(完整版)流体力学NS方程推导过程

流体力学NS方程简易推导过程小菜鸟0引言流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。

1基本假设空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。

不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。

自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。

连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。

连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。

有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。

深入研究非牛顿流体和复杂流体的运动规律
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
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N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。

dvx v x v x v x v x 1 p 2 vx vx vy vz x dt t x y z dvy v y v y v y v y 1 p 2 Y vy vx vy vz y dt t x y z 1 p 2 dvz v z v z v z v z Z vz vx vy vz z dt t x y z X
实际流体的运动微分 方程
——纳维-斯托克斯方程式 （N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力 在粘性不起作用的平衡流体 中，或者在没有粘性的理想运动 流体中，作用在流体微元表面上 的表面力只有与表面相垂直的压 应力，而且压应力又具有一点上 各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速 度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的 法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的 各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由 于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上 由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最 后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可 压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这 给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便， 我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各 向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此 算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际 运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当 微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表 面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元 有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同 性的性质了。

• 线变形运动 微团左、右两侧的 A 点和 C 点沿 x 方向的速
度差为
，当这速度差值为正时，微团沿 x 方向发生
伸长变形；当它为负时，微团沿 x 方向发生缩短变形。
• 线变形速度 单位时间，单位长度的线变形称为线变形速 度。流体微团沿 x 方向的线变形速度：
Hale Waihona Puke 本构方程和NS方程粘性流体动力学基础
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
dxdydzdt
t
dxdydzdt
或：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
t x
y
z
连续性方程
矢量形式：
r
g()
0
t
（适用于层流、湍流、 牛顿、非牛顿流体）
连续方程物理意义：流体在单位时间内流经单位体积空间输 出与输入的质量差与其内部质量变化的代数和为零。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
本构方程和NS方程
方程的物理意义：
粘性流体动力学基础
方程左边是：任意时刻t通过考察点A的流体质点
加速度的三个分量；
Dvx / Dt ax
方程右边是：作用在单位体积流体上的表面力和体 积力在各坐标上的分量。
方程可简略表示成：
r ur
a F
这就是以单位体积的流体质量为基准的牛顿第二运动定律
本构方程和NS方程
dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
yz
xy
xy x
dx
xx
xx x
dx
x
zx
zz
yx
yx y
dy
应力状态：

ns推倒方程ns 推倒方程（Navier-Stokes equations）是描述流体力学中流体速度和压力变化的基本方程之一。

它由法国数学家克劳德·路易·马里·亨利·纳维-斯托克斯（Claude Louis Marie Henri Navier-Stokes）在1822年和英国物理学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯（George Gabriel Stokes）在1845年独立提出。

ns 推倒方程是控制和描述流体运动的基本方程，广泛应用于流体力学、气象学、海洋学等领域的研究中。

ns 推倒方程的推导过程相对复杂，涉及到一系列假设和数学推导。

首先，我们假设流体是连续的，即流体的密度和速度在任意时刻和任意位置都是连续变化的。

其次，我们假设流体是不可压缩的，即流体在运动过程中密度保持不变。

在这些假设的基础上，我们可以得到 ns 推倒方程的一般形式。

ns 推倒方程可以分为连续性方程和动量方程两个部分。

连续性方程描述了流体在运动过程中质量守恒的原理，它可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0其中，ρ表示流体的密度，t表示时间，u表示流体的速度，∇表示梯度算子，·表示向量的点积运算。

这个方程表示了流体在运动过程中质量的变化率等于流体的速度散度。

动量方程描述了流体在运动过程中动量守恒的原理，它可以用数学形式表示为：ρ(∂u/∂t + u·∇u) = -∇p + μ∇²u + ρg其中，p表示流体的压力，μ表示流体的动力粘度，g表示重力加速度。

