北京市丰台区2020届高考数学一模试卷(理科)(有答案)(精校版)

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=的共轭复数是（）A. B. C. 1+i D. 1-i2.已知集合A={-2，3，1}，集合B={3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）A. {1}B. {}C. {1，-1}D. {}3.设命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p为（）A. ∀x∈（0，+∞），ln x＞x-1B. ∃x0∈（0，+∞），ln x0≤x0-1C. ∀x∉（0，+∞），ln x＞x-1D. ∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-14.执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，输出的S=15，那么判断框内的条件可以为（）A. k＜6B. k≤6C. k＞6D. k＞75.下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0的是（）A. f（x）=x-1B. f（x）=log2|x|C. f（x）=cos xD. f（x）=2x+16.已知α和β是两个不同平面，α∩β=l，l1，l2是与l不同的两条直线，且l1⊂α，l2⊂β，l1∥l2，那么下列命题正确的是（）A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l恰与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交7.已知F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（）A. B. 1 C. D.8.在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若△ABC是格点三角形，其中A（0，0），B（4，0），且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为（）A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知平面向量=（1，-3），=（-2，m），且∥，那么m=______．10.从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，那么不同的选派方案种数为______．11.直线y=kx+1与圆（α为参数）相交于M，N两点，若|MN|=2，则k=______．12.若△ABC的面积为2，且A=，则=______．13.已知函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．①函数f（x）的最小正周期为______；②若函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，则φ的值是______．14.已知数列{a n}对任意的n∈N*，都有a n∈N*，且a n+1=，①当a1=8时，a2019=______②若存在m∈N*，当n＞m且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p=______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a（a∈R），且f（）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上是单调函数，求m的最大值．16.随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争．吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示．（Ⅰ）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（Ⅱ）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立记X为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为s12，月平均期望薪资对应数据的方差为s22，判断s12与s22的大小．（只需写出结论）17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，AB=AA1=2BC=2CD=2．（Ⅰ）求证：BC⊥AA1；（Ⅱ）求二面角D-AA1-B的余弦值；（Ⅲ）在线段DB1上是否存在点M，使得CM∥平面DAA1？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）=（x-2）e x-ax3ax2．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≤e时，求证：x=1是函数f（x）的极小值点．19.已知抛物线C：y2=2px过点M（2，2），A，B是抛物线C上不同两点，且AB∥OM（其中O是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q．（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；（Ⅱ）求证：直线PQ与x轴平行．20.设n∈N*且n≥2，集合S n={（x1，x2…，x n）||x1|=1，|x i+1|=2|x i|（i=1，2…，n-1）}．（Ⅰ）写出集合S2中的所有元素；（Ⅱ）设（a1，a2，…a n），（b1，b2，..b n）∈S n，证明“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）”；（Ⅲ）设集合T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，求T n所有正数之和．答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数===-i，∴复数的共轭复数是+i，故选：A．先利用两个复数的除法法则化简复数，再依据共轭复数的定义求出复数的共轭复数．本题考查两个复数代数形式的混合运算法则以及共轭复数的概念．2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题.若B⊆A，则m2=1，即可求解满足条件的m【解答】解：∵A={-2，3，1}，B={3，m2}，若B⊆A，则m2=1∴m=1或m=-1实数m的取值集合为{1，-1}故选：C．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查含有一个量词的命题的否定．是基本知识的考查．全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：由全称命题的否定是特称命题．可知命题p：∀x∈（0，+∞），ln x≤x-1，则￢p是：￢p：∃x0∈（0，+∞），ln x0＞x0-1．故选：D．4.【答案】A【解析】解：若a=1，第一次条件成立，S=1，a=-1，k=2，第二次条件成立，S=1-4=-3，a=1，k=3，第三次条件成立，S=-3+9=6，a=-1，k=4，第四次条件成立，S=6-16=-10，a=1，k=5，第五次条件不成立，S=-10+25=15，a=-1，k=6，此时k=6不满足条件．输出S=15，即k=5不成立，k=6不成立，则条件k＜6，故选：A．根据程序框图进行模拟计算，确定k终止的条件即可．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义以及判断方法．【解答】解：根据题意，若f（x）的图象关于y轴对称，则函数f（x）是偶函数，若；②∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项：对于A，f（x）=x-1，为奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=log2|x|，为偶函数，则在（0，+∞）上，f（x）=log2x，为增函数，符合题意；对于C，f（x）=cos x，为偶函数，但在区间（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=2x+1，为非奇非偶函数，不符合题意；故选：B．根据题意，分析可得要求函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数；据此分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案．6.【答案】A【解析】解：∵l1∥l2，∴l1∥β，又l1⊂α，α∩β=l，∴l1∥l，同理l2∥l，故选：A．由线面平行的性质易得三线互相平行．此题考查了线面平行的性质，难度不大．7.【答案】B【解析】解：∵F1，F2为椭圆M：=1和双曲线N：-y2=1的公共焦点，∴m2-2=n2+1，∵P为它们的一个公共点，且PF1⊥F1F2，∴（不妨设m＞0，n＞0）．解得：m=2，n=1，⇒c2=m2-2=n2+1=2，∴椭圆M和双曲线N的离心率之积为．故选：B．利用m2-2=n2+1，（不妨设m＞0，n＞0）．求得m，n即可．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：设三角形的高为h，则三角形的面积S=4h=8，即h=4，即C点的纵坐标为4，若C（4，4）或（0，4）时，则三角形边边界上的格点个数为12个，若C（2，4），则三角形边边界上的格点个数为8个，若C（1，4）或（3，4），则三角形边边界上的格点个数为6个，则不可能的为10个，故选：C．根据条件设三角形的高为h，结合三角形的面积得到高h=4，即顶点C在直线y=4上，结合C的整点坐标，利用数形结合进行排除即可．本题主要考查合情推理的应用，结合条件求出三角形的高即顶点A的位置，利用数形结合以及特殊值法是解决本题的关键．9.【答案】6【解析】解：∵∥，∴1×m-（-3）×（-2）=0，解得m=6．故答案为：6．根据两个向量平行的坐标表示可得．本题考查了平面向量共线的坐标表示．属于基础题．10.