2015年考研数三真题及答案解析(完整版)

2015考研数学三真题（正文）2015考研数学三真题一、选择题1. 设函数f(x) = x^2 + bx + c，其中b，c为常数，且对任意实数x满足f(x)f(x + 1) ≤ 0，那么f(x) = 0的一个实根的取值范围是（）A. (0, ∞)B. (–∞, 0)C. (–∞, 1] ∪ (0, ∞)D. [0, 1]E. [–1, 0]分析：根据题意，只需找到一个实根即可。

对于f(x)从负数到正数的变化过程，如果存在f(x)≤0的区间，那么一定包含一个实根。

根据选项分析，只有选项C满足题意。

答案：C2. 若小于正整数n的正整数中，有k个的约数个数为偶数，n的约数个数是奇数，那么k的值为（）A. 0B. 1C. 2D. n - 1E. n分析：根据题目描述，小于n的正整数中k个的约数个数是偶数，即k个数都是完全平方数。

若n的约数个数是奇数，根据数论中完全平方数的特性可知，n本身也是一个完全平方数。

因此，k的值为n - 1。

答案：D二、填空题3. 设数列an满足an = 2an-1 - 1，其中a1 = 4，则a5 = ______。

分析：根据数列的递推关系可得，a2 = 7，a3 = 13，a4 = 25，a5 = 49。

答案：494. 设A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则A的不同划分数为______。

分析：根据集合的划分原理可得，A的不同划分数为Bell数B(7) = 877。

答案：877三、解答题5. 已知复数z满足|z + 1| = |z - 1|，求z的所有可能值。

解析：根据复数的绝对值定义，|z + 1| = |z - 1|等价于对应实部和虚部的平方和相等。

设z = x + yi，其中x，y为实数，则可得到方程组：(x + 1)^2 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2解得x = 0，即z为纯虚数。