这个方程表示了流体在运动过程中受到的压力、粘度和重力的作用。

通过对连续性方程和动量方程的推导，我们可以得到完整的 ns 推倒方程。

这些方程的求解可以提供流体的速度和压力分布，从而进一步研究流体的流动行为和特性。

然而，由于 ns 推倒方程的复杂性，目前尚无法找到其一般解析解，只能通过数值模拟和实验方法来近似求解。

很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。

其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。

我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。

首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。

我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。

欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。

设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。

如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。

欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。

u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。

p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。

这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。

这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。

前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。

),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。

首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和 N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。 欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时 间的变化状况。如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。欧拉 方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，
代入上面加速度公式，得到
d dt
(M ,t) t
t0,M和M 靠近，
MMMlMi的m变0化会(引M起,三tM个) M方向速(M度的,变t)化
用M点速度
du dt
u(x, y, t
z,t)
u(x,
y,
z,t)
u(x, y, x
z,t)
v(x,
y, z,t)
u(x, y, z,t) y
w(
x,
y,
z,
t
)
u(
x, y, z
z,
t
)
u u u v u w u t x y z
du dt
u t
u
u x
v
u y
w
u z
;
dv dt
v t
u
v x
v
v y
w
v z
;
dw w u w v w w w dt t x y z
至此已经用欧拉法推到出了流体速度和加速度(即随体导数)的公式。随体导数也可以用复合
以上就已经得到了连续性方程。 对不可压缩流体，连续性方程可以简化，可以得到以下简化的连续性方程：
u x
v y
பைடு நூலகம்

本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动 右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
流体微团的运动形式
流体质点运动的分析
•分析流场中任意流体微团运动是研究整个流场运动的基础。 •流体运动要比刚体运动复杂得多，流体微团基本运动形式 有平移运动、旋转运动、线变形和角变形运动等。实际运 动也可能遇到只有其中的某几种形式所组成。 •当流体微团无限小而变成质点时，其运动也是由平动、线 变形、角变形及旋转四种基本形式所组成。
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。 a F 受力分析：
1、质量力：
fxρdxdydz
x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p
p dx x 2
p
p dx x 2
x轴正方向
x轴负方向
本构方程和NS方程
微元体上X和Z方向的表面力
yx xy
yz zy
zx xz
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
微元体表面力的总力分量
X方向的表面力：
yx x zx dxdydz dydxdz dzdxdy x y z x yx zx dxdydz x y z
旋转角速度 把对角线的旋转角速度定义为整个流体微团在平 面上的旋转角速度。
；
；
1 u z u y x ( ) 2 y z

yx xy
yz zy
zx xz
16
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
微元体表面力的总力分量
X方向的表面力：
x dxdydz yx dydxdz zx dzdxdy
x
y
z
x yx zx dxdydz
x y z
Y方向的表面力：
xy
x
yy
y
zy
z
dxdydz
Z方向的表面力：
xz
x
yz
y
zz
z
dxdydz
17
本构方程和NS方程
动量流量及动量变化率
粘性流体动力学基础
z
vz vx
vz vx z
dz
dy
vyvx
vy vx y
dy
dx
动量流量
动量通量 x 流通面积
vx vx
dz
vxvx
vxvx x
dx
＝ 动量流量
y
vyvx vzvx
vz x
vx z
24
本构方程和NS方程
本构方程的讨论：
正应力与线变形速率：
线变形率与流体流动：
正应力中的粘性应力：
粘性流体动力学基础
流体正应力与三个速度偏导数有关 (即:线变形率)，同固体力学中的虎 克定律。
从流体流动角度看，线变形率的正负 反映了流体的流动是加速还是减速； 体变形率的正负反映了流动过程中流 体体积是增加还是减少。
粘性流体动力学基础
牛顿流体的本构方程：
xx
p 2
x
x
2 3
vx x
vy y
vz z
yy
p 2