【答案】12【解析】解：从4名男生、2名女生中选派3人参加社区服务，如果要求恰有1名女生，则有C21•C42=12种，故答案为：12．根据分步计数原理即可求出．本题考查排列组合的实际应用，属于基础题．11.【答案】【解析】解：圆（α为参数）转换为直角坐标方程为：x2+（y-3）2=4，则：点（0，3）到直线的距离d==，所以：，解得：k=，故答案为：．首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12.【答案】4【解析】解：由△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，所以=||||cos=8×=4，故答案为：4．由三角形面积公式得：△ABC的面积为2，得：||×|×sin=2，所以||||=8，由平面向量的数量积运算：=||||cos=8×=4，得解．本题考查了三角形面积公式及平面向量的数量积运算，属中档题．13.【答案】π -【解析】解：①函数f（x）=cos（2x+φ）（-＜φ＜0）．函数f（x）的最小正周期T==；②由x∈[]，可得2x+φ∈[φ，+φ]，根据函数f（x）在区间[]上有且只有三个零点，可得解得：∴φ=；故答案为：π，①根据周期公式T=，可得答案；②根据x∈[]，求解内层函数的范围，结合余弦函数的图象可得φ的值．本题考查了余弦函数的性质的应用，属于基础题14.【答案】2 1【解析】解：①由题意，可知：a1=8，，，，a5=3×a4+1=3×1+1=4，…∴数列{a n}：8，4，2，1，4，2，1，…即数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列．∵（2019-1）÷3=672 (2)∴a2019=2．②由①可知，a n为奇数的只有奇数1，∴p=1．本题第一题主要考查数列的奇偶问题，通过枚举法可发现数列{a n}从第二项起是以3为最小正周期的周期数列，即可得到a2019的值；第二题主要考查对题意的理解a n为奇数的只有奇数1，从而p=1．本题第一题主要考查周期数列的判定，第二题主要针对题意的理解．本题属基础题．15.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos（2x-）-2sin2x+a，=，=，且f（）=0．解得：a=1．所以：f（x）=．（Ⅱ）由于：f（x）在区间[0，m]上是单调函数，故：①当函数为单调递增时，（k∈Z），解得：（k∈Z），所以：m，②当函数为单调递减时，（k∈Z），解得：，综上所述：m的最大值为．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的变换和函数的值求出函数的关系式．（Ⅱ）利用函数的关系式和函数的单调性的应用求出m的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】解：（Ⅰ）设该生该月平均收入薪资高于8500元的城市为事件A，∵15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，∴该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率P（A）==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知选中平均薪资高于8500元的城市的概率为，低于8500元的概率为，∴X～B（2，），P（X=0）=（）2=，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：E（X）=2×．（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）求出15座城市中月收薪资高于8500元的有6个，由此能求出该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率．（Ⅱ）推导出X～B（2，），由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅲ）．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】证明：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，∴BC⊥平面ABB1A1，∵AA1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AA1．（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB1A1，∠BAA1=60°，解：AB=AA1=2BC=2CD=2．∴以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，-1，0），B（0，0，0），A1（，1，0），D（，-，1），=（0，2，0），=（-，1，0），=（-，，1），设平面AA1D的法向量=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，），平面AA1B的法向量=（0，0，1），设二面角D-AA1-B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角D-AA1-B的余弦值为．（Ⅲ）假设在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，B1（0，2，0），C（0，0，1），设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，∴（a-，b+，c-1）=（-），解得M（，，1-λ），∴=（，，-λ），∵CM∥平面DAA1，平面DAA1的法向量=（2，0，），∴=-=0，解得，∴在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．【解析】（Ⅰ）由AB⊥BC，平面ABCD⊥平面ABB1A1，交线为AB，得BC⊥平面ABB1A1，由此能证明BC⊥AA1．解：（Ⅱ）以B为原点，在平面ABB1A1中，过B作BB1的垂线为x轴，BB1为y轴，BC 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-AA1-B的余弦值．（Ⅲ）设M（a，b，c），=λ，λ∈[0，1]．则=，求出=（，，-λ），平面DAA1的法向量=（2，0，），利用向量法能求出在线段DB1上存在点M，使得CM∥平面DAA1，且=．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面平行的点是否存在的判断与示法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）a=0时，f（x）=（x-2）e x，f′（x）=（x-1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；（Ⅱ）f′（x）=（x-1）（e x-ax），x≥1时，x-1≥0，令h（x）=e x-ax，则h′（x）=e x-a≥0，故h（x）在（1，+∞）递增，故h（x）≥h（1）=e-a≥0，故x≥1时，h′（x）≥0，h（x）在（1，+∞）递增，x＜1时，x-1＜0，h′（x）=e x-a＞0，h（x）＞h（1）=e-a＞0，故x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（-∞，1）递减，故x=1是函数f（x）的极小值点．【解析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．19.【答案】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=2px过点M（2，2），∴4=4p，即p=1，∴抛物线C的准线方程x=-=-，证明（Ⅱ）∵M（2，2），AB∥OM，∴k AB=k OM=1，设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得y2-2y+2m=0，∴△=4-8m＞0，即m＜且m≠0，∴y1+y2=2，y1y2=2m，∵线段AB的中点为Q，∴y Q=（y1+y2）=1，∵直线OA的方程为y=•x=•x，①直线BM的方程为y-2=（x-2）=（x-2）=（x-2），②，由①②解得y===1，∴y p=1∴直线PQ的方程为y=1，故直线PQ与x轴平行【解析】（Ⅰ）把点代入即可求出p的值，可得抛物线C的准线方程，（Ⅱ）由题意可设直线AB的方程为y=x+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理定理可得y1+y2=2，即可求出点Q的纵坐标，在再分别求出直线OA，BM的方程，求出点P的纵坐标，即可证明本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，韦达定理，直线方程，考查了运算求解能力，属于中档题20.【答案】解：（1）依题意，|x1|=1，|x2|=2|x1=2，∴x1=±1，x2=±2，|∴集合S2中的所有元素为：（1，2），（1，-2），（-1，2），（-1，-2）共四个元素．（2）证明：①充分性，当a i=b i时，显然a i=b i成立．②必要性，依题意，，其中p i∈{-1，1}，所以a i=，其中p i∈{-1，1}，下面证明的符号与最后一项的符号相同．且不为0．当p n=1时，=+2n-1=2n-1-=2n-1-=1＞0，即当p n=1时，＞0，当p n=-1时，=-2n-1≤-2n-1=-2n-1=-1＜0，即当p n=-1时，＜0．a i=b i成立时，假设a i≠b i，且他们有k项不相同（k≥1，k∈N），则a i-b i为这k项的二倍的和或差，将这k项按绝对值从小到大排列起来，分别记作p1c1，p2c2，……，p k c k，p i∈{-1，1}，则a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k，设绝对值最大项c k=，若p k=1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≥+2m＞0，若p k=-1，a i-b i=p1c1+p2c2+……+p k c k≤-2m＜0，这与a i=b i矛盾，故假设错误，即当a i=b i时，有a i=b i（i=1，2，3，…n），充分性成立．综上“a i=b i”的充要条件是“a i=b i（i=1，2，3，…n）．（3）T n={x i|（x1，x2，..x n）∈S n}，故T n可以记作：T n=，p i∈{-1，1}，由（2）知，要使T n取正值，需要最后一项系数p n=1，而前n-1项的系数可以任意选取，则前n-1项的系数取-1的有=2n-1项，前n-1项的系数取1的也有=2n-1项，且它们相加为0．故T n所有正数之和为2n-1个2n相加，故T n所有正数之和为2n-1×2n=22n-1．【解析】（1）根据题意，直接列出即可（2）利用以a i=不为零这个特性，结合反证法可以证明．（3）根据计数原理，T n为正时，最后一项的系数必为正数，再看前n-1项的情况，数出个数相加即可．本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

