2019年全国2卷省份高考模拟理科数学分类--数列

2019全国二卷理科数学2019年全国高中毕业生学业水平考试（简称“高考”）是全国范围内的一项重要考试，对于考生来说具有极其重要的意义。

其中，理科数学是高考科目中的一项重点，也是考生们备战高考的重要内容之一。

本文将对2019年全国二卷理科数学试卷进行分析与总结，以加深理解和巩固知识。

一、数列与数列的应用数列是数学中的重要概念，也是高考数学中常见的考点。

在2019年全国二卷理科数学试卷中，数列与数列的应用占据了相当的比重。

题目一：已知数列{an}的通项公式为an=n^2-n+1，求该数列的前n 项和Sn。

解析：根据数列的通项公式，我们可以得到数列的第一项a1=1，第二项a2=2，第三项a3=5，依次类推。

根据数列前n项和的公式Sn=n(a1+an)/2，代入数列的通项公式和第一项，我们可以求得数列的前n项和Sn的表达式为Sn=（n^2+3n）/2。

这道题目考察了对数列通项公式的理解和应用。

二、函数与方程函数与方程是高考数学中的重点内容，也是2019年全国二卷理科数学试卷的重要考点。

题目二：已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-12，求f(x)的零点。

解析：求函数的零点即为求函数在何处取值为0的x值。

为了求解函数的零点，我们需要先判断函数的根的个数，并根据函数图像或使用方程求根公式进行计算。

在本题中，为了判断函数的根的个数，可以应用综合定理得到函数的最大零点个数为3个，即该函数存在三个不同的实数零点。

三、几何与向量几何与向量是高考数学中的重点内容，也是2019年全国二卷理科数学试卷的重要考点。

题目三：已知平行四边形ABCD，AD=BC=6，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF=4。