流体力教NS圆程浅易推导历程之阳早格格创做小菜鸟0 弁止流体力教的NS圆程对付于所有流体力教以及气氛能源教等范畴的效率非常隐著，没有过其公式烦琐，推导思路没有简单理逆，迩去沉新整治了一下NS圆程的推导，记录一下所有推导历程，供自己教习，也不妨供大家接流战教习.1 基原假设气氛是由洪量分子组成，分子干着无准则热疏通，咱们不妨设念，随着瞅察尺度的渐渐落矮，微瞅情况下流体的速度稀度战温度等物理量没有成能与宏瞅情况相共，其物理量存留间断的局里，比圆咱们正在空间中与出一齐统造体，当统造体中存留分子时，该统造体的稀度等量较大，没有存留时便会为0，那正在微瞅尺度下是罕睹.没有过随着瞅察尺度减少，正在宏瞅情况下，统造体积内包罗洪量分子，统造体积的压力稀度温度速度等物理量存留统计仄衡截止，那个截止是宁静的，比圆流场变量的压力稀度战温度谦脚理念气体状态圆程.自然界中宏瞅情况的流体疏通到底吞噬大普遍，NS圆程规定了自己的适用条件为宏瞅疏通，采与轻微博业一面易度术语是流体谦脚连绝介量假设.连绝介量假设的意义便是道，咱们正在流场中随意与出流体微团，那个流体微团正在宏瞅上是无贫小的，果此所有流场的物理量不妨举止数教上的极限微分积分等运算；共时，那个流体微团正在微瞅上是无贫大的，微团中包罗了洪量分子，以至于不妨举止分子层里的统计仄衡，赢得咱们通罕睹到的流场变量.连绝介量假设创造需要谦脚：所钻研流体问题的最小空间尺度近近大于分子仄衡疏通自由程（尺度情景下气氛的仄衡分子自由程正在格中之一微米的量级，简曲值不妨参照分子疏通表里），那正在大普遍宏瞅情况下皆是创造的，也是NS圆程不妨广大采与的前提，纵然正在湍流中，也是创造的，果此才包管NS圆程也适用于形貌湍流.有些情况下连绝介量假设没有创造，存留哪些情况？第一种是空间尺度特地小，比圆热线风速仪的金属丝，曲径常常正在1~5微米量级，最小流体微团已经靠近分子仄衡疏通自由程，连绝介量假设没有克没有及间接使用，类似情况还包罗激波，激波里受到压缩，其尺度也较小，为几个分子仄衡自由程量级，没有过采与连绝介量假设举止激波内流场估计时，估计截止仍旧不妨得到比较合理，而且与本量情况相符，那也给激波问题的钻研妥协决戴去了前提性的包管；第二种是分子仄衡疏通自由程特地大，分子仄衡疏通自由程是指二个分子之间碰碰距离的仄衡值，那个截止与分子灵验曲径，分子疏通速度等相闭，宏瞅上去道，温度越下、压力越大，分子仄衡疏通自由程越大，而正在下空情况下，压力非常矮，自由程大概很大，而且大到与飞止器尺度相近，于是连绝介量假设做废，此时必须思量稀疏气体效力.正在层流鸿沟层情况下，分子仄衡疏通自由程与鸿沟层之间存留近似闭系：从那个闭系中，不妨创造，当马赫数非常大然而是共时雷诺数非常小的时间，流场微弱尺度才大概达到分子仄衡疏通自由程lmd的程度.不妨设念一下，正在大普遍咱们能瞅察到的情况下，上述公式的截止皆利害常小的，谦脚连绝介量假设，那个公式没有创造的情况正在大气层中边沿，此时大气分子之间仄衡动量接换落矮，引导粘性变得非常小，雷诺数很下，果此公式估计截止慢遽落矮，引导连绝介量假设做废.前里计划了连绝介量修造创造的条件以及没有创造的例子，底下计划的皆是连绝介量假设范畴内的截止.2 连绝性圆程：品量守恒定律的流体表白根据品量守恒定律，咱们了解，正在流场与的统造体谦脚如下物理逆序：统造体的总品量没有随着疏通而变更的，正在疏通历程中统造体末究由相共流体微团组成，果此利用流场物理量将物理逆序用数教公式表白可得：根据引论1中的真量，上式左边随体导数不妨采与二种形式的偏偏导数表示：（1）微元体表白形式：根据引论1中微元体的随体导数闭系不妨得到：大概者（2）弛量表白形式：3 动量圆程：牛顿第二定律的流体表白根据牛顿第二定律，流场中与出统造体谦脚如下逆序：某一时刻，统造体中所有流体微团的总动量随时间的变更率=统造体中所有流体微团受到的合力.统造体受力主要包罗表面力战体积力，表面力效率于物体表面，比圆压力等应力，表面力不妨收会为法背力战切背力，法背力常常为压力，切背力常常为粘性力（天然那没有是千万于，果为法背力还包罗流场可压缩性引起的法背应力）；体积力效率于流场中每一个流体微团，比圆沉力，电磁力等.果此，牛顿第二定律不妨表白为：统造体总动量随时间变更率=统造体表面力合力+统造体体积力合力（为了推导便当，底下将体积力忽略，正在沉力等法背力效率较大时，将该项加进即可）.利用流场变量不妨将上述定律表白为数教公式：其中根据引论1战引论2，可知圆程左边具备二种偏偏导数表白形式，（1）微元体表白形式：根据引论2，上式左边具备那二种偏偏导数表白形式（一种根据定义，一种引进品量守恒闭系）：（2）弛量表白形式：根据引论2，上式左边具备二种偏偏导数表白形式（一种定义，一种引进品量守恒）：（3）补充证明1：粘性应力表白式上述公式中，咱们将表面力表白为表面压力+粘性力的形式，其中表面压力为法背力，粘性力由流体粘性引起，包罗法背力战切背力，根据各项共性假设，粘性应力弛量不妨表白为：其中，\miu称为能源粘性系数.根据Stokes假设，正在常常情况下，体积粘性系数，于是上述粘性应力表白为：（4）补充证明2：粘性应力的空间导数正在动量圆程中，粘性应力的空间导数不妨表白为：如果流场为没有成压缩s=0而且粘性系数没有随空间改变，即温度没有变，不妨简化为：（5）补充证明3：能源粘性系数表白式：该公式中能源粘性系数是流体的基原变量，该系数表征流体分子之间动量接换的快缓程度，与流场的温度相闭，与压力等其余变量闭系较小，正在温度为100到1900K 范畴，不妨采与Sutherland公式举止表白：其中，Tref=110.3，T0战\miu0则不妨采与所有温度的截止，比圆正在常温288K情况下，能源粘性系数为1.7894X10-5.4 能量圆程：能量守恒定律的流体表白根据能量守恒定律，流场中与出统造体谦脚如下物理逆序：统造体的总能量减少=统造体受到中力干功+中界背统造体热传导采与流场变量不妨将该物理定律表白为数教形式(e=CvT表示流场内能，内能不妨采与定容比热乘以温度得到)：其中，根据引论1战2可知，圆程左边具备二种偏偏导数表白形式：（3）微元体表白形式：根据引论1战2可知上式具备二种偏偏导数表白形式：（2）弛量表白形式A: 总能公式E=e+v2/2根据引论1战引论2，上式左边具备二种偏偏导数表白形式：B:内能公式e=E-v2/2将总能闭系式代进上述公式可得：果此可得内能闭系式为：根据引论1战引论2上式左边具备二种偏偏导数表白形式，略.C：焓公式h=e+p/rou将内能闭系式代进上式可得：根据引论1战引论2上式左边具备二种偏偏导数表白形式，略.D：总焓公式h0=h+v2/2=E+p/rou注意上式中采与了引论2中的真量，将焓闭系式代进上式可得：于是可得总焓闭系式为：根据引论1战引论2上式左边具备二种偏偏导数表白形式，略.E：熵公式Tds=dh-dp/rou根据熵公式，可得熵的随体导数为：根据引论1战引论2，上式左边具备二种偏偏导数表白形式，略.根据熵公式，不妨了解，熵的减少主要去自二个部分，一是粘性力引起，二是热传导引起，如果流场中粘性应力战热传导皆不妨忽略，则流场谦脚等熵闭系.（3）补充证明：粘性力耗集几个公式中皆存留粘性力的干功项，称之为耗集项fai，该项简曲表白式不妨表示为：其中：5附件：随体导数的偏偏导数表白（统造体/微元体？包罗稀度？）引论1：统造体战微元体的随体导数表白式利用随体导数物理定义战数教上导数定义（供极限要收）简单得到第一个公式，利用统造体积分量的随体导数物理定义，也简单得到第二个公式，正在流体力教课本中也很简单找到那二种随体导数的定义.为什么那样干，写出那样一个公式？果为随体导数是推格朗日瞅面，随体导数非常切合物理思维，利用随体导数很简单表白物理逆序，比圆牛顿第二定律F=ma，果此推导公式历程中时常采与随体导数.没有过流场中物理量常常采与随时间战空间变更的四维函数，间接利用该函数无法得到随体导数，只可得到一些偏偏导数，需要根据随体导数的物理定义将随体导数表完毕合成偏偏导数形式.引论2：包罗稀度的统造体战微元体随体导数正在后绝圆程推导中时常出现包罗稀度的随体导数情况，将包罗稀度的随体导数利用连绝性圆程举止化简，不妨极大简化推导易度.包罗稀度的随体导数利用了引论1+连绝性圆程，也便是随体导数定义战连绝性圆程二个逆序，简曲推导如下：整治一下那二个闭系式不妨得到：证明物理是统造体仍旧微元体，戴稀度随体导数皆包罗二种表示形式，一种是引论1中的物理定义形式，另一种是加进了连绝性圆程以去的变形形式，那二种形式皆很要害，为了教佳流体力教，皆需要牢记.为什么引进引论2，如引论1中所述的缘由一般，利用随体导数表白物理逆序越收便当，然而随体导数无法间接利用流场物理量估计得到，于是需要百般化简得到简单处理的截止.。

