴上方，则 2k π<α<2k π＋ π，k ∈ Z .4．－ 8 [ 解析 ] r ＝ x 2＋ y 2＝ 16＋ y 2，∵ sin θ＝－2 5，∴ sin θ＝ y＝y＝－25，解得 y ＝－ 8.5r16＋ y25【能力提升】5． C [ 解析 ] 讨论角 x 在四个象限的情况，可得函数值域为 { － 1,3} ．6． D [ 解析 ] cos α＝3＝ 3，9＋ y25∴ y 2＝ 16.∵y<0，∴ y ＝－ 4，∴ tan α＝－ 4.37．D[解析 ] 经过一刻钟， 分针转过π1 1 21 π22 rad ，故所覆盖的面积是S ＝lR ＝ |α|R ＝ × × 10＝25π(cm 2)．222 2－ 8a－ 6a－ a8．D[解析 ] 因为 r ＝ |OP|＝10|a|，所以 sin α＝ 10|a|，cos α＝ 10|a|，所以 sin α－ cos α＝ 5|a|，当 a>0 时， sin α－ cos α＝－ 1；当 a<0 时， sin α－cos α＝1.故选 D.5511π[ 解析 ] 该点坐标是 3，－ 1 ，角 α是第四象限角，所以角 α的最小正值为11π9. 62 2 6.10．－ 3 [ 解析 ] cos θ＝x＝2x 2＋ 5 4 x ，解得 x ＝ ± 3，已知 θ为第二象限角， 所以 x<0，故 x ＝－ 3.11. π[解析 ] 由对称性知， β角的终边与－ πβ β＝ 2k π－ ，k ∈ Z的终边相同，故 β角66 π的集合是 β β＝ 2k π－ 6， k ∈ Z .120 2212． [解答 ] (1) ∵ 120 °＝180 π＝ 3π，∴ l ＝ 6× 3π＝4π，∴ AB 的长为 4π.1(2)如图所示，∵ S 扇形 OAB ＝ × 4π× 6＝ 12π，1S △ OAB ＝ × OA × OB × sin120 °＝ 1× 6× 6× sin120 °＝ 9 3， 2∴ S 弓形 OAB ＝ S 扇形 OAB － S △ OAB ＝ 12π－ 9 3，∴弓形 AOB的面积为12π－ 9 3.【难点突破】13． [解答 ]证明：当角 α的终边在坐标轴上时，正弦线( 余弦线 )变成一个点，第2页 共3页而余弦线 (正弦线 )的长等于r (r ＝ 1)，所以 |sinα|＋ |cosα|＝1.当角α的终边落在四个象限时，设角α的终边与单位圆交于点 P(x， y)时，过 P 作 PM ⊥x 轴于点 M(如图 )，则 |sinα|＝ |MP|， |cosα|＝ |OM|，利用三角形两边之和大于第三边有：|sinα|＋ |cosα|＝ |MP|＋|OM|>1，综上有 |sinα|＋ |cosα|≥ 1.[点评 ] 本题除了用三角函数线证明外，还有其他证明方法，如分析法证明，也可以用左边平方的方法等等．第 3页共3页。
1.(文)(2010·四川文)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 [答案] C[解析] ∵向右平移π10个单位，∴用x －π10代替y ＝sin x 中的x ；∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10. (理)(2011·大纲全国卷理，5)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 [答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z)，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.2．(文)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为( ) A ．2π，－1 B ．2π，0 C ．π，0 D ．π，1 [答案] C[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＝1－cos2x 2，∴周期T ＝2π2＝π，又f (x )＝sin 2x ≥0，∴最小值为0，故选C.(理)(2011·济南模拟)函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R)的最小正周期和最大值分别为 ( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，1 [答案] C[解析] 由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3，故选C.3．(2010·衡水市高考模拟)设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c [答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°>sin25°>0，log 12x 为减函数，∴a <c <b .4．(2011·衡水质检)函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π4对称，则φ的可能取值是( )A.3π4 B ．－3π4 C.π4D.π2[答案] A[解析] ∵y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π(k ∈Z)，∴x ＋φ＝k π，即x ＝k π－φ，令π4＝k π－φ得φ＝k π－π4(k ∈Z)，显然在四个选项中，只有3π4满足题意．故正确答案为A. 5．(文)为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972πC.1992π D ．100π[答案] B[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B. (理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波峰，函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的周期T ＝4，∴t ≥54T ＝5，故选C.6．(2010·安徽巢湖质检)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6(k ∈Z) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π6，k π＋11π6(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z)[答案] C[解析] 由条件知，T ＝2πω＝π，∴ω＝2， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故选C.7．(2011·福建质检)已知将函数f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位长度，然后向上平移2个单位长度后得到的图象与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，则函数g (x )＝________.[答案] 2sin π3x ＋2[解析] 将f (x )＝2sin π3x 的图象向左平移1个单位长度后得到y＝2sin[π3(x ＋1)]的图象，向上平移2个单位长度后得到y ＝2sin[π3(x ＋1)]＋2的图象，又因为其与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝g (x )＝2sin[π3(2－x ＋1)]＋2＝2sin(π－π3x )＋2＝2sin π3x ＋2.8．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.[答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0，∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.1.(文)(2011·湖南张家界月考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 [答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2. (理)(2011·湖北文，6)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R.若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}B ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z}C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z}D ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z}[答案] A[解析] f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)≥1，即sin(x －π6)≥12，∴2k π＋π6≤x －π6≤2k π＋5π6k ∈Z ，∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z)．2．