因此，z的所有可能值为z = yi，其中y 为实数。

答案：z = yi，其中y为实数。

2015考研数学（三）真题（完整版）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的.（1）设{}n x 是数列.下列命题中不正确的是 （A ）若lim n →∞x n =a ，则lim n →∞x 2n =lim n →∞x 2n +1= a.（B ）若lim n →∞x 2n =lim n →∞x 2n +1= a ，则lim n →∞x n = a.（C ）若lim n →∞x n =a ，则lim n →∞x 3n =lim n →∞x 2n +1= a.（D ）若lim n →∞x 3n =lim n →∞x 3n +1=a ，则lim n →∞x n = a.（2）设函数f(x)在（-∞，+∞）内连续，其2价导函数f″(x )的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3.（3）设D ={(x ,y )|x 2+y 2≤2x ，x 2+y 2≤2y }，函数f(x ，y)在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）40d πθ⎰2cos 204(cos ,sin )f r r rdr d πθπθθθ+⎰⎰2sin 0(cos ,sin ).f r r rdr θθθ⎰（B ）40d πθ⎰2sin 204(cos ,sin )f r r rdr d πθπθθθ+⎰⎰2cos 0(cos ,sin ).f r r rdr θθθ⎰（C ）102dx⎰211(,).xx f x y dy --⎰（D ）102dx⎰22(,).x x xf x y dy -⎰（4）下列级数中发散的是（A ）13n n n∞=∑.（B ）11ln(1).n n n∞=+∑（C ）2(1)1.ln n n n ∞=-+∑（D ）1!n n n n ∞=∑. (5)设矩阵A =21111214a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，b =21d d ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.若集合Ω={1,2}，则线性方程组Ax =b 有无穷多解的充分必要条件为 （A ）,.a d ∉Ω∉Ω （B ）,.a d ∉Ω∈Ω （C ）,.a d ∈Ω∉Ω（D ）,.a d ∈Ω∈Ω（6）设二次型123(,,)f x x x 在正交交换x py =下的标准形为2221232.y y y +-，其中123(,,)p e e e =.若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)x x x 在正交交换下x Qy =的标准形为（A ）2221232.y y y -+ （B ）2221232.y y y +- （C ）2221232y y y --（D ）2221232y y y ++（7）若A ,B 为任意两个随机事件，则 （A ）()()().P AB P A P B ≤（B ）()()().P AB P A P B ≥（C ）()P AB ≤()().2P A P B +（D ）()P AB ≥()().2P A P B +（8）设总体X ~B （m ,θ）,x 1，x 2…，x n 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E X X =⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ （A ）()()11m n θθ--（B ）()()11m n θθ-- （C ）()()1(1)1m n θθ---（D ）()1mn θθ-二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. （9）2ln(cos )limx x x→∞= . （10）设函数()f x 连续，2()().x x xf t dt ϕ=⎰若(1)1ϕ=，(1)ϕ'=5,则()1f = .（11）若函数(),z z x y =由方程23e1x y zxyz +++=确定，则()0,0d z= .（12）设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3,则()y x = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2，1，B=A 2- A+E ，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = .（14）设二维随机变量（X ，Y ）服从正态分布N （1,0;1,1;0），则P {XY -Y <0}= .三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.（15）（本题满分10分）设函数3()ln(1)sin ,().f x x a x bx x g x kx =+++=若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.（16）（求本题满分10分）计算二重积分()d d ,Dx x y x y +⎰⎰其中222{(,)|2,}.D x y x y y x =+≤≥（17）（本题满分10分） 为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η>0）. （Ⅰ）证明定价模型为:11MCp η=-（Ⅱ）若该商品的成本函数为2()1600,C Q Q =+需求函数为40,Q p =-试由（Ⅰ）中的定价模型确定此商品的价格.（18）（本题满分10分）设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零.若对任意的0,x I ∈曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2,f =求()f x 的表达式.（19）（本题满分10分）（Ⅰ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数定义证明[()()]()()()():u x v x u x v x u x v x '''=+ （Ⅱ）设函数12(),(),,()n u x u x u x K 可导，12()()()(),n f x u x u x u x =L 写出()f x 的求导公式. （20）（本题满分11分）设矩阵1011,01a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且30.A =（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若矩阵X 满足22,X XA AX AXA E --+=其中E 为3阶单位矩阵，求X . （21）（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000.031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求,a b 的值;（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵.（22）（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为2ln 2,0,()0,0x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数.（Ⅰ）求Y 的概率分布； （Ⅱ） 求EY .（23）（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为1,1,(:)10,x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他, 其中θ为未知参数，12,,,n X X X L 为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ）求θ的矩估计量;（Ⅱ）求θ的最大似然估计量.。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C)若lim →∞=n n x a ,则331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列()n x a n →→∞⇔对任意的子列{}k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是不存在的点或的点处产生.