2ui
s
ui
uj
xj xj 3 xj
xj xj
xi
ui xj xj
2 uk
ij
3 xk
uj 2 uk
ij
xi 3 xk
如果流 场为 不可 压缩 s=0 并且粘性系数不随空 间改 变，即温度不 变 ，可以 简
化为：
ij
2ui , when s 0, C
xj
xj xj
（5）补 充说明 3： 动力粘性系数表达式：
上述公式中，我 们将表面力表达 为 表面 压力 +粘性力的形式，其中表面 压力
为 法向力，粘性力由流体粘性引起，包括法向力和切向力，根据各 项 同性假 设 ，
粘性 应力张 量可以表达 为 ：
ij
s ij 2 sij
sij 1 ui 2 xj
uj ,s
uk
xi
xk
其中， \miu 称为动 力粘性系数。
于流 场中每一个流体微 团 ，例如重力， 电磁力等。 因此，牛 顿第二定律可以表达 为：控制体 总动 量随 时间变 化率 =控制体表面
力合力 +控制体体 积力合力（ 为了推 导方便，下面将体 积力忽略，在重力等法向
力影响 较大 时，将 该项 加入即可）。 利用流 场变 量可以将上述定律表达 为数学公式：
流体力学 NS 方程简易推导过程
小菜 鸟
0 引言
流体力学的 NS 方程 对 于整个流体力学以及空气 动力学等 领 域的作用非常 显 著，不 过其公式繁 琐，推 导思路不容易理 顺，最近重新整理了一下 NS方程的推 导 ，记录 一下整个推 导过 程，供自己学 习，也可以供大家交流和学 习 。
1 基本假 设
D