丰台区高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。

3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。

4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知全集U={x I x < 5}，集合，则(A) (B) (C) (D)(2）已知命题p：x <1，，则为(A) x ≥1,(B)x <1,(C) x <1,(D) x ≥1,(3)设不等式组表示的平面区域为.则(A）原点O在内(B)的面积是1(C)内的点到y轴的距离有最大值(D)若点P(x0,y0) ，则x0+y0≠0(4)执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是(A) n≥5 (B) n≥6(C) n≥7(D) n≥8(5）在平面直角坐标系xO y中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为(A)=sin(B)=2sin(C) =cos(D) =2cos(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)(B)(C) 2 (D)(7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为(A)4 (B)8(C) 12 (D) 24(8）设函数,若函数恰有三个零点x1, x2, x3 (x1<x2 <x3)，则x1 + x2 + x3的取值范围是(A)(B)(C) (D)第二部分〔非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市丰台区达标名校2020年高考一月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．792．已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 3．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>5．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cm +D ．()2454cm +6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．77．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 8．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③9．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，BD '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 10．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心11．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,8B ．[]0,9C ．[]1,8D ．[]1,912．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年北京丰台区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若集合，，（ ）．A. B. C. D.2.已知向量，，满足，则（ ）．A. B. C. D.3.若复数满足，则对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.圆的圆心到直线的距离为（ ）．A.B.C.D.5.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.6.“”是“”成立的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于的有（ ）．左视图主视图俯视图A.个B.个C.个D.个8.过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于两个不同的点，（点在轴上方），则的值为（ ）．A.B.C.D.9.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（ ）．A.为偶函数B.C.当时，在上有个零点D.若在上单调递减，则的最大值为10.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）．A.B. C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设数列的前项和为，，则．12.若，则函数的最小值为 ，此时 ．13.已知平面和三条不同的直线，，．给出下列六个论断：①；②；③；④；⑤；⑥．以其中两个论断作为条件，使得成立．这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14.如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换．如：对任意一个实数，变换：取其相反数．因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换．有下列种变换：①对，变换：求集合的补集；②对任意，变换：求的共轭复数；③对任意，变换： （，均为非零实数）．其中是“回归”变换的是 ．15.已知双曲线的渐近线是边长为的菱形的边，所在直线．若椭圆经过，两点，且点是椭圆的一个焦点，则．三、解答题（本大题共6小题，共85分）（1）（2）16.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．当时，求．求的取值范围．17.（1）（2）（3）如图，在四棱锥中，，，，，平面平面．求证：平面．求证：平面．在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）（2）（3）18.在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动．各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）．参与，，三个社区的志愿者服务情况如下表：社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询从上表三个社区的志愿者中任取人，求此人来自于社区，并且参与社区消毒工作的概率．从上表三个社区的志愿者中各任取人调查情况，以表示负责现场值班值守的人数，求的分布列．已知社区心理咨询满意率为，社区心理咨询满意率为，社区心理咨询满意率为，“，，”分别表示，，社区的人们对心理咨询满意，“，，”分别表示，，社区的人们对心理咨询不满意，写出方差，，的大小关系．（只需写出结论）（1）（2）（3）19.已知函数．若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值．当时，求证：．若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围．【答案】解析:集合，集合，∴．故答案选．解析:∵向量，，，∴，解得，故正确．（1）（2）20.已知椭圆离心率为，点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点，．求椭圆的方程．直线、分别交轴于，两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．12（1）12（2）21.已知有穷数列，，，， ．定义数列的“伴生数列”，，，，， ，其中，，规定，．写出下列数列的“伴生数列”．，，，，．，，，，．已知数列的“伴生数列”，，，， ，，且满足．若数列中存在相邻两项为，求证：数列中的每一项均为．求数列所有项的和．C1.D2.解析:若复数满足，则，其对应的点为，位于第二象限．故选．解析:由题可知：圆心坐标为，圆心到直线的距离．故选．解析:∵，∴，又，且，∴．故选．解析:∵或，∴或，或，所以是成立的充分而不必要条件，故选．解析:B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.由三视图还原几何体如上图．，，平面，，，，故三棱锥的四个面中，面积等于的有个，故选．解析:∵抛物线，∴它的焦点坐标为，∵直线倾斜角为，∴直线的方程为：，即，设直线与抛物线的交点为、，∴，，联立方程组，消去并整理，得，解得，，∴，，∴，的值为，故选：．D 8.D 9.A10.解析:由题意存在非零实数，使得成立，即有解，即有解，设，，①若，则在上恒成立，∴在单调递增，∴，此时不成立，②若，令，，∴在上单调递减，在上单调递增，，，∴使得，故成立，故选．解析:∴数列的前项和为，，，，∴， ，．解析:若，则，，11. ;12.当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，此时．解析:由直线和平面垂直的性质定理可知，若，，则，所以由①④作为条件推出；由平行的传递性可知，若，，则，所以由③⑥作为条件可推出．故答案为①④或③⑥．