所以有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3) 设(){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则(),d d Df x y x y =⎰⎰ ( )(A)()()2cos 2sin 4204d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰ (B)()()2sin 2cos 420004d cos ,sin d d cos ,sin d f r r r r f r r r r θθθθθθθθπππ+⎰⎰⎰⎰()f x ''()0f x ''=()y f x =()f x ''(C)()1012d ,d xxf x y y ⎰⎰(D) ()102d ,d xxf x y y ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A) 13n n n∞=∑ (B)1)n n ∞=+(C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑(D)1!n n n n∞=∑ 【答案】(C)【解析】A 为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；B，根据级数收敛准则，知收敛；C ，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；D 为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选C. 1(,)0,02sin 4D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2(,),02cos 42D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2sin 2cos 4204(,)(cos ,sin )(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰11113lim lim 1333n n n nn n n n +→∞→∞++==<13nn n∞=∑3211)n n+P 11)n n ∞=+111(1)1(1)1ln ln ln n n n n n n n n ∞∞∞===-+-=+∑∑∑1(1)ln n n n ∞=-∑11ln n n ∞=∑1(1)1ln n n n ∞=-+∑11(1)!(1)!1(1)lim lim lim 1!!(1)1nn n n n n n nn n n n n n n n n en ++→∞→∞→∞+++⎛⎫===< ⎪++⎝⎭1!n n n n ∞=∑(5)设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C),a d ∈Ω∉Ω(D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ） (6)设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C)2221232y y y --(D) 2221232y y y ++ 【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.又因为100001010Q P PC ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故有200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ）(7) 若,A B 为任意两个随机事件,则: ( )(A)()()()≤P AB P A P B (B)()()()≥P AB P A P B (C)()()()2+≤P A P B P AB (D) ()()()2+≥P A P B P AB【答案】(C)【解析】由于,AB A AB B ⊂⊂，按概率的基本性质，我们有()()P AB P A ≤且()()P AB P B ≤，从而()()()2P A P B P AB +≤≤，选(C) .(8) 设总体()~,,X B m θ12,,,n X X X 为来自该总体的简单随机样本,X 为样本均值,则()21n i i E X X =⎡⎤∑-=⎢⎥⎣⎦( ) (A) ()()11θθ--m n (B)()()11θθ--m n (C)()()()111θθ---m n (D)()1θθ-mn 【答案】(B)【解析】根据样本方差2211()1ni i S X X n ==--∑的性质2()()E S D X =，而()(1)D X m θθ=-，从而221[()](1)()(1)(1)ni i E X X n E S m n θθ=-=-=--∑，选(B) .二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 20ln(cos )lim__________.x x x→= 【答案】 【解析】原极限(10)设函数()f x 连续，2()()d ,x x xf t t ϕ=⎰若(1)1,(1)5,ϕϕ'==则(1)________.f =【答案】【解析】因为连续，所以可导，所以；因为，所以12-2200ln(1cos 1)cos 11limlim 2x x x x x x →→+--===-2()f x ()x ϕ2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰(1)1ϕ=1(1)()1f t dt ϕ==⎰又因为，所以故(11)若函数(,)z z x y =由方程23e 1x y z xyz +++=确定，则(0,0)d _________.z=【答案】 【解析】当，时带入，得. 对求微分，得把，，代入上式，得所以 (12)设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处取得极值3，则()________.y x =【答案】【解析】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2,=-+B A A E 其中E 为3阶单位矩阵，则行列式________.=B【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.(14)设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ，则(1)5ϕ'=1(1)()2(1)5f t dt f ϕ'=+=⎰(1)2f =1233dx dy --0x =0y =231x y z e xyz +++=0z =231x y z e xyz +++=2323()(23)()x y z x y z d e xyz e d x y z d xyz +++++=+++23(23)x y z e dx dy dz yzdx xzdy xydz ++=+++++0=0x =0y =0z =230dx dy dz ++=(0,0)1233dz dx dy =--2()2x x y x e e -=+20y y y '''+-=220λλ+-=2λ=-1λ=212()xx y x C eC e -=+()y x 0x =(0)3y =(0)0y '=11C =22C =2()2x x y x e e -=+{0}_________.P XY Y -<=【答案】12【解析】由题设知，~(1,1),~(0,1)X N Y N ，而且X Y 、相互独立，从而{0}{(1)0}{10,0}{10,0}P XY Y P X Y P X Y P X Y -<=-<=-><+-<>11111{1}{0}{1}{0}22222P X P Y P X P Y =><+<>=⨯+⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分)设函数3()ln(1)sin ,()f x x a x bx x g x c kx =+++==.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,23a b k --=-== 【解析】法一：因为，， 则有，， 可得：，所以，．法二： 由已知可得得由分母，得分子，求得233ln(1)()23x x x x o x +=-++33sin ()3!x x x o x =-+23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩300sin )1ln(lim )()(lim1kxxbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11lim kxx bx x b x ax ++++=→03lim 20=→kx x )cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a xc ；于是由分母，得分子，求得； 进一步，b 值代入原式，求得 (16)(本题满分10 分) 计算二重积分()d d Dx x y x y +⎰⎰，其中222{(,)2,}.D x y x y y x =+≤≥ 【答案】245π-【解析】)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim223cos )1(sin )1(limkx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→06lim 0=→kx x ]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x 21-=b )()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim 0++-+--=→k xx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=.31-=k 2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx x dy =⎰12202)x x dx =⎰(17)(本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性(0)η>.(I) 证明定价模型为11MCP η=-； (II) 若该商品的成本函数为2()1600C Q Q =+，需求函数为40Q P =-，试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略(II) .