无量纲的ns方程推导流体力学是研究流体运动规律的学科，其中最基本的方程就是Navier-Stokes （NS）方程。

为了简化NS方程的求解过程，我们需要对其进行无量纲化处理。

本文将对无量纲的NS方程进行推导。

在推导之前，我们需要先了解一些基本概念。

首先是无量纲化，即通过引入合适的无量纲化参数，把方程中的物理量转化为无量纲形式。

其次是Reynolds数，它是流体运动的无量纲参数，用于描述流体的惯性力和粘性力之间的比值。

推导过程：1. 定义无量纲变量我们定义无量纲化的速度、长度和时间为U、L和T，原方程的速度、长度和时间分别为u、l和t。

然后，我们引入无量纲化参数Reynolds数Re，定义为：Re = Ul/ν其中ν为流体的动力粘度。

2. NS方程的无量纲化根据NS方程，我们有：∂u/∂t + u·∇u = -1/ρ·∇p + ν∇²u其中u为速度场，p为压力场，ρ为密度，ν为动力粘度。

将上述方程中的各个物理量用无量纲变量表示，可以得到无量纲NS方程的形式：∂u* / ∂t* + u*·∇*u* = -∇*p* + 1/Re∇²u*其中u* = u/U，∇* = ∇/L，p* = p/(ρU²)，t* = t/(LU/ν)，Re = UL/ν。