解析:①由于，所以变换“求集合的补集”是“回归”变换；②由，得，的共轭复数仍是，则变换“求的共轭复数”是一种“回归”变换；③变换连续两次变换后的结果为，则变换不是一种“回归”变换；综上，故答案为：①②．解析:双曲线的渐近线方程为，xyO则，菱形中，边长为，，则，即，焦点为，，又易知，则①④ 或 ③⑥13.①②14.15.（1）（2）（1）（2）．故答案为：．解析:由余弦定理，得，所以．由可知，，即，，因为，所以，故，因此，于是．解析:因为，平面，平面，所以平面．取的中点，连接，（1）．（2）．16.（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）存在；．17.（3）在直角梯形中，易知，且，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理逆定理可知，又因为平面平面，且平面平面，所以平面．取的中点，连接，，所以，因为平面，所以平面.因为，所以．如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，易知平面的一个法向量为，假设在棱上存在一点，使得二面角的大小为，不妨设，所以，设为平面的一个法向量，（1）（2）则 即，令，，所以，从而，解得或，因为，所以，由题知二面角为锐二面角，所以在棱上存在一点，使得二面角的大小为，此时．解析:记“从上表三个社区的志愿者中任取人，此人来自于社区，并且参与社区消毒工作”为事件，，所以从上表三个社区的志愿者中任取人，此人来自于社区，并且参与社区消毒工作的概率为．从上表三个社区的志愿者中各任取人，由表可知：，，三个社区负责现场值班值守的概率分别为，，，的所有可能取值为，，，，，，，，的分布列为：（1）．（2）（3）．18.（3）（1）（2）（3）．解析:因为，所以，由题知，解得．当时，，所以，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以是在区间上的最小值，所以．由（）知，，若，则当时，，在区间上单调递增，此时无极值．若，令，则，因为当时，，所以在上单调递增，因为，而，所以存在，使得，和的情况如下：极小值（1）．（2）证明见解析．（3）．19.（1）（2）因此，当时，有极小值，综上，的取值范围是．解析:由题意，解得，，所以椭圆的方程为．假设存在点使得，设，因为，所以，则，即，所以，因为直线交椭圆于，两点，则，两点关于轴对称，设，，因为，则直线的方程为，令，得，直线的方程为，令，得，因为，所以，又因为点在椭圆上，所以，所以，即，所以存在点使得成立．（1）椭圆的方程为．（2）存在，点．20.12（1）12（2）解析:，，，，．，，，，．由题意，存在，使得．若，即时，，于是，．所以，所以，即，依次类推可得，所以．若，由得，于是，所以，依次类推可得，所以．综上可知，数列中的每一项均为．首先证明不可能存在使得，若存在使得，则，又得与已知矛盾，所以不可能存在，，由此及（）得数列的前三项，，的可能情况如下：（）时，由（）可得，于是，所以所有项的和．（），，时，，此时与已知矛盾．（） ，，时，，，．于是，，12（1），，，，．，，，，．12（2）证明见解析．或（是的倍数）．21.故，，，于是，，，于是，，，且，，，依次类推且恰是的倍数满足题意，所以所有项的和，同理可得，，及，，时，当且仅当恰是的倍数时，满足题意．此时所有项的和．综上，所有项的和或（是的倍数）．。

丰台区2019—2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 2020.04 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则A B =U（A ）{0} （B ）{01}， （C ）{012}，， （D ）{1012}-，，，2． 已知向量(2)(21)x ==-,,,a b ，满足a b ‖，则x =（A ）1 （B ）1-（C ）4（D ）4-3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限4． 圆22(1)2x y -+=的圆心到直线10x y ++=的距离为（A ）2（B（C ）1（D）25． 已知132a =，123b =，31log 2c =，则 （A ）a b c >> （B ）a c b >>（C ）b a c >> （D ） b c a >>6． “1a >”是“11a<”成立的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．的有8. 过抛物线22(0)C y px p =>：的焦点F 作倾斜角为60°的直线与抛物线C 交于两个不同的点A B ， （点A 在x 轴上方），则AF BF的值为（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个俯视图左视图（A ）13（B ）43（C（D ）39. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为910. 已知函数()e 100.x f x x k x x =⎧-≥⎨<⎩,,, 若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（A ）1()-∞-,（B ）1(]-∞-,（C ）(10)-,（D ）10[)-,第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n a n =- ，则5S = ． 12. 若1x >，则函数1()1f x x x =+-的最小值为 ，此时x = ．13. 已知平面α和三条不同的直线m n l ，，.给出下列六个论断：①m α⊥；②m α‖；③m l ‖；④n α⊥；⑤n α‖；⑥n l ‖.以其中两个论断作为条件，使得m n ‖成立.这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）14． 如果对某对象连续实施两次变换后的结果就是变换前的对象，那么我们称这种变换为“回归”变换.如：对任意一个实数，变换：取其相反数.因为相反数的相反数是它本身，所以变换“取实数的相反数”是一种“回归”变换. 有下列3种变换： ① 对A ⊆R ，变换：求集合A 的补集； ② 对任意z ∈C ，变换：求z 的共轭复数；③ 对任意x ∈R ，变换：x kx b →+（k b ，均为非零实数）. 其中是“回归”变换的是 .注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.15． 已知双曲线2213y M x -=：的渐近线是边长为1的菱形OABC 的边OA OC ,所在直线．若椭圆22221(0)x y N a b a b+=>>：经过A C ,两点，且点B 是椭圆N 的一个焦点，则a = . 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4c =，π3A =.（Ⅰ）当2b =时，求a ；（Ⅱ）求sin 3cos B C -的取值范围.17.（本小题共14分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB CD ‖，90ADC BM C ∠=∠=o，M B MC =，122AD DC AB ===，平面BCM ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ‖平面ABM ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面BCM ；（Ⅲ）在棱AM 上是否存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4？若存在，求出AE AM的值；若不存在，请说明理由．18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率； （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传 心理咨询A 100 30 30 20 20B 120 40 35 20 25C 15050403030“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）19.（本小题共15分）已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当0a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.20.（本小题共14分）已知椭圆22221(0)y x C a b a b +=>>：的离心率为2，点(10)P ,在椭圆C 上，直线0y y =与椭圆C 交于不同的两点A B ,.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线PA ，PB 分别交y 轴于M N ,两点，问：x 轴上是否存在点Q ，使得2OQN OQM π∠+∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题共14分） 已知有穷数列A ：*12(k n a a a a n ∈N ,,,,,L L 且3)n ≥.定义数列A 的“伴生数列”B ：12k n b b b b ,,,,,L L ，其中111110k k k k k a a b a a -+-+≠==⎧⎨⎩，，，(12)k n =,,,K ，规定011n n a a a a +==,. （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”：① 1，2，3，4，5； ② 1，−1，1，−1，1.（Ⅱ）已知数列B 的“伴生数列”C ：12k n c c c c ,,,,,L L ，且满足1(12)k k b k n c ==+,,,K . （i ）若数列B 中存在相邻两项为1，求证：数列B 中的每一项均为1； （ⅱ）求数列C 所有项的和.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2019~2020学年度第二学期综合练习（一）高三数学 参考答案及评分参考2020．04 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．25 12．3 ；2 13．