(文)(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sin πxR 图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR ＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.(理)(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D .47 [答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋321－12×32＝8，∴选B. 3．(文)(2011·湖南长沙一中月考)下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝cos(2x ＋π3)D ．y ＝cos(2x －π6)[答案] D[解析] 将(－π6，0)代入选项逐一验证，对A 项，y ＝sin(－π3＋π6)≠0，A 错；对B 项，y ＝sin(－π2)＝－1≠0，B 错；对C 项y ＝cos0＝1≠0，C 错；对D 项，y ＝cos(－π3－π6)＝cos π2＝0符合，故选D.(理)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. 4．(2011·北京海淀期中)如果存在正整数ω和实数φ，使得函数f (x )＝cos 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] f (x )＝12＋12cos(2ωx ＋2φ)，由图可知T2<1<34T ，∴43<T <2，43<2π2ω<2，π2<ω<34π， 又ω∈N *，∴ω＝2.故选B.5．(2011·安徽百校论坛联考)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________． [答案] [1,2)[解析] f (x )在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在[0，π2]上有两个不同实数解，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈[0，π2]与y ＝m 有两个不同交点，∴1≤m <2.6．(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π2－x )．(1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝13＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sin α＋cos α>0.由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3.(2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π4)，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调递增区间为[0，π4]．7．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ，∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3.当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32.(理)(2010·湖北黄冈)已知a ＝(3，cos x )，b ＝(cos 2x ，sin x )，函数f (x )＝a ·b －32.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，求函数f (x )的取值范围；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？[解析] (1)函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝3⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos2x 2＋12sin2x －32 ＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∴由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，(k ∈Z) (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6∴当2x ＋π3＝π2即x ＝π12时f (x )max ＝1当2x ＋π3＝5π6即x ＝π4时，f (x )min ＝12，∴12≤f (x )≤1.(3)将f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到y ＝sin2x的图象，则其对应的函数即为奇函数．(答案不唯一)1．(2010·合肥质检)对任意x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 B ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3[答案] A[解析] 由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在函数图象上得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6.又φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 3．(2010·安徽马鞍山二中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)的值为( )A ．2008 B.40172C ．2009 D.40192[答案] D[解析] 由f (x )的图象可以得到A ＝12，b ＝1，T ＝4，所以ω＝π2，故f (x )＝12sin(π2x ＋φ)＋1，再由点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在f (x )的图象上，可得φ＝2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝12sin πx2＋1.所以f (1)＝12＋1，f (2)＝0＋1，f (3)＝－12＋1，f (4)＝0＋1，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝4，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＝2008＋f (2009)＝2008＋f (1)＝40192. 4．(2010·浙江金华十校)M 、N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．π B.2π C.3π D ．2π [答案] C[解析] 其中与原点最近的两交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2π2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2π2，∴|MN |＝3π.5．已知函数f (x )＝x ·sin x ，x ∈R.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，f (1)及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝⎛⎭⎪⎫－π4C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎪⎫－π4D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>f (1)[答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，由于π3>1>π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，故选C. 6．(2010·山东肥城联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示，若点A 是函数f (x )的图象与x 轴的交点，点B 、D 分别是函数f (x )的图象的最高点和最低点，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是点B在x 轴上的射影，则AB →·BD→的值是( )A ．8B ．－8 C.π28－8 D ．－π28＋8 [答案] C[解析] 由图可知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，由2·π3＋φ＝π知，φ＝π3，从而A ⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，D ⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－2，AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫π4，2，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－4，∴AB →·BD→＝π28－8. 