3. 无量纲NS方程的物理含义由于NS方程是流体的基本运动方程，因此无量纲NS方程也保留了原方程的物理含义。

其中，∂u* / ∂t* 表示速度随时间变化的无量纲速度，u*·∇*u* 表示由速度梯度引起的速度变化率，-∇*p* 表示液体微团受到的压力梯度力，1/Re∇²u* 表示由粘性引起的速度梯度。

4. 无量纲NS方程的求解通过对无量纲NS方程进行求解，我们可以得到流体运动的无量纲解。

然后，我们通过乘上相应的量纲参数，即U、L和T，可以得到流体运动的有量纲解。

总结：无量纲化是简化NS方程求解过程的重要步骤。

精心整理流体力学NS 方程简易推导过程小菜鸟0引言流体力学的NS 方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显着，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS 方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。

1例会为0子，以至于，这设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。

在层流边界层情况下，分子平均运动自由程与边界层之间存在近似关系：从这个关系中，可以发现，当马赫数非常大但是同时雷诺数非常小的时候，流场微小尺度才可能达到分子平均运动自由程lmd的程度。

可以想象一下，在大多数我们能观察到的情况下，上述公式的结果都是非常小的，满足连续介质假设，这个公式不成立的情况在大气层外边缘，此时大气分子之间平均动量交换降低，导致粘性变得非常小，雷诺数很高，因此公式计算结果急剧降低，导致连续介质假设失效。

前面讨论了连续介质建设成立的条件以及不成立的例子，下面讨论的都是连续介质假设范围内的结果。

2连续性方程：质量守恒定律的流体表达（1=0v⋅或者1=-Dvρρ∇⋅（23体积+控制体体其中根据引论1和引论2，可知方程左边具有两种偏导数表达形式，（1）微元体表达形式：根据引论2，上式左边具有这两种偏导数表达形式（一种根据定义，一种引入质量守恒关系）：（2）张量表达形式：根据引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式（一种定义，一种引入质量守恒）：（3）补充说明1：粘性应力表达式上述公式中，我们将表面力表达为表面压力+粘性力的形式，其中表面压力为法向力，粘性力由流体粘性引起，包括法向力和切向力，根据各项同性假设，粘性应力张量可以表达为：其中，\miu称为动力粘性系数。

上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流 入与流出的液体体积之差等于零，即液体体积守恒。 适用范围： 恒定流或非恒定流；理想液体或实际液体。
一维流动的连续方程 1 A1 2 A2
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
( vy ) ( vx ) ( vz ) dxdydzdt dxdydzdt dxdydzdt x y z ( vx ) ( v y ) ( vz ) dxdydzdt y z x
本构方程和NS方程
与微团内各点速度的变化有关。 设方形流体微团中心 M 的流速
分量为 ux 和 uy ，则微团各侧边
的中点 A 、 B 、 C 、 D 的流速 分量分别为：
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。
1 u z u y u y u x ( ) y ( x z ) 2 y z 2 z x
1 u y u x z ( ) 2 x y
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
亥姆霍兹速度分解定理
整理推 广得
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
不可压缩流体连续性微分方程
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基 础。可以用牛顿第二定律加以推导。 a F 受力分析：

dy
zx
zx z
dz
xx yx
z y xz
Z方向：
( v y
y
) dxdydzdt
2、dt时间内，整个六面体内输入与输出的质量差：
(vx ) dxdydzdt (vy ) dxdydzdt (vz ) dxdydzdt
x
y
z
( vx
x
)
(vy
y
)
( vz
z
)
dxdydzdt
10
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
3、微元体内的质量变化： dxdydzdt
12
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基
础。可以用牛顿第二定律加以推导。
受力分析：
r ur
a F
1、质量力： fxρdxdydz x轴正方向
2、表面力：
切向应力＝0（理想流体） 法向应力＝压强
p p dx p p dx
微团上每一点的速度都包含中心点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。5
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
• 平移运动速度 微团上各点公有的分速度 ux 和uy ，使它们 在 dt 时间内均沿 x 方向移动一距离 uxdt , 沿 y 方向移动一 距离 uydt 。因而，把中心点 M 的速度 ux和 uy ，定义为流 体微团的平移运动速度。
3
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动
右图为任意t时刻在平面流场中所取的一个正方形流体微团。由 于流体微团上各点的运动速度不一致，经过微小的时间间隔后， 该流体微团的形状和大小会发生变化，变成了斜四边形。

黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokesequations）1.动量平衡的定义流体在流动过程中恪守能量守恒定律，称为能量平衡作使劲形式动量形式依照牛顿第二定律：F ，静止，静力平衡mdv 0FmaF ，运动，动力平衡d 0作使劲的协力=单位时间内动量的变化量牢固流动系统：[动量传入量][动量传出量]+[系统作使劲的总和]=0动量出入差量不牢固流动系统：[动量传入量][动量传出量]+[系统作使劲的总和]=[动量存储量] 动量出入差量⒉动量传达方式21黏性动量传输对流动量传输dv x vvdy 对流动量传输yx⒊作使劲的形式表面力压力作使劲体积力重力⒋动量平衡方程的推导成立方法元体分析法成立依照牛顿第二定律分析法Y⑴对流动量出入差量在直角坐标系中由于有三个方向的分速度，所以共有九个动量通量。

v x v x v x v y v x v zv y v x v y v y v y v zv z v x v z v y v z v z以v x为准：动量通量v x v x A 动量通量出入差量(v x v x)dx(v x v x)dxv x v x x xxx Bx方向的速度、x方向的动量通量对流动量出入差量为(vxvx)dxdydzx xx同理，以v x为准，y方向、z方向的对流动量出入差量：(v y v x)dxdydz (v z v x)dxdydzy zxy xz以v x为准，元体对流动量出入差量为(vx v x) (v y v x) (vz v x)dxdydz yx z同理，以v y、v z为准，元体对流动量出入差量为v x v y、v z⑵黏性动量出入差量黏性动量通量同样由九个重量组成以v x 为准，C 、D 面上的黏性动量通量为zx C zx D zx Czxdzzzx dz黏性动量通量出入差量zzx dxdydz黏性动量出入差量zyx dxdydzxx dxdydz同理，v x 在y 、x 方向的黏性动量出入差量分别为 yxxxyxzx dxdydzyzz以v x 为准，元体黏性动量出入差量为同理，以v y 、v z 为准的黏性动量出入差量为xy 、z牛顿流体：v x v xv xzxzyxxxyx⑶作使劲的总和zx 方向：P AP AP P B P APdxdxP A BxxP A P BxAPdxx 方向合压力为x 方向的总压力为Pd xdydzxyox同理，y 、z 方向的总压力为xy 、zg x dxdydzg y dxdydz g z dxdydz重力⑷动量存储量单位时间内元体动量的变化量⒌动量平衡方程式x方向y方向z方向(vx)dxdydz(vy)dxdydz(v z)dxdydz将以上式子代入下式，整理得：N-S方程[动量传入量][动量传出量]+[系统作使劲的总和]=[动量存储量]动量收支差简化：⑴const ，牛顿黏性定律⑵const ，连续性方程v xv x v xv yv xv zv x) (2v x 2v x 2v x)pg x( x y z x2 y2 z2 x积累动量出入差量黏性力惹起压力体积力v yv x v yv yv yv zv y(2v y 2v y 2v y)p(x y)x2 y2 z2g y z xv z v z v zv z v z(2v z 2v z 2v z p( v x v y )x2 y2 ) g zx y z z2 x ⒍动量平衡方程的讨论v x v x v x v x 2v x 2v x 2v x P v x v y v zx2 y2 z2 g xx y z x动量存储量对流动量黏性动量压重（1）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现动量形式作使劲形式vv(,x,y,z)全微分dv v dvdx vdy vdzxyzdv v vv xv v y v v z dxy zv v v xv v a x v yv zyza x v x vxv xvxv yvxv zx y za x2v x2v x2v x Px 2y 2z 2g xx2v y2v y2v yPa y2y 2 z 2g yxya z2v z2v z2v zP x 2y 2z 2g zz惯 压 重 性 力力黏性力力流体在运动中以作使劲及动量形式表现能量平衡关系是一致的⑵适用条件黏性流体、不牢固流动、不可以压缩流体(元体范围内)、层流流动理想流体：没有黏性的流体简化：①0时，N-S方程简化为欧拉方程v0②牢固流动，③单位质量流体适用条件理想流体、牢固流动、不可以压缩流体(元体范围内)流动微分方程的应用求解步骤(1)依照问题特点对一般形式的运动方程进行(2)提出有关的初始条件和界线条件。