①④（或③⑥）14. ①② 15.2三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222π24224cos3a =+-⨯⨯⋅12=.所以a = …………6分 （Ⅱ） 由π3A =可知，2π3B C +=，即2π3B C =-.2πsin sin()3B C C C =-1cos sin 22C C C =+1sin 22C C =πsin()3C =-.因为2π3B C +=，所以2π(0,)3C ∈. 故πππ(,)333C -∈-.因此πsin()(322C -∈-,.于是sin ()22B C ∈-. …………14分17.（本小题共14分） 证明：（Ⅰ）因为AB CD ‖， AB ⊂平面ABM ， CD ⊄平面ABM ，所以CD ‖平面ABM . …………3分（Ⅱ）取AB 的中点N ，连接CN . 在直角梯形ABCD 中，易知2AN BN CD ===，且CN AB ⊥. 在Rt △CNB 中，由勾股定理得2BC =. 在△ACB 中，由勾股定理逆定理可知AC BC ⊥. 又因为平面BCM ⊥平面ABCD ，且平面BCM I 平面ABCD BC =，所以AC ⊥平面BCM . …………7分 （Ⅲ）取BC 的中点O ，连接OM ，ON .所以ON AC ‖， 因为AC ⊥平面BCM ， 所以ON ⊥平面BCM . 因为BM MC =， 所以OM BC ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(001)M ,,，(010)B ,,，(010)C ,-,，(210)A -,,， =(211)AM -u u u r,,，=(020)BC -u u u r ,,，=(220)BA -u u r,,.易知平面BCM 的一个法向量为(100)=,,m .假设在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4.不妨设(01)AE AM λλ=≤≤u u u r u u u r，所以(222)BE BA AE λλλ=+=--u u u r u u r u u u r,,， 设()x y z =,,n 为平面BCE 的一个法向量，则00BC BE ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r,,n n 即20(22)0y x z λλ-=-+=⎧⎨⎩, , 令x λ=，22z λ=-，所以(22)λλ=-,0,n .从而cos 2m n m n⋅<>==⋅u r ru r r ,m n . 解得23λ=或2λ=.因为01λ≤≤，所以23λ=.由题知二面角E BC M --为锐二面角.所以在棱AM 上存在一点E ，使得二面角E BC M --的大小为π4，此时23AE AM=. …………14分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分 （Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯== ,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分19.（本小题共15分） 解：（Ⅰ）因为()()ln 1f x x a x x =+-+，所以'()ln a f x x x=+.由题知'(e)ln e 1ea f =+=，解得0a =. …………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x x x =-+， 所以'()ln f x x =.当(01)x ∈,时，'()0f x <，()f x 在区间(01),上单调递减；当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增； 所以(1)0f =是()f x 在区间(0)∞,+上的最小值.所以()0f x ≥. …………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =， 则21'()=a g x xx-.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增.因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )ax -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意222211.bc a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩, 解得2221a b ==,.所以椭圆C 的方程为2212y x +=. …………5分（Ⅱ) 假设存在点Q 使得2OQN OQM π∠+∠=.设(0)Q m ,，因为2OQN OQM π∠+∠=,所以OQN OMQ ∠=∠.则tan tan OQN OMQ ∠=∠.即ON OQ OQOM=，所以OM ON OQ =2.因为直线0y y =交椭圆C 于A B ，两点，则A B ，两点关于y 轴对称.设0000()()A x y B x y -,,,0(1)x ≠±，因为(10)P ,，则直线PA 的方程为：)1(100--=x x y y . 令0=x ，得100--=x y y M . 直线PB 的方程为：)1(100-+-=x x y y . 令0=x ，得100+=x y y N . 因为OM ON OQ =2，所以120202-=x y m .又因为点00()A x y ,在椭圆C 上，所以22002(1)y x =-.所以220202(1)21x m x -==-.即m =.所以存在点(0)Q 使得2OQN OQM π∠+∠=成立. …………14分 21．（本小题共14分）解: （Ⅰ）① 1，1，1，1，1；② 1，0，0，0，1.…………4分 （Ⅱ）（i ）由题意，存在{}121k n ∈-,,,K ，使得11k k b b +==.若1k =，即121b b ==时，120c c ==.于是21311n b b b b ====,.所以30n c c ==，所以421b b ==.即2341b b b ===.依次类推可得11k k b b +==(231)k n =-,,,L .所以1k b =(12)k n =,,,K .若21k n ≤≤-，由11k k b b +==得10k k c c +==.于是111k k k b b b -+===.所以10k k c c -==.依次类推可得121b b ==.所以1k b =(12)k n =,,,K .综上可知，数列B 中的每一项均为1.…………8分 （ⅱ）首先证明不可能存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===.若存在{}21k n ∈-,,K 使得110k k k b b b -+===，则111k k k c c c -+===.又11k k b b -+=得0k c =与已知矛盾.所以不可能存在110k k k b b b -+===，{}21k n ∈-,,K .由此及(ⅰ)得数列{}n b 的前三项123b b b ，，的可能情况如下：(1)1231b b b ===时，由（i ）可得1k b =(12)k n =,,,K .于是0k c =(12)k n =,,,K .所以所有项的和0S =.(2)123101b b b ===,,时，20c =，此时220b c +=与已知矛盾.(3) 123100b b b ===,,时，123011c c c ===,,. 于是22401n b b b b ==≠=,.故4531,0,0n c c b b ====于是1156010n b b c b -≠===,,，于是142536b b b b b b ===,,，且21100n n n b b b --===,,. 依次类推3k k b b +=且n 恰是3的倍数满足题意. 所以所有项的和233n nS n =-= .同理可得123010b b b ===,,及123001b b b ===,,时， 当且仅当n 恰是3的倍数时，满足题意.此时所有项的和23nS = .综上，所有项的和0S =或23nS =（n 是3的倍数）.…………14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）。

丰台一模理科数学附答案Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020丰台区2015—2016学年度第二学期统一练习（一）高三数学（理科） 第一部分 （选择题 共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x x =≤-≥或，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U C A B 等于（ ）（A ）{}|24x x -<≤ （B ）{}|23x x -<<（C ）{}|21x x -<<-（D ）{}|2134x x x 或-<<-<<2．在下列函数中，是偶函数,且在0+∞（，）内单调递增的是 （A ）||2x y =（B ）21y x =（C ）|lg |y x =（D ）cos y x = 3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h 的概率 （A ） 75，（B ）80, （C ）, （D ）, 4.若数列{}n a 满足*12(0,)N nn na a a n，且2a 与4a 的等差中项是5，则12n a a a 等于（A ）2n （B ）21n （C ）12n （D ）121n5. 已知直线m ,n 和平面α，若n ⊥α，则“m α”是“n ⊥m ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 （A ）72（B ）54（C ）48（D ） 87.如图，已知三棱锥P ABC 的底面是等腰直角三角形，且∠ACB =90O ，侧面PAB ⊥底面ABC ，AB =PA =PB =4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ,y ,z 分别是（A） （B ）4,2, （C）2 （D）8. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品数量（因变量）.