7．(2010·福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0,0<ω<2，－π2<φ<π2)的图象，列出的部分数据如下表：经检查，请你根据上述信息推断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．[答案] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6 [解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x ＝1对称，故x ＝1与函数图象的交点应是最高点或最低点，故数据(1,0)错误，从而由(4，－2)在图象上知A ＝2，由过(0,1)点知2sin φ＝1，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，再将点(2,1)代入得， 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ω＋π6＝1， ∴2ω＋π6＝π6＋2k π或2ω＋π6＝5π6＋2k π，k ∈Z ，∵0<ω<2，∴ω＝π3，∴解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.8．(2011·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6)，(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z)，(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，即x ＝k π2－π12(k ∈Z)，∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．(3)由f (α)＝f (β)得：2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)，又∵角α与β的终边不共线， ∴(2α＋π6)＋(2β＋π6)＝2k π＋π(k ∈Z)，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z)，∴tan(α＋β)＝ 3.。
1.4.3 正切函数的性质与图象课时目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．函数y ＝tan x 的性质与图象见下表：y ＝tan x图象定义域 __________________________值域 ______ 周期 最小正周期为______奇偶性 __________单调性在开区间______________________内递增一、选择题1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z }2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )4．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，且以π为周期的偶函数是( ) A ．y ＝tan|x | B ．y ＝|tan x |C ．y ＝|sin 2x |D ．y ＝cos 2x 5．下列各式中正确的是( ) A ．tan 735°>tan 800° B ．tan 1>－tan 2C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan 9π8<tan π76．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数y ＝tan x －1的定义域是____________．8．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____.9．已知a ＝tan 1，b ＝tan 2，c ＝tan 3，则a ，b ，c 按从小到大的排列是________________．10．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是_________________________________．三、解答题11．判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．12．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的定义域、周期、单调区间和对称中心．能力提升13．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )14．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－11．正切函数y ＝tan x 在每段区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )．正切函数无单调减区间．2．正切函数是奇函数，图象关于原点对称，且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(k π2，0) (k ∈Z )．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )为渐近线．1．4.3 正切函数的性质与图象答案知识梳理{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z } R π 奇函数 ⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z ) 作业设计1．C 2.C 3.A 4.B 5.D6．A [由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.]7．[k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z .8．±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.9．b <c <a解析 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 显然－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1. ∴b <c <a .10.⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )解析 由x ＋π3＝k π2 (k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0 (k ∈Z )．11．解 由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称．f (－x )＋f (x )＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0.∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．12．解 ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋53π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠2k π＋53π，k ∈Z .②T ＝π12＝2π，∴函数的周期为2π.③由k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π3<x <2k π＋53π，k ∈Z .∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋23π，k ∈Z .∴函数的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋23π，0，k ∈Z . 13．D [当π2<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <32π时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.]14．B [∵y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，∴ω<0且T ＝π|ω|≥π.∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.]附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