【解析】(I)由于利润函数,两边对求导，得. 当且仅当时，利润最大，又由于,所以,故当时，利润最大. (II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)(本题满分10 分)设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x 表达式.【答案】()84f x x=-12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰30P =()()()()L Q R Q C Q PQ C Q =-=-Q ()dL dP dP P Q C Q P Q MC dQ dQ dQ'=+-=+-0dL dQ =()L Q P dQ Q dP η=-⋅1dP PdQ Q η=-⋅11MCP η=-()22(40)MC C Q Q P '===-40P dQ PQ dP Pη=-⋅=-2(40)401P P P P-=--30P =【解析】曲线的切线方程为，切线与轴的交点为故面积为：. 故满足的方程为,此为可分离变量的微分方程,解得，又由于，带入可得，从而 (19)(本题满分 10分)（I ）设函数(),()u x v x 可导，利用导数定义证明[()()]()()()();u x v x u x v x u x v x '''=+ （II ）设函数12(),(),,()n u x u x u x 可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式.【答案】【解析】（I ）（II ）由题意得(20) (本题满分 11分)设矩阵101101a a a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A =，且3=A O .(I) 求a 的值；()()()000y f x f x x x '-=-x ()()000,0f x x f x ⎛⎫- ⎪ ⎪'⎝⎭()()200142f x S f x =='()f x ()()28f x f x '=()8f x x C -=+()0=2f 4C =-()84f x x=-12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++0()()()()[()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→++-'=0()()()()()()()()limh u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h→++-+++-=00()()()()lim ()lim ()h h v x h v x u x h u x u x h v x h h→→+-+-=++()()()()u x v x u x v x ''=+12()[()()()]n f x u x u x u x ''=121212()()()()()()()()()n n n u x u x u x u x u x u x u x u x u x '''=+++(II)若矩阵X 满足22--+=X XA AX AXA E ，其中E 为3阶单位矩阵，求X .【答案】3120,111211a X -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】(I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=-(II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E A E X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=--2011111112E A A -⎛⎫⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭MM M M M M 111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M 110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M 312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(21) (本题满分11 分)设矩阵02313312a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 相似于矩阵12000031b -⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭B =.(I) 求,a b 的值；（II ）求可逆矩阵P ，使1-P AP 为对角矩阵.【答案】2314,5,101011a b P --⎛⎫ ⎪===- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(1) ~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b 023100123133010123123001123---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E C()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--TA 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭P AP(22) (本题满分11 分)设随机变量X 的概率密度为()2ln 2,00,0x x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩,对X 进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数(I)求Y 的概率分布； (II)求()E Y .【答案】(I)12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =；(II)16E Y =().【解析】(I) 记p 为观测值大于3的概率，则313228()ln x p P X dx +∞-=>==⎰，从而12221171188n n n P Y n C p p p n ---==-=-{}()()()()，23,,n =为Y 的概率分布；(II) 法一:分解法:将随机变量Y 分解成=Y M N +两个过程,其中M 表示从1到()n n k <次试验观测值大于3首次发生，N 表示从1n +次到第k 试验观测值大于3首次发生.则M Ge n p ~(,)，NGe k n p -(,)(注：Ge 表示几何分布)所以1122168E Y E M N E M E N p p p =+=+=+===()()()(). 法二:直接计算22212221777711288888n n n n n n n E Y n P Y n n n n n ∞∞∞---====⋅==⋅-=⋅--+∑∑∑(){}()()()()[()()()]记212111()()n n S x n n xx ∞-==⋅--<<∑，则2113222211n n n n n n S x n n xn xx x ∞∞∞--==='''=⋅-=⋅==-∑∑∑()()()()()， 12213222111()()()()()n n n n xS x n n xx n n x xS x x ∞∞--===⋅-=⋅-==-∑∑， 2222313222111()()()()()nn n n x S x n n x xn n xx S x x ∞∞-===⋅-=⋅-==-∑∑， 所以212332422211()()()()()x x S x S x S x S x x x-+=-+==--， 从而7168E Y S ==()(). (23) (本题满分11 分)设总体X 的概率密度为,1,(,),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩110其他,其中θ为未知参数，12n X ,X ,,X 为来自该总体的简单随机样本.(I)求θ的矩估计量； (II)求θ的最大似然估计量. 【答案】(I)1121ni i X X X n θ==-=∑,；(II)12n X X X θ=min{,,,}.【解析】(I)11112()(;)E X xf x dx x dx θθθθ+∞-∞+==⋅=-⎰⎰， 令()E X X =，即12X θ+=，解得1121ni i X X X n θ==-=∑,为θ的矩估计量；(II)似然函数11110,()(;),n ni i i x L f x θθθθ=⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪==-⎨⎝⎭⎪⎩∏其他， 当1i x θ≤≤时，11111()()nni L θθθ===--∏，则1ln ()ln()L n θθ=--.从而1ln ()d L nd θθθ=-，关于θ单调增加，所以12n X X X θ=min{,,,}为θ的最大似然估计量.。