连接AE与BF相交于点G，求证：DG⊥AB。

解析：在平行四边形ABCD中，我们可以根据平行四边形的性质得到，AB∥CD，且AB=CD，因此∠ABD=∠CDB。

根据题目中的已知条件，我们可以得到BE⊥CD，CF⊥BC。

2019年全国2卷省份高考模拟理科数学分类----排列组合二项式定理1.（2019重庆市理科模拟）设（1﹣x）（1+x）5＝a+a1x+a2x3+a3x3+…+a6x6，则a1的值为【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：（1﹣x）（1+x）5展开式x的一次幂的系数a1＝＝4，得解．【解答】解：由（1+x）5展开式的通项得T r+1＝x r，则（1﹣x）（1+x）5展开式x的一次幂的系数a1＝＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．2.（2019青海西宁四中理科模拟）在二项式的展开式中，含的项的系数是A. B. 15 C. D. 60【答案】D【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中含项的系数为，故选：D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求得r的值，可得展开式中含项的系数．本题考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．3.（2019青海西宁四中理科模拟）有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有A. 8种B. 16种C. 32种D. 48种【答案】B【解析】解：根据题意，假设有1、2、3、4、5，共5个位置，分3步进行分析：，甲必须站在正中间，将甲安排在3号位置，，在1、2、4、5中一个位置任选1个，安排乙，有4种情况，由于乙、丙两位同学不能相邻，则丙有2种安排方法，，将剩下的2名同学全排列，安排在剩下的2个位置，有种安排方法，则有种安排方法；故选：B．根据题意，假设有1、2、3、4、5，共5个位置，分3步进行分析：，将甲安排在3号位置，，在1、2、4、5中一个位置任选1个，安排乙，依据乙、丙两位同学不能相邻，再安排丙，，将剩下的2名同学全排列，安排在剩下的2个位置，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，注意题目的限制条件，优先满足受到限制的元素．4.（2019大连重点校协作体理科模拟）某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（）A．720B．520C．600D．264【分析】根据题意分甲、乙其中一人参加和甲乙两人都参加两种情况，再由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，若甲乙其中一人参加，则有••＝192种情况；若甲乙两人都参加，有••＝72种情况；则不同的发言顺序种数192+72＝264种．故选：D．【点评】本题考查了排列、组合知识的应用问题，利用加法原理，正确分类是关键．5.（2019大连重点校协作体理科模拟）二项式（ax﹣）3的展开式中，第三项的系数为，则（+）dx＝【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得a的值，再根据定积分的意义及运算，求得结果．【解答】解：二项式（ax﹣）3的展开式中，第三项的系数为••a＝，∴a＝2，则（+）dx＝（+）dx＝dx+dx＝lnx+•π•12＝ln2+，故答案为：ln2+．【点评】本题主要考查本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，定积分的意义及运算，属于中档题．6（2019吉林省四平一中理科模拟）.的展开式的第项为_______．【答案】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】由题展开式的第2项为，故答案为【点睛】本题考查二项式定理，熟记公式，准确计算是关键，是基础题.7.（2019吉林长春市理科模拟）某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有（）A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种【答案】B【分析】每个班级至少要分配1名实习教师，故4名教师中必然有两名教师分配到同一个班级，故可以先选出两名教师安排到一个班级实习，剩下的两名教师再进行排序安排班级。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学适用地区：内蒙古/黑龙江/辽宁/吉林/重庆/陕西/甘肃/宁夏/青海/海南/新 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(−∞，1)B ．(−2，1)C ．(−3，−1)D ．(3，+∞) 2．设z = −3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知AB =(2, 3)，AC =(3, t )，BC =1，则AB BC ⋅=A ．−3B ．−2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测 器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月 拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万 有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R+=++. 设rR α=，由于α的值很小，因 此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分 相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差 6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面 8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8 9．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │ 10．已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B ．5C ．3D ．511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222xy a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为AB ．C ．2D ．12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________. 14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）三、解答题：共70分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学（二）理科数学测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1） 集合{1012}M =-， ， ， ，集合{0246}N =， ， ， ，则=N M I（A ）{11}-，（B ）{1012}-， ， ， （C ）{0246}， ， ， （D ）{02}，（2） 设1i +是方程20()x ax b a b R ++=∈，的一个根，则 （A ）11a b ==，（B ）22a b ==-，（C ）22a b =-=， （D ）21a b =-=-，（3） 已知A B ， 两组数据如茎叶图所示，它们的平均数相同且2x y =，若将A B ， 两组数据合在一起，得到的这组新数据的中位数是 （A ）23 （B ）24 （C ）23.5 （D ）24.5（4） 设x 、y 满足约束条件2022030x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≥≤，则2z x y =-的最大值为（A ）1 （B ）2（C ）10（D ）12（5） 若向量a b r r ， 满足(2)a b a +⊥r r r ，()a b b +⊥r r r，则a r 与b r 的夹角为（A ）45︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）135︒（6） 在ΔABC中，sincos 225C C =，10AB =，AC =BC = （A ）5（B ）8（C ）11（D ）5或11（7）命题:0p x ∀>；命题2:e 5x x q x R ∃∈=， （e 为自然对数的底数），则下列命题为真命题的是 （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∨（C ）p q ⌝∧ （D ）p q ∨A 组B 组x1 46 4 2y9（8） 给图中的A B C D ， ， ， 四块区域涂色，且相邻（有公共边的）区域不同色，现有四种不同颜色可供选用，则所有不同的涂色方法种数是 （A ）36 （B ）54 （C ）84 （D ）120（9） 执行如图所示的程序框图，若输入28=A ，6=B ，则输出的结果是 （A ）2 （B ）4 （C ）6（D ）28（10）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点、上顶点、右焦点分别为A B F ， ， ，22(1)BF BA a b ⋅=+-u u u r u u u r，则该椭圆的离心率为（A ）2 （B ）2 （C ）12（D ）4（11）已知0ab >，22a b ab +=，则21a b a b+++的最小值为 （A ）34 （B ）1 （C ）54（D ）32（12）已知()3sin 2cos f x x x x =++，当1a b +=时，不等式()(0)()(1)f a f f b f +>+恒成立，则实数a 的取值范围是 （A ）(0)-∞，（B ）1(0)2，（C ）1(1)2，（D ）(1)+∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国2卷参考版）【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三总分得分一、选择题1. 已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（________ ）（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）2. 已知集合，，则（________ ）（ A ）_________ （ B ）________ （ C ）（ D ）3. 已知向量，且，则m= （________ ）（ A ）－8 （ B ）－6 （ C ） 6 （ D ） 84. 圆的圆心到直线的距离为 1，则a= （________ ）（ A ）_________ （ B ）_________ （ C ）________ （ D ） 25. 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（________ ）（ A ） 24______________ （ B ） 18______________ （ C ） 12___________ （ D ）96. 下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（________ ）（ A ）_________ （ B ）_________ （ C ）___________ （ D ）7. 若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（________ ）（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的，依次输入的为2，2，5，则输出的（________ ）（ A ） 7 （ B ） 12 （ C ） 17 （ D ） 349. 若，则（________ ）（ A ）___________ （ B ）_________ （ C ）___________ （ D ）10. 从区间随机抽取个数 , ，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ A ）_________ （ B ）_________ （ C ）___________ （ D ）11. 已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直， ,则E的离心率为（________ ）（ A ）___________ （ B ）_________ （ C ）___________ （ D ） 212. 已知函数满足，若函数与图像的交点为则（________ ）（ A ） 0____________________ （ B ）________ （ C ）___________（ D ）二、填空题13. 的内角的对边分别为，若，，，则______________ ．14. 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：（ 1 ）如果，那么 .（ 2 ）如果，那么 .（ 3 ）如果，那么 .（ 4 ）如果，那么与所成的角和与所成的角相等. 其中正确的命题有______________ ． . （填写所有正确命题的编号）15. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3 ．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______________ ．16. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______________ ．三、解答题17. 为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1 000项和．18. 某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：p19. ly:宋体; font-size:10.5pt">上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：p20. ly:宋体; font-size:10.5pt">一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.150.20 0.20 0.10 0. 05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．21. 如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．22. 已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．（Ⅰ）当时，求的面积；（Ⅱ）当时，求的取值范围．23. （Ⅰ）讨论函数的单调性，并证明当时，；（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．24. 选修4-1 ：几何证明选讲如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．（Ⅰ）证明：四点共圆；（Ⅱ）若，为的中点，求四边形的面积．25. 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数） , 与交于两点，，求的斜率．26. 选修4—5：不等式选讲已知函数，为不等式的解集．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。