课时作业(四) [第4讲 函数及其表示][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1． 已知函数f (x )＝lg(x ＋3)的定义域为M ，g (x )＝12－x 的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x <2}C ．{x |x <2}D ．{x |－3<x ≤2}2．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 与g (x )＝()x 2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝lne x 与g (x )＝e ln xD ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1) 3．下列对应中：①A ＝{矩形}，B ＝{实数}，f ：“求矩形的面积”；②A ＝{平面α内的圆}，B ＝{平面α内的矩形}，f ：“作圆的内接矩形”；③A ＝R ，B ＝{y ∈R |y ＞0}，f ：x →y ＝x 2＋1；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x； ⑤A ＝{x ∈R |1≤x ≤2}，B ＝R ，f ：x →y ＝2x ＋1.是从集合A 到集合B 的映射的为________．4．已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝________.能力提升5．已知f (x )＝x ＋a x＋1，f (3)＝2，则f (－3)＝( ) A ．－2 B ．－5C ．0D ．26A.[2,5] C ．(0,20] D ．{2,3,4,5}7． 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧ c x ，x ＜A ，c A ，x ≥A (A ，c 为常数). 已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,168．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)9． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．310． 已知函数f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________. 11． 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．12．设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (1＋t )＝f (1－t )，且x ∈[0,1]时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． 13．定义在R 上的函数f (x )，如果存在函数g (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数)，使得f (x )≥g (x )对一切实数x 都成立，则称g (x )为函数f (x )的一个“承托函数”．现有如下命题：①对给定的函数f (x )，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g (x )＝2x 为函数f (x )＝2x 的一个承托函数；③定义域和值域都是R 的函数f (x )不存在承托函数．其中正确的命题是________． 14．(10分) 在计算机的算法语言中有一种函数[x ]叫做取整函数(也称高斯函数)，表示不超过x 的最大整数，例如[2]＝2，[3.3]＝3，[－2.4]＝－3.设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，求函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域．15．(13分)设计一个水槽，其横截面为等腰梯形ABCD ，要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a (常数)，∠ABC ＝120°，写出横截面面积y 与腰长x 之间的函数关系式，并求它的定义域和值域．难点突破16．(12分)已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )的最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图象关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．课时作业(四)【基础热身】1．B [解析] M ＝{x |x >－3}，N ＝{x |x <2}，所以M ∩N ＝{x |－3<x <2}．故选B.2．D [解析] 由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断，知D 正确．3．①③⑤ [解析] 由映射的定义可知，①③⑤是从集合A 到集合B 的映射． 4.193 [解析] 令3x －4＝4，得x ＝83，∴a ＝2x ＋1＝193. 【能力提升】5．C [解析] f (3)＝3＋a 3＋1＝2，所以a ＝－6，所以f (－3)＝－3－a 3＋1＝0，故选C. 6．D [解析] 函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．7．D [解析] 由题意可知⎩⎨⎧ f (4)＝c 4＝30，f (A )＝c A ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝60，A ＝16，故应选D. 8．B [解析] 因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对g (x )，0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．9．A [解析] 当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得，2a ＋2＝0，解得a ＝－1，舍去；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，选A.10．11 [解析] 因为f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，所以f (x )＝x 2＋2，所以f (3)＝32＋2＝11. 11．－34 [解析] 当a >0时，f (1－a )＝2－2a ＋a ＝－1－3a ＝f (1＋a )，a ＝－32<0，不成立；当a <0时，f (1－a )＝－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ＝f (1＋a )，a ＝－34. 12.54[解析] 因为f (1＋t )＝f (1－t )，所以f (x )＝f (2－x )，所以f (3)＝f (2－(－1))＝f (－1)＝－f (1)＝1，f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫2－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝14，所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝54.13．① [解析] 对于①，若f (x )＝x 2，则g (x )＝c (c ≤0)，就是它的一个承托函数，且有无数个．又f (x )＝lg x 就没有承托函数，∴①正确；对于②，∵x ＝32时，g ⎝⎛⎭⎫32＝3，f ⎝⎛⎭⎫32＝232＝8，∴f (x )<g (x )，∴g (x )＝2x 不是f (x )＝2x 的一个承托函数；对于③，若定义域和值域都是R 的函数f (x )＝2x ，则g (x )＝2x －1是f (x )的一个承托函数．14．[解答] f (x )＝2x ＋1－11＋2x －12＝12－11＋2x， f (－x )＝12－11＋2－x ，当x >0时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫0，12， f (－x )∈⎝⎛⎭⎫－12，0，此时[f (x )]＋[f (－x )]的值为－1； 当x <0时，同理[f (x )]＋[f (－x )]的值为－1；当x ＝0时，[f (x )]＋[f (－x )]的值为0，故值域为{－1,0}．15．[解答] 如图，设AB ＝CD ＝x BE ⊥AD 于E .∵∠ABC ＝120°，∴∠BAD ＝，AD ＝a －x . 故梯形面积y ＝12(a －2x ＋a －x )·32x＝－334x 2＋32ax ＝－334⎝⎛⎭⎫x －a 32＋312a 2. 由实际问题意义得，⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，a －x >0，a －2x >0⇒0<x <12a ， 即定义域为⎝⎛⎭⎫0，12a . 当x ＝a 3时，y 有最大值312a 2， 即值域为⎝⎛⎦⎤0，312a 2. 【难点突破】16．[解答] (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)． f (x )图象的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1.∴f (x )＝x 2＋2x .由函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数；②当λ<－1时，h (x )图象对称轴是x ＝λ－1λ＋1， 则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1λ＋1≤－1， 又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．。