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是：(A) 若,则(B) 若, 则(C) 若,则(D) 若,则(2)设函数在内连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(A) (B) (C) (D)(3)设,函数在上连续,则(A)(B)(C)(D)(4)下列级数中发散的是：(A) (B) (C) (D)(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(A) (B) (C) (D)(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为：(A) (B) (C)(D)(7)若为任意两个随机事件,则:(A)(B)(C) (D)(8)设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则(A) (B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(10)设函数连续，若则(11)若函数由方程确定，则(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则(13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式(14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.(16) (本题满分10 分)计算二重积分，其中(17) (本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，M C 为边际成本，为需求弹性.(I) 证明定价模型为；(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18) (本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(19) (本题满分 10分)(I) 设函数可导，利用导数定义证明(II) 设函数可导，，写出的求导公式.(20) (本题满分11分)设矩阵，且.(I) 求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.(21) (本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.(22) (本题满分11分)设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I) 求的概率分布；(II) 求(23) (本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I) 求的矩估计量.(II) 求的最大似然估计量.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）答案(1)【答案】(D)【考查分析】本题考查数列极限与子列极限的关系.【详解】数列收敛，那么它的任何无穷子数列均收敛，所以(A)与(C)正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的.(B)正确，(D)错,故选(D).(2)【答案】(C)【考查分析】本题考查曲线的拐点.【详解】拐点出现在二阶导数等于零，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选(C).(3)【答案】(B)【考查分析】本题考查直角坐标和极坐标的转换.【详解】在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，选(B).(4)【答案】(C)【考查分析】本题考查数项级数的敛散性.【详解】选项(A)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；选项(B)，为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；选项(C)，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；选项(D)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选(C).(5)【答案】(D)【考查分析】本题考查非齐次线性方程组解的判定【详解】对增广矩阵进行初等行变换，得到由，故或，同时或.故选(D).(6)【答案】(A)【考查分析】本题考查二次型的正交变换.【详解】由，故.且.所以.选(A).(7)【答案】(C)【考查分析】本题考查概率的性质.【详解】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C).(8)【答案】(B)【考查分析】本题考查统计量的数字特征.【详解】根据样本方差的性质，而，从而，选(B).(9)【答案】【考查分析】本题考查型未定式极限.【详解】方法一：方法二：(10)【答案】【考查分析】本题考查变上限积分函数求导.【详解】因为连续，所以可导，所以；因为，所以又因为，所以故(11)【答案】【考查分析】本题考查隐函数的全微分.【详解】当，时代入，得.对两边求微分，得把，，代入上式，得所以(12)【答案】【考查分析】本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构和性质.【详解】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)【答案】【考查分析】本题考查抽象型行列式的计算.【详解】的所有特征值为的所有特征值为所以.(14)【答案】【考查分析】本题考查二维正态分布的性质.【详解】由题设知，，且相互独立，从而. (15)【答案】【考查分析】本题考查利用等价无穷小的定义求参数.【详解】方法一：利用泰勒公式.即方法二：利用洛必达法则.因为分母的极限为，则分子的极限为，即，分母的极限为，则分子的极限为，即，则.(16)【答案】【考查分析】本题考查利用简化性质计算二重积分.【详解】(17)【答案】(I)略(II) .【考查分析】本题考查导数的经济应用.【详解】(I)由于利润函数,两边对求导，得.当且仅当时，利润最大，又由于,所以, 故当时，利润最大.23(II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)【答案】.【考查分析】本题考查导数的几何应用和一阶微分方程求解.【详解】设在点处的切线方程为：令，得到.由题意，，即，转化为一阶微分方程，分离变量得到通解为：，已知，得到，因此；即.(19)【考查分析】本题考查导数的定义和导数的四则运算法则.【详解】(I)(II) 由题意得(20)【答案】【考查分析】本题结合矩阵方程考查矩阵的运算.【详解】(I)(II)由题意知，(21)【答案】(I) .(II)，则.【考查分析】本题考查相似矩阵和矩阵的相似对角化.【详解】(I) 则即.即整理得到(II)的特征值.当时，的基础解系为当时，的基础解系为，则的特征值为.令，则.(22)【答案】(I) ，. (II) .【考查分析】本题考查离散型随机变量的概率分布和数学期望.【详解】(I) 记为观测值大于的概率，则.的概率分布为，(II)记，则，从而.(23)【答案】(I).(II) .【考查分析】本题考查矩估计和最大似然估计.【详解】(I) .令，即，解得.为的矩估计量，其中；(II) 似然函数当时，，取对数，得到.求导，得到，则越大，似然函数越大，但是，所以当时，似然函数最大.为的最大似然估计量.。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则 221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C) 若lim →∞=n n x a ,则 331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列()n x a n →→∞⇔对任意的子列{}k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3) 设 (){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则( )【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A)(B)(D) 【答案】(C)【解析】ABCD为正项C.(5)穷多解的充分必要条件为( )【答案】(D)故选（D）(6) 设二次型( )【答案】(A)选（A ） (7) ,则: ( )【答案】(C)(C) .(8)值,( )【答案】(B)(B) .二、填空题：小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(10)(11)(12)3，则(13)设3E为3阶单位矩阵，则【答案】(14)【答案】指定位置上.解答应写出文字三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分).【答案】【解析】法一：则有，法二：由已知可得得c；求进一步，b值代入原式(16)(本题满分10 分)【答案】(17)(本题满分10分)MC(I)(II)试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略【解析】(I). (II)(I)中的定价模(18)(本题满分10 分)4，表达式.此为可分离变量的微分方程,(19)(本题满分10分)（I（II求导公式.【解析】（I（II）由题意得(20) (本题满分11分)(I)(II)3【解析】(II)由题意知(21) (本题满分11 分)(I)（II.【解析】A(22) (本题满分11 分),直到第2个大于3(I)(II)【答案】；【解析】(I)3(II) 法一:分解法:,.注：Ge表示几何分布)法二:直接计算(23) (本题满分11 分).(I) (II).【答案】；【解析】(I)；(II).文档容由金程考研网整理发布。