关于N-S 方程的推导1.切向应力互等定律将作用与六面体上的所有表面力和质量力得对通过六面体中心点M 且与Z 轴平行的轴线取矩。

dy y∂∂+yxyx ττxyτ dy •Mdx xxy∂∂+ττxy dx yx τ222xy )(dx dx dx d d d M d d d d d d d d zy x x yx z y xy z x y y yxyx z y x yx ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-∂∂∂∂∑-=ττττττ （1） 根据转动定律有Ja M =∑ （2）2)(d d d d J rzyxρ= （3）J-流体微团对通过中心点M 且与Z 轴平行的轴的转动惯量，kg.2ma -角加速度，1/sdr -转动惯量半径。

m合并（1）（2）（3）的a dr d d d d d d d y d x d d d zyxzyxyyxxyxzyxyxxy2)(2)()(ρττττ=∂∂-∂∂+-（4）ττττττττzxxzzyyzyx xy zyxyxxyd d d ====-0)( （5）2.广义牛顿内摩擦定律dydxμτ=θ∆ B C 'BA D 'A剪变形角速度。

用{}z y x γγγ,,表示流体微团在yz 面、xz 面、xy 面内某一直角在单位时间内改变量的一半则有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=)(21)(21)(21x y x z z y yxzzxyyzxυυγυυγυυγ （6）剪变形角速度是流体微团中某一直角的减小速度的一半，下标XYZ 表示剪切变形的法线方向其中γ的下标与偏微分方向可以按 zX y 的顺序。

根据（6）式可知，其中垂直于Z 轴的平面上的角变形速度为yx xyz∂∂+∂∂=υυγ2 (7)因此，切向应力μγττ2xy== (8)由牛顿内摩擦定律和（6）（7）（8）式可以得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==∂∂+∂∂==)()()(z x z y x xzzxxzyzzyyzyy xyxxyυυμττυυμττυυμττ(9)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+-=∂∂+-=∂∂+-=z p y p x p zzzyyy xxx υμσυμσυμσ222 (10)3.不可压流体的连续方程0=∂∂+∂∂+∂∂zy x zyxυυυ (11) 4.N-S 方程的推导 由牛顿第二定律a Fm =即质量力+表面力=加速度×质量（先研究X 方向）dtd dxdydzdxdy z dxdy dzdx dy y dzdxdydz dx xdydz dxdydz f xzxzxzxyxyxyxxxxxxxxυρττττττσσσρ=∂∂++-∂∂++-∂∂++-)()()( （12） 整理方程得dtd z y x f xzxyxxxxυττσρ=∂∂+∂∂+∂∂+)(1 （13） 同理可得Y Z 方向dtd y x z f dtd x z y f zyzxzzzxyxyzyyyyυττσρυττσρ=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+)(1)(1 （14）将切向应力和法向应力的关系式（9）（10）代入（13）得)()(1}21222222zy x x z y x x p f x xz z y x y x p x f dt d zy x x x x x z x x y x x x ∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+-⎩⎨⎧∂∂+=υυυρμυυυρμρυυμυυμυμρυ （15）根据不可压流体的连续方程（11），上面（15）等号右端的第四项为零，故得⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=2222221d y y x x p fx dt xxxxυυυνρυ (16) 同理可得)(1)(1222222222222zy x fz dt d zy x fy dt d zzzzyyyy∂∂+∂∂+∂∂+-=∂∂+∂∂+∂∂+-=υυυνρυυυυνρυ （17）这就是 N-S 方程3.N-S 方程的物理意义和几何意义基于N-S 方程的水泵管道动态分析一．工程实际问题的描述在管道运输过程中，管道存在各种非恒定定流动，水泵运行时也面临各种各样的暂态过程，这些暂态过程会对水泵及水泵站的经济及安全造成一定的影响。