2019年全国2卷省份高考模拟理科数学分类----集合与简易逻辑1.（2019重庆市理科模拟）已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣1＜x＜l}，N＝{x|0＜x＜2}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|x≤0或x≥l}B．{x|x≤﹣1或x≥2}C．{x|0＜x＜l}D．{x|x﹣1＜x＜2}【分析】求出M∪N＝{x|﹣1＜x＜2}，图中阴影部分表示的集合是∁U（M∪N），由此能求出结果．【解答】解：∵全集U＝R，集合M＝{x|﹣1＜x＜l}，N＝{x|0＜x＜2}，∴M∪N＝{x|﹣1＜x＜2}，∴图中阴影部分表示的集合是：∁U（M∪N）＝{x|x≤﹣1或x≥2}．故选：B．【点评】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（2019重庆市理科模拟）若“p∨q”成立的一个必要条件是“￢r”，则下列推理：①p∨q⇒￢r；②p⇒￢r；③￢r⇒q；④（￢p）∧（（￢q）⇒r．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由复合命题的真假和充分必要条件的定义，可得p∨q⇒￢r，结合等价命题和复合命题的真值表，即可判断正确个数．【解答】解：若“p∨q”成立的一个必要条件是“￢r”，即为p∨q⇒￢r，⇔￢（p∨q）⇒r，⇔（￢p）∧（（￢q）⇒r，可得①④正确；由p真，可得p∨q真，即有②正确；由q⇒￢r，可得③错误．故选：C．【点评】本题考查复合命题的真假和充分必要条件的定义，考查判断能力，属于基础题．3.（2019青海西宁四中理科模拟）已知集合，，则A. B. 0，1， C. D. 1，【答案】D【解析】解：集合1，2，，，则1，．故选：D．化简集合A、B，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简运算问题，是基础题．4.（2019大连市重点校协作体理科模拟）满足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A的个数是（）A．2B．3C．4D．8【分析】根据条件{1}⊆A⊆{1，2，3}即可看出集合A必须含有元素1，可能含有元素2，3，从而得出满足条件的A为{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．【解答】解：满足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A为：{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．故选：C．【点评】考查子集的定义，元素与集合的关系，列举法的定义．5.（2019大连重点校协作理科模拟）已知m，n是两条不同直线，α是一个平面，m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面平行的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m∥n由线面平行的定义知m∥α成立，即充分性成立，若m∥α，则m与n可能平行可能是异面直线，故必要性不成立，即“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的性质定理是解决本题的关键．6.（2019吉林省1一中理科模拟）设集合，则集合可以为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】首先根据一元二次不等式的解法求得集合B，之后根据集合交集中元素的特征，选择正确的结果.【详解】因为，所以当时，，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.7（2019吉林长春市理科模拟）.是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可． 【详解】因为“”，则“”；但是“”不一定有“”.所以“”，是“”成立的充分不必要条件．故选A.【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法： ①定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；②构造命题法：“若，则”为真命题，则是的充分条件，是的必要条件； ③数集转化法：：，：，若，则是的充分条件，是的必要条件.8.（2019吉林长春市理科模拟）学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（ ） A. 20 B. 17C. 14D. 23【答案】B【分析】两次运动会总人数减去两次运动会都参加的人数，即为所求结果.【详解】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人， 所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为.故选B【点睛】本题主要考查集合中元素个数的问题，熟记集合之间的关系即可，属于基础题型. 9.（2019兰州市理科模拟）已知集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C【分析】由集合的交集运算，直接求出答案即可。

2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）一、解答题1.（2019•江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n} 满足：，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足: ，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．2.（2019•上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．3.（2019•浙江）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=4.a4=S3，数列{b n}满足：对每个n∈N*，S n+b n，S n+1+b n、S n+2+b n成等比数列（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）记C n= ，n∈N*，证明：C1+C2+…+C n＜2 ，n∈N*4.（2019•天津）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求.5.（2019•天津）设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.6.（2019•卷Ⅱ）已知是各项均为正数的等比数列，，。

（1）求的通项公式；（2）设，求数列{ }的前n项和。

7.（2019•北京）设{a n}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值.8.（2019•卷Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式.9.（2019•北京）已知数列{a n}，从中选取第i1项、第i2项…第i m项（i1<i2<…<i m）.若a i1<a i2<…<a im.则称新数列a i1，a i2，…，a im.为{a n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列.（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（II）已知数列{a n}的长度为P的递增子列的末项的最小值为a m0，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0，若p<q，求证：a m0<a n0；（III）设无穷数列{a n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。