2015年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．设{}n x 是数列，则下列命题中不正确的是（ ）（A ）若lim n n x a →∞=，则221lim lim n n n n x x a -→∞→∞==（B ）若221lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=（C ）若lim n n x a →∞=，则331lim lim n n n n x x a -→∞→∞== (D) 若331lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=【详解】选择（D ）2．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ）3．设{}222222(,)|,D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）224204cos sin (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（B ）224204sin cos (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（C）112(,)xdxf x y dy ⎰⎰（D）12(,)xdx f x y dy ⎰【详解】应该选（B ） 4．下列级数发散的是（ ）（A ）13n n n ∞=∑ （B）111)n n ∞=+ （C ）211()ln n n n ∞=-+∑（D ）1!n n n n ∞=∑ 【详解】应该选（C ）５．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：22221111111111111201110111140311001212(,)()()()()B A b ad a d a d a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）．6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 211T T T T f x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）．7．若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）2()()()P A P B P AB +≤（D ）2()()()P A P B P AB +≥【详解】．()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C ）．8．设总体12~(.),,,,n X B m X X X θ为来自总休的简单随机样本，X 为样本均值，则()21ni i E X X =⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ （A ）11()()m n θθ-- （B ）11()()m n θθ-- （C ）111()()()m n θθ--- （D ）1()mn θθ- 【详解】~(.),X B m θ所以1(),()()E X m D X m θθθ==-．设2S =()2111n ii X Xn =--∑，则2S 一定是总体方差的无偏估计，所以21()()E S m θθ=-，从而()21111()()()()ni i E X X n D X m n θθ=⎡⎤-=-=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 故应该选择（B ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．20ln(cos )limx x x→= 【详解】200122ln(cos )tan limlim x x x x x x →→-==-．10．设函数()f x 连续，20()()x x xf t dt ϕ=⎰，若1115(),()ϕϕ'==，则1()f = ． 【详解】22()()()x x x xf t dt x f t dt ϕ==⎰⎰，22202()()()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰所以1101121512()(),()()()()f t dt f t dt f f ϕϕ'==+=⇒=⎰⎰11．若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则00(,)|dz = ． 【详解】当00,x y ==时，，0z =设231(,,)x y z F x y z e xyz ++=+-，则23232323,,,x y z x y z x y z x y z F e yz F e xz F e xy ++++++=+=+=+在点000(,,)处，1233,y x z z F F z z x F y F ∂∂=-=-=-=-∂∂，所以001233(,)|dz dx dy =--12．设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取极值3，则()y x = ．【详解】20y y y '''+-=的通解为212xx y C e C e -=+，由条件0x =处()y x 取极值3可知1221212312220,,()x x C C C C y x e e C C -+=⎧⇒===+⎨-+=⎩ 13．设三阶矩阵A 的特征值为221,,-，2B A A E =-+，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式B = ．【详解】矩阵B 的三个特征值分别为371,,，所以21.B =14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ． 【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立． 则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯= 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=- 16．（本题满分10分） 计算二重积分()dxdy Dx x y -⎰⎰，其中{}2222(,)|,D x y xy y x =+≤≥【详解】由对称性可知0dxdy Dxy =⎰⎰，22()dxdy dxdy dxdy dxdy DDDDx x y xxy x -=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2112220011402224402202221124225522545)()(sin cos )(sin )sin x dx x dy x x dxx x dx t tdt tdt udu ππππ===-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 17．（本题满分10分）为了实现利润最大休，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求随意性0()η>．（1）证明定价模型为11MCp η=-； （2）若该商品的成本函数为21600()C Q Q =-，需求函数40Q p =-，试由（1）中的定价模型确定此的价格．【详解】（１）总收益为R PQ =．收益对价格的弹性为：111dRER R dR dQ P dQdP Q P EP R P dP Q dP Q dPη⎛⎫===+=+=- ⎪⎝⎭ 收益对需求的弹性为：111(),dRER E PQ dP dQ P Q R EQ EQ P dQ Qη⎛⎫===+=- ⎪⎝⎭ 又11,ER Q dR Q dR EQ R dQ PQ dQ η===- 而边际成本为：11dRP MC dQ η⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以11.MC P η=- （２）2140,()P PMC Q Q Pη==--=-由11240()()P P η-=-，得30.P =18．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式． 【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ 令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--='整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C = 所求曲线方程为84.y x=- 19．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+； （2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y =)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 20．（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且30A =．