某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P 1低于均衡价格P 0时，需求量大于供应量，价格会上升为P 2；当产品价格P 2高于均衡价格侧视图BP0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图形是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线为y=，那么双曲线的离心率为_________.10.如图，BC为⊙O的直径，且BC=6，延长CB与⊙O在点D处的切线交于点A，若AD=4，则AB=________.11. 在ABC∆中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3sin cos cosb Ac A a C=+，则sin A=________．12. 在梯形ABCD中，//AB CD,2AB CD=，E为BC中点，若AE x AB y AD=+,则x+y=_______.13. 已知,x y满足0,,.xy xx y k≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩（k为常数），若2z x y=+最大值为8，则k=________.14.已知函数1(1),()1).x xf xx+≤⎧⎪=>若()(1)f x f x>+，则x的取值范围是______.二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数(=cos(cos)f x x x x）+ .(Ⅰ)求()f x的最小正周期；(Ⅱ)当π[0,]2x∈时，求函数(f x）的单调递减区间.16.（本小题共13分）从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验.（Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率；②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X，求E（X）.(Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y 的均值E(Y)，请指出（Ⅰ）②中E（X）与E(Y)的大小关系.（只写结论,不需说明理由）17.（本小题共13分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，对角线AC 与BD 相交于O ；OF ⊥平面ABCD ，BC =CE =DE =2EF =2.(Ⅰ)求证： EF 18.（本小题共14分）已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-；（Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.19.（本小题共14分）已知椭圆G1.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）设椭圆G 的短轴端点分别为,A B ，点P 是椭圆G 上异于点,A B 的一动点，直线,PA PB 分别与直线4x =于,M N 两点，以线段MN 为直径作圆C . ① 当点P 在y 轴左侧时，求圆C 半径的最小值；② 问：是否存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.20.（本小题共13分）已知数列{}n a 是无穷数列，12=,a a a b =（,a b 是正整数），11111(1),=(1)n nn n n n n nn a a a a a a aa a --+--⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩.（Ⅰ）若122,=1a a =，写出45,a a 的值；（Ⅱ）已知数列{}n a 中*1)k a k N （=∈，求证：数列{}n a 中有无穷项为1； （Ⅲ）已知数列{}n a 中任何一项都不等于1，记212=max{,}(1,2,3,;n n n b a a n -=max{,}m n 为,m n 较大者）.求证：数列{}n b 是单调递减数列.丰台区2016年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 2 10. 2 11. 14. (0,1] 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解：(Ⅰ) 2(cos cos f x x x x + ()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7分(Ⅱ)当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 时，函数(f x ）单调递减, 即()f x 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈,由2[0,][,]263k k πππππ++=[,]62ππ+,k Z ∈所以(f x ）的递减区间为：[,]62ππ. ------------------------------------13分16. 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A.恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为14.-----4分②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X 的可能取值为1，2，3.1(1)4P X ==, 1(2)4P X ==，1(3)2P X ==. 则X 的分布列为：所以：E （X ）=11191234424⨯+⨯+⨯=--------------------------------------------11分(Ⅱ) ()()E X E Y < ------------------------------------------------------------------13分17. 解：(Ⅰ)因为四边形ABCD 为菱形所以AD ∥BC ，且BC ⊄面ADEF ，AD ⊂面ADEF所以BC ∥面ADEF 且面ADEF面BCEF EF =所以EF ∥BC . ----------------------------------------------------------6分(Ⅱ)因为FO ⊥面ABCD 所以FO AO ⊥，FO OB ⊥ 又因为OB AO ⊥以O 为坐标原点，OA ，OB ， OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取CD 的中点M ，连,OM EM . 易证EM ⊥平面ABCD . 又因为22BC CE DE EF ====，得出以下各点坐标：向量1(22DE =-，向量(1,0)BC =--，向量(0,BF =- 设面BCFE 的法向量为：0000(,,)n x y z =000,0n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得到000000y y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令0y =时0(n =-设DF 与0n 所成角为ϕ，直线DE 与面BCEF 所成角为θ.sin θ=|cos |ϕ=00||||||nDE n DE⋅⋅=1|((1)1|⨯-+直线EF 与平面BCEF 所成角的正弦值为-------13分18.设函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-；（Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.解：（Ⅰ）设切线的斜率为k因为(1)1ln10f =⋅=，切点为(1,0).切线方程为01(1)y x -=⋅-，化简得：1y x =-.----------------------------4分（Ⅱ）要证：()1f x x ≥-只需证明：()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立，当(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当1x =时min ()(1)1ln1110g x g ==⋅-+=()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立所以()1f x x ≥-.--------------------------------------------------------------------------10分（Ⅲ）要使：22ln x x ax a≥+在区间在(0,)+∞恒成立， 等价于：2ln x ax ax≥+在(0,)+∞恒成立， 等价于：2()ln 0h x x ax ax=--≥在(0,)+∞恒成立因为212()h x a x ax '=-+=2222a x ax ax-++=2212()()a x x a a ax -+- ①当0a >时，2(1)ln10h a a=--<，0a >不满足题意 当0a <时，令'()0h x =，则1x a=-或2x a=（舍）. 所以1(0,)x a∈-时()0h x '<，()h x 在1(0,)a-上单调递减；1(,)x a ∈-+∞时()0h x '>，()h x 在1(,)a-+∞上单调递增；当1x a =-时min 11()()ln()12h x h a a=-=-++ 当1ln()30a-+≥时，满足题意所以30e a -≤<，得到a 的最小值为 3e ------------------------------------14分19.1.所以2221,b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得到21,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 21y .