（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ---=，其中E 为三阶单位矩阵，求X ．【详解】（１）先计算Ａ的行列式：2310011111011a a a A a a a aa-=-=-=， 由于30,A =所以0A =，可得0a =，010101010A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（２）由条件22X XA AX AXA E ---=，可知2()()E A X E A E --=所以1212121()()(()())()X E A E A E A E A E A A ----=--=--=--由于010101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2101000101A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2011111112E A A -⎛⎫⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭， 112121011312111111112211()()()X E A E A E A A ------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． （2）由212050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1） 求Y 的概率分布； （2） 求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k kP Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-． （2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若lim k k x a →∞=，则221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==.(B)若221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=(C) 若lim k k x a →∞=，则321lim lim k k k k x x a +→∞→∞==(D)若331lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=【答案】(D)【考点】数列极限 【难易度】★★ 【详解】举反例： a n=3t a n=3t+10 n=3t+2nx ⎧⎪=⎨⎪⎩2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】(C)【考点】拐点的定义 【难易度】★★【详解】()0f x ''=左边的零点为x a =，右边的零点为x b =，又0x =处()f x ''不存在.因为x a =的左右两侧()f x ''都大于零，所以(,())a f a 不是拐点；因为x b =左右两侧()f x ''异号，所以(,())b f b 为拐点，故()f x 有两个拐点.3、设{}2222(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y D 上连续， 则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）2cos 2sin 4200042sin 2cos 42000410110()(cos ,sin )(cos ,sin )()(cos ,sin )(cos ,sin )()2(,)()2(,)xXA d f r r rdr d f r r rdrB d f r r rdr d f r r rdrC dx f x y dyD dx f x y dyππθθπππθθπθθθθθθθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】(B)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】12(x,y)dxdy (x,y)dxdy (x,y)dxdy DD Df f f =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2sin 2cos 424(rcos ,sin )rdr (rcos ,sin )rdrd f r d f r ππθθπθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰4、下列级数中发散的是（）（A ）13n n n ∞=∑(B)1)n n ∞=+ (C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑(D)1!n n n n ∞=∑ 【答案】C【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★【详解】21(1)112ln ln 2n n n n n∞∞==-+=∑∑，→∞→∞+=+=∞(-1)1lim lim [(-1)1]0或ln n n n n n n n5、设矩阵22111112,,14A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（）(),A a d ∉Ω∉Ω (),B a d ∉Ω∈Ω (),C a d ∈Ω∉Ω (),D a d ∈Ω∈Ω【答案】(D)【考点】线性方程组 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =6、设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)p e e e =，若132(,,),Q e e e =-则123(,,)x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（）（A ）2221232y y y -+ (B)2221232y y y +- (C)2221232y y y -- (D)2221232y y y ++ 【答案】(A)【考点】二次型 【难易度】★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2TTTf x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A) 7、设A,B 为任意两个随机事件，则（）（A ）()()()P AB P A P B ≤ (B)()()()P AB P A P B ≥(C) ()()()2P A P B P AB +≤(D)()()()2P A P B P AB +≥【考点】【难易度】★★【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥)(2)()(AB P B P A P ≥+∴()()()2P A P B P AB +∴≤8、设总体(,)X B m θ ，12,,n x x x 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E x X =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑（） （A ）(1)(1)m n θθ-- (B) (1)(1)m n θθ-- (C) (1)(1)(1)m n θθ--- (D) (1)mn θθ- 【答案】(B) 【考点】【难易度】★★★ 【详解】）（）（，），θθθθθθ--=-=-=---=--==∴∑∑==1m )1()1()()1())(11()1())((1m m m (~21212n DX n s E n X X n E n X X E DX EX B X n i i ni i 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、2ln(cos )limx x x →∞=【答案】12-【考点】极限的计算 【难易度】★★【详解】()22220001ln cos cos 112lim lim lim2x x x x x x x x x →→→--===-10、设函数()f x 连续，2()()x x xf t ϕ=⎰，若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =【考点】变限积分求导 【难易度】★★ 【详解】22200()()()()2()x x x xf t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰110(1)()2(1)5,(1)()1(1)2f t dt f f t dt f ϕϕ'=+===⇒=⎰⎰11、若函数z = (,)z x y 由方程2+3z1x y e xyz ++=确定，则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导 【难易度】★★ 【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导得：23(31)0x y zz ze yz xy x x++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂ 两边对y 求导：23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=--12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在x =0处()y x 取得极值3，则()y x = 【答案】22xx y ee -=+【考点】微分方程【难易度】★★【详解】通解是212x x y c e c e -=+则：12(0)33y c c ==+=，12(0)020y c c '==-+=121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+13、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 【答案】21【考点】矩阵的特征值 【难易度】★★★【详解】22-2,1,A B A A E =-+的特征值为，，又由于3,7,121B B =所以的特征值为，故。