-----------------------------------------------------------3分（Ⅱ）① 设00(,)P x y ，(0,1),(0,1)A B -所以直线PA 的方程为：0011y y x x --=令4x =，得到004(1)1M y y x -=+同理得到004(1)1N y y x +=-，得到08|||2|MN x =- 所以，圆C 半径004|1|(20)r x x =--≤< 当02x =-时，圆C 半径的最小值为3. --------------------------------------9分② 当P 在左端点时，圆C 的方程为：22(4)9x y当P 在右端点时，设(2,0)P ，(0,1),(0,1)A B -所以直线PA 的方程为：112y x --=令4x =，得到1M y =-同理得到1N y =， 圆C 的方程为：22(4)1x y ，易知与定圆22(2)1x y 相切, 半径1R由前一问知圆C 的半径0000041,204|1|41,02x x r x x x ⎧--≤<⎪⎪=-=⎨⎪-<≤⎪⎩ 因为004(1)1M y y x -=+，004(1)1N y y x +=-，圆C 的圆心坐标为004(4,)y x圆心距d =000004,2044||,02x x x x x ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 当020x 时，0044(1)1r R x x ，此时定圆与圆C 内切； 当02x 时，044(1)1r R x x ，此时定圆与圆C 外切； 存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(2,0)和半径1R =. (注: 存在另一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(6,0)和半径1R =.得分相同) ------------------------------------------------------------------------------------14分20..解：（Ⅰ）452,1a a ==；-----------------------------------------------------2分（Ⅱ）*1)k a k N （=∈，假设1k a m +=当1m =时，依题意有231k k a a ++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅=当1m >时，依题意有2k a m +=，31k a +=当1m <时，依题意有21k a m +=，321k a m +=，41k a m +=，51k a m+=，61k a +=由以上过程可知：若*1)k a k N （=∈，在无穷数列{}n a 中，第k 项后总存在数值为1的项，以此类推，数列{}n a 中有无穷项为1. --------------------------------------------------6分（Ⅲ）证明：由条件可知1(1,2,3,)n a n >=，因为{}n a 中任何一项不等于1，所以+11,2,3,)n n a a n ≠=（.①若212n n a a ->，则21n n b a -=. 因为212+12=n n na a a -，所以212+1n n a a ->.若21221n na a ->，则212+22122n n n na a a a --=<，于是2-12+2n n a a >；若21221n na a -<，则22222+222212121212n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a ----===⋅<<，于是2-12+2n n a a >；若21221n na a -=，则2+21n a =，于题意不符；所以212+12+2max{,}n n n a a a ->，即1n n b b +>. ②若212n n a a -<，则2n n b a =. 因为22+12-1=n n n a a a ，所以22+1n n a a >； 因为22+22+1=n n n a a a ，所以22+2n n a a >；所以22+12+2max{,}n n n a a a >，即1n n b b +>.综上所述，对于一切正整数n ，总有1n n b b +>，所以数列{}n b 是单调递减数列.-------------------------------------------------------------------------------13分。

北京市丰台区2020届高三第二学期统一考试doc 高中数学⑴2018年高三年级第二学期统一练习〔一〕数学试题〔理〕本卷须知：1 •答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清晰，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的”条形码粘贴区'’贴好条形码 •2 •本次考试所有答题均在答题卡上完成 •选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除洁净后再选涂其它选项•非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清晰•作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰 •3 •请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效•4 •请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破旧、本大题共8小题，每题5分共40分•在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项6. 在 ABC , " AB AC BA BC"是"| AC | | BC |"的7.设 a 0,b 0,a b ab 24,那么0（数学理）假如z1 ai为纯虚数，那么实数 aiA . 0 设集合 {y|yB . -1(y,x 0, a 等于 〔 〕C. 1 D . -1 或 1}, N {y | y log 2 x, x 0,1}，那么集合 M N 是A .( ,0)' 1,B . 0,3 .假设 (1 2x)n2a 0 a 1x a 2xA . 84B . -844 .奇函数 f(x)在(,0）上单调递增，假设A . (,1)(0,1)C.,1 D ・(,0) (0,1)〔 〕0的解集是〔 〕a n X n ,那么a 2的值是C. 280D . -280f ( 1) 0,那么不等式f(x) B- (, 1) (1,)C. ( 1,0) (0,1)D. ( 1,0)(1,)5.从0, 2, 4中取一个数字，从位数的个数是 1, 3, 5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，那么所有不同的三〔 〕A . 36B . 48C. 52D . 54A .充分而不必要条件 C.充分必要条件B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件A . a+b 有最大值8 B. a+b 有最小值 8 C. ab 有最大值8D. ab 有最小值8&整数以按如下规律排成一列： 〔1, 1〕、〔 1 , 2〕、〔2, 1〕、〔 1, 3〕、〔2, 2〕，〔3, 1〕，〔 1,4〕，〔2, 3〕,〔3, 2〕，〔4, 1〕……，那么第60个数对是 〔〕A .〔 10 , 1〕B .〔 2, 10〕C.〔 5, 7〕D .〔 7, 5〕二、填空题：本大题共 6小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上•9.在平行四边形 ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F,假设 AEF 的面积是1cm 2,那么 CDF 的面积是 _______________ cm 2.10 •假设一个正三棱柱的三视图及其尺寸如以下图所示〔单位:cm 3.样本数据落在 6,14内的频数为 _______________13 •在右边的程序框图中，假设输出 i 的值是4,那么输入x 的取值范畴是 ___________ •214 •函数y x 1(0 x 1)图象上点P 处的切线与直线y 0,x 0,x 1围成的梯形面积等于 S,那么S 的最大值等于 _________ ，现在点P 的坐标是 ______________ .三、解答题：本大题共 6小题，共80分•解承诺写出文字讲明， 演算步骤或证明过程• 15. 〔 12分〕函数 f(x) a si nx bcosx 的图象通过点(一,0),(,1).63〔I 〕求实数a 、b 的值；〔II 〕假设x [0, —]，求函数f (x)的最大值及现在 x 的值.cm 〕，那么该几何体的体积是 ___________11.样本容量为1000的频率分布直方图如下图•依照样本的频率分布直方图运算, x 的值为12 .在平面直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为〔参数t R 〕，圆C 的参数方程为x cos y sin1〔参数0,2 〕,那么圆心到直线I 的距离是16. 〔13分〕如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，P从面ABCD, BD交AC于点E, F是PC中点，G 为AC上一点.〔I〕求证：BD丄FG;〔II〕确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD,并讲明理由.2〔山〕当二面角B—PC- D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值317. 〔14分〕某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不阻碍•师父加工一个零件是精2 1品的概率为一，师徒二人各加工2个零件差不多上精品的概率为-.3 9〔I〕求徒弟加工2个零件差不多上精品的概率；〔II〕求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；〔山〕设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为，求的分布列与均值E18. 〔13分〕函数f(x) lnx a.x〔I〕当a<0时，求函数f (x)的单调区间；3〔II〕假设函数f〔x〕在［1 , e］上的最小值是 -,求a的值.219. 