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若lim k k x a →∞=，则221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==.(B)若221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=(C) 若lim k k x a →∞=，则321lim lim k k k k x x a +→∞→∞==(D)若331lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=【答案】(D)【考点】数列极限 【难易度】★★ 【详解】举反例： a n=3t a n=3t+10 n=3t+2nx ⎧⎪=⎨⎪⎩2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】(C)【考点】拐点的定义 【难易度】★★【详解】()0f x ''=左边的零点为x a =，右边的零点为x b =，又0x =处()f x ''不存在.因为x a =的左右两侧()f x ''都大于零，所以(,())a f a 不是拐点；因为x b =左右两侧()f x ''异号，所以(,())b f b 为拐点，故()f x 有两个拐点.3、设{}2222(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y D 上连续， 则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）2cos 2sin 4200042sin 2cos 42000410110()(cos ,sin )(cos ,sin )()(cos ,sin )(cos ,sin )()2(,)()2(,)xXA d f r r rdr d f r r rdrB d f r r rdr d f r r rdrC dx f x y dyD dx f x y dyππθθπππθθπθθθθθθθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】(B)【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】12(x,y)dxdy (x,y)dxdy (x,y)dxdy DD Df f f =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2sin 2cos 424(rcos ,sin )rdr (rcos ,sin )rdrd f r d f r ππθθπθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰4、下列级数中发散的是（）（A ）13n n n ∞=∑(B)11)n n ∞=+ (C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑ (D)1!n n n n∞=∑【答案】C【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★【详解】21(1)112ln ln 2n n n n n∞∞==-+=∑∑，→∞→∞+=+=∞(-1)1lim lim [(-1)1]0或ln n n n n n n n5、设矩阵22111112,,14A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（）(),A a d ∉Ω∉Ω (),B a d ∉Ω∈Ω (),C a d ∈Ω∉Ω (),D a d ∈Ω∈Ω【答案】(D)【考点】线性方程组 【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =6、设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)p e e e =，若132(,,),Q e e e =-则123(,,)x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（）（A ）2221232y y y -+ (B)2221232y y y +- (C)2221232y y y -- (D)2221232y y y ++【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001TP AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)7、设A,B 为任意两个随机事件，则（）（A ）()()()P AB P A P B ≤ (B)()()()P AB P A P B ≥(C) ()()()2P A P B P AB +≤(D)()()()2P A P B P AB +≥【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥)(2)()(AB P B P A P ≥+∴()()()2P A P B P AB +∴≤8、设总体(,)XB m θ，12,,n x x x 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E x X =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑（） （A ）(1)(1)m n θθ-- (B) (1)(1)m n θθ-- (C) (1)(1)(1)m n θθ--- (D) (1)mn θθ- 【答案】(B) 【考点】【难易度】★★★ 【详解】）（）（，），θθθθθθ--=-=-=---=--==∴∑∑==1m )1()1()()1())(11()1())((1m m m (~21212n DX n s E n X X n E n X X E DX EX B X n i i ni i 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、2ln(cos )limx x x →∞=【答案】12-【考点】极限的计算【难易度】★★【详解】()22220001ln cos cos 112lim lim lim2x x x x x x x x x →→→--===-10、设函数()f x 连续，2()()x x xf t ϕ=⎰，若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =【答案】2【考点】变限积分求导 【难易度】★★ 【详解】22200()()()()2()x x x xf t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰110(1)()2(1)5,(1)()1(1)2f t dt f f t dt f ϕϕ'=+===⇒=⎰⎰11、若函数z = (,)z x y 由方程2+3z1x y e xyz ++=确定，则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导 【难易度】★★ 【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导得：23(31)0x y z z ze yz xy x x++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂ 两边对y 求导：23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=-- 12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在x =0处()y x 取得极值3，则()y x =【答案】22xx y ee -=+【考点】微分方程 【难易度】★★ 【详解】通解是212xx y c ec e -=+则：12(0)33y c c ==+=，12(0)020y c c '==-+=121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+13、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 【答案】21【考点】矩阵的特征值 【难易度】★★★【详解】22-2,1,A B A A E =-+的特征值为，，又由于3,7,121B B =所以的特征值为，故。