〔13分〕在直角坐标系xOy中，点M到点F, . 3,0), F2 0-3,0)的距离之和是4,点M的轨迹是C与x 轴的负半轴交于点A,只是点A的直线l : y kx b与轨迹C交于不同的两点P和Q.〔I〕求轨迹C的方程；〔II〕当AP AQ 0时，求k与b的关系，并证明直线I过定点.20 .〔14 分〕设集合W由满足以下两个条件的数列｛a n｝构成：a n a n 2①a n 1；2②存在实数M，使a n M .〔n为正整数〕〔I〕在只有5项的有限数列｛a n｝, ｛b n｝中,其中a i 1,a2 2,a3 3@ 4旦5;b i 1,b2 4,b3 5,b4 4b 1 ；试判定数列｛a n｝, ｛b n｝是否为集合W的元素；1 7〔II〕设｛C n｝是各项为正的等比数列，S n是其前n项和，C3-,S3证明数列｛S n｝ W ；并写4 4出M的取值范畴；〔III〕设数列｛d n｝ W,且对满足条件的M的最小值M0,都有d n M n( n N*).求证：数列｛d n｝单调递增.、选择题〔每题 5分，共40分〕 BCAABCBC二、填空题〔每题 5分，共30分〕 9. 4 10. 24、3 11. 0.09,680 12. .2 14.4 24’三、解答题：〔本大题共6小题，共80分〕 15. 〔 12分〕1 3 - ca b 0 2 2 ■■- 3 1 , ’ a b 1 2 2解得：a ..3,b1x咛％石［訂,当x 6孑即x 丁时f (x)取得最大值\ 316. 〔 13分〕证明：〔I 〕PA 面ABCD,四边形ABCD 是正方形,其对角线BD, AC 交于点E, ••• PA I BD, AC 丄 BD.参考答案13. 2,4 5 J 5 解：〔I 〕：函数f(x)a sin x bcosx 的图象通过点 (評⑺，〔II 〕由〔I 〕知：f (x)f -3sinx cosx 2sin(x —)12分••• BD 丄平面 APC, FG 平面PAC• B D 丄 FG 3 〔II 〕当G 为EC 中点，即AG AC 时，4 FG//平面 PBD, ............ 9 分 理由如下： 连接PE 由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE , 而FG 平面PBD, PB 平面PBD, 故FG//平面PBD. .................... 13分 〔III ］作BH 丄PC 于H ,连结 DH, •/ PA 丄面ABCD,四边形ABCD 是正方形， • P B=PD 又••• BC=DC PC=PC• △ PCE ^A PCD, • D H 丄 PC,且 DH=BH, •••/ BHD 主是二面角 B — PC- D 的平面角， 2 即 BHD , 3 •/ PA 丄面 ABCD, • / PCA 确实是PC 与底面ABCD 所成的角 7分11分12分连结EH,那么EH BD, BHE -,EH PC 3tan BHEBE EH .3,而BE EC, EC 3, sin PCA EHEH2 EC 3tan PCA2，• PC 与底面ABCD 所成角的正切值是 2 2 14分解：以A 为原点，AB , AD, PA 所在的直线分不为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系如下图, 设正方形 ABCD 的边长为 1,那么 A 〔 0 , 0 , 0〕, B 〔 1 , 0 , 0〕，C 〔 1 , 1, 0〕 1 1 1 1 a〔a>0〕 ，E (2,2,O),F(?，2，；2),G(m,m,O)(O m 7)〔1〕BD (1,1,0), FG (m1 2,m 12,BD FG 1 m m 1 0 02 2BD FG........... 5分〔II 〕要使 FG//平面 PBD, 只需 FG//EP ,D 〔 0 , 1 , 0〕, P 〔 0 , 0 ,a〕1 1而Ep (2,2, a)，i i m - -由FG EP可得 2 2，解得aa23m 4,3 3 —G(：, ,0), AG4 4设平面PBC的一个法向量为u (x, y, z),u PC 0 —一那么_______ ，而PC (1,1, a),BC (0,1,0) u BC 0x y az 0 ，取z=1,得u (a,0,1),y 0同理可得平面PBC的一个法向量v (0,a,1)设u,v所成的角为0,那么| cos2 |cos |3故当AG 3AC 时，FG〃平面PBD 4即1|u||v| 2a 1••• P从面ABCD,「./ PCA确实是PC与底面ABCD所成的角,tan PCA PAAC12分14分17.〔14分〕解：〔I〕设徒弟加工1个零件是精品的概率为那么2 2 P121得p29得P1因此徒弟加工2个零件差不多上精品的概率是P1,1 4〔II〕设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为由〔I〕知，p111,3 —4A C，〔1234P16 13 12 436 3636363613分” 16 1312 47的期望为0 —12 - 34........ 14分3636363636 318.〔 13分〕解：函数f (x) Inx —的定义域为 (0,)........ 1分x…、1 ax af '(x)22........ 3分x xx〔1〕 a 0, f'(x) 0.故函数在其定义域(0,)上是单调递增的• ...... 5分〔II 〕在［1, e ］上，发如下情形讨论： ① 当a<1时，f'(x) 0,函数f (x)单调递增，其最小值为f (1) a 1,3这与函数在［1 , e ］上的最小值是 相矛盾；...... 6分2② 当a=1时，函数f(x)在1,e 单调递增， 其最小值为f(1)1,同样与最小值是3相矛盾；...... 7分2师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下:9 49 4 9 436③当1 a e 时，函数f(x)在1,a 上有f'(x) 0 ,单调递减,在a,e 上有f'(x)0,单调递增，因此，函数f (x)满足最小值为f (a) Ina 1 由 In a 13,得a . e,.......... 9 分2④当a=e 时，函数f(x)在1,e 上有f'(x)0,单调递减，3 其最小值为f (e).... 2,还与最小值是 相矛盾； ...... 10分3仍与最小值是 3相矛盾；...... 12分2综上所述，a 的值为...e. ........... 13分〔13 分〕解：〔1〕 点M 到(.3,0),(.. 3,0)的距离之和是4,M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为2- 3的椭圆,2其方程为x y 21. ........... 3分4〔2〕将y kx b ，代入曲线C 的方程， 整理得(1 4k 2)x 28 2kx 4 0............ 5分因为直线l 与曲线C 交于不同的两点 P 和Q , 因此64k 2b 2 4(1 4k 2)(4b 2 4) 16(4k 2 b 2 1)设 P (X 1, y 1),Q (X 2, y 2),，那么2 2且 y 1 y 2 (kx 1 b)(kx 2 b) (k x 1x 2) kb(x 1 x 2) b .③X 28 2k 1 4k 21 4k 22⑤当a>e 时，明显函数f (x)在［1,e ］上单调递减, 其最小值为f (e)1 a 2,e0•①明显，曲线C 与x 轴的负半轴交于点 A 〔-2, 0〕，因此 AP (X i 2,yJ,AQ (x ?2,y 2), 由 AP AQ 0,得(％ 2)(x 2 2) y 1 y 2 0.将②、③代入上式，整理得 12k 2 16kb 5b 20. ........... 10分 因此(2k b) (6k 5b) 0,即b 2k 或b —k,经检验，都符合条件①5当b=2k 时，直线I 的方程为y kx 2k.明显，现在直线I 通过定点〔-2，0〕点. 即直线I 通过点A ,与题意不符.a a当b —k 时，直线I 的方程为y kx 6k k(x 5). 5 5 6明显，现在直线I 通过定点(-,0)点，且只是点A.5综上，k 与b 的关系是：b -k,5 a 且直线I 通过定点(一,0)点 ...... 13分520 .〔 14 分〕解：〔I 〕关于数列｛a n ｝,取引聖 2 a 2,明显不满足集合 W 的条件，①2故｛a n ｝不是集合W 中的元素,关于数列｛b n ｝，当n ｛1,2,3,4,5｝时, 不仅有b 1 b 3 b 2 b 4 ’ ■ 3 b 2, 2 44 b 3, 2 2b 3 b 3 —3 3 2 b 4,而且有b n 5 ,明显满足集合 W 的条件①②，故｛ bn ｝是集合 W 中的元素............. 4分〔II 〕 ｛C n ｝是各项为正数的等比数列， S n 是其前n 项和, 1 7 C 3 ,S 3 ,4 4设其公比为q>0.C3 2 q C3-- 1qc37,整理得6q2q 1 0q12 c1c 1n n 12S n 22?1……7分关于*n NS n S n 2,有2 21 12 1 Sn n 2 2n Sn 2,2 2 2且S n 2,故｛S n｝ W，且M 2, ........... 9 分〔山〕证明：〔反证〕假设数列｛d n｝非单调递增，那么一定存在正整数k,使d k d k 1，易证于任意的n k，都有d k d k 1，证明如下：假设n m(m k)时,d k d k1当n=m+1时，由虫d m i得d m 22d m 1 d m,2而d m 1 d m 2 d m 1 (2d m 1 d m ) d m d m 1 0因此d m 1 d m 2 ,因此，关于任意的n k,都有d m d m 1,明显d1,d2, ,d k这k项中有一定存在一个最大值，不妨记为d n0；因此d n0d n(n N ),从而d n0M°.与这题矛盾因此假设不成立，故命题得证•14分。

普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。

（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则=____________________.（12）已知为等差数列，为其前n项和，若，，则.（13）双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点。